Introdução à Lógica Proposicional

Introdução à Lógica Proposicional
Matemática Discreta I
Rodrigo Ribeiro
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Universidade de Federal de Ouro Preto
27 de novembro de 2012
Motivação
A Linguagem da Lógica Proposicional
Sumário
1 Motivação
2 A Linguagem da Lógica Proposicional
Sintaxe da Lógica Proposicional
Semântica da Lógica Proposicional Tabelas
Verdade
R. Ribeiro
Introdução à Lógica Proposicional
Motivação
A Linguagem da Lógica Proposicional
Motivação (I)
Porquê Estudar Lógica?
A lógica é um dos pilares nos quais se sustenta a
ciência da computação.
Alguns exemplos de aplicação:
Engenharia de software: Especicação formal de
software e prova de programas.
Recuperação de informação: Processamento de
consultas em máquinas de busca.
Arquitetura de computadores, Linguagens de
Prog., B.D.s, etc...
R. Ribeiro
Introdução à Lógica Proposicional
Motivação
A Linguagem da Lógica Proposicional
Motivação (II)
Porquê Estudar Lógica?
Lógica é utilizada em computação para
descrever linguagens para modelar situações
(problemas...) que encontramos em nosso
dia-a-dia como prossionais de computação.
Porquê não modelar usando português?
A linguagem natural é de ampla compreensão.
Mas possui um problema: é ambígua!
Ex. O cliente destestou seu sistema
R. Ribeiro
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Motivação
A Linguagem da Lógica Proposicional
Motivação (III)
Um Pouco de História...
A lógica foi inventada pelos gregos, que
desejavam determinar a validade de argumentos
propostos em linguagem natural.
Grande parte deste trabalho foi documentado
nas obras de Aristóteles.
R. Ribeiro
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Motivação
A Linguagem da Lógica Proposicional
Motivação (IV)
Nesta Disciplina...
Vamos estudar duas lógicas:
Lógica proposicional.
Lógica de predicados (lógica de primeira ordem).
Existem muitas outras lógicas, com aplicações
especícas:
Lógica temporal.
Lógica modal.
Lógica intuicionista.
R. Ribeiro
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Sintaxe
Semânticada daLógica
LógicaProposicional
Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (I)
Proposição
Proposições são o elemento mais básico da
lógica proposicional.
Proposições são sentenças para as quais é
possível atribuir valores verdadeiro ou falso.
Toda proposição deve ser sempre verdadeira ou
falsa. Não existem valores intermediários.
Exemplos:
Hoje é segunda feira.
2 + 2 = 5.
R. Ribeiro
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Motivação
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Sintaxe
Semânticada daLógica
LógicaProposicional
Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (II)
Exercício
Quais das seguintes sentenças são proposições?
1
2
3
4
A lua é feita de queijo suíço.
Os juros vão subir no ano que vem.
x2 − 4 = 0
Hoje irá chover?
R. Ribeiro
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Sintaxe
Semânticada daLógica
LógicaProposicional
Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (III)
Considere a seguinte frase...
O dia está ensolarado e José está feliz.
Esta frase é uma Proposição?
Veja que para atribuir um valor lógico a esta
frase temos que:
Vericar se o dia está ensolarado.
Vericar se José está feliz.
R. Ribeiro
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Semânticada daLógica
LógicaProposicional
Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (IV)
Ainda sobre a frase anterior...
O valor lógico desta depende de:
E José está feliz.
O dia está ensolarado
Nesta frase, temos duas proposições:
O dia está ensolarado.
José está feliz.
Proposições Simples
Dizemos que uma proposição é simples se esta não
pode ser subdivida em proposições menores.
R. Ribeiro
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Sintaxe
Semânticada daLógica
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (V)
Então temos que a frase:
O dia está ensolarado e José está feliz
Possui duas proposições simples, a saber:
O dia está ensolarado.
José está feliz.
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (VI)
Uma Observação...
A tarefa de considerar que uma proposição é simples
ou não varia de acordo com a modelagem. Pode-se
considerar a frase anterior como uma proposição
indivisível. Porém, adotaremos a seguinte convenção:
sempre decompor o enunciado analisado no maior
número de proposições possível.
R. Ribeiro
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Sintaxe
Semânticada daLógica
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (VII)
Proposições Compostas
Enunciado formado de proposições mais simples
de forma a expressar:
Negação: Arma que a proposição não é
verdadeira.
Ex: "A lua não está visível hoje."
Conjunção: Arma que duas proposições são
verdadeiras.
Ex: "O dia está lindo, embora nublado."
Disjunção: Arma que pelo menos uma dentre
duas proposições é verdadeira.
Ex: "Hoje choverá ou fará sol."
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (VIII)
Proposições Compostas
Condicional: Arma que caso uma certa
proposição seja verdadeira, uma outra também
é, isto é, não é o caso que a primeira possa ser
verdadeira e a outra falsa.
Ex: "Se hoje chover, usarei o guarda-chuva."
Bicondicional: Arma que uma proposição é
verdadeira exatamente nos casos em que outra
também é.
Ex: "Um número é par, se e somente se, seu
quadrado é um número par."
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (IX)
Formalizando...
Observe as seguintes proposições compostas:
O dia está lindo, embora nublado.
O dia está ensolarado e José está feliz.
Ambas as proposições representam uma
conjunção, e, portanto somente são verdadeiras
se ambas as proposições que as compõe forem
verdadeiras.
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (X)
Formalizando...
Como a estrutura das proposições é similar,
podemos eliminar os detalhes irrelevantes:
Representaremos proposições simples por variáveis.
Uma variável será representada por uma letra do
alfabeto. Logo teremos:
Variável Proposição
A
O dia está lindo
B
O dia está nublado
C
O dia está ensolarado
D
José está feliz
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (XI)
Formalizando...
Sendo assim, podemos representar as frases
como:
A e B.
C e D.
Porém, ainda estamos expressando a maneira
que usamos para compor proposições simples
usando o português.
Podemos expressar as maneiras de compor
proposições simples através de conectivos lógicos.
R. Ribeiro
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Sintaxe
Semânticada daLógica
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (XII)
Conectivos Lógicos
São símbolos usados para representar o tipo de
composição entre proposições. Os conectivos são:
Nome
Símbolo Nome
Símbolo
Verdadeiro
>
Falso
⊥
Negação
¬
Disjunção
∨
Conjunção
∧
Condicional
→
Bicondional
↔
R. Ribeiro
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Sintaxe
Semânticada daLógica
LógicaProposicional
Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (XIII)
Portanto...
As frases apresentadas nos slides anteriores
poderiam ser representadas por:
A∧B
C ∧D
Sintaxe da Lógica Proposicional
Variáveis e conectivos lógicos são utilizados para
construir fórmulas da lógica proposicional.
R. Ribeiro
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Sintaxe
Semânticada daLógica
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (XIV)
Identicando Conectivos em Frases
Conjunção:
A∧B
A e B; A, mas B; A também B; A além disso B.
Disjunção:
A ou B
A∨B
Condicional:
A→B
Se A, então B.
A implica B.
A, logo B.
A só se B
A somente se B
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (XV)
Identicando Conectivos em Frases
Condicional:
A→B
A é uma condição suciente para B
basta A para B.
B é condição necessária para A.
Bicondicional:
A↔B
A se e somente se B
A é condição necessária e suciente para B.
Negação: ¬A
não A
É falso que A
Não é verdade que A
R. Ribeiro
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Sintaxe
Semânticada daLógica
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Proposicional Tabelas Verdade
Lógica Proposicional (XVI)
Exercício
Represente as seguintes setenças utilizando
fórmulas da lógica proposicional:
1
2
3
4
O herói não é americano, mas o bandido é francês.
Se João vencer ou perder, irá car cansado.
Vai chover ou nevar, mas não ambos.
Se José vencer a eleição, então haverá aumento de
impostos e melhorias na saúde.
R. Ribeiro
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Motivação
A Linguagem da Lógica Proposicional
Sintaxe e Semântica
Sintaxe
Semânticada daLógica
LógicaProposicional
Proposicional Tabelas Verdade
Linguagens Formais
Uma linguagem formal é aquela que possui
sintaxe e semântica denidas.
Sintaxe: Descreve como frases daquela linguagem
podem ser formadas a partir de frases menores.
Semântica: Descreve como atribuir um signicado
às frases sintaticamente corretas de uma
linguagem.
Exemplos de linguagens formais:
Linguagens de programação: Java, C/C++, etc...
Lógica proposicional.
R. Ribeiro
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Semânticada daLógica
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Proposicional Tabelas Verdade
Sintaxe da Lógica Proposicional (I)
Denição
O conjunto de fórmulas, F , que constitutem a
linguagem da lógica proposicional é denido por:
a) >, ⊥ ∈ F .
b) Seja V o conjunto de todas as variáveis
proposicionais. Temos que V ⊆ F .
c) Se α ∈ F , então ¬α ∈ F .
d) Se α, β ∈ F , então: α ∧ β ∈ F , α ∨ β ∈ F ,
α→β∈F eα↔β∈F
R. Ribeiro
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Sintaxe
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Proposicional Tabelas Verdade
Sintaxe da Lógica Proposicional (II)
Exemplo
A fórmula (P ∨ Q ) → P pertence a linguagem
da lógica proposicional (é uma fórmula bem
formada).
Podemos concluir aplicando as regras anteriores
para formar esta fórmula.
1) As variveis P , Q ∈ F pela regra b).
2) Pela regra d ) podemos concluir que P ∨ Q ∈ F
3) Finalmente, pela regra d ) temos que:
(P ∨ Q ) → P ∈ F
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Sintaxe da Lógica Proposicional (III)
Mais sobre a Sintaxe da Lógica Proposicional
As regras apresentadas não permitem a
formação de fórmulas sintaticamente incorretas.
Exemplos de fórmulas incorretas:
(P ∧ ∨P ) → ¬
¬∧Q
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Sintaxe da Lógica Proposicional (IV)
Uso de Parênteses
Apesar de não presentes nas regras apresentadas,
pode-se usar parênteses para construir fórmulas
bem formadas da lógica proposicional.
Para usarmos parênteses basta considerar a
seguinte regra:
e) Se α ∈ F , então (α) ∈ F .
Podemos usar parênteses para impor uma ordem
de avaliação à fórmula.
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Sintaxe da Lógica Proposicional (V)
Precedência entre Conectivos Lógicos
Para evitar um excesso de parênteses nas
fórmulas utiliza-se a seguinte convenção de
precedência entre os conectivos lógicos:
A negação (¬) possui maior precedência. Ex:
¬P ∧ Q signica (¬P ) ∧ Q .
A conjunção (∧) possui a segunda maior
precedência. Este conectivo associa a esquerda.
Ex: P ∨ Q ∧ R ∧ Z signica P ∨ (Q ∧ (R ∧ Z )).
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Sintaxe da Lógica Proposicional (VI)
Precedência entre Conectivos Lógicos
A disjunção (∨) possui a terceira maior
precedência. Assim como a conjunção, também
associa à esquerda. Ex: P ∧ Q ∨ R ∨ U ∧ V
signica ((P ∧ Q ) ∨ R ) ∨ (U ∧ V ).
O condicional possui o próximo nível de
precedência. Este conectivo associa à direita.
Ex: P ∧ Q → P → Q → S signica
(P ∧ Q ) → (P → (Q → S )).
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Sintaxe da Lógica Proposicional (VII)
Precedência entre Conectivos Lógicos
O bicondicional possui o menor nível de
precedência. Assim como o condicional este
conectivo associa à direita. Ex:
P ∧ Q ↔ P ↔ Q ↔ S signica
(P ∧ Q ) ↔ (P ↔ (Q ↔ S )).
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Sintaxe da Lógica Proposicional (VIII)
Exercício
Elimine parênteses desnecessários:
1
2
3
4
((A ∨ B ) ∨ (C ∨ D ))
(A → (B → (A ∧ B )))
¬(A ∨ (B ∧ C ))
¬(A ∧ (B ∨ C ))
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional (I)
Semântica
Agora que sabemos como montar fórmulas bem
formadas da lógica proposicional, podemos lhes
atribuir valores lógicos (Verdadeiro > ou
Falso ⊥).
O valor de cada fórmula depende unicamente
de:
Do valor lógico atribuído a cada uma das variáveis
da fórmula considerada.
Da semântica dos conectivos lógicos presentes na
fórmula.
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional (II)
Dando signicado para Fórmulas
Cada uma das variáveis presentes na fórmula
deverá receber todas as possíveis combinações
de {>, ⊥}.
O signicado dos conectivos é apresentado por
tabelas-verdade.
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional (III)
Tabela-Verdade para a Negação.
A
¬A
⊥ >
> ⊥
R. Ribeiro
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Semântica da Lógica Proposicional (IV)
Tabela-Verdade para a Conjunção.
A B A∧B
⊥
⊥
>
>
⊥
>
⊥
>
R. Ribeiro
⊥
⊥
⊥
>
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Semântica da Lógica Proposicional (V)
Tabela-Verdade para a Disjunção.
A B A∨B
⊥
⊥
>
>
⊥
>
⊥
>
R. Ribeiro
⊥
>
>
>
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Semântica da Lógica Proposicional (VI)
Tabela-Verdade para o Condicional.
A B A→B
⊥
⊥
>
>
⊥
>
⊥
>
R. Ribeiro
>
>
⊥
>
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional (VII)
Tabela-Verdade para o Bicondicional.
A B A↔B
⊥
⊥
>
>
⊥
>
⊥
>
R. Ribeiro
>
⊥
⊥
>
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional VIII
Exercício
Construa tabelas verdade para:
1
2
3
4
5
A∧B →A
(A → B ) ∧ ¬(B ∨ A)
(A → B ) ∧ A ∧ ¬B
(A → B ) ∨ (A ∧ ¬B )
(A ↔ B ) → (A ∨ (B ∧ ¬C ))
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional (IX)
Classicando Fórmulas
Uma tautologia é uma fórmula que é sempre
verdadeira independentemente dos valores
atribuídos às variáveis que a compõe.
Uma contradição é uma fórmula que é sempre
falsa independentemente dos valores atribuídos
às variáveis que a compõe.
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Semântica da Lógica Proposicional (X)
Classicando Fórmulas
Uma fórmula é falseável se esta possui pelo
menos uma atribuição de valores às suas
variáveis que a tornem falsa.
Uma fórmula é satisfazível se esta possui pelo
menos uma atribuição de valores às suas
variáveis que a tornem verdadeira.
R. Ribeiro
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Semântica da Lógica Proposicional (XI)
Classicando Fórmulas
Uma fórmula é dita ser contingente se esta é
falseável e satisfazível.
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional (XII)
Exercício
Seja f uma fórmula. Quais armativas estão
corretas?
1
2
3
Se
Se
Se
f
f
f
é uma tautologia então f é satisfazível.
é uma contradição então f é contingente.
é contingente, então f é falseável.
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional (XI)
Limitações de Tabelas-Verdade
O número de linhas de uma tabela-verdade para
uma fórmula α com n variveis é 2n .
Impraticável mesmo para fórmulas para um
número pequeno de variáveis.
R. Ribeiro
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Proposicional Tabelas Verdade
Semântica da Lógica Proposicional (XII)
Exercício
Suponha que você esteja visitando um país onde todo
habitante é de uma das seguintes etnias: cavaleiros
que sempre dizem a verdade e os cavilosos que sempre mentem. Nesta visita você encontra três
habitantes: A, B e C que disseram:
A: Exatamente um de nós é caviloso.
B : Exatamente dois de nós são cavilosos.
C : Todos nós somos cavilosos
Qual a etnia de cada um destes habitantes?
R. Ribeiro
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