Fisica III.indd - Assessoria de Educação a Distância

FÍSICA GERAL III
FRANKLIN
(1706-1790)
Benjamin Franklin,
nasceu em Boston,
na Filadélfia.
Líder da revolução
americana, é
conhecido por
suas citações e
experiências com
eletricidade.
Estudou a repulsão
e atração de
cargas elétricas,
introduziu o
conceito de um
único fluido
elétrico e foi
o inventor do
pararraios. Em 15
de junho de 1752,
comprovou que
o raio é apenas
uma corrente
elétrica de grandes
proporções.
álgEBra linEar
Editora da Universidade Estadual de Maringá
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Prof. Dr. Mauro de Lima Santos
COORDENADORA DO CURSO DE FÍSICA À DISTÂNCIA
Profa. Dra. Fátima Nazaré Baraúna Magno
Este material foi gentilmente cedido pela UEM Universidade
Estadual de Maringa, para o uso restrito da Licenciatura em Física
na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.
Formação de Professores EM FÍSICA - EAD
Ivair Aparecido dos Santos
João Mura
Mauricio Antonio Custodio de Melo
FÍSICA GERAL III
Maringá
2010
12
Coleção Formação de Professores em Física - EAD
Apoio técnico: Rosane Gomes Carpanese
Normalização e catalogação: Ivani Baptista - CRB 9/331
Revisão Gramatical: Perseu Angelo Santoro
Projeto Gráfico: Carlos Alexandre Venancio
Edição e Diagramação: Renato William Tavares
Capas: Arlindo Antonio Savi
Kellis Germano de Freitas
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
M972f
Mura, João
Física geral III / João Mura, Maurício, Antonio Custodio Melo, Ivair Aparecido dos
Santos. -- Maringá: Eduem, 2010.
144p. il. (Formação de professores em física – EAD; v.12)
ISBN: 978-85-7628-239-6
1. Física geral. I. João Mura. II. Melo, Maurício Antonio Custodio de. III. Santos, Ivair
Aparecido dos.
CDD 21. ed. 530
Copyright © 2010 para o autor
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo
mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos
reservados desta edição 2010 para Eduem.
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S umário
Sobre os autores ................................................................................... 5
Apresentação da coleção ..................................................................... 7
Apresentação do livro ........................................................................... 9
1 Carga Elétrica.........................................................................................11
2 Campo Elétrico .................................................................................... 23
3 lei de gauss .........................................................................................31
4 potencial Elétrico ................................................................................. 39
5 Capacitência ....................................................................................... 49
6 Corrente e resistência ........................................................................ 67
7 Campo Magnético .............................................................................. 89
8 lei de ampère ....................................................................................103
9 lei de indução, de Faraday ................................................................117
10 indutância .........................................................................................133
11 referências .......................................................................................144
3
S obre os autores
Ivair Aparecido dos Santos
Possui graduação em Física (Licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de
Maringá (1994). Obteve seu Mestrado em 1997 na Universidade Estadual de Campinas. Em
2001 terminou o seu doutorado em Física na Universidade Federal de São Carlos, onde,
na sequência, realizou um estágio de pós doutoramento. Desde 2002 é professor do
Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá e atualmente ocupa o cargo de
Professor Adjunto.
João Mura
Possui graduação em Física (licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de
Campinas (1975) e graduação em Direito pela Universidade Estadual de Maringá (1983). O prof.
Mura obteve sua especialização em Ensino de Física Experimental (1979), mestrado (2000) e
doutorado em Física (2005) pela Universidade Estadual de Maringá. Desde 1976 é professor do
Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá. Atualmente ocupa o cargo de
Professor Associado.
Mauricio Antonio Custodio de Melo
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1987), mestrado em FísicoQuímica pela Universidade Federal de Santa Catarina (1990), doutorado em Ciências Naturais
– Física pela Technische Universität Braunschweig na Alemanha (1995) e realizou um pósdoutorado no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1995-1997). Professor da Universidade
Estadual de Maringá desde 1997, sendo atualmente Professor Associado.
5
A presentação da Coleção
EmborarelativamenterecentenoBrasil,aEducaçãoaDistânciafoiimaginadaeimplantada com relativo sucesso, há muito tempo em diversas partes ao redor do mundo.
Já em 1833, na Suécia, uma publicação se referia ao ensino por correspondência, e
poucos anos depois, na Alemanha, foi fundada a primeira escola por correspondência
destinadaaoensinodelínguas.Comoadventodatransmissãoradiofônica,asfacilidadessetornaramreaiseastrocasdeinformaçõesseagilizarame,consequentemente,
aEducaçãoaDistânciaexperimentouumcrescimentosignificativo.Fatosemelhante
ocorreucomaevoluçãodossetoresdecomunicaçãotelevisiva,edefinitivamente,a
Educação a Distância se consolidou incorporando novas formas de comunicação.
O Ministério da Educação, através da Secretaria de Educação a Distância (SEED)
tem promovido uma ampla difusão de vários cursos a distância, em parceria com diversas Instituições Públicas de Ensino Superior (IPES). O curso de Física em EAD da
UniversidadeEstadualdeMaringá(UEM)foiimplantadocomtotalapoiodessesórgãosoficiais.Possuidisciplinasidênticaseomesmoconteúdoprogramáticodocurso
presencial.
Entretanto, existem pontos entre ambos, que não podem convergir devido ao
enfoque: enquanto o curso presencial requer uma metodologia característica, com
a relação professor-discente acontecendo quase que exclusivamente dentro de um
espaçofísicopróprio,ocursoadistânciadeveabrangereconsiderararelaçãoespaçotemporal para efetivar o aprendizado. A coleção que ora apresentamos reflete essa
preocupação. Os volumes foram escritos por professores que possuem experiência
suficienteparaelaboraroconteúdoadequadoacadadisciplinae,deformabastante
consistente,elegerostópicosexigidosparaaformaçãodeumlicenciadoemFísica.O
leitorperceberáque,mesmodentrodeumúnicolivroescritopordiversosautores,
a linguagem não é uniforme e os enfoques são diferenciados; enfim, preservamos
tantoquantopossívelasparticularidadesrespeitando-seasexperiênciasindividuaise,
certamente,issoserefletenaapresentaçãodoconteúdoenoestilodeexposiçãodo
7
FÍsiCa gEral iii
material didático.
Adicionalmente uma parcela do corpo docente do Departamento de Física – UEM
tem se dedicado à tarefa de produção de textos direcionados a Educação a Distância,
os Departamentos de Matemática, de Química, de Fundamentos da Educação e de
Informáticatêmcontribuídocomostextospertinentesàsdisciplinasqueusualmente
ministramnamodalidadePresencial.Aofinaldoquartoano,acoleçãocontarácom
maisdetrintavolumes.Essesforamgeradoscomoobjetivodeproporcionaraodiscente da Educação a Distância um material produzido pelo empenho de um conjunto
deprofessoresqueacreditamqueaEducaçãoaDistânciasejaumaalternativapara
supriradeficiênciadeprofessoresdeFísicanoensinomédio.Percebe-setambémque
nãoéamodalidadedeensinoquedeterminaoaprendizado,maseledepende,acima
detudo,doesforçoedadedicaçãodecadaum.Esperamosqueessacoleçãosejauma
forma de tornar essa tarefa mais fácil de Física em EAD.
Sonia Maria Soares Stivari
Organizadora da Coleção
8
A presentação do livro
Física,instrumentoparaentendimentodomundoquevivemos,possuiumagrande
belezaconceitual,emquenamaioriadoscasossópodeserrealmenteentendidaquando
do uso do instrumental matemático. No curso de física Geral III você vai se deparar frequentementecomoperaçõesvetoriais,derivadas,integraisdesuperfícieedelinhaeoutrosinstrumentosmatemáticos.Émuitoimportantequevocêsaibausarcomdestrezao
instrumentalmatemáticoparaumbomentendimentodosconceitosaquiapresentados.
Oeletromagnetismoclássicoaserestudadonestecursopodeserresumidoemquatroequaçõesfundamentais.EsteresumofoipropostopelograndefísicoJamesClerk
Maxwell,edenominam-seasequaçõesdeMaxwell.Elasrelacionamosvetorescampo
elétricoemagnéticoassuasfontes,quepodemsercargaselétricas,correntesoucampos
variáveiscomotempo.Apartirdessasequaçõesépossíveldemonstrartodasasleisfundamentaisdaeletricidadeedomagnetismo.AsequaçõesdeMaxwellexercemumpapel
noeletromagnetismoclássicocomparávelaodasleisdeNewtonnamecânicaclássica.
Emprincipio,qualquerproblemaclássicodeeletromagnetismopodeserresolvidousandoasequaçõesdeMaxwell,oqueenvolveumtratamentomatemáticosofisticado.As
equaçõesdeMaxwellsãofundamentaistambémparaoentendimentodasOndaseletromagnéticas,quetêmcomoexemploaluzvisível.Nossoobjetivoéchegaracompreensão
dasequaçõesdeMaxwell.Nãoseassuste.Paraissovamosutilizaralgunsconceitosjá
conhecidose,duranteocurso,aprofundarosnossosconhecimentosdoeletromagnetismo,edaprópriafísica.
Cadacapitulotemumasériedeexemplosresolvidos,quetêmointuitodemostrara
você a aplicação dos conhecimentos estudados. Todos eles precisam analisados e refeitos
porvocêcommuitaatençãoparaquevocêpossaassimilarosconceitosalidiscutidos.
Ao final de cada capitulo existe um pequeno conjunto de Problemas. O Objetivo
desteconjuntodeproblemaséconduziroalunoaumaexperiênciadirigidadecompreensãoefixaçãodoconteúdoestudado.Você,aluno,temcomotarefafazertodosos
problemase,sepossível,compoucoauxilioexterno.Acompreensãoefixaçãotêmmaior
sucessoquandocadaumencaraatarefaproposta.
Porfim,osautoresdedicamestaobraàmemóriadaProfessoraDoutoraMarleteAparecidaZamprônio.Aela,nossahomenagempeloesforço,dedicaçãoe,principalmente,
amizadedemonstradosnosnossoslongosanosdetrabalhoeconvivência.
OS AUTORES
9
FÍsiCa gEral iii
10
1
Carga Elétrica
1.1
Um pouco de história - o átomo
1.2
Carga e Matéria - processos de Eletrização
1.3
lei de Coulomb
11
1
CARGA ELÉTRICA
1.1
Um Pouco de História – O Átomo
FÍsiCa gEral iii
Nossa aventura começa na cidade de Abdera, região da Trácia, porto marítimo
localizado na costa norte do mar Egeu, onde o lendário filósofo grego Leucipo, nascido
em 500 a.C., fora morar por volta de 478 a.C. Leucipo foi discípulo de Zenon e mestre
de Demócrito, sendo considerado o fundador da Escola de Abdera, que se notabilizou por
estudar um dos problemas fundamentais da Filosofia e da Ciência da época, ou seja: a
constituição da matéria que compõe o nosso Universo. A Escola de Abdera é considerada
a criadora da teoria atomística da matéria.
Muitas hipóteses a respeito da constituição do Universo foram formuladas. Thales
de Mileto propunha que o elemento fundamental constituinte da matéria seria a água,
dizendo que “tudo se compõe de água e tudo em água se dissolve”. Empédocles propôs
a teoria de que a matéria seria constituída de quatro elementos: água, ar, fogo e terra,
denominados de raízes, sendo constituídas de partículas que se achavam submetidas às
forças de atração e repulsão (amor e ódio), responsáveis pela constituição e decomposição
dos corpos, habitando, portanto, o mundo sublunar. Junto com Heráclito e Anaxágoras,
defendia o princípio da conservação e indestrutibilidade da matéria.
Aristóteles de Estagira viveu no século IV a.C., sendo considerado um dos maiores
sábios da antiguidade. Discípulo de Platão, outro gigante da cultura grega, adotava a
teoria dos quatro elementos à qual acrescentava um quinto elemento, o éter, elemento
imaterial que não teria peso e nem leveza, além de ser eterno e imutável. Não possuiria
movimento ascendente ou descendente e nem habitaria o mundo sublunar. Habitaria os
espaços celestiais, sendo o símbolo da perfeição. A visão Aristotélica do éter é entendida,
atualmente, como sendo o vácuo. No entanto, Aristóteles e seus discípulos, não aceitavam
a teoria atomística da matéria, propondo outra teria, denominada de teoria plena da
matéria, que dizia “ter a matéria uma estrutura perfeitamente contínua e poderia ser
subdividida para sempre, sem limite”. A teoria plena da matéria, juntamente, com a teoria
geocêntrica defendida por ele, perdurou por mais de 15 séculos, até serem enterradas pela
renovação das idéias ocorrida durante a Renascença.
Leucipo e Demócrito, discípulos da Escola de Abdera, diziam que o Universo era
constituído de duas coisas fundamentais, os átomos e o vazio, ou seja, de um agregado de
matéria e de um vácuo total. Acreditavam que as diversas espécies de matéria poderiam
ser subdivididas até atingirem um limite, além do qual nenhuma divisão seria possível.
Epicuro, quase 100 anos depois, batizou tais partículas indivisíveis de átomos. Diziam
também que as substâncias seriam diferentes porque seus átomos difeririam quanto à
forma ou pela maneira que estariam agregados, podendo ser mais duros ou mais maleáveis,
explicando nossas sensações de visão, audição, paladar, tato e olfato.
Outro discípulo da Escola de Abdera, Epicuro, nascido em Gargeta, cidade próxima
de Atenas, no ano de 341 a.C., retomou e ampliou as terias de seus mestres sob a constituição
do Universo, dizendo, dentre outras coisas, que: “nada vem do nada ou do que não existe,
pois se assim não fosse, tudo nasceria de tudo sem necessitar de sementes”; “há o vácuo,
pois se ele não existisse, criando o espaço e a extensão, não teriam os corpos um local
para estar, nem onde se movimentar”; “o universo é infinito pela grandeza do vácuo e
pela quantidade dos átomos, que se movem continuamente. Quando no vácuo, os átomos
12
possuem igual velocidade, pois supõe que nada os detenha, nem os mais pesados correm
mais que os mais leves, nem os menores que os maiores”; “os átomos não têm princípio
já que eles e o vácuo são a causa de tudo. Não tem nenhuma qualidade a não ser sua
configuração, a grandeza e o peso”.
É importante ressaltar que a Escola de Abdera já propunha o princípio da conservação
da matéria, a constituição da matéria por átomos, que seriam imutáveis, indivisíveis,
impenetráveis, invisíveis, possuindo movimentos próprios, além de propor a existência
do vácuo. Também indicava que os corpos poderiam existir como agregados de átomos ou
por átomos simples, afirmando ainda, que os átomos apresentavam certo peso.
Coube a Lucrécio, filósofo nascido em 95 a.C., difundir as idéias atomísticas da
Escola de Abdera entre os romanos, principalmente pelo seu livro intitulado “De Rerum
Natura”. As obras de Lucrécio foram muito difundidas na época do Renascimento,
principalmente por Pierre Gassend, solidificando a teoria atomística da matéria, em
substituição à teoria plena da matéria de Aristóteles. Coube a Proust e Dalton, no século
XVIII d.C., ao proporem as leis das proporções constantes e múltiplas, a aceitação geral
de que quando substâncias elementares se combinam, o fazem como entidades discretas
ou átomos. Finalmente, a ciência aceitou a teoria atomística (corpuscular) da matéria, que
é a teoria adotada neste livro.
1.2
Carga Elétrica
Carga e Matéria - Processos de Eletrização
A eletricidade e o magnetismo são fenômenos naturais conhecidos pelo homem desde
a antiguidade. Sabe-se que os antigos gregos, há mais de 25 séculos atrás, já conheciam a
atração elétrica que o âmbar, quando atritado, exercia sobre pequenos pedaços de palha.
Afinal, o nome grego do âmbar é elektron, daí, originando-se a palavra eletricidade.
Também, a palavra magnetismo, deriva do nome de uma região localizada na
Ásia Menor, chamada de Magnésia, onde os seus moradores conheciam uma pedra,
a magnetita, que tinha a propriedade de atrair minério de ferro, propriedade esta
denominada de magnetismo. A partir desse minério, os antigos chineses construíram as
primeiras bússolas, que tiveram papel decisivo no ciclo das grandes navegações, inclusive
no descobrimento do Brasil.
Entretanto, só a partir do século XVI da nossa era, é que os estudos da eletricidade
e do magnetismo começaram a se desenvolver de forma sistemática, mas ainda sem que
houvesse uma junção entre eles. Em 1820, Oersted observou uma conexão entre as duas
ciências, quando percebeu, acidentalmente, que ao passar uma corrente elétrica por um
fio ocorria a deflexão do ponteiro de uma bússola que estava próxima. Esta experiência
demonstrou que uma corrente elétrica podia gerar um campo magnético e vice-versa.
Nascia assim uma nova ciência, o eletromagnetismo, cuja influência no mundo moderno
é muito grande.
Os primeiros fenômenos de natureza elétrica conhecidos pelo homem eram de
natureza estática, isto é, não envolviam o movimento contínuo de cargas elétricas. Por
essa razão receberam o nome de fenômenos eletrostáticos, e serão tratados nesta parte
do curso.
Sabemos que a matéria é constituída por pequenas partículas chamadas de
átomos (teoria atomística da matéria) e, posteriormente, descobriu-se que cada átomo
é formado por uma parte central denominada de núcleo, onde se localizam os prótons
13
FÍsiCa gEral iii
Figura 1 – Modelo
atômico com núcleo
central.
e nêutrons, e por uma parte periférica, denominada de eletrosfera, onde se encontram
os elétrons. Atualmente, associamos aos prótons carga elétrica positiva e, aos elétrons,
carga elétrica negativa. Os nêutrons não possuem carga elétrica. Os termos, positivo e
negativo (convenção de sinais), foram introduzidos por Benjamin Franklin (1750), sendo
que, anteriormente, usavam-se termos com eletricidade atrativa, eletricidade do âmbar,
eletricidade repulsiva, etc.
O átomo é uma porção de matéria muito pequena. Seu diâmetro é da ordem de
-8
10 cm e seu núcleo é da ordem de 10-12 cm. No interior do átomo, onde não existe
matéria, existe vácuo. É como um sistema solar em miniatura, onde não existe a massa dos
planetas e do sol (do núcleo e dos elétrons), existe vácuo, que, aliás, é a parte dominante
dos sistemas, tanto do átomo quanto do sistema solar. O modelo atômico com núcleo,
proposto por Rutherford e adotado didaticamente neste livro, pode ser visualizado na
figura 1 ao lado.
Na época de Franklin, a carga elétrica era imaginada como se fosse um “fluido”
contínuo e não discreto. Hoje, sabemos que os próprios fluidos não são contínuos, mas
sim discretos, pois são formados por átomos e moléculas, portanto, o “fluido elétrico” não
é contínuo, mas composto por múltiplos de uma determinada carga elementar, ou seja,
qualquer carga q que pode ser observada e medida, pode ser escrita como q = n.e, onde n é
um número inteiro positivo ou negativo e e é a carga elementar. Sempre que uma grandeza
física, como a carga elétrica, existir apenas através de “unidades”, ao invés de aparecer de
forma “contínua”, diz-se que essa grandeza é quantizada.
A quantidade de carga associada a um próton é igual, em módulo, á quantidade de
carga associada a um elétron, denominada de carga elementar, simbolizada pela letra “e”,
sendo uma das constantes fundamentais do universo. Seu valor no Sistema Internacional
de Unidades (SI) é igual a “1,60 x 10-19 C”, não existindo no universo, carga menor do
que ela (quantização da carga).
Exemplo 1 – Uma moeda de cobre (Z=29) com m = 3,11 gramas é eletricamente neutra. Qual é
o valor da carga de cada espécie?
Solução:
Se a moeda é eletricamente neutra, ela possui igual quantidade de carga negativa e positiva
por átomo, ou seja, cada átomo contém 29 prótons (Z = número atômico) e 29 nove elétrons. A
moeda é composta por um número N de átomos, portanto, o módulo da carga q de cada espécie
(positiva ou negativa) é dado por q = N.Z.e, sendo e a carga elementar (e = 1,6 x 10-19 C). Para
saber o número de átomos que a moeda possui, deve-se usar a relação N = NA.m/A, onde NA é o
número de Avogrado (6,02 x 1023 átomos /mol), m é a massa da moeda e A é o número de massa
do isótopo mais estável do Cobre (A = 63,54 g/mol)1. Assim,
N = 2,95 x 1022 átomos
O valor total da carga positiva ou negativa (em módulo) é dado por,
q = 1,37. 105 C
Obs. A carga calculada é uma enorme carga elétrica, tanto negativa quanto positiva! Veja que a
carga negativa média espalhada sobre a superfície da Terra é de, aproximadamente, 5 x 105 C.
Na realidade, a moeda acumula uma carga desse valor em elétrons e em prótons, mas não individualmente, sendo que a carga total da moeda é nula. Observe que pequenos corpos possuem
imensas cargas elétricas.
1 Ver tabela periódica dos elementos químicos.
14
A matéria, de uma forma geral, é neutra, isto é, possui igual quantidade de carga
positiva e negativa em seus átomos e moléculas. Se certa substância está eletrizada é
porque a quantidade de prótons contidos nos núcleos é diferente da quantidade de elétrons
que ela possui na periferia destes.
A eletrização de corpos ocorre sempre com o ganho ou perda de elétrons, pois as
forças que os prendem ao núcleo são mais fracas sobre as últimas camadas de energia
(no caso de metais), bastando uma pequena quantidade de energia para deixá-los livres.
Assim, se um corpo está carregado positivamente, é porque está com falta de elétrons e,
se está carregado negativamente, é porque está com excesso de elétrons.
Os átomos com falta ou com excesso de elétrons são denominados de íons, positivos
ou negativos. O número de prótons no interior do núcleo atômico permanece sempre o
mesmo. O núcleo se comporta como uma bola compacta difícil de ser fracionada.
Carga Elétrica
a)
b)
c)
Figura 2 – a) ion negativo, b) Átomo neutro e
c) íons positivo. (o núcleo deste átomo é constituído de 3 protons e 3 neutrons)
A experiência mostra que ao se aproximar um corpo carregado positivamente
de outro também positivo, eles se repelem, enquanto que, ao se aproximar um corpo
carregado positivamente de outro corpo carregado negativamente, eles se atraem. Desta
observação empírica, conhecida pelos povos antigos, pode-se concluir que, “cargas
elétricas de mesmo sinal se repelem e cargas elétricas de sinais contrários se atraem”
(Fig. 3). É importante observar que coube ao pesquisador francês Charles Du Fay (1730)
a proposição de que a força elétrica podia ser tanto atrativa quanto repulsiva.
Figura 3 – Forças de repulsão e atração eletrostáticas
Corpos cujos elétrons podem ser removidos com facilidade são chamados de
condutores (Ex: metais) e os que apresentam dificuldade de remoção são denominados
de isolantes ou dielétricos. Os intermediários são denominados de semicondutores.
Três processos de eletrização de um corpo são possíveis: eletrização por atrito;
eletrização por contato e eletrização por indução.
15
FÍsiCa gEral iii
Quando dois corpos são atritados, pode ocorrer a passagem de elétrons de um
corpo para outro. Observe que somente os elétrons são transferidos de um corpo a outro.
Este processo é denominado de eletrização por atrito (Fig. 4)
Conclusão - Na eletrização por atrito, os dois corpos ficam carregados com cargas
iguais, porém de sinais contrários. Há a transferência de elétrons de um corpo a outro.
O núcleo não se altera!!
Figura 4
Eletrização por atrito.
Quando dois corpos são postos em contato, estando um eletrizado e outro neutro,
pode ocorrer a passagem de elétrons do corpo eletrizado para o corpo neutro. Este é o
processo de eletrização por contato.
Observe que as cargas em excesso do bastão carregado negativamente se repelem
(ficam separadas o máximo possível), e assim, algumas passam para o corpo neutro,
carregando-o negativamente (Fig. 5).
No caso seguinte, o bastão está carregado positivamente (falta de elétrons), mas
continua haver passagem de elétrons, só que desta vez, do corpo neutro para o corpo
eletrizado, visto que o bastão está com falta de elétrons. No final, a esfera fica carregada
positivamente, pois cedeu elétrons para o bastão (Fig. 6). Um dado importante é que a
soma das cargas dos corpos é igual antes e depois do contato, válido, também para o caso
anterior.
Figura 6 – Eletrização por contato.
Conclusão - Na eletrização por contato, os corpos ficam eletrizados com cargas de
mesmo sinal.
Figura 5
Eletrização por contato
Quando um corpo eletrizado é colocado próximo de outro neutro, pode ocorrer a
separação dos centros de cargas no corpo neutro, que desloca seus elétrons para pontos
mais distantes ou para pontos mais próximos do corpo carregado, dependendo do sinal
das cargas do corpo carregado. Neste caso, não ocorre transferência de carga elétrica,
havendo somente uma separação dos centros de carga no corpo neutro, polarizando o
corpo. Este é o processo de eletrização por indução (Fig. 7). Separando os corpos, a
eletrização induzida no corpo neutro terminará.
Figura 7 – Eletrização por indução.
16
Conclusão - Na indução eletrostática ocorre apenas uma separação entre as cargas
positivas e negativas no corpo induzido (anteriormente neutro).
Carga Elétrica
Para obter uma eletrização permanente no corpo induzido, basta ligá-lo á Terra
(que funciona como pólo negativo), mantendo-o na presença do corpo carregado
(indutor). Após alguns instantes, desfaz-se a ligação com a Terra, e, assim, o corpo
induzido ficará com um excesso de cargas. Neste caso, ficará com um excesso de cargas
positivas (Fig. 8). Ocorreria o contrário se o bastão estivesse carregado positivamente.
Figura 8 – Eletrização por indução – Carga permanente.
1.3
Lei de Coulomb
Esta lei se refere à intensidade das forças de atração ou de repulsão eletrostáticas
existente entre duas cargas elétricas puntiformes (puntuais). Denomina-se carga
puntiforme, um corpo eletricamente carregado, cuja dimensão material é desprezível
quando comparada com as distâncias envolvidas nos fenômenos elétricos, por exemplo,
entre as cargas elétricas ou ions.
Como já foi explicitada anteriormente, a força é atrativa se as cargas entre os corpos
tiverem sinais contrários e, repulsiva, se as cargas possuírem sinais iguais (Fig. 9). A Lei
de Coulomb também é denominada de lei do inverso do quadrado da distância ou de lei
de força central.
Figura 9 – Forças de repulsão e atração entre cargas puntuais.
As forças sempre existem aos pares, como prediz a 3ª Lei de Newton. Entre um
par de cargas, uma das forças é denominada de ação, enquanto que a outra é denominada
de reação, sendo que elas possuem a mesma intensidade (módulo), agem na mesma
direção, mas atuam em sentidos opostos. As forças de ação e reação agem em corpos
distintos, portanto nunca se anulam. Pergunta: “de acordo com a 3ª Lei de Newton, o
número de forças no universo é um número par ou ímpar?”.
Coulomb1, no final do século XVIII, utilizando a variação do pêndulo de torção
(balança de torção), verificou que:
“A força de atração ou de repulsão entre duas cargas elétricas é diretamente
proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado
da distância que as separa”.
17
FÍsiCa gEral iii
O enunciado é praticamente idêntico ao da Lei da Gravitação Universal de Newton,
bastando, somente, trocar as massas dos corpos pelas cargas elétricas.
Matematicamente, o módulo da Lei de Coulomb, para o vácuo, é escrito como:
, onde
onde, Q e q são as cargas elétricas, d é a distância que separa seus centros e ko é uma
constante denominada de permissividade elétrica do espaço livre (vácuo), e vale 8,85 x
(Constante Coulombiana),
10-12 C2/N.m2. A constante eletrostática do vácuo
determinada experimentalmente, no Sistema Internacional de unidades (SI), para o vácuo
ou para o ar seco (o valor difere muito pouco), vale:
, assim;
Assim,
Tendo várias cargas puntiformes presentes, o valor da força resultante é a soma
vetorial das várias forças individuais, de acordo com o Princípio da Superposição.
Já foi visto em Física Geral I, que toda força é um vetor, ficando caracterizado por
um módulo ou intensidade (número), uma direção, um sentido e um sistema de unidades.
Assim, as características do vetor força F são:
a- Módulo ou Intensidade: é um número que resulta da aplicação da fórmula da
Lei de Força (Lei de Coulomb) definida acima.
b- Direção da força: é a direção dada pela reta que une os centros das cargas
elétricas puntiformes.
c- Sentido da força: O sinal é positivo (+) se as cargas forem de sinais iguais, sendo
a força de repulsão. O sentido é negativo (-) se as cargas possuírem sinais contrários,
sendo a força de atração.
d- Sistema de Unidades: Depende do sistema de unidades que estiver sendo
utilizado, que pode ser o SI, ou outros sistemas.
Uma visualização gráfica da força de interação elétrica em função da distância de
separação entre os centros das cargas é uma curva representada por uma hipérbole.
Figura 10 – Módulo da força em relação à distância entre as cargas
18
Exemplo 2
Qual o módulo da força eletrostática atrativa média entre o elétron e
o próton em um átomo de Hidrogênio, cuja distância média de separação
é igual a 5,3 x 10-11m. Compará-la com a força gravitacional entre as mesmas
partículas. Dados: q = ± 1,6 x 10-19C; meletron= 9,11 x 10-31kg; mproton=1,67 x 10-27kg;
Constante gravitacional G = 6,67 x 10-11m3/kg.s2; Constante eletrostática do vácuo
Ko= 8,99 x 109 N.m2/C2.
Carga Elétrica
Solução:
A força eletrostática é dada por,
Substituindo os valores temos que o módulo da forca é,
A força gravitacional é dada por,
Substituindo os valores ficamos com,
F = 3,6 x 10-47 N
Nota-se então, que a força gravitacional é 1039 vezes menor do que a força
eletrostática que age entre as partículas. A força gravitacional entre partículas ou
corpos é sempre atrativa e age no sentido de agregar massa, provocando a formação de
grandes massas cósmicas, poeiras gasosas, planetas e estrelas, situação onde as forças
gravitacionais são enormes. No caso em questão, ela é desprezível em relação à força
eletrostática. As forças eletrostáticas são repulsivas para cargas de mesmo sinal, donde
se pode concluir que elas não ajudam agregar grandes cargas de mesmo sinal, visto
agirem no sentido de separá - las o máximo possível. É por isso que temos, quase
sempre, as duas cargas juntas, para que uma compense a outra. As quantidades de cargas
que conhecemos no nosso dia-a-dia são bem pequenas, ao contrário das massas.
19
FÍsiCa gEral iii
Exercícios
1) Duas cargas elétricas puntiformes iguais a 5x10-6 C e 0,5x10-6 C , estão no vácuo e
separadas por uma distância de 1 m . Calcule a intensidade das forças entre elas. As forças
são de repulsão ou de atração?
2) Duas cargas elétricas puntiformes Q= 2x10-6 C e q= -1x10-6 C, estão no vácuo. a) A
força entre elas é de atração ou de repulsão. b) Calcular a intensidade da força entre elas
em 11cm, 20cm, 30cm e 40cm. c)Usando os pontos calculados, faça um esboço do gráfico.
3) Um corpo eletrizado possui uma carga de 6,4 μC (μ=10-6). Quantos elétrons estão
faltando no corpo?
4) Quantos elétrons devemos fornecer a um corpo inicialmente neutro para eletrizá-lo
com uma carga de 4,8 μC (μ=10-6)?
5) Três cargas elétricas positivas iguais a 5 nC (n=10-9) ocupam os vértices de um triângulo
retângulo, cujos catetos medem 5 cm. Calcule a força resultante que atua sobre a carga
colocada no ângulo reto do triângulo.
6) Duas pequenas esferas condutoras de mesmo raio, no vácuo, cada uma com massa igual a
1 g, estão suspensas de um mesmo ponto por fios leves e isolantes de 1 m de comprimento.
Eletrizadas com cargas iguais verifica-se que elas se repelem permanecendo em equilíbrio
a 0,1 mm uma da outra. Determine a carga de cada esfera, tomando g=10 m/s2.
7) Três cargas +q , -q e +6q (q= 2 x 10-6 C) estão dispostas numa linha separadas por 10
cm (+q e –q) e 40 cm (-q e +6q), Determine a intensidade da força resultante sobre a carga
–q.
20
Carga Elétrica
Anotações
21
FÍsiCa gEral iii
Anotações
22
2
Campo Elétrico
2.1
Campo Elétrico - linhas de Força para Cargas em repouso
2.2
linhas de Força de
23
2
CAMPO ELÉTRICO
2.1
Campo Elétrico – Linhas de Força para Cargas em Repouso
FÍsiCa gEral iii
Uma carga elétrica cria ao seu redor uma perturbação que altera as propriedades
elétricas do espaço em sua volta. Uma outra carga , chamada de carga de prova, quando
colocada no espaço perturbado, “sente” ou “percebe” a presença da primeira carga pela
ação de uma força que atua sobre ela, atraindo-a ou repulsando-a, dependendo dos sinais
das cargas envolvidas na interação. Neste sentido, diz-se que há um Campo Elétrico E,
produzido pela carga na região, atuando sobre a carga de prova (parte a da figura 1).
É um campo vetorial que atua em todas as direções do espaço nas vizinhanças da carga
que o produz.
também cria um Campo Elétrico em sua
Obviamente que a carga de prova
volta, que também atuará sobre a carga (parte b da figura). Assim, adotando a Teoria dos
Campos para explicar os fenômenos elétricos, existe uma interação entre os dois campos
elétricos criados pelas cargas elétricas, que são quantificados pelas forças que atuam nas
cargas de forma recíproca, de acordo com a 3ª Lei de Newton. Se uma das forças for
chamada de Ação, a outra será denominada de Reação, e vice-versa. É por isso que se diz
que as forças na natureza sempre aparecem aos pares.
Figura 1 – Campo elétrico criado pelas cargas elétricas
O campo elétrico desempenha o papel de transmissor da interação (das forças) entre
as cargas. Podemos expressar esta afirmação pela relação seguinte:
A palavra interação significa que sempre existem duas forças agindo de forma
independente, mas interligadas pelas ações dos dois campos elétricos presentes. É
necessário ficar claro que as forças não agem sobre uma mesma carga, caso isso ocorresse,
a resultante das forças seria zero e nunca teríamos qualquer movimento (velocidade nula).
Na tabela 1 estão registrados alguns valores aproximados do modulo de campos
elétricos comuns.
24
Campo E [N/C]
Dentro de um fio de cobre dos circuitos domésticos
Nas ondas de rádio
Na atmosfera
Na luz solar
Próximo a um pente de plástico carregado
Em uma nuvem de tempestade
No cilindro carregado de uma copiadora
Num tubo de raios X
No elétron de um átomo de hidrogênio
Na superfície de um átomo de urânio
10-2
10-1
102
103
103
104
105
106
6 x 1011
2 x 1021
Campo Elétrico
Tabela 1: Alguns campos elétricos (valores aproximados)
O valor do campo elétrico presente num certo ponto do espaço, produzido por um
corpo carregado ou por uma simples carga e, “sentido” por uma carga de prova q1, é
representado pelo vetor , cujo módulo, matematicamente, é dado por:
Exemplo 1

Quando um elétron é colocado em um campo elétrico E = 10 ×105 N / C , qual a força
que age sobre ele?
Solução:

 F



105 N 
E = → F = q1 E = −1, 6 ×10−19 C 10 ×

q1
C 


(
)
F = −1, 6 ×10−14 N
Assim, como para as forças, os campos também obedecem ao Princípio da
Superposição, que diz: se tivermos “n” cargas presentes, elas devem interagir de forma
independente, sendo que o campo resultante sobre certa carga, será a soma vetorial dos
campos produzidos pelas outras cargas sobre ela. Por exemplo, o módulo do campo
resultante sobre a carga de prova q1 devido à presença de “n” cargas, será dado por:
onde, por exemplo,
é o valor do campo elétrico que age na carga q1 devido à presença
da carga q3, e assim por diante.
O módulo do campo elétrico produzido pela carga Q, num certo ponto do espaço
distante d de uma carga de prova q, é dado por:
(Lei de Coulomb para uma carga)
sendo que, a direção do campo é a da linha radial a partir da carga Q, apontando para fora
se a carga Q for positiva, ou apontando para dentro, se a carga Q for negativa. A partir da
equação anterior podemos reescrever a Lei de Coulomb (em módulo) de outra maneira,
ou seja,
25
FÍsiCa gEral iii
Exemplo 2
Quando uma carga de prova de 2nC é colocada num certo ponto do espaço, sofre uma
forca de 4x10-4N na direção x. Qual o campo elétrico neste ponto.
Como
, o campo resultante sobre a
carga de prova q1 devido à presença de “n” cargas, puntiformes se calcula pela soma
vetorial dos campos das cargas tomadas separadamente:
onde
é a distância d da carga q1 até a carga Qi, e
liga as duas cargas q1 e Qi.
é um vetor unitário na direção que
Exemplo 3
Uma carga +q e uma carga –q estão
dispostas conforme a figura abaixo.
a) calcular o campo elétrico num ponto
arbitrário do eixo x.
Solução:
Temos que estudar o problema em três regiões diferentes: x > a,-a <x < a e x < -a.
Para x > a: O campo elétrico é dado pela somatória do campo da carga positiva e da
carga negativa. A distância d da carga positiva para um ponto x qualquer é x - a e a
distância d da carga negativa é x + a, então,
Quando x >> a, podemos desprezar
diante de
no denominador, portanto,
Para x < -a: A distância d da carga positiva para um ponto x qualquer é x + a e a
distância d da carga negativa é x - a. A contribuição da carga positiva tem a direção
negativa, e a contribuição da carga negativa tem direção positiva, portanto o campo
elétrico é dado por:
A equação acima é idêntica ao do caso anterior, a menos do sinal negativo, portanto
26
Campo Elétrico
Da mesma forma, para quando x <<- a, temos,
O campo elétrico é sempre positivo para x < -a
Para -a < x < a: entre as cargas a contribuição de cada termo tem a direção negativa,
portanto,
O campo elétrico para -a < x < a é sempre negativo. Quando x = 0 o campo elétrico
é igual a
.
Abaixo um esboço do gráfico de campo elétrico em função da posição x, para as três
regiões.
Um sistema de duas cargas puntiformes de valor q e -q , separadas por uma pequena
distância L, é um dipolo elétrico (figura 2a). A intensidade e a orientação do dipolo elétrico
se descrevem pelo momento de dipolo elétrico (o vetor aponta da carga negativa para
. O campo elétrico nos pontos sobre o eixo do dipolo,
a positiva), cujo o modulo é
a uma grande distância x das cargas (ver exemplo 1), tem direção coincidente com a do
momento de dipolo e é dado por:
Figura 2 – a) dipolo
elétrico separadas por
uma distância L. b)
Molécula de H2O com
momento de dipolo
permanente.
Algumas moléculas têm momento de dipolo permanente, em virtude de distribuição
inomogênea das cargas elétricas (figura 2b). Exemplo é a molécula de água, que é constituído
combinado com um íon de oxigênio de
de dois íons de hidrogênio positivo de carga
. Estas moléculas em um campo elétrico externo uniforme têm a força resultante
carga
, de
nula sobre o dipolo elétrico, porém o torque sobre o dipolo não é nulo
modo que o momento de dipolo gira no sentido do campo . Se o momento de dipolo
. Os
estiver perpendicular ao campo magnético, a energia potencial do dipolo é
fornos de microondas aproveitem-se do momento de dipolo das moléculas para provocar
o cozimento dos alimentos. Como todas as ondas eletromagnéticas, as microondas têm
um campo elétrico oscilante que provoca a vibração dos dipolos elétricos.
27
FÍsiCa gEral iii
2.2
Linhas de Força de
Para uma visão e percepção mais fácil do campo elétrico E, Michael Faraday
(1791-1867) introduziu o conceito de Linhas de Força do vetor campo elétrico,
atualmente, usada somente de forma qualitativa. Assim, quando a carga geradora do
campo for positiva, o sentido do vetor campo elétrico é radial e saindo da carga (sentido
de afastamento), como é visto na figura 3.
Figura 3 – Campo elétrico criado por uma carga puntiforme positiva
Figura 4 – Linhas de
força do campo elétrico
existente entre duas
cargas pontuais de sinais
opostos.
Se a carga criadora do campo for negativa, o sentido do vetor campo elétrico é
radial, mas entrando na carga (sentido de aproximação). Se, numa região do espaço existir
duas cargas elétricas, uma positiva e outra negativa (dipolo elétrico), as linhas de força do
vetor campo elétrico tem a visualização, da figura 4.
Exercícios
1) Determine o valor do campo elétrico criado por uma carga puntiforme igual a 4μC, no
vácuo, num ponto localizado a 40 cm dela.
2) Num ponto situado a uma distância “x” de uma carga de 10 μC, o campo elétrico vale
9x105 N/C. Determine o valor de “x”.
3) Determine as características do vetor campo elétrico criado por uma carga puntiforme
igual a 8μC (no vácuo) em um ponto a 10 cm de distância dela. Se naquele ponto estiver
uma outra carga igual a 2μC, dê as características da força que atua na carga menor.
4) Duas cargas puntiformes iguais a 40 μC e -50μC estão separadas por 50 cm uma da outra.
Determine a intensidade do vetor campo elétrico num ponto a meia distância entre elas.
5) Nos vértices de um quadrado de lado igual a 10 cm, colocam-se 4 cargas de mesmo
módulo, sendo que nos vértices superiores colocam-se cargas +q e nos vértices inferiores
cargas –q. Determine a intensidade do vetor campo elétrico no centro do quadrado.
6) Duas placas paralelas metálicas, eletrizadas com cargas iguais e de sinais contrários,
estão colocadas no vácuo a 10 cm uma da outra. O campo elétrico produzido por elas
vale 6 . 10 7 N/C. Uma carga de prova puntiforme positiva igual a 2μC e massa igual a
5 x 10-6 kg, é abandonada na placa positiva, Supondo desprezível a força gravitacional
sobre a carga de prova, determine: a)- força elétrica constante atuante sobre a carga; b)a aceleração adquirida por ela; c)- a velocidade com que atinge a placa negativa; d)- o
tempo gasto para ir de uma placa a outra. Comentar a trajetória real da carga.
7) Determinar a energia potencial de um dipolo elétrico
elétrico .
perpendicular a um campo
8) Desenhe as linhas de força do Campo Elétrico para duas cargas positivas iguais, para
duas cargas negativas iguais e para duas cargas iguais, mas de sinais contrários, colocadas
no vácuo e a certa distância entre elas.
28
Campo Elétrico
Anotações
29
FÍsiCa gEral iii
Anotações
30
3
3.1
Lei de Gauss
lei de gauss - superfície gaussiana
31
3
LEI DE GAUSS
3.1
Lei de Gauss – Superfícies Gaussiana
FÍsiCa gEral iii
Figura 1 – Campo
elétrico e superfície
Gaussiana em sua volta.
Na Física, sempre podemos tirar vantagens da situação de simetria entre os corpos.
A simetria se refere à forma como a massa de um corpo está distribuída no seu volume, ou,
no caso de cargas elétricas, como elas estão distribuídas no espaço. Um corpo altamente
simétrico, por exemplo, é a esfera ou uma elipsóide.
A Lei de Coulomb é a principal lei da Eletrostática, podendo ser usada em qualquer
problema onde haja alto ou baixo grau de simetria, em especial, ela é bastante utilizada
em problemas com baixo grau de simetria entre as cargas distribuídas num corpo. Quando
o grau de simetria for alto, é vantajoso utilizar a Lei de Gauss, que é uma nova forma
de expressar a Lei de Coulomb, porque a aplicação da lei facilita muito a resolução
de problemas de eletrostática. A Lei de Gauss é uma das quatro leis fundamentais
do eletromagnetismo estabelecidas por Maxwell, daí sua importância no estudo do
eletromagnetismo e da óptica.
A Lei de Gauss (assim como a Lei de Coulomb) estabelece a relação entre a carga
elétrica e o campo elétrico criado pela carga numa certa região do espaço simétrico,
sendo uma outra maneira de resolver problemas de eletrostática com alta simetria.
A questão central da Lei de Gauss é uma hipotética superfície fechada (uma
envoltória) que engloba o corpo carregado, denominada de “superfície gaussiana”.
Ela pode ter o formato que se deseja, mas será útil se o formato for compatível com a
simetria do problema a ser resolvido. Ela pode ser uma superfície esférica, uma elipsóide,
uma superfície cilíndrica ou qualquer outra forma simétrica, porém deve ser sempre uma
superfície fechada de modo a separar os pontos que estão em seu interior dos pontos que
estão em seu exterior.
Se os vetores do campo elétrico forem uniformes em módulo e apontarem
radialmente para fora, pode-se concluir que existe dentro da superfície uma distribuição
total de carga positiva e com simétrica esférica. Neste caso, a superfície gaussiana é
esférica (simetria esférica).
De um modo geral, pode-se dizer que:
“A Lei de Gauss nos diz como o campo elétrico encontrado na superfície gaussiana
está relacionado com as cargas contidas em seu interior”.
Antes de conceituarmos a Lei de Gauss, vamos introduzir um novo conceito,
intimamente relacionado com a Lei de Gauss, denominado de fluxo de um campo vetorial,
símbolo Φ. É um conceito que se aplica a qualquer campo vetorial, e em especial, ao
campo elétrico. Ele é uma grande escalar, resultante do produto escalar entre dois vetores.
Figura 2 – (a) Uma superfície plana (área A) imersa num campo uniforme.
(b) Superfície inclinada em relação ao fluxo do campo.
32
Para definir o fluxo do campo elétrico Φ, vamos considerar uma superfície gaussiana
qualquer imersa num campo elétrico, que pode ser uniforme ou não. Vamos dividir esta
superfície em quadrados muito pequenos, cada um com uma área , suficiente pequena
,
para poder ser considerada como área plana. Para cada área, associamos um vetor
com módulo igual ao valor da área, mas com direção perpendicular à área e voltado para
fora da superfície gaussiana (figura 2a). Devido a área de cada quadradinho ser muito
pequena, podemos considerar que o vetor campo elétrico em cada uma deles tenha um
valor igual em módulo e também seja constante para todos os pontos desta área pequena.
, e , que caracterizam cada quadrado fazem entre si um ângulo θ,
Os vetores
que pode variar de 0 a 180 graus, dependendo da posição do quadrado sobre a superfície
gaussiana (figura 2b), de tal forma que o produto escalar será dado por:
lei de gauss
Podemos definir o fluxo do campo elétrico Φ como sendo o número de linhas de
força do campo elétrico que atravessa uma superfície gaussiana, e que, para uma dada
superfície fechada, pode ser negativo, positivo ou nulo, dependendo do ângulo entre o
vetor campo elétrico e o vetor associado à área do quadrado pertinente. Matematicamente,
temos que:
A somatória implica que devemos somar uma a uma as contribuições em cada
quadradinho, o que é muito trabalhoso. Uma maneira exata de se fazer a somatória é fazer
a área dos quadradinhos cada vez menor, aproximando-as do limite diferencial . Assim
fazendo, substitui-se a somatória por uma integral sobre toda a superfície, tal que:
(1)
Uma vez definido o fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície fechada,
estamos aptos a escrever a lei de Gauss. O fluxo resultante produzido pela carga interna
que atravessa uma superfície gaussiana é dado por,
Fazendo uso da equação do fluxo (1) ficamos com:
(Lei de Gauss)
representa a carga total envolvida pela superfície (contida dentro da superfície).
onde,
As cargas que porventura estiverem fora da superfície gaussiana não serão consideradas
no cálculo, mas o valor do campo vetorial é o valor do campo resultante de todas as
cargas presentes, tanto no interior como no exterior da superfície fechada. A lei de Gauss é
aplicada para cargas que se encontram no vácuo, mas também vale para cargas localizadas
no ar.
Exemplo 1 - Simetria esférica. Se a Lei de Gauss e a Lei de Coulomb são equivalentes,
é possível partir de uma delas e chegar à outra, considerando as simetrias do problema.
No exemplo que segue, vamos partir da Lei de Gauss e chegar à Lei de Coulomb fazendo
(figura
uso da uma superfície gaussiana esférica em torno de uma carga puntual
3). Dividindo a superfície da área esférica em pequenos quadradinhos (área elementar
dA) e sabendo que em cada área elementar o vetor campo elétrico é perpendicular (campo
radial) a ela, então, o produto escalar entre o vetor campo elétrico e o vetor associado a
é sempre igual a
, pois o ângulo entre os vetores é
cada área
igual a zero graus.
Na figura 3, a superfície gaussiana circunda a carga positiva (carga interna) com
raio d. Como a carga está no centro da superfície, o campo elétrico é normal à mesma e
Figura 3 – Campo de uma
carga puntual positiva e
superfície gaussiana de
raio r. Força sobre uma
carga de prova q’.
33
FÍsiCa gEral iii
seu valor é constante em qualquer ponto da superfície. Apesar da representação estar no
plano (duas dimensões), deve-se ter em mente que a superfície gaussiana é tridimensional.
Assim, aplicando a Lei de Gauss temos,
Como o vetor campo elétrico tem sempre o mesmo valar em cada ponto da superfície
gaussiana (mesmo valor em cada área elementar), pode-se retirá-lo da integral, assim,
A integral é, simplesmente, a área da superfície gaussiana esférica de raio d
(Área=4πd2), de modo que a equação anterior fica,
Esta equação permite calcular o campo elétrico Er produzido pela carga q numa
região distante d do centro da carga. Pela Lei de Coulomb, o módulo da força de repulsão
exercida pela carga q sobre uma determinada carga de prova q’>0 (no vácuo), localizada
na sua vizinhança (distância d) é dada por,
Figura 4 – Superfície
gaussiana
cilíndrica
atravessando o plano de
cargas.
Exemplo 2 - Simetria plana. A figura ao lado mostra a seção de um plano não condutor,
fino e infinito, carregado com uma densidade superficial uniforme de cargas σ (C/m2). Uma
fina chapa de plástico, carregada uniformemente por fricção, é uma boa representante para
o exemplo. O objetivo é encontrar o campo elétrico nas proximidades (a uma distância r
do mesmo). Como o plano está carregado positivamente, o vetor campo elétrico deve ser
perpendicular ao plano e saindo dele e, ainda mais, deve ter o mesmo valor numérico em
pontos situados em lados opostos e equidistante, mesma direção, mas sentidos contrários.
Uma superfície gaussiana apropriada ao caso (que reflete a simetria do sistema), é um
cilindro fechado, cada lado com área A, equidistante, e altura 2r, com eixo perpendicular
ao plano, atravessando-o (altura igual em ambos os lados).
Observando a figura, é possível perceber que o campo E é paralelo às superfícies
curvas do cilindro, mas perpendicular às suas bases, onde associamos um vetor infinitésimo
em cada uma delas. Nas partes curvas, o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor
é igual a 90°, portanto, não há fluxo atravessando as partes curvas (lado). Só há fluxo
saindo das bases do cilindro, assim, pela Lei de Gauss, temos
Como
A carga
34
, o campo elétrico
é paralelo à
e o campo elétrico é constante na base, então,
, portanto,
(
Como a distância do plano ao ponto calculado (distância d), não aparece na equação
acima, conclui-se que o campo possui valor único em qualquer ponto, sendo, portanto,
um campo uniforme em toda parte. Como exemplo, calcule o campo em pontos dentro
de um sistema constituído por duas placas paralelas carregadas com a mesma densidade
superficial de cargas, mas de sinais contrários (capacitor de placas paralelas).
Exemplo 3 - Condutores em equilíbrio eletrostático. Um bom condutor elétrico, como
o cobre, a prata, o ouro, o alumínio (metais de uma forma geral), contém inúmeras cargas
elétricas (elétrons) que não estão presas a nenhum átomo, sendo, portanto, elétrons livres
que podem se mover dentro do corpo metálico. Se nenhum movimento de carga ocorrer
dentro do corpo, diz-se que o corpo está em equilíbrio eletrostático. Cada carga livre
é uma partícula em equilíbrio, portanto, a resultante das forças sobre ela é nula. Para
um condutor isolado (que não esteja aterrado) em equilíbrio eletrostático, as seguintes
propriedades são verificadas:
a)- O campo elétrico é nulo em qualquer ponto de seu interior;
b)- Se ele tiver uma carga líquida (elétrons livres), a carga em excesso ficará
localizada totalmente em sua superfície externa;
c)- O campo elétrico em seu exterior (da face externa para fora) é perpendicular à
sua superfície e tem uma magnitude igual a E = σ/εo (Lei de Gauss) em cada ponto;
d)- Se o condutor tiver formato irregular, a densidade de carga σ (carga por unidade
de área) será máxima nos locais onde é mínimo o raio de curvatura da superfície do corpo
(ponto P) e mínima nas regiões mais lisas (ponto R), propriedade denominada de poder
das pontas (ver para-raio)
lei de gauss
Figura 5 – Corpo com
formato irregular. Campo
elétrico e poder das
pontas.
Como exercício, para verificar as propriedades acima, o aluno deverá pesquisar
em textos próprios, procurando entendê-las e demonstrá-las. Procure calcular, também, o
campo elétrico médio sobre a superfície terrestre.
Exercícios
1) Seja o campo elétrico uniforme
. a) Qual o fluxo deste campo através de
um quadrado de 1m de lado num plano yz? Qual é o fluxo através do mesmo quadrado
cuja normal faz um ângulo de 30o com o eixo dos x?
2) Uma carga de 5µC está 10 cm acima do centro de um quadrado cuja lado tem 50cm.
Calcular o fluxo do campo através do quadrado (sugestão: não integre).
3) Considere uma esfera condutora de raio igual a 20 cm. Ela está carregada com carga
igual a 4 . 10-8 C. Calcule o campo elétrico em pontos no interior da esfera e num ponto a
40 cm do seu centro.
4) Considere uma esfera maciça uniformemente carregada com carga Q e de raio R.
Calcule o campo elétrico em pontos no interior e no exterior da esfera.
5) Explicar por que o campo elétrico no interior de uma esfera maciça uniformemente
carregada cresce com r e não diminui com 1/r2, no interior da esfera.
6) Determinar, usando a lei de Gauss, o campo elétrico a uma distância r de um fio
infinito, uniformemente carregado. (sugestão: utilize uma superfície cilíndrica circular, de
comprimento L e raio r, coaxial ao fio)
7) Se o fluxo liquido através de uma superfície fechada for nulo, o campo elétrico E é
nulo em qualquer ponto da superfície? O que pode se concluir sobre a carga no interior
da superfície fechada?
35
FÍsiCa gEral iii
Anotações
36
lei de gauss
Anotações
37
FÍsiCa gEral iii
Anotações
38
4
4.1
Potencial Elétrico
potencial Elétrico - Energia pontencial Elétrica
39
4
POTENCIAL ELÉTRICO
4.1
Potencial Elétrico - Energia Potencial Elétrica
FÍsiCa gEral iii
Antes de conceituarmos a energia potencial elétrica, faremos uma distinção entre
forças conservativas e não conservativas. As forças são os agentes que realizam
trabalho sobre os corpos (vale a pena revisar o conceito de trabalho tratado no capitulo
6 do livro de Física Geral I). A força é conservativa se for nulo o trabalho realizado por
ela sobre uma carga ou partícula que descreve um circuito fechado (ciclo). Se o trabalho
não for nulo, a força não é conservativa. Também, uma força é dita conservativa se o
trabalho realizado por ela sobre uma partícula ou carga que se desloca entre dois pontos
num campo, depender somente destes pontos e não da trajetória em si. Se depender da
trajetória, ela é uma força não conservativa. Exemplo de forças conservativas: força
gravitacional, força elétrica, força elástica. Os vários tipos de atrito são exemplos típicos
de forças não conservativas.
A força elétrica que age sobre uma partícula carregada, devido a um campo elétrico, é
uma força conservativa, ou seja, o trabalho realizado por ela ao deslocar uma carga de
um ponto a outro do campo só depende destes pontos e não do caminho percorrido pela
carga.
Energia potencial é uma forma de energia armazenada em um campo,
independentemente do tipo de campo (gravitacional, elétrico), portanto, a energia
potencial elétrica, símbolo U, é uma forma de energia armazenada no campo elétrico.
Vamos supor que uma determinada carga de prova qo>0 (cuja carga por ser muito pequena,
praticamente não influencia o Campo Elétrico existente no local) esteja se movimentando
em um campo elétrico, desde um ponto inicial i até um ponto final f. Pode-se definir a
diferença de energia potencial elétrica como
“A diferença de energia potencial elétrica de uma carga de prova, entre dois pontos
(inicial e final) de uma trajetória, é igual ao valor negativo do trabalho realizado
pelo campo elétrico sobre a carga durante seu movimento, independentemente da
trajetória percorrida”.
Matematicamente podemos escrever que
Figura 1 – Força
eletrostática (F = qoE)
atua sobre uma carga
de prova submetida a
um campo elétrico E
uniforme dirigido para
baixo.
40
∆U = U f − U i = −Wif
onde, Wif é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova entre os pontos
especificados. A figura 1 ilustra o enunciado acima
Na figura 2, a carga de prova q’ é movimentada ao longo do eixo y, partindo do
ponto a (início = ya) até o ponto b (final = yb) ao longo de uma trajetória que está na mesma
direção e sentido do campo elétrico E. Neste caso, há um decréscimo da energia potencial
porque, quando se desloca uma carga positiva na direção o campo, há a realização de um
trabalho positivo sobre a carga e assim a energia potencial diminui.
U f < Ui → Wf i > 0
Também é possível deslocar uma carga de prova no sentido contrário ao vetor
campo elétrico (deslocamento da posição ya para a posição yb). Nesta nova situação, há um
incremento na energia potencial quando uma carga positiva se move em sentido contrário
ao campo elétrico E, pois o campo realiza um trabalho negativo sobre ela, e assim, a
energia potencial aumenta.
Obs. Se a carga de prova for negativa, a situação se inverte em termos da energia
potencial e trabalho.
Assim, pode-se dizer que “a variação na energia potencial elétrica (ΔU), quando a
carga se movimenta entre os pontos de um campo elétrico, é igual em magnitude, mas de
sinal contrário, ao trabalho feito pelo campo sobre ela (-Wif)”.
Se escolhermos, arbitrariamente, a localização da carga de prova no infinito (ponto
muito distante das outras cargas), podemos atribuir o valor da Ui = 0, assim, podemos
escrever que
potencial Elétrico
U = −W∞
Nesta situação podemos dizer que “a energia potencial U de uma carga-teste em
um ponto qualquer, é igual ao valor negativo do trabalho W∞ realizado sobre a carga pelo
campo elétrico para trazê-la do infinito até a posição em questão”. É importante que haja
a escolha do ponto inicial como um ponto de referência padrão.
O potencial elétrico, tensão ou voltagem, símbolo “V”, é definido como sendo a
variação da energia potencial elétrica por unidade de carga, tendo um único valor para
qualquer ponto do campo, independentemente do valor da carga-teste utilizado para
prová-lo.
Definimos a diferença de potencial elétrico (ddp) “ΔV”, entre dois pontos quaisquer
de um campo de forças como sendo igual a
∆U / q′ = ∆V ⋅⋅⋅ ⇒⇒ ∆U = q′∆V
(1)
Assim, a diferença de potencial elétrico, é escrito como:
∆V = V f − Vi = −
Wif
⋅⋅⋅ ⇒⇒ Wi f = −q′(V f − Vi )
q′
O trabalho “Wif” realizado pela força elétrica sobre a carga de prova positiva, no
seu movimento desde o ponto “i” até o ponto “f”, pode ser positivo, negativo ou nulo,
correspondendo no ponto final “f” a um potencial maior, menor ou igual ao potencial no
ponto “i”, como consequência do sinal negativo do trabalho. Quando o ponto inicial “i”
estiver suficientemente afastado (no infinito), podemos arbitrar um valor nulo para seu
potencial (V∞ = 0), de tal forma que ficamos com:
V =−
W∞ U
=  ⇒⇒ W∞ = − q′V = −U
q′ q′
Uma forma simplificada de relacionar o trabalho realizado por uma força elétrica
(quando se desloca uma carga de prova desde um ponto inicial “A” até um ponto final
”B”) com a diferença de potencial entre os pontos, é dada por
(2)
WAB = q (VA − VB ) = −q (VB − VA )
A diferença de potencial elétrico (ddp) mede o desnível de potencial elétrico entre
dois pontos de um circuito ou de superfícies equipotenciais de uma carga.
Para calcular o trabalho realizado pela força elétrica quando desloca uma cargateste de um ponto inicial até um ponto final, numa região onde existe um campo elétrico
(uniforme ou não), deve-se somar (integrar) todos os trabalhos elementares feitos pela
força ao longo de cada intervalo infinitesimal em que foi subdividida a trajetória realizada
pela carga, conforme mostra a figura 2.
O trabalho realizado é dado por
f
Figura 2 – Deslocamento da
carga de prova no sentido
do campo elétrico. Trabalho
positivo. Decréscimo na
energia potencial.
f
Wi f = ∫ F ⋅ d s = q 0 ∫ E ⋅ d s
i
i
A integral acima é denominada de integral de linha sendo o produto entre o campo E
e o elemento de linha ds um produto escalar. Assim, para o ponto inicial no infinito (Vi=0),
o potencial será dado por
f
V = −∫ E ⋅ d s
(3)
i
41
FÍsiCa gEral iii
A equação anterior permite calcular o potencial elétrico a partir de um campo
elétrico conhecido, ou seja, conhecendo-se o campo elétrico numa certa região do espaço,
podemos calcular o potencial elétrico entre dois pontos quaisquer do campo. No Sistema
Internacional de Unidades (SI), a diferença de potencial elétrico (ddp) ou voltagem é
medida em Joule/Coulomb, que por ser tão frequente, foi-lhe dado uma unidade especial
chamada de Volt, símbolo V. Assim,
1 Volt = 1 Joule/Coulomb→→ 1 V = 1 J/C
Como consequência, o campo elétrico também pode ter a unidade de medida dada por,
1 N/C= 1 V/m
Vamos considerar duas cargas separadas por uma grande distância e mantidas fixas
em suas posições. Para juntá-las até uma determinada posição, será necessário realizar um
trabalho, ou seja, “alguém” gastou energia para juntá-las. Esta energia gasta pelo agente
externo (força externa), ou seja, o trabalho realizado pela força externa, ficará acumulado
como energia potencial elétrica “U” no sistema de duas cargas. Assim, podemos escrever
que,
U = W ( f ext . ) =
1 q1 ⋅ q2
4πε 0 r12
onde r12 é a distância entre os centros das cargas.
Entendido dessa forma e para várias cargas puntiformes, pode-se dizer que,
“a energia potencial elétrica de um sistema de cargas puntuais fixas é equivalente ao
trabalho que deve ser realizado por um agente externo para reunir o sistema, trazendo
cada carga desde o infinito até a posição desejada”.
Nesse caso, o potencial total deve ser calculado utilizando-se o princípio da
superposição, isto é, calcula-se o potencial de cada carga separadamente no ponto de
desejado (referência), e depois se soma algebricamente todos os potenciais calculados
individualmente.
Exemplo 1
Três cargas são mantidas fixas nos vértice de um triângulo isósceles, separadas por uma
distância d, conforme figura 3. Calcule a energia potencial elétrica da configuração.
Solução:
A energia potencial resultante é a soma da energia de cada par na configuração dada,
assim,
U R = U12 + U13 + U 23
Figura 3 – Três cargas
puntuais
fixas
nos
vértices de um triângulo
isósceles.
UR =
1  ( + q )( −4q ) ( + q )( +2q ) ( −4q )( +2q )  10q 2
+
+

=
4πε o 
d
d
d
 4πε o d
Supondo d = 12 cm e q = 150 ηC, a energia potencial resultante da configuração vale,
U R = −17 mJ
Obs. O fato da energia potencial ser negativa quer dizer que será preciso realizar um
trabalho negativo para trazer as três cargas fixas e no infinito até a separação d. Por
outro lado, significa, também, que um agente externo (força externa) deve realizar um
trabalho positivo de 17 mJ para desfazer a configuração dada.
Podemos também calcular o campo elétrico a partir do potencial elétrico.
Conhecendo-se o potencial elétrico em todos os pontos vizinhos de um conjunto de cargas
elétricas, podemos traçar uma família de superfícies que possuem o mesmo potencial
V em todos os seus pontos, chamadas de superfícies equipotenciais. As linhas de força
do campo elétrico produzido pelo conjunto de cargas são sempre perpendiculares às
42
superfícies equipotenciais em cada ponto e descrevem como o campo varia de uma
posição à outra, conforme pode ser visualizado pela figura 4.
De acordo com a figura, o campo elétrico é perpendicular à superfície equipotencial
que passa pelo ponto P. O deslocamento que a carga faz entre duas superfícies vale ds e faz
um ângulo θ com a direção do campo E. O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre
a carga de prova enquanto ela se move ao longo da trajetória entre as duas superfícies
equipotenciais é dado pela equação 1, ou seja, W = - qodV, onde dV é a diferença de
potencial entre as duas superfícies em questão. Também, o trabalho pode ser calculado
pela equação 2, isto é, W = qoE(cosθ)ds, já resolvido o produto escalar, considerando
o deslocamento infinitesimal ds e a forma diferencial das equações. Igualando as duas
equações para o trabalho, temos,
Assim ficamos com
−q0 dV = qo E (cos θ )ds
E cos θ = −
dV
ds
onde Ecosθ = Es é a componente do campo na direção do deslocamento. Considerando a
variação de V somente na direção do deslocamento, podemos escrever a derivada parcial
do campo, ou seja,
Es = −
potencial Elétrico
Figura 4 - Superfícies
equipotencias de um
campo elétrico não uniforme. Deslocamento da
carga de prova entre duas
superfícies equipotenciais.
∂V
∂s
A equação acima é o inverso da equação 3, quando fazemos V inicial igual a zero
(infinito) e diz, matematicamente, que “a taxa de variação do potencial em função da
distância, observada em qualquer direção, é igual à componente do campo E naquela
direção, com o sinal inverso”. Utilizando os eixos ortogonais XYZ e conhecendo a função
V(x,y,z), podemos obter as três componentes do campo em qualquer ponto, através das
derivadas parciais.
Vamos utilizar a equação 3 para determinar o valor do potencial elétrico num
ponto P, a uma distância radial r de uma carga positiva isolada. Para tal, vamos supor que
uma carga de prova qo seja trazida do infinito até o ponto P ao longo da linha radial que
une a carga positiva ao ponto P. Num determinado instante a carga de prova encontrase a uma distância r ’ da carga positiva. O campo elétrico é radial e aponta para fora
(sentido crescente de r ’), conforme pode ser visualizados pelas linhas de força, mas o
deslocamento da carga-teste tem sentido contrário ao campo (sentido decrescente de r ’).
Assim, d s = − d r ′ (fig. 5).
Figura 5 – Carga de prova trazida do infinito até o ponto P.
Campo criado pela carga positiva.
Temos então que 

E ⋅ d s = ( E )(cos180°)(−dr ′) = Edr ′
43
Substituindo na equação 3 ficamos com
r
 
V = − ∫ E ⋅ d s = − ∫ Edr ′
f
FÍsiCa gEral iii
i
∞
O campo elétrico da carga positiva em r ’ é dado pela equação
E=
Assim, o potencial fica,
q
ou
q
4πε o r ′2
1
r
r
1
q  1
V =−
dr ′ = −
− 
2
∫
4πε o ∞ r ′
4πε o  r ′ ∞
V=
q
4πε 0 r
1
(4)
Obs. O sinal do potencial é o mesmo da carga que cria o campo. Se quisermos
determinar a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer próximos de uma carga
puntual isolada, aplica-se a equação 4 para cada um dos pontos e depois subtrair um
potência do outro.
Exemplo 2
Qual deve ser o valor de uma carga puntual positiva isolada, para que o potencial V, a
15 cm dela, seja igual a +120 Volts.
Solucao:
Pela equação 4 temos,
q = V (4πε 0 )r
Substituindo os valores, ficamos com
q = 2,0 x 10-9 C.
44
Exercícios
potencial Elétrico
1) Uma vaca encontra-se próxima a uma árvore (figura abaixo) que é atingida por um raio.
Durante um curto intervalo de tempo, acumula-se na base da árvore uma carga elétrica de
1,0 μC. Considere K = 9 x 109 (Nm2/C2). Determine:
a) o potencial elétrico gerado pela descarga na região da pata dianteira da vaca (A) e na
região da pata traseira do animal (B);
b) a ddp entre as duas regiões;
c) a mínima distância da pata dianteira da vaca à árvore, admitindo-se que o animal resiste,
no máximo, a uma ddp de 300 V, para não sofrer danos biológicos.
Figura 7– Distâncias das patas a árvore para o problema em questão.
2) A ddp entre uma nuvem e a Terra é da ordem de 1,2 x 109 Volts. Qual é a variação de
energia potencial de um elétron nesta descarga elétrica?
3) Um relâmpago típico tem uma ddp da ordem de 1 bilhão de Volts e a quantidade de
carga transferida é de cerca de 30 C. Pergunta-se: a)- Qual é a energia potencial liberada na
descarga? b)- Se toda a energia liberada fosse utilizada para acelerar um carro de 1000 kg
de massa, que partiu do repouso, qual seria a velocidade final do carro? c)- Que quantidade
de gelo a 0 oC, seria possível derreter se toda a energia liberada fosse utilizada para tal fim?
Dados: O calor latente de fusão do gelo vale 3,3 x 105 J/Kg.
4) Grande parte do material contido nos anéis de Saturno tem a forma de minúsculas
partículas de poeira cósmica cujos raios são da ordem de 1μm. Tais grãozinhos estão
numa região que contém gás ionizado diluído e adquirem elétrons em excesso devido ao
contato com o gás. Se o potencial elétrico na superfície de um certo grão é de cerca de –
400 Voltes, quantos elétrons são adquiridos por ele?
5) Dois prótons existentes no núcleo de um átomo de U238 estão separados por uma
distância de 6,0 x 10-15 m. Calcule o valor da energia potencial elétrica relacionada á força
repulsiva entre eles, sabendo-se que a carga do próton é de 1,6 x 10-19 C.
6) No KCl, a distância entre os átomos é de 2,80x10-10m. Calcular a energia necessária
para separar os íons K+ e Cl- até uma distancia infinitamente grande. Dar a resposta em
eV. (1 eV = 1,602x10-19J)
7) Três cargas pontuais são mantidas fixas nos vértices de um triângulo isóscele de lado
igual a d = 12 cm. As cargas são q1= +q ; q2 = -4q e q3 = +2q, sendo q = 150 nC. Calcule
a energia potencial elétrica da configuração.
8) O potencial elétrico numa certa região é dada por V(x) = ax2 + b, Calcular o vetor
campo elétrico nesta região.
9) O campo elétrico é Ex = 6x3 N/C. Calcule a diferença de potencial entre x=1m e x=2m.
45
FÍsiCa gEral iii
Anotações
46
potencial Elétrico
Anotações
47
FÍsiCa gEral iii
Anotações
48
5
Capacitância
5.1
introdução
5.2
Capacitância
5.3
Capacitores
5.4
Energia potencial Eletrostática
5.5
armazenamento de Energia Elétrica
5.6
Combinação de Capacitores
5.7
dielétricos
49
5
CAPACITÂNCIA
5.1
Introdução
FÍsiCa gEral iii
Figura 1 - Garrafa de
Leyden, observe que
a garrafa é revestida
externamente (A)
e
internamente (B) por
uma folhas metálicas não
conectadas.
Figura 2 - Capacitores
que normalmente são
encontrados em circuitos
eletrônicos.
Podemos aumentar a energia potencial do sistema, elevando um peso até uma
altura h, esticando uma mola ou comprimindo um gás. De forma análoga, quando uma
carga é posta num condutor isolado, a energia potencial do mesmo aumenta. A razão
entre a carga e o potencial é a capacitância do condutor. A partir disso podemos construir
um dispositivo para “acumular” um campo elétrico e também carga. Este dispositivo
é chamado de capacitor. O primeiro capacitor foi a garrafa de Leyden, inventado por
Mushenbroeck e Cuneus no século XVIII, que constituía um frasco de vidro revestido
interna e externamente por folhas de ouro (ver figura 1). Funcionou tão bem que o
experimentador levou um choque que o derrubou. Benjamin Franklin percebeu que
um capacitor não necessariamente tinha que ter a forma de uma garrafa, mas podia ser
simplesmente um vidro de janela com as faces recobertas por folhas metálicas. No natal
de 1750, usando um conjunto de garrafas de Leyden, Franklin tentou matar um peru com
a descarga elétrica, mas recebeu um poderoso choque que o derrubou. Depois de refeito,
comentou: “Tentei matar um peru, mas quase consegui matar um pato”.
Capacitores microscópicos formam a memória DRAM (dynamic random Access
memory), que são usadas em computadores. Na eletrônica é comum o uso de capacitores.
Capacitores médios são usados em flash de máquinas digitais e em desfilibradores.
Banco de capacitores podem gerar potências de 1014 W. A figura 2 mostra alguns tipos de
capacitores que são usados em circuitos elétricos.
5.2
Capacitância
é proporcional a
O potencial de um condutor finito, isolado, com a carga
esta carga e depende do tamanho e da forma do condutor. O potencial para um condutor
é:
esférico de raio R com carga
A razão entre a carga Q e o potencial de um condutor isolado é a capacitância C:
A capacitância é a medida da capacidade de um condutor armazenar carga para
uma diferença de potencial. Como o potencial é sempre proporcional à carga, a razão
e
é sempre igual para um determinado condutor. Para um condutor esférico,
entre
a capacitância é
A unidade de capacitância no Sistema Internacional (SI) é farad (F), que é
coulomb por volt. O Farad é geralmente muito grande e assim usa-se subunidades como
µF = 10-6 F ou nF = 10-9 F.
50
Exemplo 1
Se numa esfera de capacitância CA a carga inicial for duplicada, qual o novo valor da
capacitância?
Capacitância
Solução:
Como
, e substituindo a diferença de potencial
, temos que para uma esfera
Que independe da carga. Se a carga for duplicada, a diferença de voltagem será dividida
por 2. Portanto, a capacitância CA não será alterada.
5.3
Capacitores
Um sistema de dois condutores com cargas iguais e opostas é um capacitor.
Frequentemente o capacitor é carregado pela transferência de uma carga
de um para
e o outro com a carga
.
outro condutor, de modo que um deles fica com a carga
Para determinar a capacitância de um capacitor, temos que conhecer bem a sua
geometria. Primeiramente temos que determinar o campo elétrico entre os dois condutores.
O campo elétrico relaciona-se com a carga Q dos condutores pela lei de Gauss:
Para facilitar os cálculos, escolheremos uma superfície de gaussiana em que o
seja constante e que
e
sejam paralelos em toda a superfície.
campo elétrico
Assim,
Depois de determinar o campo elétrico E, podemos calcular a diferença de
potencial V entre os dois condutores. A diferença de potencial entre os condutores é
relacionada ao campo elétrico E por:
onde a integral é calculada ao longo de qualquer trajetória que inicie em um condutor
e termine no outro. Escolheremos uma trajetória que acompanhe uma linha de campo
elétrico que vai do condutor positivo até o condutor negativo. Nesta trajetória, os vetores
e
estão apontados na mesma direção.
Usaremos este plano descrito para determinar a seguir a capacitância de capacitores
de placas paralelas, capacitores cilíndrico e capacitores esféricos.
51
5.3.1
Capacitor de placas planas paralelas
FÍsiCa gEral iii
Figura 3
Um capacitor bastante comum é o de placas paralelas, que tem duas placas
condutoras montadas paralelamente uma à outra. Vamos supor que as placas deste
capacitor sejam tão largas e estejam tão próximas uma da outra que podemos ignorar a
distorção do campo elétrico nas bordas. Assim, podemos tomar o campo elétrico E como
uniforme entre as placas. Na figura 3 temos uma superfície gaussiana que engloba a carga
Q da placa positiva. Usando a lei de Gauss, temos,
onde A é a área da placa. Como:
Como já discutimos o campo elétrico E é uniforme entre as placas e pode ser
removido da integral. A integração é de 0 até d.
Portanto, temos que
Figura 4
capacitivo
-
Teclado
e
A capacitância C é definida por
placas paralelas,
, e assim podemos escrever que
, consequentemente para um capacitor de
Esta equação mostra que a capacitância não depende de Q e V e que só depende
dos fatores geométricos, particularmente, da área A e da separação d das placas.
Um bom exemplo de capacitores paralelos e planos são os teclados de computadores
e outros instrumentos, que são constituídos de duas placas metálicas, conforme mostrado
na figura 4. A placa a, a qual está colada a tecla, pode mover-se e a placa b é fixa. Ao
ser pressionada a tecla, diminui a separação entre as duas placas e portanto aumenta a
capacitância do capacitor. O circuito do computador é então disparado para registrar e
processar o sinal.
52
Exemplo 2
Um capacitor de placas planas e paralelas tem placas circulares com o raio de 10 cm
e separadas por 0,1 mm. a) qual a capacitância do capacitor? b) Se o capacitor for
carregado a 12V, qual a quantidade de carga no capacitor?
Capacitância
Solução:
a) A capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas é:
(
)
2
 8,85 pF 
π × ( 0,1m )


A
m 
= 2780 pF = 2, 780nF
C = ε0 = 
d
0, 0001m
b) Q = CV = ( 2, 789nF )(12V ) = 33,36 × 10−9 C = 33,33nC
5.3.2
Capacitor Cilíndrico
Figura 5
Um capacitor cilíndrico é constituído por um cilindro ou um cabo metálico de
pequeno raio montado coaxialmente a um tubo cilíndrico condutor de raio . A figura 5
mostra uma superfície gaussiana que engloba a carga Q do cilindro de raio . Usando a lei
de Gauss, temos,
A superfície gaussiana é um cilindro. Como o campo elétrico na base é paralelo à
, temos só a contribuição da lateral. O campo elétrico E é constante
superfície,
na lateral do cilindro, portanto,
Como:
Substituindo o valor do campo elétrico encontrado E na expressão acima, temos
A capacitância C é definida por
cilindrico,
, consequentemente para um capacitor
53
FÍsiCa gEral iii
Exemplo 3
Estime a capacitância de uma Garrafa de Leyden (figura 1) considerando a garrafa com
5cm de raio interno, 5,5 cm de raio externo e 20 cm de altura (não se esqueça da base
da garrafa).
Solução:
A garrafa tem que ser dividida em duas partes: a lateral e a base.
A lateral pode ser considerada com um capacitor cilíndrico de altura 0,2 m e com
e
, assim,
A base pode ser considerada com um capacitor de placas planas circulares e paralelas
com o raio de 5 cm e separados por 0,5 cm.
A situação mostra que o cilindro e as base estão em paralelo, portanto a capacitância
total é a soma das capacitâncias, assim
5.3.3 Capacitor Esférico
Figura 6 - Capacitor Esférico
Vamos agora considerar duas camada esféricas concêntricas, de raios a e b.
Aplicando a lei de Gauss para a superfície tracejada, podemos obter o campo elétrico E.
Na superfície gaussiana o campo elétrico E é constante e perpendicular, ficando
, portanto,
assim somente a integral
onde
54
é a área da superfície esférica gaussiana. Assim o campo elétrico E é dado por:
Como:
Capacitância
Substituindo o valor do campo elétrico encontrado E na expressão acima, temos
A capacitância C é definida por
, consequentemente para um capacitor esférico,
Exemplo 4
a) Determine a capacitância de um capacitor esférico em que as placas esféricas têm
raios de 40 e 42 mm. b) Qual será a área da placa de um capacitor de placas paralelas
cujas placas têm a mesma separação e capacitância?
Solução:
a) Para um capacitor esférico temos,
pF   0, 040m × 0, 042m 
 ba 

C = 4πε 0 
= 93, 42 pF
 = 4π  8,85

m   0, 040m − 0, 042m 
b−a

b) A capacitância de um capacitor de placas paralelas é C = ε 0
A=
dC
ε0
=
( 0, 002m )( 93, 42 pF ) = 0, 021m2
A
, portanto,
d
pF 

 8,85

m 

que equivale a um capacitor de placas retangulares de aproxidamente 15 cm de lado.
5.4
Energia Potencial Eletrostática
Rediscutiremos agora a energia potencial eletrostática. Se tivermos uma carga
é dado por
puntiforme , o potencial à distancia
Para ter uma segunda carga puntiforme
, devemos efetuar o trabalho:
distancia
, inicialmente no infinito, e no final na
Para trazer do infinito uma terceira carga, devemos efetuar trabalho contra o
e , assim
campo elétrico das cargas
O trabalho total para montar a configuração de três cargas é a energia potencial
do sistema de três carga:
eletrostática
Este trabalho não depende da ordem de montagem, mas somente das posições
finais das cargas. Duplicando todos os membros da direita da equação anterior e dividindo
por 2, temos,
55
FÍsiCa gEral iii
O termo
é o potencial
é o potencial
é o potencial
das cargas
das cargas
das cargas
Portanto, a energia potencial eletrostática
e
e
e
, o termo
e finalmente o termo
. Assim,
de um sistema de partículas é:
Para um condutor carregado colocado sob uma diferença de potencial V, temos,
5.5
Armazenamento de Energia Elétrica
Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. Começamos
com um capacitor descarregado transferindo elétrons de uma placa para a outra. O campo
elétrico situado no espaço entre as placas está apontando numa direção que tende a impedir
a transferência. Deste forma, já que as cargas se acumulam sobre a placa do capacitor, nós
teremos que aumentar cada vez mais, a quantidade de trabalho para transferir os elétrons
adicionais. Na prática este trabalho é realizado por uma bateria.
Podemos considerar o trabalho necessário para carregar um capacitor, como se
ele estivesse armazenando na forma de energia potencial elétrica U, num campo elétrico
localizado entre as placas. Esta energia também pode ser recuperada, se permitirmos a
descarga do capacitor. Vamos considerar novamente o processo de carga de um capacitor.
Se uma pequena quantidade de carga dq for transferida do condutor negativo para o
positivo, através de uma diferença de potencial V, a energia potencial dessa carga dq
aumenta de
O aumento da energia potencial U é a integral de dU sobre a carga, de 0 até a
carga final Q:
A energia potencial de um capacitor carregado pode ser vista como se estivesse
armazenada no campo elétrico entre as placas. Como já vimos na seção anterior 5.4,
podemos escrever a energia potencial também como:
56
Exemplo 5
Dado uma esfera condutora , isolada, de raio R=10cm e carga q=1,0nC, calcule a energia
potencial acumulada no campo elétrico?
Capacitância
Solução:
Usando a lei de Gauss podemos descobrir a capacitância. Fazendo uma superfície gaussiana
esférica concêntrica a esfera condutora, o campo elétrico é constante e perpendicular a
, portanto,
superfície gaussiana. Assim, fica ficando assim somente a integral
onde
é a área da superfície esférica gaussiana. Assim o campo elétrico E é dado por:
Como:
R
V = ∫ Edr
∞
Substituindo o valor do campo elétrico encontrado E na expressão acima, temos
R
1 Q
Q R dr
Q 1 1
Q
=
− =
V =∫
dr =

2
2
∫
∞ 4πε r
4πε 0 ∞ r
4πε 0  R ∞  4πε 0 R
0
A capacitância C é definida por
Como
, assim ,
, temos,
Exemplo 6
Na figura abaixo observamos uma Balança de Kirchhoff, que é usada para medidas
absolutas de carga ou de diferença de potencial. Usando a Lei de Gauss para determinar
o campo interno entre as placa 1 e 2, determine .
Solução:
Quando entre as placas colocamos uma diferença de potencial
, temos um campo
homogêneo
. Este campo vem de uma carga
. Se colocarmos
uma pequena carga dQ em um das placas, a energia potencial aumenta
Como
(definição no capitulo 7 do livro Física Geral I), temos,
57
5.6
Combinação de Capacitores
FÍsiCa gEral iii
Comumente usamos dois ou mais capacitores combinados. A capacitância equivalente
significa que capacitância da combinação de capacitores usados pode ser substituída
pela capacitância de um único capacitor sem que haja mudança na operação do circuito.
Apresentaremos dois casos de combinação de capacitores.
5.6.1
Capacitores em Paralelo (mesma diferença de potencial)
A figura 7 mostra três capacitores, todos ligados a uma bateria, de tal forma que
a diferença de potencial em todos os três é idêntica. Este tipo de ligação é chamado de
,
e
, as cargas nos capacitores
ligação em paralelo. Se as capacitâncias forem
serão:
A carga total
nos capacitores é entao
Isolando as capacitância, temos,
Figura 7 - Capacitores
em paralelo. Os três
capacitores estão sob
a mesma diferença de
potencial.
Portanto a combinação dos capacitores em paralelo pode ser substituída por um
só capacitor capaz de reter a mesma quantidade de carga para uma certa diferença de
. O capacitor que substitui os outros tem capacitância equivalente igual a
potencial
Assim sendo, no caso de capacitores ligados em paralelo, a capacitância
é igual a soma dos capacitores. Este resultado é compressível, pois a
equivalente
área das placas aumenta e mais carga pode ser armazenada sem alterar a diferença de
de capacitores ligados em paralelo, temos
potencial. Para uma quantidade
Exemplo 7
Determine a capacitância equivalente da combinação mostrada na figura 8, com
,
e
.
Solução:
Como
5.6.2
, temos,
Capacitores em Série (mesma carga)
A figura 8 mostra três capacitores ligados em série. Mesmo sendo diferentes,
todos os capacitores terão a mesma carga . Para percebermos isto, devemos notar que o
elemento do circuito englobado pela linha tracejada na figura 8 está eletricamente isolado
58
do resto do circuito e neutra. No inicio a área delimitada pela linha tracejada não está
estiver na placa
submetida a nenhum campo elétrico e é neutra. Quando uma carga
de cima da capacitor C1, o campo elétrico desta carga induz uma carga igual e negativa
na placa de baixo do capacitor C1. Esta carga provém dos elétrons que saem da placa de
e seu campo provoca a carga
cima do capacitor C2. Esta placa fica com uma carga
na placa de baixo do capacitor C2. Este processo de indução de cargas se repete para
.
as próximas placas, sendo que a placa de baixo do capacitor C3 fica com uma carga
é a mesma para todos os capacitores.
Isto é a carga
Capacitância
Em um circuito onde os capacitores são ligados em série a soma das diferenças
de potencial de cada um deles é igual a diferença de potencial aplicada pela fonte, assim
Para reter a mesma quantidade de carga
para uma certa diferença de potencial
de uma combinação dos capacitores em série, podemos substituir por um só capacitor
igual a
com a capacitância equivalente
Figura 8 Capacitores
ligados em série. A
soma das diferenças de
potencial através de cada
capacitor deve ser igual à
diferença de potencial .
O valor da capacitância equivalente é sempre menor do que a menor das
capacitâncias individuais que compõem o sistema em série. Podemos facilmente estender
de capacitores em série como:
para um numero
Exemplo 8
Determine a capacitância equivalente da combinação mostrada na figura 8, com
,
e
.
Solução:
Como
, temos,
Podemos perceber que o valor de capacitância equivalente é menor que o valor de
todos os capacitores.
59
5.7
Dielétricos
FÍsiCa gEral iii
O que ocorre quando preenchemos o espaço entre as placas de um capacitor com
um material isolante, como óleo mineral ou plástico, o que acontece com a capacitância?
Michael Faraday foi o primeiro a testar preencher o espaço entre as placas com tais
materiais. Ele determinou que a capacitância aumentava por um fator numérico k do valor
obtido em um capacitor sem nada entre as placas, assim,
onde k é chamada de constante dielétrica do material introduzido. Observando a tabela 1,
vemos que a constante dielétrica depende do material utilizado.
Material
Constante
dielétrica
k
Vácuo
1
Ar (1 atm)
1,00054
3
Polistireno
2,6
24
Papel
3,5
16
Óleo de transformador
4,5
Vidro pirex
4,7
14
Mica
5,4
10-100
Porcelana
5,6
Silício
12
Germânio
16
Etanol
25
Água (20 C)
80,4
Água (25OC)
78,5
Cerâmica
130
Titanato de estrôncio
310
O
Tabela 1
Rigidez
dielétrica
(kV/mm)
Figura 9
Figura 10 a) capacitor de placas paralelas sem dielétrico e b) com dielétrico.
O que ocorre é que o dielétrico enfraquece o campo elétrico de um capacitor,
por as suas moléculas provocam um outro campo em direção oposta à do campo original
(figura 10). Este novo campo elétrico se deve aos momentos de dipolo das moléculas do
60
dielétrico. Na presença de um campo elétrico externo, as cargas positivas e negativas
sofrem forças em direções opostas. Nos dielétricos polares, como a água, o dipolo elétrico
é permanente, pois os centros de cargas positivas e negativas não coincidem (figura 9a).
Sob a ação de um campo elétricos externo este dipolos se alinham a este campo. Nos
dielétricos não-polares os momentos de dipolo são induzidos pelo próprio campo elétrico
externo.
a)
Capacitância
b)
Figura 11
A figura 11 mostra a influência dos dielétricos. Na figura 11a, não há uma bateria
e portanto a carga deve permanecer constante quando colocamos o dielétrico. Como
sem dielétrico e
com dielétrico, assim,
. Consequentemente,
a diferença de potencial decresce por um fator de k. Na figura 11b, a bateria garante
sem
a diferença de potencial V entre as placas permanece constante. Como
com dielétrico, assim,
. Deste modo a presença de um
dielétrico e
dielétrico no capacitor faz com que a carga aumente por um fator k se a diferença de
potencial se mantiver constante.
Vamos analisar um capacitor de placas paralelas em duas situações: com e sem
dielétrico, conforme visto na figura CC. Consideremos a mesma carga Q sobre as placas
nos dois casos. No capacitor sem dielétrico (vácuo), a lei de Gauss nos dá
Se colocarmos um material dielétrico entre as placas, haverá o aparecimento
na superfície do dielétrico. Desta forma, a carga contida dentro da
de uma carga
. Assim, a lei de Gauss passa a nos dar
superfície de Gauss é
onde
, portanto
61
FÍsiCa gEral iii
Consequentemente, o efeito do dielétrico é o enfraquecimento do campo
um fator , ou seja,
por
A lei de Gauss com um dielétrico pode ser escrita com
Esta equação, apesar de ser obtida para o caso de um capacitor, é verdadeira e
geral. Usando a obtida lei de Gauss com um dielétrico, o campo elétrico de uma carga
pontual a uma distância r contida num dielétrico é
Esta expressão é a lei de Coulomb decrescida por um fator k . Podemos perceber
que o efeito do dielétrico é a redução do campo elétrico. Estes resultados sugerem:
Em regiões completamente preenchidas por um dielétrico, todas as equações eletrostáticas
podem ser modificadas se colocarmos a constante
que contêm a permissividade
em lugar de .
Exemplo 9
Um capacitor de placas paralelas, inicialmente sem dielétrico, de área A = 0,1 m2 e
separação entre as placas de 1mm, é carregado por uma fonte até atingir 6 Volts e
depois isolado da fonte. Então o espaço entre as placas é preenchido por água. Calcule
a) capacitância, b) a diferença de potencial antes e depois de preenchido o capacitor
com água.
Solução:
a) Capacitância sem o dielétrico:
Capacitância com dielétrico, o campo elétrico é dado por:
onde k é a constante dielétrica. No caso de capacitor de placas planas e paralelas, a
diferença de potencial é
A nova capacitância é dado por:
b) a diferença de potencia antes de colocar o dielétrico é 6 Volts. Depois que foi colocado
o dielétrico,
62
Exercícios
Capacitância
1) O que acontece com a capacitância se a voltagem entre as placas de um capacitor de
placas planas e paralelas for triplicada?
2) Um condutor esférico isolado, com 10 cm de raio está carregado a 2 kV. a) Qual a carga
no condutor? Qual a capacitância da esfera?
3) A carga em um capacitor é de 30 μC. A diferença de potencial entre os condutores é de
100V. Qual a capacitância?
4) Um capacitor de 10 μF é carregado com uma carga de 3 μC. Que energia eletrostática
fica no capacitor? Se um terço da carga for removida, que energia fica restante?
5) Um capacitor de placas planas e paralelas, com ar entre as placas, é ligado a uma bateria
de voltagem constante. A separação entre as placas do capacitor é então duplicada, sem
haver desligamento da bateria. O que acontece com a energia eletrostática no capacitor?
6) O campo elétrico da terra da superfície até 1000 metros tem um valor quase constante
de 200V/m. Estimar a energia eletrostática presente na atmosfera. (considere a atmosfera
como uma camada plana com área igual à superfície terrestre)
7) A figura abaixo mostra um sistema de três capacitores. Determine a capacitância
equivalente e a carga.
8) Um capacitor de variável que usa ar como dielétrico foi muito empregado na
sintonia de aparelhos de radio. As placas de área A estão separadas por uma distância
d e ligadas alternadamente. Um grupo de placas é fixo e o outro pode girar em torno
de um eixo. Sendo n o número de placas, mostre que o valor máximo da capacitância é
63
9) Qual é a capacitância dos capacitores paralelos e de placas planas com dielétricos?
FÍsiCa gEral iii
10) No capacitor d do exercício anterior, determine que fração de energia é armazenada
nos espaços com ar e a fração que é armazenada no dielétrico?
64
Capacitância
Anotações
65
FÍsiCa gEral iii
Anotações
66
6
Corrente e Resistência
6.1
Corrente
6.2
resistência e a lei de ohm
6.3
Energia nos Circuitos Elétricos
6.4
Combinação de resistores
6.5
Circuitos rC
67
6
CORRENTE E RESISTÊNCIA
6.1
Corrente
FÍsiCa gEral iii
a)
b)
Figura 1
Computadores, televisores, celulares e outros aparelhos domésticos só trabalham
quando são conectados a fontes de energia, tais como tomadas ou baterias. Quando isto é
feito, uma corrente de elétrons flui no interior desses aparelhos através de fios metálicos
e outros materiais condutores. Feixes de elétrons movem-se também através do espaço
vazio no tubo de imagem de televisores.
Em um condutor desligado de uma fonte de energia, os elétrons livres movem-se
desordenadamente no interior da rede cristalina com velocidades bastante grandes, da
ordem de 106 m/s. Como os vetores velocidade desses movimentos dos elétrons livres
estão orientados aleatoriamente, conforme figura 1a, a velocidade media é nula e o tal
movimento não constitui a corrente elétrica. Neste caso o condutor está em equilíbrio
eletrostático, isto quer dizer, encontra-se inteiramente sob o mesmo potencial. Quando
ligamos o condutor a uma fonte de energia, aparece uma força que age sobre cada um dos
elétrons livres (figura 1b). Ao serem acelerados por esta força, acabam produzindo um
movimento adicional que é a corrente elétrica nos metais. Esta força é devida à existência
de um campo elétrico no interior do fio quando o mesmo é conectado à fonte de energia.
A energia cinética que os elétrons livres adquirem é rapidamente dissipada nas colisões
com íons da rede cristalina. Como conseqüência das colisões, os elétrons possuem uma
pequena velocidade na direção oposta ao campo elétrico. A corrente dos elétrons livres em
de 10-4m/s. Se
uma típica fiação elétrica de uma casa tem uma velocidade de migração
a velocidade dos elétrons é tão pequena, por que a luz do quarto acende tão velozmente
quando ligamos o interruptor? Não podemos confundir a velocidade de migração com a
velocidade de propagação das perturbações do campo elétrico no condutor, que é muito
rápido. Quando o interruptor é fechado, os elétrons em todo o condutor do interruptor até
a lâmpada começam quase que imediatamente a se moverem. Este fenômeno é análogo ao
que ocorre quando abrimos uma torneira em uma mangueira de jardim previamente cheia.
Quase que imediatamente após a abrirmos a torneira a água jorra no final da mangueira.
A figura 2 mostra uma seção de um condutor, no qual uma corrente foi estabelecida.
A quantidade de carga dq que passa pelo plano imaginário A em um determinado espaço
de tempo dt é definido como a corrente i.
De acordo com as condições do estado estacionário, a corrente é a mesma para
todos os planos (A, A´e A´´), conforme mostrado na figura 2. Não importa onde os
planos estejam situados ou qual seja a sua orientação. Esse fato é uma conseqüência da
conservação das cargas. Ainda, sob as mesmas condições do estado estacionário, enquanto
um elétron entra no condutor por uma das extremidades, o outro elétron deve deixar a
outra extremidade. Do mesmo modo, se temos um fluxo estacionário de água, passando
por uma mangueira, uma gota de água deve deixar o bico para cada outra gota que entra
na mangueira pela extremidade oposta. Portanto o fluxo é idêntico em toda a mangueira
de água, pois a quantidade de água na mangueira permanece constante.
Figura 2
A unidade do Sistema Internacional (SI) para corrente é o Coulomb por segundo
ou Ampere (A). A corrente é um escalar. Frequentemente representamos uma corrente
num condutor através de uma seta que indica a direção do movimento das cargas. Estas
68
setas não são vetores. Assim podemos somar ou subtrair valores escalares de corrente
em um circuito. A figura 3 mostra um conector que divide em dois. Pelo fato da carga
e
devem ser somados para a obtenção do
ser conservada, os módulos das correntes
módulo da corrente , assim,
Corrente e resistência
A orientação da corrente é desenhada no sentido do movimento dos portadores
positivos, mesmo sabendo que, na realidade, estes portadores não são positivos. Esta
convenção foi adotada muito antes de se ter conhecimento que os elétrons livres (negativos)
eram as partículas que se deslocavam, transportando cargas, nos condutores metálicos.
Um portador de cargas positivas, que se move da esquerda para a direita, tem o mesmo
efeito externo que um portador negativo movendo-se para da direita para a esquerda.
Necessitamos prestar atenção nos sinais dos portadores de carga somente quando estamos
interessados no mecanismo detalhado do transporte de cargas.
o número de portadores de carga por unidade de volume num condutor
Seja
é a densidade dos portadores de carga por volume. Consideremos
de seção reta A.
e se desloque com a velocidade de migração
. No
que cada partícula tenha a carga
, todas as partículas no volume
cruzarão o elemento de
intervalo de tempo
área , conforme mostrado na figura 3. Logo, o número de partículas neste volume é
. A carga elétrica total destas partículas é
Figura 3: os portadores de carga negativa arrastando-se no sentido oposto da corrente i.
Podemos escrever a corrente
, temos
total das partículas
como
. Substituindo o carga elétrica
Exemplo 1
Em um fio de cobre 2,053 mm de diâmetro Ø(AWG 12 - tabela 1), calcular a velocidade
de migração dos elétrons neste condutor percorrido por uma corrente de 10A. Admitir
que haja um elétron livre por átomo.
Solução:
Conforme a tabela 1, o fio de cobre AWG 12 tem uma área da sessão reta de
. Como
, e se houver um elétron
livre por átomo, podemos calcular a densidade dos portadores de carga pela densidade
e massa molecular do cobre
Avogadro
, juntamente com o número de
.
69
FÍsiCa gEral iii
assim
Como discutimos anteriormente, a velocidade de migração ou velocidade de deriva têm
um valor bastante reduzido.
Corrrente
Ø
Máxima
Área
Ohm/km
Diâmetro
Amp
mm2
mm
0000
11,68
107,1
0,161
321
000
10,39
84,74
0,203
254
00
9,266
67,40
0,256
202
0
8,252
53,46
0,323
160
1
7,348
42,39
0,406
127
2
6,544
33,62
0,513
101
3
5,827
26,65
0,646
79,7
4
5,189
21,14
0,815
63,5
5
4,621
16,76
1,03
50,4
6
4,115
13,29
1,30
39,9
7
3,665
10,54
1,64
31,5
8
3,264
8,363
2,07
25,1
9
2,906
6,629
2,59
19,9
10
2,588
5,258
3,27
15,8
12
2,053
3,309
5,22
9,90
15
1,450
1,650
10,4
4,95
20
0,8118
0,517
33,5
1,54
25
0,4547
0,162
108
0,427
30
0,2546
0,051
351
0,147
40
0,07987
0,005
3400
0,015
46
0,03980
0,001
15130
0,003
Tabela 1 – Tabela de alguns fios padrão AWG, com diâmetro,
área da seção reta, resistência e amperagem máxima de trabalho.
AWG
Para fazer:
Calcular a velocidade de migração para um fio de cobre de 11,68 mm Ø (AWG 0000)
e um fio de 0,039 mm Ø(AWG 46) (diâmetro e corrente dados na tabela 1). Comparar
com o valor obtido no exemplo 1.
6.2
Resistência e a Lei de Ohm
Quando aplicamos a mesma diferença de potencial entre os extremos de duas
barras, de mesma dimensão e comprimento, uma de cobre e outro de vidro, vemos que
as correntes que passam por cada barra é diferente. A característica do condutor que é
relevante nesta situação é chamada de resistência. Definimos resistência entre dois pontos
entre os pontos e
quaisquer de um condutor, aplicando uma diferença de potencial
medindo a corrente resultante. A resistência R é, então,
A unidade da resistência é volt por ampère, A ocorrência desta combinação é tão
frequente, que se denomina ohm (Ω), assim,
70
Um elemento, cuja sua função num circuito é fornecer uma certa resistência à
corrente elétrica, é chamado de resistor. A figura 4 mostra alguns resistores comumente
.
usados. Representamos um resistor em um diagrama do circuito pelo símbolo
Em muitos materiais, a resistência não depende da voltagem nem da corrente.
Estes materiais são chamados de materiais ôhmicos. Nos materiais ôhmicos, a queda de
potencial num segmento de condutor é proporcional à corrente. A resistência de um fio
condutor é proporcional ao comprimento do condutor e inversamente proporcional à área
da seção reta:
A constante de proporcionalidade
é a resistividade do material condutor. A
unidade SI de resistividade
Além do comprimento e da espessura do condutor, a resistência elétrica também
está sujeita ao material utilizado no condutor, conforme podemos ver na tabela 2. A
resistividade pode variar de material para outro por dois motivos:
1. O número de elétrons livres varia para cada material (tabela 2).
2. Cada material tem estrutura diferente (tamanho e forma de distribuição dos
átomos), que determina o espaço e a forma para o movimento do elétrons
livres (a estrutura dos matérias será melhor vista no curso de física da matéria
condensada) .
Material
Resistividade ρ
a 200C (Ω.m)
n = Concentração
de elétrons livres
por cm3.
Corrente e resistência
Figura 4
Coeficiente de
temperatura α
a 200C (K-1)
Condutor
Prata
1,6 x 10-8
5,8 x 1022
3,8 x 10-3
-8
22
Cobre
1,7 x 10
8,5 x 10
3,9 x 10-3
Prata
1,6 x 10-8
5,8 x 1022
3,8 x 10-3
Alumínio
2,8 x 10-8
6 x 1022
3,9 x 10-3
-8
22
Tungstênio
5,5 x 10
6,3 x 10
4,5 x 10-3
Níquel
7,8 x 10-8
9 x 1022
6,0 x 10-3
Ferro
10 x 10-8
5,0 x 10-3
-8
Platina
10 x 10
3,9 x 10-3
Chumbo
22 x 10-8
4,3 x 10-3
Nichrome
100 x 10-8
0,4 x 10-3
Semicondutores
-0,5 x 10-3
Carbono
3500 x 10-8
Germânio
0,45
-4,8 x 10-3
Silício
640
-7,5 x 10-3
Isolantes
Madeira
108 - 1014
Vidro
1010 - 1014
Quartz
1016
Borracha
1013 - 1016
Tabela 2: Resistividade ρ e Coeficientes de temperatura α.
71
FÍsiCa gEral iii
Exemplo 2
Calcular as resistências, por unidade de comprimento, de um fio de prata e de um fio de
nichrome de 0,5 mm de raio (dados da tabela 2)
Solução:
Como
e a área da seção reta de ambos os fios são idênticas
, assim,
Para a prata ( ρ = 1, 6 ×10−8 Ω.m ), temos,
Para o nichrome ( ρ = 100 ×10−8 Ω.m ), temos,
Exemplo 3
Dado uma filme fino de cobre de 100μm de espessura, 10 cm de largura e 20cm de
comprimento percorrida por uma corrente de 1mA. Calcular a) qual a resistividade e
b) estimar o campo elétrico E.
Solução:
a) A área da seção reta é
é dada por
b) Admitindo que o campo elétrico seja uniforme, então
e a resistividade
e
, portanto,
Para metais a resistência aumenta com o aumento da temperatura. Um aumento
da temperatura corresponde, principalmente, a um maior movimento desordenado dos
elétrons livres. Deste modo, o intervalo de tempo entre um choque e o outro diminui,
fazendo com que o número de choques entre os elétrons e os íons da rede aumente. Assim,
um aumento da temperatura, aumenta a dificuldade de avanço dos elétrons livres, que
corresponde a um aumento da resistência do material. Esta dependência da resistividade
com a temperatura é quase linear dentro de uma faixa de temperatura, deste modo,
ρ = ρ0 1 + α ( t − t0 )  .
é a temperatura de referência, geralmente tomada
onde é a temperatura do material,
O
é a resistividade do material à temperatura
e α é o coeficiente
com sendo 20 C,
e α para diversos materiais são mostrados na tabela 2.
de temperatura. Os valores de
Contrário ao comportamento dos metais, os semicondutores (ver tabela 2)
apresentam o coeficiente de temperatura α negativo, portanto menor resistência com o
aumento da temperatura. Os portadores de carga, também elétrons, nos semicondutores
são obtidos através de um aumento de temperatura.
72
A partir das propriedades da resistividade podemos classificar os materiais como:
Condutores: Materiais que apresentam até três elétrons de valência e apresentam muitos
elétrons livres à temperatura ambiente e, portanto, possuem baixa resistência elétrica.
Semicondutores: Silício, o Germânio, e outros, possuem a característica de apresentarem
alta resistência sob determinadas condições e baixa resistência em outras. As propriedades
desses materias são utilizadas para a fabricação de componentes eletrônicos como os
diodos, os transistores, os circuitos integrados e os microprocessadores.
Isolantes: Materiais que apresentam muitos elétrons de valência, com esta camada
praticamente completa e estável. Assim, apresentam poucos elétrons livres à temperatura
ambiente e, portanto, possuem alta resistência elétrica.
Supercondutores: São os materiais que, sob determinadas condições como baixas
temperaturas, apresentam resistência elétrica nula. Têm a grande vantagem de não
apresentarem perdas térmicas na condução de corrente elétrica. A supercondutividade
foi observada pela primeira vez em 1911 pelo físico holandês Kammerlingh Onnes.
Ele resfriou o mercúrio até a temperatura do Hélio líquido (-273,15OC) e observou o
efeito. O mecanismo da supercondutividade. Em 1972 John Bardeen, Leon Cooper
e Robert Schrieffer fizeram a proposta que os portadores de carga não são os elétrons
individuais, mais sim pares de elétrons. Um elétron, ao move-se através do material, pode
distorcer ligeiramente e localmente as cargas do material e, assim, deixa no seu rastro
uma maior concentração de cargas positivas do que o normal. Se um segundo elétron
estiver próximo, ele poderá ser atraído para esta região de maior concentração de cargas
positivas, portanto temos uma corrente. Em 1986 J. Georg Bednorz e K. Alexander
Muller obtiveram a supercondutividade utilizando uma cerâmica com óxido de cobre a
uma temperatura mais alta de aproximadamente –238OC, abrindo novas perspectivas de
materiais supercondutores. A supercondutividade tem sido muito pesquisada atualmente
e já se tem notícia de se obter o fenômeno em cerâmicas de mercúrio a temperaturas de
-150 OC.
6.3
a)
Corrente e resistência
Energia nos Circuitos Elétricos
b)
gás inerte
filamento
condutores
suporte de vidor
rosca
isolante
contatos
Figura 5
Quando esta corrente passa por um condutor, geralmente, há um aquecimento
do mesmo e até emissão de luz. Este aquecimento pode acarretar a quebra do fio, que
em alguns casos é prejudicial, em outros casos é favorável, pois pode ser utilizada, para
controlar a corrente, que é o caso de fusíveis. Vamos agora interpretar, de acordo com o
modelo clássico, o processo de aquecimento nos condutores. Utilizaremos um modelo bem
simples.. Em um segmento de fio ab com corrente i (figura 5a), os elétrons livres estão sob
a ação do campo elétrico, e portanto a uma força que os acelera na direção deste campo,
fazendo que a energia cinética dos elétrons aumente. Com esse o movimento ocorrem
diversos choques dos elétrons livres com os átomos da rede cristalina. Com a ocorrência
73
FÍsiCa gEral iii
dos choques, parte da energia cinética dos elétrons é transferida à rede cristalina, fazendo
que ela vibre intensamente. Esse aumento de vibração é percebido macroscopicamente
com aumento da temperatura do condutor, como visto em um filamento de uma lâmpada
incandescente (figura 5b). O incremento de energia térmica no condutor através das
colisões é o chamado de efeito Joule.
Usaremos o mesmo segmento ab do fio, de comprimento L e área da seção reta
A, conforme mostrado na figura 5a. Existe uma corrente i atravessando este segmento que
tem uma determinada resistência R e uma diferença de potencial entre a e b. Se uma carga
atravessar o segmento de a para b, sua energia potencial
diminuirá de
elementar
, portanto,
A taxa de dissipação de energia é portanto
Como
é a corrente e como a variação de energia potência é igual a variação
do trabalho realizado com sinal trocado
, temos
Portanto a dissipação de energia por unidade de tempo é a potência P dissipada
no resistor:
Sempre que há queda de potencial elétrico em um circuito elétrico, existe uma
taxa de transferência de energia elétrica. Portanto esta potência pode ser transferida para
um resistor, como vimos, ou, por exemplo, para um acumulador, ou para um motor. No
caso do acumulador a energia surgirá sob a forma de energia química acumulada, no caso
do motor, a energia aparecerá sob a forma de um trabalho mecânico produzido pelo motor.
Figura 6 Analogia mecânica de um circuito simples. As bolas são soltas de uma altura h sobre um
plano inclinado e são aceleradas por um campo gravitacional até as bolas encontrarem um prego.
Nas colisões as bolas transferem sua energia cinética para os pregos. Logo após uma colisão, a
bola é novamente acelerada e novamente colide com outro prego. Em função das muitas colisões
a velocidade de avanço das bolas no final do plano é relativamente pequena. Uma pessoa faz
trabalho sobre as bolas, levando–as da parte inferior até a superior. O plano inclinado com os
pregos é o análogo do resistor em um circuito elétrico e a mão é a fonte de força eletromotriz.
Para mantermos uma corrente constante em um circuito, precisamos de um
dispositivo que realize trabalho sobre os portadores de carga, movendo de um ponto de
potencial mais baixo (terminal negativo) para outro de potencial mais alto (terminal
positivo). Isto quer dizer, mantém uma diferença de potencial entre os seus terminais.
Chamamos tal dispositivo de fontes de força eletromotriz, abreviadamente fem.Uma das
fontes fem mais comuns é uma bateria. Geradores, células solares, células de combustível,
termopilhas são outros exemplos de fem. A figura 6 mostra uma fonte fem em um circuito
elétrico simples. A fem tem a função de manter uma diferença de potencial entre os
terminais a e b.
74
Podemos escrever a potência dissipada em função da resistividade. Como a
potência
e resistência
A relação entre a resistência
Corrente e resistência
, temos
e a resistividade
é
, onde L é o
comprimento e A é a área da seção reta. Portanto,
Isto é a potência dissipada é maior quando a área da seção reta aumenta. Isto é, com
o aumento da espessura há um aumento da intensidade da corrente i, e conseqüentemente,
um maior número de elétrons livres que se movimentam no interior do material,
aumentando o numero de colisões. Logo, uma lâmpada de baixa potência tem um fio mais
fino que uma de maior potência.
Como podemos explicar que para uma dada corrente, um fusível de filamento
mais fino queima e um mais grosso não queima.. Com a diminuição da espessura (figura
5a) a resistência no segmento aumenta, acarretando um aumento de tensão V (resistores
,
em série serão discutidos na próxima seção). Sabemos a potência P é proporcional a
assim, um aumento em V acarrete um aumento da potência. Assim, este aumento da tensão
aumenta o campo elétrico e aumenta a energia cinética dos elétrons livres, acarretando uma
maior transferência de energia para a rede. Com o aumento da transferência de energia
para a rede e a menor quantidade de material, o aquecimento obtido atinge rapidamente a
temperatura de fusão do filamento do fusível.
Exemplo 4
Um chuveiro tem uma potência de 5000W, para uma tensão de 120V. Calcule a
resistência do chuveiro e a corrente. Quais as resistências e as correntes se o chuveiro
tivesse uma potência de 4000W e 3000W?
Solução:
Como
, temos para uma potência de 5000W,
A corrente pode ser determinada sabendo que V=RI,
Para 4000W,
Para 500W,
Podemos perceber que conforme a potência diminui, a resistência aumenta e a corrente
diminui. Observando a tabela 1, veremos que os fios ideais serão 4,621 mm Ø (AWG
5), 4,115 mm Ø (AWG 6) e 3,264 mm Ø (AWG 8) para 5000W, 4000W e 3000W,
respectivamente.
75
FÍsiCa gEral iii
6.4.
Combinação de Resistores
6.4.1
Resistores em Série
A figura 7 mostra dois resistores em série. Os dois resistores são atravessados pela
, a queda de potencial entre a e b
é igual a
mesma corrente. Como
e entre b e c
é
. Portanto, a queda de potencial entre os pontos a e c é dada por:
A resistência equivalente
que proporciona a queda de potencial
, então,
pela mesma corrente é calculada fazendo-se
Assim, quando existem
resistores em série (
percorrida
igual a dois ou mais), temos
Figura 7 Dois resistores em série. A diferença
de potência
e a corrente é igual
para os dois resistores.
Exemplo 5
Dado o circuito da figura 7 e R1=10Ω, R2=10Ω, e Vac=12V, a) calcule a resistência
equivalente dos resistores, b) a corrente I e c) as tensões Vab, e Vbc.
Solução:
Para dois resistores em série, temos,
A corrente pode ser determinada, sabendo que
, assim,
todo o circuito e
onde I é a corrente que passa por
Usando a mesma relação
agora para cada resistor em separado e com
(a mesma corrente passa pelos dois resistores), por conseguinte,
A soma
6.4.2
e
é igual a
Resistores em Paralelo
A figura 8 apresenta dois resistores em paralelo. A queda de potencial é a mesma
no resistor
e
no
para ambos resistores. A corrente se divide em duas partes,
, portanto,
resistor
76
Como
Corrente e resistência
, temos
A resistência equivalente
Quando temos
é, portanto,
resistores em paralelo, a resistência equivalente é dada por:
Figura 8 Dois resistores em paralelo. A corrente
e a diferença de potencial V é igual
para os dois resistores.
Exemplo 6
Dado o circuito da figura 8 e R1=10Ω, R2=10Ω, e Vac=12V , a) calcule a resistência
equivalente dos resistores, e b) as correntes I, I1, e I2 .
Solução:
Para dois resistores em paralelo, temos,
A corrente pode ser determinada sabendo que
onde
, assim,
A corrente se divide entre os dois resistores, e como para ambos os resistores temos a
, temos
mesma diferença de potencial, e usando a relação
Podemos perceber que
77
FÍsiCa gEral iii
Exemplo 7
Dado o circuito ao lado,
a) calcule a resistência equivalente dos resistores,
b) as correntes I, I1, I2 e I3, e
c) a tensão Vab e Vbc.
(R1=100Ω, R2=100Ω, R3=1000Ω e Vac=12V).
Solução:
a) Os resistores R2 e R3 estão em paralelo, portanto
Os resistores R1 e Req23 estão em série, assim,
A corrente pode ser determinada sabendo que
onde
, assim,
b) A corrente
.
no resistor
é de
,
A queda de potencial
. A corrente se divide
portanto a queda de potencial
entre os dois resistores, e como para ambos os resistores temos a mesma diferença de potencial
, e usando a relação
, temos
c) As quedas de potencial
6.4.3
e
(já calculado anteriormente).
Circuitos (uma malha e várias malhas)
Há muitos circuitos, como da figura 9, que não podem ser estudados pela simples
substituição de resistores por outros equivalentes (resistores em paralelo e resistores em
série). Para isso, duas regras gerais aplicam-se a este e a qualquer outro circuito:
1. Quando se percorre uma malha fechada num circuito, a soma algébrica das
variações de potencial é necessariamente nula.
2. Em qualquer nó do circuito, onde a corrente se divide, a soma das correntes que
fluem para o nó é igual à soma das correntes que saem do nó.
Estas são as regras de Kirchhoff. A primeira regra de Kirchhoff, a regra das
malhas, é uma implicação direta da conservação da energia. Se tivermos uma carga q
num ponto do circuito onde o potencial seja V, a energia potencial desta carga é qV.
Isto é, a variação líquida do potencial é necessariamente nula. Num circuito, quando um
resistor é percorrido no mesmo sentido da corrente, existe uma queda de potencial igual
a –IR. Se o resistor for percorrido no sentido contrário da corrente haverá um aumento do
potencial de IR. Quando uma fonte eletromotriz (gerador ou uma bateria) for atravessada
no mesmo sentido positivo da sua tensão, a variação do potencial será positiva, e negativa
se percorrida no sentido contrário.
78
A segunda regra de Kirchhoff, a regra dos nós, é decorrência da conservação da
carga. Na figura 9, o nó b mostra as três correntes I, I1 e I2. Como a carga não é gerada,
nem acumulada, no nó, a conservação da carga acarreta a regra dos nós, assim I = I1 + I2.
Corrente e resistência
Figura 9
Vamos analisar o circuito da figura 9. Usando as regras de Kirchhoff podemos
obter uma série de equações e então descobrir as correntes elétricas que fluem no circuito.
Como já vimos, podemos empregar a regra dos nós no ponto b e, encontramos,
I = I1 + I2
A mesma relação encontrada no ponto b pode ser encontrada no ponto e.
Figura 10: Circuito da figura 9, mostrando a malha abcdefa (em sombreado a parte que não
pertencente a esta malha). Potencial em função do caminho percorrido abcdefa.
Podemos aplicar a regra de malhas no percurso abcdefa no sentido horário do
ponto a e voltando ao ponto a (ver figura 10). De a a c o potencial se mantêm constante.
Entre c e d, como o resistor de 2Ω é percorrido no mesmo sentido da corrente I2, temos
uma queda de potencial de -(2Ω) I2. Entre c e d, temos também uma queda de potencial
no f.e.m. de -5V, pois o ele é percorrido no sentido contrário a da voltagem. De d a e o
potencial se mantêm constante. Entre e e f temos mais uma queda de potencial -(3Ω)I .
Entre f e a temos um aumento do potencial de +12V, pois aqui a f.e.m. é percorrida no
sentido positivo da voltagem criada. Assim, temos,
-(2Ω)I2 - 5V -(3Ω)I + 12V = 0
Se mudarmos o sentido horário para anti-horário, obteremos a mesma equação
com todos os sinais contrários. Substituindo o resultado obtido pela regra dos nós (I = I1
+ I2) na equação anterior, temos
7V -(2Ω)I2 -(3Ω)(I1 +I2) = 0
7V -(3Ω)I1 -(5Ω)I2 = 0
Dividindo tudo por 1Ω
(1)
7A -3I1 -5I2 = 0
79
FÍsiCa gEral iii
Figura 11: Circuito da figura 9, mostrando a malha abefa (em sombreado a parte que não
pertencente a esta malha). Potencial em função do caminho percorrido abefa.
Percorremos a malha abefa no sentido horário do ponto a e voltando o ponto a
(figura 11). Entre a e b o potencial se mantém constante. De b a e, temos uma queda de
potencial de -(4Ω)I1.
-(4Ω)I1 -(3Ω)I + 12V = 0
Como I = I1 + I2,
-(4Ω)I1 -(3Ω)(I1 + I2) + 12V = 0
12V -(7Ω)I1 -(3Ω)I2 = 0
Dividindo tudo por 1Ω
(2)
12A -7I1 -3I2 = 0
Para eliminar I2, multiplicando a equação (1) por -3 e a equação (2) por 5, assim,
-21A +9I1 +15I2 = 0
60A -35I1 -15I2 = 0
Somando as duas equações, temos,
39A -26I1 = 0
I1=1,5A
Substituindo este valor na equação (2), obtemos
12A -7(1,5A) -3I2 = 0
1,5A -3I2 = 0
I2 = 0,5A
Como I = I1 + I2,
I = 1,5A + 0,5A,
I=2,0A
Assim,
I2 = 0,5A
I=2,0A
I1=1,5A
Vocês já devem estar desconfiados que este não é o único método de solução.
Podemos fazer outras substituições ou mesmo utilizar a malha bcdeb e o resultado final
será o mesmo.
Para fazer
Resolva o circuito da figura 9, utilizando a malha bcdeb e a malha befab. Faça os gráficos do
potencial em função do caminho (não esqueça que quando um resistor é percorrido no sentido
contrario da corrente temos um aumento do potencial)
80
6.5
Circuitoes RC
Corrente e resistência
Um circuito com um resistor
e um capacitor é um circuito RC. A
corrente neste circuito varia com
o tempo. Um exemplo de circuito
RC é o de uma lâmpada de flash de
máquinas digitais.
Em um circuito RC (figura
12), uma bateria carrega um
capacitor através de um resistor
em série. Depois de carregado, o
capacitor se descarrega através de
uma lâmpada, produzindo um clarão
que ilumina a cena. O objetivo é
obter a carga e a corrente em função
do tempo na carga e descarga de um
capacitor através do circuito.
6.5.1
Figura 12: Quando a chave S esta ligada em a, o capacitor é carregado através do resistor R. Quando a
chave S está ligada em b, o capacitor é descarregado.
Como carregar um capacitor
Vamos admitir que o capacitor esteja inicialmente
descarregado. Então, ligamos a chave S ao terminal
, e assim, carregamos o
a, introduzimos a fem
capacitor através do resistor R. Aplicando a lei das
malhas ao circuito da figura 13, percorrendo-o no
sentido horário. Teremos
Como
Figura 13 - Carga do Capacitor
Esta é a equação diferencial que descreve a variação
da carga Q com o tempo. Temos que descobrir uma
função Q(t) que satisfaça esta equação diferencial e
também satisfaça a condição de que o capacitor esteja
. A solução é
inicialmente descarregado
A solução satisfaz a condição inicial para
e em que
é a carga final
qual
(máxima). Podemos observar na figura 14a, que
a carga inicial é igual a zero. Ligando a chave s ao
e
terminal a aparecerá uma diferença de potencial
o capacitor começa a ser carregado. Na mesma figura
14a e para um tempo muito longo, vemos que valor
de Q tendo para o valor máximo, chamado de carga
.
de equilíbrio
Figura 14
81
A corrente em função do tempo pode ser obtida usando a relação
FÍsiCa gEral iii
:
Conforme a figura 14b, a corrente inicial é
. Como 0 tempo o valor da
corrente diminui, mostrando que o capacitor esta sendo carregado e tem já um pouco
de carga. Para um tempo muito longo a corrente tende a zero, pois o capacitor já está
totalmente carregado.
O produto RC, que aparece nas equações da carga e da corrente em função da
temperatura, tem as dimensões de tempo. Este produto RC é chamado de constante
de tempo capacitiva do circuito, que é simplesmente chamado de τ. Quando o tempo
, temos que a carga
onde, como já vimos,
muito longo.
6.5.2
é a carga de equilíbrio do capacitor, correspondente a um tempo
Descarga de um capacitor
Com o capacitor carregado ligamos a
chave S ao terminal b (ver figura 15). O capacitor
estará ligado diretamente o resistor . A corrente é
provocada pelo movimento da carga de uma placa
para a outra, passando pelo resistor. A corrente
inicial é
A diferença de potencial inicial no
capacitor é
, portanto,
Aplicando a lei das malhas ao circuito
da figura 15, percorrendo-o no sentido horário.
Teremos
Figura 15
Com o tempo a carga do capacitor diminui.
Se a corrente tiver o sentido horário, ela mede a
taxa de diminuição da carga do capacitor. Portanto,
. Substituindo na equação anterior,
temos,
O que queremos descobrir é a equação
. Para isso faremos a seguinte modificação:
Figura 16
82
Integrando o lado esquerdo de
até
, e do lado direito de 0 até um tempo
,
Corrente e resistência
Aplicando a função exponencial em ambos os lados e ajeitando, temos
O gráfico da carga em função do tempo pode ser vista na figura 16a.
A corrente em função do tempo pode ser obtida usando a relação
Esta equação obedece a condição que quando
:
, a corrente inicial é
, conforme discutimos anteriormente (ver figura 16b). A constante de tempo
RC aparece novamente nas equações da carga e da corrente em função da temperatura.
RC é chamado de τ.
Exercícios
1) Uma corrente de 1,0 A percorre um resistor durante 100 segundos. a) Quantos coulombs
e b) quantos elétrons passam através da seção transversal do resistor neste intervalo.
2) A corrente num feixe de elétrons de um terminal de vídeo é de 200μA. Quantos elétrons
chegam a tela por segundo.
3) Um fio condutor tem um diâmetro de 2,0 mm, um comprimento de 5,0m e uma resistência
de 124,2 mΩ. Qual a resistividade do material? Compare o valor da resistividade com a
tabela 2 e indique qual é o material?
4) Uma bobina de 10 cm de diametro é formada por 200 voltas de um condutor de cobre
de 0,4547 mm Ø(AWG 25 – tabela 1) em uma única camada. Determine a resistência da
bobina.
5) A resistência dos enrolamentos de um motor elétrico parada é igual a 20 Ω a 20oC. Após
algumas horas de funcionamento a resistência dos enrolamentos aumenta. Desprezando
as alterações nas dimensões dos enrolamentos, determine a temperatura dos enrolamentos
quando a resistência tem o valor de 40 Ω.
6) Um determinado condutor tem uma resistência R. O que acontece com a resistência de
se duplicarmos o comprimento e o duplicarmos o diâmetro do condutor?
7) O cobre e o alumínio são usados para linhas de transmissão de alta voltagem. A
resistência por unidade de comprimento é 0,323Ω/km. Calcule para o cobre e o alumínio
a massa por metro de cabo. As densidades do cobre e do alumínio são 8960 e 2700kg/m3,
respectivamente.
8) Os faróis de um carro consomem cerca de 10 A do alternador de 12 V, que é acionado
pelo motor. Suponha que o alternador seja 80 por cento eficiente, calcule a potência
fornecida pelo alternador.
83
FÍsiCa gEral iii
9) Um ferro elétrico tem uma resistência de 18 Ω e opera sob uma tensão de 120 V. Qual
é a potênciado ferro elétrico. Um kW.h custa 0,10 reais. Qual é o custo de 5 horas de ferro
elétrico ligado?
10) A figura abaixo mostra um circuito contendo um amperímetro e duas chaves S1 e
S2. Ache o valores marcados no amperímetro quando a) S1 e S2 estão abertas, b) S1 esta
fechada e S2 aberta, c) S1 esta aberta e S2 esta fechada e d) S1 e S2 estão fechadas.
11) Na figura abaixo, determine as resistências equivalentes entre os pontos a) A e B, b)
A e C e c) A e D
12) A figura abaixo mostra duas baterias de 1,5V com uma pequena resistência interna r
(desprezível), que estão ligadas a um resistor de 4 Ω, em duas configurações. Ache, entre
as duas configurações, a que tem o maior valor de energia térmica dissipada?
13) Dado o circuito abaixo, calcular a corrente, a potência fornecida ou absorbida em cada
fonte de fem e a taxa de aquecimento pelo efeito Joule em cada resistor.
84
14) Um capacitor, um resistor e uma bateria estão ligados em série. Se R duplicar, como
se altera a) a energia no circuito, b) a taxa de armazenamento de energia e c) o tempo
necessário para a energia atingir metade do seu valor final?
Corrente e resistência
15) No circuito abaixo calcular a corrente em cada resistor, a diferença de potencial entre
os pontos a e b e a potência fornecida por cada bateria.
16) Um resistor de 3 MΩ e um capacitor de 1,0 μF estao ligados em um circuito de uma
única malha com uma fonte de fem de 4.0V. Após 1s da conexão ter sido feita, a) qual é
a taxa de carga do capacitor, e b) qual a taxa de energia sendo armazenada no capacitor?
17) Em um circuito RC-série, a diferença de potencial entre as placas de um capacitor de
2,0μF cai para um quarto do seu valor inicial em 2s. Qual a resistência R do círculo?
18) Uma lâmpada de flash opera com um bateria de de 3,7V, que carrega um capacitor
de 15 μF, que descarrega através de um filamento de lâmpada de 10 Ω. Que energia é
descarregada na lâmpada pelo capacitor?
85
FÍsiCa gEral iii
Anotações
86
Corrente e resistência
Anotações
87
FÍsiCa gEral iii
Anotações
88
7
Campo Magnético
7.1
Campo Magnético e Força Magnética
7.2
linhas de Campo e Fluxo Magnético
7.3
Movimento de partículas Carregadas em um
Campo Magnético
7.4
Força Magnética sobre um Condutor transportando Corrente
7.5
Força e torque sobre uma Espira de Corrente
89
7
CAMPO MAGNÉTICO
FÍsiCa gEral iii
Introdução
O magnetismo, e as forças magnéticas advindas das interações magnéticas,
estão presentes de forma muito marcante em nossas vidas. De fato, a força magnética
está presente em muitos dos nossos aparelhos eletro-eletrônicos de uso cotidiano, tais
como lavadoras de roupa, televisores, microcomputadores, telefones celulares, aparelhos
de MP4, etc. Contudo, ela pode ser observada e experimentada principalmente quando
manuseamos um ímã de geladeira. Nesse experimento simples podemos facilmente
constatar que o ímã de geladeira, ou ímã permanente, atrai outros objetos metálicos não
imantados e também atrai ou repele outros ímãs permanentes. É fácil verificar também
que a ação de atritar um ímã permanente e uma agulha de costura faz com que mesma
fique imantada, o que nos possibilita construir artesanalmente uma bússola, que é um
conhecido dispositivo de orientação geográfica. A própria Terra, por sua vez, também é
um ímã que possui características magnéticas semelhantes às dos ímãs de geladeira. De
fato, o alinhamento da agulha imantada de uma bússola com o campo magnético terrestre
é o que nos permite utilizá-la como equipamento de orientação geográfica.
De um ponto de vista muito simples, sem nos preocuparmos com as origens do
magnetismo, afirmamos que o magnetismo pode ser entendido em termos da existência de
polos magnéticos que podem atrair-se ou repelir-se mutuamente. A experiência cotidiana
nos ensina que se tomarmos um ímã permanente em forma de barra e o deixarmos livre
para girar no espaço, uma de suas extremidades apontará para o norte. Essa extremidade
denomina-se Polo Norte (polo N), enquanto a outra extremidade do ímã permanente
denomina-se Polo Sul (polo S). Tal qual em nossos estudos de eletricidade estática, nos
quais aprendemos que cargas de sinais diferentes se atraem, enquanto cargas de sinais
iguais se repelem mutuamente; no estudo de magnetismo verificamos que polos de
naturezas distintas se atraem, enquanto polos de mesma natureza se repelem mutuamente.
Voltando a questão do magnetismo terrestre, constatamos que o polo Sul magnético da
Terra está próximo de seu polo norte geográfico, já que o polo norte da bússola deve ser
atraído por um pólo de sinal oposto, que nesse caso só pode ser o polo Sul magnético da
Terra. A Figura 1 ilustra a Terra com seus polos em destaque, assim como as linhas de
campo magnético terrestre. Podemos observar na Figura 1 que a linhas de campo entram
pelo polo Sul magnético da Terra (polo norte geográfico) e saem pelo polo Norte magnético
(polo sul geográfico), perfazendo um circuito fechado. Na próxima seção discutiremos
com maiores detalhes os conceitos relacionados a campo magnético e a linhas de campo
magnético.
Figura 1 – Figura ilustrativa do campo magnético terrestre. As linhas de campo magnético entram
no polo Sul magnético (Norte geográfico) e saem no polo Norte magnético (Sul geográfico),
perfazendo um circuito fechado. A agulha imantada se alinha ao campo magnético terrestre.
90
A despeito do fenômeno do magnetismo já ser conhecido e utilizado pela
humanidade há milênios, sua origem se baseia em fenômenos puramente quânticos que só
podem ser explicados sob a ótica da Mecânica Quântica. Contudo, podemos afirmar que
a natureza fundamental do magnetismo está relacionada à interação produzida por cargas
elétricas que se movem. Aqui reside uma grande diferença entre magnetismo e eletricidade,
já que os fenômenos puramente elétricos advêm da interação entre cargas que estão tanto
em repouso quanto em movimento. Ou seja, as forças magnéticas só atuam em cargas
que estão se movimentando. A primeira evidência experimental entre o magnetismo e o
movimento de cargas elétricas foi observada em 1819 pelo cientista dinamarquês Hans
Christian Oersted. Ele verificou que a orientação de uma agulha imantada era desviada
(defletida) por um fio colocado próximo a agulha e conduzindo uma corrente elétrica,
e que o desvio dependia do sentido da corrente no fio. Alguns anos mais tarde Michel
Faraday, na Inglaterra, e Joseph Henry, nos Estados Unidos da América, descobriram
que um ímã se movimentando próximo a uma espira condutora podia produzir corrente
elétrica na bobina. Tais evidências experimentais lançaram as bases para a unificação das
ciências do magnetismo e da eletricidade, que até então eram estudadas separadamente.
Mais adiante veremos que os trabalhos atribuídos a James Clark Maxwell culminaram na
proposição dos princípios unificadores do eletromagnetismo e da ótica, dando lugar a um
dos grandes ramos da Física, denominado Eletrodinâmica.
Como veremos, as chamadas Equações de Maxwell sintetizam de forma clara e
elegante toda a Eletrodinâmica. Porém, voltando ao nosso assunto principal, o magnetismo,
podemos afirmar que hoje em dia sabemos que as forças magnéticas entre dois corpos
são produzidas pelo movimento coordenado de alguns dos elétrons existentes no interior
dos átomos que compõem esses corpos. Esse movimento coordenado de elétrons é
observado, por exemplo, no interior de corpos imantados, tais como os ímãs permanentes.
Em corpos onde esta coordenação de movimentos eletrônicos não é observada, também
não se observam efeitos magnéticos macroscópicos.
7.1
Campo Magnético
Campo Magnético e Força Magnética
Para introduzirmos o conceito de campo magnético em nossos estudos da forma
mais clara possível, vamos fazer uma comparação entre o conceito de campo elétrico e
o conceito de campo magnético. Com base nas afirmações que fizemos até aqui sobre os
fenômenos magnéticos observados em nosso cotidiano, apresentamos o quadro abaixo:
Campo Elétrico
Campo Magnético
 Uma distribuição qualquer de cargas  Uma carga móvel ou uma corrente
elétricas em repouso cria um campo
elétrica, além de criarem um campo
E
no espaço em torno da
elétrico
elétrico em suas vizinhanças, também
distribuição.
criam um campo magnético em torno
destas vizinhanças.
 O campo elétrico exerce uma força  O campo magnético exerce uma força
F sobre qualquer carga em movimento
FE = q E sobre qualquer carga que
ou corrente elétrica que esteja presente
esteja presente no campo.
nesse campo.
Podemos fazer dois questionamentos importantes quando analisamos as
afirmações contidas no quadro acima, ou seja, devemos responder a duas questões básicas:
91
FÍsiCa gEral iii
1a. ► Considerando a existência de um campo magnético em uma dada região do
espaço, como podemos descrever a força que ele exerce sobre uma carga em movimento
ou sobre uma corrente elétrica que flui nessa região do espaço?
2a. ► Como determinar os campos magnéticos criados por cargas em movimento
ou correntes elétricas em uma dada região do espaço?
Por hora, nos ocuparemos da primeira questão, que se refere em como determinar
a força magnética. Para tanto, precisamos fazer uma análise prévia da natureza do campo
magnético, ou seja, suas características básicas. O campo magnético, assim como o campo
elétrico, é um campo vetorial. Ele associa uma grandeza vetorial, que possui módulo,
direção e sentido, a um dado ponto no espaço. Vamos usar o símbolo B para designar
o campo magnético, analisando alguns de seus aspectos, colhidos de experimentações
cotidianas ou observados em laboratório. Em cada ponto do espaço a direção de B é
dada pela direção da agulha na bússola e o sentido aponta para o norte da agulha. Como
afirmamos anteriormente, o campo magnético da Terra, assim como de qualquer outra
corpo magnetizado, entra pelo polo Sul magnético e sai pelo polo Norte magnético,
perfazendo um circuito fechado. Esse é um aspecto diferente do campo magnético em
relação ao campo elétrico, que sempre se origina em uma carga positiva e termina em
uma carga negativa. Esta diferença marcante entre esses dois campos vetoriais nos leva a
inferir que na natureza, em função dos campos magnéticos sempre perfazerem um circuito
fechado, não existem Monopolos Magnéticos.
A experimentação também nos leva a desvendar as principais características da
força magnética que atua sobre uma carga elétrica em movimento. O módulo da força
é diretamente proporcional à intensidade do campo magnético da região onde a carga
se movimenta, assim como ao valor da carga em movimento. Um comportamento
bem diferente da força magnética em relação a força elétrica reside no fato de que esta
depende da velocidade da carga em movimento e que também não atua na mesma direção
em uma direção
do campo magnético B . De fato, a força magnética F atua sempre

seja,
ela atua em
simultaneamente perpendicular a B e a direção da velocidade v . Ou

uma direção sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores v e B . Concluímos
então que a força magnética F que age sobre uma carga elétrica que se move com uma
certa velocidade v em uma dada região do espaço onde existe um campo magnético B
possui módulo, direção e sentido dados por
F = qv x B
(1).
Lembramos que por tratar-se de um produto vetorial (equação 1), a direção de
F pode ser encontrada aplicando-se a regra da mão direita, enquanto seu sentido vai
depender do sinal da carga, ou seja, se ela é positiva ou negativa. Como a equação 1 é
válida tanto para cargas positivas como para cargas negativas, o módulo da força elétrica
fica dado por
F = q vBsenφ
(2),

sendo φ o ângulo entre os vetores v e B . A despeito da equação 2 nos fornecer o módulo
da força elétrica através do cálculo do produto vetorial, podemos escrever uma expressão
interpretando
matemática para o módulo da força magnética F de um modo equivalente

o produto Bsenφ como o componente de B perpendicular a v , ou seja, B⊥. Com essa
notação, o módulo da força fica dado por
F=|q|vB⊥
92
(3).
Analisando a equação 1 vemos que as unidades de B no SI são equivalentes a
1N ⋅ s / C ⋅ m ou 1N / A ⋅ m . Essa unidade denomina-se tesla (T) em homenagem a Nicola
Campo Magnético
Tesla (1857-1943).
Quando uma partícula carregada se move em uma região do espaço onde existe
simultaneamente um campo magnético e um campo elétrico, ambos os campos exercem
forças sobre a partícula. A soma vetorial dessas forças resulta na força resultante,
denominada Força de Lorentz, representada na forma
F = q ( E + v x B)
(4).
Exemplo 1:
O campo magnético da Terra, em um dado ponto situado sobre o polo Norte
geográfico, possui um módulo de 10,0 x 10-4 T e está dirigido para baixo e para o
norte, fazendo um ângulo de 80o com a horizontal (como o módulo e a direção do
campo magnético terrestre variam de lugar para lugar, os valores apresentados são
valores aproximados para um ponto a cerca de 42o de latitude norte). Um próton de
carga elementar e = 1,6 x 10-19 C está em movimento horizontal na direção norte, com
velocidade v = 107 m/s. Calcule a força magnética sobre o próton.
Figura 2 – Força magnética sobre um próton que se move para o norte sob a ação do campo magnético
terrestre em um ponto onde a inclinação do vetor campo magnético com relação a horizontal e a direção
norte é de 80o.
Solução:
Lembremos, primeiramente, que o polo Norte geográfico quase coincide com
o pólo Sul magnético. Por isso o campo magnético está dirigido para baixo, ou seja,
está entrando no pólo Norte geográfico terrestre. A figura 2 ilustra a situação descrita
no enunciado do Exemplo 1. A força magnética é perpendicular ao plano formado pelos
vetores v e B , e segundo a regra da mão direita está direcionada na direção leste-oeste,
no sentido oeste. Usando a equação 2, o módulo da força magnética é dado por
F = qvBsenφ = (1,6 x 10-19 C)(107 m/s)(10x10-4 T)(0,984) = 15,74 x 10 -15 N
Vamos resolver o exemplo utilizando os vetores unitários. Escolhendo a
direção x para leste e y para norte, a direção z será a vertical apara cima. Neste caso,
o vetor velocidade só tem componente vetorial na direção y, enquanto o vetor campo
magnético possui três componentes vetoriais, ou seja: Bx = 0, By = Bcos 80o = 1,73 x
10-4 T e Bz = -Bsen 80o = - 9,84 x 10-4 T. O vetor campo magnético fica dado por
B = 0 T iˆ + 1,73 x 10-4 T ĵ – 9,84 x 10-4 T k̂
Utilizando a equação 1, escrevemos a força magnética na forma
F = q v x B = (1,6 x 10-19 C) (10-7 m/s ĵ ) x (0 T i + 1,73 x 10-4 T ĵ – 9,84 x 10-4 T k̂ )
= -15,74 x 10-15 N iˆ
93
7.2
Linhas de Campo e Fluxo Magnético
FÍsiCa gEral iii
Qualquer campo magnético pode ser representado por linhas de campo magnético
que, de modo semelhante às linhas de campo elétrico, são desenhadas de tal forma que a
linha que passa em cada ponto do espaço seja tangente ao vetor campo magnético B . Vale
lembrar que como B só tem uma direção e um sentido em cada ponto, as linhas de campo
magnético não podem se interceptar ou se cruzar. Além disso, quanto mais agrupadas
estiverem essas linhas em uma dada região do espaço, maior será a intensidade do campo
magnético B nessa região específica. As linhas de campo magnético, diferentemente das
linhas de campo elétrico, que apontam na mesma direção da força elétrica, não guardam
uma relação simples e direta com a direção da força magnética que atua sobre uma
partícula carregada que se mova na região do campo magnético B . A equação 1 nos
revela que, a despeito da força magnética ser sempre ortogonal ao campo magnético B , a
direção desta força também depende da direção do vetor velocidade da carga elétrica que
se move na região do campo magnético B .
Podemos também definir o fluxo magnético fazendo uma análise comparativa
deste com o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana. Podemos dividir qualquer
superfície fechada em elementos de área d A , e também determinar a componente vetorial
de B perpendicular a esse elemento. Neste caso, o fluxo magnético que atravessa um
elemento d A fica definido na forma
 
d Φ B = B⊥ dA = B cos ϕ dA = B ⋅ d A
(5).
O fluxo magnético total através de toda a superfície gaussiana será então a soma
das contribuições de todos os elementos de área individuais, ou seja
∫
Φ B = B ⋅ d A (fluxo magnético através da superfície)
(6).
A unidade SI do fluxo magnético denomina-se weber, em homenagem ao físico
alemão Wilhem Weber (1804-1891), sendo que:
1 Wb = 1 T.m2 = 1 N.m/A.
A Figura 3(a) ilustra o comportamento das linhas de campo magnético de um
ímã permanente contido em uma superfície gaussiana. Essas linhas de campo magnético
geradas pelo ímã podem ser facilmente visualizadas se espalharmos limalha de ferro nas
vizinhanças de um ímã permanente, como o ilustrado na Figura 3(b). Quando analisamos o
fluxo magnético através da superfície gaussiana representada na Figura 3(a), percebemos
que a mesma quantidade de fluxo (ou de linhas de campo magnético) que entra em uma
das extremidades da superfície fechada, sai na outra extremidade. Ou seja
 
Φ B = ∫ B ⋅ dA = 0 (fluxo magnético através da superfície fechada)
(7).
Como o fluxo magnético total nessa superfície gaussiana (assim como em
qualquer outra que conseguirmos imaginar!) é nulo, esse resultado nos indica que as
linhas de campo magnético devem sempre representar circuitos fechados. Diferentemente
do caso das linhas de campo elétrico que sempre começam e terminam em uma carga, as
linhas de campo magnético nunca apresentam pontos extremos, pois tais pontos indicariam
a existência de monopolos magnéticos.
94
superfície
gaussiana
imã reto
Campo Magnético
N
S
N
S
B
Figura 3 – (a) Linhas de campo magnético de um ímã permanente contido em uma superfície
gaussiana fechada. (b) Visualização experimental, empregando-se limalha de ferro, das linhas de
campo magnético criadas em torno de um ímã permanente. N – polo Norte e S – polo Sul.
Exemplo 2:
Um plano com área de 5,0 cm2 está posicionado em um campo magnético uniforme
horizontal que flui na direção de x positivo. O ângulo do vetor d A que define o
elemento de área plano faz um ângulo φ de 30o com o vetor campo magnético, como
ilustra a figura 4. Sabendo que a intensidade do campo magnético que atravessa o plano
é de 1,5 T, calcule o fluxo magnético através do plano.
Solução:
Figura 4 – área plana em um campo magnético B
Vamos utilizar a equação 6 na resolução deste exemplo, lembrando que φ e B
permanecem constantes em todos os pontos sobre a superfície do plano. Assim,
 
Φ B = ∫ B ⋅ d A = B cos 30o ∫ dA = BA cos 30o =
= (1,50T )(5, 0 x10−4 m 2 )(cos 30o ) = 6, 49 x10−4 Wb
7.3
Movimento de Partículas Carregadas em um Campo Magnético
Empregando corretamente a equação 1, podemos estudar, com base da correta
aplicação das Leis de Newton, o movimento de partículas carregadas, tais como
elétrons, prótons e íons, submetidas à ação de campos magnéticos externos. Analisando
cuidadosamente a equação 1, percebemos que a forçamagnética age sempre em uma
direção perpendicular ao plano formado pelos vetores v e B , ou seja, ela é uma força
lateral, que não altera o módulo do vetor velocidade da partícula e que faz um ângulo de
90o com o mesmo. Ou seja, uma partícula carregada que se move em uma região onde só
existe campo magnético tem somente a direção de seu vetor velocidade alterada, enquanto
o módulo do vetor velocidade permanece sempre constante. A figura 5 ilustra a situação
95
FÍsiCa gEral iii
na qual um elétron, com carga elementar –e, se move em uma dada
região do espaço sob

a ação de um campo magnético uniforme B com velocidade v . Comparando a situação
especificada na figura 5 com a discussão relacionada ao movimento circular uniforme,
vemos que a trajetória da partícula é circular e sua aceleração centrípeta é v2/R. Ou seja,
uma partícula carregada que se movimenta em um campo magnético uniforme descreve
um movimento circular uniforme na região do campo. De acordo com a segunda lei de
Newton temos,
F =| q | vB = m
v2
R
(8),
sendo m a massa do elétron.
Como a partícula carregada se movimentando em um campo magnético uniforme
descreve um movimento circular uniforme, a velocidade angular pode ser calculada como
segue
ω=
v
|q|B |q|B
=v
=
R
mv
m
(9).
Figura 5 – representação esquemática de um elétron que se move com velocidade de módulo
constante | v | e uma região espaço onde existe um campo magnético B . A
 força magnética, F , é
centrípeta e simultaneamente perpendicular aos vetores v e B .
Exemplo 3:
O magnetron dos fornos de microondas é um dispositivo eletrônico que emite ondas
eletromagnéticas em seu interior, com freqüências em torno de 2,45 GHz, que são
fortemente absorvidas por moléculas de água, causando o aquecimento dos alimentos.
Determine o módulo do campo magnético necessário para que elétrons de movam em
órbitas circulares com essa freqüência, e a velocidade angular dos elétrons nesta órbita.
Solução:
Usando a equação 8 podemos escrever B =
mv
v
. Como ω = , temos
R
|q|R
mω m2π f (9,11x10−31 kg )(2π )(2, 45 x109 Hz )
=
=
= 8,8 x10−2 T
|q|
|q|
(1, 6 x10−19 C )
A velocidade angular dos elétrons pode ser encontrada através da equação ω = 2πf, ou
B=
utilizando a equação 9 como segue
ω=
96
v
| q | B | q | B (1, 6 x10−19 C )(8,8 x10−2 T )
=v
=
=
= 1,5 x1010 s −1
R
mv
m
(9,11x10−31 kg )
7.4
Força Magnética Sobre um Condutor Transportando Corrente
Campo Magnético
Vamos analisar o que acontece com um condutor elétrico, situado em uma região
do espaço onde existe um campo magnético B , e que transporta uma dada corrente elétrica
I. A figura 6 ilustra tal situação para um dado condutor de comprimento L e volume AL,
que contém um número de cargas igual a nAL, sendo n o número de cargas por unidade de
volume. Os pontos da figura representam o campo magnético, que emerge (sai da folha)
na direção perpendicular ao plano da folha. A força total sobre todas as cargas que se
movimentam nesse segmento possui módulo dado por
(9).
F = (nAL)(qvB) = (nqvA)( LB )
A densidade de corrente que flui no condutor e dada por J = nqv e ao produto JA nos
fornece a corrente total I que flui no condutor. Assim, a equação 9 pode ser reescrita na forma
F = ILB
(10).
Observando a figura 6 notamos que a força magnética é perpendicular tanto ao
condutor quanto ao campo magnético. Representando o segmento do condutor pelo vetor
L , a força que atua sobre um condutor transportando corrente fica dada por
F = I Lx B
(11).
Devemos observar que o sentido da força vai depender da direção da corrente
elétrica. Na figura 4, por exemplo, se o sentido da corrente elétrica for invertido, o sentido
da força F também será invertido.
Figura 6 – Força magnética que atua sobre um condutor transportando corrente elétrica.
Exemplo 4:
A barra de cobre ilustrada na figura 7 abaixo conduz uma corrente elétrica de 10,0 A,
da esquerda para a direita, em uma região espaço onde existe um campo magnético de
1,5 T, que faz um ângulo θ de 30o com a horizontal. Determine o módulo, direção e
sentido da força magnética que atua sobre uma seção de 1,0 m da barra.
Figura 7 – Barra de cobre transportando uma corrente elétrica em uma região do espaço onde existe um
campo magnético B que faz um ângulo de 30o com a horizontal.
97
FÍsiCa gEral iii
Solução:
Usando a equação 10 podemos encontrar o módulo da força na forma
F = iLBsenθ = (10,0 A)(1,0 m)(1,5 T)(0,5) = 7,5 N
Como se trata de um produto vetorial, sabemos que a direção da força é perpendicular
ao plano formado pelos vetores B e L .
Alternativamente, podemos utilizar o sistema de coordenadas Cartesiano desenhado na
figura e escrever estes vetores em termos de seus componentes vetoriais e dos vetores
unitários iˆ , ĵ e k̂ . Ou seja,
L = (1,00 m) iˆ
e
B = (1,5T)(cos30o) iˆ + (1,5T)(sen30o) ĵ
Logo
F = I Lx B = (10,0A){ [(1,0 m) iˆ ] x [(1,5T)(cos30o) iˆ + (1,5T)(sen30o) ĵ ]} = 7,5N k̂
7.5
Força e Torque Sobre uma Espira de Corrente
Quando um condutor,
com o formato de uma espira fechada, é submetido à ação de

um campo magnético B , um torque externo age sobre essa espira. Vamos então encontrar
a força total e o torque total sobre um condutor em forma de espira (circuito fechado).
Como exemplo, estudaremos uma espira de corrente retangular disposta em uma região
do espaço onde existe um campo magnético uniforme, como ilustrado na figura 8. A figura
8(a) ilustra uma espira retangular de lados a e b e linha normal (paralela ao eixo x – figura
8(b)). O campo magnético uniforme está direcionado perpendicularmente à normal, o
plano da espira faz um ângulo φ com a normal e a espira conduz uma corrente elétrica I
no sentido anti-horário.
As forças que incidem sobre os lados de comprimento a da espira se anulam aos
pares. Os lados de comprimento b, por sua vez, formam um ângulo de 90o-φ com a direção
de B . O módulo das forças - F e F , cujas linhas de ação estão sobre o eixo Oy, são dados
por
F = IbBsen(90o-φ) = IbBcosφ
(12).
Como as forças que atuam sobre os lados de comprimento b também se anulam
aos pares, concluímos que a força total sobre uma espira de corrente em um campo
magnético uniforme é igual a zero. Todavia, o torque resultante na espira, advindo da ação
das forças sobre os lados de comprimento b, que estão dispostas sobre linhas diferentes,
não é nulo. O torque resultante, por sua vez, fica dado por
τ = 2F(b/2)senφ = (IBa)bsenφ = IBAsenφ
(13),
sendo A = ab a área da espira. Como podemos perceber o torque é máximo quando φ =
90o (figura 8(b)) e é nulo quando φ = 0o (figura 8(c)). Se definirmos o momento de dipolo
magnético ou momento magnético na forma
µ = IA
(14),
podemos representar o torque sobre uma espira de corrente em um campo magnético na
forma de um produto vetorial, como segue
τ = µxB
98
(15).
Campo Magnético
Figura 8 – (a) forças magnéticas atuando sobre uma espira que conduz uma corrente elétrica
disposta em um campo magnético. (b) o torque é máximo quando a normal a espira é perpendicular
ao vetor campo magnético B . (c) quando a normal a espira a paralela a B a torque é nulo.
Quando um dipolo magnético muda de orientação em um campo magnético, o
campo realiza trabalho sobre ele. De fato, para um dado deslocamento infinitesimal dφ,
o campo realiza um trabalho τdφ, que resulta em uma variação na energia potencial do
sistema. A energia potencial é mínima quando µ e B são paralelos ou antiparalelos
(situação na qual o torque é nulo). Fazendo uma analogia direta entre as interações de
um dipolo elétrico e o campo elétrico e de um dipolo magnético e um campo magnético,
podemos expressar a energia potencial de um dipolo elétrico em uma campo magnético
uniforme na forma
U = − µ ⋅ B = − µB cos φ
(16).
U é nula quando o momento de dipolo magnético é perpendicular ao campo magnético.
Exemplo 5:
Uma espira de corrente retangular, similar àquela ilustrada na figura 8(a), com a =
5,0 cm e b = 8,0 cm, conduz uma corrente elétrica I = 5,0 A no sentido anti-horário.
A espira está um em campo magnético uniforme de 2,0 T , orientado de um ângulo
φ = 30o com o vetor momento de dipolo da espira. Calcule o módulo do momento
magnético, o módulo do torque e a energia potencial da espira nesta configuração.
Solução:
A área da espira é
A = ab = (5,0 x 10-2 m)(8,0 x 10-2 m) = 4,0 x 10-3 m2.
O módulo do momento magnético da espira pode ser encontrado por substituição direta
dos dados do problema na equação 14, ou seja
µ = IA = (5,0 A)(4,0 x 10-3 m2) = 2,0 x 10-2 A.m2.
Para o módulo do torque, usando a equação 15, temos
τ = µBsenφ = (2,0 x 10-2 A.m2)(2,0 T)(0,5)=2,0 x 10-2N.m.
A energia potencial da espira, na configuração apresentada na figura 8(a), com o auxílio
da equação 16, vale
U = − µ ⋅ B = − µB cos φ = (2,0 x 10-2 A.m2)(2,0 T)(0,86)= - 3.46 J
99
FÍsiCa gEral iii
Exercícios
1. Um próton se desloca ao longo do eixo x de um sistema de coordenadas cartesianas,
no sentido de x positivo, a uma velocidade de 7,0 x 107 m/s. Ele entra em uma região do
espaço onde existe um campo magnético de 0,05 T, direcionado em um ângulo de 30o com
relação ao eixo x, estando no plano xy. Determine o módulo, direção e sentido da força
magnética que atua sobre o próton e sua aceleração.
2. Um elétron se desloca em linha reta a uma velocidade de 2,0 x 106 m/s. Quando o
elétron entra em uma região do espaço onde existe um campo magnético de 2,0 T,
direcionado perpendicularmente à direção de propagação do elétron, ele passa a descrever
uma trajetória circular em função da presença do campo. Determine o raio da trajetória
do elétron e sua velocidade angular. Para que o elétron descreva um a trajetória circular
com um raio de 15,0 cm, qual deve ser sua velocidade de translação ao entrar na região
do campo?
3. Um fio de cobre reto, horizontal e de densidade linear de 46,6 g/m é percorrido por uma
corrente elétrica de 25,0 A. Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética
necessária para fazer com que esse fio fique flutuando, parado, no espaço.
4. Uma espira circular de raio 5,0 cm é colocada em uma região do espaço onde existe um
campo magnético de 0,25 T. Sabendo que o campo magnético faz um ângulo de 60o com
o plano da espira, determine a fluxo magnético que atravessa essa espira.
5. Uma bobina circular, com 100 espiras por metro, conduz uma corrente elétrica de 2,0 A.
Um campo magnético uniforme de 1,5 T é aplicado fazendo um ângulo de 30o com plano
circular da espira. Determine o módulo do momento de dipolo magnético da bobina e o
módulo do torque atuando sobre a bobina.
6. Se a bobina descrita no exercício 5 girar de forma que o campo magnético fique paralelo
ao vetor momento magnético da bobina, qual a variação da energia potencial magnética?
7. Considere uma bobina circular de raio R, localizada no plano xy, conduzindo uma
corrente I. Usando a Lei de Biot e Savart determine o módulo do campo magnético em
um ponto P situado a uma distância x do plano da espira.
100
Campo Magnético
Anotações
101
FÍsiCa gEral iii
Anotações
102
8
Lei de Ampère
8.1
Campo Magnético de uma Carga em Movimento
8.2
Campo Magnético de um Elemento de Corrente
Elétrica - lei de Biot e savart
8.3
Força entre Condutores paralelos transportando
Corrente Elétrica
8.4
lei de ampère
103
8
LEI DE AMPÈRE
FÍsiCa gEral iii
Introdução
No capítulo anterior estudamos os efeitos (força magnética) causados por campos
magnéticos atuando sobre cargas em movimento ou condutores elétricos transportando
corrente elétrica. Nesses estudos não nos importamos em saber como esses campos
magnéticos eram produzidos. Neste capítulo, porém, estudaremos como os campos
magnéticos são criados e identificaremos as possíveis fontes de campo e apresentaremos
o equacionamento necessário para estudá-las.
Em nossos estudos prévios de eletrostática, relacionados e criação de campos
elétricos por cargas elétricas pontuais ou distribuições de cargas elétricas, uma relação direta
e conceitualmente profunda entre e carga e campo elétrico pôde ser apontada, ou seja
carga ⇔ campo elétrico ⇔ carga
segue
Esta relação simples, porém fisicamente consistente, pode ser interpretada como
“Uma carga elétrica ou distribuição de cargas elétricas gera um campo elétrico
em suas vizinhanças. O campo elétrico gerado atua em uma outra carga elétrica ou
distribuição de cargas elétricas exercendo uma força de natureza elétrica sobre a
mesma.”
Podemos, por analogia, imaginar uma relação relativamente simples, mas de
profundo embasamento conceitual, como a apresentada acima para campos magnéticos.
Contudo, neste ponto, aparece uma grande diferença entre os efeitos advindos de campos
elétricos e magnéticos. Neste último caso identificamos anteriormente que a força
magnética só atua em cargas elétricas em movimento ou correntes elétricas. Assim, a
relação que estamos procurando assume a forma
corrente elétrica ⇔ campo magnético ⇔ corrente elétrica
Podemos interpretar esta relação como segue
“Uma carga elétrica em movimento ou uma corrente elétrica gera um campo magnético
em suas vizinhanças. O campo magnético gerado atua em uma outra carga elétrica em
movimento ou em uma corrente elétrica exercendo uma força de natureza magnética
sobre a mesma.”
No capítulo anterior tratamos da segunda parte dessa interação, ou seja, estudamos
como atuam as forças magnéticas em cargas elétricas ou correntes elétricas sujeitas a ação
de campos magnéticos. O estudo da primeira parte desta interação, ou seja, de como
surgem ou são gerados os campos magnéticos será nosso principal objeto de estudo neste
capítulo.
Vale ressaltar que nos estudos prévios relacionados a fontes de campo e criação
de campos elétricos, uma questão simples, porém de suma importância, teve que ser
equacionada. Ou seja
Como calcular o campo elétrico que uma carga elétrica ou distribuição de cargas
elétricas cria no espaço circunjacente?
104
A questão central deste capítulo pode então ser enunciada como segue
lei de ampére
Como calcular o campo magnético que uma carga elétrica em movimento ou uma
distribuição de correntes cria no espaço circunjacente?
8.1
Campo Magnético de uma Carga em Movimento
Aprendemos no capítulo passado que um campo magnético exerce força somente
sobre cargas em movimento. Nesta seção, estamos interessados em descobrir como uma
carga puntiforme em movimento, com velocidade constante, cria um campo magnético
em torno de si. A figura 1 ilustra uma carga pontiforme positiva de movimentando com

velocidade constante v na direção Ox no sentido de x positivo.
Figura 1 – Campo magnético (alguns vetores) produzido por uma carga elétrica positiva que se desloca
no sentido Ox. O campo magnético é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores v e r .
A experiência nos revela que o campo magnético B é proporcional a |q| e a
1/r . Contudo, a direção de B é sempre perpendicular ao vetor velocidade v da carga em
movimento, e da linha reta ( r )que une a carga ao ponto do campo magnético B , como
ilustra a figura 1. Ainda, o módulo de B é proporcional ao módulo do vetor velocidade
v da carga em movimento e ao seno do ângulo entre v e B . Podemos, então, escrever a
expressão para a determinação do módulo do campo magnético produzido por uma carga
em movimento em um dado ponto situado a uma distância r dessa carga na forma
2
B=
µ 0 | q | vsenφ
4π
r2
(1).
Na equação 1, µ0 = 4π x 10-7 T.m/A, é a permeabilidade magnética do vácuo.

Usando a definição de produto vetorial e de vetor unitário ( r = r / r ), podemos reescrever
a equação 1 como segue

µ qvxr
(2).
B= 0 2
4π r
Uma carga puntiforme em movimento também cria um campo elétrico em torno
de si, que no caso daquela ilustrada na figura 1, emerge radialmente para fora da carga
positiva, desenhando linhas de campo abertas que alcançam o infinito. Todavia, o campo
magnético gerado pela carga em movimento é completamente diferente, pois cria linhas
de campo fechadas, que neste caso, circundam a carga puntiforme em uma trajetória
circular, conforme indicado na figura 1.
105
FÍsiCa gEral iii
Exemplo 1:
Dois elétrons se movem paralelamente na direção horizontal e em sentidos opostos,
a uma velocidade de 2,0 x 105 m/s, como ilustra a figura 2. No instante de tempo em
que eles se cruzam na origem de um sistema de coordenadas cartesiano, a distância
vertical entre os dois é de 5,0 cm. Calcule o módulo do campo magnético gerado pelo
elétron da parte inferior sobre o elétron da parte superior no instante em que eles se
cruzam. Calcule também a força magnética que o elétron da parte superior experimenta
no instante do cruzamento.
Solução:
Vamos encontrar o módulo do campo magnético que atua no elétron da parte superior
utilizando a equação 1, mas recordando que, neste caso, |q|=1,6 x 10-19 C. Assim
µ | q | vsenϕ (4π x10
B= 0
=
r2
4π
−7
T .m
)(−1, 6 x10−19 C )(2, 0 x105 m / s) sen(90o )
A
4π (5, 0 x10−2 m) 2
B = 3, 2 x10−21T
Em uma análise mais completa, podemos determinar o módulo, a direção e o sentido
do vetor campo magnético empregando a equação 2 e utilizando a notação relativa aos
vetores unitários, como segue

 µ qvxr µ (−e)(2, 0 x105 m / s i ) x( j )

0
= 0
= −3, 2 x10−21T k
B=
−2
2
2
4π r
4π
(5, 0 x10 m)
Para encontrarmos o módulo da força magnética que o elétron da parte inferior faz
sobre o elétron da parte superior, vamos empregar a equação 2 do capítulo 7, ou seja
F =| q | vBsenϕ = evBsen(90o ) = (1, 6 x10−19 C )(5, 0 x105 m / s )(3, 2 x10−21T )(1)
F = 25, 6 x10−35 N
Da mesma forma, podemos proceder a uma análise mais completa utilizando a equação
1 do capítulo 7 e a notação relativa a vetores unitários na forma
F =| q | vxB = (−1, 6 x10−19 C )(5, 0 x105 m / s iˆ)(−3, 2 x10−21T kˆ)
F = 25, 6 x10−35 N ˆj
Figura 2 – Campo magnético e força magnética produzidos
sobre um elétron por outro elétron em movimento.
106
8.2
Campo Magnético de um Elemento de Corrente Elétrica - Lei de Biot e Savart
lei de ampére
Um elemento de corrente, que serve como modelo para determinarmos a força
magnética entre condutores que transportam corrente elétrica, é apresentado na figura
3. Um ponto importante que devemos ressaltar é que o princípio da superposição de
campos magnéticos é válido no estudo de condutores transportando corrente. De fato, o
campo magnético total produzido por diversas cargas que se movem em um condutor é
a soma vetorial dos campos magnéticos
produzidos pelas cargas elétricas individuais em

movimento. Um segmento dl de um condutor, como o ilustrado na figura 3, possui um
volume V = Adl, sendo A a seção transversal do fio, no qual n portadores de carga, com
carga total dQ, se movem. Ou seja
dQ = nqAdl
(2).

O módulo do elemento de campo magnético dB , para qualquer ponto P, é dado
então por
dB =
µ0 n | q | vd Adlsenϕ µ0 Idlsenϕ
=
r2
r2
4π
4π
(3),
sendo vd a velocidade de arraste dos portadores
de carga no condutor e I = n|q|vdA a

corrente elétrica total que flui no segmento dl . A figura 3 nos revela que os elementosde
campo magnético
 dB são sempre perpendiculares ao plano formado pelos vetores dl e

r . Ou seja, dB pode ser expresso sob a forma de um produto vetorial entre esses dois
vetores. Usando a notação de vetor unitário, podemos, então, reescrever a equação 3 como
segue

 µ0 Idlxr
dB =
(4).
4π r 2
As equações 3 e 4 são formas equivalentes da chamada lei Lei de Biot e Savart,
que nos permite calcular o campo magnético gerado por distribuições de corrente elétrica
de baixa simetria em um determinado ponto do espaço. Integrando a equação 4 chegamos
à expressão matemática que nos permite calcular
a contribuição para a geração do campo

magnético devida a todos os segmentos dl que conduzem corrente elétrica na forma

 µ0 Idlxr
(5).
B=
4π ∫ r 2
Figura 3 – Campo magnético (alguns vetores)
 produzido por um
elemento de corrente que flui em um segmento dl de um condutor elétrico.
107
FÍsiCa gEral iii
Exemplo 2:
Um fio de cobre que conduz uma corrente elétrica constante de 200,0 A para
 um quadro
de alimentação de energia elétrica de uma indústria. Um segmento dl desse fio, tal
qual o apresentado na figura 2, possui 1,0 cm de comprimento. Determine o módulo do
campo magnético gerado em um ponto P situado a uma distância de 0,8 m perpendicular
a borda desse fio.
Solução:
Para encontramos o módulo
do campo magnético gerado pelo elemento de corrente

elétrica de segmento dl , vamos utilizar a equação 3, ou seja
µ n | q | vd Adlsenϕ µ0 Idlsenϕ
dB = 0
=
r2
r2
4π
4π
T .m
(4π x10−7
)(200, 0 A)(1, 0 x10−2 m)( sen90o )
A
dB =
4π (0,80m) 2
dB = 250, 0 x10−9 T
8.3
Força entre Condutores Paralelos Transportando Corrente Elétrica
Dois condutores dispostos paralelamente um ao outro, transportando correntes
elétricas, exercem forças um sobre o outro. Isso se deve ao fato de que ambos geram um
campo magnético em torno de si. Ou seja, mas uma vez vale a relação
corrente elétrica ⇔ campo magnético ⇔ corrente elétrica
A figura 4 ilustra tal situação, na qual dois fios condutores paralelos transportam

correntes elétricas que fluem no mesmo sentido. O fio a produz um campo magnético, Ba
, em todos os pontos ao seu redor. Sobre o fio b, seu módulo é dado por
Ba =
µ 0 ia
2πd
(6),
sendo d distância que separa os fios. O fio b, por
 sua vez, transporta uma corrente elétrica

ib e está imerso no campo magnético externo Ba . Um elemento de comprimento L deste
fio experimenta uma força lateral, cujo módulo é dado por
Fba = ib LBa =
µ0ibia L
2π d
(7).
a
d
Fba
ia
L
ib
108
b
Ba (Devido a ia)
Figura 4 – Força de atração entre fios paralelos transportando correntes elétricas que
fluem no mesmo sentido.
Se invertermos o sentido de nossa análise, ou seja, fazendo-a a partir da força
exercida pelo fio b sobre o fio a, perceberemos que a força em a aponta para a direita, ou
seja
lei de ampére
Correntes elétricas paralelas produzem forças magnéticas atrativas entre si, enquanto
correntes elétricas anti-paralelas produzem forças repulsivas entre si.
A essa altura podemos redefinir o Ampère, que é a unidade de corrente elétrica no
SI, como segue
“O Ampère é aquela corrente constante que, se mantida em dois condutores paralelos de
comprimento infinito e de secção circular desprezível, colocados a um metro de distância
um do ouro no vácuo, pode produzir, em cada um desses condutores, uma força igual a 2
x 10-7 N por metro de comprimento.”
Exemplo 3:
Dois fios retilíneos de cobre, separados por uma distância de 5,0 mm, estão dispostos
paralelamente um ao outro e transportam correntes elétricas de 25,0 A cada um, que
fluem em sentidos opostos. Qual o módulo da força por unidade de comprimento que é
exercida sobre cada um desses fios?
Solução:
Como as correntes fluem em sentidos opostos os dois fios se repelem mutuamente. De
acordo com a equação 7 podemos escrever
F µ0ibia
=
=
L 2π d
8.4
T .m
)(25, 0 A)(25, 0 A)
N
A
= 2,5 x10−6
m
2π (5, 0 x10−3 m)
(4π x10−7
Lei De Ampère
A lei de Biot e Savart nos possibilita encontrar o campo magnético gerado
por distribuições de corrente de baixa
simetria. Na verdade, ela nos permite calcular o

elemento de campo magnético dB produzido por um
 determinado elemento de corrente,
para então posteriormente somar todos os vetores dB e encontrar o campo magnético total
em um dado ponto do espaço. No capítulo 3 estudamos a lei de Gauss que, em situações
de elevada simetria, apresentava-se muito vantajosa quando empregada na resolução de
problemas em cuja aplicação da Lei de Coulomb mostrava-se extremamente complexa.
De forma similar, quando estamos interessados na determinação de campos
magnéticos gerados por distribuições de correntes elétricas, a lei de Ampère surge como
uma ferramenta muito poderosa, principalmente quando se deseja determinar o campo
magnético produzido por uma distribuição de correntes com simetria elevada. Porém,
quando comparada a Lei de Gauss, a lei de Ampère possui um caráter completamente
diferente, já que a Lei de Ampère afirma que o fluxo magnético através de qualquer
superfície fechada é sempre igual a zero, existindo ou não correntes no interior da
superfície. Ou seja, a lei de Ampère não é definida em termos de uma integral de fluxo
 em
em
B
torno de uma superfície fechada, mas sim em termos de uma integral de linha de
torno de uma trajetória fechada. A lei de Ampère é expressa na forma


∫ B ⋅ ds = µ i
0
(8).
109
FÍsiCa gEral iii
A lei Ampère deve ser aplicada em um percurso fechado arbitrário e a corrente
i é a corrente total englobada nesse percurso. Na figura 5 ilustramos uma situação na
qual três fios retilíneos dispostos perpendicularmente ao plano da página e que conduzem
correntes elétricas distintas. A linha em vermelho denota nossa curva de integração
fechada, chamada de amperiana. Para encontrarmos o campo magnético em P, devido às
duas correntes i1 e i2, já que i3 não é englobada pela amperiana, podemos fazer a integração
no sentido anti-horário, ou seja
 
B
∫ ⋅ ds = ∫ B cos θ ds
(9).
i = i1 - i2
(10).
 
B
∫ ⋅ ds = ∫ B cos θ ds = µ0 (i1 − i2 )
(11).
Com vistas à corrente total englobada pela amperiana, temos
Logo
É interessante notar que não podemos avaliar a integral da equação 11 a priori.
Contudo, a Lei de Ampère nos informa que seu resultado será µ0(i1 – i2). Ou seja, a Lei de
Ampère possui elegância e praticidade em sua essência.
Figura 5 – Três fios retilíneos (i1, i2 e i3) dispostos perpendicularmente ao plano da página,
transportando corrente elétrica. A amperiana engloba engloba duas correntes de sentidos opostos i1 e i2
Vamos utilizar a lei de Ampère em um problema prático, que é o de encontrar o
campo magnético gerado por um condutor retilíneo de comprimento infinito e de secção
reta circular (um fio de cobre, por exemplo) transportando corrente elétrica, em um ponto
P situado

 a uma distância R do condutor, como ilustrado na figura 6(a). Como os vetores
dB e ds são paralelos ao longo da amperiana, e segundo a regra da mão
 direita entram na
página no ponto P (conforme indicado na figura 6(b)), o módulo de B é sempre constante
ao longo deste percurso. Assim, podemos reescrever a lei da Ampère (equação 8) retirando
o módulo do campo do integrando, como segue
 
B
∫ ⋅ ds = B ∫ ds = µ0i
(12).
i
B
(b)
Figura 6 – (a) Condutor retilíneo infinito transportando uma corrente elétrica i. (b) regra da mão
direita aplicada a um condutor
 retilíneo infinito transportando corrente – o dedo indicador indica a
direção e sentido do vetor B .
110
Como ds = 2πR, o módulo do campo magnético no ponto P devido a corrente
elétrica i que flui no condutor retilíneo infinito é
µi
B= 0
(13).
2πR
lei de ampére
Exemplo 4:
Um fio de cobre infinito, disposto verticalmente no espaço, transporta uma corrente
elétrica de 50,0 A no sentido de cima para baixo. Determine o módulo, direção e sentido
do campo magnético em um ponto P distante 10,0 cm da borda direita do fio de cobre
(ver figura 6 e 7).
Solução:
Vamos utilizar como amperiana o percurso circular ilustrado na figura 6(a). Aplicando
a lei de Ampère chegamos ao resultado descrito através da equação 13 para o cálculo
do módulo campo magnético. Ou seja
−7 T .m
µ0i (4π x10 A )(50, 0 A)
=
= 1, 0 x10−4 T
B=
2π R
2π (10 x10−2 m)

Para encontrarmos a direção e o sentido de B , vamos aplicar a regra da mão direita como
ilustrado na figura 6(b), mas lembrando que neste caso o sentido da corrente é o oposto, ou
seja, de cima para baixo. A figura 7 ilustra a situação descrita neste exemplo. Como podemos
perceber, o campo magnético em P está direcionado perpendicularmente ao plano da página,
emergindo da mesma.
P
B
B
i
Figura 7 – Regra da mão direita aplicada à situação descrita no exemplo 4.
Exemplo 5:
O solenóide é um dispositivo eletromagnético muito utilizado em circuitos eletroeletrônicos, que consiste em um fio enrolado formando uma bobina helicoidal comprida,
que em geral possui seção reta circular. Solenóides podem ser construídos com milhares
de espiras enroladas em forma compacta, com cada uma delas sendo considerada como
uma espira circular. Pode ainda existir diversas camadas de enrolamento.
Em nosso exemplo, vamos considerar a seção reta de um solenóide ideal (de
comprimento infinito para que os efeitos de borda possam ser desprezados), como a
ilustrada na figura 8. Todas as espiras
do solenóide conduzem a mesma corrente elétrica

i e o campo magnético total B em cada ponto é a soma vetorial da contribuição de cada
espira para a formação do campo. No interior do solenóide as linhas de campo magnético
são praticamente paralelas, fazendo com que o campo magnético seja praticamente
uniforme, enquanto que nas as regiões fora do solenóide as linhas de campo são mais
espaçadas, fazendo com que o mesmo seja muito fraco. Vamos aplicar a lei de Ampère
para determinar o módulo do campo magnético no interior deste solenóide ideal.
111
FÍsiCa gEral iii
Solução:
Para determinarmos o módulo do campo magnético no interior do solenóide vamos
primeiramente definir a densidade linear de enrolamentos (ou espiras), n, ou seja, o
número N de enrolamentos por unidade de comprimento. Assim
N
L
Escolhemos como amperiana o retângulo abcd ilustrado na figura 7. O percurso de
integração segue o sentido horário. Vamos considerar que o lado bc do retângulo seja
tão grande de modo
 que o campo magnético sobre o segmento cd seja praticamente
nulo. Além disso, B e ds são perpendiculares nos lados bc e ad, fazendo com que a integral
relativa a equação 8 seja nula nestes percursos. Por sua vez, por simetria, o campo magnético
ao longo percurso ab é constante e paralelo a este lado da amperiana. Assim
n=
b
∫
 
B ⋅ ds = B
L
a
A corrente total no segmento ab equivale ao número de espiras contidas em ab vezes a
corrente em cada espira, ou seja
I = Ni
Substituindo a corrente total I na lei da Ampère, temos
b
∫
 
B ⋅ ds = B
L = µ0 I
a
Substituindo I na equação acima, o módulo do campo magnético no interior de um
solenóide fica dado por
B = µ0ni
Como podemos perceber, em um solenóide ideal o módulo do campo magnético depende
somente da densidade linear de espiras e da corrente elétrica que flui em cada espira.
B
P
b
S
a
L
B
c
amperiana
d
Figura 8 - Representação esquemática de um solenóide.
112
N
Exercícios
lei de ampére
1. Dois prótons se movem paralelamente na direção horizontal e em sentidos opostos, a
uma velocidade de 6,0 x 105 m/s. No instante de tempo em que eles se cruzam na origem de
um sistema de coordenadas cartesiano, tal qual o ilustrado na figura 2, a distância vertical
entre os dois é de 6,0 cm. Calcule o módulo o campo magnético gerado pelo próton da
parte superior sobre o próton da parte inferior no instante em que eles se cruzam. Calcule
também e a força magnética que o próton da parte inferior experimenta no instante do
cruzamento.
2. Um fio reto infinito conduz uma corrente elétrica de 0,5 A. Determine o campo magnético
em um ponto P situado a 5,0 cm do eixo do fio.
3. Dois fios retilíneos de 10,0 m cada um, separados por uma distância de 8,0 mm, estão
dispostos paralelamente um ao outro e transportam correntes elétricas de 15,0 A cada
um, que fluem no mesmo sentido. Qual o módulo da força que é exercida sobre cada um
desses fios?
4. Um fio de cobre infinito, de raio 5,0 mm, transporta uma corrente elétrica de 60,0 A.
Qual o módulo do campo magnético em sua superfície do fio e em um ponto P situado a
R = 1,0 mm?
5. Usando a Lei de Ampère, determine o campo magnético no interior de um condutor
cilíndrico de raio R que conduz uma corrente I nas situações em que r < R e r > R.
6. Dois fios retilíneos e infinitos, dispostos perpendicularmente ao plano da página e
afastados 5,0 cm um do outro, conduzem correntes elétricas idênticas, que fluem em
sentidos opostos. Usando a Lei de Ampère, encontre o módulo do campo magnético em
um ponto P distante 2,0 m desses fios?
7. Um solenóide de 2,0 m de comprimento, com 100 espiras por metro e diâmetro interno
de 10,0 cm conduz uma corrente elétrica de 25,0 A. Qual o módulo do campo magnético
no centro desse solenóide?
113
FÍsiCa gEral iii
Anotações
114
lei de ampére
Anotações
115
FÍsiCa gEral iii
Anotações
116
9
Lei de Indução,
de Faraday
9.1
indução Eletromagnética
9.2
lei de Faraday
9.3
lei de lenz
9.4
Força Eletromotriz produzida pelo Movimento
9.5
Campos Elétricos induzidos
117
9
LEI DE INDUÇÃO, DE FARADAY
FÍsiCa gEral iii
Introdução
A maioria dos equipamentos elétricos ou eletrônicos usados em nosso cotidiano
não utiliza como fonte de força eletromotriz uma pilha ou bateria, mas sim uma usina
geradora de energia elétrica geralmente construída a milhares de quilômetros de nossas
residências ou locais de trabalho. Essas usinas “produtoras” de energia elétrica o fazem
mediante a conversão de outras formas de energia, tais como a hidrelétrica (energia
potencial gravitacional convertida em energia elétrica) ou a nuclear (energia nuclear
convertida em energia elétrica). Uma questão importante, já que em última análise tais
usinas geradoras de energia elétrica são as responsáveis pela estrutura de nossa sociedade
tecnológica, é como essa conversão de energia ocorre? Ou ainda, quais os princípios físicos
envolvidos na produção de quase toda a energia que consumimos em nosso cotidiano?
Neste capítulo estudaremos a fundo o importante fenômeno físico responsável pela
geração de energia elétrica em usinas geradoras, denominado de indução eletromagnética.
Como veremos a seguir, quando o fluxo magnético varia através de um circuito, ocorre a
indução de uma força eletromotriz e de uma corrente elétrica nesse circuito. Em uma usina
geradora de energia elétrica um ímã permanente se movimenta em relação a uma bobina
fazendo com que haja uma variação de fluxo magnético na mesma, com a conseqüente
indução de uma força eletromotriz e de uma corrente elétrica nos enrolamentos dessa
bobina. Além disso, outro componente fundamental nos circuitos de distribuição de
energia elétrica, os transformadores que elevam ou abaixam a tensão elétrica nesses
circuitos, também funcionam graças ao fenômeno da indução eletromagnética.
A indução eletromagnética é governada por uma lei básica denominada Lei de
Faraday, que relaciona e força eletromotriz induzida com o fluxo magnético variável em
qualquer tipo de espira. Outra lei importante que aparecerá em nossos estudos de indução
eletromagnética é a Lei de Lenz, que advém do princípio da conservação de energia e nos
ajudará a encontrar o sentido da força eletromotriz e da corrente elétrica induzidas.
No capítulo 7 deste livro investigamos como agem as forças magnéticas em
condutores transportando corrente elétrica submetidos a ação de campos magnéticos.
Um fenômeno importante, relacionado a espiras condutoras transportando correntes em
campos magnéticos, pode ser sucintamente descrito como segue
Quando colocamos uma espira fechada, que transporta corrente elétrica em um
campo magnético, verifica-se que aparece um torque sobre a essa espira.
O surgimento desse torque, por sua vez, é a base do princípio de funcionamento
do motor elétrico.
Com vistas aos estudos a cerca da indução eletromagnética, podemos, considerando
aspectos de simetria do problema da espira colocada em um campo magnético, formular
a seguinte questão
O que acontece quando colocamos uma espira fechada em um campo magnético e a
fazemos rodar, aplicando na mesma um torque externo?
Nessa situação verifica-se experimentalmente o aparecimento de uma corrente
elétrica induzida na espira. O aparecimento desta corrente elétrica induzida é governado
pela lei de Indução de Faraday e é a base do princípio de funcionamento do gerador
elétrico encontrado nas usinas geradoras de energia elétrica.
118
9.1
Indução Eletromagnética
O fenômeno da indução eletromagnética foi observado ao longo da década de 1830
simultaneamente por Michel Faraday, na Inglaterra, e Joseph Henry, nos Estados Unidos
da América. Esses pesquisadores empregaram experimentos relativamente simples que
os possibilitaram chegar a conclusões semelhantes a respeito do fenômeno da indução
eletromagnética. Uma típica experiência de indução eletromagnética é apresentada na
figura 1, que ilustra um experimento relativamente simples que nos conduz a conclusões
muito interessantes a respeito dos fenômenos observados.
Nesse experimento é utilizado um ímã permanente, com seu polo Norte magnético
voltado para baixo e uma bobina condutora conectada a um galvanômetro. Três situações
distintas podem ser verificadas com este simples aparato experimental. A saber
lei de indução,
de Faraday
1a. ⇒ com o ímã em repouso em relação à espira, não há corrente elétrica
circulando pelo galvanômetro.
2a. ⇒ quando o ímã se aproxima da bobina, o galvanômetro acusa a passagem de
uma corrente elétrica provocada por uma força eletromotriz induzida na bobina.
3a. ⇒ quando o ímã se afasta da bobina, o galvanômetro acusa a passagem de
uma corrente elétrica no sentido oposto ao verificado quando o ímã se aproxima
da bobina, ou seja, aparece uma força eletromotriz induzida na bobina, mas no
sentido contrário àquela observada anteriormente.
S
N
S
0
V
N
l
S
0
V
N
0
l
Figura 1 – Aparato experimental para a verificação da indução
eletromagnética nas três situações visualizadas acima.
119
FÍsiCa gEral iii
Vamos interpretar essas três situações analisando o comportamento do fluxo
magnético em cada uma delas com o auxílio da figura 2, que ilustra o movimento de um
ímã permanente em relação à seção transversal da bobina condutora usada no experimento.
Vale ressaltar
 que a área da seção transversal da bobina é constante e perpendicular à
direção de B . Neste caso o fluxo magnético é dado por Φ B = BA . Analisando cada caso
em separado, chegamos às seguintes conclusões:
→ Na primeira situação não há movimento relativo entre o ímã e a bobina.
Como não há nenhuma mudança, é natural que o galvanômetro na registre a passagem de
nenhuma corrente elétrica em seu interior.
→ Na segunda situação (ver figura 2(a)), quando o ímã permanente se aproxima
da bobina, a quantidade de linhas de campo que emanam do ímã e que atravessam a seção

transversal da bobina aumenta, fazendo com que o valor do módulo de B no interior
da bobina aumente com o tempo, aumentando assim o fluxo magnético que atravessa a
 dΦB

> 0 .
bobina 
 dt

→ Na terceira situação (ver figura 2(b)), quando o ímã se afasta da bobina, a
quantidade de linhas de campo que atravessam a seção transversal da bobina diminui,
fazendo com que o módulo de B no interior da bobina diminua com o tempo, diminuindo
dΦB

assim o fluxo magnético que atravessa a bobina 
< 0 .
 dt

Ou seja, a força eletromotriz e a corrente elétrica induzidas na bobina só aparecem
quando ocorre variação temporal do fluxo magnético que a atravessam. Além disso, o
sentido da força induzida e o sinal da corrente elétrica induzida dependem diretamente
de como o fluxo magnético varia, ou seja, se ele aumenta ou diminui com o tempo. É
importante ressaltar que a variação do fluxo magnético na bobina pode ser efetuada de
outras formas, como por exemplo, inclinando a bobina em relação ao seu eixo vertical.
Em todas as situações possíveis só haverá o surgimento da força eletromotriz induzida e
da corrente elétrica induzida na bobina condutora se houver uma variação temporal do
fluxo magnético.
v
S
v
N
S
N
B
B
l
l
(a)
(b)
Figura 2 – (a) imã permanente se aproximando da seção transversal da bobina ilustrada na figura 1.
(b) imã permanente se aproximando da seção transversal da bobina ilustrada na figura 1.
120
9.2
Lei de Faraday
Considerando as muitas experiências que levam à observação do fenômeno da
indução eletromagnética, podemos identificar duas situações distintas em que uma corrente
é induzida em uma espira condutora devido ao aparecimento de uma força eletromotriz
induzida. Ou seja
lei de indução,
de Faraday
1a. ⇒ quando há uma variação (mudança em função do tempo) no campo magnético em
que a espira está embebida.
2a. ⇒ quando colocamos, próximo a essa espira, uma outra espira condutora que é
percorrida por uma corrente elétrica variável no tempo.
Em nossas análises vamos considerar uma superfície (plana ou não) limitada
por uma espira fechada. O fluxo magnético, definido no capítulo 7, pode ser escrito
formalmente como segue
 
Φ B = B ⋅ dA
∫
(1).
Considerando a equação 1 e os experimentos de indução eletromagnética descritos
anteriormente, a Lei de Faraday por ser enunciada como segue
“A força eletromotriz induzida num circuito é igual (exceto por uma mudança de sinal)
à taxa pela qual o fluxo magnético através do circuito está mudando no tempo.”
Assim
ε = − ddtΦ
B
(2).
Quando o experimento é realizado com um número N de espiras, a força
eletromotriz induzida total é a somatória das forças eletromotrizes induzidas em cada
espira, ou seja
dΦB
= −N
(3).
dt
ε
O sinal negativo que aparece nas equações 2 e 3, em última análise, indica o
sentido da força eletromotriz induzida por uma variação temporal de fluxo magnético. Sua
origem será objeto de nossas discussões na seção que segue.
Exemplo 1:
Uma bobina com 100 espiras de fio condutor, esta enrolada sobre uma armação cilíndrica
de 10,0 cm de raio. Cada volta tem a mesma área, igual a da base do cilindro, e a
resistência total da bobina é 3,0 Ω. O campo magnético, no qual a bobina está inserida,
é perpendicular ao plano da bobina e uniforme em todo o espaço. Se a magnitude do
campo magnético mudar a uma taxa constante de 0,0 T a 0,5 T em um período de 0,5
s, qual será a magnitude da força eletromotriz induzida na bobina enquanto o campo
estiver variando? Qual a magnitude da corrente elétrica induzida na bobina quando o
campo estiver variando?
121
FÍsiCa gEral iii
Solução:
Como o campo magnético é uniforme através da área da bobina e também é perpendicular
as espiras do enrolamento, o fluxo magnético através da bobina em qualquer instante
de tempo será sempre o produto da área da bobina e do módulo do campo magnético
que a atravessa. Para encontrar a magnitude da força eletromotriz induzida na bobina
podemos então utilizar a equação 3 na forma
| ε |= N d Φ
dt
B
= NA
dB
dt
Como o campo magnético varia a uma taxa constante, a derivada do campo é igual a
razão entre a variação no campo e o intervalo de tempo durante o qual a variação ocorre.
Ou seja
| ε |= N d Φ
dt
B
= NA
(0,5T − 0, 0T )
∆B
= (100)[π (0,10m) 2 ]
= 9,86V
0,5s
∆t
Podemos considerar o fio que compõe as espiras da bobina como um resistor ôhmico
e aplicar a lei de Ohm a este resistor para encontrar a magnitude da corrente elétrica
induzida na bobina como segue
| i |=
ε
R
=
9,86V
= 3, 29 A
3Ω
Exemplo 2:
Uma pequena bobina, com 10 espiras quadradas e 10,0 cm de lado e resistência elétrica
total de 2,0 Ω, é colocada em uma região do espaço onde existe um campo magnético
uniforme, que possui magnitude de 1,5 T e incide perpendicularmente ao plano da
bobina. A bobina está ligada a um galvanômetro, que mede a corrente total que passa
por ele. Encontre a magnitude da força eletromotriz e a magnitude da corrente elétrica
induzidas no circuito (bobina + galvanômetro) se a bobina girar 180o em torno de seu
diâmetro.
Solução:
O fluxo através de cada espira da bobina, quando esta é colocada em um campo magnético
uniforme e perpendicular a sua área, é o produto da área da espira pela magnitude do
campo magnético que a atravessa. Ou seja
Φ B = AB
Quando a bobina gira 180o o fluxo através dela se inverte, de modo que a variação total
do fluxo tem o módulo 2NBA. Enquanto o fluxo está variando, há uma força eletromotriz
e uma corrente elétrica induzidas na bobina. A magnitude da força eletromotriz induzida
na bobina é
| ε |= N d Φ
dt
B
= 2 NAB = 2(10)(0,1m) 2 (1,5T ) = 0,3V
Enquanto a magnitude da corrente elétrica induzida na bobina vale
| i |=
122
ε
R
=
0,3V
= 0,15 A
2, 0Ω
9.3
Lei de Lenz
Qual o sentido da força eletromotriz para que o efeito observado, ou seja, para que
a indução eletromagnética seja compatível com o princípio da conservação de energia?
Para responder essa questão, vamos formular a Lei de Lenz, que é uma lei
empírica que decorre do princípio da conservação de energia no fenômeno da indução
eletromagnética como segue
lei de indução,
de Faraday
“Uma corrente induzida surgirá numa espira condutora fechada com um sentido tal que
ela se oporá à variação que a produziu.”
Vamos considerar o exemplo prático apresentado na figura 3 para investigarmos
melhor a Lei de Lenz. Neste experimento esquemático, um ímã, com seu pólo norte voltado
para a bobina, é utilizado para promover a variação do fluxo magnético na bobina. Na
situação descrita na parte superior da figura vemos que, a medida que o ímã se aproxima,
o fluxo magnético
na bobina aumenta em função do aumento do módulo do vetor campo

magnético B (∆B). Quando o fluxo magnético é variado a corrente elétrica induzida
na bobina (setas em vermelho) surge no sentido de enfraquecer o campo magnético do
ímã, minimizando a variação de fluxo magnético. Na situação descrita na parte inferior
da figura ocorre justamente o contrário, ou seja, a corrente elétrica induzida na bobina
aparece no sentido de evitar a diminuição do campo magnético, e consequentemente o
fluxo magnético, em seu interior.
ΔB B
B
V
Induzido
Aproxima
ΔB
B
B
Induzido
V
Afasta
Figura 3 – Experimento esquemático empregado para a verificação da Lei de Lenz. As setas
em vermelho indicam o sentido da corrente elétrica induzida na bobina pela aproximação ou
distanciamento do ímã em relação à bobina.
A questão que ainda não foi respondida é por que, a luz do princípio da conservação
da energia, a força eletromotriz e a corrente induzidas na bobina surgem nos sentidos
propostos no experimento ilustrado na figura 3?
De fato, analisando detalhadamente o experimento percebemos que, para que o
ímã realize seu movimento de vai e vem, variando assim o fluxo magnético na bobina,
é necessário que um agente externo realize um trabalho sobre o ímã, ou seja, que esse
agente externo transfira energia mecânica para o mesmo. Por sua vez, para que o princípio
da conservação de energia seja respeitado, a força eletromotriz e a corrente induzidas na
bobina surgem de forma a se opor a causa que as fez surgir. De qualquer forma, a corrente
elétrica induzida na bobina dissipa energia térmica (todo condutor possui resistência
elétrica!) através do efeito Joule. Ou seja, no compito global a energia do sistema como
um todo é conservada.
123
9.4
Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento
FÍsiCa gEral iii
A força eletromotriz produzida em uma espira que se movimenta em um campo
magnético, que é a base do funcionamento dos geradores elétricos, pode ser estudada
considerando um exemplo simples, que é o de uma bobina retangular que é introduzida
em uma região do espaço onde existe um campo magnético uniforme com uma velocidade


constante, v . Esse experimento está ilustrado na figura 4. Na figura, o campo magnético B
é uniforme e está dirigido para fora da página e deslocamos a espira condutora para a direita

com uma velocidade
v . Uma carga q, no interior da espira, sofre a ação de uma
 constante,


força magnética F = qv xB , cujo módulo é F = |q|vB, a direção é vertical e o sentido de
cima para baixo, como ilustrado na figura. A força magnética promove o movimento das
cargas na espira, fazendo com que haja um acúmulo de cargas positivas na parte superior
da espira e de cargas negativas na parte inferior da mesma. As cargas vão se acumulando
continuamente nas extremidades da espira até que o módulo da força elétrica, qE, se iguale
ao módulo da força magnética, |q|vB. Na condição de equilíbrio, qe = |q|vB.
A diferença de potencial de potencial entre os pontos a e b é igual ao módulo do
campo elétrico E entre esses pontos, multiplicado pela distância L. Ou seja:
Vab = EL = vBL
(4).
Essa diferença de potencial, criada em função do movimento da espira na região
do campo, faz surgir uma corrente através da espira, que é um circuito fechado. Ou
seja, há a indução de uma corrente elétrica na espira condutora, relacionada a uma força
eletromotriz dada na forma
ε = vBL
(5).
Podemos generalizar o conceito de força eletromotriz associado a condutor que
se move em um campo magnético uniforme ou não e que possua qualquer forma. Para um

elemento ds do condutor, a contribuição dε da força eletromotriz será dada pelo módulo



de ds multiplicado pelo componente de v x B paralelo a ds , ou seja
  
d = v xB ⋅ ds
(6).
ε ( )
Para qualquer espira fechada, teremos

ε = ∫ (vxB )⋅ ds
L
(7).
B
v
Motora
W
v
B
v
F = qvB
Para baixo
Figura 4 – Uma bobina condutora deslizando com uma velocidade constante sob a ação de um
campo magnético uniforme que sai da página.
124
Exemplo 3:
Considere o comprimento L da figura 4 como 10,0 cm e a velocidade igual a 50,0 cm/s.
Se a magnitude do campo magnético na região da espira vale 0,8 T e se a resistência
total da espira for 0,2 Ω, calcule a força eletromotriz e a corrente elétrica induzidas na
espira. Qual o valor da corrente elétrica que flui na espira?
lei de indução,
de Faraday
Solução:
De acordo coma equação 5 a força eletromotriz induzida na espira é dada por
ε = vBL = (0,5m / s )(0,8T )(0,1m) = 0, 04V
Podemos considerar que o material que compõe a espira é ôhmico, o que nos possibilita
encontrar a magnitude da corrente elétrica induzida na espira, que é dada na forma
ε 0, 04V
i= =
= 0, 20 A
R 0, 2Ω
Exemplo 4:
Uma barra condutora de comprimento 0,1 m gira com uma velocidade angular de
20,0 rad/s ao redor do eixo que passa por uma de suas extremidades em um campo
magnético uniforme. O campo magnético possui magnitude de 2,5 T e está orientado
perpendicularmente ao plano de rotação da barra, como ilustrado na figura 5. Encontre
a força elétrica induzida entre as extremidades da barra.
Solução:

Vamos considerar um segmento de barra de comprimento dr, cuja velocidade é v . Podemos
utilizar a equação 5 para encontrar a força eletromotriz induzida no elemento dr como segue
d
ε = vBdr

Cada segmento dr está se deslocando perpendicularmente a B . A somatória das forças
eletromotrizes induzidas em cada segmento, que estão ligados em série, fornece a força
eletromotriz total entre as extremidades da barra. Ou seja
ε = ∫ Bvdr
Como a velocidade linear de cada segmento dr está relacionada a velocidade angular
da barra na forma
v = ωr
e B e ω são constantes, temos
L
L
0
0
ε = B ∫ vdr = Bω ∫ rdr = 12 Bω L
2
=
1
(2,5T )(20rad .s −1 )(0, 2m) 2 = 1, 0V
2
Figura 5 – Uma barra condutora girando em torno de um eixo fixo em um campo magnético
uniforme que é perpendicular ao plano de rotação e entra na página. Uma força eletromotriz é
induzida nas extremidades da barra.
125
9.5
Campos Elétricos Induzidos
FÍsiCa gEral iii
Quando um condutor de movimenta em um campo magnético aparece no mesmo
uma força eletromotriz induzida, que tem sua origem nas forças magnéticas que atuam
sobre o condutor. Todavia, quando um condutor é colocado em repouso em uma dada
região do espaço onde existe um campo magnético variável, uma força eletromotriz atua
sobre esse condutor. Ou seja, qual a força que atua sobre as cargas desse condutor nesta
situação?
Vamos analisar a situação apresentada na figura 6(a), que ilustra um condutor
metálico circular, uma espira condutora, colocado em repouso em um campo magnético
dB
positivo),
variável. À medida que a intensidade do campo aumenta com o tempo (
dt
o fluxo magnético que atravessa a espira circular também aumenta, fazendo surgir uma
força eletromotriz induzida na mesma. O sentido da força eletromotriz, segundo a Lei de
Lenz, é o mesmo do vetor campo elétrico ilustrado na figura 6(a). Essa força eletromotriz

faz surgir uma corrente elétrica no condutor, e em última análise, um campo elétrico E em
cada ponto da espira. Esse campo elétrico induzido é tão real quanto, por exemplo, aquele
gerado por cargas elétricas estáticas. Qualquer carga de teste colocada em um ponto do
condutor
onde este campo elétrico está presente estará sujeita a ação de uma força elétrica

qFE .
A figura 6(b) ilustra uma situação na qual o condutor metálico é retirado da região
do campo magnético variável, sendo substituído por uma trajetória circular imaginária de
raio r. Como antes, vamos supor que a magnitude do campo magnético esteja aumentando
dB
. Desta forma, a trajetória circular imaginária engloba um fluxo
a uma taxa positiva
dt
magnético Φ B que também varia com o tempo. Como o fluxo muda com o tempo, uma
força eletromotriz induzida surgirá em volta desta trajetória imaginária, dando origem
também aos campos elétricos induzidos mostrados na figura 6(b).
Estas análises, relativas aos efeitos de indução eletromagnética observados em
condutores situados em campos magnéticos variáveis, dão origem a um importante
resultado, que pode ser enunciado na forma
“Um campo magnético variável no tempo produz um campo elétrico”
Vamos supor que uma carga teste q0 se movimente em volta da trajetória imaginária
da figura 6(b). O trabalho realizado pelo campo elétrico para movimentar a carga nesta
trajetória é dado por
W = (q0 E )(2π r )
(8).
Em termos da definição de força eletromotriz, o trabalho efetuado pelo campo
elétrico sobre a carga também é dado por
W = q0ε
(9).
Combinando as equações 8 e 9, temos
ε = E .2πr
Em um caso mais geral, podemos escrever
 
= E ⋅ ds
ε ∫
(10).
(11).
Combinando a equação 11 com a equação 2, podemos reescrever a Lei de Faraday,
como segue
 
dΦ B
(12).
E ⋅ ds = −
dt
∫
126
A equação 12 nos revela que um campo magnético variável produz um campo
elétrico. Ela os indica também que a Lei de Faraday pode ser aplicada a qualquer trajetória
fechada traçada em um campo magnético.
Outro ponto interessante refere-se à natureza da força eletromotriz estabelecida
pelo processo de indução eletromagnética. Na verdade ela não está associada a cargas
estáticas, mas sim a existência de um fluxo magnético variável. Assim, a linhas de força
do campo elétrico associadas aos processos de indução formam circuitos fechados, como
o ilustrado na figura 6(b). Por outro lado, as linhas de força do campo elétrico associadas
a cargas estáticas sempre começam em uma carga negativa e terminam em uma carga
positiva. Assim, percebemos que o potencial elétrico estático só tem sentido quando
está relacionado a campos elétricos formados por cargas estáticas. O potencial elétrico
não tem significado físico para campos elétricos estabelecidos em processos de indução
eletromagnética.
B
E
lei de indução,
de Faraday
E
r
E
E
(a)
(b)
Figura 6 – Campo elétrico induzido por um campo magnético variável. (a) o campo elétrico surge
em todos os pontos do condutor. (b) o campo elétrico induzido surge em todos os pontos do espaço
sobre a trajetória tracejada mesmo sem a presença do condutor.
127
FÍsiCa gEral iii
Exemplo 5:
A figura 7 ilustra uma situação similar a figura 6(b). Suponha que R = 20,0 cm e que
dB
= 0, 2T / s . Qual o módulo do campo elétrico para r = 10 cm e para r = 30 cm?
dt
Solução:
Vamos utilizar a equação 12, que é a forma mais completa da lei de Faraday, para
encontrar o módulo do campo elétrico induzido nas duas situações propostas. Ou seja
 
dΦ
E
∫ ⋅ ds = − dt B
( E )(2π r ) = −π r 2
E=
r dB
2 dt
dB
dt
Para r = 10,0 cm, o módulo do campo elétrico fica
E=
(0,1m)
(0, 2T / s ) = 0, 01V / m
2
Para r = 30,0 cm, r > R, e o fluxo total que passa através do condutor circular é dado por
Φ B = (πR 2 ) B
Logo
( E )(2π r ) = −π R 2
E=−
dB
dt
R 2 dB
2r dt
Assim, o campo elétrico induzido a r = 30,0 cm fica
E=
R 2 dB (0, 2m) 2
(0, 2Ts −1 ) = 0, 044V / m
=
2r dt 2(0,3m)
E
E
B
R
r
E
E
Figura 7 – Campo elétrico induzido por um campo magnético variável em uma dada região do espaço.
Exemplo 6:
Considere um longo solenóide ideal, que possui uma seção reta circular com raio de
5,0 cm e 200 espiras por metro, no qual a corrente elétrica em seu enrolamento cresce a
uma taxa de 10,0 A/s. Se uma espira condutora circular de 10,0 cm de raio que circunda
o solenóide como ilustrado na figura 8, qual o módulo da força eletromotriz e do campo
elétrico induzidos na espira?
128
Solução:
Para encontrar o módulo da força eletromotriz induzida na espira exterior, podemos
utilizar a equação 3, ou seja
ε = − N ddtΦ
lei de indução,
de Faraday
B
Como o campo magnético gerado por um solenóide é dado por µ0Ni, temos
ε = −µ NA dtdi =
ε = −(4π x10 Wb / A.m)(200 espiras por metro)π (0, 05m) (10, 0 A / s) = −19,8 x10
0
−7
2
−6
V
Como o fluxo magnético aponta para a direita, de acordo com a regra da mão direita,
vemos que a força eletromotriz e corrente elétrica induzida na espira possuem sentido
horário. Este resultado, por sua vez, também é consistente com a lei de Lenz.
Usando a equação 12 podemos determinar o módulo do campo elétrico induzido
utilizando o valor absoluto da força eletromotriz, como segue
 
dΦ
∫ E ⋅ ds = − dt B
E (2π r ) = | ε |
E=
| ε | (19,8 x10−6 V )
=
= 31, 4 x10−5V / m
2π r
2π (0,10m)
Figura 8 – Campo elétrico induzido em uma espira condutora circundando um solenóide que
conduz uma corrente elétrica i variável.
129
FÍsiCa gEral iii
Exercícios
1. Qual a força eletromotriz e acorrente induzidas em uma espira, como na situação
ilustrada na figura 2(a), se o módulo do campo magnético aumenta a uma taxa de 0,25 T/s
e se a espira possui uma área de seção reta transversal de 100,0 cm2 e resistência elétrica
de 2,0 Ω?
2. Uma bobina circular de raio de 5,0 cm e com 200 espiras é colocada em uma região
do espaço onde existe um campo magnético uniforme, que faz um ângulo de 45o com
o plano da bobina. Se a intensidade do campo aumenta a uma taxa de 0,25 T/s, qual o
módulo e o sentido da força eletromotriz induzida na bobina?
3. Considere uma bobina retangular, tal qual a ilustrada na figura 4, com 90 espiras
compactamente enroladas feitas com fios de cobre. Se L = 15,0 cm, B = 1,5 T e R = 8,0 Ω
e v = 30 cm/s, qual a força eletromotriz e a corrente elétrica induzidas na bobina?
4. Uma bobina circular de raio de 10,0 cm e com 100 espiras, disposta em uma região do
espaço onde existe um campo magnético uniforme desconhecido, gira em torno de um
eixo perpendicular ao campo a uma freqüência de 60,0 Hz. Qual a magnitude do campo
magnético se a força eletromotriz máxima induzida na espira for 5,0 V?
5. Uma espira retangular, de área A = L.M, com L > M, gira com velocidade angular ω em
torno de um eixo fixo paralelo a L centrado em M/2, em
 um campo magnético uniforme
e constante B . No instante t = 0,0 s, o ângulo φ entre B e dA é zero. Determine a força
eletromotriz induzida nessa espira.
6. Considere um solenóide de 2,0 m de comprimento, com área seção reta transversal
de 5,0 cm2 e 200 espiras. Qual a força eletromotriz induzida no solenóide se a corrente
elétrica através de seus enrolamentos diminuir a uma taxa de 30,0 A/s?
7. Considere um longo solenóide ideal, que possui uma seção reta circular com raio de
8,0 cm e 300 espiras por metro, no qual a corrente elétrica em seu enrolamento cresce
a uma taxa de 5,0 A/s. Uma espira condutora circular de 3,0 cm de raio é colocada
concentricamente no interior do solenóide. Determine o módulo da força eletromotriz e
do campo elétrico induzidos na espira enquanto a corrente elétrica em seus enrolamentos
está sendo alterada?
130
lei de indução,
de Faraday
Anotações
131
FÍsiCa gEral iii
Anotações
132
10
10.1
indutância e indutores
10.2
auto-indução
10.3
Energia do Campo Magnético
10.4
o Circuito rl
Indutância
133
10
INDUTÂNCIA
FÍsiCa gEral iii
Introdução
No capítulo 5 vimos que um capacitor, cujo símbolo é um circuito elétrico é
--| |--, é um dispositivo utilizado para gerar um campo elétrico em uma dada região do
espaço e também para armazenar energia neste campo. Vimos também que podemos
associar capacitores em série ou em paralelo a fim de ajustar o valor da capacitância de
um dado circuito, e que a capacitância de um dado capacitor depende somente de fatores
geométricos.
Neste capítulo definiremos um novo dispositivo, o indutor, cujo símbolo é
, com o qual podemos de uma maneira conveniente gerar um campo magnético
em uma dada região do espaço. Como um modelo apropriado para nosso indutor podemos
considerar um extenso solenóide (mas especificamente uma região próxima a seu centro,
onde o campo magnético é uniforme!).
De uma maneira bem simples podemos relacionar duas conexões importantes em
eletromagnetismo como segue
capacitor ⇔ campo elétrico
indutor ⇔ campo magnético
A partir destas conexões poderemos explorar questões relacionadas às simetrias da
natureza, que nos darão informações importantes a cerca dos processos físicos estudados.
De fato, no capítulo 5 vimos que energia pode ser armazenada no campo elétrico de um
capacitor. Podemos pensar que, por simetria, energia também pode ser armazenada, e
realmente o é, no campo magnético de um indutor. Além disso, vimos no capítulo 5 que
se ligarmos uma bateria a um resistor e um capacitor conectados em série, o circuito
atingirá seu estado de equilíbrio de forma gradual, aproximando-se deste segundo uma
curva exponencial. Verificaremos também, que no caso de ligarmos uma bateria a um
resistor e um indutor conectados em série, o equilíbrio também será atingido de forma
gradual, seguindo uma curva exponencial.
10.1
Indutância e Indutores
O indutor (neste caso um solenóide ideal é utilizado como modelo), nosso
principal objeto de estudo neste capítulo, é um dispositivo tal que, quando uma corrente
elétrica i é estabelecida em suas espiras, um fluxo magnético Φ B atravessará cada uma
de dessas espiras. Contudo, no indutor o fluxo magnético é diretamente proporcional
a corrente elétrica que flui em suas espiras. A constante de proporcionalidade entre a
corrente elétrica e o fluxo magnético é definida como a indutância do indutor. Ou seja
L=
NΦ B
i
(1),
sendo N o número de espiras do indutor. O produto N .Φ B é denominado fluxo concatenado.
A unidade de indutância no S.I. é o henry (1 H = 1 T.m2/A), em homenagem ao Físico
norte americano Joseph Henry, co-autor da lei de Indução de Faraday e contemporâneo de
Michael Faraday. A figura 1 ilustra nosso indutor ideal, um solenóide, e alguns exemplos
de indutores comerciais utilizados em circuitos elétricos.
134
indutância
Figura 1 – (a) Modelo de indutor – um solenóide ideal. (b) alguns solenóides comerciais empregados
em circuitos elétricos.
Utilizando a equação 1, vamos determinar a indutância por unidade de comprimento
de um longo solenóide circular (mas especificamente nas proximidades de seu centro)
com uma seção transversal da área A. Se considerarmos um dado comprimento l próximo
ao centro do solenóide, a densidade linear de espiras fica dada por n = N/l. Devemos
então encontrar o fluxo concatenado por uma dada corrente nas espiras do solenóide cuja
intensidade do campo magnético em seu interior é B, ou seja
N Φ B = (nl )( BA)
(2).
Como o campo magnético no interior de um solenóide ideal é B = µ0ni, a indutância
do solenóide fica dada por
L=
N Φ B (nl )( BA) (nl )( µ0 ni )( A)
=
=
= µ0 n 2lA
i
i
i
(3).
Desta forma, a indutância por unidade de comprimento para este longo solenóide
ideal, que tal qual nos capacitores só depende de fatores geométricos, fica dada por
L
= µ0 n 2 A
l
(4).
Quando o comprimento do solenóide for muito maior que seu raio, a equação
3 fornece uma boa aproximação para sua indutância. Neste caso, os efeitos de borda,
relacionados ao espalhamento das linhas de campo magnético próximo às extremidades
do solenóide podem ser desprezados.
Exemplo 1:
Um solenóide ideal, com 500 espiras por metro e seção transversal de 4,0 cm2, é
percorrido por uma corrente elétrica de 2,0 A. Determine a indutância de um pequeno
segmento de 5,0 cm desse solenóide e sua indutância por unidade de comprimento.
Solução:
Vamos utilizar as equações 3 e 4 para encontrar a indutância e a indutância por unidade
de comprimento do solenóide ideal. Ou seja
L = µ0 n 2lA = (4π x10−7 Wb / A.m)(500) 2 (0, 05 x10−2 m)(4, 0 x10−4 m 2 ) = 6, 28 x10−6 H
e
L
= µ0 n 2 A = (4π x10−7 Wb / A.m)(500) 2 (4, 0 x10−4 m 2 ) = 1, 256 x10−4 H / m
l
135
10.2
FÍsiCa gEral iii
Auto-Indução
Quando dois indutores são colocados um próximo ao outro e uma corrente elétrica
flui por um deles, a corrente elétrica i que flui em um dos indutores produz um fluxo
magnético no outro. No capítulo 9 vimos que se alteramos a corrente elétrica no primeiro
indutor, alterando consequentemente o fluxo magnético no segundo indutor, uma força
eletromotriz induzida aparecerá nesse indutor, de acordo com a lei de Faraday. Contudo,
ao alterarmos a corrente no primeiro indutor, uma força eletromotriz também aparecerá
em seus enrolamentos, já que o fluxo magnético que o atravessa, que é criado por ele
mesmo, também varia no tempo. Ou seja
“Uma força eletromotriz induzida também aparece em um indutor quando variamos a
corrente elétrica que flui através de seus enrolamentos”
Este efeito é chamado de auto-indução e a força eletromotriz produzida pela autoindução é chamada de força eletromotriz auto-induzida. Podemos encontrar a força eletromotriz
auto-induzida combinando a equação 1 e a expressão para a lei de Faraday, como segue
d (NΦB )
d ( Li )
di
=−
=− L
(força eletromotriz auto-induzida)
(5).
dt
dt
dt
Analisando a equação 5 percebemos que a força eletromotriz auto-induzida só
aparece quando a corrente elétrica está variando, e que ela sempre atua no sentido oposto
ao da variação da corrente no indutor, obedecendo a lei de Lenz. A figura 2 ilustra esta
situação. Quando a corrente no indutor aumenta a força eletromotriz auto-induzida surge
num sentido qual que ela se opõe a este crescimento. Quando a corrente no condutor
diminui, o oposto é observado.
ε =−
i (aumentando)
i (diminuindo)
Figura 2 – Indutores percorridos por correntes elétricas variáveis. (a) Quando a corrente no
indutor aumenta a força eletromotriz auto-induzida surge num sentido qual que ela se opõe a este
crescimento. (b) Quando a corrente no condutor diminui, o oposto é observado.
Exemplo 2:
Determine o módulo e o sentido da força eletromotriz auto-induzida no solenóide do
Exemplo 1 quando a corrente elétrica em seus enrolamentos cresce uniformemente de
zero até 5,0 A em 2,0 ms.
Solução:
A taxa de variação da corrente no solenóide é
di ∆i
(5, 0 A − 0, 0 A)
=
=
= 2,5 x103 A / s
−3
dt ∆t (2 x10 s − 0, 0 s)
De acordo com a equação 5, a força eletromotriz auto-induzida é
di
= −(6, 28 x10−6 H )(2,5 x103 A / s ) = −15, 7V
dt
Como a corrente elétrica no solenóide está aumentando com o tempo, o sentido da
força eletromotriz, indicado pelo sinal negativo, é o oposto ao sentido da corrente. Esta
situação está ilustrada na Figura 2(a).
ε =− L
136
10.3
Energia do Campo Magnético
indutância
Em um experimento simples, quando, por exemplo, separamos duas cargas
elétricas de sinais opostos a uma certa distância d uma da outra, costumamos dizer que a
energia potencial elétrica resultante, que está associada á configuração do sistema físico
estudado, fica armazenada no campo elétrico das cargas. Esta energia pode ser recuperada
a qualquer tempo simplesmente deixando essas cargas voltarem a suas posições iniciais,
aproximando-se uma da outra.
De outra forma, podemos pensar que para fazer uma corrente elétrica circular
em um indutor, ou em um circuito simples como o ilustrado na figura 3, que contém
uma fonte de força eletromotriz e um indutor de indutância L, é necessário fornecer
uma certa quantidade de energia ao indutor. Ou seja, o indutor que conduz uma corrente
elétrica possui uma certa quantidade de energia nele armazenada. Na figura 3, tanto o
indutor quanto a fonte possuem resistência interna nula. A diferença de potencial entre
os terminais a e b é Vab. Assim, potência instantânea dissipada no circuito, que é a taxa de
transferência de energia para o indutor, será P = Vabi. Para encontrarmos a energia total U
acumulada no indutor, vamos supor que a corrente no indutor aumente de modo que di/dt
> 0. Neste instante, a voltagem entre os terminais do indutor será
di
(6).
dt
A taxa com a qual a energia é fornecida ao indutor, ou seja, a potência instantânea
P fornecida pela fonte externa ao indutor, é dada por
Vab = L
P = Vabi = Li
di
dt
(7).
Como P = dU/dt, temos
(8).
dU = Lidi
Assim, a energia total U fornecida ao indutor pela fonte, quando a corrente elétrica
está aumentando de zero até um valor final I é
i
U = L ∫ idi =
0
1 2
Li
2
(9).
i (aumentando)
a
b
FEM
Figura 3 – Um circuito elétrico contendo uma fonte de força eletromotriz (FEM) e um indutor.
Quando a corrente aumenta surge uma força eletromotriz auto-induzida no indutor.
Podemos definir a densidade de energia magnética armazenada no indutor na forma
U
(10).
V
No caso de um indutor no formato de um solenóide ideal, seu volume é dado por
V = Al. Substituindo V e a equação 9 na equação 10, temos
u=
u=
1 Li 2 ( L / l )i 2
=
2 Al
2A
(11).
137
FÍsiCa gEral iii
Usando a equação 4 no lugar de L/l, e substituindo B = µ0ni na equação 11, temos
u=
B2
1
µ 0 n 2i 2 =
2
2µ 0
(12).
Exemplo 3:
Uma bobina possui uma indutância de 100,0 mH, uma resistência de 0,5 Ω e 100 espiras
por metro. Quando ela é ligada a uma bateria de automóvel de 12,0 V, estabelece-se
uma corrente elétrica nesse circuito. Determine a energia magnética armazenada na
bobina depois que a corrente elétrica no circuito se estabiliza e a densidade de energia
da bobina.
Solução:
Para encontrarmos a energia magnética armazenada na bobina vamos utilizar a equação
9. Ou seja
2
1
1
 12, 0V 
U = Li 2 = (100, 0 x10−3 H ) 
 = 28,8 J
2
2
 0,5Ω 
A densidade de energia magnética cumulada na bobina pode ser encontrada se
calcularmos o campo magnético gerado por essa bobina quando ele é percorrida pela
corrente elétrica. Assim,
 12, 0V
B = µ0 ni = (4π x10−7 Wb / A.m)(100) 
 0,5Ω
Usando a equação 12, temos
u=
10.4

−2
 = 3, 0 x10 T

B2
(3 x10−2 T ) 2
=
= 1, 2 MJ / m3
2 µ0 2(4π x10−7 Wb / A.m)
O Circuito RL
Vamos analisar como os indutores se comportam em circuitos elétricos. Por
simplicidade, vamos estudar o circuito RL, que consiste em um indutor e um resistor
ligados em série. De antemão, e em função do fenômeno da auto-indução, podemos inferir
que um indutor inserido em um circuito elétrico qualquer torna difícil a ocorrência de
variações bruscas na corrente elétrica que flui nesse circuito. De fato, a equação 6 nos
revela que quanto maior a taxa de variação da corrente no circuito, maior a intensidade da
força eletromotriz auto-induzida e maior a diferença de potencial nos terminais do indutor.
A figura 4, apresentada abaixo, ilustra um circuito RL composto de duas chaves S1 e S2,
um indutor de indutância L e um resistor de resistência R. Quando a chave S1 é fechada,
podemos conectar o circuito RL com uma fonte de força eletromotriz com uma fem, ε,
constante, com resistência interna desprezível. Por outro lado, abrindo S1 e fechando S2
podemos obter a configuração na qual o indutor está ligado em série com o resistor.
Em um dado instante t = 0 s, fechamos a chave S1. Como não pode haver variação
brusca de corrente no circuito, em função da presença do indutor, a corrente começa a
aumentar a uma taxa que depende do valor de indutância L do indutor. Por outro lado, em
um dado tempo t, uma corrente elétrica i flui no circuito, com uma taxa de variação di/dt.
A diferença de potencial Vab nos terminais do resistor no tempo t é
Vab = iR
(13),
enquanto nos terminais do indutor a diferença de potencial vale
Vbc = L
138
di
dt
(14).
indutância
S1
S2
a
b
R
c
L
i
Figura 4 – Circuito RL. Fechando a chave S1 podemos conectar o circuito RL a uma fonte de força
eletromotriz com fem igual a ε V. Abrindo a chave S1 e fechando a chave S2, desconectamos a
combinação da fonte.
Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff ao circuito da figura 4 no sentido antihorário, temos
di
=0
dt
Podemos explicitar di/dt em 15 na forma
ε − iR − L
(15).
di ε − iR ε R
=
= − i
(16).
dt
L
L L
Analisando 16 percebemos que quanto maior L, menor a variação da corrente,
pois em t = 0 s, a corrente no circuito é nula. Ou seja
di ε
(17).
=
dt L
Por outro lado, quando a corrente atinge seu valor estacionário I, a taxa de variação
da corrente di/dt vai a zero, e I = ε/R.
Vamos reescrever a equação 16 com o intuito de separar as variáveis i e t na forma
di
R
= − dt
L
(i − ε / R)
(18).
Vamos substituir as variáveis i e t por i’ e t’ para usá-las como limites de integração.
Integrando 18 temos
i
t
di '
R
∫0 (i − ε / R) = − L ∫0 dt '
 i − (ε / R) 
R
ln 
=− t
L
 (−ε / R) 
temos
(19).
Tomando a função exponencial dos dois lados da equação 19 e explicitando i,
ε
(1 − e − t /τ L )
R
Podemos definir a constante de tempo indutiva, τL, na forma
i=
τL =
L
R
(20).
(21).
139
FÍsiCa gEral iii
A constante de tempo indutiva é o tempo necessário para que a corrente no circuito
alcance o valor (1-1/e), que é 63% de seu valor final de equilíbrio.
Vamos supor agora que a chave S1 tenha permanecido fechada até a corrente elétrica
no circuito atingir seu valor final de equilíbrio I. Recomeçando nosso experimento, vamos
considerar o tempo t = 0 s quando abrirmos a chave S1 e fecharmos simultaneamente a
chave S2. Assim estaremos eliminando a fonte de força eletromotriz do circuito. Contudo,
em função do fenômeno da auto-indução, mais uma vez a corrente no circuito RL (sem
a fem) não pode variar bruscamente. Ou seja, a corrente elétrica em L e em R diminui
lentamente até se anular completamente. Se aplicarmos a Lei das Malhas de Kirchhoff ao
circuito RL sem a fonte de força eletromotriz no sentido anti-horário, e se repetirmos as
etapas anteriores (realizadas quando S1 estava fechada), chegaremos a seguinte expressão
para a corrente elétrica que flui no circuito RL sem fonte de força eletromotriz na forma
i = I 0 e −( R / L )t = I 0 e −t / τ L
(22).
Quando a corrente está diminuindo no circuito RL, a constante de tempo indutiva
τL é o tempo necessário para que a corrente diminua para 1/e, ou seja, para 37% de seu
valor inicial. A figura 5 ilustra as duas situações distintas de variação de corrente elétrica
no circuito RL, ou seja, quando a corrente elétrica aumenta ou diminui no circuito. Em
ambos os casos a corrente elétrica varia exponencialmente em função do tempo.
i
I=
R
O
i
I0
I
e
t
L
t=
R
O
I0
e
L
t=
R
(a)
t
(b)
Figura 5 – (a) Gráfico de i em função do tempo para o aumento da corrente elétrica no circuito RL
ligado a uma fem (figura 4, chave S2 ligada e chave S1 desligada). (b) Gráfico de i em função do
tempo para a diminuição da corrente elétrica no circuito RL desconectado da fem (figura 4, chave
S1 ligada e chave S2 desligada).
Exemplo 5:
No circuito RL da figura 4, R = 5,0 Ω , L = 100,0 mH e ε = 6,0 V. (a) Qual a constante
de tempo do circuito? (b) Qual a corrente elétrica no circuito em t = τL s e em t = 2,5τL s?
Solução:
(a) A constante de tempo é dada pela equação 21. Logo
L 100 x 10−3 H
=
= 20, 0 ms
R
5, 0 Ω
(b) A corrente no circuito é dada por
ε
i = ( 1 − e −t / τ L )
R
Pata t = τL s
6, 0 V
−τ /τ
i=
(1 − e L ) = 0, 76 A
5, 0 Ω
E para t = 2,5τL s
6, 0 V
i=
(1 − e −2,5 ) = 0,92 A
5, 0 Ω
τ=
140
Exemplo 6:
Uma bobina circular de indutância de L e resistência de R é ligada a uma bateria de
indutância
ε
Volts, de resistência interna desprezível. Depois de quantas constantes de tempo
terá sido armazenada no campo magnético metade da energia correspondente àquela
quando a corrente no circuito atinge seu valor de equilíbrio?
Solução:
No equilíbrio, a energia armazenada no campo magnético é dada por
ε
1 2
L
i , com i( equilíbrio ) = . Perguntamos então:
2
R
Para que tempo vale a relação UB = 0,5UB(equilíbrio)?
Vamos substituir os valores de UB na relação proposta, ou seja
U B( equilíbrio ) =
1 2 11 2

L
i =  L
i ( equilíbrio ) 
2
22

Logo
1ε
i=
2R
Como i =
(1 − e
R
ε
τL
R
−t / τ L
e −t / τ L =
t
ε
(1 − e
−t / τ L
), temos:
) = 12 εR
1
2
= − ln( 1 / 2 )
Assim
t = 0,69τL
141
FÍsiCa gEral iii
Exercícios
1. Qual a indutância de um solenóide de 2,0 m de comprimento, com área seção reta
transversal de 5,0 cm2 e 200 espiras? Se a corrente elétrica nesse solenóide cresce
uniformemente de zero a 5,0 A em 2,0 ms, qual o módulo e o sentido da força eletromotriz
auto-induzida?
2. Qual seria a indutância necessária para armazenar 10,0 kWh de energia em uma bobina
conduzindo uma corrente de 500,0 A?
3. Uma bobina circular possui uma indutância de 60,0 mH e uma resistência desprezível.
Se ligarmos essa bobina a uma bateria de 12,0 V, também de resistência interna desprezível,
qual será o valor da energia armazenada no campo magnético depois que a corrente na
bobina atingir seu valor de equilíbrio?
4. Uma bobina circular possui uma indutância de 20,0 mH e uma resistência de 2,0 Ω.
Se ligarmos essa bobina a uma bateria de 1,5 V, de resistência interna desprezível, quanto
tempo levará para a corrente no circuito alcançar um terço de seu valor final de equilíbrio?
5. A corrente elétrica em um circuito RL diminui exponencialmente. Depois de 1,5
constantes de tempo, qual a fração de energia dissipada no resistor e no indutor?
6. Considere a figura 4, tomando ε = 12,0 V, L = 10,0 mH e R = 3,0 Ω, qual a constante de
tempo indutiva do circuito e qual o valor da corrente de estado estacionário final? Quanto
tempo leva para a corrente atingir 90% de seu valor máximo?
142
indutância
Anotações
143
FÍsiCa gEral iii
11
Referências
Grupo de Reelaboração do Ensino de Física. Física 3: eletromagnetismo/GREF. 5. ed.,
2. reimpr. São Paulo: Edusp, 2005.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de Física: eletromagnetismo.
Rio de Janeiro: LTC, 1991, v. 3.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC Livros técnicos,
1999. v. 2.
144
145