Aula 5.4

Microeconomia II
Cursos de Economia e de Matemática
Aplicada à Economia e Gestão
AULA 5.4
Provisão de Bens Públicos de forma descentralizada: a solução de
Lindahl
Isabel Mendes
2007-2008
13-05-2008
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
Em teoria, os efeitos sobre a eficiência económica associados à falha de
mercado caracterizada pela existência de bens públicos puros, podem ser
ultrapassados internalizando os bens públicos puros nas decisões dos agentes.
Lindahl (1919) e Wicksell (1896) descreveram o processo de internalização dos
bens público puros, fazendo os consumidores pagarem um preço pelo seu
consumo.
Wicksell propôs pela 1ª vez que os consumidores só deveriam pagar pela
provisão do bem público, no máximo, uma quantia igual ao benefício marginal
individual associado ao seu consumo ⇒ preços personalizados.
Lindahl sugeriu posteriormente que os preços personalizados de Wicksell
poderiam ser gerados (revelados) através de um processo de tâtonnement de
equilíbrio, semelhante ao que se estudou em Micro I, no Equilíbrio Geral ⇒
Preços de Lindahl.
Samuelson (1958) demonstrou que os preços de Lindahl gerariam uma
afectação do bem público eficiente à Pareto ⇒ condição de Samuelson (AULA
5.3)
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
1. Os preços personalizados Lindahl – Wicksell
Seja um problema de consumidor do seguinte tipo:
D i = 1, 2, …, N consumidores que consomem um bem público X e bem
privado q nos quais podem gastar um rendimento M;
D
assuma-se que as preferências dos consumidores por bem público e bem
privado são hierarquizadas por uma função de utilidade quasi – linear do tipo:
U i ( X i ,qi ) = U i ( X i ) + qi
D Cada consumidor i vai ter de pagar um preço personalizado pelo benefício
do uso do bem público pi; para simplificar, assume-se que o preço do bem
privado é igual à unidade ⇒ pq = 1.
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
1. Os preços personalizados Lindahl – Wicksell (continuação)
O problema de decisão do consumidor é:
maxU i = U i ( X i ) + qi
X i* ,qi
suj a : pi X i + qi = M i
A Lagrangeana deste problema é:
Li ( X i ,qi , λ i ) = U ( X i ) + qi + λ i [ M i − pi X i − qi ]
E as condições relevantes de 1ª ordem são dadas por:
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
1. Os preços personalizados Lindahl – Wicksell (continuação)
∂U i
 ∂Li
 ∂X = 0 ⇔ ∂X − λi pi = 0
 i
i

 ∂Li = 0 ⇔ 1 − λ = 0
i
 ∂qi
(1)
(2)
Resolvendo (1) e (2) para os λi’s e compondo os termos obtém-se:
∂U i
pi =
∂X i
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(3)
pi é o preço personalizado do
consumidor i que lhe maximiza
a sua função de utilidade
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
1. Os preços personalizados Lindahl – Wicksell (continuação)
Seja, agora, o problema de produção do bem público X:
X é produzido por uma empresa.
A sua receita média é igual à soma dos preços personalizados dos
consumidores.
O problema de maximização de lucro da empresa é:
N
max Π ( X ) = ∑ pi X − CT ( X )
X*
i =1
Sendo a condição de 1ª ordem dada por:
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
1. Os preços personalizados Lindahl – Wicksell (continuação)
N
∑p
i =1
i
= CMg ( X )
Condição de equilíbrio para a
empresa produtora de X
O equilíbrio geral (no consumo e na produção) compatível com um
óptimo à Pareto é alcançado quando for determinado um vector de preços
personalizados pi do tipo {p*1, p*2, …., p*N} para o qual se verifica que:
1º) a quantidade de bem público desejada seja igual para todos os N
consumidores e igual a = X* : para esta quantidade verifica-se a igualdade
TMS X*,qi = p*i;
2º) a quantidade X* maximiza o lucro da empresa produtora do bem público;
ou seja, para esta quantidade verifica-se a seguinte igualdade:
N
p* = ∑ p*i = CMg ( X * )
i =1
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
1. Os preços personalizados Lindahl – Wicksell (continuação)
3º) Das condições definidas em 1º) e 2º) é imediata a conclusão de que, para o
vector de preços personalizados óptimos {p*1, p*2, …., p*N} , se verifica a
condição de Samuelson, porque, para estes preços:
N
∑ TMS
N
= ∑ p*i = p* = CMg( X*)
i =1
i =1
equilibrio no produtor
X *,qi
equilibrio no consumidor
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2.
Como é que a entidade pública conhece os preços
personalizados?
Lindahl propôs o seguinte esquema de tâtonnement apoiado na figura de um
leiloeiro, semelhante àquele que foi descrito nos capítulo das Trocas Eficientes
(ver últimas aulas de MICRO I).
O papel do leiloeiro é:
1º) propor vários vectores de preços personalizados aos consumidores; para
cada vector de preços que é proposto, o leiloeiro assegurará sempre que o seu
somatório iguala o custo marginal de aprovisionamento do bem público;
2º) recolher as intenções de consumo dos consumidores, para cada vector de
preços personlaizados, em termos de bem público Xi;
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
2. Como é que a entidade pública conhece os preços
personalizados? (continuação)
3º) Se, para um determinado vector de preços personalizados, as intenções de
consumo de bem público não forem iguais para todos os consumidores, o
leiloeiro volta a apresentar um novo vector de preços personalizados, reajustado
às intenções de procura de cada consumidor;
4º) Este processo interactivo continua em número de iteracções necessário, até
que o leiloeiro obtém o vector de preços personalizados de equilíbrio.
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
3. Problemas associados à revelação dos preços
personalizados
Quando os cidadãos são interrogados acerca das suas disponibilidades para
pagar por bens públicos, existem fortes incentivos para que os indivíduos não
revelem a sua verdadeira preferência.
Tratando-se de um bem público, cada cidadão sabe que todos os restantes
cidadãos irão pagar por ele; logo, ele tem um incentivo para beneficiar do bem
público a custo zero, ou a um custo inferior, deixando os outros pagarem por
ele, na totalidade ou em parte.
Este comportamento é designado de free riding.
Em termos da linguagem do mecanismo de Lindahl o free riding significa que
o consumidor declara pretender uma quantidade de bem público inferior à sua
verdadeira preferência, para poder pagar um preço personalizado mais baixo
na iteracção final de equilíbrio. Mas, se todos os consumidores adoptarem a
mesma estratégia, a procura média de bem público revelada será
necessariamente inferior à procura óptima, o que leva a um equilíbrio inferior
ao que seria efectivamente desejado.
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3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
Os problemas associados a comportamentos de free riding e da
subsequente subrevelação das preferências verdadeiras por bem
público, podem ser formalmente analisados pelo seguinte problema formal.
Seja:
D Um consumidor i, com i = 1, 2, …, N consumidores, que consome bem
público X e bem privado q;
D As preferências são hierarquizadas por uma função de utilidade quasilinear em q ⇒ não há efeito rendimento no consumo de bem público para
nenhum consumidor ⇒ a provisão óptima de bem público não depende do
rendimento dos consumidores:
U i ( X ,qi ) = β i ln ( X ) + qi , com βi = preferência do consumidor i pelo
bem público;
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3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
D Cada consumidor maximiza a sua função de utilidade em ordem a Xi e qi
estando sujeitos à seguinte restrição orçamental:
pi X i + qi = M i
Onde pi = preço personalizado de Xi, o preço de q é igual à unidade e M é o
rendimento.
D Assume-se que o custo marginal de produção do bem público é igual à
unidade - CMg(X) = 1.
A função de Lagrange é:
L ( X i ,qi , λi ) = β i ln ( X i ) + qi + λi [ M i − pi X i − qi ]
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3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
E as condições de 1ª ordem são dadas por:
βi
 ∂L
 ∂X = 0 ⇔ X − λi pi = 0 (1)
 i
i

 ∂L = 0 ⇔ 1 − λ = 0
(2)
i
 ∂qi
Resolvendo (1) e (2) para λi e compondo os termos obtém-se:
pi =
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βi
Xi
(3)
⇔
Xi =
βi
pi
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3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
A igualdade (3) diz que, se não existirem efeitos rendimento no consumo de
bem público, então os preços personalizados não dependem da riqueza do
consumidor; só dependem das suas preferências pelo bem público dadas por
βi .
Em equilíbrio, os preços personalizados são iguais aos preços de Lindahl ⇒
as equações (3) pode ser reescrita da seguinte forma:
pi =
βi
X
*
(4)
Adicionando (4) para todos os N consumidores e igualando os preços
personalizados ao custo marginal de produção do bem público obtém-se:
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
N
βi
N
∑ p =∑ X
i =1
i
i =1
*
= 1 (5)
Resolvendo, agora (5) em ordem a X* obtém-se:
N
X * = ∑ βi
(6)
i =1
A equação (6) diz que a provisão óptima de bem público na ausência de efeitos
de rendimento depende das preferências ou da valorização β que lhe é atribuída
pelos consumidores.
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5.4 Provisão de Bens Públicos: Solução de Lindhal
3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
Para conhecer a utilidade que o consumidor obtém no equilíbrio de Lindahl,
substitui-se na função de utilidade
U i ( X i ,qi ) = β i ln ( X i ) + qi
1º) qi por Mi – piX* (o preço do bem privado é igual à unidade);
2º) pi e X* pelos resultados (4) e (6) , respectivamente;
Obtém-se:
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3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
X*
PP
 N

βi N


βi ⇔
U i ( X*,qi ) = β i ln  ∑ β i  + M i − N
∑
i =1
i =1
N

β
∑
i
 X* 
i =1
pi
qi
N
⇔ U i ( X*, qi ) = β i ln ∑ β i + M i − β i
(7 )
i =1
O resultado (7) diz que, aos preços de equilíbrio de Lindahl e na ausência de
efeitos rendimento, a utilidade do consumidor depende das preferências
reveladas por ele.
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3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
Quais são os efeitos sobre (7) se o consumidor i revelar uma preferência
falsa acerca da quantidade de bem público – bi - , relativamente à que ele
efectivamente prefere - βi - ?
Se o consumidor i revelar bi em vez da sua preferência verdadeira βi , tal
que bi < βi então o nível de utilidade que obterá no equilíbrio de Lindahl é:


Ui ( X*,qi ) = βi ln bi + ∑β j  + Mi − bi
j ≠i


Onde:
∑β
j ≠i
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j
(8)
é a soma das preferências de todos os outros consumidores
diferentes do consumidor i.
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3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
O problema do consumidor i praticante da revelação falsa é, agora, o de
calcular b*i que maximiza (8) ⇒ a seguinte condição:
∂Ui ( X*,qi )
∂bi
=0⇔
βi
b*i +∑ β j
−1 = 0
(9)
j ≠i
Resolvendo o lado direito de (9) em ordem a b*i obtém-se:
b*i = β i − ∑ β j
(10)
j ≠i
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3. Problemas associados à revelação dos preços personalizados
(continuação)
O resultado (10) confirma que o problema na maximização da utilidade no
âmbito do esquema de Lindahl é os consumidores mentirem acerca da sua
preferência real por bens públicos.
Se todos os N consumidores mentirem e se se assumir que as funções de
utilidade são iguais para todos, então:
-
β i = β, ∀
i = 1,…,N consumidores;
-
bi = b, ∀
i = 1,…,N consumidores.
Infere-se que, das expressões anteriores, cada consumidor, no equilíbrio de
Nash, revelará:
b* =
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β
N
⇒ X
Nash
N
N
βi
i =1
i =1
N
= ∑ b*i = ∑
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=
X*
N
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