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Série de Exercícios 3
1. Um posto de gasolina tem ilhas de auto-serviço e de serviço completo. Em cada ilha
há uma única bomba de auto-serviço de gasolina comum, com duas mangueiras. Sejam
X = número de mangueiras em uso na ilha de auto-serviço em um momento específico e
Y = número de mangueiras na ilha de serviço completo em uso naquele mesmo
momento. A função massa de probabilidade (fmp) de X e Y é exibida na tabela abaixo:
p(x,y)
x
0
1
2
0
0.1
0.08
0.06
y
1
0.04
0.2
0.14
2
0.02
0.06
0.3
a) Qual é P(X=1 e Y=1)?
b) Calcule P(X ≤ 1 e Y ≤ 1).
c) Calcule a probabilidade marginal de X e de Y.
d) X e Y são variáveis aleatórias independentes?
2. Admite-se que cada pneu dianteiro de um determinado tipo de veículo deve ter a
pressão de 26 psi. Suponha que a pressão real em cada pneu seja uma variável aleatória
X para o pneu direito e Y para o esquerdo, com função distribuição de probabilidade
(fdp) conjunta dada por:
a) Qual o valor de K?
b) Qual a probabilidade de ambos os pneus estarem com pressão inferior à ideal?
c) Determine a distribuição (marginal) da pressão de ar só do pneu direito.
d) X e Y são variáveis aleatórias independentes?
3. Refira-se ao exercício 1 e responda as perguntas:
a) Dado que X=1, determine a fmp condicional de Y, isto é,
,
,e
.
b) Dado que duas mangueiras estão sendo utilizadas na ilha de auto-serviço, qual é a
fmp condicional do número de mangueiras em uso na ilha de serviço completo?
c) Use o resultado obtido em (b) para calcular a probabilidade condicional
.
4. A fdp conjunta de pressões dos pneus dianteiros é dada no exercício 2.
a) Determine a fdp condicional de Y, dado que X = x, e a fdp condicional de X, dado
que Y = y.
b) Se a pressão do pneu dianteiro for 22 psi, qual é a probabilidade de o pneu esquerdo
ter uma pressão de no mínimo 25 psi?
5. Sejam as seguintes fmp’s conjunta e marginal das variáveis aleatórias X e Y:
p(x,y)
100
250
x
X
y
Calcule
0
0.25
0
0.2
0.05
y
100
0.1
0.15
100
0.5
250
0.5
100
0.25
200
0.2
0.3
200
0.5
.
6. O diâmetro interno de um anel de pistão selecionado casualmente é uma variável
aleatória com valor médio de 12 cm e desvio padrão de 0,04 cm.
a) Se
é o diâmetro médio para uma amostra aleatória de n=16 anéis, onde a
distribuição da amostragem de está centrada, e qual é o desvio padrão da distribuição
de ?
b) Responda as questões do item (a) para um tamanho de amostra n=64.
c) Para qual das duas amostras aleatórias, do item (a) ou do item (b), é mais provável
de estar dentro de 12 cm 0,01 cm? Explique.
7. Sejam
os pesos líquidos reais de 100 sacos de fertilizantes de 50 kg
selecionados aleatoriamente.
a) Se o peso esperado de cada saco for de 50 kg e a variância de 1 kg, calcule
, usando o TLC.
b) Se o peso esperado de cada saco for 49,8 kg e não 50 kg, de modo que, na média, os
sacos não estejam muito cheios, calcule
.
8. O peso médio da bagagem de um passageiro da classe executiva selecionado
aleatoriamente, que voa entre duas cidades em uma determinada linha aérea, é de 40 lb,
e o desvio padrão é de 10 lb. A média e o desvio padrão para um passageiro da classe
econômica são 30 lb e 6 lb, respectivamente.
a) Se há 12 passageiros na classe executiva e 50 na classe econômica em certo voo,
quais são o valor esperado e o desvio padrão do peso total da bagagem?
b) Se os pesos individuais das bagagens forem va’s independentes e normalmente
distribuídas, qual é a probabilidade de o peso total da bagagem ser de no máximo 2500
lb?
9. Considere a amostra de uma população supostamente exponencial negativa: 3, 4, 5.
Determine o estimador de λ dessa população usando:
a) Método dos momentos.
b) Método da máxima verossimilhança.
10. Assumindo amostras aleatórias, responda Verdadeiro ou Falso; se Falso, corrija:
a) Amostras são usadas para fazer inferências a respeito da população a partir da qual
foram obtidas.
b) é uma variável aleatória (que varia de amostra para amostra), e é um estimador não
tendencioso do parâmetro .
c) A proporção P da amostra é um estimador não tendencioso da proporção
população.
da
11. Em uma amostra aleatória de certo tipo de 80 componentes, 12 são considerados
defeituosos.
a) Forneça uma estimativa pontual da proporção de todos os componentes que não são
defeituosos.
b) Um sistema será construído selecionando-se aleatoriamente dois desses componentes
e conectando-os em série, conforme ilustração a seguir:
A conexão em série implica que o sistema funcionará somente se nenhum componente
estiver com defeito, isto é, se ambos funcionarem adequadamente. Calcule a proporção
de todos os sistemas que funcionam adequadamente. (Dica: calcule a probabilidade de
um sistema funcionar, ou seja, de que os dois componentes funcionem adequadamente).
12. Todos os 150 itens fabricados recentemente são examinados e o número de
arranhões por item é registrado (os itens são supostamente livres de arranhões),
produzindo os seguintes dados:
Número de arranhões por item 0 1 2 3 4 5 6 7
Frequência observada
18 37 42 30 13 7 2 1
Seja X = o número de arranhões em um item escolhido aleatoriamente, assuma que X
possui uma distribuição de Poisson com parâmetro .
a) Determine um estimador não tendencioso de e calcule a estimativa dos dados.
b) Qual é o desvio padrão (erro padrão) do seu estimador? Calcule o erro padrão
estimado.