Funções Trigonométricas e Derivadas - IME-USP

Funções
Trigonométricas e
Derivadas
Conceito de Derivada
A derivada representa a taxa de variação da função ao
longos de seus pontos xo.
Para encontrar a derivada de uma função em um
determinado ponto xo, basta basta achar a declividade da
reta tangente a este ponto xo
Introdução
A função y=f(x)=ax+b é representada graficamente por uma reta e
portanto sabemos com que velocidade varia essa função, ou seja,
com que velocidade varia y com a variação de x. Esta velocidade
corresponde à declividade da reta que representa a função.
y
f(x2)
α
f(x1)
f(x2) - f(x1)
∆y
f f(x2)-f(x1)
(b) − f (a )
=m
Velocidade = tgα =
b244
−– ax13
x2
14
4
x2 – x1
∆x
y
∆y
x
∆x
O
x1
x2
x
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Qual a derivada da função em um determinado ponto xo ?
Para encontrar a derivada de uma função em um determinado
ponto xo, basta basta achar a declividade da reta tangente a este
ponto
Reta tangente a função
em Xo
xo
f(x) − f(x 0 )
∆y
f ' (x 0 ) = lim
= lim
x→x0
∆x → 0 ∆x
x − x0
Declividade da reta tangente
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Qual a derivada da função em um determinado ponto xo ?
O que o Matemáticos “substituiram localmente” a curva por uma reta e
calcular a declividade dessa reta
y
f(x)
Velocidade=
f(x) - f(x0)
∆y
f(x0)
O
x – x0
x0 ∆x
x
x
f
( bf(x)-f(x0)
) − f (a )
b x2
−– x0
a 4
1 4
4
4
3
y
∆y
x
∆x
= m
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Qual a derivada da função em um determinado ponto xo ?
O que o Matemáticos “substituiram localmente” a curva por uma reta e
calcular a declividade dessa reta
y
Velocidade=
f(x)
O
( bf(x)-f(x0)
) − f (a )
b x2
−– x0
a 4
1 4
4
4
3
y
∆y
x
∆x
f(x) - f(x0)
∆y
f(x0)
f
x – x0
x0 ∆x
x
x
= m
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Qual a derivada da função em um determinado ponto xo ?
O que o Matemáticos “substituiram localmente” a curva por uma reta e
calcular a declividade dessa reta
y
Velocidade=
f
( bf(x)-f(x0)
) − f (a )
b x2
−– x0
a 4
1 4
4
4
3
y
∆y
x
∆x
f(x)
f(x) - f(x0)
∆y
f(x0)
O
x – x0
x0 ∆x
x
x
= m
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Qual a derivada da função em um determinado ponto xo ?
O que o Matemáticos “substituiram localmente” a curva por uma reta e
calcular a declividade dessa reta
y
f(x)
∆y
f(x) - f(x0)
α ∆x
f(x0)
O
x0
x-x0
x
x
f ' (x 0 ) = y ' (x 0 ) = tgα = m
f(x) − f(x 0 )
y ' (x 0 ) =
(x − x 0 )
f(x) − f(x 0 )
∆y
= lim
f ' (x 0 ) = lim
∆x → 0 ∆x
x→x0
x − x0
Exemplo 1 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no
ponto x0 = 3, ou seja, f’(3).
f ( x) − f ( x0 )
∆y
= lim
f ' ( x0 ) = y ' = lim
∆x →0 ∆x
x → x0
x − x0
Temos: x0 = 3
e
f(x0) = f(3) = 2.32 = 18
2 x 2 − 18
2( x 2 − 9)
2( x − 3)( x + 3)
f ' (3) = lim
= lim
= lim
x→3
x→3
x→3
x−3
x−3
x−3
f ' (3) = lim 2( x + 3) = 12
x →3
FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
(revisão)
REVISÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
EM UMA
CIRCUNFERÊNCIA
DE RAIO 1
COS (59,655º)= 0,505
SEN (59,655º)=0,863
b
a =1
Seno é a projeção no
eixo Y
c
Cosseno é a projeção no
Eixo
cos α = c/a →
c= cos α
sen α = b/a →
b=sen α
Ângulo α
REVISÃO DE TRIGONOMETRIA
a = 10 m
b= 8,629
α = 59,655º
cos α = c/a
sen α = b/a
c= 5,052 m
cos α = c/a = 5,062/10 = 0,505
sen α = b/a = 8,629/10 = 0,863
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ALGUNS VALORES TRIGONOMÉTRICAS
EXERCÍCIO 01
PREENCHA
COM OS
VALORES
QUE
FALTAM
cotg
sec
cossec
EXERCÍCIO 02
EXERCÍCIO 03
EXERCÍCIO 04
REGRAS DE DERIVAÇÃO
EXERCÍCIO 05