Monografia de MA224 – Turma Z

Aluno: Dorival Natal Neto – RA: 043036
Professor: Fernando Torres
Monografia de MA224 – Turma Z
Comentário de uma passagem do artigo:
“Consecutive Integers with Equally Many Principal Divisors”
Authors: Roger B. Eggleton & James A. Macdougall
1) Resumo da proposta dos autores
Segue uma breve descrição sobre o estudo pelo qual se propuseram os autores.
A tese em discussão inicia-se com a definição do conceito de Principais Divisores.
Segundo consta no texto, os Principais Divisores de um dado número N, são todos os
primos distintos que dividem N. Por exemplo:

8 = 23 → como o número 8 apresenta apenas 1 primo distinto, ele possui
apenas 1 Principal Divisor (o número 2);

15 = 3*5 → como o número 15 apresenta 2 primos distintos, ele possui 2
Principais Divisores (os números 3 e 5);

42 = 2*3*7 → como o número 42 apresenta 3 primos distintos, ele possui 3
Principais Divisores (os números 2, 3 e 7);
Dessa forma definem-se conjuntos que agrupam os Principais Divisores Pn em que n
indica o número de Principais Divisores. Por exemplo:
Conjunto de números com apenas 1 Principal Divisor:
P1 = {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37...}
Conjunto de números com 2 Principais Divisores:
P2 = {6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28...}
Conjunto de números com 3 Principais Divisores:
P3 = {30, 42, 60, 66, 70, 78, 84, 90, 102, 105...}
E assim sucessivamente.
Em seguida os autores observam a presença de números consecutivos nos conjuntos
acima e definem uma notação compacta para identificar esses números. Segue a
maneira definida no texto:
a[r] → em que “a” índica o valor inicial e “r” indica o tamanho da fila. Por exemplo:



14[2] = {14, 15}
38[3]= {38, 39, 40}
54[5]={54, 55, 56, 57, 58}
O texto define também que se “r” for maior ou igual a 2 a seqüência de números é dita
Não Trivial.
Ao final da introdução os autores definem r(n) como sendo a quantidade máxima de
números consecutivos e explicitam que o principal objetivo do texto é definir r(2), ou
seja, definir a máxima seqüência de consecutivos presente no conjunto de números
com 2 Principais Divisores.
No passo seguinte os autores enunciam o Teorema 1: “Não há uma fila de 10 números
inteiros e consecutivos em P2.”
Para provar esse Teorema os autores fizeram o uso do Teorema de Størmer e da
Equação de Pell. Como a proposta do texto não era detalhar o Teorema de Størmer
nem a Equação de Pell, os autores fizeram uma breve descrição dessas ferramentas e
se preocuparam mais com a aplicação do que com um desenvolvimento didático delas.
Pensando nisso, o comentário que eu proponho nessa apresentação visa tornar mais
claros tanto o Teorema de Størmer quanto a Equação de Pell por meio da resolução de
um exemplo.
2) Exemplificando o Teorema de Størmer e a Equação de Pell
Conforme é definido em teoria dos números, um positivo inteiro é chamado de Bsmooth se nenhum de seus fatores primos é maior que B. Sabendo disso, vamos
encontrar os 10 pares consecutivos de {2, 3, 5} - smooth. Chamando nosso conjunto de
P = {2, 3, 5} vê-se que há 8 números P-smooth que não possuem quadrado perfeito (q
= 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30).
Segundo o método de Lehmer [9] os números consecutivos podem ser encontrados
por meio da Equação de Pell: x2 – 2qy2 = 1
Para cada número q (exceto em q = 2), a equação acima irá gerar soluções xi, yi com i
variando segundo a equação: [1, Max(3, (pk+1)/2)] em que pk é o maior dos primos do
conjunto P. No nosso exemplo teremos:
Max(3, (5+1)/2) = 3; Portanto os pares de soluções de nossa equação serão (x1,y1),
(x2,y2), (x3,y3).
Lehmer mostra que todos os pares consecutivos dos números P-smooth são da forma
(xi - 1)/2, (xi + 1)/2. Dessa forma podem-se encontrar os pares de solução por meio do
teste dos números q.
Seguindo nosso exemplo com o conjunto P = {2, 3, 5} temos:
 Para q = 1, as primeiras 3 soluções da equação de Pell x2 - 2y2 = 1 são (3,2), (17,12), e
(99,70). Para cada um dos valores de xi = 3, 17 e 99, testam-se os pares (xi - 1)/2, (xi + 1)/2
conforme o Método de Lehmer. Os 3 pares a serem testados são (1,2), (8,9) e (49,50).
Desses pares, (1,2) e (8,9) são números pares consecutivos P-smooth. (49, 50) não é, pois
49 tem o fator primo 7.
 Para q = 3, as primeiras 3 soluções da equação de Pell x2 - 6y2 = 1 são (5,2), (49,20), e
(485,198). Para cada um dos valores de xi = 5, 49 e 485, testam-se os pares (xi - 1)/2, (xi +
1)/2 conforme o Método de Lehmer. Os 3 pares a serem testados são (3,2), (25,24) e
(243,242). Desses pares, (3,2) e (25,24) são números pares consecutivos P-smooth, mas
(243, 242) não é.
 Para q = 5, as primeiras 3 soluções da equação de Pell x2 - 10y2 = 1 são (19,6),
(721,228), e (27379,8658). A solução de Pell (19,6) leva ao par de números consecutivos
(9,10). As outras duas soluções não são pares P-smooth.
 Para q = 6, as primeiras 3 soluções da equação de Pell x2 - 12y2 = 1 são (7,2), (97,28), e
(1351,390). A solução de Pell (7,2) leva ao par de números consecutivos (3,4). As outras
duas soluções não são pares P-smooth.
 Para q = 10, as primeiras 3 soluções da equação de Pell x2 - 20y2 = 1 são (9,2), (161,36),
e (2889,646). A solução de Pell (9,2) leva ao par de números consecutivos (4,5) e a solução
(161,36) leva ao par (80,81). A outra solução não é par P-smooth.
 Para q = 15, as primeiras 3 soluções da equação de Pell x2 - 30y2 = 1 são (11,2),
(241,44), e (5291,966). A solução de Pell (11,2) leva ao par de números consecutivos (5,6).
As outras duas soluções não são pares P-smooth.
 Para q = 30, as primeiras 3 soluções da equação de Pell x2 - 60y2 = 1 são (31,4),
(1921,248), e (119071,15372). A solução de Pell (31,4) leva ao par de números
consecutivos (15,16). As outras duas soluções não são pares P-smooth.
Dessa forma, espero ter exemplificado de forma clara a aplicação do Teorema de
Størmer e da Equação de Pell – ferramentas fundamentais para o entendimento do
estudo em questão.