Matemática básica - Docentes

Universidade Portucalense
Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia
Curso Satélite - Módulo I - Matemática
Valor Absoluto: O valor absoluto de a, representa-se por |a| e é a distância do número a a 0.
(
|a| =
a se a ≥ 0
−a se a < 0
Exemplo 1
| − 4| = +4 = 4,
|0| = 0,
| − 5 − | − 3|| = | − 5 − 3| = | − 8| = 8
Operações com Números Reais:
1. Para somar dois números reais com o mesmo sinal, some os valores absolutos e acrescente
o sinal comum.
2. Para somar dois números reais com sinais diferentes, encontre a diferença entre os valores
absolutos e acrescente o sinal do número com maior valor absoluto.
3. O produto de dois números reais com o mesmo sinal é positivo.
4. O produto de dois números reais com sinais opostos é negativo.
5. O quociente de dois números reais com o mesmo sinal é positivo.
6. O quociente de dois números reais com sinais opostos é negativo.
Exemplo 2
−4 + 3 = −1,
−42 + 3 = −16 + 3 = −13,
6 ÷ 2(2 + 1) = 6 ÷ 2(3) = 3 × 3 = 9
Propriedades dos expoentes:
1.
Expoente inteiro:
xn = x.x.x.
|
{z. . . .x}
n factores
2. Expoente Zero: x0 = 1, x 6= 0
3. Expoente negativo: x−n =
4. Raiz:
√
n
x=a
⇔
1
, x 6= 0
xn
x = an
1
(−4 + 3)2 + 3 = (−1)2 + 3 = 1 + 3 = 4,
5. Expoente racional:
√
1
x n = ³n x ´
√
¡ √ ¢m
m
1 m
x n = xn
= n x = n xm
6. Raiz quadrada:
√
√
2
x= x
Operações com expoentes:
1. Multiplicação (bases iguais): xn .xm = xn+m
2. Divisão (bases iguais):
xn
= xn−m
xm
3. Remoção de parênteses:
• (xy)n = xn .y n
µ ¶n
xn
x
= n
•
y
y
• (xn )m = xnm
• −xn = −(xn );
• cxn = c(xn );
m
m
• xn = x(n ) ;
−xn 6= (−x)n
cxn 6= (cx)n
m
xn 6= (xn )m
Exemplo 3
x3 .x8 = x1 1,
x.x4 .x−3 = x1+4−3 = x2 ,
µ
−5
−2
= (−1)
1
52
¶
=
−1
,
25
x24
= x24−(−3) = x24+3 = x27 ,
x−3
2x−2
2(2x)2
2.4x2
=
=
=8
(2x)−2
x2
x2
Equações:
1. Uma equação linear numa variável é uma equação que pode ser escrita na forma geral:
ax + b = 0 (a 6= 0)
onde a e b são constantes.
2. Uma equação quadrática numa variável é uma equação que pode ser escrita na forma
geral:
ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0)
onde a, b e c são constantes
Propriedades das Equações:
1. A equação obtida somando a mesma quantidades em ambos os lados de uma equação é
equivalente á equação original.
2
2. A equação obtida multiplicando ambos os lados de uma equação pela mesma quantidade
não nula é equivalente á equação original.
Resolução de uma equação linear:
1. Utilizando as propriedades das equações converta a equação dada na forma geral
ax + b = 0 (a 6= 0)
2. Utilizando as propriedades das equações converta a equação na forma
x=
−b
a
Resolução de uma equação Quadrática:
1. Utilizando as propriedades das equaçãoes converta a equação dada na forma geral
ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0)
2. Pode resolver a equação:
• factorizando o 1o membro e aplicando a lei do anulamento do produto
Se ab = 0 então a = 0 ou b = 0
• Utilizando a formula quadrática: x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Dada a equação ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0), chama-se discriminante e representa-se por 4 ao
binómio 4 = b2 − 4ac e tem-se que:
1. se 4 = b2 − 4ac > 0, a equação tem duas soluções reais e distintas;
2. se 4 = b2 − 4ac = 0, a equação tem exactamente uma solução real;
3. se 4 = b2 − 4ac < 0, a equação não tem soluções reais.
Factorização de Polinómios:
1. Fórmula Resolvente:
ax2 + bx + c = 0
⇔
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
2. ax3 + bx2 + cx + d = 0:
a
b
c
α×a
α × b + α2 × a
α
a
b+α×a
c+α×b+
α2
×a
c×α+
α2
d
× b + α3 × a
d + c × α + α2 × b + α3 × a
3
Se d + c × α + α2 × b + α3 × a = 0 então α é raiz do polinómio e tem-se
ax3 + bx2 + cx + d = (x − α)(ax2 + (b + a × α)x + (c + α × b + α2 × a)
3. Se o polinómio ax2 + bx + c tem raizes α e β então ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β)
4. Propriedade Distributiva: abxn + acxn+m = axn (b + cxm )
5. Quadrado da Soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
6. Quadrado da Diferença: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
7. Diferença de quadrados: a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Operações com fracções:
1. Soma:
a c
ad cb
ad + bc
+ =
+
=
,
b d
bd db
bd
b 6= 0, d 6= 0
a c
ad cb
ad − bc
− =
−
=
,
b d
bd db
bd
ac
a c
3. Produto: × = , b 6= 0, d 6= 0
b d
bd
2. Subtracção:
4. Quociente:
a
a d
ad
b
× =
,
c =
b
c
bc
d
a
b
c
=
a 1
a
× = ,
b
c
bc
b 6= 0, d 6= 0
b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0
b 6= 0, c 6= 0
5. Cancelamento de factores iguais:
b
ab + ac
a(b + c)
b+c
ab
= , a 6= 0, c 6= 0 e
=
=
,
ac
c
ad
ad
d
Técnicas de Racionalização:
√
√
√ √
(recorde que a a = a ,
a2 b = a b e
1. Se o denominador for
a 6= 0, d 6= 0
√
√
√
√
( a + b) ( a − b) = a − b))
√
√
a
a, multiplique por √
a
√
√
√
√
a+ b
√
2. Se o denominador for a − b, multiplique por √
a+ b
√
√
√
√
a− b
√ ,
3. Se o denominador for a + b, multiplique por √
a− b
4
Função: Uma função é uma relação entre dois conjuntos tal que a cada elemento do primeiro
conjunto corresponde um único elemento do segundo conjunto. Se representarmos a função por
y = f (x), x é a variável independente e y a variável dependente.
Domínio de uma função: Chamamos domínio de y = f (x), e representamos por Df ao
conjunto dos valores que a variável independente, x, pode tomar de forma a que a variável
dependente, y, seja real.
√
Exemplo 4 Calcular o domínio de f (x) = 4 − x
Df = {x : 4 − x > 0} = {x : −x > −4} = {x : x < 4} =] − ∞, 4[
Calcular o domínio de f (x) = x+1
x−2
Df = {x : x − 2 6= 0} = {x : x =
6 2} =] − ∞, 2[∪]2, +∞[
Intersecção com os eixos
1. Para encontrar a intersecção de y = f (x) com o eixo Y OY faça x = 0
2. Para encontrar a intersecção de y = f (x) com o eixo XOX faça y = 0
Função Linear: Uma função linear é uma função da forma
f (x) = mx + b
onde m e b são constantes. A representação gráfica de uma função linear é uma recta (para
representar graficamente uma função linear, marque 2 pontos e trace a recta que os une). m é o
declive da recta e b a intersecção com o eixo Y OY .
Função Quadrática: Uma função quadrática é uma função da forma
f (x) = ax2 + bx + c
onde a, b e c são constantes. A representação gráfica de uma função quadrática é uma parábola.
Vértice da parábola:O vértice é o ponto onde a parábola muda de direcção. O vértice tem as
coordenadas:
−b
x=
e y = ax2 + bx + c
2a
5
A parábola que representa graficamente a função f (x) = ax2 + bx + c
1. Abre para cima e o vértice é um mínimo da função se a > 0; abre para baixo e o vértice é
um máximo da função se a < 0
2. Intersecta o eixo XOX em dois pontos se 4 = b2 − 4ac > 0. Neste caso a parábola
• toma o sinal contrário ao de a entre as raízes da equação ax2 + bx + c = 0
• toma o sinal de a fora das raízes da equação ax2 + bx + c = 0
3. Intersecta o eixo XOX em um só ponto se 4 = b2 − 4ac = 0. Neste caso a parábola
f (x) = ax2 + bx + c toma sempre o sinal de a.
4. Não intersecta o eixo XOX se 4 = b2 −4ac < 0. Neste caso a parábola f (x) = ax2 +bx + c
toma sempre o sinal de a.
Função Exponencial: y = ax
PROPRIEDADES:
1. Domínio D = R
2. ContradomínioD0 = R+
3. A Função não tem zeros
4. Função injectiva
5. Função contínua
6. Função crescente se a > 1; Função decrescente se 0 < a < 1
7. an .am = an+m
8. an .bn = (ab)n
an
= an−m
am
an ³ a ´n
,
10. n =
b
b
9.
b 6= 0
11. (an )m = anm
12. a0 = 1
13. a−n =
1
an
e an =
1
a−n
6
Função Logarítmica:
y = loga x
⇔
x = ay
PROPRIEDADES:
1. Domínio D = R+
2. ContradomínioD0 = R
3. A função tem um zero para x = 1 (loga 1 = 0 ,
∀a)
4. Função injectiva
5. Função contínua em R+
6. Função crescente se a > 1; Função decrescente se 0 < a < 1
7. x = aloga
x
e loga ay = y
8. log(xy) = log(x) + log(y) , ∀x, y ∈ R+
µ ¶
x
= log(x) − log(y) , ∀x, y ∈ R+
9. log
y
10. log(xk ) = k.log(x) , ∀x ∈ R+
11. logb (x) = loga (x).logb (a) , ∀x ∈ R+
e ∀a, b ∈ R+ \{1}
7
Exercícios
1. Calcule o valor das expressões:
(4 + 2)2
2
(−5)(−3) − (−2)(3)
(i) y =
−9 + 2
|5 − 2| − | − 7|
(j) y =
|5 − 2|
(a) y = |5 − 11|
(h) y =
(b) y = (−3)2 − (−1)3
(c) −42 − (−4)2 + 3
4 + 32
4
(e) y = 2 − [3 − (2 − | − 3|)] + 11
(d) y =
(f) y = −32 + 10.2
4 + 22
(g) y =
2
(k) y =
|3 − |4 − 11||
−|52 − 32 |
(l) y =
62 − 4(−3)(−2)
6 − 62 ÷ 4
2. Simplifique as expressões:
µ
(a)
µ
a−2 b−1 c−4
a4 b−3 c0
4x−1 y −40
(b)
2−2 x4 y −10
2x−2
(c)
(2x)2
2x−2
(d)
2x2
¶−3
2−1 x−2
(2x)2
p
12x3 y 12
(f) p
27xy 2
p
p
(g) 12x3 y 3x2 y
p
y −5
(h) p
5
y −2
(e)
¶−2
3. Execute as operações indicadas e simplifique os resultados obtidos:
(a) (5x3 )(7x2 )
(e) (27x2 y 2 − 18xy + 9xy 2 ) ÷ (6xy)
(b) (39x3 y 2 ) ÷ (13x2 y)
(f) (x 5 + x 2 )(x 5 − x 2 )
(c) (x3 − 1)(x7 − 2x4 − 5x2 + 5)
(g) (x 3 − x 2 )(4x 3 − 3x 3 )
(d) (16x2 + 4xy 2 + 8x) ÷ (4xy)
(h) (2x + 1) 2 [(2x + 1) 2 − (2x + 1)
1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
4. Resolva as equações em x, e confira o resultado obtido:
(a) 4 − 5x = 4 + x
(e) x2 + 5x + 6 = 2
(b) 3(x − 7) = 19 − x
5(x − 3)
x
(c)
−x=1−
6
9
x
2x
(d)
=2−
3x − 6
x−2
(f) 2x2 − 4x + 10 = x2 + x + 4
(g) 2x2 − 4x + 6 = x2 + 2
(h) x3 + 2x2 + x = 0
5. Factorize as expressões:
8
−1
2
]
(a) 8x3 − 12x2
(f) 16x2 − 64y 2
(b) 3x(x2 + 5) − 5(x2 + 5)
(g) x3 + 2x2 + 3x − 6
(c) x2 − 10x − 24
(h) 2x3 − 8x2 + 8x
(d) 3x2 + 15x + 18
(i) x3 − x2 − 4x + 4
(e) 100 − 49x2
(j) x4 − 81
6. Simplifique
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
1
−
x+2 x−2
5
3
+
x−3 3−x
−x
2
+
3/2
(x + 1)
(x + 1)1/2
1
1
1
+
+
x+2 x−3 x+4
1
1
1
+
+
2
x + 2 (x + 2)
x−1
√
x
√
x + 1 + 2 x+1
x+1
¶µ
¶
1
2x
√
1+ √
(g)
x + x2 + 1
2 x2 + 1
³
´ √
¶µ
¶
−x 2√2x
+ x2 + 1 µ
2x
1
x2 +1
√
√
(h)
1+
+
x2
x + x2 + 1
2 x2 + 1
µ p
¶
x3
(i) 2x x2 + 1 − √
÷ (x2 + 1)
2
x +1
µ
(x2 + 2)1/2 − x2 (x2 + 2)−1/2
x2
2
x−1
6x − 6
(k) 2
÷ 2
x + 3x + 2 x + 4x + 4
x−3 + x2 y −3
(l)
(xy)−2
(j)
7. Racionalize o denominador das expressões:
3
(a) √
12
1
√
(b) √
5+ 2
1
√
(c) √
x+ x+1
8. Determine o domínio das funções:
(a) f (x) = log(x2 + 4x + 4) − 3x3
(c) f (x) = log(x2 + 4)
√
(d) f (x) = x + 1
(b) f (x) = log(x2 − 5x + 6)
9
(e) f (x) =
√
2x − 5
√
(g) f (x) = 6x − x2 − 8
x−1
log(x + 1)
(f) f (x) =
9. Sem utilizar a calculadora calcule:
(b) log8 64
1
3
(e) log3 81
(c) log25 5
(f) eln
(a) log5 1
(d) log3
5
10. Sabendo que loga x = 1.2 e que loga y = 3.9 , determine:
x
y
√
(b) loga ( x)
(c) loga (xy)
(a) loga
(d) loga y 3
11. Resolva em R as equações:
(a) log10 x = 0
(b) log0.1 x = −2
(c) log0.1 1000 = y
(d) logb 64 = −3
(e) 10x − 2 × 10−x = 1
12. Considere a função real de variável real f (x) = 2x + log10 (7x − 4)
(a) Determine o domínio
(b) Determine f (2)
13. Considere a função real de variável real f (x) = ex + ln(x + 1)
(a) Determine o domínio
(b) Determine f (0)
14. Considere a função real de variável real f (x) = ln(3ex − 5)
(a) Determine o domínio e o contradomínio de f (x)
(b) Calcule f (ln 2)
15. Considere a função real de variável real f (x) = 1 − e2−x
(a) Determine o domínio e o contradomínio da função.
(b) Resolva a equação f (x) = f (2)
16. Represente graficamente as funções:
10
(a) f (x) = 3x + 5
(e) f (x) = 5x − x2 − 6
(i) f (x) = e|x|
(b) f (x) = x2 + 2
(f) f (x) = ex
(j) f (x) = lnx
(c) f (x) = x2 + 2x + 1
(g) f (x) = e−x
(k) f (x) = ln(x + 1)
(d) f (x) = 2x2 + 8x + 8
(h) f (x) = e2x
(l) f (x) = ln|x|
11
Soluções
1. (a) y = 6
(g) y = 4
(b) y = 10
(h) y = 18
(c) −29
(f) y = 11
(i) y = −3
4
(j) y = −
3
1
(k) y = −
4
(l) y = −4
a18 c12
b6
10
x y 60
(b)
162
1
(c)
2x4
1
(d) 4
x
1
8x4
2xy 5
(f)
3
√
(g) 6y x5
1
p
(h) 10
y 21
13
4
(e) y = 9
(d) y =
(e)
2. (a)
3. (a) 35x5
(e)
(b) 3xy
2
(c) x10 − 3x7 − 5x5 + 2x4 + 5x3 + 5x2 − 5
(d)
4x +
9xy − 6 + 3y
2
y2
+2
(f) x 5 − x
7
(g) x − x 6
(h) 4x2 + 4x
y
4. (a) x = 0
(e) x = −1 ou x = −4
(b) x = 10
(f) x = 2 ou x = 3
(c) x = −63
(g) x = −2(raiz dupla)
(d) x = −12
(h) x = 0 ou x = 1(raiz dupla)
5. (a) 4x2 (2x − 3)
(f) (4x − 8y)(4x + 8y)
(b) (x2 + 5)(3x − 5)
(g) (x − 1)(x2 + 3x + 6)
(c) (x + 2)(x − 12)
(h) 2x(x − 2)2
(d) 3(x + 2)(x + 3)
(i) (x − 1)(x − 2)(x + 2)
(e) (10 − 7x)(10 + 7x)
(j) (x2 + 9)(x − 3)(x + 3)
12
6. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
7. (a)
x−6
x2 − 4
2
x−3
x+2
(x + 1)3/2
3x2 + 6x − 10
(x + 2)(x − 3)(x + 4)
2x2 + 6x + 1
(x + 2)2 (x − 1)
x+2
(2(x + 1)3/2
√
3
2
1
(g) √
x2 + 1
√
x2 + 1
(h)
x2
x(x2 + 2)
(i)
(x2 + 1)3/2
2
√
(j)
x2 x2 + 2
(k) 6x + 12
x5 + y 3
xy
√
√
5− 2
(b)
3
√
√
(c) − x − x + 1
(l)
8. (a) ] − ∞, −2[ ∪ ] − 2, +∞[
(e) ] − 1, 0[ ∪ ]0, +∞[
(b) ] − ∞, 2[ ∪ ]3, +∞[
(f) [5/2, +∞[
(c) R
(d) [−1, +∞[
(g) [2, 4]
9. (a) 0
(d) −1
(b) 2
(e) 4
(c) 1/2
(f) 5
10. (a) −2.7
(c) 5.1
(b) 0.6
(d) 11.7
11. (a) x = 1
(d) b = 1/4
(b) x = 100
(c) y = −3
(e) x = log10 2
12. (a) ]4/7, +∞[
(b) f (2) = 5
13. (a) ] − 1, +∞[
(b) f (0) = 1
14. (a) ]ln(5/3), +∞[; R
(b) Calcule f (ln 2) = 0
15. (a) ] − ∞, 2[; ] − ∞, 1[
(b) x = 2
13