1. Operações com Mercadorias

Material de apoio
de Fundamentos da Matemática
Conjuntos Numéricos
1.Conjunto dos números Naturais (N)


,1
,2,3
,4,5,...
IN = 0
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:


1,2,3,4,5,6,...
IN* =
2.Conjunto dos números Inteiros (Z)

o zero foi excluído do conjunto IN.


3
,
2
,
1
,
0
,
1
,2
,
3
,4
,...
Z = ...
Além do conjunto IN, convém destacar os seguintes subconjuntos de Z:
Z* = Z -
0

Z  = conjunto dos números inteiros não-negativos = 0,1,2,3,4,...

Z  = conjunto dos números inteiros não-positivos = 
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,...
Observe que Z  = IN
3.Conjunto dos números Racionais(Q)
Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e teremos os
Números racionais.
Então: -2, 
5
1
3
3
, -1, - , 0, , 1,
, por exemplo, são números racionais.
4
3
5
2
É interessante considerar a representação decimal de um número racional
a
, que se obtém
b
dividindo-se a por b:
1
5
= 0,5 - = -1,25
2
4
75
= 3,75
20
Estes exemplos se referem às decimais exatas ou finitas.
1
= 0,333...
3
7
= 1,1666...
6
6
= 0,857142857142...
7
Estes exemplos se referem às decimais periódicas ou infinitas.
Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional
a
.
b
0,5 =
5
1
=
10 2
0,33333....=
3
1
=
9
3
4.Conjunto dos números Irracionais(I)
Consideremos por exemplo, os números
decimal:
2 e
2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508...
3 , e vamos determinar sua representação
Observamos então, que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de
números irracionais que não podem ser escritos na forma
a
.
b
5.Conjunto dos números Reais(R)
irracionai
s, define-se o conjunto dos números reais como:
irracionai
s=  x| x é racional ou x é irracional 
IR= Q U 
Dados Q e
Assim, os números reais:

Os números naturais,

Os números inteiros,

Os números racionais,

Os números irracionais
Como subconjuntos importantes de IR, temos:
IR* = IR -
0
IR  = conjunto dos números reais positivos.
IR  = conjunto dos números reais negativos.
Racionais Q
Irracionais I
Inteiros Z
Naturais N
Exercícios
1. Durante uma repentina onda de frio, a temperatura baixou 3 graus no primeiro dia, no
seguinte , mais 5 graus, e no terceiro dia, outros 5 graus. No quarto dia, subiu 9 graus.
Represente por um número com sinal, quanto a temperatura baixou?
2. Carlos Alberto devia a 3 amigos as seguintes quantias: R$ 45,00 , R$ 60,00 e R$ 95,00.
Mas, outros amigos lhe deviam R$ 25,00, R$ 50,00, R$ 18,00 e R$ 30,00. Qual era a
situação financeira de Carlos?
3. Substitua o sinal de interrogação por  .
a) 0 ? N
b) 0 ? Z
c) -7 ? N
d) +7 ? Z
e) 36 ? N
f) 36 ? Z
4. Um conjunto que tem somente um elemento chama-se conjunto unitário. Um conjunto
que não tem elementos chama-se conjunto vazio. Verifique se é unitários ou vazio cada um
dos conjuntos abaixo:
a) P={a  Zl -1<a<1}
b) Q={-100}
c) R={b  Zl -10<b<-8}
d)

S={x Nlx<0}
Gabarito:
1.
-4
2.
R$77,00 saldo negativo
3.
4.
a) 
a) unitário
b) 
b) unitário
c) 
c) unitário
d) 
d) vazio
e) 
f) 
Expressões Numéricas
2
As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem numeros. Devemos
lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica.
Resumidamente:
1º Parênteses
2º Colchetes
3º Chaves
4º Potencia ou Raiz
5º Multiplicação e divisão
6º Soma e Subtração
Veja o exemplo:
{[6+(9/3).(2+2+42)-170.(40:8-3)]/1}-2
{[6+3.(4+16)-1.(5-3)]/1}-2
{[6+3.20-1.2]/1}-2
{[6+60-2]/1}-2
{64/1}-2
64-2
62
Exercícios
1. Veja:
b=10 c=15 p=18 q=25 y=36
Qual é o valor de cada expressão algébrica?
a) b+8
b) 3c
c) p:2
d) q-25
e) y+36
2. Sabendo que x=2, y= 4 e z=10, qual o valor de cada expressão algébrica?
a) xyz
b) yz:x
c) yz-x
d) xz:y
3. Escreva uma soma para cada um dos problemas e calcule-a:
a) Um submarino submergiu 27m e, pouco depois, outros 15 m. qual foi a profundidade
atingida pelo submarino?
b) Um termômetro esta marcando -2 graus Celsius. Se a temperatura subir 10 graus,
quantos graus marcará o termômetro?
4. Calcule:
a) -9+(-18)+36
b) 1+(-54)+12+(-101)
c)
-100+(-25)+(-54)+(150)+100
d) -45+10+(-20)
e) -96+36+(-60)+48
f) -15+(-25)-(-81)
g) -1-(-2)-(-3)-(-4)-10
h) -11-(-100)-(-42)
i) 105-(-5)+(-9)
5. Da diferença entre -15 e -9, subtraia 5
6. Obtenha cada produto e quociente:
a) 4(-3)(-5)
b) (-15)(+16)
c) (-9)(-8)
d) -9-(-4)(-3)
e) 100-3(-5)
f) 10(-4)-(-5)
g) (-9):3
h) 0:(-10)
i) -35/-5
j) (-20):(-10)
K) -2160:( -45)
l) -121:11
7. Simplifique as expressões numéricas:
a) (-3)2 – 4 – (-1) + 52 =
b) 15 + (-4) . (+3) – 10 =
c) 52 +
9 - [(+20) : (-4) + 3] =
d) 5 + (-3)2 + 1 =
e) 10 + (-2)3 – 4 =
f) 18 - (+7) + 32 =
g) (-2)3 + (– 3)2 – 25 =
h) (-3)2 . (+5) + 2 =
i)
49 + 23 – 1 =
3
j) 40:[(-1)9 + (-2)3 – 11] =
k) 10 – [5 + (-2) + (-1)] =
l) 2 – {3 + [4 – (1 -2) + 3] -4} =
m) 50:{-5 + [-1 – (-2)5 + (-2) + 3]} =
n) 72 – [6 – (-1)5 – 22] =
Expressões Numéricas (Frações)
2.1.1. Soma e Subtração
Quando as frações apresentam denominadores iguais, manteremos o denominador e
somaremos ou subtrairemos o numerador
Exemplo:
2 3 5
  =1
5 5 5
Existem casos que os denominadores serão diferentes e com isto teremos que tirar o
MMC(mínimo divisor comum) do denominador, que dividira o denominador e multiplicara o
numerador.
Exemplo:
238

1523


5 4 20 20
5; 4
2
5; 2 2
5; 1 5
1; 1 20
Quando tivermos um numero inteiro e um racional temos que lembrar que o denominador de
um numero inteiro é sempre um, e com isto utilizamos a mesma técnica.
2.1.2. Multiplicação
Para multiplicarmos números racionais devemos multiplicar o numerador com o numerador e
o denominador com o denominador, lembrando que se tiver um numero inteiro o
denominador dele corresponde a 1.
Exemplo:
2 3 6
x 
5 5 25
4 3 12 6
x  
5 2 10 5
2.1.3. Divisão
Na divisão, multiplicamos o primeiro número pelo inverso do segundo, observe:
Exemplo:
23 25 10
2
: x  
55 53 15
3
43 4 2 8
: x 
5 2 5 3 15
Exercícios:
8. Efetue as soma e subtrações:
120 12

54 54
7 5 1
 
e)
6 15 35
12  1
1 
10  2
a)
4
2

21 15
1 1
f) 1  
3 5
b)
5
1
4
13 1 7
  
g)
5 4 10

c)
d)
7 2
 1
6 3
h)
9. Pintei a metade de um circulo, a seguir a sua quarta parte e, finalmente, a sua oitava
parte. Que fração do circulo ficou sem pintar?
10. Efetue as multiplicações e divisões:
a)
4 7
x
5 4
b)
64 3
x
5 8
c)
10 7
:
3 3
d) 3 :
1
9
4
e)
1 12 1
x x x2
12 5 2
1 1 1
5 3 2
f)  :  :
11. Resolva:
1 1 1
 
 
1 2 12 1
11
43



20
3 2
1

.
. b)   .   c)
 
 
a) 

53
32
57



 
5 3 53 4
60
1
1
1
1
2 2
3
5
d)
12. Um rolo de barbante contém 10 + 1/5 metros. Quantos rolos medindo 3 + 2/5 metros
podemos obter com aquela quantidade de barbante?
13. Quantos saquinhos contendo ¼ de litro de suco de laranja devem comprar, se preciso
de 3/2 de litros desse suco?
14. Calcule os resultados das expressões
a)11 + (1/2 + 2/5)
b) 2 /3 x 4/5
c)7/3 x 3/4
d ) 1/2 ÷ (1 +3/4)
15. Quanto vale 3/4 de 480 ?
Gabarito:
1. a) 18
b) 45
c) 9
2. a) 80
b) 20
c) 38
3. a) -42
b) 8º
4. a) 9
b) -142
c) -229
f) 41
g) -2
h) 131
5.
-11
6. a) 60
b) -240
c) 72
f) -35
g) -3
h) 0
k) 48
l) -11
7. a)31
b) -7
c)30
f) 20
g) -24
h) 47
k) 8
l) -5
m) 50/27
8.
a) 2,44
b) 34/105
e) 309/210
f) 7/15
9.
1/8
10.
a) 7/5
b) 24/5
e) 1/5
f) 6/5
11.
a) 29/210
b) 143/180
12.
3
13.
6
14.
a) 119/10
b) 8/15
15.
360
d) 0
d) 5
e) 72
d) -55
i) 101
e) -72
d) -21
i) 7
e) 115
j) 2
d)15
i) 14
n) 46
e) -2
j) -2
c) ¼
g) 33/20
d) 3/2
h) 7/10
c) 10/7
d) 27
c)1
d) 3/5
c) 7/4
d) 2/7
5
POTENCIAÇÃO
1. Expoente inteiro maior do que 1
an= a . a . a
........ a
n
fatores
Exemplos:
 23 = 2 . 2 . 2 = 8
 (- 7)2 = (- 7) . (- 7) = 49
 -72= - 49
 (0,1)3 = (0,1) . (0,1) . (0,1) = 0,001

1
 1  1  1  1  1
  =   .   .   .  =
 5   5   5   5   5  625

-72=-49
4
Observação:
Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser:
- Positivo, se o expoente for par;
- negativo, se o expoente for ímpar.
2
(- 3) = (- 3) . (- 3) = 9
(-2)3 = (-2) . (- 2) . (-2) = - 8
2. Expoente inteiro negativo
a-n
=
1_
an
Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro. Exemplos:

2 –2 = 1_ = 1_
22
4

( - 3) –4 = 1__ = 1_
(- 3)4 81
1

1
2
3 3
  =  =
3
2 2
3. Expoente Zero
a
0
=
1
Sendo a um número real não-nulo. Exemplos:
6

(0,65)0 = 1

3
  =1
4
0
4. Expoente 1
a
1
=
a
Exemplos:
 (0,25)1 = 0,25
 (- 1,6)1 = - 1,6

 5 5

 =
8
 8 

(0,666...)1 = 0,666...
1
5.1
5. Propriedades da potenciação
Produto de potências de mesma base
am. an = a m+n
Exemplos:
 (2)2 . (2)3 = (2)2 + 3 = (2)5= 32
 (2)-1 . (2)5 = (2)-1+5 = (2)4 = 16
 (2)7.(2)-5 = (2)7+(-5) = (2)7-5 = (2)2 =4
 (2)2.(2)-3=(2)2+(-3)=2-1= ½
5.2
Divisão de potências de mesma base
(a
 0)
am : an = a m - n
Exemplos:
 (2)6 : (2)2 = (2) 6 – 2 = (2)4= 16


(2) 2: (2)6= (2) 2-6=(2)-4=
3
-3
(2) : (2) = (2)
3 – ( - 3)
1
2
4

1
16
= (2) 3+3 = (2)6= 64
5.3 Potência de potência
(am)n = a m . n
Exemplos:

[(2)3]2 = (2) 3 . 2 = (2) 6=64
1

3.(1)
3
3
 13 
 1
  1   5  125
= 
= - 125
   =  
 =  
5
 5  1 1
 5  

(2-1)-2=(2)-1.(-2)=22=4
7
Potenciação
1. Calcular
a)(-3)3
2
 
g)  3 
b)(-2)1
c)34
2

3
2
 1

 3
2
f)  
e) 
d)17
0
2
-3
h)(-4)
-1
i) (-3)
j)(-2)
K)3
2
l)  
3
-4
1
2. Calcule o valor das potências:
3
a)3
5
b)0
4
c)-3
 1
  
d)  4 
3
5
g)2
6
1
 2
4
2
e)   
5
f)(-3)4
i) 3
n) 4 3
o) 24
p) (-4)3
q) 10 –3
r) 
u) 2-3
v) (0,1)-2
x) 010
y)  
1
j)  3
1


k) 5
2
 4
l)  
 3

2

m)  
  3
w) 

 7 

2

3
2
t) 
s) 10 3
2
 2
h)    
 3

1

2
3
1
5
3
2
z) (0,181818...)2
3. Calcule o valor de:
a) 3x3 – 2 x2 – x + 5 , para x = -1
c) (0,2)3 – (0,1)-1
e) 10 - 4 – (-10) –3
b) 26 – 25 + 24 – 23 + 22 – 21 + 20
d) (-1)8 – 3 . (-1)5 + (-1)16
f) (0,002) –1 + 1/0,001
4. Utilizando as propriedades das potências, calcule:
a) 23 . 24 . 25 . 26
b) 103 . 10 . 10 c) 64 : 62
3 2
4 -3
e) (2 )
f) (3 )
g) (2 . 3 )
i) (6 : 3)3
4
2
j)  .

 9 18 
d) 715 : 710
 12 
 
l) 
 2  
1
1 3
h)  . 
2 4
3
2
3
m) 10 –1 . 102 . 10-1
5. Usando as propriedades das potências, calcule o valor de:
24.210.23
a)
25.26
b) (7 : 7 ) . 7
d) (7 . 4)2
1
e)  
4
5
3
3
2
 13 
 
c) 
 2  
2
1
 16 
 
f) 
3

 



6. Sendo A = 30 . 31 + 34 : 32 , B = 81 + (83 . 8) : 82 e C = [(53 . 5): 52]:52
Determine o valor de 3A + 4B + C
8
7. Calcule:
a) 32 . 41 – 2 0 + 31 . 32 . 33
b) 61 . 3 – 2 + 4 –1 – 4 . 7 0
c) 84 . 83 . 84 : 88
2
d) ( -2)
–6
2
.8 +3
8. Encontre o valor de (0,1) –1 + (310 . 3-5)3
3 7. 3 7
9. Transforme numa só potência de base  :
a)
4
 32.34   2 2 4.2 
f) 
 35  +  1 + 2 0 



3
e)   . 34 . 5-2
5
0
 3.  7
b)
 6 :  5
c)
 
4 2
d)

3
.
2
4
5
10. Verifique se as sentenças são falsas ou verdadeiras:
a) (2 . 5)3 = 23 . 53
b) (2 + 5 )3 = 23 + 53
3
2
c) ( 17 – 1) = 17
2
-1
 1
d) 
 = 23
 2 
2
11.Reduza a uma única potência usando as propriedades:
b) x y  
x y 
e) x y 
.x
.y   f) 2 .2  
a)
2
2
4 23
23
3
4 3
5
6 2
33.34
j) 5 6 
3 .3
2
 5 
i)  1  
5 
xy .x y 
g) 3 .3  
5  .5  
k)
5  .5 
5 42
c)
4
4
2 2
5
55
6 3
d)
x y.xy  
h)
44.42

46
2
3
3 23
3 2
2 2
12. Das três sentenças abaixo:
I. 2x+3 = 2x . 23
II. (25)x = 52x
III. 2x . 3x = 5x
a) somente I é verdadeira
b) somente II é verdadeira
c) somente III é verdadeira
d) somente II é falsa
e) somente III é falsa
13. Calcule o valor da expressão para x = 2
a)
4x2 – 3x + 4 – 5x2
b) –x + 3x2 + 4x –1
Gabarito
1. a) -27
g) 1
b) -2
h) 16
c) 81
i) -1/27
d) 1
j) -1/2
2. a)243
b)0
c)- 27
d) 
1
64
e) 4/9
k) 1/81
e)
16
625
f) 1/9
l) 3/2
f)81
9
g)64
32
h) 
243
m)4
n)
1
64
s) 1.000
w)49/9
3. a) 1
1.500
o) 16
p) – 64
1
3
k)
1
25
q) 1/1000
u) 1/8 v) 100
z) 0,0330578...
l)
9
16
r) 8
x) 0
c) –1.249/125 d) 5
4. a) 218
g) 216
5. a) 64
1/729
6. 325
7. a) 764
1.237
8. 13
10
j) 
t) 4/9
b) 43
9. a) 
10. a) V
11. a)x4.y2
h)44
12. e
13. a) -6
1
i) 3
e)
y) 1/125
11/10000
f)
b) 100000
h) 9/64
b) 2.401
c) 36
i) 8
c) 1/64
d) 75
j) 81/4
d) 784
e) 64
l) 64
e) 1/64
f) 3-12
m) 1
f)
b) –37/12
c) 512
d) 2
e) 9
f)
b) 
b) F
b)x9.y12
i)54
c) 
c) F
c)x26.y12
j)3-2
11
8
d) 
d) F
d)x15.y9
k)517
35
e)x15.y12
f)22g)3
b) 17
RADICIAÇÃO
Define-se como raiz enésima de um número a expressão
n
a , onde dizemos que n é o
índice da raiz e a o radicando(base). Só existirá o valor numérico da raiz quando satisfizer
a relação:
n
m
n
a a
m
Consideremos as igualdades:
2
4 = 2 2 = 2 2 =21=2

2
8 = 2 3 = 2 2 2 =2 2

3
 8 = -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8

5

 1 = -1, pois (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) = (-1)5 = -1
Dizemos que as expressões 25 , 3  8 , 4 81 e 5  1 representam respectivamente, a

raiz quadrada de 4, a raiz quadrada de 2, a raiz quadrada de 8, a raiz cúbica de -8 e a raiz
quinta de –1.
10
1. Extração de valores inteiros da raiz:
1. Quando o índice da raiz é igual ao expoente da base;
Resposta: será a própria base;
Exemplo:
2
1
2=2 =2
4 2 2
2
2. Quando o índice da raiz for moior que o expoente da base;
Resposta: não dará para extrair valor inteiro da raiz;
Exemplo:
1
2
2 2 2
1
3. Quando o índice da raiz for menor que o expoente da base;
Resposta: transformar o expoente da base em partes iguais ao índice (utilizando regra
de potenciação).
3
21
8
2
2
.
2
2
2
Exemplo:
2.Operações com raizes
2.1 Adição e subtração algébrica de radicais: serão efetuadas as operações quando os
radicais forem iguais, devendo ser somados ou subtraídos somente os fatores externos aos
radicais:

b + c n b = (a+c). n b
n
2 + 3 2 = (1+3). 2 = 4 2
3 - 5 3 3 = (1 – 5). 3 3 = - 4 3 3


3
9 x 2 y + 2x y - 16x 2 y =

32 x 2 y + 2x y -
= 3x
42 x 2 y =
y + 2x y -4x y = (3x+2x-4x)
y=x y
Obs: Não se define as operações de soma e subtração de radicais de índices diferentes,
ficando apenas indicada a sua soma. Ex.:
2+
3
2
2.2 Multiplicação e Divisão de radicais:
a) Mesmo índice:


n
a.
n
a
n


2

5

3

3
=
b=
n
a.b
a
b
n
b
2.
n
3 =
2.3 =
6
6 . 5 2 = 10 12 = 10 2 2.3 = 10.2 3 = 20 3
a 3b .
5
6
6
=
2
=
2
96
2
=
3
a 2b =
5
a3.a2.b.b =
5
a 5b 2 = a 5 b 2
3
96
=
2
3
48 =
3
2 4.3 =
3
23.2.3 = 2 3 6
2.3 Potenciação de Radicais: Ao elevarmos um radical de índice n a uma potência m,
subentende-se que a potência m deve ser Aplicada somente ao radicando, permanecendo o
índice com seu valor n.

( n a )m =
n
am
11

(
10 )2 = 10 2 = 10

(3
7 )4 =

 1
3  =
 3


74 =
3
5
2.4
3
7 3.7 = 7 3 7
5
3
1
  =
3
3
3
15
=
35
3
15
35
1
=
3
33.3 2
=
1
33 9
Simplificação

n: p
a m = a m: p
n

6

10

16 =
25
6
24 =
a =
10:2
(xy)
20
6
a
6:2
6:2
=
5
2 4:2 = 3 2 2 =
a
3
4
3
= 25:5 (xy)
= 5 (xy )
20:5
4
Exercícios
1. Decomponha o radicando em fatores primos e, a seguir, simplifique cada um dos
seguintes radicais:
a)
10
e)
12
32
b)
9
1024
f)
8
27
64
c)
16
g)
6
d) 6
81
625
16
h) 729
4
i) 64 
j) 576 
k) 12
l) 3 2 7
m) 144
n) 324
o) 3 729
p) 196
q) 4 625
r) 18
s) 128
t)
3
3
72
2. Simplifique cada um dos seguintes radicais, retirando fatores do radicando:
a)
b)
45
270
e)
c)
300
f) 5 192
d)
3
54
g) 4 176
6
128
h) 3 375
3. Calcule:
a)
b) 7 . ( 7 + 2 )
c) 5 . (7 + 5 )
2.( 6 - 3)
d) 10 . (5 2 - 3 10 )
e) 15 . ( 3 + 5 )
f) (5 - 7 ). (5 + 7 )
g) (3 5 - 2). ( 5 + 3)
h) (4 + 13 ). (4 - 13 )
i) (3 3 + 2 )2
32
72
50k) 5
108

2
243

27

2
12
j) 8
Gabarito
1. a)
b)
3
8
k) 2 3
g)
3
l) 4 2
p)14
q)5
2. a) 3
b) 10
f)
2
4
3
5
f) 2 5 6
3. a) 2
f) 18
3
25
3-
3
c)
4
d)
3
h) 3
3
3
e)
4
6
32
i)4
j)24
m)12
n)18
o)9
r) 3 2
s) 8 2
t) 23 9
c) 3 3
d) 2 6
e)3
2
2
30
g) 2 4
6
b) 7 +
14
11
h) 5 3
5+5
g) 9 + 7 5
d) 10
c) 7
12
h) 3
3
5-3
k) 49
3
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também
denominadas expressões literais.
Exemplos
A = 2a + 7b
B = (3c + 4) – 5
C = 23c + 4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra
pode ser substituída por um valor numérico.
1.Prioridades
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou radiciação / Multiplicação ou divisão / Adição ou subtração
Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação
que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores
negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2(5) + 10
P = 10 + 10
P = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico
da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
P = 2(9) + 10
P = 18 + 10
P = 28
Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
2.Operações Algébricas
2.1 Adição e Subtração
Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes.
Ex: 7xy – xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a
parte numérica e conservar a parte literal.
Solução: (7-1+5).xy = 11 xy.
OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por um sinal
negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
Ex:
a) 8x + ( -5x) = 8x – 5x = 3x
b) 7x – ( 4x – 5) = 7x – 4x + 5 = 3x + 5
2.2 Multiplicação de monômio por polinômios
Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex:
4a . (2 a – 3x ) Propriedade distributiva
8 a2 – 12 ax
13
2.3 Multiplicação de polinômio por polinômio
Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro polinômio e a
seguir reduzimos a termos semelhantes através das operações de adição e subtração.
Ex:
(2x+3).(4x-5) Propriedade distributiva
8x2 – 10x + 12x – 15 (Reduzindo a termos semelhantes)
8x2 + 2x – 15
2.4 Divisão de polinômio por monômio
Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex:
(15x3 – 4x2) : (- 5x)
2 4x
15
x3 4x2

= 3x  5
5x 5x
2.5 Divisão de polinômio por polinômio
a) Divisão pelo quociente
Para efetuarmos esta divisão devemos seguir alguns passos.
Ex: (2x2 – 5x – 12): (x – 4)
1º Passo: Observar se as potências de x estão em ordem decrescente;
2º Passo: Colocar a chave de divisão;
3º Passo: Dividir o primeiro termo do dividendo (2x2) pelo primeiro termo do divisor (x) e
obtenha o primeiro termo do quociente
2x2 – 5x –12
x–4
.
2x
4º Passo: Multiplicar o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor, colocando
os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo.
5º Passo: Reduza a termos semelhantes ( Adição ou Subtração)
2x2 - 5x -12
x–4
.
-2x2 + 8x
2x
+ 3x – 12
6º Passo: Repete-se as passagens anteriores até que o dividendo termine.
2x2 - 5x -12
-2x2 + 8x
+ 3x -12
- 3x +12
0
x–4
2x +3
Resposta: 2x+3
b) Divisão por Briot Ruffini
Para efetuarmos a divisão (2x2 – 5x – 12): (x – 4) devemos seguir alguns passos.
1º Passo: Vamos montar a casa da divisão
2º Passo: Se o polinômio está dividido por x-4, podemos dizer que o dividendo é x=4 e assim
colocaremos o 4 no lado esquerdo superior da casa.
3º Passo: Colocaremos os multiplicadores de x do divisor na parte interna superior da casa
em ordem decrescente.
4º Passo: O termo independente é colocado no lado superior direito
14
5º Passo: Copiar o 1º divisor abaixo dele
6º Passo: Vamos multiplicar o primeiro número superior pelo primeiro número inferior e
somar com o terceiro superior
4
2
-5
-12
2
3
0
7º Passo: a parte inferior é o resultado, sendo que multiplicado pelos seus
respectivos valores de x com um valor a menos do expoente.
Resposta: 2x+3
Exercícios
1. Calcule o V.N. das expressões algébricas:
a2  b2 , p/ a = 3 e b = 4
a) (x + 1). (x + 2). (x + 3), p/ x = - 4
b)
2x  1 +
7 x  3 , p/ x = 4
2
2
x 2xy
y
e)
, p/ x = 1 e y = 3
xy
d) 3x
c)
+ x
, p/ x = 2
2

b b
4
.a
.c
f) x =
, calcule x, p/ a=3,b=- 7 e
2
.a
c=2
2. Efetue:
a) (2x2-9x+2) + (3x2+7x-1)
c) (4x-y-1) – (9x+y+3)
e) (x2+2xy+y2) – ( y2+x2+2xy)
3. Calcule os produtos:
a) a2.(m+a3)
d) (x2+x+1).(x-3)
4. Efetue as divisões:
a) (x3+2x2+x ) : (x)
c) (x2+5x+6) : (x+2)
e) (x3-27) : (x-3)
b) (x2-5x+3) + (-4x2-2x)
d) (6x2-6x+9) – (3x2+8x-2)
b) 2x.(x-2x+5)
e) (2x+5).(2x-5)
c) (3x2-4x-3).(x+1)
b) (3x4-6x3+10x2): (-2x2)
d) (2x2+6x+4) : (x+1)
f) (x2-9) : (x-3)
5) Resolva as expressões algébricas:
a) 5ab – 2ab + ab =
b) 3y + (-2y) =
c) 4xy + (-3xy) + 5xy =
d) 5y + 4y – 3 =
e) 6a + 2ab + (-3a) =
f) 19x3 – 34x3 + (-2y) =
g) 5x9 + 12 x9 =
h) 4x5y6 – 6 x5y6 =
i) (6x3 + 2x2 – 3x + 1) + (2x3 - 4x2 + 2x - 2) =
j) (x5 - 3x2 + 2) - (4x5 + x3 - 4x2 + 2) =
6. Para as expressões a seguir se, x = 2 e y = -3, encontre o valor de A.
a) A = 3x + 2y
15
b) A = -4x + 3y
c) A = y + 3x
d) A = -5x + y
Gabarito
1.
a) -6
b) 5
e) -8
b) -3x2-7x+3
3.
4.
a) x2+2x+1
x5
b)  x 3
e) x2+3x+9
a) 4ab
b) y
c) 6xy
d) 9y – 3
e) 3a + 2ab
f) x+3
a) A=0
b) A =-17
5.
6.
d) 81
c) -5x-2y-4
d) 3x2-14x+11
f) 2
a) 5x2-2x+1
e) 0
a) a2m+a5
2.
c) 8
b) -2x2+10x
3
2
2
c) 3x3-x2-7x-3 d) x3-2x2-2x-3
c) x+3
e) 4x2-25
d) 2x+4
f) -15x3 – 2y
g) 17x9
h) -2x5y6
i)8x3 – 2x2 – x - 1
j) -3x5 – x3 + x2
c) a=3
d)A = -13
FATORAÇÃO
Fatorar um número: significa decompor esse número em um produto de números
primos(números que possuem apenas dois divisores distintos: o próprio número e o número
um).
Exemplos:
a) Fatorar o número 160
b) Fatorar o número 140
160
2
140
2
80
2
70
2
40
2
35
5
20
2
7
7
10
2
1
140=2 2.5.7
5
5
1
160=25.5
Fatorar uma expressão algébric:a significa escrevê-la como uma multiplicação de duas ou
mais expressões algébricas, quando for possível.
Vamos considerar três situações envolvendo “fatoração” de termos algébricos. No
entanto é importante observar que esses procedimentos representam o caminho inverso
da obtenção do produto de expressões algébricas.
As situações
Fator comum em evidência
Agrupamentos sucessivos
16
Produtos notáveis
1. Fator Comum em evidência
Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem fatores comuns a todos os
termos. Assim dizemos que fatorar a expressão é colocar o fator comum em evidência.
Vamos procurar o fator comum para a parte numérica e para a parte literal dos exemplos.
a) 8x+4xy
Parte numérica: 8=23=2.2.2
e
4=22= 2.2, portanto a parte comum é 2.2=4
Parte literal:devemos considerar as letras que são comuns a todos os termos, como menor
expoente, portanto a parte comum é x.
Assim o fator comum da expressão é 4x. Divide-se cada termo da expressão dada pelo
fator comum, obteremos: 4x.(2+y)
b) 2x+4y-6z
Parte numérica: 2
,
4=2.2
e
Parte literal: x
,
y
e
comum.
Logo a forma fatorada da expressão é 2(x+2y-3z)
6=2.3 , portanto a parte comum é 2
z
, portanto não tem fator
c) 7a3b2-5a2b4+3a3b5
Parte numérica: 7
,
5
e
3
, portanto não tem fator comum.
Parte literal: a3b2=a.a.a.b.b
,
a2b4=a.a.b.b.b.b
e
a3b5=a.a.a.b.b.b.b.b,
portanto a parte comum é a2b2.
Logo a forma fatorada é a2b2(7ª-5b2+3ab3)
2.Agrupamento
Verifique a seqüência utilizada na fatoração de ax+bx+ay+by
 Agrupamos os termos com fatores comuns: (ax+bx)+(ay+by)
 Colocamos o fator comum de cada grupo em evidência: x(a+b)+y(a+b)
 Colocamos o polinômio comum (a+b) em evidência: (a+b) . (x+y)
Assim temos: ax+bx+ay+by =
(a+b) . (x+y)
Exemplos:
a) 3a-6b+ax-2bx= 3.(a-2b)+x(a-2b)=(3+x).(a-2b)
b) 2x2+4ax+3xy+6ay=2x(x+2a)+3y(x+2a)=(2x+3y).(x+2a)
Exercícios
1. Colocando os fatores comuns em evidência, fatore:
a) ax+ay
b) 4x-16
c) 16x2-20y2
e) 5x+15y-10z
f) -5x3y+20x2y2
g) x2+x
50
51
3
8
i) x +x
j) 3x +12x
l) x3y3+4x2y2z
n) ax3+bx2-cx
o) 12 a 3x2+6a2x3-8ax4 p)
r) 6x2y-18xy3
v) 15x7-3x4y
s) 4x4+6x3+2x2
2. Fatore por agrupamento:
a) 6x+6y+ax+ay
d) ax-bx+ay-by
g) 7x+7y+bx+by
d) kx+k
h) 15x5-10x3+25x2-5x4
m) 7(x+y)-z(x+y)
2
ab a2b ab
 
q) 6x+3xy+12xyz
8 4
2
t) x5+x4-2x2
b) 2a+2b+ax+bx
e) 2x-2+xy-y
h) 2ax-2ay-3bx+3by
u) 27x2-15x4+36x3
c) xy+x-2y-2
f) ax+a+bx+b
i) ax-ay-bx+by
17
j) 20x-15y+4ax-3ay
l) 6x2+15x-4xy-10y
n) ax+bx+ay+by+az+bz
o)ax-a+
mx m

3
3
m) x3+x2+x+1
p) abx2+aby2+cx2+cy2
q) x4+9x3-6x-54
r) ax-2ay+5bx-10by+11cx-22cy
Gabarito
1.a) a(x+y)
e) 5(x+3y-2z)
i) x50 (1+x)
b)4(x-4)
f) 5x2y(-x+4y
j) 3x3 (1+4x5)
n) x(ax2+bx-c)
o) 2ax2 (6a2+3ax-4x2) p)
r) 6xy(x-3y2)
v) 3x4 (5x3-y)
s) 2x2 (2x2+3x+1)
c) 4(4x2-5y2)
g) x(x+1)
l) x2y2 (xy+4z)
d) k(x+1)
h) 5x2 (3x3-2x+5-x2)
m) (x+y).(7-z)
ab
1 a 
.  b
2 4 2 
t) x2 (x3+x2-2)
2. a) (x+y)(6+a)
d) (a-b)(x+y)
g) (x+y)(7+b)
j) (4x-3y)(5+a)
b) (a+b)(2+x)
e) (x-1)(2+y)
h) (x-y)(2a-3b)
l) (2x+5)(3x-2y)
n) (a+b)(x+y+z)
o)(x-1) ( a 
q) (x+9)(x3-6)
r) (x-2y)(a+5b+11c)
m
)
3
q) 3x(2+y+4yz)
u) 3x2 (9-5x2+12x)
c) (y+1)(x-2)
f) (x+1)(a+b)
i) (x-y)(a-b)
m) (x+1)(x2+1)
p) (ab+c)(x2+y2)
EQUAÇÕES
Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade.
Exemplos:
a) x -3 = 12
 a variável (ou incógnita) é x.
b) 3y + 7 = 15
 a variável (ou incógnita) é y.
A expressão à esquerda do sinal = chama-se 1º membro.
A expressão à direita do sinal = chama-se 2º membro.
c) 2x – 1 = x + 7
 2x -1, é o 1º membro
 x + 7 , é o 2º membro
O grau de uma equação é definido pelo maior expoente da variável. De acordo com o grau da
equação temos maneiras diferentes para encontrar o valor da variável.
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Equação de 1º grau com o conjunto dos números reais, na incógnita X, é toda igualdade do
tipo:
ax + b = 0
Onde a e b são números reais e a é não nulo.
Observe que a equação é de 1º grau pois a incógnita x tem maior expoente igual a 1.
O valor da incógnita x, chama-se raiz ou solução da equação; é o número que, substituído no
lugar do x, transforma a equação numa igualdade numérica. O conjunto formado pelas
raízes de uma equação chama-se conjunto solução da equação e será indicado por S.
18
Por exemplo, a solução ou raiz da equação 3x – 12 = 0 é x = 4 (pois 3 . 4 – 12 = 0) e seu
conjunto solução é então S = {4}.
Para a resolução das equações de 1º grau, proceda da seguinte maneira:
- Isole os termos que contêm x de um lado da igualdade e os demais no outro lado;
termos que estão somando ou subtraindo passam para o outro lado com a operação
contrária da anterior.
- Reduza todos os termos com x a um só;
- Termos que estão multiplicando ou dividindo a incógnita x passam para o outro lado
com a operação contrária da anterior.
Importante: Veja a equação –x = 5
- Interessa-nos o valor de x e não o valor de –x. Então, devemos multiplicar os dois
membros da equação por -1.
- Observe: -x = 5 (-1)  x = -5
Exemplos:
4x + 1 = - 19
5 = 2x + 3
5x – 9 = 3x + 5
3 + x = 4 + 5x
4x=-19-1
-2x=3-5
5x-3x=5+9
x-5x=4-3
4x=-20
-2x=-2
2x=14
-4x=1
x=-20/4
x=-2/-2
x=14/2
x=1/-4
x=-5
x=1
x=7
x=-0,25
5x + (4 – x) = 9 – (x – 6)
5x+4-x=9-x+6
5x-x+x=9+6-4
5x=11
x=11/5
x= 2,2
y – 4(3y – 6) = y – 8
y-12y+24=y-8
y-12y-y=-8-24
-12y=-32
y=-32/-12
y= 2,666666
Exercícios de Equações do 1º grau
1. Resolva as equações:
a) 20x-4=5x
c) 4x=-8x+36
b) 5(1-x)-2x+1=-3(2+x)
d) 2+3[x-(3x+1)]=5[x-(2x-1)]
e) 4(x-3)=2x-5
f) 1-2x=
g)
x x

3 2
2x5 1

h)
3x
4
3
(
x

1
)
2
x5
(
x

3
)

5
6
2) Dada a equação 7x – 3 = x + 5 – 2x, responda:
a) qual é o 1º membro?
b) qual é o 2º membro?
c) qual o valor de x?
3) O número que, colocado no lugar de x, torna verdadeira a sentença x -7 = 10 é:
a) 3
b) 4
c) -3
d)17
4) Resolva:
x x
  2 m) 6x - 4 = 2x + 8
2 4
a) x - 3 = 5
g)
b) x + 2 = 7
h) 0 = x + 12
n) 17x -2 + 4 = 10 + 5x
19
c)
x x
 15
+
3 2
d) x -7 = -7
e) x – 109 = 5
f) 15 = x +1
i) -3 = x + 10
o) 4x – 10 = 2x + 2
j) y/4 = 3
k) x/5 = 2
l) 3x = 12
p) 5x + 6x – 16 = 3x + 2x -4
q) 5(2x -4) = 7(x + 1) - 3
r) 4(x + 3) = 1
5. Em uma partida de basquete, Guilherme acertou x arremessos de 3 pontos e x+2
arremessos de 2 pontos. Se Guilherme marcou 39 pontos nesse jogo, pergunta-se:
a) Qual a equação de 1º grau que representa esta situação?
b) Quantos arremessos de 3 pontos Guilherme acertou?
c) Quantos arremessos de 2 pontos Guilherme acertou?
Gabarito
1. a) 4/15
f) 6/11
2.a)7x -3
3. letra d
b) 3
g) 3
c) 3
h) -4
b) x+ 5 – 2x
4
a) 8
b) 5
c) 18
d) 0
e) 114
k) 10
5. a) 3x+2(x+2)=39
d) -6
e) 3,5
c)1
f) 14
g) 8/3
h) -12
i)-13
j) 12
q) 8
l) 4
m) 3
n) 2/3
o) 6
p) 2
r) -11/4
b) 7 arremessos de 3 pontos c) 9 arremessos de 2 pontos
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Equação de 2º grau com o conjunto dos números reais, na incógnita x, é toda igualdade do
tipo:
ax² + bx + c = 0 ou redutível a esse tipo onde a, b e c são números reais e a é não nulo.
A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2.
Quando b e c não são zeros ( a é sempre não nulo), a equação é chamada completa. Se b = 0
ou c = 0, a equação diz-se incompleta.
Podemos observar que a é o valor que multiplica a variável x 2, b multiplica x e c é o que
chamamos de termo independente.
Todos os casos podem ser resolvidos utilizando a formula de Baskara, onde teremos:
Fórmula de Baskara x = - b ± √Δ
2a
onde Δ = b² - 4ac
1º equação completa
=0
a = 3, b = 4 e c = -5
Δ = b² - 4ac
Δ= 42 -4.3.(-5)
Δ= 16+60
3x² + 4x – 5 = 0
2ºequação incompleta
x² + 5x
a = 1 , b = 5 e c= 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 52-4.1.0
Δ = 25
20
Δ=76
x = - b ± √Δ = - 4± √76 = -4± 8,72 = 0,79 e -2,12
2a
2.3
6
x = - b ± √Δ= -5± √25 = -5±5 = 0 e -5
2a
2. 1
2
3º equação incompleta x² - 4 = 0
a=1, b=0 e c= -4
Δ = b² - 4ac
Δ= 02 -4.1.(-4)
Δ= 0+16
Δ=16
x = - b ± √Δ = - 0± √16 = ± 4 = 2 e -2
2a
2.1
2
Exercícios de Equações do 2º grau
1. Resolva as equações:
a) x² - 2x = 0
b) 2x² + x = 0
d) 1 – x² = 0
e) 3x² - 4x + 1 = 0
g) 7x² + 13x – 2 = 0
h) x2 + x – 6 = 0
j) 3x² - 7x + 2 = 0
k)-3x² + 6x = 0
Gabarito
1. a) 2 e 0
e) 1 e 1/3
i) 0
b) - 0,5 e 0
f) -1 e -0,5
j) 2 e 1/3
c) x – x² = 0
f) 2x² + 3x + 1 = 0
i) x2 = 0
l) -5x² = 0
c) 0 e 1
g) -2 e 1/7
k) 0 e 2
d) 1 e -1
h) 2 e -3
l) 0
REGRA DE TRÊS
1.Razão
Denominamos de razão entre dois números a e b (b  0) o quociente a/b ou a:b.
São diversas as situações que usamos o conceito de razão.
Exemplo:
01. Das 200 pessoas entrevistadas, 70 preferem o candidato A.
70/200=7/20, de cada 20 entrevistados, 7 preferem o candidato A.
02. Para cada litro de óleo foram colocados 30 litros de gasolina na mistura.
1/30 , razão entre o óleo e a gasolina
30/1=30 = razão entre a gasolina e o óleo.
2.Proporção
É uma igualdade entre duas razões.
Dados quatro números racionais a, b, c e d não nulos, dizemos que eles formam uma
proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual a razão do 3º para o 4º.
Assim. a/b=c/d ou a:b=c:d
Lê-se: a esta para b, assim como c esta para d.
 b e c são meios da proporção;
21
 a e d são extremos da proporção.
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
b.c=a.d
Exemplo:
5 15
 , logo teremos: 5x=15.8  5x=120  x=120/5  x=24
8 x
x 3 4
  5.(x-3) = 4.(2x+1)  5x-15=8x+4  5x-8x=4+15  -3x=19 
02.
2x 1 5
01.
x=19/-3
03. Em um restaurante, de cada 10 cervejas vendidas, 6 são da marca DD. Em um domingo
foram vendidas 500 cervejas. Quantas cervejas da marca DD foram vendidas?
6/10=x/500  10x=500 . 6 
10x=3000  x=3000/10 
x=300
cervejas
3. Regra de Três Simples
3.1. Diretamente Proporcionais
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem 4
valores, dos quais conhecemos 3 deles.
Exemplo:
01. Três retroescavadeiras transportam 200 m3 de areia. Para transportar 1600 m3 de
areia, quantas retroescavadeiras iguais a essa seriam necessárias?
Quantidade de escavadeiras
m3
3
200
x
1600
200.x=3.1600  200.x=4800  x=4800/200  x=24 escavadeiras
Observe que, se aumenta a quantidade de areia, aumenta a quantidade de escavadeira,
podemos afirmar então que as grandezas são diretamente proporcionais, por isto
efetuamos a multiplicação em cruz.
02. Vou fazer uma aplicação a juros simples, sabendo que a taxa oferecida é de 24% ao
ano. Qual a taxa mensal proporcional a taxa oferecida?
Taxa
período em meses
24
12
x
1
12x=24 .1  12x=24  x=24/12  x= 2 % ao mês
03. Dada a tabela referente ao peso de 40 atletas.
Peso KG
quantidade de atletas
% de atletas que tem este peso
42 à 44
2
5
45 á 47
6
15
48 á 51
4
10
52 á 54
18
45
55 á 57
7
17,5
58 á 60
3
7,5
Total
40
100
Temos que:
Atletas
Porcentagem
40
100
2
x
40x=100.2  40x=200  x=200/40  x= 5 % e isto foi
feito com cada quantidade de atletas.
3.2. Inversamente Proporcional
22
Exemplos:
04. Um trem, rodando a velocidade de 45 Km/h, vai de uma cidade a outra em 8 horas. Em
quantas horas percorreria o mesmo trajeto se rodasse a 60 Km/h?
Velocidade
tempo
45
8
60
x

60x= 45 . 8
60x= 360  x=360/60  x= 6 horas
Observe que, se aumenta a velocidade, diminui o tempo, podemos afirmar então que as
grandezas são inversamentee proporcionais, por isto efetuamos a multiplicação linha reta.
05. Em um estacionamento o preço por dia de permanência é R$ 20,00, a este preço
estacionam 50 veiculos. Seo preço cobrado for R$ 15,00 a procura passara a ser de
quanto?
Veículos
preço
50
20
x
15
15x=50 . 20  15x= 1000  x= 1000/15  x= 66,67 = 67 veículos
Exercícios
1. Resolva as seguintes proporções:
a)
9
x

13 26
b)
3 12

x 32
c)
5
30

x4 54
e)
2x1 21

10
30
f)
0,3  6

x
9
g)
7x5 2x

4
3/4
j)
2 0,4

0,9 x
3
x 5
 5
i)
x 2 3
8
3x2 40

x3
5
1
1
4  12
h)
1
x
2
d)
2. Se um avião consome 400 litros de gasolina por hora, qual será o consumo em 3,5 horas
de vôo?
3. Com 10 litros de óleo de copaíba, arvore nativa da Amazônia, um caminhão consegue
andar 80 Km. Quantos litros deverão ser utilizados em um percurso de 200 Km?
4. O preço de um mercadoria é igual a R$ 133,25 se for concedido um desconto de R$
10,66, qual foi a porcentagem de desconto?
5. Calcule a taxa diária proporcional à:
a) 18%ao mês
b) 37,8% ao bimestre
c) 50,4% ao ano
6. Dada a tabela do salário de 231 funcionários da empresa Guatemala.
salário
número de funcionários
porcentagem
580 a 649
41
650 a 719
55
720 a 789
93
790 a 859
22
860 a 929
13
930 a 999
7
Total
a) Qual a porcentagem de funcionários que recebem salários inferiores a R$ 720,00?
b) Qual é a porcentagem de funcionários que recebem salários iguais ou superiores a R$
860,00?
7. Uma loja vende 9 televisões modelo HY e recebe R$ 4860,00. Quanto recebera se
vender 14 televisões da mesma marca?
23
8. Ivan contou seus batimentos cardíacos e anotou 72 por minuto. Quantos batimentos ele
contara em 210 segundos?
9. Uma impressora leva 4 horas para imprimir uma certa quantidade de jornal. Em 6 horas,
ela imprimira 12.000 jornais a mais. Quantos jornais ela imprime em 18 horas?
10. Um grupo de rapazes aluga uma casa na praia pagando R$ 240,00 cada um. Se o grupo
fosse de 12 rapazes, cada um pagaria R$ 180,00. Quantos eram os rapazes?
11. Paulo venceu uma competição de ciclismo a velocidade de 9,6 Km/h, ele fez o percurso
em 1,5 horas. O segundo colocado demorou 2 horas para fazer o percurso. Qual a
velocidade do segundo colocado?
12. A altura de um triângulo mede 18 cm e sua base 8 cm. Encontre a altura de outro
triangulo com a mesma área cuja base mede 9 cm.
13. Sabendo que 12 homens fazem um trabalho em 15 dias, em quantos dias o trabalho
seria feito por 9 homens?
14. Comparando-se os preços pelos quais são vendidas diversas frutas, verificamos que 15
peras valem 9 maças; 25 abacates valem 15 macas; e 16 laranjas valem 12 abacates.
Quantas laranjas poderão ser trocadas por 9 peras?
15. Na construção de uma estrada trabalham 20 homens durante 18 dias. Em seguida
trabalham 24 homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24
homens houvessem trabalhado desde o começo?
Gabarito
1.
a) 18 b) 8
h) 1/6
2.
1400 litros
3.
25 litros
4.
8%
5.
a) 0,6% ao dia
6.
a) 41,56%
7.
R$ 7.560,00
8.
252 batimentos
9.
108.000 jornais
10.
9 rapazes
11.
7,2 Km/h
12.
16 cm
13.
20 dias
14.
12 laranjas
15.
25 dias
c) 5
d) -2,36
i) 41/3
b) 0,63% ao dia
b) 8,66%
e) -4
j) 0,18
f) -0,45
g) 1,36
c) 0,14% ao dia
Exercícios Complementares:
1. Se 12 m de certo tecido custam R$ 600,00, qual é o preço de 20 m do mesmo
tecido?
2. Com 5 kg de farinha de trigo são fabricados 200 pães. Quantos pães iguais aos
primeiros serão fabricados com 8 kg de farinha de trigo?
3. Uma torneira despeja 40 litros de água em 8 minutos. Quanto tempo levará para
encher totalmente um recipiente cuja capacidade é 600 litros?
4. Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre certa distância em 45
minutos. Se a velocidade média fosse de 75 km/h em quantos minutos o automóvel
faria a mesma distância?
5. Numa marcenaria 10 operários produzem certo número de peças em 8 dias. Quantos
operários seriam necessários para produzirem o mesmo número de peças em 5 dias?
24
6. No transporte de cimento para a construção de um edifício foram utilizados 12
caminhões de 6 m3 cada um. Quantos caminhões de 9 m3 cada um seriam
necessários para fazer o mesmo transporte?
7. Pra pintar uma parede de 30 m2 foram gastos 15 litros de tinta. Quantos litros da
mesma tinta serão gastos para pintar uma parede de 18 m2 ?
8. Um relógio atrasa 4 minutos em cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 60
horas?
9. 24 operários levam 60 dias para construir uma loja. Em quantos dias 30 operários
farão o mesmo serviço?
10. Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas. Se houvesse 30 linhas em cada
página, quantas páginas teria o mesmo livro?
Gabarito:
1. 1000
2. 320
3. 120
4. 36
5. 16
6. 8
7. 9
8. 10
9. 48
10. 300
11.
PORCENTAGEM
O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos
comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal % .
Quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um simples
cálculo de proporção. Vejamos o exemplo a seguir:
Exemplo 01:
Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?
O raciocínio que se deve empregar na solução deste problema é exatamente este:
- Se a comissão sobre R$ 100,00 é R$ 10, 00, quanto será sobre R$ 800,00?
Neste caso teremos que:
100,00
10,00
800,00
X
Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos), teremos que:
100. X = 800. 10
100X = 8000
X = 8000/100
X = R$ 80,00
1. Operações com Mercadorias
Com base nos conceitos de porcentagem, é possível resolver várias situações que
envolvem negociações com mercadorias, ou seja, cálculo do lucro, preço de venda, custo,
etc.
25
Para achar a soma de um número qualquer e a sua porcentagem, calculam-se
primeiro a porcentagem e, em seguida, adiciona-se esta ao número dado.
Exemplo 02:
Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma
rentabilidade (lucro) de 6% ?
Solução algébrica:
4.126,75
100%
X
6%
Onde:
Lucro = 4.126,75 . 6
=
100
Então teremos:
Lucro
Custo da mercadoria
Preço da venda
24.760,5
100
= R$ 247,60
= R$
247,60
= R$ 4.126,75
= R$ 4.374,35
Observe que R$ 4.126,75 representa a parte inteira = 100% ou 100% = 1;
100
Observe que R$ 247,60 representa a parte fracionária = 6% ou 6% = 0,06.
100
Partindo deste raciocínio, teremos que:
Preço de venda = parte inteira(1) + parte fracionária(0,06), ou seja, podemos deduzir que o
índice para calcular o preço de venda neste exemplo será: 1,06.
Exercícios
1. Achar 9% de R$ 1.297,00
2. Achar 2,5% de R$ 4.300,00
3. Achar 0,5% de R$ 1.346,50
4. Achar 108% de R$ 1.250,25
5. Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 60,00. De quanto por cento foi o
prejuízo?
6. Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por R$ 12,00. De Quanto por cento foi o
lucro?
7. Um produto comprado por R$ 4,00 é vendido por R$ 6,00. De quanto foi o lucro
percentual?
8. Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido 20% abaixo do custo. De quanto é o
prejuízo?
9. Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos.
Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi
o seu lucro?
10. Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma
rentabilidade (lucro) de 6%?
11. Um comerciante ganha R$ 892,14 sobre o custo de certa mercadoria. A taxa de lucro
é de 5% . Qual é o custo ?
12. Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede o abatimento de R$ 93,91. De quanto
por cento é este abatimento?
13. Um comerciante vendeu certas mercadorias com o lucro de 8% sobre o custo por R$
12.393,00. Qual é o seu lucro?
26
14. Um negociante ganhou sobre o custo de 32 metros de mercadorias 16% ou R$ 6,40.
Qual o custo de cada metro?
15. Um objeto custou R$ 4,50 e foi vendido por R$ 9,00. qual o percentual de lucro?
16. Certas mercadorias custaram R$ 7.200,00 e foram vendidas com o lucro de 3,5%. Qual
o preço de venda?
17. Certas mercadorias custaram R$ 4.800,00 e foram vendidas com o prejuízo de 5,25%.
Qual o preço de venda?
18. Quanto deve receber um vendedor, tendo ele vendido uma mercadoria por R$ 180,00,
sendo 4% a sua comissão, e uma outra por R$ 119,00, sendo 3% a sua comissão?
19. Na compra de uma bicicleta cujo preço é R$ 900,00, dá-se um desconto de R$ 135,00.
Determinar a taxa de desconto dada nesta bicicleta.
20. 15.000 candidatos inscreveram-se para o vestibular da PUC de São Paulo. Foram
aprovados 9.600 candidatos. Qual a taxa de aprovação?
21. Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões.
Qual foi a sua taxa de acerto?
22. Numa empresa de 2.500 funcionários, 800 tem curso superior, 1.000 tem o ensino
médio e o restante concluiu o ensino fundamental.
a) Qual a porcentagem de funcionários que tem o ensino superior?
b) Qual é a porcentagem de funcionários que tem o ensino médio?
c) Qual é a porcentagem de funcionários que concluiu o ensino fundamental?
23. Numa classe, 20% dos alunos são meninas. Quantos alunos existem na classe, sabendose que o número de meninas é igual a 9.
24. Faça a conversão da taxa:
a) Qual é a taxa mensal proporcional à taxa de 12% ao trimestre?
b) Qual é a taxa anual proporcional à taxa de 6% ao bimestre?
c) Qual é a taxa diária proporcional à taxa de 15% ao mês?
d) Qual é a taxa semestral proporcional à taxa de 36% ao ano?
Gabarito
1.
116,73
2.
107,50
3.
6,73
4.
1.350,27
5.
25%
6.
20%
7.
50%
8.
8,00
9.
Ganhou 30.000,00 que se refere a 33,33%
10.
4.374,35
11.
17.842,80
12.
2,55%
13.
918,00
14.
1,25
15.
100%
16.
7.452,00
17.
4.548,00
18.
10,77
19.
1. 15 %
20.
2. 64 %
27
21.
22.
23.
24.
3. 80 %
a) 32% b) 40%
c) 28%
5. 45 alunos
a) 4% a.m.
b) 36% a.a.
c) 0,5% a.d.
d) 18% a.s.
Bibliografia:
Oscar Guelli; Matemática uma aventura do pensamento; 6º serie
www.somatematica.com.br/
Medeiros, e outros - Matemática Aplicada a Adm., C. Contábeis e Economia – Editora Atlas
– vol.1
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