Movimento Uniforme Variado (MUV) Observamos anteriormente que um corpo com velocidade constante (MU) apresenta comportamentos bem peculiares. Em nosso dia-a-dia é muito comum tratarmos de um outro tipo de problema: o que envolve a aceleração. O que representa esta grandeza com a qual convivemos pacificamente ou não ao longo de nossas vidas? Em física, o ato de tornar uma velocidade maior, representa o ato de acelerar. Consideraremos a aceleração como variação da velocidade. E note que o termo Variado lembra exatamente isso, ou seja, que a velocidade varia no tempo neste tipo de movimento. Para darmos continuidade em nosso aprendizados estabeleceremos algumas metas neste tópico. São elas: Metas Conhecer: 1. O que representa aceleração constante; 2. Caracterizar os diversos movimentos; 3. Visualização gráfica das idéias apresentadas; 4. O que representa matematicamente o encontro de dois corpos de maneira mais detalhada; Aceleração Escalar (a): Em movimentos em que a velocidade do móvel, varia em função do tempo decorrido, introduz-se o conceito de aceleração. ACELERAÇÃO ESCALAR (a) : taxa de variação da velocidade escalar numa unidade de tempo. Ao considerarmos um certo intervalo de tempo, em que ocorre uma dada variação da velocidade, podemos definir a aceleração escalar média (am) pela relação: am = ∆v v f − v0 = ∆t t f − t 0 Quando o intervalo de tempo considerado é infinitamente pequeno, a aceleração escalar média passa a se chamar aceleração escalar instantânea (a). Ou seja, a = lim∆t → 0 ∆v ∆t ou a= dv dt As unidades mais utilizadas de aceleração são: SI m/s2 CGS cm/s2 Outras km/h2 , km/s2 Podemos interpretar a relação entre velocidade e aceleração da seguinte maneira: a>0 Valor algébrico da velocidade escalar aumenta com o decorrer do tempo a=0 A velocidade escalar permanece constante. a<0 Valor algébrico da velocidade escalar diminui com o decorrer do tempo. Qualquer tipo de movimento (não apenas os uniformes) pode ser classificado em: a) MOVIMENTO PROGRESSIVO e ACELERADO: v > 0 e a > 0; b) MOVIMENTO PROGRESSIVO e RETARDADO: v > 0 e a < 0; c) MOVIMENTO RETRÓGRADO e RETARDADO: v < 0 e a > 0; d) MOVIMENTO RETRÓGRADO e ACELERADO: v < 0 e a < 0; Movimento Uniformemente Variado (MUV) Em movimentos retilíneos ou curvilíneos em que a aceleração escalar é mantida constante, diz-se que o móvel está em movimento uniformemente variado. Neste caso, a aceleração escalar instantânea será a igual a aceleração escalar média, pois não temos alterações no valor da aceleração em nenhum instante. MUV a = cte ≠ 0 a = am ⇒ a = ∆v ∆t Pode ter qualquer forma de trajetória. No caso da trajetória do MUV ser uma reta, o movimento recebe o nome de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Diagrama a x t No MUV, a aceleração escalar mantém-se constante com o decorrer do tempo. Portanto, os gráficos podem ser um dos seguintes: a>0 a<0 a a t t Observação: neste caso a área limitada será numericamente igual ao valor absoluto da variação da velocidade escalar. O que é fácil de compreender tendo em vista que a aceleração é a derivada da velocidade. Exemplo:A partir do diagrama a x t fornecido, determine: (a) a velocidade escalar atingida, no instante t = 20s, pelo móvel que parte a 10 m/s no instante t = 0 s; (b) a aceleração escalar média no intervalo de 0 a 20 s. 2 2 a ( m/s ) 1 0 0 5 10 15 20 t (s) -1 -2 O gráfico acima indica a aceleração em função do tempo. Sabemos que a área representa o valor da velocidade, então: Intervalo (s) 0 ≤ t ≤ 10 10 < t ≤ 15 15 < t ≤ 20 Área 2*10 = 20 0 (a = 0) 5*1 = 5 Sinal + nulo - ∆v = 20 − 5 ⇒ ∆v = 15m / s Portanto: (a) ∆v = v − v 0 ⇒ 15 = v − 10 ⇒ v = 25m / s (b) O cálculo da aceleração média será: am = ∆v 15 = = 0,75m / s 2 ∆t 20 Função Horária da Velocidade do MUV: A função horária da velocidade escalar do MUV pode ser obtida considerando a velocidade inicial v0 em t0 = 0: a= ∆v v − v 0 = ⇒ v − v0 = a * t ∆t t − t 0 ⇒ v = v0 + a * t Exemplo:Dada a função horária v = 18 –6*t (m,s), classifique o movimento quanto ao sentido e à variação da velocidade escalar , nos instantes: (a) t = 1s; (b) t = 3 s; (c) t = 5s. Solução: considerando a função horária, temos que a = - 6m/s2. (a) v = 18 − 6 * t v = 18 − 6 * 1 v = 12m / s com v > 0 e a < 0 ⇒ movimento progressivo e retardado. (b) v = 18 − 6 * t v = 18 − 6 * 3 v = 0m / s com v = 0 ⇒ móvel mudando de sentido. (c) v = 18 − 6 * t v = 18 − 6 * 5 v = −12m / s com v < 0 e a < 0 ⇒ movimento retrógrado e acelerado. Diagrama v x t O diagrama da velocidade escalar em função do tempo do MUV é retilíneo pois representa uma função de 1o grau. Se a aceleração é positiva a reta é crescente, caso contrário, a reta é decrescente. A tangente da reta irá fornecer o valor da aceleração. v v a>0 a<0 θ θ 0 t' t 0 Caso 1 Caso 1: a>0 0 < θ < 90 0 0 ≤ t < t’ ⇒ v < 0 ⇒ MUV retrógrado e retardado t = t’ ⇒ v = 0 ⇒ mudança de sentido t > t’ ⇒ v > 0 ⇒ MUV progressivo e acelerado Caso 2: a<0 90 0 < θ < 180 0 0 < t < t’ ⇒ v > 0 ⇒ MUV progressivo e retardado t = t’ ⇒ v = 0 ⇒ mudança de sentido t > t’ ⇒ v < 0 ⇒ MUV retrógrado e acelerado t' Caso 2 t Função Horária do Espaço no MUV: A função horária do espaço no MUV é uma função do 2o grau, que pode ser demonstrada a partir do diagrama v x t para os não conhecedores de cálculo. Seu gráfico é uma parábola cuja concavidade depende do sinal da aceleração (a > 0, concavidade para cima; a< 0, concavidade para baixo). s = s0 + v0 * t + 1 *a *t2 2 Exemplo: Um ponto material obedece à função horária (no SI): s = −30 + 5 * t + 5 * t 2 Determine: (a) o instante em que o móvel passa pela origem; (b) a função horária da velocidade; (c) o instante em que o móvel muda de sentido; (d) a velocidade escalar média entre 0 e 3 s. (a) na origem, s = 0 0 = −30+5* t +5* t 2 (÷5) ⇒ t 2 + t −6 = 0 −1± 12 − 4 *1*(−6) ⇒t = 2*(1) −1± 1+24 2 −1± 25 −1± 5 ⇒t = ⇒t = 2 2 t = −3s ⇒ t = 2s ⇒t = Como não tem sentido tempo negativo, t = 2s. (b) por comparação: s = s0 + v0 * t + 1 *a *t2 2 s = −30 + 5 * t + 5 * t 2 então: s 0 = −30m v 0 = 5m / s a = 10m / s 2 ⇒ v = v0 + a * t ⇒ v = 5 + 10 * t ou, de outra maneira: s = −30 + 5 * t + 5 * t 2 ds v= dt v = 0 + 5 + 5 ∗ 2t v = 5 + 10t (c) na mudança de sentido, v = 0: v = 5 + 10 * t 0 = 5 + 10 * t ⇒ t = −0,5s como o tempo tem de ser maior ou igual a zero, o móvel não muda de sentido. (d) cálculo da velocidade média será: t = 3 ⇒ s = −30 + 5 * 3 + 5 * 3 2 = 30m vm = ∆s 30 − (−30) 60 = = = 20m / s ∆t 3−0 3 Equação de Torricelli O deslocamento, a velocidade e a aceleração em um MUV podem ser relacionados numa única expressão, denominada equação de Torricelli: v 2 = v02 + 2 * a * ∆s Esta equação é muito útil na resolução de problemas de MUV, principalmente naqueles em que o intervalo de tempo não é fornecido. Exemplo: Dois móveis, A e B , partem de um mesmo ponto, no instante t = 0. O móvel A mantém, a velocidade escalar constante de 10 m/s. O móvel B parte do repouso e mantém a aceleração constante de 0,2 m/s2. Sabendo-se que ambos percorrem a mesma trajetória, no mesmo sentido, determine: (a) o instante em que B alcança A; (b) a velocidade escalar de B no instante em que estiver ultrapassando A; (c) a velocidade escalar de B em relação a A, no item anterior. Solução: (a) 100s; (b) 20 m/s (c) 10 m/s. Resolução: Dados iniciais: s0 A = s0B v A = 10m / s v0 B = 0 a B = 0,2m / s 2 O móvel A está em MU s = s0 + v * t s A = s 0 A + 10 * t O móvel B está em MUV s = s 0 + v0 * t + 1 *a *t2 2 s B = s 0 B + 0,1 * t 2 o encontro se dará quando: s A = sB s 0 A + 10 * t = s 0 B + 0,1 * t 2 10 * t = 0,1 * t 2 t = 0 ⇒ t = 100s Como em t = 0 é a partida, o encontro se dá em t = 100s. (b) substituindo t = 100 s na equação do MUV v = v0 + a * t v = 0 + 0,2 * 100 v = 20m / s (c) a velocidade relativa será: v = vB − v A v = 20 − 10 v = 10m / s Exercícios Propostos: 1. (UCS-RS) Um certo tipo de carro para testes parte do repouso e atinge a velocidade de 108 km/h em 5s. Analise as afirmações: I. II. III. A aceleração do carro vale 6 m/s2. Durante a aceleração, o carro percorre 100 m. A velocidade escalar média do carro durante a aceleração vale 15 m/s. Está(ão) correta(s): (a) Apenas a I; (b) Apenas a I e III; (c) Apenas a I e II; (d) Apenas a II e III; (e) Todas as afirmações. Solução: b. 2. (UEL- 2006) Com base no gráfico, assinale a alternativa cuja equação descreve, corretamente, a velocidade do objeto, em função do tempo: (a) v(t) = 5 + t (b) v(t) = 5 – t (c) v(t) = 3 + 2 t (d) v(t) = 5 – 2 t (e) v(t) = −5 + 5 t Solução: b. 3. (FUVEST 2005) A velocidade máxima permitida em uma auto-estrada é de 110km/h (aproximadamente 30m/s) e um carro, nessa velocidade, leva 6s para parar completamente. Diante de um posto rodoviário, os veículos devem trafegar no máximo a 36km/h (10m/s). Assim, para que carros em velocidade máxima consigam obedecer o limite permitido, ao passar em frente do posto, a placa referente à redução de velocidade deverá ser colocada antes do posto, a uma distância, pelo menos, de (a) 40 m (b) 60 m (c) 80 m (d) 90 m (e) 100 m Solução: c. 4. Com a vigência do novo Código Brasileiro de Trânsito, atravessar o sinal vermelho constitui infração gravíssima. Ao perceber um semáforo fechado à frente, o motorista de um carro, movendo-se a 20 m/s, aplica a este uma desaceleração de 5 m/s2. Qual o tempo que ele irá gastar durante a freada? (a) 2 s; (b) 4 h; (c) 2 min; (d) 3 s; (e) 4 s. Solução: e. 5. (OBF 2008) Um automóvel move-se para a direita com uma velocidade igual a +70km/h relativamente ao piso da estrada. Um ponto da borda superior e um outro da borda inferior de um pneu deste veículo apresentam, respectivamente, velocidades instantâneas, em km/h, iguais a a) +140 e 0 relativamente ao piso. b) +140 e +70 relativamente ao piso. c) +70 e −70 relativamente ao piso. d) 0 e −70 relativamente ao veículo. e) +70 e +70 relativamente ao veículo Solução: a.