Apoio aulas MATEMÁTICA funções mais de uma variável real

Apoio às aulas MAT II
18-04-2016
INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO
DE LISBOA
LICENCIATURA EM GESTÃO
MATEMÁTICA II
APOIO ÀS AULAS DE
FUNÇÕES REAIS DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
2015/2016
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Manuel Martins
Carla Martinho
Ana Jorge
1
Funções reais de n variáveis reais
Chama-se função real de variáveis reais a toda a aplicação de um
conjunto ⊂ ℝ → ℝ. Ao conjunto chama-se domínio da função.
Sejam = , , … , ∈ e = ∈ ℝ.
As variáveis , , … , são as variáveis independentes e é a
variável dependente.
Ao conjunto ∈ ℝ: = , ∈ chama-se contradomínio de .
Chama-se gráfico de ao subconjunto de ℝ :
, , … , , : = , , … , ∈ ∧ = 18-04-2016
2015/2016
CI/2
FR2
1
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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18-04-2016
Funções reais de n variáveis reais
Notas:
1- Se a função for definida por uma expressão analítica, o seu domínio
é o conjunto de pontos onde a expressão analítica estará definida.
2- = 1, o gráfico de é uma curva de ℝ. Se = 2, o gráfico de é
uma superfície de ℝ.
Por simplificação, todo o capítulo terá por base funções de 2
variáveis, podendo facilmente ser generalizado para as n variáveis.
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
CI/3
FR3
Domínio
Exemplo 1 - Determine o domínio da função
f (x , y ) = x 2 + y 2 − 1 −
{
(
{
(
(
ln 4 − x 2 − y 2
y−x
) (
)
)
}
D f = ( x, y ) ∈ IR 2 : x 2 + y 2 − 1 ≥ 0 ∧ 4 − x 2 − y 2 > 0 ∧ ( y − x ≠ 0) ⇔
) (
)
}
D f = ( x, y ) ∈ IR 2 : x 2 + y 2 ≥ 1 ∧ x 2 + y 2 < 4 ∧ ( y ≠ x )
A primeira equação representa o exterior de uma circunferência de raio
1; a segunda equação representa o interior de uma circunferência de
raio 2; a terceira equação representa a bissetriz dos quadrantes
impares.
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2015/2016
CI/4
FR4
2
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Domínio
Exemplo 1 - Representação geométrica: É considerada válida a área
marcada a amarelo e a circunferência interior fechada com a exceção dos
pontos da bissetriz.
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
18-04-2016
2015/2016
CI/5
CI/5
FR5
Domínio
Exemplo 2- Determine o domínio e represente-o geometricamente, da
seguinte função
f ( x , y ) = ln y 2 + 1 − x 2
{
(
) (
)} {
= {( x , y ) ∈ IR : ( y ≠ 0 ) ∧ ( x ∈ [− 1;1])}
(
)}
D f = ( x , y ) ∈ IR 2 : y 2 > 0 ∧ 1 − x 2 ≥ 0 = (x , y ) ∈ IR 2 : ( y ≠ 0) ∧ x 2 ≤ 1 ⇔
Df
2
Representação geométrica:
CI/6
FR6
3
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Domínio
Exemplo 3 -
Determine o domínio e represente-o geometricamente da
função
f ( x , y ) = ln
x
+ 1+ x − y2
y


x

D f = ( x , y ) ∈ IR 2 :  > 0  ∧ 1 + x − y 2 ≥ 0  ⇔
y




(
)
{
(
D f = (x , y ) ∈ IR 2 : [((x ≥ 0 ) ∧ ( y > 0)) ∨ ((x ≤ 0 ) ∧ ( y < 0 ))] ∧ y < 1 + x
Representação geométrica:
18-04-2016
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
)}
CI/7
FR7
Limite e continuidade
Diz-se que L é o limite da função , quando , tende para
, e representa-se por
f (x , y )
L = Lim
( x , y )→(a ,b )
quando
∀δ > 0, ∃ε > 0 : ( x, y ) ∈ D ⊂
2
∧ ( x, y ) − ( a,b ) < ε ⇒ f ( x, y ) − L < δ
NOTA: Em ℝ, as vizinhanças de um ponto , são círculos definidos
no plano, sendo as distâncias medidas pela fórmula euclidiana
(exceto
se
houver
indicação
expressa
em
contrário)
e
representam-se da forma apresentada.
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2015/2016
CI/8
FR8
4
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Limite e continuidade
As propriedades operatórias dos limites e o teorema da unicidade
conhecidos para funções reais de uma variável real são igualmente
válidos para funções de n variáveis independentes.
Diz-se que uma função , é contínua no ponto , = , se
1. , está definida no ponto , com , 2. , tem limite no ponto , e esse limite é igual a , é "#$%& '( , )' ' )ó )'
lim
(/,0)→(2,3)
, = (, )
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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CI/9
Derivadas parciais
Dada a função , de duas variáveis independentes, é possível
derivar em função de cada uma delas.
Designa-se
2015/2016
por
derivada parcial
em
, num ponto , e representa-se por
Como sendo
ordem
45
4/
a
da
função
, = ′/ (, )
∂f
f (x ,b ) − f (a ,b )
f (a + h ,b ) − f (a ,b )
(a ,b ) = Lim
= Lim
x →a
h →0
x−a
h
∂x
Designa-se por derivada parcial em ordem a y da função
45
, num ponto , e representa-se por
, = ′0 (, )
40
Como sendo
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FR9
∂f
f (a , y ) − f (a ,b )
f (a ,b + h ) − f (a ,b )
(a ,b ) = Lim
= Lim
x
→
a
h
→
0
∂y
y −b
h
CI/10
FR10
5
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Derivadas parciais
Chamam-se derivadas parciais da função , às funções
45
(, )
40
45
(, )
4/
que têm por domínio o conjunto dos pontos onde (, ) tem as
respetivas derivadas parciais finitas e, em cada ponto
domínio, toma os valores
45
(, )
4/
e
, desse
45
(, ).
40
Exemplo 1 - Determine, usando a definição, as derivadas parciais da
função definida por , = + + no ponto (2,1)
∂f
f ( x ,1) − f (2 ,1)
(2 ,1) = Lim
= (∗)
x→2
∂x
x−2
f ( x , y ) = x 2 + xy + y 2 ⇒ f ( x ,1) = x 2 + x + 1 ∧ f (2 ,1) = 7
x
(∗) = Lim
x →2
2
+ x +1 − 7
x2 + x − 6
(x − 2 )(x + 3) = Lim (x + 3) = 5
= Lim
= Lim
x →2
x →2
x→2
x−2
x−2
x−2
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FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
e
CI/11
FR11
Derivadas parciais
Exemplo 1 – Continuação
∂f
f (2 ,1 + h ) − f (2 ,1)
4 + 2(1 + h ) + (1 + h ) − 7
(2,1) = Lim
= Lim
=
h →0
h →0
∂y
h
h
2
4 + 2 + 2h + 1 + 2h + h 2 − 7
4h + h 2
h(4 + h )
= Lim
= Lim
=
h →0
h →0
h →0
h
h
h
= Lim(4 + h ) = 4
= Lim
h →0
NOTA: As regras de derivação mantêm-se verdadeiras.
Teorema: Se uma função tem derivadas parciais contínuas num
ponto, ela é contínua nesse ponto
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2015/2016
CI/12
FR12
6
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Derivadas parciais
Exemplo 2 - Determine a derivada parcial em ordem a x da função
, = + Usando a definição:
∂f
f (x + h , y ) − f (x , y )
(x + h ) + (x + h )y 2 − x 2 − xy 2 =
(x , y ) = Lim
= Lim
h
→
0
h
→
0
∂x
h
h
x 2 + 2 xh + h 2 + xy 2 + hy 2 − x 2 − xy 2
2 xh + h 2 + hy 2
= Lim
= Lim
=
h →0
h →0
h
h
h 2x + h + y 2
= Lim
= Lim 2 x + h + y 2 = 2 x + y 2
h →0
h →0
h
2
(
)
(
)
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
18-04-2016
2015/2016
CI/13
FR13
Derivadas parciais
Usando as regras de derivação (em ordem a x, esta comporta-se como
variável e y como uma qualquer constante):
∂f
(x , y ) = x 2 + xy 2 ' = x 2 ' + xy 2 ' = 2 x + y 2 (x )' = 2 x + y 2
∂x
(
) ( ) ( )
CI/14
FR14
7
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Derivadas parciais
Exemplo 3 - Determine as derivadas parciais da função
, = ' 0 + ln
/
0
+ Usando as regras de derivação em ordem a , esta comporta-se como
variável e como uma qualquer constante:
'


 
∂f
(x , y ) =  xe 2 y + ln  x  + xy 2  = (x )' e 2 y +
∂x
 y


= e2 y +
1
y
(x )'
x
y
+ y 2 = e2 y +
1
y
x
y
+ y2 = e2y +
( ) + (x ) y
x '
y
'
x
y
2
=
1 y
1
+ y2 = e2y + + y2
y x
x
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
18-04-2016
2015/2016
CI/15
FR15
Derivadas parciais
Continuação do Exercício 3 - Em ordem a y, esta comporta-se como
variável e x como uma qualquer constante:
'


∂f
(x , y ) =  xe2 y + ln x  + xy 2  = x(2 y )' e2 y +
∂y
 y


( x )' y −( y )' x
= 2 xe +
2y
y2
x
y
+ 2 x y = 2 xe 2 y +
( ) + x(y ) =
x '
y
2 '
x
y
−x y
1
+ 2 xy = 2 x e 2 y − + 2 x y
2
y x
y
CI/16
FR16
8
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Derivada da Função composta
Considere-se a função , e sejam = 9 $ e = Ψ $ . Num ponto a,
sejam ; = 9 e ; = Ψ .
Então a derivada da função em ordem a $ num ponto é dada por
∂f
(a ) = ∂f (x0 , y0 ) ∂x (a ) + ∂f (x0 , y0 ) ∂y (a )
∂t
∂x
∂t
∂y
∂t
Considere-se a função , e sejam = 9 <, $ e = Ψ <, $ . Num ponto
, sejam ; = 9 , e
; = Ψ , . Então as derivadas parciais da
função em ordem a < e < num ponto , são dadas por
∂f
(a ,b) = ∂f (x0 , y0 ) ∂x (a ,b) + ∂f (x0 , y0 ) ∂y (a ,b)
∂r
∂r
∂x
∂r
∂y
∂f
∂f
∂x
∂f
∂y
(a ,b) = (x0 , y0 ) (a ,b) + (x0 , y0 ) (a ,b)
∂t
∂x
∂t
∂y
∂t
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
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2015/2016
CI/17
FR17
Derivada da Função composta
=
Exemplo 1 - Seja , = + 2 e sejam = $ e = . Calcule
45
.
4=
∂f
(x , y ) = 2 x + 2 y ; ∂f (x , y ) = 2 x; ∂x (t ) = 2t ; ∂y (t ) = 1 ;
∂x
∂y
∂t
∂t
2
∂f
∂f
∂x
∂f
∂y
(t ) = (x , y ) (t ) + (x , y ) (t ) = (2 x + 2 y )2t + 2 x ⋅ 1 =
∂t
∂x
∂t
∂y
∂t
2
= 4tx + 4ty + x = 4t ⋅ t 2 + 4t ⋅ ( 2t ) + t 2 = 4t 3 + 3t 2
CI/18
FR18
9
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Derivada da Função composta
Exemplo 2 - Seja , = + 2 e sejam = $' > e = ln $ + 3@.
Calcule
45
4=
e
45
.
4>
∂f
(x , y ) = 2 x + 2 y; ∂f ( x, y ) = 2 x;
∂x
∂y
∂x
∂
y
(t , w) = e 2w ; (t , w) = 1 ; ∂x (t , w) = 2te 2 w ; ∂y (t , w) = 3;
∂t
∂t
∂w
t ∂w
∂f
∂f
∂x
∂f
∂y
(t , w) = ( x, y ) (t , w) + (x , y ) (t , w) =
∂t
∂x
∂t
∂y
∂t
1
2x
= (2 x + 2 y )e 2 w + 2 x ⋅ = 2 xe 2 w + 2 ye 2 w +
=
t
t
2w
2te
= 2te 2 we 2 w + 2(ln(t ) + 3w)e 2 w +
= 2te 4 w + 2(ln(t ) + 3w)e 2 w + 2e 2 w
t
∂f
(t , w) = ∂f (x , y ) ∂x (t , w) + ∂f (x , y ) ∂y (t , w) =
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
= (2 x + 2 y )2te 2 w + 2 x ⋅ 3 = 4 xte 2 w + 4 yte 2 w + 6 x =
= 4t 2e 4 w + 4(ln(t ) + 3w)te 2 w + 6te 2 w
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
CI/19
FR19
Função Implícita
Dada a equação do tipo Φ , , B = 0 onde a cada par de valores de e do domínio da equação corresponde um e um só valor de z, diz-se que a
equação define de forma implícita a função B = , .
Teorema da Função Implícita
Seja D ⊂ ℝ × ℝ um aberto, , , " ∈ D ' : D ⟶ ℝ uma função tal que:
1. , , " = 0,
2. ∈ G (a função e respetivas derivadas de 1ª ordem são continuas)
3.
45
4H
, , " ≠ 0.
Então , , B = 0 define implicitamente a variável B como função das
variáveis ' numa vizinhança do ponto (, , ").
4H
(, )
4/
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2015/2016
KL
KM
= − KL
KO
(2,3,N)
(2,3,N)
KL
e
4H
(, )
40
KP
= − KL
KO
(2,3,N)
(2,3,N)
CI/20
FR20
10
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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Função Implícita
Exemplo 1
Considere a função , , B = + ln 2 − B − B . Mostre
que a equação φ , , B = 0 define implicitamente como função das
variáveis e B, numa vizinhança do ponto R(−1, −1, 1) e calcule, para esse
ponto,
40
4/
e
40
.
4H
1º Passo: Verificar que o ponto P pertence à curva
φ , , B = 0
ϕ (− 1,−1,1) = −1 + ln(2 − 1) + 1 = 0
2º Passo – A função, assim como as suas 1ª derivadas são continuas
(função polinomial e função logarítmica) logo a função é de classe
G.
xz
∂ϕ
∂ϕ
2
3º Passo: ∂y (− 1,−1,1) = 0(? ) → ∂y = x − 2 − xyz
∂ϕ
(− 1,−1,1) =  x 2 − xz (− 1,−1,1) = 1 − − 1 = 2 ≠ 0
∂y
2 − xyz 
2 −1

Então a função define implicitamente como função das variáveis e B,
numa vizinhança do ponto R(−1, −1, 1)
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
18-04-2016
2015/2016
CI/21
FR21
Função Implícita
Então:

yz
3
∂ϕ
(− 1,−1,1) 2 xy − 2 − xyz − z (− 1,−1,1) 2 + 1 − 1
∂y

(− 1,1) = − ∂∂ϕx
=−
=−
= −1
∂x
2
2
(− 1,−1,1)
∂y


xy
∂ϕ
−
− 3 xz 2  (− 1,−1,1)
(
− 1,−1,1)

2 − xyz
∂y
−1 + 3

(− 1,1) = − ∂∂ϕz
=−
=−
= −1
∂z
2
2
(− 1,−1,1)
∂y
CI/22
FR22
11
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Apoio às aulas MAT II
18-04-2016
Função Homogénea
Uma função (, ) diz-se homogénea de grau ∝ se e só se
∀ , ∈ 5 , ∀ $ ∈ ℝ, ∀ $, $ ∈ 5 , ∃ ∝∈ ℝ ∶ $, $ = $ ∝ (, )
Exemplo 1- Mostre que a função , =
/
/ W 0 W
é homogénea e
descubra o seu grau de homogeneidade.
tx
tx
tx
= 2 2 2 2 = 2 2
=
2
t
x
+
t
y
t
x
+ y2
(tx ) + (ty )
x
= t −1 2
== t −1 f (x , y )
x + y2
f (tx ,ty ) =
(
2
)
Logo a função é homogénea de grau ∝ = −1.
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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CI/23
Função Homogénea
Exemplo 2 – Relativamente à função do exemplo 1, verifique a seguinte
igualdade (de Euler)
X
X
, + , = ∝ , X
X
Onde é uma função homogénea de grau ∝
'
2
2
∂f
(x , y ) =  2 x 2  = y2 − x2 2
∂x
x +y
x +y 
(
)
'
∂f
(x , y ) =  2 x 2  = − 2 2 xy 2
∂y
x +y
x +y 
(
x
18-04-2016
2015/2016
FR23
)
2
∂f
∂f
y 2 − x2
2 xy
+y
=x
−y
2
2
2
2
∂x
∂y
x +y
x + y2
(
)
(
)
2
=
(− x )(x 2 + y 2 ) = −
(x
2
+y
)
2 2
x
= −1⋅ f (x , y )
x + y2
2
CI/24
FR24
12
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
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18-04-2016
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
Dada a função , se existirem
45
4/
, e
45
40
, num ponto ∈ e se
estas admitirem derivada em ordem, respetivamente, a e a , num ponto
, a essa derivada chama-se derivada de segunda ordem de em
ordem a ou a respetivamente. Representam-se por
X
X Se
45
4/
X
X '
admitir derivada em ordem a , num ponto ∈ D, a essa derivada
chama-se derivada de segunda ordem de Z em ordem a [ e a \. De
igual modo se define a derivada de segunda ordem de a em ordem a .
X
XX
'
X
XX]
Estas últimas derivadas chamam-se derivadas cruzadas.
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
CI/25
FR25
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
Assim,
as derivadas parciais de 2ª ordem da função f , são
representadas por:

 ∂f

 ∂x

f ( x , y )

 ∂f
 ∂y


 ∂2 f

∂x 2
 ∂2 f

 ∂ x ∂ y
 ∂2 f

∂y∂x
 2
 ∂ f
2
 ∂ y
}...
O desenvolvimento anterior mostra que o número de derivadas parciais
cresce exponencialmente em função da ordem, ou seja:
• Derivadas parciais de 1ª ordem = 2;
• Derivadas parciais de 2ª ordem = 4 = 2 ;
• Derivadas parciais de 3ª ordem = 8 =2 ; etc.
18-04-2016
2015/2016
CI/26
FR26
13
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Apoio às aulas MAT II
18-04-2016
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
Exemplo 1 - Determine as derivadas parciais de 2ª ordem da função
, = + 2 + ' 0

 ∂f
 (x, y ) = 2 x + 2 y + e2 y
 ∂x

2
2y 
f ( x , y ) = x + 2 xy + xe 

 ∂f
2y
 ∂y ( x , y ) = 2 x + 2 xe


 ∂2 f
(x , y ) = 2

∂x 2
 ∂2 f

(x , y ) = 2 + 2e 2 y
 ∂x∂y
 ∂2 f
(x , y ) = 2 + 2e 2 y

∂y∂x
 2
 ∂ f ( x , y ) = 4 xe 2 y
2
 ∂y
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
18-04-2016
2015/2016
CI/27
FR27
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
Teorema de Schwartz
Seja ∶ D ⊂ ℝ ⟶ ℝ e
parciais
4W 5
4/40
45 45
,
4/ 40
e
4W 5
4/40
, um ponto interior a D. Se as
derivadas
estão definidas numa vizinhança do ponto , e se
é contínua em , então
4W 5
404/
também está definida em , e
X
X a, b =
(, )
XX
XX
CI/28
FR28
14
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Apoio às aulas MAT II
18-04-2016
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
Dada a função , designa-se por Matriz Hessiana a matriz
 ∂2 f

∂2 f
(x , y )
 2 (x , y )
∂x
∂x∂y

H = 2
2
 ∂ f (x , y ) ∂ f (x , y ) 
 ∂y∂x

∂y 2


Visto tratar-se de uma matriz quadrada, é possível falar no seu
determinante, ` designado por Hessiano.
Teorema
Se a função , verifica o teorema de Schwartz, a matriz Hessiana é
uma matriz simétrica.
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
CI/29
FR29
Extremos relativos
Seja , : ⊂ ℝ ⟶ ℝ , e , i)
um ponto interior a .
, diz-se um máximo relativo de f se existir uma vizinhança b
de a, b tal que , ≤ , .
i)
, diz-se um máximo absoluto de , se
∀ , ∈ ⇒ , ≤ , iii) , diz-se um mínimo relativo de , se existir uma vizinhança
b de , tal que , ≥ , .
iv) , diz-se um mínimo absoluto de , se
∀ , ∈ ⇒ , ≥ , 18-04-2016
2015/2016
CI/30
FR30
15
18-04-2016
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Apoio às aulas MAT II
Extremos relativos
Sejam ∶ ⊂ ℝ ⟶ ℝ e , ∈ %$ (). Se
45
4/
, =
45
40
, = 0, diz-se que
, é um ponto critico ou um ponto de estacionaridade de .
Teorema
Seja ∶ ⊂ ℝ ⟶ ℝ e suponhamos que tem um extremo relativo no
ponto , pertencente ao interior de e que todas as derivadas parciais
de existem no ponto (, ). Então , é um ponto crítico de .
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
FR31
Extremos relativos
Teorema
18-04-2016
2015/2016
CI/31
Dada a função, , seja , ponto crítico da função e seja H matriz
Hessiana associada. Então:
i.
Se
4W 5
4/ W
, < 0 e ` , >0
então (, ) é um máximo relativo
de .
ii.
Se
4W 5
4/ W
, > 0 e ` , > 0 então , é um mínimo relativo
de .
iii.
Se ` , < 0
então , é um ponto de sela de .
iv.
Se ` , = 0 nada se pode concluir sobre o ponto , .
CI/32
FR32
16
18-04-2016
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Apoio às aulas MAT II
Extremos relativos
Exemplo 1 - Determine e classifique os extremos relativos da função
definida por , = 3 − −
0W
.

 ∂f
 = 3 y − 3x 2
 ∂x
y 2 
3
f ( x , y ) = 3xy − x − 
2 
 ∂f
 ∂y = 3x − y


∂2 f
= −6 x
 ∂x 2
 ∂2 f

=3
 ∂x∂y
 ∂2 f
=3

∂y∂x
 2
 ∂ f = −1
2
 ∂y
Pontos críticos:
 ∂∂fx = 3 y − 3x 2 = 0 9 x − 3x 2 = 0 3x(3 − x ) = 0  x = 0 ∨ x = 3
⇔
⇔
⇔
 ∂f
−
 ∂y = 3x − y = 0

y = 0 ∨ y = 9
 y = 3x
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
CI/33
FR33
Extremos relativos
Exemplo 1 – Continuação – Os pontos (0,0) e (3,9) são pontos críticos
da função;
Ponto 0, 0
 − 6 x 3  
0 3
H (0 ,0 ) =  
=
= −9 < 0
 
3
−
1
 (0 ,0 ) 3 − 1

O ponto 0, 0 é um ponto de sela.
Ponto (3,9)
H (3,9 ) =
− 18
3
3
−1
=9 > 0∧
∂2 f
<0
∂x 2
Logo 3, 9 = 13,5 é um máximo da função , .
18-04-2016
2015/2016
CI/34
FR34
17
18-04-2016
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Apoio às aulas MAT II
Extremos relativos
Exemplo 2 - Seja a função definida por , = − − k − k .
Verifique que a função tem extremos relativos e classifique-os.

 ∂f

= 2(x − y ) − 4 x 3
 ∂x

2
f (x , y ) = (x − y ) − x 4 − y 4 

 ∂f
3
 ∂y = −2(x − y ) − 4 y


∂2 f
2
 2 = 2 − 12 x
∂x
 ∂2 f

= −2
 ∂x∂y
 ∂2 f
= −2

∂y∂x
 2
 ∂ f = 2 − 12 y 2
2
 ∂y
Pontos críticos:
 ∂∂fx = 2( x − y ) − 4 x 3 = 0
− 4 y 3 − 4 x 3 = 0
x3 = − y3
⇔
⇔
⇔
 ∂f
3
−
−
 ∂y = −2( x − y ) − 4 y = 0


x = −y
x = −y

 x = −y

⇔
⇔
⇔
3
2
−
2
2
x
+
4
x
=
0
x
1
−
x
=
0
x
0
x = 1 ∨ x = −1
=
∨
(
)



(
)
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
CI/35
FR35
Extremos relativos
Exemplo 2 – Continuação - Os pontos (1,–1), (–1,1) e (0,0) são pontos
críticos da função.
Ponto (1,–1)
 2 − 12 x 2
H (1,−1) =  

 −2
− 10 − 2

∂2 f

=
=
96
>
0
e
= −10 < 0

− 2 − 10
∂x 2
2 − 12 y 2  (1,−1)
−2
Logo 1, −1 = 2 é um máximo relativo da função .
Ponto (–1,1):
 2 − 12 x 2
H (−1,1) =  

 −2
− 10 − 2

∂2 f
=
= 96 > 0 e
= −10 < 0
 
− 2 − 10
∂x 2
2 − 12 y   (−1,1)
−2
2
Então −1, 1 = 2 é um máximo relativo da função .
18-04-2016
2015/2016
CI/36
FR36
18
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Apoio às aulas MAT II
18-04-2016
Extremos relativos
Exemplo 2 – Continuação
Ponto (0,0):
 2 − 12 x 2
H (0 ,0 ) =  

 −2
2 −2

=
=0
 
−
2 2
2 − 12 y   (0 ,0 )
−2
2
Estudo direto - Efetuando o estudo por aproximação do ponto ao
longo das retas
y=0:
(x
y=x:
(− x
2
)
− x 4 x
→ 0 +
→0
4
)
− x 4 x
→ 0 −
→0
Os limites direcionais têm sinais contrários logo existem valores
maiores e menores que a função em torno do ponto (0,0);
Assim, (0,0) é um ponto de sela da função.
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
CI/37
FR37
Extremos relativos
Exemplo 3 - Seja l
/
a função definida pela seguinte expressão
/
0
, = + + . Verifique que tem extremos relativos e classifique-os
{
}
D f = ( x , y ) ∈ IR 2 : (x ≠ 0) ∧ ( y ≠ 0)

 ∂f
8 1
 =− 2 +
x
y
 ∂x

8 x
f (x , y ) = + + y 
x y

x
 ∂f
 ∂y = − y 2 + 1


 ∂ 2 f 16
=

∂x 2 x 3
 ∂2 f
1

=− 2
 ∂x∂y
y
 ∂2 f
1
=− 2

∂y∂x
y
 2
 ∂ f = 2x
 ∂y 2 y 3
 ∂∂fx = − 82 + 1y = 0  y = x 2
−
−


x
8
⇔ 2
⇔  x2 2
⇔ 4
⇔
 ∂f
x
 ∂y = − y 2 + 1 = 0
x − 64 x = 0
 8 −x=0
y − x = 0
y=2
−


⇔ 3
⇔
x
=
0
(
∉
Df ) ∨ x = 4
x x − 64 = 0 
( )
(
18-04-2016
2015/2016
)
CI/38
FR38
19
18-04-2016
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Apoio às aulas MAT II
Extremos relativos
Exemplo 3 – Continuação
Como x = 0 não pertence ao domínio, o ponto (4,2) é o único ponto
crítico da função.
  163
H (4 ,2 ) =   x 1
 − y 2

1
− y12  

= 41
2x 
 (4 ,2 ) − 4
y3 
− 14
1
=
3
∂2 f 1
>0 e
= >0
16
∂x 2 4
Logo 4, 2 = 6 é um mínimo relativo da função , .
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
18-04-2016
FR39
Bibliografia
1. Ana Sá, Bento Louro. 2010. Cálculo Diferencial em ℝ −Uma introdução.
Departamento de Matemática. FCT/UNL .
2. Larson, Hostetler, Edwards. 2006. Cálculo. Volume 2. Oitava Edição.
McGraw- Hill.
18-04-2016
2015/2016
CI/39
CI/40
FR40
20