Álgebra de Boole

Álgebra de Boole
Chama-se operação binária ( ∗ ) a lei pela qual todo par ordenado de elementos (x,y) leva
um terceiro elemento z.
Notação: x ∗ y = z.
As operações aritméticas +, - , ·, ÷ são exemplos de operações binárias.
Seja X um conjunto. Dizemos que X é fechado em relação à operação binária ∗ se x ∗ y
∈ X , para todo x, y ∈ X . Por exemplo, o conjunto dos números naturais ℕ é fechado em relação às
operações + e · . Porém, ℕ não é fechado em relação às operações – e ÷ . O conjunto ℤ dos números
inteiros é fechado em relação às operações +, ·, -, mas não é fechado em relação à operação ÷ . Dê
um exemplo de um X que é fechado em relação às operações +, ⋅, - e ÷ .
Chamamos sistema algébrico um conjunto não vazio A munido de uma ou mais operações
binárias. Por exemplo, (A, ∗ ) é um sistema algébrico com uma operação, e (A, ∗ , ∆) é um sistema
algébrico com duas operações.
Definição: Dizemos que o sistema algébrico (B, +, · ) é uma Álgebra de Boole se forem
satisfeitas as seguintes propriedades:
i) a + b ∈ B
(B é fechado para a soma)
ii) a ⋅ b ∈ B
(B é fechado para a multiplicação)
iii) a + b = b + a
(+ é comutativa)
iv) a ⋅ b = b ⋅ a
( · é comutativa)
v) a + (b ⋅ c ) = (a + b ) ⋅ (a + c )
(+ é distributiva)
vi) a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
( · é distributiva)
vii) ∃ 0 ∈ B | a + 0 = 0 + a = a∀a ∈ B
(0 é elemento neutro da +)
viii) ∃ 1 ∈ B | a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a∀a ∈ B
(1 é elemento neutro da · )
ix) ∀a ∈ B, ∃a ∈ B | a + a ' = 1 e a ⋅ a ' = 0
(o elemento a ’ é o complemento de a )
Obs: Quando 0 = 1, dizemos que a Álgebra de Boole é degenerada.
Exemplos
1) Seja B = { F, V } e sejam duas operações ∨ e ∧ definidas em B da seguinte maneira:
∨
F
V
F
F
V
V
V
V
∧
F
V
F
F
F
V
F
V
A terna (B, ∨ , ∧ ) é uma Álgebra de Boole, conhecida como álgebra dos interruptores ou
álgebra da comutação. Note que
0 = F, 1 = V, V’ = F e F’ = V.
2) Seja E um conjunto universo qualquer. Então ( E, ∪,∩ ) é uma álgebra booleana. Observe
que
0 = φ , 1 = B e A’ = CE (A).
Teorema: (Princípio da Dualidade) Todo resultado dedutível dos axiomas de uma Álgebra
de Boole permanece válido se nele trocarmos + por · e 0 por 1, e vice-versa.
Demonstração: Pela simetria da definição de uma Álgebra de Boole entre os operadores + e
·, e os elementos 0 e 1 podem ser intercambiados conduzindo a outros resultados também
■
verdadeiros.
Exemplo: Dar o dual da expressão: x'+ y = 0 .
Trocando na expressão dada + por · e 0 por 1, vem:
x'⋅y = 1
que é o resultado procurado.
Propriedades
Seja (B, +, · ) uma Álgebra de Boole.
P1 ) a + a = a, a ⋅ a = a∀a ∈ B
Demonstração:
P2 ) a + 1 = 1, a ⋅ 0 = 0∀a ∈ B
Demonstração:
P3 ) a + (a ⋅ b ) = a, a ⋅ (a + b ) = a∀a, b ∈ B
Demonstração:
P4 ) (Lei da Absorção): a + (a ⋅ b ) = a, a ⋅ (a + b ) = a
Demonstração:
P5 ) Os operadores + e . são associativos.
Demonstração:
P6 ) O complemento de cada elemento a é único.
Demonstração:
Consequência: Toda Álgebra de Boole possui um número par de elementos.
P7 ) (a’)’ = a
Demonstração:
P8 ) a ⋅ b + a ⋅ b' = a
Demonstração:
P9 ) 0’ = 1 e 1’= 0
Demonstração:
P10 ) ( De Morgan) (a ⋅ b ) = a'+b' e (a + b )' = a'⋅b'
Demonstração:
Exercícios
1)
2)
3)
4)
Provar que: a ⋅ b + a '⋅c + b ⋅ c = a ⋅ b + a '⋅b
Provar que: (a + b ) ⋅ (a'+c ) ⋅ (b + c ) = a ⋅ c + a'⋅b
Provar que: (a + b ) ⋅ (a'+c ) = a ⋅ c + a'⋅b
Usando o teorema De Morgan, provar que:
a) (abc )' = a'+b'+c'
b) (a + b + c )' = a'⋅b'⋅c'
5) Simplificar:
a) (b ⋅ (a ⋅ c )) + (a ⋅ (b ⋅ c'))
b) ( p + q + r ) ⋅ ( p + q + s )
c) p + ( p'⋅( p + q ) + (q ⋅ r ))
d) (a + b )'⋅(b + c )'
e) (( p + q )'+(r '+ q ))'
6) Determinar o complemento das expressões:
a) a + (b + (c'⋅d + e ))
b) (a + b ) ⋅ (c + d ) ⋅ (e + f )
Ordem numa Álgebra de Boole
Sejam a e b elementos de uma Álgebra de Boole. Dizemos que a é menor ou igual a b
( a < b) se e somente se a + b = b.
Proposição: ≤ é uma ordem parcial.
Demonstração: Pela propriedade ( P1 ), a + a = a , logo a ≤ a .
Se a ≤ b e b ≤ a então a + b = b e b + a = a . Pela comutativa, temos que a = b . Agora se
a ≤ b e b ≤ c então a + b = b e b + c = c . Logo a + c = a + (b + c ) = (a + b ) + c = b + c = c
Portanto, a ≤ c e ≤ é uma ordem parcial.
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Propriedades
Sejam a , b e c elementos de Álgebra de Boole (B, +, ·).
a)
b)
c)
d)
Se a ≤ b e a ≤ c então a ≤ bc .
Se a ≤ b , então a ≤ b + c , ∀c .
Se a ≤ b , então a ⋅ c ≤ b , ∀c .
a ≤ b se, e somente se b' ≤ a ' .
Demonstração:
Exercícios
1) Provar que a ≤ b se, e somente se, a ⋅ b' = 0 .
2) Provar que a ≤ b se, e somente se, b + a ' = 1 .