teoria - Prof. Anselmo

Planejamento e Otimização de
Experimentos
Metodologia de Superfície de Resposta
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
[email protected]
Visão geral
matemáticas
técnicas
estatísticas
modelar
analisar
resposta
muitas variáveis
Objetivo

otimizar a resposta
superfície de resposta
resposta esperada
Resposta esperada
Resposta esperada
Resposta esperada
Modelos

Resposta modelada de modo adequado
por uma função linear das variáveis
independentes
modelo de 1ª ordem

Se há uma curvatura no sistema:
polinômio de grau maior
modelo de 2ª ordem
Modelos
mínimos quadrados
parâmetros do polinômio
análise da superfície de resposta
Modelos

os modelos dos parâmetros podem ser
estimados de modo mais efetivo se
planejamentos experimentais adequados
são utilizados
planejamentos de superfície de resposta
Planejamento de superfície de
resposta

natureza sequencial
condições de operação
caminho
condição ótima
Natureza sequencial da RSM

Procedimento sequencial

O objetivo é conduzir, de
modo rápido e eficiente,
ao caminho em ascensão
em direção à vizinhança
do ótimo

Modelo de 1a ordem

Modelo de 2a ordem

Subir o morro
Exemplo
Como encontrar as condições ótimas para
o tempo, t, e a temperatura, T, que
resultam em um maior rendimento para
um processo?

Condições iniciais:
t = 75 min
T = 130 oC
s = 1,5

Planejamento de 1ª ordem
t = 70 e 80 min
T = 127,5 e 132,5 oC
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais
experimento
t /min T /oC
y /g
1
70
127,5
54,3
2
80
127,5
60,3
3
70
132,5
64,6
4
80
132,5
68,0
5
75
130
60,3
6
75
130
64,3
7
75
130
62,3
ordem: 5,4,2,6,1,7,3
variáveis codificadas, x1 e x2
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais

Modelo

Ajuste dos mínimos quadrados

Inclusão do erro a partir de 
𝒃𝟏𝟐(𝝈)
como 𝑏12 < 𝜎 ⇒ 𝑏12 ≈ 0. Ou seja, o modelo planar supõe que os efeitos
das variáveis são aditivos
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais
Os efeitos calculados nessa regressão
correspondem ao dobro dos valores dos
coeficientes



t = 4,7
T = 9,0
t x T = -1,3
Verificação da curvatura

Estimativa da curvatura da superfície, Ec
𝐸𝑐 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑝𝑐
média dos pontos
do fatorial 22
experimento
t /min
T /o C
y /g
1
70
127,5
54,3
2
80
127,5
60,3
3
70
132,5
64,6
4
80
132,5
68,0
5
75
130
60,3
6
75
130
64,3
7
75
130
62,3
𝑦𝑝𝑐 = 62,30
média dos
pontos centrais
Verificação da curvatura

Com  = 1,5
𝑉 𝐸𝑐 = 𝑉 𝑦𝑓 − 𝑦𝑝𝑐 = 𝑉 𝑦𝑓 + 𝑉 𝑦𝑝𝑐 =
=
2
𝜎
𝑁𝑓
1,5
4
+
2
+
𝑉 𝐸𝑐 = 1,31 → 𝑠𝑐 = 1,15

Logo,
não há motivo para questionar
a adequação do modelo planar
𝜎
𝑁𝑝𝑐
1,5
3
2
2
Estimativa do erro experimental

considerando as replicatas no ponto central



sc = 2,0 com uc = 2
 = 1,5 (série histórica)
Equação ajustada do modelo
Estimado x Observador
Resíduos
Superfície de resposta

Octave

Gráficos 3D
>
>
>
>
x1=-1:0.1:1;
x2=x1;
[X1,X2]=meshgrid(x1,x2);
y=62.01+2.35.*X1+4.5.*X2;
plot3
> plot3(x1,x2,y)
mesh
> mesh(x1,x2,y)
meshc
> meshc(x1,x2,y)
meshz
> meshz(x1,x2,y)
surf
> surf(x1,x2,y)
surf
> shading interp
surfc
> surfc(x1,x2,y)
contour
> contour(x1,x2,y)
surface
> surface(x1,x2,y)
Representação Gráfica: 4D
Impressão
> help print
>
>
>
>
title(“Modelo Linear”)
xlabel(“x1”)
ylabel(“x2”)
zlabel(“y”)
> print –color –djpg linear_mesh.jpg
> print –deps linear_mesh.eps
Caminho em ascensão
perpendicular
às linhas
de contorno
Caminho em ascensão
caminho em ascensão
x2
região da superfície
de 1ª ordem ajustada
x1
Caminho em ascensão

Nas unidades do planejamento
Ou seja, 1,91 unidades de x2 para cada 1,0 unidade de x1
centro
caminho
em ascensão
x1
x2
t
T
experimento
yobs
0
0
75
130
5,6,7
62,3
1
1,91
80
134,8
8
73,3
2
3,83
85
139,6
3
5,74
90
144,4
10
86,8
4
7,66
95
149,1
5
9,57
100
153,9
9
58,2
Caminhar na superfície
Antes de caminhar na superfície de
um modelo de 1ª ordem deve-se
obter uma estimativa do erro
 verificar as interações
 verificar a curvatura

2º planejamento

Melhor condição: experimento 10
Logo, planejamento fatorial 22 próximo ao
experimento 10, com dois pontos centrais
t = 90 min
T = 145 oC

Variáveis codificadas
2º planejamento
x1
x2
t
T
experimento
yobs
-1
-1
80
140
11
78,8
1
-1
100
140
12
84,5
-1
1
80
150
13
91,2
1
1
100
150
14
77,4
0
0
90
145
15
89,7
0
0
90
145
16
86,8
22
pontos
centrais
Modelo de 1ª ordem
o intervalo de confiança
não inclui o zero  b12  0
t x T = -9,76 >>  = 1,5
modelo aditivo não se aplica
Análise da curvatura
Ec  0
Logo, o modelo de 1ª ordem é inadequado para representar
a função resposta local
Estimativa do erro
Pontos centrais: sc = 2,05 com u2 = 1
 Estimativa conjunta dos dois planejamentos

estimativa inicial com base
na série histórica era de 1,5
Modelo de 2ª ordem
06 Parâmetros: b0, b1, b2, b11, b22 e b12
05 Níveis: --, -+, +-, ++, 00
Como o número de parâmetros é maior que o número de
níveis, é necessário ampliar o planejamento
Planejamento Estrela
Planejamento estrela
l
Planejamento estrela

O modelo inicial é melhorado com um
planejamento estrela


20
04 pontos axiais
02 pontos centrais
13
14
15,16
18
17
21,22
11
12
19
Planejamento estrela
x1
x2
t
T
experimento
yobs
-2
0
76
145
17
83,3
2
0
104
145
18
81,2
0
-2
90
138
19
81,2
0
2
90
152
20
79,5
0
0
90
145
21
87,0
0
0
90
145
22
86,0
Construindo a matriz de planejamento com os experimentos 11 a 22,
a equação resultante para o modelo ajustado é
Estimativa do erro

erro dos coeficientes


b0 = 0,75
b1, b2, b11, b22 e b12 = 0,53

Pontos centrais: sc = 0,5 com uc = 1

Estimativa conjunta
s = 1,78 com u =4
Modelo

Como b2 = 0,36  0,53 , significa que b2 pode
ser aproximado ao ruído. Desse modo, a
equação resultante é
mesh
surf
surf
surfc
contour
79,5
91,2
x2
77,4
81,2
83,3
87,4
78,8
84,5
81,2
x1
1º planejamento:
T e  t  y
2º planejamento:
T e  t  y
Análise de superfície de resposta
de 2ª ordem

Quando o experimento está próximo do
ótimo e é descrito por uma função de 2ª
ordem
Como localizar os pontos estacionários?
Localização dos pontos
estacionários

Ponto estacionário
Seja ∅ 𝑋 uma função diferenciável e contínua
para 𝑋 ∈ 𝐷, uma região em Rn

Definição
Um ponto 𝑋0 ∈ 𝐷 é um ponto estacionário para
∅ 𝑋 se 𝛻∅ 𝑋0 = 0.
Isso é, se
𝜕∅
𝜕𝑥𝑘
𝑋0 =
𝜕∅
𝜕𝑥𝑘
𝑥0,1 , 𝑥0,2 , … , 𝑥0,𝑛 = 0,
𝑘 = 1,2, … , 𝑛
Localização dos pontos
estacionários
coordenadas do ponto estacionário

Ponto estacionário



resposta máxima
resposta mínima
ponto de cela
superfície de resposta
Ponto estacionário para o
exemplo de 2ª ordem
Modelo
Máximo fora
da região do
planejamento
Superfície de resposta
y
x2
x1
Superfície de resposta
89,307
ponto
estacionário
x2
x1
Localização dos pontos
estacionários
Modelo
y = 87,375 − 1,38𝑥1 − 5,14𝑥12 − 2𝑥22 − 2𝑥1 𝑥2
 Gradientes
𝜕𝑦
= −1,38 − 10,28𝑥1 − 2𝑥2 = 0
𝜕𝑥1
𝜕𝑦
= −4𝑥2 − 2𝑥1 = 0
𝜕𝑥2
 raízes
𝑥1 = 0,074
𝑥2 = −0,149
𝑦 = 87,478

Localização dos pontos
estacionários
𝒚
𝒙𝟏
𝒙𝟐
Localização dos pontos
estacionários
>
>
>
>
>
x1=-1:.05:1;
x2=x1;
[X1,X2]=meshgrid(x1,x2);
y=87.375-1.38.*X1-5.14.*X1.*X1-2.*X2.*X2-2.*X1.*X2;
surf(X1,X2,y)
>
>
>
>
>
contour(X1,X2,y)
hold on
X1=-1.38/18.56*2
X2=1.38/18.56
plot(X1,X2)
Localização dos pontos
estacionários
𝐲
𝒙𝟐
87,023
𝒙𝟏
Diferentes superfícies
máximo
Diferentes superfícies
ponto de cela
Diferentes superfícies
mínimo
Diferentes superfícies
máximos
Diferentes superfícies
Multiple Response Optimization

Desirability Objective Function


It is one of the most widely used methods in
industry for the optimization of multiple
response processes
For each response 𝑦𝑖 𝑥 , a desirability function
𝑑𝑖 𝑦𝑖 assigns numbers between 0 and 1 to the
possible values of 𝑦𝑖


𝑑𝑖 𝑦𝑖 = 0 represents a completely undesirable value of
𝑦𝑖
𝑑𝑖 𝑦𝑖 = 1 represents a completely desirable or ideal
response value
Multiple Response Optimization

The individual desirabilities are then combined
using the geometric mean, which gives the
overall desirability
1
𝑛
𝐷=
𝑛
𝑑𝑖 𝑦𝑖
𝑖=1
with n denoting the number of responses
 It determines the best combination of responses
Multiple Response Optimization

The desirability approach consists of the
following steps



Conduct experiments and fit response models for all n
responses
Define individual desirability functions for each
response
Maximize the overall desirability D with respect to the
controllable factors
Planejamentos experimentais para
ajustar superfícies de respostas

Modelos de 1ª ordem ortogonais

Simplex (simplex design) p/ k variáveis
𝒌
𝒚 = 𝒃𝟎 +
𝒃𝒊 𝒙𝒊 + 𝒆
𝒊=𝟏
k=2
k=3
Modelos de 2ª ordem

planejamentos com pontos centrais
(PPC), ou central composite design




Fatorial 2k (ou fracionário de resolução V)
nf experimentos
2k experimentos axiais ou estrela
nc pontos centrais
k=2
k=3
Modelos de 2ª ordem

rotabilidade: modelo deve girar

𝑽 𝒚 𝐗 é a mesma em todos os pontos, X, que
estão à uma mesma distância do centro do
planejamento

𝜶 = 𝟒 𝒏𝒇 , onde nf é o número de pontos
usados na porção fatorial do planejamento
Modelos de 2ª ordem
circunscrito
face centrada
inscrito
nf = 4  𝛼 = 2 ≅ 1,4
Modelos de 2ª ordem
Modelos de 2ª ordem

Planejamento Box-Behnken


esfera de raio 2
não contém pontos nos vértices

pode ser vantajoso em termos de custo e em
regiões proibitivas
Modelos de 2ª ordem

Planejamento BoxBehnken é o mais
usado para
planejamentos
fatoriais em três
níveis, sendo possível
para mais do que três
variáveis
independentes.
• 12 pontos nos centros das arestas
• 3 pontos centrais
Modelos de 2ª ordem

Ensaios
X1
X2
X3
-1
-1
0
1
-1
0
-1
1
0
1
1
0
-1
0
-1
1
0
-1
-1
0
1
1
0
1
0
-1
-1
0
-1
1
0
1
-1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Modelos de 2ª ordem

Cuboidal

Planejamento com pontos centrais de face
centrada
Modelos de 2ª ordem

Equiradiais
x2
hexágono
x1
Modelos de 2ª ordem
x2
pentágono
x1
Planejamento Simplex

Simplex simples

3 vértices
x2
x1
Planejamento Simplex

Simplex simples

3 vértices
pior
próximo
melhor
reflexão
Planejamento Simplex
Planejamento Simplex
Planejamento Simplex

4 vértices
x2
x1
x3
Simplex Modificado
começo
reflexão
reflexão e expansão
contração
contração múltipla
Simplex Modificado
contração múltipla
começo
contração
reflexão
expansão
Simplex Modificado
Simplex na superfície