Bi-condicional

ENADE 2005 e 2008
Nas opções abaixo, „‟ representa o condicional material (se...então...), „v‟ representa a disjunção (ou um, ou
outro, ou ambos) e „~‟ representa a negação (não). Com o auxílio de tabelas veritativas, examine a seguinte
fórmula: „(p  q) v (~ q v p)‟ e, a seguir, assinale a opção correta.
A A fórmula é uma contingência, e „~ q v p‟ só é falsa na 3.ª linha, de cima para baixo.
B A fórmula é uma tautologia, e „p  q‟ só é falsa na 2.ª linha, de cima para baixo.
C A fórmula é uma disjunção tautológica cujos membros são ambos tautológicos.
D A fórmula é uma contradição.
E A fórmula é mal formada.
Considere que “￢”, “∧” e “→” são, respectivamente, símbolos para a negação (“não”), conjunção (“e”) e
condicional material (“se..., então...”) e que “p” e “q” são variáveis proposicionais. Ao se empregar os
procedimentos das tabelas veritativas e, em seguida, do cálculo proposicional, pode-se concluir que a fórmula “(p
→ q) v ￢(p ∧ ￢ q)”.
I é uma contingência.
II é uma contradição.
III é uma tautologia.
LÓGICA PROPOSICIONAL
A lógica proposicional clássica é um dos exemplos mais simples de lógica formal. O cálculo
proposicional só é possível de ser elaborado partindo de proposições declarativas, pois são as únicas a que
se pode atribuir verdade e falsidade (ex: “a engenharia é a ciência que estuda a construção de obras de grande
porte”; “todo metal submetido à alta temperatura dilata”, etc.). Proposições exclamativas (ex: “que lindo
dia!”), imperativas (ex: “você deve respeitar seu semelhante”), interrogativas (ex: “todo metal submetido à
alta temperatura dilata?”) não são passíveis de atribuição valorativa (verdade e falsidade).
A lógica proposicional (ou cálculo sentencial) é um sistema formal no qual símbolos (p, q, r, etc.)
representam proposições simples (ou atômicas) que são combinadas entre si usando conectivos lógicos (~,
v, ^ , etc.). As proposições simples são aquelas compostas de sujeito e predicado e que não podem ser
divididas em outras proposições com sentido completo. Em linguagem natural, um exemplo de proposição
simples pode ser: "O cobre conduz eletricidade", ou "X é um número". Se fizermos a decomposição da
primeira teremos o sujeito “cobre” (que, sozinho, não tem sentido completo, afinal o cobre o que?) e o
predicado “conduz eletricidade” (que, sozinho, também não tem sentido completo, afinal o que conduz
eletricidade?). Na segunda proposição o caso é o mesmo. As proposições complexas, por sua vez, são
aquelas que podem ser decompostas em outras proposições, por exemplo: "O cobre conduz eletricidade e o
cobre é um metal", é uma proposição complexa construída juntando duas outras “O cobre conduz
eletricidade” e “O cobre é um metal" com um conectivo lógico, o “e”, cujo símbolo lógico é “ ^”. Assim, uma
boa regra para saber se a proposição em questão é simples ou complexa é verificar se ela apresenta algum
conectivo lógico. Falemos, então, sobre os conectivos.
Os principais conectivos lógicos e suas funções:
Negação (~). Lê-se “não é o caso de”. A negação inverte o valor-verdade da proposição.
Conjunção (^). Lê-se “e”. A conjunção entre duas proposições é verdadeira somente se ambas forem
verdadeiras.
Disjunção inclusiva (v). Lê-se “e/ou”. A disjunção inclusiva só é falsa se ambas forem falsas.
Disjunção exclusiva (w). Lê-se “ou... ou...”. A disjunção exclusiva é verdadeira se os valores-verdade forem
diferentes.
Condicional (→). Lê-se “se..., então...”. O condicional só será falso se o antecedente for verdadeiro e o
conseqüente falso.
Bi-condicional (). Lê-se “se e somente se”. O bi-condicional é verdadeiro se os valores-verdade
forem iguais.
EXERCÍCIOS:
1. Considerando as convenções abaixo, dizer qual o valor de verdade dos enunciados:
Convenção:„P‟ = F; „Q‟ = V; „R‟ = V.
a) (Q  P) ^ ~ P
b) Q  (P v ~ R)
c) (Q w R)  R
d) ~ (P  R) ^ R
e) (P w ~ P)  (R  Q)
f) P v (Q  ~ R)
TABELA VERDADE
Se na análise de um argumento os valores são dados (exercícios com convenção de valoração
dada) é simples: substituímos as variáveis pelos valores dados e calculamos. Mas e quando não sabemos
os valores (verdadeiro ou falso) das proposições que compõem o argumento? Como analisá-los então? As
tabelas verdade serão necessárias neste caso. Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as
fórmulas) representa uma valoração (a regra para saber quantas linhas teremos, é a seguinte: 2n (em que
„2‟ significa „V, F‟ e „n‟ o número de sentenças envolvidas). Assim, se uma fórmula contém 2
proposições diferentes, como P e Q, o número de linhas será 4. Se a fórmula contiver 3 proposições
diferentes, o número de linhas será 8. Desta forma como ficaria a tabela verdade de uma proposição
complexa do tipo (P ^ Q)? Primeiro montamos a tabela com base no número de proposições, neste caso
temos duas proposições diferentes P e Q. Pela fórmula 22 temos uma tabela de quatro linhas. Em seguida,
para saber quantas colunas a tabela terá, preenchemos as duas primeiras com os valores padrão para P e
Q. Feito isso, é só colocar a proposição complexa na tabela, separando cada proposição atômica e
conectivos em uma coluna. Agora é só preencher os valores de P e Q nas colunas de P e Q. E, para
finalizar, a parte mais importante: calcular o valor da coluna do conecvtivo em questão, no caso a
conjunção, apresentando o resultado para cada uma das quatro linhas. Sempre que a coluna final de uma
tabela verdade for em todas as linhas verdadeira, dizemos que a proposição é uma tautologia. Se, por
outro lado, o resultado da coluna final de uma tabela verdade for em todas as linhas falso, então temos
uma contradição. Por outro lado, se tivermos ao menos um resultado verdadeiro e ao menos um
resultado falso, então a fórmula é uma contingência.
Exercícios:
1. Determinar se as proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências:
a)
P Q (P w Q)  (Q  Q)
V V
V
F
F
V
F
F
b)
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
(P
^
c)
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
R
V
F
V
F
V
F
V
F
[(R
Q)
v
v
Q)
(Q


(~
~
P)
P
^
~
Q)]

R
8. Determinar se a proposição abaixo é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência e
assinalar apenas uma alternativa:
P Q R [(P v Q) ^ (~ R ^
~ P)]  (Q w R) L linhas
V VV V
1ª 1a.
V VF F
2ª 2a.
V FV V
3ª 3a.
V FF F
4ª 4a.
F VV V
5ª 5a.
F VF F
6ª 6a.
F FV V
7ª 7a.
F FF F
8ª 8a.
Alternativas:
a) a proposição é uma tautologia, e (P v Q) só é falsa nas duas últimas linhas;
b) a proposição é uma contingência, e (~ R ^ ~ P) só é verdadeira na 6ª. e na 8ª. linha;
c) a proposição é uma contingência, e (P v Q) ^ (~ R ^ ~ P) só é verdadeira na 1ª. e na última linha;
d) a proposição é uma contradição.
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PREDICADOS
A linguagem do Cálculo de Predicados de 1a Ordem inclui predicados, quantificadores,
conectivos lógicos e regras de inferência que, como veremos, fazem parte do Cálculo de Predicados.
Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e os parênteses, os
seguintes novos símbolos:
variáveis (representam indivíduos indeterminados ("alguém", "algo", etc.)): x,y,z.
constantes (representam os indivíduos determinados – nomes ou descrições definidas - ex: "João",
"Maria", “Aristóteles”, “O autor de „A crítica da razão pura‟”, “O compositor de „As quatro estações‟”...):
a,b,c,....t. (vamos convencionar que isso é possível até a letra “t”)
símbolos de predicados (representam o predicado lógico das sentenças, propriedades ou relações entre os
indivíduos ou sujeitos lógicos): A, B, C, D... Z.
quantificadores (representam a quantidade dos sujeitos lógicos da sentença, ex: todo, algum, pelo menos
um...) :  (universal),  (existencial)
O cálculo de predicados analisa as sentenças internamente. Há que se verificar os termos,
separando o que é sujeito do que é predicado (daí a expressão “cálculo de predicados”) e os
quantificadores. Começamos simbolizando esses termos com uma notação apropriada e eliminar as
ambigüidades da linguagem natural. Exemplos: "Maria é inteligente" = Im ; onde "m" está identificando
Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente". Para “todo A é B” temos “x (Ax  Bx)”, que
poderíamos ler por extenso da seguinte forma: “Para todo x, se x é A, então x é B”, ou, simplesmente
“Todo A é B”. Assim, a sentença “João é brasileiro” pode ser simbolizada por “Bj”. É importante notar
que o predicado, nesta convenção, aparece antes do sujeito. Outros exemplos:
Alguém é brasileiro = Bx (ainda não estamos usando os quantificadores)
Ana dorme = Da
Pedro é alto = Ap
O autor da „República‟ era grego = Ga
Deodoro conspirou = Cd
Alguma coisa é verde = Vx (continuamos não usando os quantificadores)
O professor de Lógica da Unisinos é organizado = Op
Temos dois quantificadores:  (universal),  (existencial), que significam, respectivamente,
“para todo” e “existe pelo menos um”. Eles só são utilizados nos casos em que a sentença apresenta ao
menos uma variável, ex: “Alguém é brasileiro”. Nessa sentença, não sabemos a quem se refere “alguém”.
Daí a simbolização ser “Bx”. Mas para simbolizarmos de forma mais completa, teríamos que acrescentar
o quantificador existencial  que serve para simbolizar quantidades como: alguém, alguns, algo, pelo
menos um, muitos, poucos, vários... (perceba que é o mesmo caso de possibilidades que tínhamos no
quantificador particular do silogismo aristotélico. Assim, nossa sentença inicial “Alguém é brasileiro”
completamente simbolizada ficaria: x (Bx). Que pode ser lida das seguintes formas: “Existe pelo menos
um x tal que x é brasileiro” ou “existe pelo menos alguém que é brasileiro” ou ainda simplesmente
“alguém é brasileiro”. Por outro lado, se o quantificador for universal como “todos”, “qualquer” ou
“nenhum”, então usaremos a notação . Assim, para a sentença “todos são brasileiros” teríamos a
seguinte simbolização: x (Bx). Tal notação pode ser lida das seguintes formas: “para todo x, x é
brasileiro” ou “todo o mundo é brasileiro” ou ainda simplesmente “todos são brasileiros”. Outros
exemplos:
Nada é belo = x ~ (Bx).
Ela é inteligente = x (Ix).
Tudo é belo = x (Bx).
Isto não é belo = x ~ (Bx).
Alguém é um filósofo = x (Fx).
Notamos que os símbolos de predicados (as letras maiúsculas do alfabeto) serão unários
(propriedades), binários (relação entre dois indivíduos) ou ternários (relação entre três indivíduos)
conforme o que representam envolver, respectivamente um, dois ou três objetos do universo. Um símbolo
de predicados 0-ário identifica-se com um dos símbolos de predicado e com a ausência de sujeitos lógicos
(nomes ou descrições definidas).
Exemplos de predicados 0-ários:
Chove = C
Neva = N
Exemplos de predicados unários:
Sócrates é filósofo = Fs
Cleo é um peixe = Pc
O compositor da Marcha fúnebre é criativo = Cc
Alguém é atrapalhado = x (Ax)
Exemplos de predicados binários:
João é mais alto que Maria = Ajm
Pedro gosta de Ana = Gpa
Marcos está ao lado de Cláudia = Lmc
Todos gostam de Carlos = x (Gxc)
Exemplos de predicados ternários:
João está sentado entre Pedro e Bruno = Sjpb
Alguém gosta de Maria e Carla = x (Gxmc)
Paulo é primo de Denis e Cristina = Ppdc
Exercícios:
1. Simbolizar as sentenças abaixo em linguagem de cálculo de predicados:
a) João não é feliz _____________________________
b) João odeia Isabel _________________________________
c) Canoas fica entre São Leopoldo e Porto Alegre
F: x fica entre y e z
____________________________________________________
d) Se João é mais alto do que Pedro, então Pedro é mais baixo do que João.
A: x é mais alto que y / B: y é mais baixo que x
_________________________________________________________
2. Simbolizar as sentenças abaixo em linguagem de cálculo de predicados com o uso de variáveis conforme o
exemplo:
Exemplo: “João odeia alguém” = ∃x (Ojx)
a) Alguém odeia João _______________________________________
b) Alguém ama alguém _____________________________________
c) Alguém odeia a si mesmo _______________________________________________
d) Todos odeiam a si mesmos _________________________________________
e) João ama todos _______________________________________________________
f) Todos odeiam João __________________________________________________
g) Alguém ama todos ___________________________________________________
3. Simbolizar as sentenças abaixo em linguagem de cálculo de predicados com o uso de variáveis conforme o
exemplo lembrando que proposições universais são simbolizadas com o condicional e proposições
particulares são simbolizadas com a conjunção:
Ex: “Todos os gregos são poderosos” = ∀x (Gx  Px) e “Alguns gregos são poderosos” = ∃x (Gx ^ Px)
a) Nenhum grego é poderoso _________________________________________________
b) Alguns poderosos são gregos _____________________________________________________
c) Alguns gregos não são poderosos __________________________________________________
d) Todos os gregos poderosos têm sorte _______________________________________________
e) Alguns pássaros são amarelos _________________________________________________
f) Todos os pássaros são amarelos _________________________________________________
g) Nenhuma baleia é mamífero __________________________________________________
h) As pessoas são prepotentes se, e somente se, não têm escrúpulos ____________________________
i) Nem tudo o que brilha é ouro ________________________________________________
4. Na sentença “Maria é mais baixa que Pedro”, em linguagem de cálculo de predicados, o predicado é:
a) zero-ário;
b) unário ou monádico;
c) binário ou diádico;
d) ternário;
e) uma descrição definida.
5. Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas:
( ) Os símbolos “” e “” são usados para quantificar as variáveis quando não temos nem nomes próprios nem
descrições definidas nas sentenças;
( ) “Chove” é uma sentença que pode ser simbolizada por “C”;
( ) “Nem João nem Maria dormiram” é uma sentença que pode ser simbolizada por “~ (Dj ^ Dm)”;
( ) “Tanto Pedro quanto Flávio não comeram a refeição” é uma sentença complexa que pode ser simbolizada por
“~ Cp ^ ~ Cf”;
( ) “ O Paraná fica entre o Rio Grande do Sul e Santa Catarina” é uma sentença com predicado ternário;
( ) Os predicados binários sempre apresentam a relação entre dois indivíduos e os ternários denotam três propriedades
a qualquer indivíduo.
6. Traduzir as seguintes sentenças para a linguagem do cálculo de predicados:
Convenção:
S = sistemático
C = completo
F = filosófico
a = o autor de Investigações filosóficas
a) ∃x (~ Sx) _______________________________________________________________________
b) ∀x (~ Sx) _______________________________________________________________________
c) ∃x (Sx ^ Cx) ____________________________________________________________________
d) ∃x (Fx  (Sx ^ Cx)) _______________________________________________________________
e) ∃x (Fx w Cx)___________________________________________________________________
f) (Sa  Fa)_________________________________________________________________________
g) ∀x (Fx  ~ Sx) ____________________________________________________________________
h) ∃x (Cx ↔~ Sx) ____________________________________________________________________
i) (~ Ca ^ Fa)  Sa) __________________________________________________________________