Aula 2 - DC

Introdução à
Computação Quântica
Aula 2 – Computação quântica: princípios matemáticos e físicos
Renato de Oliveira Violin
José Hiroki Saito
Departamento de Computação - UFSCar
Conteúdo
Bits quânticos (qubits).
Princípio de Superposição de estados.
Álgebra linear.
Emaranhamento.
Postulados da mecânica quântica.
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Bits quânticos (qubits)
Da mesma forma que na computação clássica, na
computação quântica precisamos armazenar,
buscar e processar a informação.
Como já vimos na aula anterior, na computação
clássica utilizamos o bit para armazenar a
informação, além de nos dar um tipo de abstração
matemática para manipulá-los.
Da mesma forma que temos uma abstração com o
bit no computador clássico, fazemos também com
os bits no computador quântico, que são chamados
qubits.
Bits quânticos (qubits)
Os bits quânticos (qubits) são tratados como
objetos matemáticos e representados por
vetores.
Os dois estados possíveis, na base
computacional, de um qubit são 0 e 1 .
A representação vetorial dos qubits são:
 1
0 =  
 0
0
1 =  
1
2
Bits quânticos (qubits)
Podemos ver que esses dois vetores formam
uma base ortonormal de um espaço vetorial
de dimensão 2 ou seja, eles são ortogonais
(com produto interno igual a zero) e unitário
(com norma igual a 1).
Verificaremos essas duas propriedades no
exemplo 1.
Bits quânticos (qubits)
Um estado arbitrário é representado por
ψ =α 0 + β 1
onde α e β são números complexos. Os
números α 2 e β 2 são as probabilidades do
estado ψ ser 0 ou 1 (notação de Dirac),
depois que uma medida for realizada.
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Bits quânticos (qubits)
Uma forma muito útil para a visualização do
estado de um qubit é a Esfera de Bloch, que
nos fornece uma representação do estado de
um qubit em três dimensões.
Dado um estado arbitrário
ψ =α 0 +β 1
a sua representação na Esfera de Bloch é
feita por um vetor de três dimensões:
Bits quânticos (qubits)
x 
cos ϕ sen θ 
 


y  =  sen ϕ sen θ 
 


 


z 
 cos θ 
( )
( )
θ = 2 arccos α = 2 arcsen β
ϕ = arg (β ) − arg (α )
γ = arg (α )
Exemplo 2.
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Bits quânticos (qubits)
Esfera de Bloch.
Princípio de Superposição de
estados
Imagine um bit como uma moeda. As duas
faces, cara e coroa, representam os dois
estados possíveis, 0 e 1. Ao lançarmos essa
moeda e, depois verificando qual seu estado,
a encontraremos no estado “cara” ou “coroa”
(“0” e “1”), ou seja, a moeda só pode ser
“cara” ou “coroa”, da mesma forma que um
bit só pode estar em 0 ou 1 em um dado
momento.
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Princípio de Superposição de
estados
Considere agora uma “moeda quântica”
representando um qubit. Com o princípio de
superposição, ao lançarmos essa moeda, ela
poderá ser “cara” e “coroa” ao mesmo tempo,
isto é, ela poderá estar nos dois estados
possíveis simultaneamente. Assim, quando
afirmamos que um dado qubit está em
superposição, significa que esse qubit pode
ser 0 e 1 ao mesmo tempo.
Princípio de Superposição de
estados
A representação matemática para esse princípio é:
ψ =α 0 +β 1
onde ψ é o estado em superposição, α e β são
números complexos, cujo quadrado das normas
representam as amplitudes das probabilidades,
como segue:
a
2
e β
2
tal que
2
2
α +β =1
Exemplo 3
6
Álgebra linear
Álgebra linear
Vetor dual é o vetor obtido transpondo o
vetor u e conjugando seus componentes.
O vetor dual é também conhecido como bra,
e é representado pelo símbolo
.
u = u
†
= u1∗, u2∗,..., un∗ 


Exemplos 4 e 5.
7
Álgebra linear
O produto interno toma como entrada dois
vetores e produz um número complexo como
saída.
α 
 1
u =  ⋮ 
 
αn 
e
β 
 1
α ∗,... , α∗   ⋮  = u × v

 1
n  
 
βn 
= u v
β 
 1
v =  ⋮ 
 
 βn 
Exemplo 6.
Álgebra linear
Um operador A é um operador linear se
A: V → W,
onde V e W são espaços vetoriais complexos e,





A ∑ αi vi  =

 i
∑ αi A ( vi )
i
Em computação quântica é mais comum
descrevermos os operadores na forma de matriz.
Exemplo 8.
8
Álgebra linear
A matriz adjunta é obtida conjugando todos
os elementos de A e, em seguida, formando
a matriz transposta dos elementos
conjugados:
T
( )
A† = A∗
Exemplo 9.
Álgebra linear
A matriz U é unitária (operadores unitários
normalmente são representados por U) se:
U −1 = U †
Ou
UU † = U †U = I
Exemplo 11.
9
Álgebra linear
Uma matriz hermitiana A possui a seguinte
propriedade:
A = A†
Exemplo 12.
Álgebra linear
O produto externo, ou produto vetorial, é
definido como um operador linear A que realiza a
seguinte operação:
(u
v
)( w ) =
u v w = v w u
Este resultado pode ser interpretado como:
u v
O resultado do operador linear
O resultado da multiplicação de u
atuando sobre w
por v w .
Na forma matricial, u v pode ser representado
como:
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Álgebra linear
u 
 1
u v = u2 
 
 ⋮ 
v ∗ v ∗
2
 1
u v∗ u v∗
1 2
 11
 ∗
∗
u2v1 u2v2

… = 

 ⋮
 ∗
un v1 un v2∗

⋯ u1vn∗ 

⋯ u2vn∗ 

⋱


⋯ un vn∗ 

Álgebra linear
Os projetores são um tipo de operador
utilizados para realizar as medidas sobre os
qubits. Um projetor pode ser representado
por uma somatória de produtos externos:
n
P = ∑ ui ui
ì =1
= u1 u1 + u2 u2 + ... + un un
Exemplos 13 e 14.
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Álgebra linear
Produto tensorial é uma maneira de juntar
espaços vetoriais para formar espaços
vetoriais maiores.
O produto tensorial pode ser escrito de
diferentes formas:
u ⊗ v = u
v = u , v = uv
Exemplos 15 e 16.
Emaranhamento
Vejamos duas definições de autores diferentes:
“Emaranhamento é a capacidade de pares de
partículas interagirem a qualquer distância
instantaneamente.”
“Um processo atômico que produz fótons gêmeos e
que são emitidos em direções contrárias, e devem ter
polarizações ortogonais. Quando um dos fótons
atravessa um polarizador (adquirindo a polarização
correspondente), simultaneamente o fóton gêmeo
(sem ter atravessado nenhum polarizador) adquire a
polarização ortogonal.”
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Postulados da mecânica
quântica
Podemos pensar nos postulados da
mecânica quântica como um conjunto de
regras apropriadas para descrever os
eventos microscópicos.
Vamos descrever essas regras de forma
resumida, pois elas já estão implícitas nas
operações da computação quântica.
Postulados da mecânica
quântica
Postulado 1 – Espaço de estados
A qualquer sistema físico isolado existe
associado um espaço vetorial complexo com
produto interno (ou seja, um espaço de
Hilbert), conhecido como espaço de estados
do sistema. O sistema é completamente
descrito pelo seu vetor de estado, um vetor
unitário no espaço de estados.
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Postulados da mecânica
quântica
Postulado 2 – Evolução
A evolução de um sistema quântico fechado
é descrita por uma transformação unitária.
ψ ' =U ψ
Postulados da mecânica
quântica
Postulado 3 – Medidas quânticas
As medidas quânticas são descritas por
determinados operadores de medida Pm.
p(m) = ψ Pm ψ
Após a medida, o sistema será:
Pm ψ
p(m)
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Postulados da mecânica
quântica
Postulado 4 – Sistemas compostos
O espaço de estados de um sistema físico
composto é o produto tensorial dos espaços
de estados dos sistemas físicos individuais
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