Capítulo 6 Transformação de tensões e critérios de falhas

Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Capítulo 6
Transformação de tensões e
critérios de falhas
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6.1 – Tensões principais no planoO estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis
componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento.
O estado de tensão (a) não é encontrado com frequência na prática da
engenharia. Aproximações ou simplificações das cargas sobre o corpo,
a fim de que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico
seja analisado em um único plano. Quando isso ocorre, o material está
sujeito a tensões no plano.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exemplo 1A viga mostrada está sujeita ao carregamento distribuído w = 120 kN/m.
Determine o estado de tensões na viga no ponto P, que se encontra na parte
superior da alma. I=67,4(10-6)m4
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
O equilíbrio da viga selecionada é mostrado onde
V  84 kN M  30,6 kNm
No ponto P,
Portanto, o resultado é o seguinte:
M
30,6(10 3 ) Nm  0,1m
  y
 45,4MPa
6
4
I
67,4(10 )m
VQ 84(10 3 ) N 0,1075  0,175  0,015 m3


 35,2MPa
It
67,4(10 6 )m 4  0,01m
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
A figura abaixo, mostra as relações de tensões para dois pontos da viga
em balanço abaixo:
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
 DEC
 DMF
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Entre as cargas os pontos estão submetidos somente ao momento fletor.
Já entre o apoio e o carregamento os pontos estão submetidos a
combinação do momento fletor e do esforço cortante.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
 Ponto b
 Ponto a
Tensões no sistema xy
Tensões principais
 Ponto c
Tensões no sistema xy
Tensões no sistema xy
Tensões principais
 Ponto d
Tensões principais
Tensões no sistema xy
Tensões principais
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Evolução da fissuração de uma viga T, para vários estágios do
carregamento.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Evolução da fissuração de uma viga T, para vários estágios do
carregamento.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Componentes de tensão podem se transformar em um elemento caso
tenha uma orientação diferente.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6.2 –Equações gerais de transformação
de tensão no plano
A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de
cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento.
 x' 
x  y
2
 x ' y'  

x  y
x  y
2
2
cos2   xy sen2
sen2   xy cos2
(1)
(2)
Para determinar  y ' , basta substituir θ por θ+90°
na equação (1)
 y' 
x  y
2

x  y
2
cos2   xy sen2
(3)
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Convenção de sinais:
Sentido anti-horário
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exemplo 2O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento
mostrado na figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro
elemento orientado a 30° no sentido horário em relação à posição
mostrada.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Pela convenção de sinal, temos
 x  80 MPa
 y  50 MPa
 xy  25 MPa   30
Para obter as componentes de tensão no plano
CD,
 x' 
x  y

x  y
cos2   xy sen2 
2
2
80  50 80  50

cos2( 30 )  ( 25)sen2( 30 )   x '  25,8 MPa
2
2
x  y
 x' y'  
sen2   xy cos2 
2
80  50

sen2( 30 )  ( 25)cos2( 30 )   x ' y '  68,8 MPa
2
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Para obter os componentes de tensão no plano BC,
 y' 
x  y

x  y
cos2   xy sen2 
2
2
80  50 80  50

cos2( 30 )  ( 25)sen2( 30 ) 
2
2
 y '  4,15 MPa
Os resultados são mostrados na figura:
Resistência dos Materiais II
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exercício de fixação1)O estado plano de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver
orientado a 30° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado.
Respostas:
 x' 
x  y
2
 x ' y'  
 y' 

x  y
2
x  y
2

x  y
2
cos2   xy sen2
sen2   xy cos2
x  y
2
cos2   xy sen2
(1)
(2)
(3)
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exercício de fixação2)O As fibras de uma barra de madeira formam um ângulo de 15° com a
vertical. Determine para os estados de tensões indicados abaixo (a) a tensão
de cisalhamento paralela às fibras, (b) a tensão normal às fibras.
Respostas: (a)  x ' y '  0,6MPa (b) x '  3,84MPa
 x' 
x  y
2
 x ' y'  
 y' 

x  y
x  y
2
x  y
2

2
cos2   xy sen2
sen2   xy cos2
x  y
2
cos2   xy sen2
(1)
(2)
(3)
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6.3- Tensões principais e tensões
de cisalhamento máximo
Tensões principais no plano
Tensões principais ocorrem nos planos de tensão principais com
tensão de cisalhamento igual a zero
 x ' y'  
x  y
2
sen2   xy cos2 =0
(2)
 xy
tg 2 p 
 x   y / 2
 1, 2 
 x  y
2
   y 
   xy 2 onde  1   2
  x
 2 
2
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Tensão de cisalhamento máxima no plano
A orientação de um elemento irá determinar a máxima e a mínima da
tensão de cisalhamento.
tg 2 s 
  x   y  / 2
 xy
Nós temos tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal
média.
  x  y 
   xy 2
 máx  
no plano
 2 
2
 méd 
x  y
2
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exercício de fixação3)O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no
elemento mostrado na figura abaixo.
(a) Represente esse estado de tensão em termos das tensões principais
(b) Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima
no plano e a tensão normal média associada.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Respostas:
(a)
(b)
Resistência dos Materiais II
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exercício de fixação4)O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as
tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão
normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6.4- Círculo de Mohr – Tensão no
plano
A transformação da tensão no plano tem uma solução gráfica que é fácil de
lembrar, desenvolvida por Christian Otto Mohr (1835).
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Construção:
1)Defina um sistema de coordenadas tal que a abcissa represente a
tensão normal σ como positiva para a direita e a ordenada represente a
tensão de cisalhamento τ como positiva para baixo.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
2)Usando a convenção de sinais, marque o centro do círculo C, que está
localizado no eixo σ a uma distância de σméd=(σx+ σy)/2 da origem.
3)Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são A(σx,τxy).
4)Ligue o ponto A ao centro C e determine CA por trigonometria. Essa
distância representa o raio R do círculo.
5)Desenhe o círculo.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6) As tensões principais σ1 e σ2 (σ1 maior ou igual a σ2) são apresentadas
pelos dois pontos B e D onde o círculo intercepta o eixo σ , isto é, onde
τ=0.
7)As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2
(sentido anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
8) As componentes de tensão de cisalhamento máxima e de tensão
normal média são determinados pelo círculo como as coordenadas do
ponto E e F.
9) O ângulo 2 θs1 é determinado por trigonometria. Aqui a rotação é em
sentido horário.
10) As tensões em um ponto P arbitrário também podem ser conhecidas,
assim como o θ (de CA até CP).
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exemplo 1Para a viga mostrada no exemplo 1, determine as tensões principais na viga
no ponto P.
O centro do círculo é  45,4  0  22,7 e o
2
ponto A é (–45,4, –35,2). Portanto, o raio é 41,9.
 1  22,7  41,9  19,2 MPa
 2  22,7  41,9  64,6 MPa
O ângulo em sentido anti-horário é
2 p 2  57,2   p 2  28,6
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exercício de fixação5)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na
figura abaixo. Determine (a) as tensões principais e a orientação do
elemento sobre o qual elas agem e (b) a tensão de cisalhamento máxima
no plano e a orientação do elemento sobre a qual ela age.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exercício de fixação6)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na
figura abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e as
tensões principais e a orientação do elemento sobre o qual elas agem.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exercício de fixação7)Resolva o exercício de fixação 3 usando o Círculo de Mohr.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6.5- Critério de falha
Falha de um elemento submetido a um estado plano
de tensão não pode ser diretamente previsto a partir
de um ensaio uniaxial.
É conveniente determinar as tensões principais e
basear os critérios de falha a partir do estado de
tensão biaxial do elemento.
Critérios de falha existentes são baseados nos
mecanismo de falha existentes.
Eles permitem a comparação das condições de falha
de um ensaio de tensão uniaxial e um carregamento
biaxial.
Falha para material dúctil falha pelo escoamento,
ao passo que se for frágil isso ocorrerá pela ruptura.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Discutiremos teorias frequentemente utilizadas na prática da engenharia para
prever a falha de uma material sujeito a um estado multiaxial. Estas teorias são
utilizadas para determinar as tensões admissíveis informadas em muitos
manuais, normas e códigos de projetos.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6.5.1- Critério de escoamento de Tresca
Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou critério de escoamento de
Tresca (Henri Tresca, 1868) é usada para prever a tensão de falha de um
material dúctil sujeito a qualquer tipo de carga.
Em referência a tensão do plano, a teoria da tensão de cisalhamento
máxima para tensão do plano podem ser expressadas pelas duas tensões
principais.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
7.5.2- Critério de von Mises
Teoria de energia de distorção máxima ou critério de von Mises é
usada para prever a tensão de falha de um material dúctil.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6.5.3- Critério de Coulomb
Teoria da tensão normal máxima
ou critério de Coulomb
(Charles
Augustin de Coulomb, 1736-1806) afirma que materiais frágeis tendem a
falhar repentinamente por ruptura, quando ocorre a tensão de tração
máxima. Material com diagramas tensão-deformação similares para
tração e compressão.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
6.5.4- Critério de Falha de Mohr
Se um material frágil tiver diagramas tensão-deformação diferentes sob
tração e sob compressão, então se aplica o critério de falha de Mohr.
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Exercício de fixação:
8) O eixo maciço mostrado na figura abaixo tem raio de 0.5 cm e é feito de
aço com tensão de escoamento de σe = 360 MPa. Determine se as cargas
provocam a falha do eixo de acordo com o critério de Tresca e von Mises.
Respostas: (a) falha (b) não falha
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
9) Um componente de máquina construído em aço, está submetido ao
estado de tensões indicado. O aço utilizado tem σe = 331 MPa. Determine
se vai ocorrer escoamento de acordo com o critério de Tresca.
(a) considerar σo = 210 MPa (b) considerar σo = 294 MPa.
Respostas: (a) não falha (b) falha
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
10) O eixo maciço de ferro fundido está sujeito ao torque T=400lb ft.
Determinar o menor raio de modo que não ocorra falha, de acordo com a
teoria da tensão normal máxima. Um corpo de prova de ferro fundido,
testado sob tração, tem limite de resistência (σr )t= 20ksi.
Resposta: r=0,535in