Matemática Básica

Matemática Básica
 Número Misto:
Aulas com frações e operações com frações
Toda fração imprópria, que não é aparente,
pose ser transformada em número misto, que é
composto de uma parte inteira e de uma parte
fracionária.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q = { x| x = , com a ϵ Z, b ϵ Z, e b≠ 0}.
Ex.: { - 3/2; 2/5; 0; 2; 2,666; 10}
Ex.:
Observe, portanto, que número racional é aquele
que pode ser representado como a razão entre dois
números inteiros, com o segundo não nulo. Assim,
concluímos que todo número inteiro também é
racional, pois pode ser considerado como uma
razão de denominador 1.
 Frações Equivalentes:
Propriedade Fundamental:
Ex.: 5 = 5 /1 ; por isso escrevemos:
Z
Como N
Quando multiplicamos ou dividimos os termos
de uma fração (numerador e o denominador)
por um mesmo número natural diferente de
zero, obtemos uma fração equivalente à fração
inicial.
Q
Z, temos também:
N
Q
Subconjunto dos Números Racionais.
 Conjunto dos racionais não-nulo Q*
 Conjunto racionais não negativos Q+
 Conjunto dos racionais não positivos Q_
 Conjunto dos racionais positivos Q+*
Conjunto dos racionais negativos Q*
Logo, 2/4 é equivalente a 1/2 (ou 2/4
 Simplificação de Frações: simplificar uma
fração é transformá-la em outra equivalente
cujos termos sejam primos entre si, deixando
assim a fração na forma irredutível.
Propriedades:
Ex.:
 A soma, a subtração ou o produto de dois
números inteiro quaisquer, é um número inteiro.
 O quociente de dois números racionais
quaisquer, sendo o divisor diferente de zero é um
número racional.
 Frações Homogêneas: são frações que
possuem denominadores iguais.
Ex.: 2/5; 3/5; 1/5
Tipos de Frações
 Frações Heterogêneas: são frações que
possuem denominadores diferentes.
 Fração Própria: é aquela em que o numerador
é menor que o denominador. Ex.: 4/6, 3/8, 1/2
Ex.: 4/7; 8/3; 1/5
 Fração Imprópria: é aquela em que o
numerador é maior ou igual que o denominador.
Ex.: 4/3, 8/5, 11/3
Redução de frações ao mesmo
denominador:
 Fração Aparente: é aquela em que o
numerador é múltiplo do denominador. Ex.: 8/4,
9/3, 16/ 4
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1/2).
Reduzir frações ao mesmo denominador é
transformar em homogêneas e operamos como
a seguir.
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Comparação de Frações:

 Se duas frações tem o mesmo denominador
(fração homogênea), a maior será a que tiver o
maior numerador.

 Multiplicação: para multiplicar frações,
multiplicamos numerador por numerador e
denominador por denominador.
Ex.:
Ex.:
 Se duas frações tem o mesmo numerador, a
maior será a que tiver o menor denominador.
 Divisão: na divisão de duas frações,
conservamos a primeira fração e
multiplicamos pelo inverso da segunda.
Ex.:
Ex.:
 Se duas frações tem numerador e denominador
diferentes, então, reduz-se a fração ao mesmo
denominador.
Ex.: 2/3 > 3/5 = 10/15 > 9/15
Operações com Frações:
Exercícios resolvidos
 Adição e Subtração: só podemos somar ou
subtrair frações que tenham o mesmo
denominador e opera-se o numerador. Assim
teremos dois casos a destacar:
1) Veja o que diz a menina:
1º Caso: Adição ou subtração de frações que têm o
mesmo denominador: Quando os denominadores
forem iguais, simplesmente somam-se os
numeradores, conservando-se o mesmo
denominador.
Quanto ela tem na poupança?
Primeira solução
2º Caso: Adição ou Subtração de frações que têm
os denominadores diferentes: Quando os
denominadores forem diferentes, deve-se reduzir
as frações ao mesmo denominador. Para tanto,
calcula-se o MMC dos denominadores, que será o
denominador comum. Após isso, divide-se o
denominador comum por cada denominador,
multiplicando-se, a seguir, o resultado pelo
correspondente numerador.
De acordo com o enunciado da questão
podemos montar um o diagrama abaixo:
Ex.:
Como a parte que coube a menina no
problema
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Solução
corresponde a 1/4 do total temos que esse valor é
igual a:
Como o total da estrada, ou seja, x km será
realizado por duas empreiteiras, sendo que a
primeira ira pavimentar 2/5 do total da estrada
e os 81 km restante pela segunda empreiteira,
podemos indicar o problema pelo diagrama
abaixo:
Parte da Poupança da menina
Segunda solução
Note que o problema pode ser resolvido
facilmente pegando R$ 1340 no qual corresponde
ao total e dividido em 4 partes iguais, dessa forma
podemos concluir que cada parte é igual R$
335,00 e como para a menina coube apenas uma
das partes temos que a mesma recebeu R$ 335,00.
Dessa forma, os 81 km correspondem a 5/3
do total da estrada e assim temos:
2) (Fuzileiro Naval-2005) Em um quartel, 7/9 dos
militares são praças e existem 10 oficiais. Como o
efetivo do quartel é composto de oficiais e praças,
qual o número total de militares no quartel ?
a) 45
b) 44
c) 36
d) 28
e) 21
Solução
Segunda solução
Ora se, 7/9 do total dos militares em um quartel
são praças isso nos mostra que o total foi dividido
em 9 partes iguais e dessas partes 7 são praças e
como os outros militares no quartel são oficiais,
logo esses representam 2 dessas 9 partes e assim
podemos escrever: 2 partes = 10 militares 1 parte
= 5 militares Logo o total, no qual equivale a: 9
partes = 9 x 5 = 45 militares
Por sua vez, o problema pode ser resolvido
rapidamente tomando em consideração que o
total da estrada foi dividido em 5 partes iguais
(isso é indicado pelo denominador da primeira
fração) e como dessas 5 partes a primeira
empreiteira pavimentos 2 deles, logo as 3
partes restantes couberam para a segunda
empreiteira e assim podemos escrever as
relações abaixo:
3) (VUNESP-94) Duas empreiteiras farão
conjuntamente a pavimentação de uma estrada,
cada uma trabalhando a partir de uma estrada,
cada uma trabalhando a partir de uma das
extremidades. Se uma delas pavimentar 5/2 da
estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, a
extensão dessa estrada é de:
a)
b)
c)
d)
e)
3 partes = 81 km
1 parte = 27 km (81km ÷ 3 = 27 km)
Logo o total, ou seja:
5 partes = 5 x 27km = 135 km
125 quilômetros
142 quilômetro
160 quilômetros
135 quilômetros
145 quilômetros
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