Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática – DAMAT
Probabilidade e Estatística – Prof. Narciso Gonçalves da Silva
Lista de Exercícios – Lista 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Distribuição Binomial
1) Sendo X uma VA com distribuição binomial com parâmetros n = 15 e p = 0,4.
determine:
a) P(X ≥ 14)
b) P(8 < X ≤ 10)
c) P(X < 2 ou X ≥ 11)
d) P(X > 3 e X < 6)
2) Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80%
dos casos. Dentre os que têm essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão
submetidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição adicional que julgar necessária,
responda qual é a probabilidade de:
a) Todos serem curados?
b) Pelo menos dois não serem curados?
c) Ao menos 10 ficarem livres da doença?
3) Um lote com 20 peças são inspecionadas. Este lote é devolvido se pelo menos 4
peças forem defeituosas. Sabendo-se que 99% das peças não tem defeitos, qual é
a probabilidade do lote ser devolvido?
4) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, determinar a probabilidade
de que, numa amostra de 100 lâmpadas escolhidas aleatoriamente, tenha:
a) nenhuma defeituosa
b) exatamente 3 defeituosas
5) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a
probabilidade de:
a) não acertar 4 tiros
b) não acertar nenhum tiro
Distribuição Multinomial
6) As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 60% verdes, 30% azuis e
10% amarelas. Em 5 lâmpadas escolhidas aleatoriamente com reposição, determine
a probabilidade de que 2 sejam verdes, 1 azul e 2 amarelas.
7) O sangue humano são classificados em 4 tipos: A, O, B e AB. Numa certa
população, as probabilidades destes tipos de sangue são, respectivamente, 40%,
45%, 10% e 5%. Escolhendo 5 pessoas ao acaso determine a probabilidade de que
tenha:
a) dois tipo A e um de cada um dos outros
b) três do tipo A e dois do tipo O
Distribuição de Poisson
8) A média de chamadas telefônicas numa central é de 3 por hora. Determinar a
probabilidade de:
a) receber 3 chamadas numa hora
b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos
9) Na pintura das paredes aparecem 1 defeito por metro quadrado. Qual a
probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 metros de largura por 2
metros de altura?
10) Numa estrada há 2 acidentes a cada 100 km. Qual a probabilidade de que em:
a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes
b) 300 km ocorram 5 acidentes
11) Sabe-se que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a
probabilidade de que escolhido aleatoriamente 600 no mínimo 3 se queimem?
12) Uma empresa recebe 720 e-mails no período de 8 horas. Qual a probabilidade
de que:
a) em 6 minutos receba pelo menos 4 e-mails?
b) em 4 minutos não receba nenhum e-mail?
13) Numa caixa tem 50 bolas brancas e 950 bolas pretas. 200 bolas são retiradas
com reposição. Qual a probabilidade de pelo menos 3 serem brancas?
Distribuição Hipergeométrica
14) Numa urna tem 40 bolas brancas e 60 bolas pretas. Retiram-se 20 bolas.
Determine a probabilidade de que ocorram no mínimo 2 bolas brancas,
considerando as extrações:
a) sem reposição
b) com reposição
15) Uma fábrica separa de sua linha de produção diária de 350 peças uma amostra
de 30 peças para inspeção. O número de peças defeituosas é de 14 por dia. Qual a
probabilidade de que a amostra contenha no máximo 3 peças defeituosas?
16) Dos 16 caminhões de entrega de uma empresa, cinco emitem excesso de
poluentes. Selecionando aleatoriamente oito dos 16 caminhões, qual a
probabilidade dessa amostra incluir três dos caminhões que emitem excesso de
poluentes?
17) Uma empresa compra lâmpadas por centenas. Numa centena de lâmpadas em
média 12 estão queimadas. A empresa examina sempre amostras com 15
lâmpadas para verificar se não estão queimadas. Qual a probabilidade de se
escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada?
Distribuição Geométrica
18) Qual a probabilidade da primeira face 3 ocorrer na 5ª jogada de um dado
equilibrado?
19) A probabilidade de uma moça aceitar o convite de um rapaz para dançar é 15%.
Qual a probabilidade da moça aceitar dançar com o rapaz apenas no 7º convite?
20) A probabilidade de um motorista receber multa por estacionar em local proibido
é 5%. Qual é a probabilidade deste motorista receber a primeira multa somente na
10ª vez que estacionar em local proibido?
21) A probabilidade de um arqueiro não acertar o alvo com uma flecha é 1/5. O
arqueiro vai atirar flechas até acertar o alvo. Qual é a probabilidade dele acertar o
alvo na 4ª tentativa?
Distribuição de Pascal
22) Uma moeda viciada quando lançada 5 vezes ocorrem 4 coroas. Qual a
probabilidade de ocorrer a 3ª cara no oitavo lançamento desta moeda?
23) Qual a probabilidade da moça do exercício 19 aceitar o 5º convite para dançar
no 10º pedido do rapaz?
24) Qual é a probabilidade do motorista do exercício 20 receber a 4ª multa na 12ª
vez que estacionar em lugar proibido.
25) A probabilidade de que um sinaleiro esteja verde é 20%. Qual a probabilidade
de que seja necessário passar pelo local 10 vezes até encontrar o sinal verde pela
4ª vez?
Você decide qual distribuição utilizar
26) Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 bolas pretas.
a) Qual a probabilidade de que de 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3
brancas?
b) Qual a probabilidade de que a 6ª bola retirada com reposição seja a 1ª branca?
c) Qual a probabilidade de que a 15ª bola extraída com reposição seja a 6ª branca?
d) Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no
máximo 2 brancas?
27) A probabilidade de um jogador errar um pênalti é 2%. Qual a probabilidade do
jogador:
a) fazer o gol na 3ª cobrança do pênalti?
b) executar 7 cobranças e fazer 4 gols?
28) O número de mortes por afogamento em fins de semana em cidades do litoral é
de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que numa cidade de
112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 mortes por afogamento?
29) Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com peças boas formando
um lote de 12 peças no total. Escolhendo aleatoriamente 4 dessas peças, determine
a probabilidade de encontrar:
a) pelo menos 2 peças defeituosas
b) no máximo 1 peça defeituosa
c) no mínimo 1 boa
30) Num certo processo de fabricação os artigos que apresentam algum defeito
tornam-se inadequados para venda. Sabe-se que em média 1 a cada 1000 desses
artigos apresentam defeitos. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória
de 8000 artigos contenha menos de 7 com defeito?
Respostas:
1) a) 0+; b) 0,0857; c) 0,0145; d) 0,3127
2) a) P(X = 15) = 3,5%;
b) P(X ≤ 13) = 83,3%; c) P(X ≥ 10) = 93,9% 3) 0,004% 4) a)P(X = 0) = 0,59%;
b) P(X = 3) = 13,96%; 5) a) 32,92% b) 8,78% 6) 3,24% 7) a) 2,16%; b) 12,96%
8) a) 22,41%; b) 65,8% 9) 19,52% 10) a) 87,53%; b) 16,06% 11) 57,49%
12) a) 97,88%; b) 0,25% 13) Aproximação da Binomial pela Poisson com λ = n.p =
200.50/1000 = 10: P(X ≥ 3) = 99,72% 14) a) Hipergeométrica: P(X ≥ 2) = 99,98%; b)
Binomial: P(X ≥ 2) = 99,95%; 15) P(X ≤ 3) = 97,60% 16) 0,359 17) 87,47%
18) 8,04% 19) 5,66% 20) 3,15% 21) 0,64% 22) 5,5% 23) 0,42% 24) 0,07%
25) 3,52% 26) a) Hipergeométrica: P(X = 3) = 29,33%; b) Geométrica: P(X = 6) =
6,55%; c) Pascal: P(X = 15) = 17,20%; d) Binomial: P(X ≤ 2) = 4,42%
27) a) Geométrica: 0,04%; b) Binomial: 0,03% 28) Poisson: 82,65% 29)
Hipergeométrica: N= 12, k= 3, n= 4 a) P(X ≥ 2) = 0,236; b) P(X ≤ 1) = 0,764; c) P(X
≤ 3) = 1 30) Aproximação da Binomial pela Poisson com λ = n.p = 8000/1000 = 8;
P(X < 7) = 31,34%
Exercícios extraídos dos livros:
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6 ed.
São Paulo: EDUSP, 2008.
MORETTIN, L. G. Estatística Básica. v. 1, 7 ed. São Paulo: MAKRON Books, 1999.
FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A. Curso de Estatística. 6 ed. São Paulo: Atlas,
1996.
FREUND, J. E.; SIMON, G. Estatística Aplicada. 9 ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.