Sebenta de Física Ficheiro

Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
íNDICE
Erro! Marcador não definido.
INTRODUÇÃO ____________________________________________________________________ 4
1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES E DIMENSÕES ______________________________ 4
1.1 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas ______________________________ 4
1.2 Como medir uma dada quantidade (grandeza)?_______________________________ 4
1.3 Sistemas de Unidades ________________________________________________________ 5
1.4 Análise Dimensional__________________________________________________________ 6
2. COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA ___________________________________________ 8
2.1 Trigonometria ________________________________________________________________ 8
2.2 Cálculo vectorial _____________________________________________________________ 9
2.3 Cálculo diferencial _________________________________________________________ 11
2.3.1 Derivada de uma função __________________________________________________11
2.3.2 Regras básicas de derivação_______________________________________________12
2.3.3 Derivadas imediatas ______________________________________________________12
2.4 Cálculo integral ____________________________________________________________ 13
2.4.1 Algumas regras da primitivação ___________________________________________14
3. CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL _____________________________________ 14
3.1 Introdução _________________________________________________________________ 14
3.2 Movimento Unidimensional ________________________________________________ 15
3.2.1 Vector posição; Deslocamento _____________________________________________16
3.2.2 Velocidade média _________________________________________________________16
3.2.3 Velocidade instantânea ___________________________________________________17
3.2.4 Aceleração média é instantânea ___________________________________________17
3.2.5 Dedução das equações de velocidade e movimento no movimento
unidimensional ________________________________________________________________18
3.2.6 Movimento rectilíneo e uniformemente variado _____________________________19
3.2.7 Corpos em queda livre ____________________________________________________19
3.3 Movimento Dimensional e Tridimensional _________________________________ 20
3.3.1 Coordenadas cartesianas _________________________________________________20
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3.3.1.1 Posição e deslocamento _______________________________________________20
3.3.1.2 Velocidade média e velocidade instantânea_____________________________20
3.3.1.3 Aceleração média e aceleração instantânea _____________________________22
3.3.2 Movimento de um Projéctil ________________________________________________23
3.3.3 Coordenadas intrínsecas __________________________________________________25
3.3.3.1 Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento curvilíneo _______27
3.3.3.2 Movimento circular ____________________________________________________29
3.4 Movimento relativo ________________________________________________________ 32
3.4.1 Velocidade relativa________________________________________________________33
3.4.2 Aceleração relativa ________________________________________________________34
3.4.3 Movimento Relativo de Translação Uniforme _______________________________34
4. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL _________________________________ 35
4.1 Momento linear ou quantidade de movimento _____________________________ 35
4.2 Leis de Newton _____________________________________________________________ 36
4.3 Princípio da conservação da quantidade de movimento ____________________ 38
4.4 Forças fundamentais e forças derivadas ____________________________________ 39
4.4.1 Conceito de força _________________________________________________________39
4.4.2 Tipos de forças ___________________________________________________________40
4.4.2.1 Forças fundamentais __________________________________________________40
4.4.2.2 Forças de contacto ____________________________________________________42
4.5 Aplicação da 1ª e 2ª leis de Newton: diagramas de corpo livre______________ 45
4.6 Aplicação da terceira lei de Newton: movimento curvilíneo ________________ 49
5. ESTÁTICA ___________________________________________________________________ 60
5.1 Condições de equilíbrio de uma partícula __________________________________ 60
5.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido ________________________________ 60
5.3 Momento de uma força _____________________________________________________ 61
6. TRABALHO E ENERGIA ______________________________________________________ 65
6.1 Trabalho de uma força _____________________________________________________ 65
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6.2 Trabalho e Energia cinética. Teorema da energia cinética _________________ 67
6.3 Energia potencial associada a uma força conservativa: energia potencial
gravítica e elástica _____________________________________________________________ 68
6.4 Forças não conservativas __________________________________________________ 73
6.5 Lei da conservação da Energia Mecânica ___________________________________ 74
6.6 Potência ____________________________________________________________________ 76
7. MOVIMENTO OSCILATÓRIO _________________________________________________ 77
7.1 Movimento Harmónico Simples ____________________________________________ 78
7.2 Energia do Oscilador Harmónico Simples __________________________________ 84
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INTRODUÇÃO
O que é a física?
A física é uma ciência fundamental que procura entender os fenómenos naturais
que ocorrem no nosso Universo. É uma ciência que se baseia em observações
experimentais e em medições quantitativas. Procura estudar as propriedades
básicas do Universo usando um conjunto limitado de objectos – Sistema Físico –
que pode ir desde o menor sistema físico, designadamente o estudo de partículas
elementares ao maior sistema físico, nomeadamente o Universo.
Objectivos da física
Distinguir as várias interacções da matéria (gravitacionais, electromagnéticas,
nucleares)
Exprimi-las quantitativamente com o auxílio da matemática
A partir das interacções fundamentais formular regras gerais sobre o
comportamento macroscópico da matéria
1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES E DIMENSÕES
1.1 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas
A observação de um fenómeno é incompleta quando dela não resultar uma
informação quantitativa. As leis de física exprimem-se em termos de grandezas
fundamentais. Por exemplo grandezas como a força, velocidade e volume são
grandezas derivadas, pois podem ser descritas em função de grandezas
fundamentais, que em si mesmas se definem em função de medidas ou de
comparação com padrões bem definidos. Na mecânica as três grandezas
fundamentais são o comprimento (L), o tempo (T) e a massa (M). Todas as outras
grandezas derivadas exprimem-se em função das grandezas fundamentais por
fórmulas matemáticas.
1.2 Como medir uma dada quantidade (grandeza)?
Medir é um processo que nos permite atribuir um número a uma grandeza física
como resultado da comparação entre grandezas do mesmo tipo. Compara-se com
um padrão o qual é considerado como unidade dessa quantidade (dimensão).
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Para medir o comprimento de um objecto compara-se com o metro padrão.
Como curiosidade, este foi definido como a distância percorrida pela luz,
no vácuo, no intervalo de tempo 1/299.792.458 segundos.
Para medir a massa de um objecto compara-se com o quilograma. Definese como a massa de 1 litro de água pura a 4ºC.
Para medir o intervalo de tempo compara-se com o segundo. Define-se
como
o
tempo
necessário
para
o
átomo
de
césio
133 efectuar
9.192.631.770 vibrações.
Tabela 1.1 – Prefixos de potências de 10
Prefixo
Abreviatura
Factor
Prefixo
Abreviatura
Factor
Deca-
da
101
Deci-
d
10-1
Hecto-
H
102
Centi-
c
10-2
Quilo-
K
103
Mili-
m
10-3
Mega-
M
106
Micro-
μ
10-6
Giga-
G
109
Nano-
n
10-9
Tera-
T
1012
Pico-
P
10-12
1.3 Sistemas de Unidades
Em 1960, um comité internacional estabeleceu as regras para decidir sobre os
padrões destas grandezas fundamentais. O sistema que foi estabelecido é
denominado Sistema Internacional (SI) de Unidades. Neste sistema, as
unidades de massa, de comprimento e de tempo são, respectivamente o
quilograma, o metro e o segundo. Outras unidades estabelecidas pelo comité
foram as de temperatura (kelvim), a de corrente eléctrica (ampère) e de
intensidade luminosa (a candela) e a de quantidade de substância.
Um sistema de unidades deve ser “coerente”, o que significa que uma unidade
derivada se deve obter à custa das fundamentais por simples produto ou
quociente.
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Tabela 1.2 Algumas unidades SI derivadas com nomes especiais
Grandeza
Unidade
Hertz(Hz)
Expressão em termos
das unidades
fundamentais
s-1
Força
Newton (N)
m.Kg.s-2
Pressão
Pascal (Pa)
N/m2
m-1.Kg.s-2
Trabalho
Joule (J)
N.m
m2.Kg.s-2
Potência
Watt (kW)
J/s
m2.Kg.s-3
Frequência
Expressão em
termos de outras
unidades
1.4 Análise Dimensional
O conceito de dimensão tem significado especial na física. Em geral denota a
natureza física de uma grandeza. Uma distância, por exemplo, quer seja medida
em metros ou em quilómetros, é sempre uma distância. Dizemos então que a sua
dimensão é comprimento.
Por exemplo para representar as dimensões da velocidade indicamos: [v ]
No Sistema Internacional de Unidades os símbolos adoptados para cada uma das
grandezas fundamentais são:
Tabela 1.3 Dimensões de grandezas fundamentais
Grandeza fundamental
dimensão
Comprimento
L
Massa
M
Tempo
T
Corrente eléctrica
I
Temperatura
ө
Quantidade de matéria
N
Intensidade luminosa
J
A dimensão de uma grandeza G, no SI, vem em geral dada por:
[G ] = dim G = L M
α
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β
T γθ δ N ξ J η
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α , β , γ ,... ,
onde
são chamados expoentes dimensionais. Note-se que uma
grandeza sem dimensão (adimensional) é uma grandeza em que todos os
expoentes dimensionais são iguais a zero.
Na tabela seguinte estão listadas as dimensões de algumas grandezas,
juntamente com as unidades nos dois sistemas de unidades mais conhecidos.
Tabela 1.4 – Principais unidades SI utilizadas em Mecânica.
Grandeza
Dimensão
Unidade(si)
Unidades (cgs)
LT-1
m s-1
cm s-1
Área
L2
m2
cm2
Volume de sólidos
L3
m3
cm3
LT-2
M s-2
cm s-2
Força
MLT-2
Kg m s-2=Newton
g cm s-2=dine
Energia
ML2T2
Kg m2 s-2=Joule
g cm2 s-2=erg
Velocidade
Aceleração
Uma equação física correcta terá de ser dimensionalmente homogénea, devendo
para tal obedecer às seguintes regras:
As dimensões das quantidades em ambos os lados de uma equação devem
de ser as mesmas (a não ser que a equação expresse um conversão entre
sistemas de unidades diferentes), e este é o princípio da homogeneidade
dimensional.
Apenas quantidades com as mesmas dimensões devem de ser somadas ou
subtraídas.
Quaisquer quantidades podem ser multiplicadas ou divididas, mas as
dimensões do resultado são o produto ou a divisão das dimensões
individuais das parcelas.
Exemplo 1.1
3m = 3kg
(errado)
3 × 10 3 g = 3kg
(correcto, corresponde a uma conversão)
1 polegada = 2,54 cm (correcto, corresponde a uma conversão)
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Exemplo. 1.2
Analisemos dimensionalmente a seguinte equação, que traduz a equação de
movimento.
x = 1 / 2at 2 + v0 t
[x ] = L
[X ] = 1 / 2[a ][T ]2 + [v][T ] ⇔ L = 1 / 2 L.T −2T 2 + LT −1T ⇔ L = 1 / 2 L + L
(dimensionalmente correcto)
2. COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
2.1 Trigonometria
h – comprimento da hipotenusa
c – comprimento do lado oposto ao ângulo θ
a - comprimento do lado adjacente ao ângulo θ
2.1.1 Funções trigonométricas
tgθ =
c
a
a
h
c
senθ =
h
c
tgθ =
a
cotgθ =
cosθ =
a
c
cosecθ =
h
a
h
secθ =
c
a
cotgθ =
c
c

arctg a = θ

a
Funções inversas arccos = θ
h

c

arcsen h = θ

2.1.2 Triângulos trigonométricos
•
Triângulos rectângulos
h2 = c2 + a2
•
Outros triângulos
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Lei dos senos:
a
b
c
=
=
senα senβ senγ
Lei dos co-senos:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos θ
2.2 Cálculo vectorial
As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais. Grandezas escalares
são grandezas definidas apenas pela sua magnitude (número mais dimensão),
como o tempo, área, volume,…Grandezas vectoriais são definidas pela sua
magnitude e têm uma direcção associada (vector mais dimensão), tais como, a
velocidade, aceleração, força,…
Os vectores normalmente designam-se por letras minúsculas com uma seta por
cima ( a, b, u , v, w,... ).
O vector u definido pelo segmento orientado
[A, B]
representa-se por AB e
escreve-se u = AB
u
B
A
O vector nulo representa-se por 0 , tem direcção e sentido indeterminados e
comprimento zero.
Referencial Ortonormado
Define três direcções ortogonais
no espaço tridimensional
Os vectores i , j e k têm valor
unitário sendo ortogonais entre si
Estes vectores constituem uma
base ortonormada com a qual é
possível representara qualquer
vector
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A = Ax + Ay + Az = Ax i + Ay j + Az k = ( Ax , Ay , Az )
A medida do comprimento de um vector chama-se a norma do vector:
A = Ax2 + Ay2 + Az2
Em matemática, dados dois vectores quaisquer, obtém-se o vector soma da
seguinte forma:
Conhecidas
as
representações
geométricas
u
u + v = (u x i + u y j + u z k ) + (v x i + v y j + v z k ) =
= (u x + v x )i + (u y + v y ) j + (u z + v z )k
= (u x + v x , u y + v y , u z + v z )
v
u
u
v
u+v
u+v
v
Produto de um vector por um escalar:
− 3u
Dado o vector u , tem-se:
u
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2u
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u = (3,−5,1)
2u = 2u x i + 2u y j + 2u z k = (6,−10,2 )
− 3u = (− 9,15,−3)
Produto escalar de dois vectores (produto interno):
u .v = (u x i + u y j + u z k ).(v x i + v y j + v z k ) = u x v x + u y v y + u z v z = u v cos(θ uv )
Em que
θ uv
é o ângulo entre os dois vectores. Assim se os dois vectores forem
perpendiculares o seu produto escalar (ou interno) é nulo.
Produto Vectorial de dois vectores (produto externo):
k
i
j
u × v = u ∧ v = ux
uy
u z = (u y v z − u z v y )i + (u z v x − u y v x ) j + (u x v y − u y v x )k = u v sen(θ uv )
vx
vy
vz
Se dois vectores forem paralelos o seu produto externo é o vector nulo. A direcção
do vector
u×v é
perpendicular a ambos os vectores. Utilizando a mão direita e
colocando o dedo indicador no vector
u
e o médio no vector
v,
o polegar numa
posição perpendicular aos outros dois dedos indica o sentido do vector resultante
do produto vectorial (ou externo).
2.3 Cálculo diferencial
2.3.1 Derivada de uma função
A derivada de um função f ( x) para x = a é definida como:
f ' (a ) = lim
h→ 0
f ( a + h) − f ( a )
h
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f ' (a ) = tg (θ ) - a derivada é igual ao declive
da tangente à curva para x = a
2.3.2 Regras básicas de derivação
Derivada da soma de funções:
[ f ( x) + g ( x)]' =
Derivada do produto de funções:
[ f ( x).g ( x)] =
Derivada do quociente de funções:
 f ( x)  f ' ( x).g ( x) − f ( x).g ' ( x)
 g ( x)  ' =
g 2 ( x)


Derivada da função composta:
( fog )' ( x) = f ' ( g ( x)) g ' ( x)
Derivada da função inversa:
[f
−1
( x)]' =
f ' ( x) + g ' ( x)
f ' ( x).g ( x) + f ( x).g ' ( x)
1
f ' ( f −1 ( x))
2.3.3 Derivadas imediatas
( x a )' = a.x a −1
[sen( x)]' = cos( x)
[cos( x)]' = − sen( x)
[tg ( x)]' =
(a x )' = a x . ln(a ) ⇒ (e x ) = e x
1
cos 2 ( x)
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2.4 Cálculo integral
Considere-se o gráfico da função y
A área representada na figura pode ser
obtida dividindo-a em várias fatias e
calculando a sua soma:
A = A1 + A2 + A3 + ... + An
Seja ∆t , a variação, que se considera constante, da variável t . Se esta variação
for suficientemente pequena para que a função y se possa considerar constante
em cada intervalo ∆t + t , tem-se:
A = y (t i )∆t + y (t i + ∆t )∆t + y (t i + 2∆t )∆t + .... + y (t f )∆t
Tomando o limite ∆t → 0 , o cálculo da área é exacto, pois num intervalo de
tempo infinitesimal a variável y matem-se constante:
A = y (t i )dt + y (t i + ∆t )dt + y (t i + 2∆t )dt + .... + y (t f )dt
Esta soma tem infinitos termos e é representada através de um intervalo
definido:
tf
A = ∫ y (t )dt
ti
O teorema fundamental do cálculo integral, permite calcular o integral definido
através da primitiva Y , da função y :
tf
A = ∫ y (t )dt = [Y ]tif = Y (t i ) − Y (t f )
t
ti
A primitiva é a função Y , cuja derivada é y (t ) e, sendo assim, pode obter-se de
uma maneira inversa à da derivação.
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a) em que
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dF ( x)
= f ( x) ou seja F ( x) = primitiva ( f ( x))
dx
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Na tabela seguinte representam-se algumas primitivas usuais.
Tabela 2.1 Primitivas de algumas funções usuais
f(x)
k
Primitiva
kx
kx n (n ≠ −1)
k
x n +1
n +1
k
x
k ln x
k .sen(ax)
−
k
cos(ax)
a
k . cos(ax)
k
sen(ax)
a
2.4.1 Algumas regras da primitivação
Primitiva da soma de funções:
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
Primitiva de uma constante vezes uma função
∫ c. f ( x)dx = c ∫ f ( x)dx
Integração de uma função vectorial
r = x(t )i + y (t ) j + z (t )k ⇔
∫
tf
ti
tf
tf
tf
r dt = ∫ rx(t )dti + ∫ ry (t )dtj + ∫ z (t )dtk
ti
ti
ti
Pois os vectores i . j e k são invariantes no tempo.
3. CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL
3.1 Introdução
A dinâmica estuda o movimento dos corpos e a relação entre esse movimento e
grandezas físicas, como a força e a massa. A cinemática representa a parte da
mecânica que descreve o movimento com os conceitos de espaço e de tempo,
independentemente das causas que o produzem.
O repouso e o movimento de um corpo são conceitos relativos:
Corpo está em movimento se a sua posição relativa a outro objecto varia
com o tempo;
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Um corpo está em repouso se a sua posição relativa a outro objecto não
varia com o tempo.
Para descrever o movimento torna-se necessário definir um sistema de referência
ou um referencial. A trajectória do movimento depende também do referencial
adoptado para o estudar:
O lugar geométrico dos pontos do espaço que vão sendo sucessivamente
ocupados pela partícula designa-se trajectória.
Com base na trajectória podemos classificar os movimentos possíveis da
partícula como:
Rectilíneo - Unidimensional

Movimentos 
no plano - Bidimensional
Curvilíneo
s


no espaço - Tridimensional

3.2 Movimento Unidimensional
Neste capítulo, consideremos o movimento sobre uma recta, isto é, o movimento
unidimensional.
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3.2.1 Vector posição; Deslocamento
A posição da partícula é, em cada
instante, caracterizada pelo vector
posição:
r (t ) = x(t )i
Vector deslocamento - ∆r = (r − r0 )
O vector deslocamento traduz a mudança de posição de um objecto. É
caracterizado por:
Direcção – da recta suporte do vector
Sentido - aponta da posição inicial para a posição final
Módulo – menor distância entre a posição inicial e a posição final
3.2.2 Velocidade média
A velocidade média da partícula define-se, no intervalo de tempo
[t , t ], como o
i
f
quociente do espaço percorrido pelo intervalo de tempo que o levou a percorrer:
v média
∆r  x f − xi  =
=
i
∆t  t f − t i 
v media - velocidade média
xi , x f - posição inicial e final
ti , t f - tempo inicial e final
∆x - deslocamento
∆t - intervalo de tempo
⇒ Se
vmed > 0 ⇒ x(t f ) > x(t i )
- o movimento tem o sentido positivo do eixo Ox.
⇒ Se
vmed < 0 ⇒ x(t f ) < x(t i )
- o movimento tem o sentido negativo do eixo Ox.
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3.2.3 Velocidade instantânea
A velocidade instantânea,
v,
indica a velocidade, a direcção e sentido do
movimento de um objecto em cada instante. É igual ao valor limite da velocidade
média, quando o intervalo de tempo se torna muito pequeno, isto é:
∆x dx v = lim
i =
i
dt
∆t → 0 ∆t
3.2.4 Aceleração média é instantânea
A aceleração representa a taxa de variação da velocidade instantânea.
∆v v f − vi
a med =
=
∆t t f − t i
a med - aceleração média num intervalo de tempo
vi , v f - velocidade inicial e final
ti , t f - tempo inicial e final
∆v - deslocamento
∆t - intervalo de tempo
A aceleração instantânea é o valor limite da velocidade média, quando o intervalo
de tempo tende para zero.
∆v dv d  dx  d 2 x a = lim
=
=  i =
i
dt dt  dt  dt 2
∆t →0 ∆t
⇒ Se
a > 0 ⇒ v(t f ) > v(t i ) :
Se
v(t f )
e
v(t i )
são positivos, significa que a velocidade aumenta,
isto é, o movimento é acelerado.
Se
v(t f )
e
v(t i )
são negativos,
absoluto da velocidade em
tf
v(t f ) > v(t i )
significa que o valor
é menor do que em
ti
e o movimento
é retardado.
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⇒ Se
a < 0 ⇒ v(t f ) < v(t i ) :
Se
v(t f )
e
v(t i )
são positivos, significa que a velocidade diminui,
isto é, o movimento é retardado.
Se
v(t f )
e
v(t i )
são negativos,
absoluto da velocidade em
tf
v(t f ) > v(t i )
significa que o valor
é maior do que em
ti
e o movimento é
acelerado.
Um movimento em que existe aceleração diz-se variado.
Se a aceleração é constante diz-se uniformemente variado.
Se a aceleração for nula, a velocidade é constante e o movimento
diz-se uniforme.
3.2.5 Dedução das equações de velocidade e movimento no
movimento unidimensional
Podemos assim escrever:
dv = a.dt
Esta relação pode ser integrada. Para isso é necessário o conhecimento de um
valor da velocidade ( v0 por exemplo) para um dado instante,
v
t
v0
t0
∫ dv = ∫ adt
⇒
t 0 . Temos então:
t
v − v0 = ∫ adt
t0
Do mesmo modo a equação do movimento pode ser obtida por integração uma
vez conhecida a lei das velocidades. Tem-se:
v=
dx
dt
⇒
x
t
x0
t0
∫ dx = ∫ xdt
⇒
dx = v.dt
t
x − x0 = ∫ vdt
t0
Temos então a equação do movimento da partícula, num dado instante t, é dada
por:
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t
x = x0 + ∫ vdt
t0
Note-se que deslocamento e espaço percorrido podem ser bastante diferentes. O
deslocamento é dado pela diferença de posição entre dois instantes:
∆r = x(t f ) − x(t i ) i
[
]
Para determinar o espaço percorrido temos de determinar os instantes em que a
velocidade se anula,
{t , t
1
2
, t 3 ,...}, e fazer:
n
∆s = ∑ x(t i ) − x( i −1 )
i =1
3.2.6 Movimento rectilíneo e uniformemente variado
Sendo a aceleração constante, a equação da velocidade em função do tempo fica:
t
t
t0
t0
v = v0 + ∫ adt ⇔ v = v0 + a ∫ dt ⇔ v = v0 + a( t − t 0 )
Por raciocínio análogo, a equação da posição ao longo do tempo fica:
t
1
x − x0 = ∫t vdt ⇔ x = x0 + ∫ [v0 + a (t − t 0 )]dt ⇔ x = x0 + v0 (t − t 0 ) + a (t − t 0 ) 2
2
t
t
0
0
Particularmente, no movimento uniforme na qual a velocidade é constante:
t
t
0
0
x = x0 + ∫t vdt = x0 + v ∫t dt = x0 + v(t − t 0 )
3.2.7 Corpos em queda livre
É bem sabido, que todos os corpos quando são largados no espaço caem para a
superfície da Terra com uma aceleração constante, devido à aceleração da
gravidade a = − g . Deste modo as equações de movimento acima apresentadas
passam a ter a seguinte forma (considerando
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t0 = 0
).
19
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
Equação da velocidade
v = v0 − gt
Equação da posição
1
y = y0 + v0t − gt 2
2
Velocidade em função da posição
v 2 = v02 − 2 g ( x − x0 )
3.3 Movimento Dimensional e Tridimensional
3.3.1 Coordenadas cartesianas
3.3.1.1 Posição e deslocamento
De maneira geral, a localização de uma partícula é dada através do vector
posição - r . Usando a notação de vectores unitários, representa-se por:
r = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
∆r = r f (t ) − ri (t )
3.3.1.2 Velocidade média e velocidade instantânea
∆r (t ) ∆x(t ) ∆y (t ) ∆z (t ) v med =
=
i +
j+
k
∆t
∆t
∆t
∆t
dx dy dz r (t + ∆t ) − r (t ) dr
v = lim
=
= v x (t )i + v y (t ) j + v z (t )k =
i+
j+ k
∆t →0
∆t
dt
dt
dt
dt
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20
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
Exemplos 3.1
a) No caso do deslocamento se dar no sentido positivo.
b) No caso do deslocamento se dar no sentido negativo
A velocidade pode variar em módulo e em direcção. A variação da velocidade com
o tempo é traduzida pela aceleração.
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21
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
3.3.1.3 Aceleração média e aceleração instantânea
a med
∆v ∆v x ∆v y ∆v z =
=
i +
j+
k
∆t
∆t
∆t
∆t
∆v dv d 2 r
a = lim a med = lim
=
=
∆t → 0
∆t →0
∆t dt dt 2
A aceleração é sempre dirigida para a concavidade da curva pois a velocidade varia
na direcção da curvatura da trajectória.
dv dv x dv y dv z j+
a=
i +
=
k = axi + a y j + az k
dt
dt
dt
dt
a = a x2 + a y2 + a z2
Conhecendo a aceleração, é possível determinar por integração a velocidade e a
posição em qualquer instante t:
t
dv
t
a=
⇔ dv = adt ⇔ v ∫v dv = ∫t adt ⇔ v = v0 + ∫t adt
dt
0
0
0
r
t
dr
t
t v=
⇔ dr = dv dt ⇔ ∫r dr = ∫t v dt ⇔ r = r0 + ∫t v0 + ∫t a dt dt
dt
0
0
Velocidade em função do tempo
t
v x = v0 x + ∫t a x dt
0
t
v y = v0 y + ∫t a y dt
0
t
vz = v0 z + ∫t a z dt
0
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0
[
]
0
Posição em função do tempo
t
t
0
0
t
t
0
0
[
t
[
t
]
x = x0 + ∫t vx dt = x0 + ∫t v0 x + ∫t a x dt dt
0
]
y = y0 + ∫t v y dt = y0 + ∫t v0 y + ∫t a y dt dt
t
t
0
0
[
0
t
]
z = z0 + ∫t vz dt = z0 + ∫t v0 z + ∫t az dt dt
0
22
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
A caracterização do movimento pode ser efectuada independentemente em cada
uma das direcções do sistema de referência (Oxyz).
Exemplo 3.2
3.3.2 Movimento de um Projéctil
O movimento de projécteis constitui um bom exemplo de um movimento num
plano. Normalmente é conhecida a sua velocidade inicial, de grandeza
fazendo um ângulo
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α
com a horizontal, para além da aceleração,
v0
e
g.
23
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
r0 = 0
e
t0 = 0
t
v
dv
=
 ∫ x ∫ a x dt = 0
0
v
v
t
t
 dv = a dt = (− g )dt
∫0
v∫ y ∫0 y
x
a x

a y
=0
= −g
⇒
0x
y
0y
v0 = v0 x i + v0 y j = v0 cos α i + v0 senαj
a = g = − gj
v = v0 + a( t − t 0 ) = v0 x i + v 0 y j − gtj = v0 cos αi + v 0 senαj − gtj
t
t
t
t
r = xi + yj =  x 0 + ∫ v x dt  i +  y 0 + ∫ v y dt  j =  ∫ [v0 cos α ]dt  i +  ∫ [v 0 senα − gt ]dt  j

 

 0
  0

t0
t0
 x = v0 cos(α )t


1 2
y
=
v
sen
(
α
)
t
−
gt
0

2
Equação da trajectória de um projéctil:
y = xtg (α ) − x 2
g
2v cos(α )
2
0
A trajectória de um projéctil é uma parábola
No ponto mais alto (ponto A), tem-se
v0 sen(αe − gt A = 0 ⇒ t A =
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vy = 0
(velocidade horizontal):
v0 sen( α )
g
24
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
A altura máxima atingida pelo projéctil é então:
v02 sen 2 (α )
2g
hmáx =
O tempo necessário para o projéctil atingir o solo é calculado considerando
y = 0:
2
1
2v sen(α )
0 = v0 sen(α )t B − gt ∫B ⇒ t B = 0
= 2t A
2
g
O alcance do projéctil corresponde ao valor de
x( t = t B ) = v0 cos( α )t B = v0 cos( α )
x máx =
xB :
2v0 sen( α )
g
2v0 cos( α )sen( α )
g
Os resultados anteriores para o movimento do projéctil são válidas se:
1. O alcance é suficientemente pequeno para se poder desprezar a
curvatura da superfície terrestre.
2. A altitude é suficientemente pequena para que a variação da aceleração
da gravidade com a altura seja insignificante.
3. A velocidade inicial é suficientemente pequena para que a resistência não
seja importante.
3.3.3 Coordenadas intrínsecas
As coordenadas cartesianas são um modo útil de estudar movimentos planos
mas fisicamente pouco informativas no que diz respeito aos vectores velocidade e
aceleração.
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25
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
Velocidade média
∆r
vmed =
∆t
Velocidade instantânea
∆r dr
v = lim
=
∆t →0
∆t dt
Quando ∆t → 0 , o módulo do
deslocamento tende para ∆s
∆r → ∆s
Se multiplicarmos e dividirmos por
∆s
no cálculo da velocidade, podemos
escrever:
∆r
∆r  
∆s 
 ∆r ∆s  
v = lim
=
=
lim
.
lim
.
lim






∆t →0
∆t ∆t →0  ∆s ∆t   ∆t →0 ∆s   ∆t →0 ∆t 
Por outro lado sabe-se que:
Versor da tangente à curva:
dr
∆r = lim
= ut
ds ∆s →0 ∆s
Módulo da velocidade:
v=
Logo,
v = v.ut
ds
∆s
= lim
dt ∆t →0 ∆t
A partir do módulo da velocidade podemos obter a lei horária do movimento,
s = s (t ) :
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26
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
s
t
t
s0
0
0
ds = v.dt ⇒ ∫ ds = ∫ vdt ⇒ s − s0 = ∫ vdt
3.3.3.1 Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento
curvilíneo
Consideremos o movimento de uma partícula sobre uma trajectória curva, na
qual a velocidade muda de módulo e de direcção.
Aceleração média
∆v
a med =
∆t
Aceleração instantânea
du t
dv d (vu t ) dv a=
=
= ut + v
dt
dt
dt
dt
[u
t
= u t (t )]
u t = cos(φ )i + sen(φ ) j
π 
π 


u n = cos φ + i + sen φ +  j = − sen(φ )i + cos(φ ) j
2
2


du t d
dφ dφ = (cos(φ )i + sen(φ ) j ) = − sen(φ ) i + cos(φ )
j
dt dt
dt
dt
du t dφ =
un ⇒
dt
dt
Conclui-se que
du t
dt
é normal à trajectória
Introduzindo o deslocamento na trajectória,
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ds , obtém-se
27
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
dφ dφ ds
dφ
=
=v
dt ds dt
ds
Se R for o raio da curvatura da trajectória, sabemos que
ds = Rdφ ,
e podemos
fazer
dφ
dt
=
1
.v
R
Como a aceleração está dirigida para a concavidade da trajectória pode-se
decompô-la em duas componentes, uma tangencial ( at ) e outra normal ( an ) à
trajectória.
dv v 2 a = u t + u n = at + a n
dt
R
dv
at =
- descreve a variação do módulo de velocidade
dt
du t
an =
- descreve a variação da direcção da velocidade
dt
~
Considerando o versor da tangente à trajectória ( u t ) tem-se:
2
v4
 dv 
a= a +a =   + 2
R
 dt 
2
t
2
n
A aceleração tangencial contabiliza a variação do módulo da velocidade e permite
calcular a distância percorrida ao longo da trajectória curvilínea.
t
dv
⇒ v = v0 + ∫t at dt
dt
t
ds
v = ⇒ s = s0 + ∫t vdt
dt
at =
0
0
A aceleração normal caracteriza a variação da direcção da velocidade:
du
v2 an = v t = un
dt
R
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28
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
se se conhecer a n e o módulo de velocidade,
v
du t
a n = f ( t )i + g ( t ) j = v( t )
dt
du t
 t f ( t )   t g( t )  f ( t ) g( t ) =
i +
j ⇒ u t ( t ) = u t ( t 0 ) +  ∫
dt i +  ∫
dt  j
dt
v( t )
v( t )
 t0 g ( t )   t0 g ( t ) 
3.3.3.2 Movimento circular
Um caso em que este tipo de coordenadas é particularmente útil é o do
movimento circular. O movimento circular é o movimento no qual a trajectória é
uma circunferência. O estudo deste movimento torna-se mais simples se
tomarmos como origem do sistema de eixos o centro da circunferência. O arco
percorrido pela partícula, está relacionado com o ângulo
θ=
s
⇔ s = Rθ
R
θ
s,
por:
(sendo
θ radianos)
dθ ds v = ut = R u t = wRu t ⇒ Velocidade
dt
dt
-1
escalar (ms )
w=
dθ
⇒ Velocidade angular (rad s-1)
dt
A velocidade é perpendicular ao raio, pois a velocidade é tangente à
circunferência.
R = rsen(γ )

 dθ w=
k
v = w × r
dt

v = wR = wrsen(γ )
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29
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
w
é perpendicular ao plano em que a rotação ocorre. O sentido de
w,
é
determinado pelo sentido do movimento de rotação através da regra da mão
direita ou do saca-rolhas.
Neste caso as duas componentes da aceleração são dadas por:
at =
dv
dw
=R
dt
dt
A quantidade
α=
an =
dw
dt
v 2 R 2 w2
=
= Rw 2
R
R
designa-se por aceleração angular da partícula. Temos
então para aceleração total:
a = αRu t + Rw 2 u n
Movimento circular e uniforme ( w = constante)
w=
θ
t
dθ
⇔ dθ = wdt ⇔ ∫θ dθ = w∫t dt ⇔ θ = θ 0 + w(t − t0 )
dt
0
0
Neste caso tem-se um movimento periódico, pois após uma rotação de
se ao ângulo inicial de
2π
volta-
θ0 .
Tempo que demora a efectuar uma volta completa designa-se por período do
movimento,
T=
T , e corresponde a uma rotação de θ = 2π
tn
(s)
t
Tempo que demora a efectuar n voltas
A sua relação com
w=
rad.
dθ
dt
⇒
w
determina-se facilmente já que
θ + 2π
∫
θ
t +T
dθ = ∫ wdt
t
⇒
2π = w.T ⇔ T =
2π
W
Número de voltas por unidade de tempo designa-se por frequência do
movimento,
f
, é o inverso do período:
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30
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
f =
t 1
=
(s -1 = Hz)
tn T
⇒
w = 2πf
Podemos neste caso obter também a variação temporal do ângulo
w(t ) =
θ
t
t
dθ
t
⇔ dθ = wdt ⇔ ∫ dθ = ∫ wdt ⇔ θ − θ 0 = ∫ wdt = [wt ]t
dt
t
t
θ
0
0
0
0
θ = θ 0 + w(t − t 0 )
Obtemos assim:
Em coordenadas cartesianas, a posição da partícula é:
x(t ) = R. cos(θ 0 + wt )
y (t ) = R.sen(θ 0 + wt )
v2
a =
ou a = w 2 R
R
A aceleração é radial e aponta
para o centro da trajectória
Movimento circular não uniforme
Existe uma aceleração angular (α ) . No movimento circular a direcção de
w
não
varia
dw d 2θ
=
α=
dt dt 2
Quando
α
é constante obtém-se o movimento circular e uniformemente
variado.
t
t
0
0
w = w0 + ∫t αdt =w0 + α ∫t dt =w0 + α (t − t0 )
t
t
α
0
0
2
θ = θ 0 + ∫t wdt =θ 0 + ∫t [w0 + α (t − t0 )]dt = = θ 0 + w0 (t − t0 ) +
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(t − t 0 ) 2
31
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FÍSICA
Componente normal e tangencial da aceleração no movimento circular
a = at + a n
dv v 2 = ut + un
dt
R
d ( wR ) ( wR )2 =
ut +
un
dt
R
= αRu t + w 2 Ru n
3.4 Movimento relativo
O movimento é um conceito relativo cuja descrição depende de um referencial
específico escolhido pelo observador. Na realidade, diferentes observadores
usando sistemas referenciais diferentes obtêm diferentes descrições de um
mesmo movimento. O movimento relativo procura deste modo, relacionar os
resultados
distintos
de
um
mesmo
fenómeno
descrito
por
diferentes
observadores. Um referencial é escolhido de modo a facilitar a descrição do
movimento do objecto que se pretende estudar.
Exemplos
Movimento da Terra: referenciais ligados à Terra
Astronomia: referenciais em estrelas que se podem considerarem imóveis
(“estrelas fixas”)
Física atómica: referencial no núcleo atómico (os electrões são muito mais
leves que o núcleo podendo-se considerar que a posição nuclear é fixa
relativamente aos electrões)
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32
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
3.4.1 Velocidade relativa
Velocidade de A e B medidos
pelo observador O
drA
vA =
dt
drB
vB =
dt
Vector posição de B relativamente a A
rBA = AB = rB − rA
Vector posição de A relativamente a B
rAB = BA = rA − rB
⇒
rAB = −rBA
Velocidade de B em ralação a A:
drBA
vBA =
dt
Velocidade de A em ralação a B:
drAB
v AB =
dt
⇒ vBA = −v AB
drBA drB drA
=
−
⇔ vBA = vBO − v AO = vB − v A
dt
dt
dt
drAB drA drB
=
−
⇔ v AB = v AO − vBO = v A − vB
dt
dt dt
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33
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
3.4.2 Aceleração relativa
Aceleração de B em ralação a A:
dvBA
a BA =
dt
Aceleração de A em ralação a B:
dv AB
a AB =
dt
⇒ aBA = −a AB
dvBA dvB dv A
=
−
⇔ aBA = aBO − a AO = aB − a A
dt
dt
dt
dv AB dv A dvB
=
−
⇔ a AB = a AO − a BO = a A − aB
dt
dt
dt
3.4.3 Movimento Relativo de Translação Uniforme
Seja O’ x’y´z´ um referencial móvel com velocidade
vt
em relação ao referencial
fixo Oxyz.
O sistema de referência O e O’ movem-se
um em relação ao outro com movimento
uniforme
de
translação
( vTR = v = cons tan te )
Para simplificar escolheu-se sistemas de
eixos com i e j paralelos a v , j paralelo
a
j
e
k
paralelo a
Supondo que para
temos:
OO' = v t
com

 x´ = x − vt

r = OA = OO' + O' A = v t + r' ⇔ r' = r − v t ⇔  y' = y
 z' = y

 t = t'
k'
t = 0, O e
O’ coincidem
v = vi
Transformações
de
Galileu
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34
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
Admite-se que as medidas de tempo são independentes do observador.
v = v AO
é a velocidade absoluta
v ' = v AO '
é a velocidade relativa ⇒ vobj / ref .móvel
vTR = voo '
⇒ vobj / ref . fixo
é a velocidade de transporte ⇒ vref . móvel / ref . fixo
tem-se,
v = v '+ vTr
ou
v ' = v − vTr
Aceleração
a = a '+ aTr
ou
a ' = a − aTr .
Se a velocidade de transporte for constante
aTr = 0 .
Os referenciais que se movem um em relação ao outro com um movimento
uniforme são chamado referenciais inerciais.
4. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL
O objectivo da Dinâmica é o estudo da relação entre um movimento, ou, mais
precisamente entre as alterações a um movimento, e as causas dessas
alterações. Por exemplo, um movimento rectilíneo e uniforme de uma partícula
não requer nenhuma interacção entre a partícula e o exterior para se manter.
Mas para o modificar, isto é, para lhe fazer variar a velocidade, seja em grandeza
ou direcção, a partícula tem que ser submetida à acção do que se designa por
uma força, que lhe provocará uma aceleração, isto é uma mudança no seu
estado de movimento.
4.1 Momento linear ou quantidade de movimento
A quantidade de movimento, p , de uma partícula é definida como:
p = mv
Esta é uma grandeza muito importante pois combina os dois elementos que
caracterizam o estado dinâmico da partícula: a sua massa e sua velocidade.
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35
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
4.2 Leis de Newton
A cinemática descreve o movimento de uma partícula, enquanto que a dinâmica
estuda as relações entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento.
O que é visível numa força é o seu efeito: a alteração do seu movimento. Assim
para estudar as forças, é necessário observar o movimento resultante das acções
das forças.
Podemos assim definir a força como uma interacção entre corpos físicos que
provoca alterações na sua velocidade ou não. Deste modo, a dinâmica pode ser
considerada como a análise da relação entre o movimento e a força.
Primeira lei de Newton (ou lei da inércia)
Quando a resultante das forças que actuam num objecto for nula, esse
objecto permanece num estado de repouso ou num estado de movimento
rectilíneo e uniforme.
Da 1ª lei de Newton, podemos concluir que:
Repouso ou movimento são estados naturais de um corpo, isto é, estados
que somente se modificam se a resultante das forças que actuam no corpo
for não nula.
Os objectos têm tendência para permanecer em repouso ou em movimento
rectilíneo uniforme. Esta tendência é referida como inércia.
Do ponto de vista físico não existe diferença entre repouso e movimento
com velocidade constante.
Referenciais inerciais
A primeira lei de Newton, também chamada lei da inércia, define um conjunto
especial de sistemas de coordenadas denominado referenciais inerciais. Um
referencial inercial é um referencial em que é válida a primeira lei de Newton.
Definindo partícula livre, como uma partícula que não está sujeita a interacções
com outras (partícula isolada) podemos assim mostrar que o movimento é um
conceito relativo. Para descrever o movimento de uma partícula livre é necessário
que o observador também seja uma partícula livre (sem aceleração). Tal
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36
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
observador é um observador inercial e o referencial por ele usado é um
referencial inercial.
A Terra não é um referencial inercial, pois tem movimento de rotação em torno
do Sol e movimento de rotação em torno do seu eixo, sendo por isso um
referencial acelerado. De facto a aceleração resultante dos seus movimentos de
rotação e translação é cerca de 0,01m/s2. Assim, um referencial ligado à
superfície da Terra pode, sem grande erro (em muitos casos), ser considerado um
referencial de inércia.
O Sol não é um referencial inercial, pois roda em torno do centro da Galáxia,
estando assim animado de um aceleração centrípeta. Contudo, o Sol é um
referencial inercial mais próximo que o da Terra, pois o seu movimento
aproxima-se mais do movimento rectilíneo e uniforme (raio da curvatura muito
maior que o da Terra).
Segunda lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica)
A segunda lei de Newton define assim a força, F , como a causa da alteração
do movimento, de tal forma que, se uma força F actuar sobre uma partícula,
a sua quantidade de movimento,
p = mv , sofre uma alteração tal que
dp
F=
dt
unidade SI: kgms-2=newton (N)
Admite-se que todas as forças causam o mesmo efeito, quer actuem isoladas ou
em conjunto com outras forças – Princípio da independência das forças
Equação fundamental da dinâmica:
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dp
R = ∑ Fi =
dt
i
37
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
No caso geral temos:
dp d ( mv ) dm dv
=
=
v+m
dt
dt
dt
dt
Sendo a massa,
m
constante
 dm

= 0  , temos:

 dt

dp
dv
=m
= ma
dt
dt
Obtemos assim a forma mis conhecida da 2ª lei de Newton:
R = ∑ Fi = ma
i
Terceira lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica)
Quando dois corpos interagem, a força que um corpo exerce no outro é igual
em módulo, e de sentido contrário, à força que o segundo corpo exerce no
primeiro.
FB / A
FA / B = − FB / A
FA / B
A
B
4.3 Princípio da conservação da quantidade de movimento
Considere o sistema de partículas isoladas A e B
No instante t:
p = p1 + p 2 = mv1 + mv2
No instante t’:
p' = p'1 + p' 2 = mv'1 + mv' 2
p = p' = cons tan te
em
qualquer
instante
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38
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FÍSICA
Princípio da conservação da quantidade de movimento
Num sistema com n partículas isoladas a quantidade de movimento mantém-se
constante relativamente a um referencial inercial, isto é:
p = ∑ pi =constante
i
Considerando um sistema de n partícula em dois instantes diferentes
ti
e
tf ,
tem-se:
( p ) + ( p ) + ( p )
1 i
2 i
3 i
+ ... = ( p1 ) f + ( p 2 ) f + ( p3 ) f + ...
ou seja
∆p1 + ∆p 2 + ∆p3 + ... = 0
∆p j = −∑ ∆pi
⇒ A variação de p de uma dada partícula é igual ao
i
simétrico da variação de
p
do resto do sistema.
Num sistema de duas partículas:
∆p1 = −∆p 2
ou seja a interacção entre partículas leva a uma troca da
quantidade de movimento entre elas.
4.4 Forças fundamentais e forças derivadas
4.4.1 Conceito de força
As forças actuam sempre à distância (não existe contacto). Esta distância poderá
ser:
Muito grande (ex., interacção gravítica interplanetária)
Muito pequena (ex., interacções interatómicas, contacto aparente entre
dois objectos)
A transferência da quantidade de movimento entre partículas envolve um meio
de transmissão. A força representa a acção de corpo sobre outro e caracteriza-se
por: uma direcção, sentido, intensidade e ponto de aplicação.
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FÍSICA

• Pequena porção da matéria que se pode

considerar que o cupa um ponto no espaço


Ponto material• É utilizado quando o tamanho e a forma

 dos corpos em estudo não têm influência



significativa

Forças aplicam - se a 
Conjunto de um grande número de pontos

Corpo rígidomateriais em que as suas posições relativas


 são fixas




Corpo deformável
4.4.2 Tipos de forças
4.4.2.1 Forças fundamentais
Forças fundamentais
forças gravíticas (relativamente fracas)
forças electromagnéticas (relativamente fortes)
forças nucleares fortes (mantêm a coesão do núcleo)
forças nucleares fracas (interacção a curta distância)
Força gravitacional
É força de atracção mútua entre todos os corpos. Exemplos mais comuns são a
força exercida pelo sol que mantém os planetas na sua órbita, assim como a
força exercida pela Terra sobre a Lua que mantém esta numa órbita quase
circular em torno desta.
Lei da gravitação de Newton – dois pontos materiais de massas M e m são
mutuamente atraídos com forças iguais e opostas, F, de intensidade:
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40
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FÍSICA
F =G
mM
2
rAB
G - constante de gravitação
rAB - distância entre os dois pontos materiais
No caso da atracção pela Terra de um ponto material para a sua superfície
P = mg
g=
GM Terra
= 9,8ms − 2
2
RTerra
em que P é força de atracção exercida pela Terra num ponto material de massa m
e é definido como o seu peso.
Força electromagnética
É a atracção, ou repulsão, entre partículas carregadas que estão em movimento
relativo. A força electromagnética inclui, deste modo, duas forças, a eléctrica e a
magnética.
Um exemplo típico de uma força eléctrica é a atracção entre pedaços de papel e
uma barra de plástico.
A força magnética entre um electroíman e limalha de ferro aparece quando as
cargas eléctricas se movem.
Força nuclear forte
A força nuclear forte é a responsável pela estabilidade dos núcleos. Esta força
constitui a “cola” que matem reunidos os constituintes do núcleo (os nucleões). É
a mais intensa das forças fundamentais. Com separações da ordem de 10-15 m
(dimensão nuclear típica), a força nuclear forte é uma a duas ordens de grandeza
maior que a força electromagnética. Porém diminui rapidamente com o aumento
da separação entre as partículas.
Força nuclear fraca
A força nuclear fraca é uma força de curto alcance, que tende a provocar a
instabilidade de certos núcleos. Maior parte das reacções de desintegração
radioactiva é provocada pela força nuclear fraca.
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FÍSICA
4.4.2.2 Forças de contacto
Todas as outras forças de que vulgarmente se fala, tais como a força de atrito, a
força elástica de uma mola, a tensão numa corda, etc…, são manifestações
macroscópicas de forças incluídas numa das quatro categorias referidas.
Reacção normal
O peso do bloco puxa-o para baixo, empurrando-o
contra as moléculas da superfície da mesa
A mesa resiste a esta compressão e exerce no bloco
uma força, dirigida para cima.
Força de reacção normal ou reacção normal, N , é uma componente que a
superfície exerce sobre o objecto com o qual está em contacto, cuja direcção é
sempre perpendicular à direcção da superfície.
Força de atrito
Quando um objecto está em contacto com uma superfície, para além da força
normal, existe uma força com uma direcção paralela à superfície denominada
força de atrito.
O atrito resulta da interacção das moléculas das superfícies em contacto,
depende por isso, essencialmente de três factores:
natureza das superfícies de contacto
rugosidade das superfícies
velocidade relativa
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FÍSICA
O atrito de escorregamento ocorre quando existe deslizamento entre duas
superfícies em contacto. Um dado objecto em movimento vai perdendo
quantidade de movimento devido à força de atrito ( Fat ) . Esta força de atrito de
escorregamento opõe-se sempre ao movimento, tendo por isso, a mesma direcção
da velocidade e sentido oposto.
O peso do corpo pressiona-o contra a superfície originando um par acçãoreacção, N e N' , perpendicular ao plano de contacto.
Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito é proporcional
à intensidade do força normal, N , que resulta do contacto entre as duas
superfícies,
Fat = µ N
µ( > 0 ) - coeficiente de atrito
Quando existe movimento relativo e considerando o versor da direcção do
movimento u v = v / v , a força de atrito pode-se exprimir vectorialmente como:
Fat = −µ N u v
O coeficiente de atrito mudo consoante o corpo está em movimento relativamente
ou não,
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FÍSICA
Fat
F + Fat = 0 ⇒ µ = ⇒ µ =
N
F
N
O valor máximo de F para a qual a força de atrito consegue evitar o movimento
corresponde ao coeficiente de atrito estático, µ e . Nesse caso o corpo está na
iminência do movimento. Conclui-se portanto, que na ausência de movimento, a
força de atrito está no plano de contacto das superfícies e tem intensidade:
Fae ≤ Faemax
O módulo da força de atrito estático, Fae , pode ter qualquer valor entre zero um
valor máximo, Faemax , em que:
Faemax = µ e N
Quando a força F é suficiente para iniciar o movimento verifica-se que o
coeficiente de atrito é aproximadamente independente da velocidade tomando o
valor de µ c . Este valor corresponde ao coeficiente de atrito cinético e é inferior
a µ e , sendo a força de atrito cinética, Fac .
Fac = −µ c N u v = −µ c N v / v
O atrito de rolamento ocorre quando um corpo rolo em cima de outro. Como a
superfície de contacto entre os corpos é menor, este atrito é geralmente menor
que o atrito de escorregamento.
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Tabela 4.1 Valores aproximados de coeficientes de atrito
Material
µe
µc
aço/aço
0,7
0,6
vidro/vidro
0,9
0,4
teflon/aço
0,04
0,04
borracha/cimento molhado
1,0
0,8
borracha/cimento seco
1,0
0,8
Forças em molas
Quando se estica ou comprime uma mola existe uma força que tende a levar a
mola ao seu comprimento de equilíbrio denominada força elástica, Fel .
Mola em equilíbrio
Mola comprimida
Mola esticada
A Fel é proporcional ao afastamento do equilíbrio da mola: Fel = − k ( x − x0 )u x
4.5 Aplicação da 1ª e 2ª leis de Newton: diagramas de corpo livre
Exemplo 4.5.1
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Exemplo 4.5.2
Considere-se o seguinte exemplo na qual temos um trenó assente numa
superfície gelada. O cão a corda atada ao trenó com uma força F. A corda sob
tensão puxa então o trenó.
Primeiro passo para resolver o problema é isolar o
sistema a ser analisado: neste caso o trenó.
Segunda fase, é esquematizar quais as forças que
actua no sistema considerado, ou seja desenhar o
diagrama do corpo livre.
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Exemplo 4.5.3
Forças que actuam na TV:
Peso: P = mg
Reacção normal: N
Como a TV está parada, temos:
F = ma = 0 ⇔ P + N = 0
∑
N = − P ⇔ N = mg
Exemplo 4.5.4
Forças aplicadas no bloco são, mais uma vez:
Peso:
P = mg
Reacção normal:
N
Aplicando a 2ª lei de Newton:
∑ F = ma ⇔ P + N = ma
mg × senθ

 Px = m × a x
= g × senθ
a x =
⇔
m

− Py + N = m × a y = 0
 N = mg × cos θ
Exemplo 4.5.5
Forças que actuam no livro:
P = mg
Força exercida pela mão: F
Reacção normal:
N
Peso:
Como o livro está em repouso, temos:
∑ F = ma = 0 ⇔ P + F + N = 0
N = − P − F ⇔ N = mg + F
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Exemplo 4.5.6
Forças que actuam no cesto:
P = mg
Força exercida pela mão: F
Reacção normal:
N
Peso:
Como o cesto está em repouso, temos:
F
=
m
a
=
0
⇔
P
+F+N =0
∑
N = − P − F ⇔ N = mg − F
Exemplo 4.5.7
“O Amaral cai acidentalmente e fica pendurado na beira de um rochedo gelado.
Felizmente encontra-se preso por uma corda ao Eduardo. Antes do Eduardo
conseguir cravar o seu martelo no gelo, desliza mas continua atado ao Amaral”.
Qual a aceleração de cada um dos alpinistas?
Aplicando a 2ª lei de Newton:
Eduardo :
Amaral :
∑ Fx

∑ FY
∑ Fx

∑ FY
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= m e a xe ⇔ T1 = m e a xe
= m e aYe ⇔ N − m e g = 0
= m a a xa = 0
= m a aYa ⇔ −T2 + m a g = m a a ya
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Uma vez que o Eduardo e o Amaral estão ligados pela corda ( T1
= T2 ,
se se
desprezar a massa da corda) os módulos das suas acelerações serão iguais,
então:
ma g
m a=m g−m a⇔a= e
m + ma
e
a
a
4.6 Aplicação da terceira lei de Newton: movimento curvilíneo
Exemplo 4.6.1
Qual é a aceleração das caixas? Qual a intensidade da força exercida por uma
caixa sobre a outra?
Pela 3ª lei de Newton:
F1 / 2 = − F2 / 1
Aplicando o princípio da 2ª lei de Newton às
duas caixas:
F − F2 / 1 = m1a1
= m1 a1
caixa
caixa 1:
F1 / 2
uma vez que
a=
F
m1 + m2
a1 = a2 = a
2:
obtemos:
F1 / 2 =
m2
F
m1 + m2
Movimento circular
Exemplo 4.6.2
Considere-se uma partícula a descrever um movimento circula e uniforme. A
partícula percorre um círculo de raio R num determinado intervalo de tempo T.
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∆s 2πR
=
∆t
T
∆θ 2π
W=
=
=v/ R
∆T T
v=
mas se o intervalo de tempo considerado é pequeno:
∆v
v.∆θ
v2
a≅
⇔a=
= v.w =
∆t
∆t
R
quando
∆t → 0
Este termo é sempre perpendicular à trajectória.
Movimento curvilíneo
O movimento curvilíneo ocorre quando a força não é colinear com a velocidade.
Existe portanto uma componente da aceleração perpendicular à velocidade. A
componente da aceleração perpendicular à velocidade é responsável pela
variação da direcção do movimento da partícula (através da variação da direcção
da velocidade).
Se a massa for constante então a aceleração é paralela à força:
F = ma = m( at + a n )
em que:
v2
dv
dv v2 at =
e an =
⇒ F = m ut + m un
r
dt
dt
r
F = Ft u t + Fu n
⇒ A força tangencial,
Ft
é responsável pela variação do módulo da
velocidade e é tangente à trajectória.
Ft = 0
- o movimento é uniforme
(velocidade constante)
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FÍSICA
⇒ A força normal,
Fn
é responsável pela variação da direcção da velocidade
e aponta sempre para o centro da curvatura.
Fn = 0
- o movimento é
rectilíneo.
No caso do movimento circular o raio da curvatura, r, é constante e igual ao raio
da circunferência, R e
v = wR . Logo a força normal ou força centrípeta, é:
v2
Fn = Fn = m a n = m = mw 2 R
R
Quando o movimento é circular e uniforme,
F = Fn (at = 0) , ou seja,
F = m an u n = mw 2 Ru n )m( wvu n = mw × v = w × p
Exemplo 4.6.3
Um fio de comprimento L, ligado a um ponto fixo, tem na sua extremidade uma
massa m que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante
w . Este dispositivo chama-se pêndulo cónico. Determinar a aceleração angular,
α.
As forças que actuam na massa m são o peso, P , e
a tensão, T . A restante das forças é a força
centrípeta, Fn , necessária ao movimento circular:
T + P = Fn
Tomando as componentes das forças nas direcção vertical e normal, tem-se
T cos( α ) − P = 0 T = mg / cos( α )
⇒

Tsen( α ) = Fn
 Fn = mgsenα / cos( α )
como
Fn = ma n = mw 2 R = mw 2 Lsen( α ) , conclui-se que cos( α ) = g / w2 L
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FÍSICA
5. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
5.1 Momento linear e impulso
Até agora estudamos o movimento duma partícula ou de partículas. Vamos agora
estudar o movimento de um sistema de partículas.
O momento linear de uma partícula de massa m que se move com uma velocidade v é
definido como o produto da massa pela velocidade:
p = mv
Momento de um sistema de partículas é a soma:
p 1 = mv 1
p 2 = mv 2
p 3 = mv 3
p = p 1 + p 2 + ... + p n
...
p n = mv n
Definimos o vector força, como a derivada do momento linear relativo ao tempo, que
constitui a expressão da segunda lei de Newton.
F=
dp
dt
A segunda lei de Newton no caso particular de massa constante é um caso particular
da definição de força.
F=
d (mv )
dv
=m
= ma
dt
dt
Explicitando d p na definição de força e integrando
tf
d p = F dt
p f − p i = ∫ F dt
ti
À esquerda, temos a variação de momento linear, à direita, o integral que é
denominada impulso da força F no intervalo que vai de ti a tf.
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FÍSICA
Para o movimento em uma dimensão, quando uma
partícula se move sob a acção de uma força F , a
integral é a área sombreada sob a curva força-tempo.
Em muitas situações físicas empregamos a teoria do impulso. Nesta teoria, podemos
supor que uma das forças que actuam sobre a partícula é muito grande, porém, de
muito curta duração. Esta teoria é de grande utilidade quando estudamos os colisões,
por exemplo, de uma bola com uma raqueta ou com o pé. O tempo de colisão é muito
pequeno, da ordem de centésimos ou milésimos de segundo, e a força média que
exerce o pé ou a raqueta sobre a bola é de vários Newton (s). Esta força é muito maior
que a gravidade, por isto podemos utilizar a teoria do impulso. Quando utilizamos esta
teoria é importante recordar que os momentos lineares inicial e final se referem ao
instante antes e depois da colisão, respectivamente.
5.2 Dinâmica de um sistema de partículas
Seja um sistema de partículas. Sobre cada partícula actuam as forças externas ao
sistema e as forças de interacção mútua entre as partículas do sistema. Suponhamos
um sistema formado por duas partículas. Sobre a partícula 1 actua a força externa F 1
e a força que exerce a partícula 2, F 12 . Sobre a partícula 2 actuam a força externa F 2
e a força que exerce a partícula 1, F 21 .
Por exemplo, se o sistema de partículas fosse o formado pela Terra e Lua: as forças
externas seriam as que exerce o Sol (e o resto dos planetas) sobre a Terra e sobre a
Lua. As forças internas seriam a atracção mútua entre estes dois corpos celestes.
Para cada uma das partículas se cumpre que a razão da variação do momento linear
com o tempo é igual a resultante das forças que actuam sobre a partícula
considerada, logo, o movimento de cada partícula é determinado pelas forças internas
e externas que atuam sobre esta partícula.
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FÍSICA
Somando membro a membro e tendo em conta a
terceira Lei de Newton, F 12 =- F 21 , temos que
d ( p1 + p 2 )
= F1 + F 2
dt
dp
= Fext
dt
Onde p é o momento linear total do sistema e Fext é a resultante das forças externas
que atuam sobre o sistema de partículas. O movimento do sistema de partículas é
determinado somente pelas forças externas.
5.3 Conservação do momento linear de um sistema de partículas
Considere duas partículas que podem interagir entre si se, porém estão isoladas dos
arredores. As partículas movem-se sob sua interacção mútua porém não há forças
externas ao sistema.
A partícula 1 move-se sob a acção da força F 12 que
exerce a partícula 2. A partícula 2 move-se sob a acção
da força F 21 que exerce a partícula 1. A terceira lei de
Newton ou Princípio de Acção e Reacção estabelece que
ambas forças tem que ser iguais e de sinal contrário.
F 12 + F 21 = 0
Aplicando a segunda lei de Newton a cada uma das partículas
d p1 d p 2 d ( p1 + p 2 )
+
=
=0
dt
dt
dt
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FÍSICA
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O princípio de conservação do momento linear afirma que o momento linear total do
sistema de partículas permanece constante, se o sistema é isolado, logo, se não atuam
forças externas sobre as partículas do sistema. O princípio de conservação do
momento linear é independente da natureza das forças de interacção entre as
partículas do sistema isolado:
mu 1 + mu 2 = mv 1 + mv 2
Onde u 1 e u 2 são as velocidades iniciais das partículas 1 e 2, e v1 e v 2 as velocidades
finais destas partículas.
5.4 Colisões
Empregamos o termo de colisão para representar a situação na qual duas ou mais
partículas interagem durante um tempo muito curto. Supomos que as forças
impulsivas devidas a colisão são muito maiores que qualquer outra força externa
presente.
O momento linear total é conservado nas colisões. No entanto, a energia cinética não
se conserva devido a que parte da energia cinética se transforma em energia térmica e
em energia potencial elástica interna quando os corpos se deformam durante a
colisão.
Definimos colisão inelástica como a colisão na qual não se conserva a energia
cinética. Quando dois objectos que chocam e ficam juntos depois do choque dizemos
que a colisão é perfeitamente inelástica. Por exemplo, um meteorito que choca
contra a Terra.
Numa colisão elástica a energia cinética conserva-se. Por exemplo, as colisões entre
bolas de bilhar são aproximadamente elásticas. A nível atómico as colisões podem ser
perfeitamente elásticas.
A grandeza Q é a diferença entre as energias cinéticas depois e antes da colisão. Q
toma o valor zero nas colisões perfeitamente elásticas, porém pode ser menor que zero
se no choque se perde energia cinética como resultado da deformação, ou pode ser
maior que zero, se a energia cinética das partículas depois da colisão é maior que a
inicial, por exemplo, na explosão de uma granada ou na desintegração radioactiva,
parte da energia química ou energia nuclear converte-se em energia cinética dos
produtos.
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FÍSICA
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Coeficiente de restituição
Foi encontrado experimentalmente que numa colisão frontal de duas esferas sólidas
como as que experimentam as bolas de bilhar, as velocidades depois do choque estão
relacionadas com as velocidades antes do choque, pela expressão
onde e é o coeficiente de restituição e tem um valor entre 0 e 1, relação foi proposta
por Newton . O valor de um é para um choque perfeitamente elástico e o valor de zero
para um choque perfeitamente inelástico.
O coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade relativa de afastamento depois
do choque, e a velocidade relativa de aproximação antes do choque das partículas.
5.5 Centro de massa.
Até ao momento ignoramos as dimensões dos objectos. Veremos que para um corpo de
dimensão finita, o centro de massa comporta-se como uma partícula em termos da
sua dinâmica.
O Sistema de Referência do Centro de Massa (sistema-C) é especialmente útil para
descrever as colisões comparando com o Sistema de Referência do Laboratório
(sistema-L).
Movimento do Centro de Massas
Na figura, temos duas partículas de massas m1 e m2, como m1 é maior que m2, a
posição do centro de massas do sistema de duas partículas estará próxima da massa
maior.
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FÍSICA
Em geral, a posição r CM do centro de massa de um sistema de N partículas é a
posição média da massa do sistema.
N
N
∑ mi ri
r CM =
1
N
∑m
∑m r
i i
1
=
M
i
1
Em termos de componentes:
xCM =
yCM =
z CM =
N
1
1
(m1 x1 + m2 x 2 + ... + mn x n ) =
M
M
∑m x
1
1
(m1 y1 + m2 y 2 + ... + mn y n ) =
M
M
∑m y
1
1
(m1 z1 + m2 z 2 + ... + mn z n ) =
M
M
N
i
i
1
N
i
i
1
∑m z
i
i
1
Exemplo: Determine o Centro de massa de três partículas:
Centro de massa de corpos sólidos
Consideremos corpos com distribuição contínua de massa. Divide-se o corpo em
elementos de massa ∆mi com coordenadas xi , y i , z i .
xCM =
∑ x ∆m
i
i
M
Considerando o limite de elementos ∆mi tendente para ∞ :
xCM = lim
∆mi →0
∑ x ∆m
i
M
i
=
1
M
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∫ xdm
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FÍSICA
yCM =
1
M
∫ ydm
z CM =
1
M
∫ zdm
r CM =
1
rdm
M∫
Daqui se conclui que o centro de massa de corpos homogéneos e simétricos terá de
estar num eixo de simetria.
Se um objecto possui um ponto, linha ou plano de simetria, o centro de massa terá de
estar nesse ponto, linha ou plano.
Não é necessário que alguma partícula tenha de estar no centro de massa (ex, donut)
É frequentemente conveniente expressar a distribuição de massa em termos de
densidade local do elemento de volume.
dm = ρdv
r CM =
1
r ρdm
M∫
xCM =
1
M
∫ xρdv
yCM =
1
M
∫ yρdv
z CM =
1
M
∫ zρdv
Se a densidade for constante, então o centro de massa é frequentemente obtido pela
simetria do volume do objecto.
A velocidade do centro de massas vCM é obtida derivando com relação ao tempo
N
∑m v
i i
v CM =
1
=
N
∑m
p
M
i
1
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FÍSICA
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No numerador figura o momento linear total e no denominador a massa total do
sistema de partículas.
Da dinâmica de um sistema de partículas temos que:
O centro de massas de um sistema de partículas move-se como se fosse uma
partícula de massa igual a massa total do sistema sob a acção da força externa
aplicada ao sistema.
Num sistema isolado F ext = 0 o centro de massas move-se com velocidade
constante v CM = const .
O Sistema de Referência do Centro de Massas
Para um sistema de duas partículas,
A velocidade da partícula 1 relativa ao centro de massas é,
A velocidade da partícula 2 relativa ao centro de massas é,
No sistema-C, as duas partículas movem-se em direcções opostas.
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FÍSICA
6. ESTÁTICA
Como sabemos pelas leis de Newton, uma força aplicada a um corpo provoca
nesse corpo uma alteração da sua velocidade. Se tivermos mais que uma força, a
2ª lei de Newton permite escrever:
R = ∑ Fi = ma
i
Por outro lado, se o corpo estiver de alguma forma preso (como uma porta, por
exemplo) a força pode ter um outro efeito, que é o de provocar a rotação do corpo
em torno de um eixo que não intersecte a sua linha de acção e não lhe seja
paralelo. Esta tendência é chamada momento da força, em torno do eixo
considerado, sendo definido como:
M = ∑ M i = mα
i
6.1 Condições de equilíbrio de uma partícula
Diz-se que uma partícula está em equilíbrio de translação se a soma de todas
as forças que actuam sobre ela for zero, isto é:
∑ Fx = 0

R = ∑ Fi = 0 ⇒ ∑ Fy = 0
i
 F =0
∑ z
6.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido
Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é necessário que a soma vectorial
de todas as forças externas, assim como a soma vectorial dos respectivos
momentos, sejam nulos, isto é:
R = ∑ Fi = ma = 0
Equilíbrio de translação
i
M = ∑ M i = mα = 0
Equilíbrio de rotação
i
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FÍSICA
Estas duas equações vectoriais são equivalentes, no caso geral, a seis equações
escalares.
∑F
x
∑M
=0
i
x
=0
y
=0
z
=0
i
∑F
y
∑M
=0
i
i
∑F
z
∑M
=0
i
i
6.3 Momento de uma força
O
momento
de
uma
força,
F,
relativamente a um ponto O, é definido
como:
MO = r × F
Em que o módulo é dado por:
M 0 = r . F .senα = d .F
De acordo com as propriedades de produto vectorial, o momento de uma força é
representado por um vector perpendicular tanto a r como a F e cujo sentido é
dado pela regra da mão direita.
M O = r × F = rx
j
k
ry
rz
Fx
Fy
Fz
i
Se tanto r como F estiverem no mesmo plano, por exemplo Oxy, então temos:
M O = r × F = rx
j
k
i
j
ry
rz = rx
ry
0 = ( rx Fy − ry Fx )k
Fx
Fy
Fz
Fy
0
i
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Fx
k
61
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FÍSICA
Logo
e
F
M
estará ao longo do eixo dos zz’ e perpendicular ao plano formado por
r
(Oxy).
A partir da figura anterior verifica-se que o momento da força não varia quando
deslocamos a foca ao longo da sua linha de acção, dado que a distância d
permanece constante.
Binário
Um momento produzido por duas forçaS iguais e opostas e não colineares é
chamado binário.
As forças representadas na figura não podem ser combinadas numa única força,
porque a sua soma é nula, pelo que o seu efeito é o de produzir uma rotação.
O momento combinado das duas forças, relativamente a um eixo normal ao
plano que contém as duas forças, é:
M = F .( a + d ) − F .d = F .d
sendo independente de a.
O momento de um binário é representado por um vector livre
M
, perpendicular
ao plano do binário. O resultado é o mesmo seja qual for a origem do referencial,
por exemplo O1:
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FÍSICA
M = rA × F + rB × ( − F )
= ( rA − rB ) × F
=r×F
Como d é a projecção de
segundo a normal de
F
r
então
M = F .d
Sistema de forças
Uma força
F
que tende a fazer um corpo rodar em torno de um eixo que passe
por O e que não intersecte a linha de acção da força, é equivalente ao conjunto
de um força igual e paralela aplicada no eixo de rotação (momento nulo) e de um
binário (resultante nula) igual ao momento da força. Deste modo pode-se
efectuar a substituição de uma força por um sistema de forças equivalente de
uma força de um binário.
A força aplicada no ponto A, pode ser substituída pela força aplicada em O e pelo
binário
M = F .d .
Para um sistema de forças,
F1 , F2 , F3 ,..., Fn
no espaço, cada uma das forças pode
ser substituída do mesmo modo por um sistema força-binário.
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63
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FÍSICA
As força concorrentes podem ser adicionadas vectorialmente e todo o sistema de
forças pode ser substituído por uma resultante,
resultante,
M
R,
e por um momento
:
R = F1 + F2 + F3 + ... + Fn = ∑ Fi = Rx i + R y j + Rz k
i
M 0 = M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = ∑ ( ri × Fi )
i
Na tabela seguinte estão apresentadas algumas das reacções mais comuns em
apoios de ligação a duas dimensões.
Tabela 6.1 – Reacções nos apoios de ligação
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64
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FÍSICA
Exemplo 6.3.1
Ao içar a estaca na posição indicada a tracção T no cabo tem de suportar uma
momento em torno do ponto O 72Kn.m. Determine a intensidade de T.
7. TRABALHO E ENERGIA
O conceito de trabalho está associado ao conceito de energia: quando um
sistema realiza trabalho sobre outro, há uma transferência de energia de um
para outro sistema.
Em Física diz-se que uma partícula ou um sistema de partículas que tem a
capacidade de realizar trabalho possui energia. Esta grandeza física pode ter
várias formas.
Por exemplo, um homem ao puxar um objecto gasta energia química do seu
organismo que é transformada em movimento desse objecto (energia cinética) e
em energia térmica (consequência do atrito entre o objecto e o chão).
7.1 Trabalho de uma força
Existe trabalho produzido por uma força num dado corpo quando:
O ponto de aplicação da força se desloca
Existe uma componente da força ao longo da trajectória do movimento (apenas
esta efectua trabalho).
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65
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FÍSICA
O trabalho realizado pela força
deslocamento
dr
F
quando o seu ponto de aplicação efectua um
é definido pelo produto escalar:
dW = F .dr = F .ds .cos θ = Ft ds
unidade SI: Nm = J (Joule)
O trabalho total realizado pela partícula no trajecto AB é a soma de todos os
trabalhos
infinitesimais
realizados
durante
os
sucessivos
deslocamentos
infinitesimais:
B
W AB = ∫ F .ds = ∫ Ft .ds
B
A
⇔
A
Se a força que actua no corpo é constante em direcção e sentido, o movimento do
corpo é rectilíneo.
B
W AB
B
= ∫ F .ds = ∫ Ft .ds = F × cos θ × ( s A − s B ) ⇔ W AB = F × cos θ × ∆s
A
A
Quando várias forças ( F1 , F2 ,..., Fn actuam num corpo o trabalho total,
W total ,
é
soma dos trabalhos produzidos por cada força, ou é o trabalho da força
resultante
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FÍSICA
B B B B
Wtotal = ∫ F1 .ds + ∫ F2 .ds + ... + ∫ Fn .ds = ∫ Fresul tan te .ds
A
A
A
A
Exemplo 7.1.1
Uma força
Fx
varia com a posição como se
mostra na figura. Calcule o trabalho realizado
pela força sobre uma partícula quando esta se
move desde
A força
x=0
até
x=6
cm.
F , é dada por:
0 < x < 4 ⇒ F = 5( N )

4 < x < 6 ⇒ F = 15 − 2 ,5 x( N )
O trabalho é então
W0→4 = ∫ 4 5dx = 5 × ( 4 − 0 ) = 20( J )

0

6
2 6
W4→6 = ∫4 ( 15 − 2 ,5 x )dx = [15 x − 1,25 x ]4 = 5( J )
⇒ Wtotal = W0→6 = 25( J )
7.2 Trabalho e Energia cinética. Teorema da energia cinética
A figura mostra um objecto que se move sem atrito numa superfície horizontal,
sob a acção de uma força
F.
Se a força
F
actua no objecto, este vai adquirir
aceleração, de acordo com a 2ª lei de Newton (a sua velocidade é alterada):
∑F
i
i
∑ Fx = ma x
 F = ma
= ma ⇔ 
⇔
N − P = 0
∑ Fy = ma y
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FÍSICA
a=
sabendo que:
Trabalho realizado entre
W1→2
dv dv dx dv dx dv
= . = . = v
dt dt dx dx dt dx
x1
e
x2 :
v2
1
1
v2 
= ∫ Fdx = m ∫ adx = m ∫ vdv = m   = mv22 − mv12 = Ec2 − Ec1
2
x
x
v
 2 v 2
x2
x2
v2
1
1
1
1
Teorema da energia cinética:
O trabalho total exercido sobre uma partícula é igual à variação da sua
energia cinética:
cinética
W Atotal
− E Acinética
→ B = ∆Ec = E B
Exemplo 7.2.1
Um esquimó puxa um trenó de massa 80 kg
com uma força de 180 N, numa direcção de
20º com a horizontal.
a)
Qual o trabalho realizado pelo esquimó.
b)
Qual a velocidade que o trenó terá ao fim
de se deslocar 5 m a partir do repouso.
7.3 Energia potencial associada a uma força conservativa: energia potencial gravítica e
elástica
Por vezes o trabalho realizado pelas forças sobre um sistema não aumenta a
energia cinética do sistema, mas a energia fornecida é armazenada na forma de
energia potencial. A energia potencial de um sistema representa a capacidade
de esse sistema realizar trabalho por causa da sua configuração.
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FÍSICA
Forças conservativas
Se o trabalho realizado por uma força para mover um corpo entre duas posições
é independente da trajectória do movimento, a força é chamada conservativa.
W A→ B ( 1 ) = W A→ B ( 2 )
1
Exemplos de forças conservativas:
Força gravítica
Força elástica
2
O trabalho de uma força conservativa é igual ao negativo da variação da energia
potencial associado a esta força,
∆E p :
rB
E (B)
W = ∫ F .dr = − ∫E ( A ) dE P = E p ( A ) − E p ( B )
p
rA
p
F .dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
Então:
F .dr = − dE P
Logo:
Fx dx + Fy dy + Fz dz = −dE p
mas
Concluímos assim que, para uma fora conservativa, temos:
dE p

F
=
−
 x
dx

dE
dE p = − F .dr ⇒  Fy = − p
dy

dE p

F
=
−
z

dz
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FÍSICA
Energia potencial gravítica
Consideremos o seguinte exemplo:
Um homem levanta um haltere, mantendo a
velocidade constante, durante o levantamento
O homem realiza trabalho, mas a energia
cinética do haltere não aumentou. Mas se
homem sair o haltere vai “ganhar” emergia
cinética.
Considerando apenas as forças aplicadas no haltere:
Se v = K ⇒ a = 0 ⇔ ∑ F = 0 ⇔ Fhom em + Phaltere = 0
Se
∑F = 0 ⇒W
total
= 0 ⇒ ∆Ecinética = 0
Considerando o sistema Terra - haltere:
O homem realiza trabalho sobre o sistema, então o trabalho realizado pelo
homem tem que ser igual à variação da energia do sistema. Nesta caso o sistema
não ganha “energia cinética”, mas sim “energia potencial.
∆Esistema = W forças exteriores = Fhom em × ∆s
Sabe-se que
a haltere = 0 ⇒ ∑ Fhaltere = 0 ⇔ −mg + Fhom em = 0
 Fhom em = mg
⇒ ∆E sistema = mgh

∆
s
=
h

A energia potencial gravítica de uma partícula com massa m é a energia que a
partícula possui devido à posição em relação à Terra. A definição de energia
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FÍSICA
potencial gravítica implica que se escolha uma posição de referência para a qual
a energia potencial é nula.
Exemplo 7.3.1
Consideremos o movimento de uma bola de
massa m muito próxima da superfície terrestre,
onde
a
aceleração
g
é
aproximadamente
constante. Quando o trabalho realizado pela força
gravítica quando a bola sobe?
W peso
sf
h
= ∫ Pds = ∫ − ( mg )dy = −mg ( h f − h0 )
f
s0
h0
W peso = −mg × ∆h ⇔ W peso = −∆E p
Podemos assim concluir que quando o corpo sobe.
A força gravítica realiza um trabalho negativo
O sistema “ganha” energia potencial
Para que o sistema ganhe energia, tem que haver uma força exterior a
realizar trabalho sobre o sistema
Energia potencial elástica
Como já foi dito atrás as molas obedecem à lei de Hooke:
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FÍSICA
Fel = K∆x
F − força que dá origem à deformação
K − constante da mola
∆x − desocamento da mola em relação à sua posição de equiíbrio
O trabalho realizado pela mola quando se desloca da posição de equilíbrio x0
para a posição x1 é dado por:
x1
Wmola
x
= ∫ Fmola .dx = ∫ − k .x.dx
1
x0
x0
x1
1
1
1 
Wmola = −k  x 2  = kx02 − kx12 = E pe ( 0 ) − E pe ( 1 )
2
2 x 2
0
A energia potencial elástica de uma mola é uma força conservativa, sendo igual
ao trabalho que essa mola realizaria quando regressa à sua posição de equilíbrio:
1
E pe = kx2
2
onde k é a constante da mola e x a sua deformação.
Curvas de Energia Potencial (em movimento unidimensional)
A figura representa um sistema constituído por
uma mola de constante k ligada a um bloco. Como
varia a energia potencial com a posição?
Aplicando a relação anterior, entre força e a energia potencial associada:
Fx = −
dE p
dx
⇔ −kx = −
dE p
dx
⇔ dE p = kxdx
Integrando entre a posição de equilíbrio,
x = 0,
e uma posição x arbitrária,
obtemos
Ep
x
1 2
1 2 
∫0 dE p = ∫0 kxdx ⇔ E p = k  2 x  = 2 kx
0
x
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FÍSICA
Podemos representar esta função graficamente:
Na posição de equilíbrio a força que actua na
partícula é nula, porque quando
x=0
(posição de
equilíbrio), a derivada da energia potencial é nula.
O
equilíbrio
é
estável
porque
um
ligeiro
afastamento da partícula da posição de equilíbrio
tem como resultado uma força que tende a
restabelecer o equilíbrio.
O equilíbrio é instável, pois qualquer pequeno
deslocamento tem como resultado uma força que
acelera a partícula para fora do equilíbrio.
7.4 Forças não conservativas
Uma força é não conservativa quando o trabalho realizado depende da trajectória
do movimento. Um exemplo típico de uma força não conservativa é a força de
atrito.
WF0→2 = WF0→1 + WF1→2
at
W
0→ 2
Fta
= − Fat ( x2 − x0 )
≠
W
0→ 2
Fat
at
at
= − Fat ( x0 − x1 ) − Fat ( x2 − x1 )
WF0→2 = − Fat ( x0 + x2 − 2 x1 )
at
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FÍSICA
O trabalho da força de atrito entre o ponto x0 e x2 depende do percurso logo a
força de atrito é uma força não conservativa
Suponhamos que actuam na partícula forças conservativas,
conservativas,
F1c , F2c ,..., Fnc , e não
F1nc , F2nc ,..., Fnnc . Pelo teorema da energia cinética sabemos que
∆Ec = Wtotal = W ( F1c ) + W ( F2c ) + ... + W ( Fnc ) + W ( F1nc ) + W ( F2nc ) + ... + W ( Fnnc )
Para cada força conservativa tem-se:
W ( Fi c ) = −∆E p
i
Conclui-se então que a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das
forças não conservativas.
∆Ec = −∆E p − ∆E p − ... − ∆E p + W ( F1nc ) + W ( F2nc ) + ... + W ( Fnnc )
1
2
n
∆( Ec + E p + E p + ... + E p ) = W ( F1nc ) + W ( F2nc ) + ... + W ( Fnnc )
1
2
n
ΔE mecânica = W(F )
+ W(F2nc )
+ ... + W(Fnnc )
nc
1
7.5 Lei da conservação da Energia Mecânica
Se num sistema, estiver uma partícula e sobre ela actuar só uma força
conservativa:
WF

WF
consevativa
= −∆E potencial
consevativa
= ∆Ecinética
⇒ −∆E p = ∆Ec
Lei da conservação da Energia Mecânica
A energia total sobre um sistema permanece constante se a única força que
realiza trabalho sobre o sistema for uma força conservativa:
∆E p + ∆Ec = 0 ⇔ ∆( E p + Ec ) = 0
⇒
∆Emecânica = 0 ⇒ Emecânica = constante
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FÍSICA
Exemplo 7.5.1
O sistema da figura é utilizado para lançar
blocos ao longo de uma superfície com
atrito. Relacione o trabalho realizado pelo
atrito com a variação da energia mecânica.
Neste exemplo temos três tipos de forças:
elástica, atrito e gravítica.
O trabalho realizado será:
1
1

Wtotal = WF + WF + WF = ( mghi − mgh f ) +  kxi2 − kx 2f  + WF
2
2

g
e
a
a
Usando o teorema da energia cinética podemos escrever:
1 2 1 2
1
mv f − mvi == mg ( hi − h f ) + k ( xi2 − x 2f ) + WF
2
2
2
f
f
f
i
f
i
WF = ( Ec + E pg + E pe ) − ( Ec + E pgi + E pei ) = E mecânica
− E mecânica
a
a
Exemplo 7.5.2
Um motociclista salta um vale
descrevendo
mostrada.
a
trajectória
Desprezando
a
resistência do ar, calcule o
módulo da velocidade da moto
quando esta atinge o solo.
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FÍSICA
7.6 Potência
A potência traduz o trabalho que é realizado por unidade de tempo.
Se a quantidade de trabalho, W, é realizada no intervalo de tempo,
potência média,
P=
∆t ,
a
P , é definida como:
W
∆t
Se o trabalho, W, é expresso como função do tempo, a potência instantânea, P,
desenvolvida em qualquer instante é definida como:
P=
dW
dt
Unidade SI: joule/s= watt (W)
Se o trabalho for realizado por uma força constante:
dW dr
dW = F .dr ⇒ P =
= F.
dt
dt
P = F .v
ou seja,
Exemplo 7.6.1
Um automóvel acelera de o a 96 km/h em 6,5 s.
a) Qual a potência do automóvel
b) Quanto demorará a acelerar desde 80 km/h até 112 km/h
Exemplo 7.6.2
Calcule a potência desenvolvida pelo motor de automóvel ao subir uma rampa de
5º de inclinação, com uma velocidade constante de 36 km/h. Considere a massa
do automóvel igual a 1200 kg. Despreze os efeitos do atrito.
Se
v = cte ,
então
FR = 0 ,
logo
Wtotal = 0
Wtoatl = WP + WF
0 = −∆E pg + WF
=∆
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=
−
76
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FÍSICA
P=
dWF
dy
= mg
= mgv y = mg .senα = 1.033 × 10 4 W
dt
dt
Eficiência mecânica ou rendimento
Chama-se eficiência ou rendimento ( η ) à razão entre o trabalho realizado por
uma máquina e a energia que é necessária fornecer à máquina para que ela
realize esse trabalho.
η=
P
Trabalho realizado pela máquina
W
=
= util
Energia fornecida à máquina
Emecânica Ptotal
Em qualquer máquina, a energia gerada geralmente não é toda utilizada para
produzir um dado trabalho, pois há sempre dissipação de energia ( η < 1 ). As
forças de atrito realizam trabalho que é dissipado sob a forma de calor, Q.
Emecânica = W + Q
Exemplos
A energia química do combustível apenas é utilizada em 25 % (75 % é
dissipado como calor).
Os músculos que utilizam energia química também têm
η = 25% .
7. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Um caso particular de movimento ocorre quando a força aplicada sobre um corpo
é proporcional ao deslocamento do corpo em relação à sua posição de equilíbrio.
Se essa força actuar sempre na direcção da posição de equilíbrio do corpo,
provocará um movimento repetitivo, de vai e vem em torno dessa posição. Este
tipo de movimento denomina-se periódico ou oscilatório. Uma oscilação ocorre
quando um sistema em equilíbrio estável é perturbado, de modo que este oscila
em torno da sua posição de equilíbrio.
Exemplos deste tipo de movimento são:
Oscilações de um barco nas ondas
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Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
Oscilações do pêndulo de um relógio
Vibrações de instrumento musical de cordas
Vibrações das moléculas do ar, quando o som se propaga
Movimentos das moléculas de um sólido em torno das suas posições de
equilíbrio
7.1 Movimento Harmónico Simples
No movimento harmónico simples, um corpo oscila entre duas posições
espaciais, durante um intervalo indefinido de tempo, sem perda de energia
mecânica. Contudo, nos sistemas mecânicos reais estão sempre presentes forças
retardadoras (ou de atrito). Estas forças reduzem a energia mecânica do sistema
à medida que o movimento avança e as oscilações são amortecidas.
O estudo de um movimento pode ser feito de duas perspectivas diferentes:
Estabelecer as “leis do movimento” partindo da observação e depois tentar
perceber porque as características do movimento.
Ver primeiro quais são as forças aplicadas ao sistema e a partir da
segunda lei de Newton estabelecer as lei do movimento
Características do Movimento Harmónico Simples
Seguindo a 1ª opção, vamos observar o movimento:
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78
Ano lectivo 2010/2011
FÍSICA
⇒ O corpo oscila em torno
da posição de equilíbrio
( x = 0)
⇒ O número de oscilações
por segundo é constante –
frequência.
⇒ O movimento é periódico –
período.
⇒
O corpo oscila entre duas
posições
extremas,
igualmente espaçadas em
relação
à
posição
de
equilíbrio –amplitude.
Equação do movimento
A variação da posição em função do tempo segue uma lei do tipo sinusoidal. Pode
ser escrita por:
 2π

x( t ) = Asen .t + c 
T

Observemos que A, a amplitude do movimento, é simplesmente o deslocamento
máximo da partícula na direcção de x positiva ou negativa, isto é,
x( t )
varia
entre A (quando sen = 1) e –A (quando sen =-1).
Verifique-se que
w=
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2π
= 2πf
T
é a frequência angular.
79
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FÍSICA
Se
t = 0 → x( t ) = Asen( c ) , c = φ 0
movimento. A grandeza
indica a posição em que o corpo inicia o
( wt + φ 0 ) é a fase do movimento. Repara-se que a unção
x(t) é uma função periódica, pois repete-se sempre w aumenta
2π
radianos.
O período T, é o intervalo de tempo necessário para a partícula descrever um
ciclo completo do seu movimento. Isto é, as posições, x(t) nos instantes t=T , t=2T,
t=3T,…, são iguais.
Se no movimento periódico a posição da partícula é descrita por uma expressão
do tipo:
x( t ) = A.sen( wt + φ 0 )
diz-se que o movimento é harmónico simples (MHS).
Velocidade e aceleração em função do tempo
Posição:
Velocidade:
x( t ) = Asen( wt + φ 0 )
v( t ) =
dx
dt
v( t ) = wA cos( wt + φ 0 )
Aceleração
a( t ) =
dv
dt
a( t ) = − w 2 A cos( wt + φ 0 )
a( t ) = − w 2 x( t )
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FÍSICA
Aplicação da 2ª lei de Newton
Vamos prever o movimento a partir das forças aplicadas:
Consideremos um corpo ligado a
uma mola, que oscila quando é
afastado da posição de equilíbrio
Na posição de equilíbrio a mola não exerce nenhuma força sobre o corpo,
F =0.
Quando o corpo é deslocado, uma pequena distância em relação à posição de
equilíbrio, a mola exerce uma força que aumenta à medida que o seu
afastamento, x aumenta. Esta força é dada pela lei de Hooke:
F = −kx
E tem as seguintes características:
actua na direcção do eixo da mola
tem sempre o sentido contrário ao deslocamento
é proporcional ao deslocamento
Forças
aplicadas
sobre
o
corpo:
P –Peso
N – reacção normal da mesa
sobre o corpo
F – força que a mola exerce
sobre o corpo
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FÍSICA
Aplicando a 2ª lei de Newton:
yy’
⇒ N − P = m.a y = 0
xx’
⇒ F = −k .x = m.a x ⇔ a x = −
k
x
m
Vemos assim que a aceleração não é constante:
tem sentido contrário ao deslocamento
é proporcional ao deslocamento
é nula na posição de equilíbrio
é máxima nos extremos (quando x é máximo)
Vamos agora descrever o movimento de maneira quantitativa. Recordemos que,
dv d 2 x
a=
=
, então:
dt dt 2
d 2x
k
d 2x k
=− x⇔ 2 + x=0
dt 2
m
dt
m
Equação diferencial do MHS
É necessário encontrar a solução da equação diferencial, isto é, uma função
x=f(t), que satisfaça a equação diferencial de 2ª ordem.
Se
 dx
 dt = wa.cos(wt + φ0 )
x = a.sen( wt + φ 0 ) ⇒  2
d x
 2 = − w 2 a .sen( wt + φ 0 ) = − w 2 x
 dt
Substituindo na equação diferencial, vem.
− w2 x = −
k
k
x , verdadeira desde que w =
m
m
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FÍSICA
Então:
 k

x( t ) = a .sen
.t + φ 0 
 m

é solução
Podemos assim concluir que a frequência angular depende das características do
oscilador, isto é:
w=
2π
k
=
T
m
Pêndulo Simples
O pêndulo simples é um outro sistema mecânico que exibe movimento periódico,
oscilatório. É constituído por uma massa m pendurada num fio de massa
desprezável, de comprimento L, que tem a extremidade fixa como mostra a
figura. O movimento ocorre num plano vertical e ocorre provocado pela força de
gravidade.
Forças que actuam sobre a massa: Tensão, Peso
Aplicando a 2ª lei de Newton:
F
=
m
a
⇔
T
+ P = ma
∑
Na direcção tangente ao movimento:
− Psenθ = mat ⇔ − mgsenθ = mat
mas
at = α.L , então:
− mgsenθ = m.α.L ⇔ − gsenθ = α.L
Sabe-se que
d 2θ
α = 2 , logo:
dt
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− gsenθ = L
d 2θ
d 2θ g
⇔
+ senθ
dt 2
dt 2 L
Não se trata de uma equação diferencial de 2º grau logo o movimento não é um
movimento harmónico simples. Se admitirmos, que
usar a aproximação
senθ = θ ,
onde
θ
θ
seja pequeno podemos
está em radianos. A equação do
movimento fica:
d 2θ g
+ θ=0
dt 2 L
Temos assim uma equação diferencial que tem a mesma forma que no caso
apresentado anteriormente, e então concluímos que o movimento é um
movimento harmónico simples. A solução da equação diferencial é do tipo:
θ( t ) = θ 0 sen( wt + φ 0 )
onde
θ0 ,
é o deslocamento angular máximo, e a frequência angular e o período
do movimento são dados por:
w=
g
L
T=
e
2π
L
= 2π
w
g
Ou seja, a equação que traduz a posição do pêndulo em cada instante é:
θ( t ) = θ 0 sen(
g
t + φ0 )
L
7.2 Energia do Oscilador Harmónico Simples
Calculemos o trabalho realizado pela força exercida pela mola sobre o corpo, F,
quando o corpo se move entre as posições xA e xB.
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FÍSICA
x
x
x
x2
x2
 x2 
W AB = ∫ F .dr = − ∫ kxi .dxi = − ∫ kx.dx = − k   = − k B + k A
2
2
x
x
x
 2 x
1
W AB = k ( x A2 − x B2 )
2
xB
B
B
A
A
A
B
A
Energia potencial elástica
Se
1
WAB = k ( x A2 − xB2 )
2
o trabalho realizado pela força elástica não depende do
caminho percorrido, mas apenas das posições inicial e final, então a força
elástica é uma força conservativa. Podemos então definir Energia Potencial
elástica (EP) de uma partícula de massa m, colocada num ponto A de elongação x:
1
E p (A) = k.x a2
2
Energia cinética
Sabe-se que
Mas
1
Ecinética = mv 2
2
v( t ) = wA cos( wt + φ 0 )
1
Ec = mw 2 A 2 cos 2 ( wt + φ 0 )
2
1
Ec = mw 2 A 2 [1 − sen 2 ( wt + φ 0 )]
2
1
1
1
Ec = mw 2 A 2 − mw 2 A 2 sen 2 ( wt + φ 0 ) = k .[A 2 − x 2 ]
2
2
2
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FÍSICA
Energia mecânica
Durante o movimento a energia mecânica é conservada:
E potencial + Ecinética = cons tan te
1 2 1 2
kx + mv = cons tan te
2
2
Exemplo 7.2.1
Um corpo de massa 4 kg oscila sobre um plano horizontal, ligado a uma mola
elástica (k=40 N/m). O corpo foi deslocado 10 cm para a direita da posição de
equilíbrio e abandonado. Calcule:
a) a equação diferencial do movimento
b) a equação que define a posição do corpo em qualquer instante
c) a amplitude, a frequência e o período do movimento
d) a velocidade máxima e a aceleração máxima
e) a energia cinética e energia potencial quando o corpo está a 5 cm afastado da
posição de equilíbrio.
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FÍSICA
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8. MECÂNICA DOS FLUIDOS
O que determina o estado físico – sólido, líquido, gasoso – em que a matéria se
encontra, é a grandeza das forças internas, que os seus átomos ou moléculas exercem
uns sobre os outros.
Apesar destas diferenças entre líquidos e gases é possível encontrar um conjunto
apreciável de propriedades comuns a ambos. Designam-se vulgarmente por fluidos o
conjunto de líquidos e gases.
Um fluido é uma substância que não apresenta forma própria e estando em repouso
não resiste a esforços tangenciais por menores que estes se apresentem, o que
equivale a dizer que a mesma se deforma continuamente. Conformam-se com as
fronteiras de qualquer recipiente, dado que não conseguem suster qualquer força
tangencial à sua superfície. Contudo podem exercer uma força na direcção
perpendicular à sua superfície, como vamos ver.
O termo fluido inclui líquidos e gases, que diferem notavelmente nas suas
compressibilidades: um gás é facilmente comprimido, enquanto um líquido é
praticamente incompressível.
8.1 HIDROSTÁTICA
8.1.1 Massa volúmica
A massa volúmica de uma substância, ρ , de um material homogéneo, é definida como
a sua massa por unidade de volume ρ = m / V . É uma grandeza escalar cuja unidade,
no sistema SI, é kg.m-3.
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FÍSICA
8.1.3 Pressão
Define-se pressão (sobre uma superfície),
p , como sendo a força exercida,
perpendicularmente a essa superfície, por unidade de área.
p=
dF
dA
A pressão é uma grandeza escalar cuja unidade, no Sistema Internacional, é o N/m2
que tem o nome de Pascal, Pa. É ainda utilizada, especialmente para fluidos o bar cuja
relação com o Pascal é de 1bar = 10 5 Pa .
Relações entre unidades de pressão:
1, 01×105 N / m −2 = 760mmHg = 760Torr = 1atm
Pressão num fluido – pressão hidrostática devida ao seu próprio peso.
Consideremos um elemento de fluido com a forma de um lâmina com espessura, ∆y ,
e área, A .
A força exercida sobre esse elemento de fluido que o envolve é em qualquer ponto
normal à sua superfície. Por simetria a resultante nos bordos laterais é nula (anulamse as forças horizontais).
A força para baixo exercida sobre a sua face inferior é dada por:
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FÍSICA
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Fdown = p. A + ∆m.g = p. A + ρ .( A.∆y ).g
A força para baixo, é dada por:
Fup = ( p + ∆p ). A
Como o elemento de fluido está em equilíbrio, a força resultante que actua sobre ele é
nula:
FT = Fup − Fdown = ( p + ∆p ). A − p. A − ρ .( A.∆y ).g = 0
O que equivale a:
∆p
= ρ .g
∆y
lim
∆y →0
∆p dp
=
= ρ .g
∆y dy
Integrando a equação anterior temos a pressão absoluta:
p = p0 + ρ .g . y
Esta equação traduz o Teorema de Stevin ou Lei Fundamental da Hidrostática.
Teorema de Stevin – A diferença de pressão entre dois pontos quaisquer de um
líquido em equilíbrio é numericamente igual ao valor do peso de uma coluna de líquido
com altura igual à diferença de nível entre os pontos e área unitária.
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8.1.4 Consequência da Lei Fundamental da Hidrostática
Vasos comunicantes
De acordo com a lei fundamental da hidrostática os pontos A, B e C estão à mesma
pressão uma vez que se encontram ao mesmo nível.
p A = pB = pC
Designando p0 , a pressão atmosférica,
p A = pB = pC = p0 + ρ .g .∆h
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FÍSICA
Vasos comunicantes contendo líquidos imiscíveis
Consideremos um sistema de vasos comunicantes que contém líquidos imiscíveis, de
massas volúmicas, ρ A e ρ B . Sabendo que a maior densidade é a que fica no fundo,
ρ A < ρ B . Como nos pontos A e B estão ao mesmo nível e pertencem ao mesmo líquido,
temos:
p A = pB
p0 + ρ A .g .hA = p0 + ρ B .g .hB
ρ A .hA = ρ B .hB
Da análise permite-nos concluir o seguinte:
•
Se as massas volúmicas dos líquidos são diferentes, então a altura das colunas
de líquidos correspondentes são também diferentes;
•
A superfície do líquido de menor massa volúmica encontra-se a um nível
superior.
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8.1.5 Medição da pressão
8.1.5.1 Barómetro de Mercúrio (Evangelista Torricelli, 1974)
Torricelli, no século XVII descobriu como determinar a pressão atmosférica. A
experiência consistiu em inverter um tubo de vidro cheio de mercúrio numa tina de
vidro com mercúrio. Torricelli observou que o nível do mercúrio desceu até uma altura
de h = 760 mm, relativamente à superfície livre do líquido na tina. Daí concluiu que a
pressão atmosférica actuante na superfície livre do líquido ( p A = pB = p2 ) seria
equivalente a 760 mm de Hg (mecúrio).
p2 = p1 + ρ mercúrio .g .h = 0 + ρ mercúrio .g .h = 13600 × 9, 8 × 0, 760
p = 1, 013 ×105 Pa
Desta experiência podemos verificar que a altura do líquido varia na razão directa da
pressão atmosférica.
Repare que para uma determinada pressão, a altura da coluna de mercúrio é
independente do diâmetro do tubo.
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8.1.5.2 Manómetro de Tubo Aberto
O tipo mais simples de medidor de pressão é p manómetro de tubo aberto. Este tipo
de manómetro mede pressão de um gás. Consiste num tubo em U contendo um
líquido de densidade conhecida (água corada, ou mercúrio), com uma das
extremidades desse tubo ligado ao tanque onde desejamos medir a pressão ( p2 ) do gás
e a outra extremidade aberta à pressão atmosférica ( p1 = patm ). Quando a pressão no
tanque for igual à pressão atmosférica os níveis do líquido em ambos os lados do tubo
são iguais. Há medida que a pressão no tanque sobe acima da pressão atmosférica o
nível da pressão na parte esquerda do tubo é empurrado para baixo, subindo
correspondentemente do lado direito.
p2 = p1 + ρlíquido .g .h
8.1.6 Lei de Pascal
A
h
B
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Supondo que na superfície livre de um líquido se exerce um pressão, p A , a pressão em
B é dada por:
pB = p A + ρ .g .h
Se com um êmbolo aumentarmos a pressão em A, uma quantidade ∆p , como um
líquido é praticamente incompressível, não haverá variação da altura h . A pressão em
A passará a ser:
p A´ = p A + ∆p
A nova pressão em B, pB ' :
p B ' = p B + ∆p
Lei de Pascal – Uma variação da pressão num ponto de um líquido transmite-se
integralmente a todos os pontos desse líquido.
∆p1 = ∆p2
Exemplos de aplicação da lei de Pascal:
•
Tubo de pasta de dentes;
•
Macaco hidráulico;
•
Braços pneumáticos em maquinaria;
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Princípio de Pascal – Funcionamento da Prensa Hidráulica
Considerando o caso de um fluido incompressível, se uma força F1 actuar para baixo
na parte esquerda sobre um pistão de área A1 , dado que esta pressão externa se
propaga integralmente a todo o fluido e suas paredes, como consequência na parte
direita vai-se fazer sentir sobre o pistão de área A2 uma força de sentido contrário F2 .
A variação de pressão de um lado é idêntica à do outro.
Logo temos:
∆p =
F1 F2
A
=
⇔ F2 = F1 2
A1 A2
A1
Dado que A2 > A1 ⇒ F2 > F1
Se o pistão da esquerda descer de uma altura d1 , o pistão da direita sobe, d 2 , é-lhe
proporcional dado que o volume de fluido deslocado é constante:
V = A1.d1 = A2 .d 2 ⇒ d 2 =
A1
d1
A2
Daí que o pistão da direita sobe menos do que o da esquerda desce.
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8.1.7 Flutuação de corpos em fluidos – Princípio de Arquimedes
Alguns corpos ao serem introduzidos num líquido ficam em equilíbrio no interior do
líquido. Isto leva-nos a concluir que há uma força exercida pelo líquido sobre o corpo
que nestas condições anula a força do peso. Esta força designa-se por – impulsão do
líquido – I.
Consideremos um bloco de uma material de volume, V = A.h , e densidade ρ ,
parcialmente imerso em água (densidade ρ w ).
Nas bases do corpo, o líquido exerce forças de pressão com resultantes, Fup e Fdown . As
forças laterais que se exercem nas paredes do corpo anulam-se aos pares.
A força para cima é devida à pressão:
p = p0 + ρ w .g . y
Logo: Fup = p. A = p0 . A + ρ w .g . y. A
A
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FÍSICA
A força para baixo ( Fdown ), tem duas
componentes, a pressão atmosférica e o peso
do bloco:
Fdown = p0 . A + ρ .g .h. A
Logo:
Ftotal = Fdown − Fup = ρ .g .h. A − ρ w .g . y. A
Uma vez que o bloco está em equilíbrio:
Ftotal = 0
Logo, para flutuar:
ρ .g.h. A = ρ w .g. y. A
Isto é:
ρ h
=
ρ
y
w
h - altura do corpo
y - profundidade do corpo imerso
Força de Impulsão:
I = ρ w .g . y. A = ρ w .g .VI
Vi - volume do corpo imerso
O princípio de Arquimedes diz que todo o sólido imerso num líquido, sofre uma força
de impulsão, de baixo para cima, igual ao peso do fluido deslocado.
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Exemplo de aplicação
Uma tina rectangular, feita de cimento, tem um comprimento l = 1 m, uma largura
w = 80 cm, uma altura d = 60 cm e uma massa M = 200 kg. A tina flutua num lago.
Quantas pessoas de massa m = 80 kg cada, podem entrar na tina sem que esta se
afunde?
Peso total:
Fg = ( M + n.m).g
Impulsão máxima:
I = ρ .(l.w.d ).g
I = Fg ⇔ ρ .(l.w.d ).g = ( M + n.m).g
Logo,
n=
ρ .l.w.d − M
m
n = 3.5 ≈ 3 pessoas
8.2 HIDRODINÂMICA
8.2.1 Introdução
A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento.
É um dos capítulos mais difíceis da Física porque, embora cada partícula do fluido
siga leis simples, como as leis de Newton, o enorme número de partículas envolvido
torna impraticável esta via do estudo. Felizmente, muitas situações de importância
prática podem ser representados por modelos ideais que são suficientemente simples
para poderem ser entendidos.
Devemos começar por dividir os fluidos em ideais e reais. Um fluido ideal é
incompressível e não apresenta forças internas de atrito ou seja, forças de viscosidade.
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A hipótese de incompressibilidade é uma boa aproximação quando se trata de
líquidos, e, em algumas circunstâncias, por gases se o movimento não envolver
grandes diferenças de pressão.
Os fluidos compressíveis e que apresentam forças de viscosidade serão os fluidos
reais.
8.2.1 Fluidos ideais
Define-se uma linha de fluxo como sendo a trajectória percorrida por um elemento
dum fluido em movimento. Em geral a velocidade varia em direcção e módulo ao longo
dessa trajectória.
Se, considerando um dado um dado ponto dessa trajectória, todos os elementos
seguinte que por lá passa, tiverem a mesma velocidade, o fluxo do fluido diz-se
estacionário. Isto significa que a velocidade das partículas de fluido é sempre a mesma
num dado ponto do espaço embora possa variar de ponto para ponto.
Definimos linha de corrente como a linha que em cada ponto do espaço é tangente à
trajectória, isto é, à direcção das partículas que por aí passam.
Quando o movimento é estacionário as linhas de corrente coincidem com as linhas de
fluxo.
O conjunto de linhas de corrente que passam tangenciando um elemento de área,
denomina-se tubo de corrente.
O modo como um fluido se desloca muitas vezes referido como regime de escoamento
pode classificar-se de duas maneiras.
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Regime laminar – é um regime de escoamento em que as camadas de fluido deslizam
umas sobre as outras. Este tipo de escoamento pode ser representado por um
conjunto regular de linhas de corrente que se mantém estável no tempo.
Regime turbulento – é caracterizado pela ausência de um mapa de linhas de corrente
estável e surge quando o fluido se desloca a altas velocidades ou quando no seu
percurso aparecem obstáculos que provocam variações de velocidade bruscas e o fluxo
se torna irregular.
Há duas equações básicas na Dinâmica dos fluidos, a equação da continuidade e o
teorema de Bernoulli.
8.2.3 Equação da continuidade
Num fluido ideal o volume de fluido que atravessa qualquer secção recta por unidade
de tempo (caudal) é constante. Isto significa simplesmente que há conservação de
massa do fluido, não se criando, nem se perdendo, fluido em nenhum ponto ao longo
do trajecto.
Para traduzir matematicamente esta constatação, imaginemos um fluido ideal que se
escoa ao longo do tubo representado na figura. Sejam A1 e A2 as áreas das secções
rectas em duas partes distintas do tubo. As velocidades de escoamento em A1 e A2, são
respectivamente, v1 e v 2 .
Como o líquido é incompressível, o volume que entra no tubo no tempo ∆t é o
existente nu cilindro de base A1 e altura ∆x1 = v1 × ∆t . Este volume é igual a aquele que,
no mesmo tempo, sai da parte da secção de área A2.
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volume(1) = volume(2)
∆V1 = ∆V2
Se dividirmos o volume escoado ∆V pelo tempo ∆t , teremos uma grandeza chamada
caudal de fluido, Q .
[Q ] =
[V ] = L3T
[t ]
Podemos então afirmar que:
Q1 = Q1
∆V1 ∆V2
=
∆t
∆t
A1 × ∆x1 A2 × ∆x2
=
∆t
∆t
E finalmente obtemos a Equação da continuidade:
A1 × v1 = A2 × v2
Esta equação mostra que a velocidade de um fluido num tubo com estrangulamento é
maior nesses pontos do que nas zonas mais largas.
8.2.4 Equação de Bernoulli
Quando um fluido incompressível escoa ao longo de um tubo de corrente de secção
transversal variável, a sua velocidade varia. Consequentemente, deve haver uma força
resultante aplicada (“ª lei de Newton) e isso significa que a pressão deve variar ao
longo do tubo, ainda que não haja diferença de altura.
Para dois pontos com diferentes alturas, a diferença de pressões depende não apenas
da diferença de nível mas também da diferença de velocidade entre aqueles dois
pontos.
Um vez que num fluido ideal só existem força conservativas, a expressão geral da
diferença de pressões obtém-se a partir da conservação de energia.
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FÍSICA
Para obter-se a Equação de Bernoulli, aplica-se o teorema de trabalho e energia ao
fluido contido numa secção de um tubo de corrente.
Consideremos um elemento
de fluido contido entre duas
secções
de
um tubo de
corrente, A1 e A2, tal como
mostra a figura seguinte.
A força na secção A1 é dada por:
F1 = ∫A p1.dA = p1. A1
O trabalho realizado pelas forças de pressão, devidas a p1 , quando o fluido se desloca
de ∆s1 é dado por:
WF1 = p1 × A1 × ∆s1
Do mesmo modo, o trabalho realizado pelas forças de pressão, devidas a p2 , quando o
fluido se desloca ∆s2 é dado por:
WF2 = p2 × A2 × ∆s2
O trabalho efectivo realizado sobre o elemento de fluido, durante este deslocamento
será:
W = p1 × A1 × ∆s1 − p2 × A2 × ∆s2
Pela equação da continuidade:
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A1 × v1 = A2 × v2
∆s1 = v1 × ∆t e ∆s2 = v2 × ∆t
⇒
A1 × ∆s1 = A2 × ∆s2 = ∆V
Podemos então escrever esse trabalho como:
Wforças de pressão = ( p1 − p2 ) × ∆V
Aplicando o teorema de Trabalho-Energia iguala-se este trabalho à variação total das
energias cinética e potencial do elemento durante ∆t .
Durante ∆t , um volume de fluido ∆V = A1 × ∆s1 , com massa, ∆m = ρ × ∆V , entra no
tubo na secção A1 , trazendo uma energia cinética:
1
1
× ∆m × v 2 = × ρ × ∆V × v12
2
2
EC (1) =
Analogamente, durante esse intervalo, igual massa de fluido deixa o tubo pela secção,
A2 , levando consigo uma energia cinética de:
EC ( 2 ) =
1
1
× ∆m × v2 2 = × ρ × ∆V × v22
2
2
Seno a variação de energia cinética:
∆Ec =
1
× ρ × ∆V × (v2 2 − v12 )
2
A variação da energia potencial é dada por:
∆E p = −∆m × g × (h2 − h1) = − ρ × ∆V × g × (h2 − h1)
Usando o teorema de trabalho energia, podemos escrever:
Wforças de pressão = ∆Ec + ∆E p
1
× ρ × ∆V × (v2 2 − v11) = ( p1 − p2 ) × ∆V − ρ × ∆V × g × (h2 − h1 )
2
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Dividindo por ∆V , obtemos:
p1 − p2 =
1
× ρ × (v2 2 − v11) + ρ × g × (h2 − h1)
2
Esta equação traduz o teorema de Bernoulli. Pode ainda ser utilizada da seguinte
forma, mais comum.
p1 + ρ × g × h1 +
1
1
× ρ × v12 = p2 + ρ × g × h2 + × ρ × v2 2
2
2
A diferença de pressões devido ao peso de fluido, (hidrostática) é a diferença de altura
entre os dois extremos do elemento de fluido e a pressão adicinal associada à variação
da velocidade do fluido. Esta equação também pode ser escrita da seguinte forma:
1
p + ρ × g × h + × ρ × v 2 = constante
2
8.2.5 Implicações da Equação de Bernoulli
8.2.5.1 Velocidade de descarga
Consideremos o seguinte tanque de área transversal, A1 , cheio de um líquido de
densidade, ρ , até à profundidade, h .
O espaço acima do líquido contém ar a uma pressão, p , e este escoa através de u
orifício de área, A2 .
Considerando toda a massa de líquido como um tubo de corrente, sendo v1 e v2 as
velocidades nos pontos 1 e 2, respectivamente. A quantidade v2 é chamada velocidade
de descarga e a pressão em 2 é a pressão atmosférica.
Aplicando a Equação de Bernoulli:
1
1
p + × ρ × v12 + ρ × g × h = p0 + × ρ × v2 2
2
2
v2 2 = v12 + 2
p − p0
ρ
+ 2 × g × h (1)
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FÍSICA
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Da equação da continuidade:
v2 =
A1
× v1
A2
Devido à convergência das linhas de corrente à medida que se aproximam do orifício a
secção transversal da secção do líquido continua a diminuir até uma pequena
distância do tanque. A área a ser usada na menor secção é conhecida como vena
contracta (veia contraída). Para um orifício circular a área da veia contraída é cerca de
65 % do orifício.
Considerando alguns casos especiais, suponha-se que o tanque está aberto para a
atmosfera.
p = p0
Suponha-se também que A1 A2 , então v12 v22 , podendo ser desprezado. Logo da
equação (1), tira-se:
v2 = 2 × g × h
Desta equação concluímos que, a velocidade de descarga é a mesma que adquire um
corpo em queda livre, caindo a uma altura h - Teorema de Torrricelle. Este teorema
não se restringe a orifícios na base do tanque, sendo também aplicado para os que são
feitos nas paredes laterais a uma profundidade h da superfície.
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FÍSICA
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8.2.5.2 Tubo de Venturi
O tubo de Venturi consiste num estrangulamento inserido num tubo, constituído por
peças suficientemente inclinadas, na entrada e saída, para evitar turbulência.
Aplicando a equação de Bernoulli às secções larga e estreita:
1
1
p1 + × ρ × v12 = p2 + × ρ × v2 2
2
2
Da equação da continuidade, A1 × v1 = A2 × v2 , v2 é maior que v1 e assim a pressão p2 ,
na garganta é menor que p1 .Assim, uma força para a direita, actua acelerando o fluido
quando entra na garganta e outra, para a esquerda o retarda. As pressões p1 e p2
podem ser medidas por meio de tubos verticais, presos lateralmente. Conhecidas
essas pressões e as áreas A1 e A2 das secções transversais pode-se calcular as
velocidades e as taxas de escoamento de massa. Quando usado para este fim este
dispositivo chama-se Medidor de Venturi.
8.2.5.3 Sustentação de aviões
A figura seguinte mostra as linhas de corrente em torno da secção transversal de uma
asa de um avião.
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A orientação da asa em relação às linhas de corrente provoca uma acumulação de
linhas de corrente acima da asa, correspondentes a uma maior velocidade da corrente
nesta região ( v1 > v2 ), como na garganta de venturi ( A1 < A2 ). Assim, a parte superior da
asa está numa região de grande corrente e pressão reduzida, enquanto que a parte
inferior é mais ou menos a pressão atmosférica (não tem correntes de ar). Nestas
condições, surge uma força de sustentação (devido à diferença de pressões) de baixo
para cima que permite o aparelho manter-se no ar sem cair.
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8.2.6 Viscosidade – fluidos reais
Fluidos reais, como o ar, água, óleo, sangue, shampoo, não obedecem perfeitamente a
equação de Bernoulli. Situações reais, como o efeito da tensão superficial, e da
viscosidade, não podem ser descritos com a equação de Bernoulli.
É da experiência corrente que a água ou o álcool, por exemplo, se podem vazar de um
reservatório para outro (e se deformam portanto) com maior facilidade do que o óleo
ou mel. Traduz-se este facto dizendo-se vulgarmente que os últimos líquidos são mais
viscosos do que os primeiros.
A viscosidade pode ser encarada como uma forma de atrito entre as camadas
adjacentes de um líquido. É normalmente percebida como a "grossura", ou resistência
ao despejamento. Viscosidade descreve a resistência interna para fluir de um fluido e
deve ser pensada como a medida do atrito do fluido. Assim, a água é "fina", tendo uma
baixa viscosidade, enquanto óleo vegetal é "grosso", tendo uma alta viscosidade.
Por causa da viscosidade, é necessário exercer uma força para fazer uma camada de
fluido deslizar sobre outra.
Tanto os líquidos como os gases são viscoso, embora os primeiros sejam muito mais
que os gases.
Verifica-se que um fluido em contacto com uma superfície tem a mesma velocidade
que esta.
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108
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FÍSICA
As velocidades das restantes camadas
distribuem-se regularmente ao longo da
direcção normal às superfícies (se o
regime
for
laminar),
constituindo-se
assim um gradiente de velocidades ao
longo dessa direcção que se representa
por:
dv
dy
No escoamento laminar, as camadas de fluido deslizam uma sobre as outras como
fazem as folhas de um livro colocado sobre uma mesa quando se aplica uma força à
sua capa superior.
Como consequência deste movimento, uma porção de líquido que, num dado instante,
tem a forma abcd, num instante posterior apresenta a forma abc’d’, deformando-se
cada vez mais, à medida que o movimento prossegue.
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A fim de manter o movimento, é necessário exercer uma força continuamente para a
direita, sobre a placa superior móvel (placa inferior estacionária) e, assim,
indirectamente, sobre a superfície superior do líquido. Esta força é representada por F
na figura acima apresentada. Sendo A , a área do líquido sobre a qual estas forças
estão aplicadas, a relação F / A é a tensão tangencial exercida sobre o fluido.
A deformação produzida é definida como a razão entre este deslocamento e a
dimensão transversal y , ( deformação = dd '/ y ), e, dentro do limite da elasticidade, a
tensão e a deformação são proporcionais.
Por outro lado, no caso de um fluido, a deformação cresce sem limite, enquanto se
aplica a tensão, e verifica-se experimentalmente que esta depende não da deformação
de cisalhamento (tangencial), mas da sua taxa de deformação.
Taxa de variação da deformação tangencial =
dv
dy
Define-se coeficiente de viscosidade, η , ou simplesmente viscosidade de um fluido,
como a relação entre a tensão tangencial de um fluido e a taxa de deformação
correspondente.
η=
F/A
dv / dy
F = η × A×
dv
dy
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O coeficiente de viscosidade é uma grandeza escalar cuja unidade, no Sistema
Internacional, é o Pa.s. Em muitas tabelas encontramos como unidade o Poise, que
pertence aos sistema C.G.S. sendo 1 Poise = 10-1 Pa.s.
Para os líquidos que escoam facilmente, como a água ou querosene, a tensão
tangencial é relativamente pequena para uma dada taxa de variação de deformação,
sendo também a viscosidade relativamente pequena. O contrário acontece com a
glicerina ou o óleo cuja viscosidade é correspondentemente maior.
O coeficiente de viscosidade depende significativamente da temperatura, crescendo
para os gases e diminuindo par os líquidos. A tabela seguinte apresenta alguns dos
coeficientes de viscosidade de materiais conhecidos
8.2.7 Lei de Stokes
Quando um corpo se desloca no seio de um fluido viscoso, exerce sobre ele, para além
das forças de impulsão, forças de atrito devidas à viscosidade.
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Estas forças são da forma:
F = −λ × v
Para uma esfera de raio r , que se desloca com uma velocidade v , essas forças podem
escrever-se:
F = −6π ×η × r × v
Esta expressão traduz a lei de Stokes.
Uma partícula esférica abandonada ( v0 = 0 ) num líquido viscoso, fica inicialmente
submetida a duas forças: a impulsão e o peso. Se o peso for maior que a impulsão, a
partícula começa a cair no interior do fluido, aumentando a sua velocidade a partir do
zero, ficando assim sujeita também a uma força de viscosidade, com sentido contrário
à velocidade, e que aumenta com esta.
Temos assim uma resultante:
R = Fg − I − 6π × r ×η × v
Uma vez que as forças de viscosidade aumentam à medida que a velocidade aumenta,
atinge-se um situação de equilíbrio para uma velocidade vT , velocidade terminal, tal
que:
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Fg − I − 6π × r ×η × vT = 0
Passando a partícula a deslocar-se com velocidade constante. Supondo uma
densidade ρ , para a partícula e ρ L para o fluido, temos:
Fg = ρ × g × V
I = ρL × g ×V
V=
4 3
πr
3
Obtemos assim,
vT =
2× r2 × g
× ( ρ − ρL )
9π
Este é o método usado para determinar a viscosidade de determinados fluidos.
Medindo a velocidade terminal de uma esfera de raio r e densidade conhecidas, podese medir a viscosidade do fluido na qual ela cai. Esta equação foi deduzida por Milikan
para calcular para calcular o raio de gotas submicroscópicas de óleo electricamente
carregadas, por meio dos quais se determinou a carga de uma electrão individual.
8.2.8 Escoamento de um fluido: Lei de Pouseuille
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É evidente que, pela natureza dos efeitos dos fluidos viscosos a velocidade de um
fluido que escoa através de um tubo não será constante em todos os pontos de uma
secção recta. A camada mais externa do fluido adere às paredes e a sua velocidade é
nula. As paredes do tubo exercem sobre as camadas mais externas uma força para
trás e esta, por sua vez, exerce na camada seguinte na mesma direcção e assim por
diante.
Se a velocidade não for muito elevada o escoamento será laminar e a velocidade será
máxima no centro do tubo, decrescendo a zero nas paredes do mesmo.
A figura seguinte mostra o perfil de velocidades de um fluido nestas condições.
A equação que governa o movimento de um fluido dentro de um tubo é conhecida
como equação de Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade, sendo válida,
apenas para escoamento não-turbulento (escoamento laminar). O sangue fluindo
através dos canais sanguíneos não é exactamente um escoamento laminar. Mas
aplicando a equação de Poiseuille para essa situação é uma aproximação razoável em
primeira ordem, e leva a implicações interessantes.
A equação de Poiseuille, diz que, o caudal de líquido, Q , que se escoa num tubo de
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raio R , e comprimento L é função da diferença de pressões, p1 − p2 e do coeficiente de
viscosidade do líquido, através da expressão,
Q=
π
8
×
R4
η
×
p1 − p2
L
Que constitui a lei de Poiseuille
Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca de 4 x 10-3 Pa s.
A coisa mais importante a ser observada é que a taxa de escoamento é fortemente
dependente no raio do tubo: R4. Logo, um decréscimo relativamente pequeno no raio
do tubo significa uma drástica diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio
por um factor 2, diminui o escoamento por um factor 16! Isto é uma boa razão para
nos preocuparmos com os níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução das
artérias. Uma pequena mudança no raio das artérias pode significar um enorme
esforço para o coração conseguir bombear a mesma quantidade de sangue pelo corpo.
8.2.8 Escoamento laminar ou turbulento: Número de Reynolds
Quando a velocidade de um fluido excede um valor crítico, que depende das
propriedades do fluido e do raio do tubo, o regime de escoamento torna-se mais
complicado. Na vizinhança das paredes do tubo o ainda é laminar mas no interior é
altamente irregular. Aparecem localmente correntes circulares, vórtices, como se
observa frequentemente no fundo do cigarro, aumentando geralmente a resistência do
fluido. Este regime é designado por turbulento.
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Experimentalmente verifica-se que uma combinação de quatro factores determina se
um regime é laminar ou turbulento. Esta combinação é conhecida como número de
Reynolds, N R , definido como:
NR =
ρ ×v× D
η
Em que,
ρ - densidade do fluido
v - velocidade média para a frente
η - viscosidade do fluido
D - DIÂMETRO DO TUBO
O número de Reynolds é uma grandeza adimensional e tem sempre o mesmo valor,
para um dado líquido e tubo, qualquer que seja o sistema de unidades utilizado para o
seu cálculo.
Experimentalmente verifica-se que:
N R < 2000
o escoamento é laminar
N R > 3000
o escoamento é turbulento
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2000 < N R < 3000
o escoamento é instável, passando várias vezes de um para outro
tipo de regime.
Quando um objecto se desloca no seio de um fluido, mesmo que este flua em regime
laminar, a deformação produzida nas linhas de corrente mostra que se estabelecem
em torno do objecto grandes gradientes de velocidade e portanto aparecem nessa
região forças de viscosidade. Por essa razão os fluidos, mesmo de baixa viscosidade,
não podem ser tratados como ideais na vizinhança de objectos sólidos.
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