Decisões Sequenciais Árvores de Decisão - Moodle @ FCT-UNL

Teoria da Decisão
Decisão Uni-Objectivo
Decisões Sequenciais Árvores
de Decisão
Árvores de Decisão
Uma Árvore de Decisão é uma forma gráfica
que se utiliza para representar um conjunto de
decisões sequenciais, isto é, uma situação em
que decisões são tomadas por ordem
cronológica, e em que as alternativas
disponíveis ao Decisor dependem de condições
incontroláveis e das decisões tomadas
anteriormente
Árvores de Decisão
Nó de Acaso – Cada ramo
... conduz a um resultado
possível, que tem uma certa
probabilidade de ocorrer
...
Nó de Decisão – Cada
ramo representa uma
alternativa possível
Ramos – Relações entre os nós
Árvores de Decisão
Normalmente, não se deixam ligados dois nós
do mesmo tipo
0,8
0,4
1
0,2
3
1
0,08
2
0,6
0,32
0,6
2
3
Árvores de Decisão
1
C
A
D
2
B
3
AeC
AeD
B
1
2
3
Exemplo 6
O João está a ponderar participar num concurso
televisivo. A inscrição no concurso é de 10€. Neste
concurso, o João poderá responder no máximo a 3
perguntas e respeitar as regras que a seguir se
enunciam.
A primeira questão é sobre História. Se o João
acertar ganha 100€. Se o João errar o jogo termina.
O João acredita que tem 80% de probabilidade de
acertar esta resposta.
Exemplo 6
Se o João acertar a resposta à pergunta de História,
pode optar por terminar o jogo e receber os 100€ ou
em alternativa responder a uma pergunta sobre
Geografia. Se o João acertar a resposta a esta
pergunta ganha 300€ mas se errar o jogo termina e
o João nada recebe. O João acha que tem 60% de
probabilidade de responder acertadamente à
questão de Geografia.
Exemplo 6
Se o João acertar a resposta à pergunta de Geografia,
pode optar por terminar o jogo e receber os 300€ ou em
alternativa responder a uma pergunta sobre Cinema. Se
o João acertar a resposta a esta pergunta ganha 500€
mas se errar o jogo termina e o João nada recebe. O
João acha que tem 40% de probabilidade de responder
acertadamente à questão de Cinema.
Qual a estratégia que aconselha ao João?
Exemplo 6
Participa
O João está a
ponderar
participar num
concurso
televisivo.
N Participa
Exemplo 6
A primeira questão é
sobre História. Se o
João acertar ganha
100€. Se o João
errar o jogo termina.
O João acredita que
tem 80% de probabilidade de acertar
esta resposta.
N Acerta
0,2
Participa
Acerta
0,8
Exemplo 6
Se o João acertar a
resposta à pergunta de
História, pode optar por
terminar o jogo e receber
os 100€ ou em alternativa
responder a uma pergunta
sobre Geografia.
Continua
Termina Jogo
Exemplo 6
O João acha que
tem
60%
de
probabilidade de
responder acertadamente
à
questão de Geografia.
N Acerta
0,4
Continua
Acerta
0,6
Exemplo 6
Se o João acertar a
resposta à pergunta de
Geografia, pode optar por
terminar o jogo e receber
os 300€ ou em alternativa
responder a uma pergunta
sobre Cinema.
Acerta
0,6
Continua
Termina Jogo
Exemplo 6
O João acha que tem 40% de probabilidade de responder
acertadamente à questão de Cinema.
N Acerta 0,6
Continua
Acerta 0,4
Exemplo 6
N Acerta
0,4
N Acerta 0,6
N Acerta
0,2
Continua
Participa
Acerta
0,6
Continua
Acerta
0,8
Termina Jogo
Termina Jogo
N Participa
Acerta 0,4
Exemplo 6
Não Participa
0
Não Acerta História
-10
Termina
-10 + 100 = 90
Não acerta Geografia
-10
Participa
Acerta História
Termina
-10 + 300 = 290
Continua
Acerta Geografia
Não acerta Cinema
-10
Acerta Cinema
-10 + 500 = 490
Continua
Exemplo 6
-10
-10
N Acerta
0,4
N Acerta 0,6
N Acerta
0,2
Continua
Participa
Acerta
0,6
Continua
Acerta 0,4
490
Acerta
0,8
Termina Jogo
Termina Jogo
N Participa
-10
290
90
0
Exemplo 6
-10
-10
N Acerta
0,4
190
N Acerta
0,2
Continua
Participa
Acerta
0,6
Continua
Acerta 0,4
-10
490
Acerta
0,8
Termina Jogo
Termina Jogo
N Participa
N Acerta 0,6
290
90
0
Exemplo 6
-10
-10
N Acerta
0,4
190
N Acerta
0,2
Continua
Participa
Participa
Acerta
0,8
Acerta
0,6
Continua
Acerta 0,4
-10
490
290
Termina Jogo
Termina Jogo
N
NParticipa
Participa
N Acerta 0,6
290
90
0
Exemplo 6
-10
-10
N Acerta
0,4
170
N Acerta
0,2
Continua
Participa
Participa
Acerta
0,8
190
Acerta
0,6
Continua
Acerta 0,4
-10
490
290
Termina Jogo
Termina Jogo
N
NParticipa
Participa
N Acerta 0,6
290
90
0
Exemplo 6
-10
-10
N Acerta
0,4
170
N Acerta
0,2
Continua
Participa
Participa
Acerta
0,8
170
190
Acerta
0,6
Continua
Acerta 0,4
N
NParticipa
Participa
-10
490
290
Termina Jogo
Termina Jogo
N Acerta 0,6
290
90
0
Exemplo 6
-10
-10
N Acerta
0,4
170
N Acerta
0,2
142
Continua
Participa
Participa
Acerta
0,8
170
190
Acerta
0,6
Continua
Acerta 0,4
N
NParticipa
Participa
-10
490
290
Termina Jogo
Termina Jogo
N Acerta 0,6
290
90
0
Exemplo 6
-10
-10
170
NAcerta
Acerta
N
0,2
0,2
142
Continua
Participa
Participa
142
Acerta
Acerta
0,8
0,8
170
190
Acerta
0,6
N Acerta 0,6
Continua
Acerta 0,4
-10
490
290
Termina Jogo
Termina Jogo
N
NParticipa
Participa
N Acerta
0,4
290
90
0
Exemplo 6
A opção escolhida que maximiza o Ganho
Esperado é a opção “Participa”. As restantes
decisões estão condicionadas aos resultados
das fases aleatórias.
Se o João responder correctamente à primeira
questão deverá continuar a jogar, pois essa é
a decisão que maximizará o Ganho
Esperado
Exemplo 6
Se o João responder correctamente à segunda
questão, então deverá terminar, pois, mais uma vez,
essa é a decisão que maximizará o Ganho
Esperado.
Na estratégia a propor não vale a pena referir os
cenários de resposta errada, pois nesses casos o
João não tem decisão a tomar, há uma alternativa
possível
Árvores de Decisão
No entanto, como se viu anteriormente o Critério do
Valor Esperado assume que o Decisor é Neutro
face ao Risco.
Então como introduzir a apetência do Decisor face ao
Risco?
Utilizando-se uma FUNÇÃO UTILIDADE !
Árvores de Decisão
E se as distribuições nos nós de acaso forem
contínuas?
APROXIMAÇÃO A UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA
Método de Aproximação Estendida de Pearson-Tukey
(EP-T)
Considere que num nó de acaso os possíveis
resultados seguem uma distribuição contínua. O
método EP-T aconselha a que se considerem três
resultados possíveis:
1 – Elevado com 0,185 de probabilidade;
2 – Média com 0,63 de probabilidade e
3 – Baixo com 0,185 de probabilidade
Os resultados referentes a cada um dos níveis são:
1 – Elevado – Percentil de 95 %
2 – Média – Percentil de 50 %
3 – Baixo – Percentil de 5%
Fácil de implementar;
Simplifica significativamente a análise;
Limitado
a distribuições unimodais e pouco
assimétricas
Não é possível de utilizar quando uma decisão
posterior ao momento de acaso depende de um
resultado específico
Num problema de decisão sequencial sabe--se que o
valor da taxa de inflacção no próximo ano deverá
seguir uma distribuição Normal(µ = 1,5; σ = 0,3)
Os percentis de 5% e 95% de uma Normal(1,5 ; 0,3)
são, respectivamente 1,01 e 1,99
Então pelo método EP-T vem ...
Inflação
Normal(µ = 1,5; σ = 0,1)
0,185
0,63
Inflação Elevada
(1,99%)
Inflação Média
(1,50%)
0,185
Inflação Baixa
(1,01%)
Árvores de Decisão
E se não for possível conhecer-se as probabilidades
em cada um dos nós de acaso?
Então está-se perante uma Situação de Incerteza, e
nesse caso é possível utilizar-se os critérios
referidos anteriormente para uma tomada de
decisão em Incerteza
Árvores de Decisão
E se os valores nas extremidades da árvore não forem
determinísticos, mas estocáticos?
SIMULAÇÃO !!!
Teoria da Decisão
Decisão Uni-Objectivo
Teoria da Utilidade
Teoria da Utilidade
Nos exemplos anteriores não se teve em
consideração a atitude do decisor face ao Risco. Ao
introduzir-se esse factor é possível colmatar
algumas falhas do Critério do Valor Esperado.
A Teoria da Utilidade, desenvolvida por von Neumann
e Morgenstein, visa modelar o modo como um
decisor reage perante diferentes níveis de risco.
Exemplo 8
Jogo 1
Jogo 2
Ganho
Prob.
Ganho
Prob
Branca
30
0.6
60
0.5
Preta
11
0.4
-10
0.5
Pelo critério do Valor Esperado:
J1: 30 x 0.6 + 11 x 0.4 = 22.4
J2: 60 x 0.5 – 10 x 0.5 = 25.0
Mas esta é a alternativa mais arriscada !!!
Exemplo baseado. Secção de Teoria da Utilidade - Decision Analysis for Management Judgment,
Goodwin e Wright, John Wiley & Sons
Exemplo 8
Para se deduzir a função Utilidade de um decisor, é
necessário avaliar cada um dos resultados
possíveis. Usualmente considera-se como o pior
resultado possível com o valor de Utilidade zero, e o
melhor com Utilidade 1. Assim tem-se:
Ganho
Utilidade
60
1
30
?
11
?
-10
0
Exemplo 8
E qual será a Utilidade de 30?
E de 11?
Ganho
Utilidade
60
1
30
?
11
?
-10
0
Para tal existem vários métodos. De
apresenta-se o método mais utilizado:
Método da Equivalência Probabilística.
seguida
Método da Equivalência Probabilística
O método propõe que se proponha ao decisor que opte
entre receber uma determinada quantia, e jogar um jogo
(chamado de Lotaria) em que se pode receber o pior e o
melhor valor, com determinadas probabilidades.
Por exemplo, para determinar U(30) pode perguntar-se:
- Prefere
A – Receber 30 u. m. ou
B – Jogar um jogo em que pode ganhar 60, com 75% de
probabilidade, e perder 10, com 25% ?
Método da Equivalência
Probabilística
60
?
- 10
30
5
0,7
Método da Equivalência
Probabilística
B
?
A
0,2
5
60
- 10
30
Se o Decisor preferir A, é porque considera que perder 10
u. m. com 25% de probabilidade é demasiado arriscado.
U(30) > 0,75
Se preferir B, é porque ainda não considera o risco
suficientemente elevado para ponderar aceitar o ganho
certo. U(30) < 0,75
Então vai-se modificando as probabilidades até o Decisor
se sentir indeciso entre o ganho de 30 u. m. e a lotaria.
Método da Equivalência
Probabilística
85
0,7
B
?
0,12
55
A
60
- 10
30
O
valor de U(30) é calculado utilizando-se
probabilidades que causaram a indecisão.
as
Supondo que esses valores foram 0,85 e 0,15.
Então:
U(30) = 0,85 x U(60) + 0,15 x U(-10) = 0.85
Ou seja, a utilidade de um valor é igual à probabilidade
de sair o melhor valor na lotaria de indiferença!
Exemplo 8
Supondo agora que U(11) = 0,6 pode-se determinar
qual a Utilidade Esperada de cada um dos jogos.
Jogo 1
Jogo 2
Utilidade
Prob.
Utilidade
Prob
Branca
0.85
0.6
1
0.5
Preta
0.60
0.4
0
0.5
E(U(Jogo1)) = 0,60x0,85+0,40x0,60 = 0,75
E(U(Jogo2)) = 0,50x1,00+0,50x0,00 = 0,50
Teoria da Utilidade
O método anterior pode ser muito difícil de utilizar,
pois obriga o Decisor a fazer juizos de valor
demasiado complexos.
A abordagem seguinte baseia-se em questões mais
fáceis de serem respondidas, pois faz comparações
com lotarias mais simples
Exemplo 8
Ganho
Utilidade
60
1
30
?
11
?
-10
0
Método da Equivalência em Situação de Certeza.
O método propõe que se proponha ao decisor uma lotaria (I)
com dois resultados possíveis e equiprováveis, o melhor e o
pior caso da análise.
Método da Equivalência em Situação de Certeza
A questão que é colocada ao Decisor é:
- “Quanto é que está disposto a pagar para jogar a lotaria I?”
Por exemplo, neste caso:
Quanto pagaria por uma lotaria em que pode ganhar 60, com
50% de probabilidade, e perder 10, com 50% ?
Método da Equivalência em Situação de Certeza
X?
60 - x
I
- 10 - x
Método da Equivalência em Situação de Certeza
X?
60 - x
I
- 10 - x
Método da Equivalência em Situação de Certeza
O valor da resposta representa o ponto de Utilidade 0,5
Suponha-se que na questão anterior a resposta foi de 15, então
U(15) = 0,50
A partir daí efectuam-se novas questões com as lotarias:
II - Quanto está disposto a pagar para jogar uma lotaria em que perde
10 com 50% e ganha 15 com 50%?
III - Quanto está disposto a pagar para jogar uma lotaria em que ganha
15 com 50% e ganha 60 com 50%?
Método da Equivalência em Situação de Certeza
X3 ?
0
0,5
B
A
60 – x3
III
0,5
0
15 – x3
Método da Equivalência em Situação de Certeza
Os
valores
relativos
às
respostas
obtidas
respectivamente os ponto de Utilidade 0,25 e 0,75
Supondo agora que se obteve
a seguinte função de
Utilidade:
representam,
Utilidade
1
0.75
Utilidade
0
0,25
0,50
0,75
1,00
Ganho
-10
5
15
25
60
0.50
0.25
-10
5 15 25
60
$
Repete-se o procedimento até se obter uma escala de utilidades
suficientemente “fina”.
Exemplo 8
Utilidade
0
0.25
0.50
0.75
1.00
Ganho
-10
5
15
25
60
Por interpolação determina-se a Utilidade dos valores desejados.
U(11)- U(5) 11 - 5
=
U(15)- U(5) 15 - 5
Utilidade
1
0.75
U(30)
(11 - 5)
(0,5 - 0,25)
U(11)= 0,25 +
15 - 5
0.50
U(11)
0.25
-10
5 1115 25 30
60
$
U(11)= 0,25 + 0,15 = 0,4
U(30) = 0,786
Exemplo 8
Jogo 1
Jogo 2
Ganho
Prob.
Ganho
Prob
Branca
30
0.6
60
0.5
Preta
11
0.4
-10
0.5
Pelo critério do Valor Esperado:
J1: 30 x 0,6 + 11 x 0,4 = 22,4
J2: 60 x 0,5 – 10 x 0,5 = 25,0
Mas esta é a alternativa mais arriscada !!!
Exemplo baseado. Secção de Teoria da Utilidade - Decision Analysis for Management Judgment,
Goodwin e Wright, John Wiley & Sons
Exemplo 8
Agora é já possível determinar qual a Utilidade Esperada de cada um
dos jogos.
Jogo 1
Jogo 2
Utilidade
Prob.
Utilidade
Prob
Branca
0,786
0,6
1
0,5
Preta
0,325
0,4
0
0,5
E(U(Jogo1)) = 0,60x0,786 + 0,40x0,325 = 0,602
E(U(Jogo2)) = 0,50x1,00 + 0,50x0,00 = 0,50
Teoria da Utilidade
Existem muitos mais métodos de se modelar a função
Utilidade de um Decisor.
Curiosamente, diferentes métodos podem produzir
funções Utilidade muito diferentes !!!
Interpretação das funções Utilidade
Ganho
Utilidade
60
1
30
0.85
11
0.60
-10
0
Decisor com AVERSÃO ao
Risco
Utilidade
1
0.60
-10
11
30
60
$
Interpretação das funções Utilidade
Utilidade
Decisor
1
NEUTRO
ao Risco
$
Interpretação das funções Utilidade
Utilidade
Decisor
1
PROPENSO
ao Risco
$
Interpretação das funções Utilidade
Decisor
simultaneamente
Utilidade
1
PROPENSO e
AVESSO
ao Risco
$
Teoria da Utilidade
Os métodos de construção de funções Utilidade
podem ser aplicados a atributos não monetários
(distância, tempo, etc...)
Existem modelos generalizados para a situação
multi-atributo
No entanto é alvo de várias críticas...
Teoria da Utilidade
A Utilidade é um conceito difícil de explicar
ao Decisor
A construção de funções Utilidade exige que
o Decisor responda a questões complexas,
cujas respostas poderão não ser muito
fiáveis
A utilização de diferentes métodos de
modelação da Utilidade pode conduzir a
paradoxos
Teoria da Utilidade
Alguns autores recomendam que só se utilize a
Teoria da Utilidade em situações em que o Risco é
a preocupação mais relevante para o Decisor
Caso contrário, sugere-se a utilização de Funções
de Valor para se modelar a importância subjectiva
de cada resultado.
Teoria da Utilidade
Para mais informações sobre Teoria da
Utilidade consultar:
Goodwin e Wright, Decision Analysis for
Management Science, John Wiley & Sons