Números Primos e Divisibilidade: Estudo de Propriedades

Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
Números Primos e Divisibilidade: Estudo de
Propriedades
Cristina Helena Bovo Batista Dias
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) como
requisito parcial para a obtenção do grau de
Mestre
Orientadora
Profa.
Dra. Eliris Cristina Rizziolli
2013
512.7
D541n
Dias, Cristina Helena Bovo Batista
Números Primos e Divisibilidade: Estudo de Propriedades/ Cristina Helena Bovo Batista Dias. - Rio Claro: [s.n.], 2013.
49 f.: tab.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas.
Orientadora: Eliris Cristina Rizziolli
1. Teoria dos Números. 2. Conjetura de Goldbach. 3. Números
Inteiros. 4. Fatoriais. I. Título
Ficha Catalográca elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP
Campus de Rio Claro/SP
TERMO DE APROVAÇÃO
Cristina Helena Bovo Batista Dias
Números Primos e Divisibilidade: Estudo de Propriedades
Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de
Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Prossional em Matemática
em Rede Nacional (PROFMAT), pela seguinte banca examinadora:
Profa. Dra. Eliris Cristina Rizziolli
Orientadora
Prof. Dr. Aldicio José Miranda
Dpto. Matemática UNIFAL-Alfenas/MG
Prof. Dr. Thiago de Melo
Dpto. Matemática UNESP-Rio Claro/SP
Rio Claro, 28 de janeiro de 2013
Ao meu Deus, Jeová, aos meus pais,
ao meu querido esposo e aos meus lhos, à minha mãe e irmãos
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus pela vida. A seguir, à minha orientadora, Eliris,
aos membros da banca e, de modo geral, a todos os docentes e funcionários do Departamento de Matemática do IGCE, Rio Claro, por sua valiosa colaboração e apoio,
sem os quais este trabalho não teria sido realizado.
Em especial, agradeço ao Prof.
Dr. Henrique Lazari e ao Prof. Dr. Rômulo Campos Lins, por sua ajuda na elaboração do Capítulo 5 desta dissertação. Agradeço, ainda, aos funcionários da UNESP,
em especial, os que trabalham na Biblioteca, no Restaurante Universitário e na Cantina que, dos bastidores, dão suporte para que trabalhos como este sejam produzidos.
Finalmente, agradeço a meus pais, ao meu esposo e aos meus lhos, e a todos meus
familiares, amigos e irmãos.
Resumo
O objetivo deste trabalho é apresentar os fundamentos da divisibilidade, estudar as
propriedades dos números primos, sua associação com fatoriais e com progressões aritméticas, além de apresentar alguns resultados equivalentes à Conjetura de Goldbach.
Palavras-chave:
Fatoriais.
Teoria dos Números, Conjetura de Goldbach, Números Inteiros,
Abstract
The objective of this paper is to present the fundamentals of divisibility, study the
properties of prime numbers, their association with factorials and arithmetic progressions, and present some results equivalent to Goldbach's Conjecture.
Keywords:
Number Theory, Goldbach's Conjecture, Integer Numbers, Factorial.
Lista de Tabelas
5.1
Tabela de Diferenças de Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Sumário
1 Introdução
9
2 Números Inteiros e Divisibilidade
11
3 Sobre Números Primos
26
4 Números Primos: Resultados e Aplicações
33
4.1
Números Primos e Fatoriais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2
Números Primos e Progressões Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5 A Conjetura de Goldbach
40
6 Aplicação do Tema Divisibilidade em Sala de Aula
46
Referências
49
1 Introdução
Este trabalho tem por objetivo analisar algumas das propriedades dos chamados
números primos. Um número primo é aquele que somente é divisível por um ou por si
mesmo. Um número inteiro
inteiro
q
tal que
n
é divisível por um número inteiro
m
quando existe um
n = qm.
Desde da Grécia Antiga os matemáticos se interessam pelos números primos: Quantos são?
Como se distribuem?
Como encontrá-los?
Existe uma maneira simples de
saber se um número é primo ou não? No decorrer dos séculos algumas destas perguntas
foram respondidas, outras ainda permanecem sem resposta até os dias atuais.
Algumas armações sobre os números primos foram comprovadas há muitos séculos.
O famoso matemático Euclides demonstrou que existem innitos números primos. O
matemático Eratóstenes inventou um método, conhecido como Crivo de Eratóstenes,
para montar uma lista de primos até um determinado número. No entanto, ao passo
que o número de elementos da lista aumenta, seu método se torna cada vez mais
trabalhoso.
Por outro lado, outras armações envolvendo os números primos ainda não foram
demonstradas. Por exemplo, até hoje não se sabe como os números primos se distribuem entre os números compostos (os que não são primos), nem como descobrir, de
maneira simples, se um número é primo ou não.
Por causa da diculdade na iden-
ticação de um número primo, sistemas de segurança online têm utilizado, durante
décadas, números primos para proteger senhas e outras informações pessoais daqueles
que navegam pela internet.
Outra questão curiosa é sobre com que frequência um número primo aparece.
Quando se observa uma lista de primos se nota, num breve olhar, que existem diversos pares de números primos que diferem por apenas duas unidades, tais como
5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19,
3
e
entre outros. Tais primos são chamados primos gêmeos e, até
hoje, não se sabe se existem innitos pares de primos gêmeos ou não.
Ainda sobre este tópico, por volta de 1900, J. Hadamard e Ch. de la Valleè-Poussin,
provaram, trabalhando independentemente, um resultado sobre a frequência dos primos
conhecido como Teorema dos Números Primos.
A demonstração de tal Teorema foi
simplicada em 1949 por A. Selberg. No entanto, a distribuição dos números primos
ainda é bastante misteriosa e existem inúmeros problemas associados a ela aguardando
9
10
uma demonstração. Apresenta-se abaixo alguns dos mais famosos:
1. Existem innitos primos gêmeos, ou seja, existem innitos pares de números
primos que diferem por apenas duas unidades?
2. Sempre existe um primo entre
3. A sequência de Ficonacci
n2
e
constituídas por
k
para todo natural
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)
4. Existem innitos primos da forma
5. É verdade que, para todo
(n + 1)2
n > 0?
contém innitos números primos?
n2 − n + 41?
k ≥ 4, existe uma innidade de progressões aritméticas
números primos?
Os dois problemas mais famosos relacionados aos números primos e ainda em abertos são a Conjetura de Goldbach e a Hipótese de Riemman. A Conjetura de Goldbach
relaciona-se a uma carta que o matemático Christian Goldbach escreveu a Leonhard
Euler, em 1742, armando que todo número natural par, maior ou igual a quatro,
pode ser escrito como a soma de dois números primos.
Ivan Vinogradov, em 1937,
demonstrou uma variante mais fraca desta conjetura, a saber, que todo número ímpar
sucientemente grande pode ser escrito como a soma de três primos. A Conjetura de
Goldbach, no entanto, permanece sem demonstração até hoje.
O melhor resultado
relacionado à conjetura de Goldbach foi obtido por Chen que demonstrou que todo
número par, sucientemente grande, pode ser escrito como a soma de um primo com
um 2-quase-primo. Um número 2-quase-primo é um número da forma
p
e
q
p2 = p.q ,
onde
são primos. Esse resultado é conhecido como Teorema de Chen.
Por sua vez, a Hipótese de Riemman é o maior problema matemático de todos os
tempos e, resumidamente, consiste em demonstrar que todos os zeros não triviais da
função zeta de Riemann encontram-se sobre uma determinada reta. Tal hipótese ainda
permanece sem demonstração. Tão cedo quanto em 1900 foi oferecido um prêmio em
dinheiro para quem a demonstrasse e muitos resultados importantes da Matemática
dependem de sua veracidade. Trabalhar com estas importantes questões foi a motivação
principal deste estudo.
Este trabalho está dividido em seis capítulos:
•
Capítulo 1: Motivação histórica e resumo.
•
Capítulo 2: Fundamentos da divisibilidade e conceitos ligados a ela.
•
Capítulo 3: Números primos e suas propriedades básicas.
•
Capítulo 4: Aplicações dos números primos em outros ramos da Matemática,
•
Capítulo 5: Resultados relacionados à Conjetura de Goldbach e,
•
Capítulo 6: Sugestão para Aplicação em Sala de Aula.
2 Números Inteiros e Divisibilidade
A linha da Matemática que estuda os números naturais é conhecida como aritmética.
Os números naturais são os que aparecem naturalmente no dia a dia das pessoas e são
0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Estes números foram reunidos em um conjunto a que
os matemáticos chamam de N. Estão denidas sobre este conjunto as operações adição
(+) e multiplicação (.), que possuem às seguintes propriedades:
conhecidos como
1. São bem denidas, ou seja, para todos
0
a+b=a +b
0
e
0
a, b , a0
e
b0 ∈ N,
se
a=b
e
a0 = b 0
então
0
a·b=a ·b,
2. São comutativas, ou seja, para todos
a, b ∈ N tem-se que a+b = b+a e a·b = b·a,
3. São associativas, ou seja, para todos
a, b ∈ N
e
tem-se que
a + (b + c) = (a + b) + c
a.(b.c) = (a.b).c,
4. Possuem elementos neutros, ou seja, para todo
a ∈ N, a + 0 = a
e
a · 1 = a,
5. A multiplicação é distributiva com relação à adição, ou seja, para todos
tem-se
a, b, c ∈ N
a · (b + c) = (a + b) · (a + c).
Considera-se ainda que os números naturais possuem as seguintes propriedades:
6. Integridade, ou seja, dados
a, b ∈ N,
com
a, b
diferentes de zero, tem-se que
a·b
é diferente de zero.
De maneira equivalente pode-se dizer que se
7. Tricotomia: Dados
(a)
a, b ∈ N
a·b=0
então
a=0
ou
b=0
se verica apenas uma das seguintes possibilidades:
a=b
(b) existe
c ∈ N,
com
c 6= 0, b = a + c,
(c) existe
c ∈ N,
com
c 6= 0, a = b + c
Diz-se que
a
é menor do que
propriedade (b). Diz-se que
b,
ou
e simboliza-se por
a < b,
sempre que se verica a
a é maior do que b, e simboliza-se por a > b, sempre que se
11
12
verica a propriedade (c). Adicionalmente, conclui-se, das denições acima, que
a ≥ 1,
0 < a.
Note ainda que, para a e b, números naturais, se a + b = 0 então, a = b = 0.
Realmente, se a 6= 0 tem-se que b < 0, o que é absurdo. Portanto, a = 0. De maneira
similar mostra-se que b = 0. Logo, se a > 0 ou b > 0 então a + b > 0.
para todo
pois tem-se que
Proposição 2.1.
Para todo
0 + a = a,
0 < a,
a∈N
o que implica que
tem-se que
a · 0 = 0.
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Se a · 0 > 0 então, da armação
a · 0 > a · 0, o que é absurdo. Logo a · 0 = 0.
Demonstração. De fato,
anterior, segue que
Proposição 2.2. No que se refere à relação menor do que vale a lei do cancelamento
para a adição, ou seja, para todo
Demonstração. Suponha
Somando
c
a < b.
a, b, c ∈ N, a < b
se, e somente se,
Isso signica que existe
d > 0,
a + c < b + c.
tal que
b = a + d.
a ambos os lados desta igualdade tem-se, pelas propriedades da adição:
b + c = c + b = c + (a + d) = (c + a) + d = (a + c) + d,
o que mostra que
a + c < b + c.
Proposição 2.3. No que se refere à relação menor do que vale a lei do cancelamento
para a multiplicação, ou seja, para todo
somente se,
c
com
c 6= 0,
tem-se que
a<b
se, e
a · c < b · c.
Demonstração. Suponha
Somando
a, b, c ∈ N,
a < b.
Isso signica que existe
d > 0,
tal que
b = a + d.
a ambos os lados desta igualdade tem-se, pelas propriedades da adição e
da multiplicação:
b · c = c · b = c · (a + d) = (c · a) + (c · d) = (a · c) + (c · d),
o que mostra que
Proposição 2.4.
a · c < b · c.
No que se refere à igualdade vale a lei do cancelamento para a
adição, ou seja, para todo
a, b, c ∈ N, a = b
se, e somente se,
a + c = b + c.
Demonstração. Pelo fato da adição ser bem denida vale que, se
b + c.
Reciprocamente, supondo que
(i)
a < b.
Pela Proposição 2.2,
(ii)
b < a.
Pela mesma proposição,
(iii) Logo,
a = b.
a+c=b+c
a + c < b + c,
a=b
então
existem três possibilidades:
o que é absurdo.
b + c < a + c,
o que também é absurdo.
a+c =
13
Proposição 2.5.
No que se refere à igualdade vale a lei do cancelamento para a
multiplicação, ou seja, para todo
se,
a, b, c ∈ N,
c 6= 0,
com
tem-se que
a=b
se, e somente
a · c = b · c.
Demonstração. Pelo fato da multiplicação ser bem denida vale que, se
a · c = b · c.
Reciprocamente, supondo que
a · c < b · c,
(i)
a < b.
Pela Proposição 2.3,
(ii)
b < a.
Pela mesma proposição,
(iii) Logo,
a·c=b·c
a=b
então
existem três possibilidades:
o que é absurdo.
b · c < a · c,
o que também é absurdo.
a = b.
Observando-se em mais detalhes a relação menor do que percebe-se que não é
reexiva, pois não vale
a < a.
No entanto a relação menor ou igual a, descrita
abaixo, o é.
a
Diz-se que
a = b. Diz-se
ou a = b.
é menor ou igual a
que
a
b,
a ≤ b, sempre que a < b ou
por a ≥ b, sempre que a > b
e simboliza-se por
é maior ou igual a
b,
e simboliza-se
A relação menor ou igual a é, de fato, uma relação de ordem, pois,
1. É reexiva: para todo
a, a ≤ a.
2. É antissimétrica: para todos
3. É transitiva: para todos
a, b,
a, b,
se
a≤b
e
b≤a
então
a = b.
c,
se
a≤b
e
b ≤ c,
então
a ≤ c.
e
Antes de iniciar a discussão sobre divisibilidade é interessante considerar o princípio
de indução nita, visto que é muito utilizado na demonstração de resultados importantes na teoria dos números.
A indução nita se baseia nos dois seguintes princípios:
Princípio 2.1. (Boa Ordem) Todo conjunto não-vazio de números naturais possui
um menor elemento.
Princípio 2.2. (Indução Finita) Seja A ⊂ N, com as seguintes propriedades:
i)
1 ∈ A;
ii) Se
k∈A
Então
então
A = N.
k + 1 ∈ A.
14
Observação 2.1.
Observe que, de acordo com este princípio, para provar uma arma-
1 e, a seguir, supondo que a armação
provar que vale para n + 1.
ção para todo número natural basta provar para
vale para um número natual
Corolário 2.1.
n
qualquer,
Não existe nenhum número natural
n
tal que
0 < n < 1.
p(n) : n > 0 então n ≥ 1
que p(0) é verdadeira, já que a
Além disso, p(n + 1) é sempre
Demonstração. A frase acima é equivalente à proposição
n. Uma vez que 0 > 0 é falso segue-se
implicação 0 > 0 então 0 ≥ 1 sempre é verdadeira.
verdadeira pois, se n + 1 > 0, então n + 1 ≥ 1 pela lei do cancelamento.
Portanto, p(n) implica p(n + 1) para todo n e o resultado segue.
vale para todo
Corolário 2.2.
Dado
n∈N
não existe nenhum número natural
m
tal que
n<m<
n + 1.
Demonstração. Se tal número existisse, existiria um natural
Então, pelo cancelamento, tem-se que
0 < k < 1
k tal que n+k = m < n+1.
o que, pelo corolário anterior, é
absurdo.
Portanto, não existe nenhum natural
m
entre
n
e
n + 1.
Sequências são funções cujo domínio é o conjunto dos números naturais
contradomínio é o conjunto dos números reais
(R).
(N)
e cujo
Para tratar do relacionamento en-
tre os números primos e as progressões aritméticas apresenta-se a seguir o conceito de
progressão. Progressões são sequências que seguem uma lei de formação determinada
pelo seu primeiro elemento e por um número conhecido como razão. Essa lei de formação, em muitos casos, pode ser demonstrada através do princípio de indução nita.
Para os ns deste trabalho serão utilizadas apenas progressões cujo contradomínio seja
o conjunto dos números naturais.
Como exemplo, apresenta-se abaixo as denições de alguns tipos especiais de progressões:
Denição 2.1.
(an )
tal que
a1
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números reais
é dado e, para todo
n ∈ N,
tem-se que
an+1 = an + r,
onde
r
é um número real xado chamado razão.
Exemplo 2.1.
e
A sequência
3, 7, 11, · · ·
é uma progressão aritmética na qual
a1 = 3
r = 4.
Note que a razão de uma PA pode ser encontrada por se subtrair
qualquer natural
a2 − a1 = 4 = r .
i.
Assim,
a2 − a1 = a3 − a2 = ai+1 − ai = r.
ai
de
ai+1
para
No exemplo dado
15
Denição 2.2.
(an )
tal que
a1
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais
n ∈ N,
é dado e, para todo
tem-se que
an+1 = an · q,
onde
q
é um número real xado,
Exemplo 2.2.
e
A sequência
q 6= 0
3, 6, 12, · · ·
e
q 6= 1,
chamado razão.
é uma progressão geométrica na qual
a1 = 3
q = 2.
Note que a razão de uma PG pode ser encontrada por se dividir
i.
qualquer natural
Assim,
a2 ÷ a1 = a3 ÷ a2 = ai+1 ÷ ai = q .
ai+1
por
ai
para
No exemplo dado
a2 ÷ a1 = 2 = q .
Denição 2.3.
meros reais
Uma progressão aritmético-geométrica (PAG) é uma sequência de nú-
(an )
tal que
a1
é dado e, para todo
n ∈ N,
tem-se que
an+1 = an · q + r,
onde
r
e
q
Exemplo 2.3.
qual
q 6= 1.
são números reais xados e
A sequência
a1 = 4, r = 5
e
q = 2.
4, 13, 31, · · ·
é uma progressão aritmético-geométrica na
De fato,
a1 = 4, a2 = 4 · 2 + 5 = 13, a3 = 13 · 2 + 5 = 31, · · · .
Note que as razões de uma PAG não são encontradas apenas por uma operação simples. Para que seja possível encontrá-las é necessário resolver um sistema de equações
de duas incógnitas. No exemplo:
(
13 = 4 · q + r
,
31 = 13 · q + r
Multiplicando a primeira equação por
(
−1
obtem-se:
−13 = −4 · q − r
,
31 = 13 · q + r
9 · q = 18,
r = 5.
Somando estas duas equações tem-se que
este valor na primeira equação tem-se que
de onde
q = 2.
Substituindo
Usando-se o princípio da indução nita é possível demonstrar as seguintes propriedades relacionadas a progressões:
Proposição 2.6.
1.
Numa progressão aritmética tem-se que:
an = a1 + (n − 1)r;
16
2. Se
Sn = a1 + a2 + · · · + an
então
Sn =
(a1 + an )n
.
2
Demonstração.
1. Para
n=1
tem-se que
a1 = a1 .
Suponha que a propriedade vale para
n.
Então,
pela denição de PA e pela hipótese de indução,
an+1 = an + r = a1 + (n − 1)r + r = a1 + nr.
2. Para
vale
(a1 + a1 ) · 1
n = 1 tem-se que S1 = a1 =
. Suponha, agora, que o resultado
2
para Sn . Então, pela denição de Sn , pelo item anterior e pela hipótese de
indução tem-se que,
(a1 + an )n
+ an+1 =
2
a1 n + an n
a1 n + an n 2an+1
a1 n + an n + 2an+1
=
+ an+1 =
+
=
=
2
2
2
2
a1 n + an n + a1 + nr + an+1
a1 n + a1 + an n + nr + an+1
=
=
=
2
2
a1 (n + 1) + an+1 n + an+1
a1 (n + 1) + (an + r)n + an+1
=
=
=
2
2
a1 (n + 1) + an+1 (n + 1)
=
.
2
Sn+1 = a1 + a2 + · · · + an + an+1 =
Proposição 2.7.
1.
Numa progressão geométrica tem-se que:
an = a1 · q n−1 ;
2. Se
Sn = a1 + a2 + · · · + an
e
q 6= 1
então
Sn = a1
qn − 1
.
q−1
Demonstração.
1. Para
n=1
tem-se que
a1 = a1 .
Suponha que a propriedade vale para
n.
Então,
pela denição de PG e pela hipótese de indução,
an+1 = an q = a1 q n−1 · q = a1 q n .
2. Para
n = 1
vale para
tem-se que
Sn .
q1 − 1
. Suponha, agora, que
q−1
de Sn , pelo item anterior e pela
S1 = a1 = a1
Então, pela denição
indução tem-se que,
Sn+1 = a1 + a2 + · · · + an + an+1 = a1
qn − 1
+ an+1 =
q−1
o resultado
hipótese de
17
=
a1 q n − a1 an+1 (q − 1)
a1 q n − a1 + an+1 q − an+1
a1 q n − a1
+ an+1 =
+
=
=
q−1
q−1
q−1
q−1
=
an+1 − a1 + a1 q n q − an+1
an+1 − a1 + a1 q n+1 − an+1
=
=
q−1
q−1
=
a1 q n+1 − a1
q n+1 − 1
= a1
.
q−1
q−1
Para terminar o tópico sobre indução nita apresenta-se abaixo alguns exemplos de
fórmulas de indução.
Exemplo 2.4.
Até onde se tem registro, o primeiro exemplo de utilização do Princípio
de Indução Finita remonta ao ano de 1575, quando Francesco Maurolycus calculou
a soma dos
n
primeiros números ímpares.
Ele demonstrou que,para todo
n
natural
tem-se que
1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2
Primeiramente, observe que vale
que
1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n
2
p(1), pois, 1 = 12 .
p(n), ou seja,
n. Então, vale p(n + 1,
Suponha que vale
para um determinado natural
pois
1 + 3 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)1
e, portanto, a fórmula vale para todo
n.
1
1
1
n
1
+
+
+·+
=
.
1·2 2·3 3·4
n · (n + 1)
n+1
1
1
1
Em primeiro lugar note que,
=
= .
1·2
1+1
2
1
1
1
1
n
Suponha que vale p(n), ou seja, que
+
+
+·+
=
,
1·2 2·3 3·4
n · (n + 1)
n+1
para um determinado n. Então, pela hipótese de indução,
Exemplo 2.5.
Mostre que
1
1
1
1
1
n
1
+
+
+·+
+
=
+
=
1·2 2·3 3·4
n · (n + 1) (n + 1) · (n + 2)
n + 1 (n + 1) · (n + 2)
=
n(n + 2) + 1
n2 + 2n + 1
(n + 1)2
n+1
=
=
=
.
(n + 1) · (n + 2)
(n + 1) · (n + 2)
(n + 1) · (n + 2)
n+2
Exemplo 2.6.
Encontre uma fórmula para a soma
2 + 4 + · · · + 2n.
Neste tipo de problema primeiro deve-se calcular alguns elementos a m de conseguir encontrar a fórmula geral. Neste exemplo tem-se que:
S1 = 2, S2 = 6, S3 = 12, S4 = 20, S5 = 10, etc
Organizando estas informações obtem-se:
18
S1
S2
S3
S4
=2
= S1 + 2 · 2
= S2 + 2 · 3
= S3 + 2 · 4
.
.
.
.
.
= .. + ..
Sn = Sn−1 + 2 · n
Somando membro a membro estas equações chega-se a:
S1 + S2 + · · · + Sn = 2 · S1 + S2 + · · · + Sn−1 + 2(2 + · · · + n)
(2 + n)(n − 1)
= 2 + (n − 1)(n + 2)
2
Sn = 2 + (n − 1)(n + 2).
Sn = S1 + 2
Logo,
Observe que, neste caso, a maneira pela qual a fórmula foi encontrada constitui
uma demonstração matemática de que esta soma é válida para um determinado
n.
Para garantir sua validade para todos os naturais é necessário aplicar o Princípio de
p(1) é verdadeira, pois S1 = 2 + (1 − 1)(1 + 2) = 2. Suponha que
Sn = 2 + (n − 1)(n + 2), para um determinado n, ou seja, que vale p(n). Então, pela
Indução. Tem-se que
denição da soma, pela construção da sequência e pela hipótese de indução, tem-se que
Sn+1 = Sn + an+1 = 2 + (n − 1)(n + 2) + 2(n + 1) = 2 + n2 + 2n − n − 2 + 2n + 2 =
= 2 + n2 + 3n = 2 + n(n + 3) = 2 + ((n + 1) − 1)((n + 1) + 2),
como queríamos demonstrar.
Observação 2.2.
meros naturais
N,
Chama-se de conjunto
Z
dos números inteiros ao conjunto dos nú-
acrescido dos números negativos. Como em divisibilidade a maioria
das propriedades vale quando restrita aos números naturais, neste trabalho, sempre
que for interessante esta restrição será utilizada.
Denição 2.4.
existir um inteiro
Exemplo 2.7.
47,
a
Se
c
e
b
tal que
Tem-se que
b = ac.
5
Sejam
a, b
e
c
a
não
65,
pois
Se
divide
pois não existe nenhum inteiro
Proposição 2.8.
k
tal que
inteiros. Se
a|b
inteiro k2 ,
Demonstração. De fato, uma vez que
logamente, como
signica que
b|c
a divide b, e denota-se
divide b denota-se a - b.
por
65 = 13 · 5.
47 = 5k .
não divide
são inteiros, diz-se que
existe um
a|b
e
b|c
Por outro lado,
então
existe um inteiro
tal que
c = k 2 b.
5
Sejam
a, b, c, m
e
n
inteiros. Se
c|a
e
c|b
se
a|c.
k1 ,
b = k1 a.
c = k2 k1 a,
tal que
Portanto,
a|c.
Proposição 2.9.
a|b,
então
c|(ma ± nb).
Anao que
19
Demonstração. Pela denição de divisibilidade se
então
a = k1 c,
para algum
k1 ,
b = k2 c. Multiplicando-se estas duas equações,
respectivamente, por m e n obtém-se ma = mk1 c e nb = nk2 c. Somando-se membro a
membro chega-se a ma ± nb = mk1 c ± nk2 c = (mk1 ± nk2 )c. Portanto c|(ma + nb).
inteiro.
c|b
c|a
Analogamente, se
Proposição 2.10.
Sejam
então
a, b, n ∈ N,
a + b 6= 0.
com
n.
Demonstração. Demonstra-se por indução sobre
deira, pois
1
1
a + b = a + b.
Suponha que
a + b|a
Então
Para
2n+1
+b
a+b
n=0
2n+1
divide
a2n+1 + b2n+1 .
a armação é verda-
. Então:
a2(n+1)+1 + b2(n+1)+1 = a2 a2n+1 − b2 a2n+1 + b2 a2n+1 + b2 b2n+1 =
= (a2 − b2 )a2n+1 + b2 (a2n+1 + b2n+1 ).
Uma vez que
a + b|a2 − b2
a + b|(a2n+1 + b2n+1 )
e que, por hipótese,
o resultado
segue, do acima e da Proposição 2.9.
Teorema 2.1.
0 < a < b.
(Divisão
Euclidiana).
Sejam
a
b
e
dois números naturais tais que
Existem dois números naturais, unicamente determinados, tais que
b = a · q + r,
com
r < a.
Demonstração. Considere o conjunto
enquanto
Q dos números da forma b, b−a, b−2a, · · · , b−n·a,
b − n · a > 0.
r = b − q · a, o menor elemento do conjunto
segue. Caso contrário, se a - b então r 6= 0.
Pela Propriedade da Boa Ordem, existe
Q.
Se
a|b,
então
r = 0
e o resultado
r<a
existe c < r
Portanto, mostrando que
chega-se ao resultado desejado. Então, suponha que
r > a.
tal que
Neste caso,
r = c + a.
Logo, como
r = c+a = b−q·a
tem-se que:
c = b − (q + 1) · a ∈ Q.
c ∈ Q e é menor do que r, o que é absurdo, pois r
elemento de Q. Portanto, r < a e a existência de q e r está
Portanto,
menor
foi tomado como o
demonstrada.
Quanto à unicidade, suponha que existam dois elementos distintos,
0
0
r = b−q·a
0
r = b − q · a, com r < r < a. A diferença entre estes dois elementos é divisível
0
0
0
e, portanto, r − r ≥ a. Então, r ≥ r + a > a, o que é absurdo. Logo, r = r .
Corolário 2.1. (Propriedade Arquimediana).
com
1 < a < b,
existe um número natural
n
Dados dois números naturais
tal que
na < b < (n + 1)a.
e
por
a
a
b
e
20
Demonstração. Pela Divisão Euclidiana tem-se que existem
q · a + r,
r < a.
com
Tome
n = q.
q, r ∈ N,
tais que
b =
Então,
na = q · a < q · a + r = b.
Por outro lado,
b = q · a + r < (q + 1)a + r = (n + 1)a + r.
Logo,
na < b < (n + 1)a.
Denição 2.5.
a
e
b
Seja
m
um número natural diferente de zero. Dois números naturais
m quando
a ≡ b mod m.
são congruentes módulo
iguais. Notação:
os restos de sua divisão euclidiana por
m
são
Exemplo 2.8.
• 18
5;
e
43
deixam resto
3
ao serem divididos por
5,
então são congruentes módulo
• 71
7;
e
85
deixam resto
1
ao serem divididos por
7,
então são congruentes módulo
• 43
deixa resto
Portanto,
43
e
Observação 2.3.
1 ao ser dividido por 6 e 46 deixa
46 não são congruentes módulo 6.
resto
4
ao ser dividido por
6.
a ≡ b mod m é o mesmo que dizer que
m|b − a. De fato, suponha que a e b deixem resto r ao serem divididos por m. Então,
pela divisão euclidiana tem-se que a = mq1 + r e b = mq2 + r . Então b − a =
mq2 + r − mq1 − r = mq2 − mq1 = m(q2 − q1 ) e, portanto, m|b − a.
Observe que dizer que
Proposição 2.11. Sejam a, b ∈ N e n um número natural maior do que zero.
mod m,
então
Se
a≡b
an ≡ bn mod m.
Demonstração. Inicialmente note que, para quaisquer números naturais tem-se que, se
a ≡ b mod m e c ≡ d mod m então ac ≡ bd mod m. De fato, bd − ac = d(b − a) +
a(d − c). Como m|b − a e m|d − c, então m|bd − ac e ac ≡ b mod m.
Observado isto, a demonstração do resultado é feita por induçao sobre n. A armação é verdadeira para n = 1. Suponha, agora, que o resultado vale para n, então,
pela hipótese de indução e pela Observação 2.3 tem-se que
an+1 = an a ≡ bn b mod m.
Mas
bn b = bn+1 .
Denição 2.6.
inteiro
d
Logo
an+1 = an a ≡ bn+1 mod m.
a e b,
d|a e d|b.
Dados dois números inteiros
é um divisor comum de
a
e
b
se
distintos, diz-se que o número
21
Exemplo 2.9.
96 = 16 · 6,
mas
7
Denição 2.7.
Exemplo 2.10.
e
k
tal que
84
e
96
84
a
e
b.
96,
e
96 = 7k .
a
pois
84 = 12 · 7
inteiro positivo que seja maior do
Proposição 2.12.
Seja
96 = 12 · 8,
que 12 e divisor
d = (a, b),
e
b
é o maior inteiro
(a, b).
Notação:
Usando os mesmos números do Exemplo 2.10,
96,
84 = 14 · 6 e
84 = 12 · 7 não
pois
pois, embora
O máximo divisor comum de dois inteiros
positivo que divide
84
é um divisor comum de
não é um divisor comum de
existe nenhum inteiro
comum de
6
Por exemplo,
e
12
é o máximo divisor
e não existe nenhum outro número
comum de
então existem inteiros
m
e
84
n
e
96.
tais que
d = ma + nb.
c = m0 a + n0 b o menor inteiro positivo que pode ser escrito nesta
forma, então c|a e c|b. De fato, se c - a existiriam, pela Divisão Euclidiana q1 e r1
tais que a = cq1 + r1 , com 0 < r1 < c, de onde r1 = a − cq1 = a − (m0 a + n0 b)q1 =
(1 − q1 m0 )a + (−qn0 )b. Ou seja, r1 é da forma m1 a + n1 b e menor do que c, o que é
absurdo por construção. Logo c|a. Da mesma maneira demonstra-se que c|b.
Como d é um divisor comum de a e b tem-se que existem inteiros m1 e m2 tais que
a = m1 d e b = m2 d. Logo, c = m0 a + n0 b = m0 m1 d + n0 m2 d = d(m0 m1 + n0 m2 ),
ou seja, d|c e, portanto, d ≤ c. Como d é o máximo divisor comum de a e b, d < c é
impossível. Logo c = d e, portanto, existem m, n tais que d = ma + nb.
Demonstração. Seja
Lema 2.1.
então
(a, b)
(De Euclides.)
Sejam
a, b, n ∈ N,
com
a < na < b.
Se existe
(a, b − na)
existe e
(a, b) = (a, b − na).
d = (a, b − na). Pela denição de máximo divisor comum, d|a e
d|b − na. Uma vez que d|a tem-se que d|na. Além disso, d|b, pois b = b − na + na>
então, d é um divisor comum de a e b. Finalmente, suponha que c seja um divisor
comum de a e de b. Então c|a e c|b − na. Portanto, pela denição de máximo divisor
comum c|d. Logo, d = (a, b).
Demonstração. Seja
Denição 2.8. Dois números naturais a e b são ditos primos entre si quando (a, b) = 1.
Proposição 2.13.
a e b são primos
ma − nb = 1.
Dois números naturais
existem números naturais
m
e
n
tais que
entre si se, e somente se,
a > b. Seja c ∈ N tal que
c|a e c|b. Logo, pela Proposição 2.9, c|(ma − nb). Então, c = d(ma − nb). Como
c = (a, b) = 1 tem-se que 1 = d(ma − nb), de onde, d = 1 e ma − nb = 1, uma vez que
tanto d, como ma − nb foram tomados como números naturais. Portanto, existem m e
n tais que ma − nb = 1.
Por outro lado, suponha que existam m e n tais que ma − nb = 1. Seja d = (a, b).
Então, pela Proposição 2.9, d|(ma − nb) = 1. Mas, então, d|1 e, portanto, d = 1.
Demonstração. Suponha, sem perda de generalidade, que
22
Teorema 2.2.
Sejam
a, b
e
c
a|b · c,
números naturais. Se
a|b · c
e
(a, b) = 1,
então
a|c.
e tal que bc = ae. Como
(a, b) = 1, pela Proposição 2.13, existem números naturais m, n tais que na − mb = 1.
Daí, segue que c = nac − mbc = nac − mae = a(nc − me). Isto é, a|c.
Demonstração. Como
Proposição 2.14.
Sejam
a, b
existe um número natural
e
n
números naturais. Então
d = (na, nb) = n(a, b).
u, v ∈ N tais que d = una + vnb, é o
menor valor possível para os números da forma u0 na + v0 nb. Seja e = (a, b). Então,
pela Proposição 2.12, e é igual ao menor valor dos números da forma u0 a+v0 b. Portanto,
d = una + vnb = n(ua + vb) = nc e (na, nb) = n(a, b).
b
a
,
= 1.
Corolário 2.3. Sejam a, b e n números naturais. Então
(a, b) (a, b)
Demonstração. Pela Proposição 2.12 existem
Demonstração. Usando a Proposição 2.14 tem-se que:
Portanto,
a
b
a
b
,
, (a, b)
(a, b)
= (a, b)
= (a, b).
(a, b) (a, b)
(a, b)
(a, b)
a
b
,
= 1.
(a, b) (a, b)
Proposição 2.15.
Dados
a, b
e
c ∈ N,
se
Proposição 2.16.
Dados
a, b
e
c∈N
então,
(a, b) = 1
então,
(a · c, b) = 1
(a · c, b) = (c, b).
se, e somente se,
(a, b) =
(c, b) = 1.
(a, b) = (c, b) = 1 tem-se, pela Proposição 2.15, que (a · c, b) =
(c, b) = 1. Por outro lado, se (a · c, b) = 1 então, pela Proposição 2.13 existem m, n ∈
N tais que mac − nb = 1. Logo, existem m1 = mc e n1 = n naturais, tais que
m1 a − n1 b = 1. Daí segue, pela Proposição 2.13 que (a, b) = 1. Similarmente, concluíse que (c, b) = 1.
Demonstração. Se
Proposição 2.17.
Dados
a, b ∈ N
então
a = (a, b)
se, e somente se,
a|b.
a = (a, b) então, pela denição de máximo divisor comum
a|b, então b = na, de onde, usando a Proposição 2.14, (a, b) =
Demonstração. De fato, se
a|b. Por outro lado, se
(a, na) = a(1, n) = a.
Proposição 2.18.
onde
r
Dada uma sequência
é o resto da divisão de
Demonstração. Escrevendo
onde
dade
rs+1 = 0, tem-se, pela
de (an )n tem-se que:
m
por
n,
(an )n ,
∀m ≥ n, (am , an ) = (an , ar ),
que (am , an ) = am,n .
tal que
então tem-se
m = qn + r, r = q1 n1 + r1 , r1 = q2 n2 + r2 , ·, rs = qs+1 ns+1 ,
Divisão Euclidiana, que rs = (m, n). Aplicando a proprie-
(am , an ) = (an , ar1 ) = (ar1 , ar2 ) = · = (ars , ars+1 ) = (as , 0) = a(m,n) .
23
Denição 2.9.
O menor inteiro positivo que é, simultaneamente, múltiplo de
chamado mínimo múltiplo de
a
e
b.
Notação:
a
e
b
é
[a, b].
Exemplo 2.11. 30 é o mínimo múltiplo comum de 6 e 5, pois é o menor inteiro positivo
que é múltiplo de
Note que
30
5
(pois
30 = 6 · 5)
também é
positivo que é múltiplo de
Proposição 2.19.
30 = 5 · 6).
o mínimo múltiplo comum de 6 e 10, pois é o
10 (pois 30 = 3 · 10) e de 6 (pois 30 = 5 · 6).
e de
6
(pois
Dados dois números inteiros
a
e
b,
existe
[a, b]
menor inteiro
e
[a, b](a, b) = ab.
m =
Demonstração. Seja
múltiplo comum de
a
e
b
ab
.
(a, b)
Então
tem-se que
a|m
n2
e,
b|m.
a
b
e
são primos entre
(a, b) (a, b)
a
b divide n2 b = c.
portanto, m =
(a, b)
Por outro lado, tomando
c
um
b
a
= n2
.
(a, b)
(a, b)
Mas,
si. Segue do Teorema 2.2 que
a
(a, b)
c = n1 a = n2 b,
pelo Corolário 2.3,
divide
e
de onde,
n1
Uma das aplicações interessantes do máximo divisor comum relaciona-se com a
famosa sequência de Fibonacci. Nesta sequência um termo é a soma dos dois termos
anteriores, sendo que os dois primeiros termos são
sequência de Fibonacci por
fi ,
onde
i
1.
Representando os elementos da
é a posição do termo na sequência é possível
escrever:
f1 = 1
f2 = 1
fi = fi−1 + fi−2 ,
ou seja, a sequência é dada por
para
i > 2,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, . . . .
Apresenta-se, a seguir, algumas propriedades interessantes desta sequência relacionadas ao máximo divisor comum e à divisibilidade.
Proposição 2.20.
Dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci são primos
entre si.
Demonstração. Demonstra-se o resultado por indução. Para
(1, 1) = 1.
Suponha que
(fn , fn+1 ) = 1
n = 1 tem-se que (f1 , f2 ) =
Então, pelo Lema de Euclides:
(fn+1 , fn+2 ) = (fn+1 , fn+2 − fn+1 ) = (fn+1 , fn ) = 1.
24
Proposição 2.21.
Sejam
m, n ∈ N∗
e
m ≥ 2.
Então
fm+n = fm−1 fn + fm fn+1 .
Demonstração. Demonstra-se o resultado primeiro por se xar
sobre
m.
Depois, xa-se
m
m
o resultado vale para todo
Tomando
n=1
e usa-se indução sobre
e para todo
n.
n=1
e usar indução
Desta maneira demonstra-se que
n.
a igualdade escreve-se como:
fm+1 = fm−1 f1 + fm f1+1 = fm−1 + fm ,
que é verdadeira para todo
Suponha, agora que,
m
pela denição da sequência de Fibonacci.
fm+n = fm−1 fn + fm fn+1 .
Então,
fm+(n+1) = fm+n + fm+(n−1) = fm−1 fn + fm fn+1 + fm+(n−1) =
= fm−1 (fn+1 − fn−1 ) + fm (fn+2 − fn ) + fm+(n−1) =
= fm−1 fn+1 − fm−1 fn−1 + fm fn+2 − fm fn + fm+(n−1) =
= fm−1 fn+1 + fm fn+2 − fm−1 fn−1 − fm fn + fm+(n−1) = (∗)
Mas, usando a hipótese de indução uma segunda vez, tem-se que
fm−1 fn−1 + fm fn .
Substituindo em
(∗)
fm+(n−1) =
obtem-se
(∗) = fm−1 fn+1 + fm fn+2 − fm−1 fn−1 − fm fn + fm−1 fn−1 + fm fn =
= fm−1 fn+1 + fm fn+2 .
Proposição 2.22.
Sejam
m, n ∈ N∗ .
m|n
então
fm |fn .
n = km para algum inteiro k . Demonstra-se
que o resultado vale para todo múltiplo de m pelo uso de indução sobre k . Para k = 1,
tem-se que m|m então fm |fm verdadeiro. Suponha que o resultado vale para n = km,
ou seja, que fm |fmk . Então, pela Proposição 2.21 tem-se que
Demonstração. Como
m|n
Se
tem-se que
fn(k+1) = fnk+n = fnk−1 fn + fnk fn+1 .
Mas,
fn |fnk−1 fn
Teorema 2.3.
fn |fm
e, pela hipótese de indução,
fn |fnk fn+1 , segue que fn
Na sequência de Fibonacci sempre vale
se, e somente se,
n|m.
divide
(fm , fn ) = f(m,n) .
fn(k+1) .
Além disso,
25
Demonstração. Suponha que
m ≥ n.
Então, pela Divisao Euclidiana,
m = nq + r.
Usando a Proposição 2.21 tem-se que
fm = fnq+r = fnq−1 fr + fnq fr+1 .
Mas, pela Proposição 2.22,
fn |fnq .
Então, pelo Lema de Euclides:
(fn , fm ) = (fnq−1 fr + fnq fr+1 , fn ) = (fnq−1 fr , fn ).
(∗∗)
(fnq−1 , fnq ) = 1, então, da Proposição 2.16 tem-se que (fnq−1 , fn ) =
1. Portanto, de (∗∗) e da Proposição 2.15 segue que (fm , fn ) = (fn , fr ). Então, pela
Proposição 2.18, (fm , fn ) = f(m,n) .
A segunda armação segue diretamente da primeira, pois, se n|m então, pela Proposição 2.17, (n, m) = n, de onde, fn = f(n,m) = (fn , fm ), ou seja, fn = (fn , fm ). Logo,
fn |fm . Mostra-se a recíproca usando o mesmo argumento.
Pela Proposição 2.20,
Uma das perguntas interessantes relacionadas à sequência de Fibonacci é se ela
possui em seus termos, innitos números primos (um número primo é o que é divisível
apenas por um e por ele mesmo. Mais sobre os números primos será visto no capítulo 3).
Esta pergunta não tinha sido respondida até à conclusão deste trabalho e encontra-se
entre as armações não demonstradas sobre os números primos.
3 Sobre Números Primos
Neste capítulo, será apresentado o principal elemento matemático de estudo deste
trabalho, os números primos. No próximo, serão apresentados algumas aplicações.
Denição 3.1.
Um número natural maior do que 1 e que só é divisível por 1 e por si
próprio é chamado de número primo.
Exemplo 3.1.
divisíveis por
Os números
k
Sejam,
Exemplo 3.2.
e
a
e
para o qual
representado por
mod 5
e
29
são primos, mas
85, 115
e
140
não são, pois são
5.
Denição 3.2.
teiro positivo
7, 13
m números naturais tais que (a, m) = 1. O menor inak ≡ 1 mod m é chamado de ordem de a módulo m e
ordm a.
34 = 81 ≡ 1 mod 5, 33 = 27 ≡ 2 mod 5, 32 = 9 ≡ 4
31 = 3 ≡ 3 mod 5. Portanto, ord5 3 = 4.
Por exemplo,
Denição 3.3. Seja n um número natural.
ϕ de Euler à que associa
m menores do que n, tais que
Chama-se função
a cada número natural, o número de inteiros positivos
(m, n) = 1.
Exemplo 3.3.
ϕ para os números 24, 32 e 37.
Para 24 tem-se que 1, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 e 23 são primos
com 24. Logo ϕ(24) = 17.
Para 32 tem-se que 1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,
24, 25, 26, 27, 28 ,29, 30 e 31 são primos com 32. Logo ϕ(32) = 27.
Finalmente, para 31, uma vez que ele é um número primo tem-se que ϕ(31) = 30,
pois todos os números anteriores a 31 são primos com ele.
Calcule o valor da função
Denição 3.4.
Sejam,
a
e
m
chamado raiz primitiva módulo
Exemplo 3.4.
números naturais tais que
m
quando
(a, m) = 1.
O número
a
é
ordm a = ϕ(m).
3 é uma raiz primitiva de 7, pois 729 = 36 ≡ 1 mod 7. Por
5
4
3
2
outro lado, 3 = 243 ≡ 5 mod 7, 3 = 81 ≡ 4 mod 7, 3 = 27 ≡ 6 mod 7, 3 = 9 ≡ 2
mod 7 e 31 = 3 ≡ 3 mod 7. Portanto, ord7 3 = 6.
Além disso, como 7 é um número primo tem-se que ϕ(7) = 6, o que prova que 3 é
uma raiz primitiva de 7.
Tem-se que
26
27
Denição 3.5. Um sistema completo de resíduos módulo m é um conjunto de números
naturais cujos restos pela divisão por
m
são os números
0, 1, 2, · · · , m − 1,
em qualquer
ordem e sem repetições.
Exemplo 3.5.
dulo
5
pois, dividindo
Denição 3.6.
naturais
{31, 43, 82, 95, 14} é um sistema completo de resíduos móestes números por 5 obtem-se, respectivamente, 1, 3, 2, 0 e 4.
O conjunto
Um sistema reduzido de resíduos módulo
r1 , · · · , rs
1.
(ri , m) = 1,
2.
ri
Exemplo 3.6.
é um conjunto de números
tais que
para todo
não é congruente a
3. Para cada
m
n∈N
i = 1, · · · , s,
rj
módulo
m
i 6= j ,
para
que seja primo com
m,
existe
i
tal que
n ≡ ri mod m.
Usando o mesmo conjunto do Exemplo 3.5 tem-se que
é um sistema reduzido de resíduos módulo
5,
{31, 43, 82, 14}
pois todos os seus elementos são primos
5, nenhum deles é congruente ao outro módulo 5 e todo natural que seja primo
com 5 é congruente a um dos elementos deste conjunto módulo 5, já que todos os restos
maiores do que zero, possíveis numa divisão por 5 podem ser obtidos dos elementos
com
deste conjunto.
Observação 3.1.
Das denições anteriores percebe-se que
ϕ(m) ≤ m − 1
pois, os
valores que tal função pode assumir são os valores que correspondem ao resto da divisão
m. Note ainda que, quando ϕ(m) = m − 1, m é
primo, pois todos os números 1, 2, 3, · · · , m − 1 são primos com m.
Isso ajuda a concluir que, se um número a é raiz primitiva módulo p, com p primo,
então ordp a = ϕ(p) = p − 1. Além disso, é possível demonstrar que todo número primo
p possui pelo menos uma raiz primitiva a, tal que p | a.
euclidiana de um número natural por
Nos artigos 73 e 74 das Disquisitiones Arithmeticae, Gauss descreveu um processo
para o cálculo de raízes primitivas.
Observação 3.2. Durante os séculos os matemáticos têm observado classes de números
com o objetivo de aprender sobre os números primos. Muitos dos problemas abertos
da matemática relacionam-se a estas classes e, por isso, apresenta-se agora uma lista
das mais conhecidas.
1. Números de Fermat :
n
Fn = 22 + 1;
2. Números de Mersenne:
Mn = 2n − 1;
3. Pseudoprimos: Números compostos que possuem propriedades que se espera encontrar apenas em números primos;
28
4. Números de Carmichael: Números compostos
todo
a, 1 < a < n
com
n
tais que
an−1 ≡ 1 mod n,
para
(a, n) = 1;
5. Números de Cullen: Números da forma
Cn = n × 2n + 1
6. Números de Woodall: Números da forma
Cn = n × 2n − 1
Além disso, diversas classes de números primos foram estudadas. Abaixo apresentase alguns exemplos.
1. Primos de Sophie-German: Números primos
p
tais que
2p + 1
também sejam
primos.
2. Primos de Wieferich: Um primo
p
que satisfaz a congruência
3. Primos de Wilson: Um primo que satisfaz a congruência
2p−1 ≡ 1 mod p2 .
(p − 1)! ≡ −1 mod p2 .
Existem muitas conjeturas, ou seja, armações não demonstradas, sobre os números
primos e relacionadas a eles. Abaixo apresenta-se algumas delas:
1. Existe uma innidade de números de Mersenne compostos.
a é um número inteiro diferente de zero e que não é quadrado, então existe uma
innidade de números primos p tais que a é raiz primitiva módulo p. (Conjetura
2. Se
de Artin)
3. Para todo natural par
consecutivos
pn , Pn+1 ,
2k ,
existe uma innidade de pares de números primos
tais que
4. Todo inteiro par maior do que
dn = pn+1 − pn = 2k .
4
(Conjetura de Polignac)
é a soma de dois números primos. (Conjetura
de Goldbach)
Mp o p-ésimo número de Mersenne. Mp é primo, se é somente se, as sen2p + 1
k
k
tenças
e p é um primo da forma 2 ± 1 ou 4 ± 3 (para algum k ≥ 1)
3
5. Seja
forem simultaneamente verdadeiras ou falsas. (Conjetura de Batman, Selfridge e
Wagsta )
Utilizando-se cálculos em computadores demonstra-se que várias conjeturas são válidas para milhares de números. No entanto, uma demonstração para todos os naturais
ainda não foi encontrada para nenhuma delas. No capítulo 5 serão analisados alguns
resultados relacionados com a Conjetura de Goldbach.
Observação 3.3.
Da denição de número primos, dados
um número natural
1. Se
p|q ,
então
a
qualquer, tem-se que:
p = q.
p
e
q
dois números primos e
29
2. Se
p - a,
então
(p, a) = 1.
1. Com efeito, por hipótese,
é primo e
p|q ,
então pela denição de número primo,
p = q . Como p é primo tem-se, por denição, que p > 1. Logo p = q .
2. Seja (p, a) = d. Pela denição de máximo divisor comum tem-se que d|p e d|a.
Portanto, d = p ou d = 1. Mas e se d = p então se seguiria que p|a, o que é contrário
à hipótese. Logo d = 1
ou
p=1
q
ou
Proposição 3.1.
então
p|a
ou
Sejam
a, b
p,
números naturais com
p - a.
Logo, por denição,
um número primo. Se
p|a · b
(p, a) = 1.
Portanto, pelo
p|b.
Corolário 3.1. Sejam p, p1 , p2 , · · · , pn números primos.
para algum
p
p|b.
Demonstração. Suponha que
Teorema 2.2,
e
Se
p|p1 ·p2 · · · pn ,
então
p = pi
i = 1, 2, · · · , n.
Demonstração. Demonstra-se o resultado por indução sobre
n.
Se
n = 2,
o resultado
vale pela Proposição 3.1. Como hipótese de indução suponha que o resultado vale para
n − 1.
p|p1 · p2 · · · pn tem-se que p|p1 · p2 · · · pn−1 ou p|pn . Se p|pn o resultado
segue. Se p - pn então p|p1 · p2 · · · pn−1 e, pela hipótese de indução p = pi para algum
i = 1, 2, · · · , n − 1.
Agora se,
Teorema 3.1. (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo número natural maior
do que 1 ou é primo ou se escreve de modo único (a menos da ordem dos fatores) como
um produto de números primos, distintos ou não.
Demonstração. Usando o princípio de indução nita, tem-se que, para
n = 2 o resuln é primo, ou
k < n. Mas então, ou
pode escrito como n = n1 n2 com 0 < n1 < n e 0 < n2 < n. Então, pela hipótese
de indução, existem primos p1 , p2 , · · · , pr e q1 , q2 , · · · , qs , tais que n1 = p1 · p2 · · · pr e
n2 = q1 · q2 · · · qs e, então n = n1 n2 = p1 · p2 · · · pr · q1 · q2 · · · qs , onde os pi não são todos
necessariamente distintos dos qj .
Falta, ainda, mostrar que esta decomposição é única. Suponha, agora que n =
p1 · p2 · · · pt = q1 · q2 · · · qu , com os pi e qj , números primos. Evidentemente, se n = 2,
tem-se p1 = q1 = 2. Suponha, que o resultado vale para todo natural menor do que n,
ou seja, que caso se tenha n > m = p1 · p2 · · · pt = q1 · q2 · · · qu , com os pi e qj então,
t = u e cada um dos pi é igual a um dos qj para algum j .
Tem-se que p1 |n = q1 · q2 · · · qu e, portanto, p1 q1 · q2 · · · qu . Pelo Corolário 3.1 p1 = qj
para algum j . Reordenando os qj pode-se supor que tem-se q1 = p1. Então,
tado vale.
Suponha que o resultado vale para
p2 · · · pt = q2 · · · qu .
p2 · · · pt < n tem-se que, pela hipótese de indução, t = u
um dos qj para algum j . Portanto, o resultado segue.
Mas, como
pi
é igual a
e cada um dos
30
Teorema 3.2.
√
Se
n
não é primo, então
n
possui um fator primo menor ou igual a
n.
n não é primo ele é, por denição, composto. Então, pode ser escrito
como n = n1 · n2 . Suponha, sem perda de generalidade, que n1 < n2 . Pode-se concluir,
√ √
√
n. De fato, se não for assim tem-se que n = n1 · n2 > n · n = n,
então, que n1 ≤
√
o que é absurdo. Logo n1 ≤
n.
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, n1 possui pelo menos um fator primo p.
√
n.
Como esse fator é menor ou igual a n1 ele é menor ou igual a
Demonstração. Se
O famoso matemático grego Euclides, autor de Os Elementos, demonstrou o seguinte teorema:
Teorema 3.3.
Existem innitos números primos.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que a sucessão de números primos seja nita e
dada por
p1 , p2 , · · · , pn .
P . Esse primo não
p1 · p2 · · · pn . Logo,
P = p1 · p2 · · · pn + 1. Seja p um número primo que divide
pode ser igual a nenhum dos pi pois, senão, dividiria P e dividiria
dividiria, P − p1 · p2 · · · pn = 1, o que é absurdo. Portanto, p é um
Seja
número primo que não pertence à sucessão e, portanto, existe um primo diferente de
p1 , p2 , · · · , pn .
Esse raciocínio pode ser repetido quantas vezes for necessário. Portanto,
existem innitos números primos.
Após a comprovação de que existiam innitos primos diversos matemáticos começaram a procurar uma fórmula geral para a sequência dos primos. Esta procura levou à
criação de vários testes de primalidade que, embora não sejam ecientes, pois exigem
um grande número de operações, podem ajudar a determinar se um número possivelmente é primo.
Os testes de primalidade podem ser classicados em seis categorias
distintas:
1. Testes para números de forma particular
(a) Teste APR
(b) Testes com curvas elípticas
2. Testes para números genéricos
3. Testes baseados em teoremas
4. Testes baseados em conjecturas
(a) Teste de Miller - baseado na hipótese de Riemann
5. Testes determinísticos
31
6. Testes de Monte Carlos
Proposição 3.2.
primo
p
tal que
Se um número natural
p2 ≤ n,
n
então
n > 1
não é divisível por nenhum número
é primo.
p primo, tal que p|n com p2 ≤ n
e que n seja composto. Então pelo Teorema Fundamental da Aritmética, existe q ,tal
que q é o menor número primo que divide n. Então n = qn1 e q ≤ n1 . De onde,
q2 ≤ qn1 = n. Portanto, q|n e q2 ≤ n, contrário à hipótese.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que não exista
Teorema 3.4.
que
p
(Pequeno Teorema de Fermat)
divide o número
p
a − a,
para todo
Dado um número primo
p|0.
tem-se
a ∈ N.
Demonstração. Demonstra-se o resultado por indução sobre
vale, pois
p,
Suponha, que o resultado vale para
a.
a.
Para
a=1
o resultado
Então tem-se que:
p p−1
p p−2
p
(a + 1) − (a + 1) = a +
a
+
a
+ ··· +
a−a=
1
2
p−1
p p−1
p p−2
p
p
=a −a+
a
+
a
+ ··· +
a,
1
2
p−1
p
p
que é, pela hipótese de indução e pelo Lema 4.1, divisível por
Corolário 3.2.
p,
então
p
Se
divide
p
é um número primo e se
a
p.
é um número natural não divisível por
ap−1 − 1.
Demonstração. Pelo Pequeno Teorema de Fermat tem-se que
Por outro lado, por hipótese,
p - a,
ou seja
(a, p) = 1.
p|ap − a = a(ap−1 − 1).
Então, pelo Teorema 2.2,
p|ap−1 − 1.
Proposição 3.3.
Sejam
a, b, c, m ∈ N,
ac ≡ bc mod m se,
com
c 6= 0
e somente se
e
m > 1.
a ≡ b mod
Demonstração. Supondo, sem perda de generalidade, que
Corolário 2.3,
c
(c, m)
e
m
(c, m)
Então
m
.
(c, m)
bc ≥ ac
e uma vez que, pelo
são primos entre si, tem-se que
m
c
|(b − a)
⇔
(c, m)
(c, m)
m
m
⇔
|(b − a) ⇔ a ≡ b mod
.
(c, m)
(c, m)
ac ≡ bc mod m ⇔ m|(b − a)c ⇔
Corolário 3.3.
Sejam
a, b, c, m ∈ N,
com
ac ≡ bc mod m se,
c 6= 0, m > 1
e somente se
e
(c, m) = 1.
a ≡ b mod m.
Então
32
Demonstração. Decorre, imediatamente da Proposição anterior, uma vez que
(c, m) =
1.
Proposição 3.4.
a ∈ N,
tal que
módulo
m.
r1 , · · · , rϕ(m) um sistema reduzido de resíduos módulo m e seja
(a, m) = 1. Então, ar1 , · · · , arϕ(m) é um sistema reduzido de resíduos
Seja
m, r1 , · · · , rϕ(m)
tenha sido obtido a partir de um sistema completo de resíduos módulo m dado por
a1 , · · · , am . Então, para todo ai com um ri correspondente tem-se que (ai , m) = 1.
Então, pela Proposição 2.16 tem-se que (aai , m) = 1, o que demonstra o resultado.
Demonstração. Suponha que o sistema reduzido de resíduos módulo
Teorema 3.5.
(De Euler) Sejam
m, a ∈ N,
aϕ(m) ≡ 1
com
m>1
e
(a, m) = 1.
mod m.
Demonstração. Seja um sistema reduzido de resíduos módulo
Pela Proposicao 3.4,
m.
ar1 , · · · , arϕ(m)
m dado por r1 , · · · , rϕ(m) .
também formam um sistema de resíduos módulo
Então
aϕ(m) · r1 · r2 · · · rϕ(m) = ar1 · ar2 · · · arϕ(m) ≡ r1 · r2 · · · rϕ(m)
Aplicando a Proposição 2.15 um número nito de vezes tem-se que
1.
Então:
Então, pelo Corolário 3.3 tem-se que
mod m.
(r1 ·r2 · · · rϕ(m) , m) =
aϕ(m) ≡ 1 mod m.
Pode-se formular o Pequeno Teorema de Fermat utilizando a denição de congruência (Denição 2.5) da seguinte maneira:
Teorema 3.6.
p divide
mod p.
que
(Pequeno Teorema de Fermat)
o número
p
a ≡ a mod p,
para todo
Dado um número primo
a ∈ N.
Se,
p - a,
então
Demonstração. Consequência direta do Teorema de Euler já que, como
ϕp = p − 1.
Então
aϕ(p) = ap−1 ≡ 1
mod p.
p, tem-se
ap−1 ≡ 1
p
é primo
4 Números Primos: Resultados e
Aplicações
Denição 4.1. Dado x ∈ N denota-se por π(x) ao número de primos p tais que p ≤ x.
A função
π(x)
é chamada função de contagem dos números primos.
Em 1792, aos 15 anos de idade, Gauss conjeturou que
π(x)
era assintoticamente
igual à função logarítmica:
x
Z
Li(x) =
2
dt
.
log t
Com o tempo tal conjetura provou-se verdadeira e é hoje conhecida como:
Teorema 4.1.
(Teorema dos Números Primos). Nas condições da denição anterior,
π(x) ∼
4.1
x
.
log x
Números Primos e Fatoriais
Proposição 4.1. Para todo natural n ≥ 2, a sequência (n+1)!+2, (n+1)!+3, · · · , (n+
1)! + n + 1
de números naturais é formada por
n
números consecutivos compostos.
(n + 1)! possui todos
forma (n + 1)! + i, com
Demonstração. De fato, pela denição de fatorial, o número
2 até n + 1. Logo, dado qualquer número da
i = 2, ..., n + 1, existirá o fator i no número (n + 1)!, ou seja,
os fatores de
(n + 1)! + i = (2 · 3 · . . . · (i − 1) · i · (i + 1) · . . . · (n + 1)) + i =
= i(2 · 3 · . . . · (i − 1) · (i + 1) · . . . · (n + 1)) + i =
= i(2 · 3 · . . . · (i − 1) · (i + 1) · . . . · (n + 1) + 1)
que é divisível por
Lema 4.1.
Seja
divisíveis por
p
i
e, portanto, um número composto.
um número primo. Os números
p.
33
p
, onde
i
0 < i < p,
são todos
Números Primos e Fatoriais
34
Demonstração. Por denição,
p
p(p − 1)(p − 2) · · · (p − i + 1)
=
.
i
i!
Evidentemente, se i = 1 o resultado segue. Assim, supondo 1 < i < p tem-se
i!|p(p − 1) · · · (p − i + 1). Uma vez que i < p resulta que (i!, p) = 1, então i!|(p −
1) · · · (p − i + 1). Escrevendo
p
(p − 1)(p − 2) · · · (p − i + 1)
=p
i
i!
facilmente observa-se que o resultado vale.
Nesse tópico será utilizado o símbolo
a
por
b
hai
na divisão euclidiana.
Proposição 4.2.
Seja
quociente da divisão de
a ∈ N
a por b
para designar o quociente da divisão de
b
b, c ∈ N∗ .
e
Então,o quociente da divisão por
é igual ao quociente da divisão de
a
por
b
vezes
c
c,
do
ou
seja,
hai
h i
 b = a .
c
bc
Demonstração. Considere
hai
q1 =
hai
b
e q2 =  b  .
c
h a i a = bq1 +r1 , com r1 ≤ b−1. Por outro lado, também
pela divisão euclidiana, q1 =
= cq2 + r2 , com r2 ≤ c − 1.
b
Portanto, a = bq1 + r1 = b(cq2 + r2 ) + r1 = bcq2 + br2 + r1 .
Observando ainda que, br2 + r1 ≤ b(c − 1) + b − 1 = bc − 1, concluí-se que q2 é o
quociente da divisão de a por bc, ou seja,
Então, pela divisão euclidiana,
q2 =
Observação 4.1.
Dados
p
primo e
expoente da maior potência de
decomposição de
Teorema 4.2.
m
p
m
hai
bc
.
um número natural, denota-se por
que divide
m,
Ep (m)
ao
ou seja, ao expoente que aparece na
em fatores primos.
(Legendre) Sejam
n
um número natural e
p
n
n
n
Ep (n!) =
+ 2 + 3 + ...
p
p
p
um número primo. Então
Números Primos e Fatoriais
35
Demonstração. Observe que, pelo Princípio da
Boa
Ordem, existe um número natural
r
tal que
pi > n
para todo
i ≥ r.
Então,
n
pi
= 0,
se
i ≥ r.
Para demonstrar o
n. Para n = 0 tem-se Ep (0!) = 0. Suponha,
m < n. Os múltiplos de p entre 1 e n são
resultado usa-se indução sobre
o resultado vale para todo
agora que
n
p.
p, 2p, . . . ,
p
Pode-se, então, escrever,
n
n
+ Ep
! .
Ep (n!) =
p
p
Mas, por hipótese de indução,
   
n
n
 p   p 
n
 

Ep
! =
 p  +  p2  + . . .
p
Pela Proposição 4.2,
n
n
n
n
p
p
= 2 , 2 = 3 ,
p
p
p
p
etc...
Portanto,
n
n
n
+ 2 + 3 + ...
Ep (n!) =
p
p
p
Exemplo 4.1.
Encontrar a decomposição de
20!
em fatores primos e descobrir com
quantos zeros termina a representação decimal deste número.
Para resolver o problema é necessário encontrar o valor de
p ≤ 20.
Ep (20!) para todo primo
Tem-se que:
20
20
20
20
E2 (20!) =
+
+
+
= 10 + 5 + 2 + 1 = 18
2
4
8
16
20
20
+
=6+2=8
E3 (20!) =
3
9
20
E5 (20!) =
=4
5
20
E7 (20!) =
=2
7
20
E11 (20!) =
=1
11
Números Primos e Fatoriais
36
20
E13 (20!) =
=1
13
20
=1
E17 (20!) =
17
20
=1
E19 (20!) =
19
Logo
20! = 218 · 38 · 54 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19.
Como existem
4
fatores
5
neste número,
ele termina com quatro zeros.
Denição 4.2.
Seja um número natural
n-ádica de um número natural
Exemplo 4.2.
n-ádica para
n
m
2
a
com
n > 0.
Chama-se representação
à sua representação na base
Seja o número natural
de
n,
295.
n.
Apresenta-se abaixo sua representação
9:
• 100100111(2) = 1 · 256 + 0 · 128 + 0 · 64 + 1 · 32 + 0 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 1 =
256 + 0 + 0 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 295
• 101221(3) = 1 · 243 + 0 · 81 + 1 · 27 + 2 · 9 + 2 · 3 + 1 = 243 + 0 + 27 + 18 + 6 + 1 = 295
• 10213(4) = 1 · 256 + 0 · 64 + 2 · 16 + 1 · 4 + 3 = 256 + 0 + 32 + 4 + 3 = 295
• 2140(5) = 2 · 125 + 1 · 25 + 4 · 5 + 0 = 250 + 25 + 20 + 0 = 295
• 1211(6) = 1 · 216 + 2 · 36 + 1 · 6 + 1 = 216 + 72 + 6 + 1 = 295
• 601(7) = 6 · 49 + 0 · 7 + 1 = 294 + 0 + 1 = 295
• 447(8) = 4 · 64 + 4 · 8 + 7 = 256 + 32 + 7 = 295
• 357(9) = 3 · 81 + 5 · 9 + 7 = 243 + 45 + 7 = 295
Teorema 4.3.
Sejam
p, n ∈ N∗
com
p
primo. Suponha que
n = nr pr + nr−1 pr−1 + ... + n1 p + n0 .
seja a representação p-ádica de
n.
Ep (n!) =
Demonstração. Por denição,
Então,
n − (n0 + n1 + ... + nr )
.
p−1
0 ≤ ni < p.
Então:
n
= nr pr−1 + nr−1 pr−2 + ... + n2 p + n1
p
Números Primos e Fatoriais
37
n
= nr pr−2 + nr−1 pr−3 + ... + n2
p2
···
n
= nr .
pr
Daí, usando a fórmula do Teorema de Legendre e somando e subtraindo
n0
na
expressão resultante tem-se que:
n
n
pr − 1
pr−1 − 1
n
+ 2 + ... + r = nr
+ nr−1
+ · · · + n1 =
Ep (n!) =
p
p
p
p−1
p−1
=
nr pr + nr−1 pr−1 + · · · + n1 p + n0 − (nr + nr−1 + · · · + n1 + n0 )
=
p−1
=
Exemplo 4.3.
n − (n0 + n1 + · · · + nr )
.
p−1
Encontre a decomposição de
20!
utilizando a fórmula do Teorema 4.3
e compare com o resultado do Exemplo 4.1.
Para resolver este exercício é necessário encontrar a representação de
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
e
19.
Tem-se que
• 10100(2) = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0
• 202(3) = 2 · 9 + 0 · 3 + 2
• 40(5) = 4 · 5 + 0 = 20 + 0
• 26(7) = 2 · 7 + 6 = 14 + 6
• 19(11) = 1 · 11 + 9
• 17(13) = 1 · 13 + 7
• 13(17) = 1 · 17 + 3
• 11(19) = 1 · 19 + 1
A partir daí tem-se que:
E2 (20!) =
20 − (0 + 0 + 1 + 0 + 1)
= 18
2−1
20
nas bases
Números Primos e Progressões Aritméticas
E3 (20!) =
4.2
38
20 − (2 + 0 + 2)
=8
3−1
E5 (20!) =
20 − (0 + 4)
=4
5−1
E7 (20!) =
20 − (6 + 2)
=2
7−1
E11 (20!) =
20 − (9 + 1)
=1
11 − 1
E13 (20!) =
20 − (7 + 1)
=1
13 − 1
E17 (20!) =
20 − (3 + 1)
=1
17 − 1
E19 (20!) =
20 − (1 + 1)
=1
19 − 1
Números Primos e Progressões Aritméticas
Teorema 4.4.
d ≥ 2 e a 6= 0 são inteiros primos entre si então a
progressão aritmética a, a+d, a+2d, ..., a+(n−1)d, contém uma innidade de números
(Dirichlet) Se
primos.
A demonstração foge do escopo deste trabalho, mas pode ser encontrada em HASSE,
1980.
O resultado abaixo está relacionado à conjetura de que existem innitos números
de Mersenne compostos.
Proposição 4.3. (Powell-Israel) Sejam m, n números inteiros tais que, m > 1 e mn >
2 e p um
mp − n.
número primo. Então existe uma innidade de números compostos da forma
Demonstração. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética
mn − 1
possui pelo menos
q | m. Pelo Teorema de Dirichlet (4.4) existem innitos
primos p, tais que p ≡ q − 2 mod q − 1. Portanto, existe uma innidade de números
p
inteiros compostos m − n com p primo.
um fator primo
q.
Observação 4.2.
Então,
Em 2 de março de 1998, M. Topic, encontrou uma progressão arit-
mética que possui dez termos consecutivos primos. A razão da progressão aritmética é
210.
O primeiro destes termos é o número
Números Primos e Progressões Aritméticas
p = 10009969724697142476377866555879698403295093246891900418036034177
58904341703348882159067229719.
39
5 A Conjetura de Goldbach
Em 1742, em uma carta a Euler, Goldbach disse acreditar que todo inteiro maior
do que
5,
ou seja, todo inteiro maior ou igual a
6,
podia ser escrito como a soma de
três primos. Euler respondeu que era fácil ver que essa armação era equivalente à:
Todo inteiro par maior ou igual a
4
é a soma de dois números primos.
n ≥ 3,
Portanto, 2n = 2+p1 +p2 e 2n+1 = 3+p1 +p2 ,
De fato, se a segunda armação for suposta verdadeira tem-se que, para todo
2n−2 = p1 +p2 , onde p1 e p2 são primos.
o que demonstra a primeira armação.
Reciprocamente, suposta verdadeira a primeira armação tem-se que, para
2n + 2 = p1 + p2 + p3 , onde p1 , p2
e
p3
2n ≥ 4,
2n + 2 é par, um destes primos
p2 = 2 tem-se 2n = p1 + p2 .
são primos. Como
é necessariamente par, ou seja, é igual a 2. Supondo,
No entanto, a validade da segunda armação, agora conhecida como Conjetura de
Goldbach, permanece sem demonstração até a conclusão deste trabalho. Pelo fato de
existirem innitos primos, facilmente nota-se que vale a seguinte variação da Conjetura
de Goldbach:
Proposição 5.1.
Existe uma quantidade enumerável de naturais tais que a Conjetura
de Goldbach é válida.
Demonstração. Tome
b ≥ 3,
um número natural.
Como existem innitos números
b percorre o conjunto dos naturais, obtém-se a sequência p1 + 3, p2 +
3, p2 + 3, ..., pi + 3, ..., com os pi 's primos distintos e ímpares. Sendo assim, as somas
pi + 3 são números pares, ou seja, 2ni = pi + 3, para uma quantidade enumerável
de ni . Portanto, a Conjetura de Goldbach vale para uma quantidade enumerável de
primos, quando
naturais.
Generalizando este resultado, tem-se que escolhendo
2 < p < q ≤ pi ,
primos, a
sequência,
p1 + p, p2 + p, p3 + p, ..., pi + p, ...,
p0i s primos distintos, também tem por elementos apenas números pares, valendo
Conjetura de Goldbach para os ni da forma 2ni = pi + p.
com os
a
40
41
Apesar disso, as diculdades para demonstrar a Conjetura permanecem. Durante
o ano de 2011 cursava o Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional
(PROFMAT), quando, na disciplina de Fundamentos da Aritmética me deparei com o
seguinte exercício (Hefez, pg 95, ex 7.S.6)
Existe uma correspondência biunívoca entre pares de primos gêmeos e números
tais que
2
n −1
n
possui quatro divisores.
O problema imediatamente me interessou, pois relacionava-se diretamente a um outro problema em aberto da matemática, a saber: Existem innitos primos gêmeos ?
Então decidi resolver o exercício, pois demonstrar que existem innitos valores de
n
2
n − 1 tem quatro divisores equivale a responder armativamente a ques-
para os quais
tão acima. A resolução do exercício é:
p e q , tome n = p + 1. Então, p = n − 1. Por outro
2
lado, n = q − 1 e, portanto, q = n + 1. Tem-se então que p · q = (n − 1)(n + 1) = n − 1.
2
2
Os divisores de n − 1 são 1, p, q e n − 1, ou seja, quatro divisores.
2
2
Reciprocamente, se n − 1 possui quatro divisores ele é da forma p · q = n − 1, com
p e q primos. Então,
Dado um par de primos gêmeos
p · q = n2 − 1 = (n + 1)(n − 1).
Como
p = n−1
p
q são primos tem-se,
q = n + 1. Logo, p e q
e
e
supondo, sem perda de generalidade,
p < q,
que
são primos gêmeos. A unicidade é garantida pelo
Teorema Fundamental da Aritmética.
Resolver o exercício foi simples, no entanto, demonstrar a existência de innitos
n
para os quais tal propriedade vale mostrou-se tão inatingível quanto a demonstração
da armação original sobre se existem innitos pares de primos gêmeos. No entanto,
analisando o exercício, imaginei o que aconteceria se em vez de considerar as diferenças
de quadrado
n2 − 1
fossem estudadas as diferenças
n 2 − a2
para um número natural
a
qualquer.
Uma primeira ideia foi de que o resultado do exercício pudesse ser estendido para
o caso geral, ou seja, que existisse uma correspondência biunívoca entre primos equidistantes de um determinado
n
e as diferenças de quadrados
quatro divisores. Observe que tal diferença pode ser fatorada
n2 − a2 que possuíssem
como (n + a)(n − a). No
entanto, ao estudar tal diferença para diversos valores percebi, com a ajuda do Prof.
Dr. Rômulo Campos Lins e Prof Dr. Henrique Lazari, que em alguns determinados
casos o resultado não era válido.
Por exemplo, se for escolhido
(6 + 3)(6 − 3) = 9 · 3,
n=6
e
a=3
n2 − a2 = 62 − 32 = 27 =
1, 3, 9 e 27, mas 9 e 3 não
tem-se que
que possui quatro divisores, a saber
42
são primos equidistantes de
6.
n−a
sejam primos entre si. Observe que esta condição é satisfeita no caso em que a = 1.
Adicionalmente, perceba que se a = n − 1 obtem-se que n + a = 2n − 1 e n − a = 1 e,
uma vez que 1 não é primo, estes casos também precisam ser excluídos.
Portanto, para o caso geral, é necessário colocar, como hipótese, que
n+a
e
Levando em conta estas restrições formulei o seguinte resultado geral:
Proposição 5.2.
n > 3, suponha que exista um número
natural a, 0 < a < n − 1, tal que (n − a, n + a) = 1. Nestas condições, para cada par
n e a, existe uma correspondência biunívoca entre pares de primos equidistantes de n
2
2
e os números da forma n − a que possuem quatro divisores.
Para cada número natural
p e q equidistantes de n, suponha,
sem perda de generalidade, que p < n e tome a = n − p. Então, n = p + a e
p = n − a. Como p e q são equidistantes de n, n = q − a e tem-se que q = n + a. Então
p · q = (n − a)(n + a) = n2 − a2 . Como, por hipótese, (n − a, n + a) = 1, os divisores
2
2
2
2
de n − a são 1, p, q e n − a , ou seja, quatro divisores.
2
2
2
2
Reciprocamente, se n −a possui quatro divisores e (n−a, n+a) = 1, então n −a
2
2
é da forma p · q = n − a . Além disso,
Demonstração. De fato, dado um par de primos
p · q = n2 − a2 = (n + a)(n − a).
Como
(n − a, n + a) = 1
e
n−a > 1
(pois,
0 < a < n − 1),
tem-se que
primos. De fato, suponha, por absurdo, que um deles, por exemplo
p,
p
e
q
são
seja composto.
p = p1 p2 .
1|n − a e n2 − a2
Então, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, ele seria escrito como
Logo,
2
p1 |n − a
2
,
2
p2 |n − a
2
,
2
p|n − a
2
,
2
q|n − a
2
,
2
p1 p2 q|n − a
2
e
2
2
teria seis divisores, o que é contrário à hipótese.
p < q , tem-se que p = n − a e q = n + a.
n. A unicidade de a para p e q é garantida
Supondo, sem perda de generalidade,
Logo,
p
e
q
são primos equidistantes de
pelo Teorema Fundamental da Aritmética.
Após demonstrar essa proposição percebi que havia uma ligação entre ela e a Con-
p e q da proposição acima tem-se
que p = n−a e q = n+a, de onde p+q = n−a+n+a = 2n. Ou seja, p+q = 2n. Desta
maneira, demonstrar que para todo n existe um número a nas condições da Proposição
jetura de Goldbach, pois, considerando-se os primos
5.2 é equivalente a demonstrar a Conjetura de Goldbach.
assunto percebi, então, que falar sobre
sobre
n
p+q
= n, n ≥ 2.
2
p + q = 2n
n≥2
2n ≥ 4
era equivalente a falar
Essa conclusão equivale à armar que para todo
é primo, ou existem primos equidistantes de
número
para
Estudando ainda mais o
pode-se armar que
n
n.
n≥2
ou
Em resumo signica que, para todo
é a média aritmética de
2
primos. Chegando a
esta conclusão, por volta de agosto de 2012, resolvi entrar em contato com alguns pesquisadores do Departamento de Matemática da UNESP/RC. Conversei com a Profa.
43
Dra. Eliris Cristina Rizziolli e com o Prof. Dr. Henrique Lazari sobre meus estudos
e enviei para eles, via e-mail, parte de minhas conclusões. A partir do incentivo deles
prossegui as pesquisas.
Encontrei, num artigo da Wikipedia, em inglês [7] uma armação similar à de que
para todo número
n ≥ 2, n
é a média aritmética de
I
como Conjetura de Lawson, dizia Para todo
equidistantes de
I.
2
primos. Tal armação, citada
maior do que
2
existe um par de primos
No entanto, a Conjetura de Lawson falha para
I
então complementar esta armação por dar a
I = 3.
É necessário,
a possibilidade de ser primo. Quando se
faz isto a ampliação da Conjetura de Lawson, expressa abaixo é equivalente à Conjetura
de Goldbach. Formalizando:
Proposição 5.3. A Conjetura de Golbach é equivalente a armação de que todo natural
n≥2
é a média aritmética de dois números primos, distintos ou não.
Demonstração. De fato, suponha válida a Conjetura de Goldbach. Então, para todo
n≥2
2n ≥ 4
p+q
.
n=
2
tem-se que
Portanto,
e, por Goldbach, existem primos
n ≥ 2, n
Reciprocamente, se vale que, para todo
máximo, dois números primos, existem
p+q
.
2
Ou seja,
2n = p + q ,
com
2n ≥ 4
p
e
q,
p
e
q,
tais que
2n = p + q .
é a média aritmética de, no
primos, distintos ou não, tais que
n=
e vale a Conjetura de Goldbach.
Uma vez provado este resultado, demonstra-se agora que essa armação é equivalente à Proposição 5.2 e, portanto, as duas armações são equivalentes à Conjetura de
Goldbach. Apenas, neste caso, os primos
satisfazer a hipótese de que
Proposição 5.4.
e
n 2 − a2
a > 0.
Se para todo
p
e
q
devem ser distintos para se conseguir
Formalizando:
n ≥ 2,
existir
tenha 4 divisores, então existem
p
e
0<a<n−1
q
(n + a, n − a) = 1
p+q
n=
.
2
tal que
primos, tais que,
a < n − 1 tal que n2 − a2 tem quatro divisores então, pela
2
2
Proposição 5.2, existem p e q primos tais que pq = n − a , com p = n − a e q = n + a.
p+q
.
Logo p + q = n − a + n + a = 2n e n =
2
p+q
q−p
Reciprocamente, se n =
com p e q primos, tome a =
. Então
2
2
Demonstração. Se existe
n 2 − a2 =
e, portanto,
n2 − a2
(p + q)2 (q − p)2
4pq
−
=
= pq,
4
4
4
tem quatro divisores.
Continuando os estudos, percebi que existe um relacionamento entre as diferenças
de quadrados, nas condições da Proposição 5.2, e as equações quadráticas da forma
x2 − (p + q)x + pq = 0,
com
p
e
q
primos distintos. Observe que,
p
e
q
são as raízes
da equação e, portanto, existe uma correspondência biunívoca entre estas diferenças
44
de quadrados e as equações quadráticas nas quais o coeciente do termo
e cujas raízes são primos
p
e
q,
x2
é igual a
1
distintos.
Proposição 5.5. Para cada número natural n > 3, seja um número natural a, 0 < a <
n−1, tal que (n−a, n+a) = 1.
Nestas condições, existe uma correspondência biunívoca
entre diferenças de quadrados que possuem quatro divisores e equações quadráticas da
forma
x2 − (p + q)x + pq = 0,
com
p
e
q
primos distintos.
n2 − a2 com quatro divisores tem-se, pela Proposição
2
2
2
5.2, que n − a = pq . Toma-se então x − (p + q)x + pq = 0 para a equação.
2
Reciprocamente, dada a equação x − (p + q)x + pq = 0, com p e q primos distintos,
q−p
p+q
e a =
. Então, como demonstrado na Proposição 5.4, tem-se que
tome n =
2
2
2
2
n − a = pq .
Demonstração. De fato, dado
Observação 5.1.
drática da forma
Um ponto interessante a se observar é que, dada uma função qua-
f (x) = x2 −(p+q)x+pq = 0, com p e q primos, tomando-se n =
p+q
2
n2 − a2 = pq tem-se que o vértice da parábola que representa esta função tem coor2
denadas (n − a ). Ou seja, demonstrar que para todo n > 2 encontra-se um a, tal que
0 < a < n − 1, com (n + a, n − a) = 1,n2 − a2 tenha quatro divisores e (n, −a2 ) seja o
2
2
2
vértice da parábola que representa a função f (x) = x − 2nx + (n − a ), também se
e
relaciona com demonstrar a Conjetura de Goldbach.
Simplicando, se para todo
n − 1,
n > 2,
a, tal que 0 < a <
f (x) = x − 2n + (n − a2 ) tenha por raízes
existir um número natural
de maneira que a função quadrática
2
2
dois números primos distintos, então a Conjetura de Goldbach é verdadeira.
A Tabela 5.1 mostra que para muitos valores de
(o número da coluna) é possível
p e q que satisfazem a igualdade acima.
2
2
2
2
Por exemplo, quando se escolhe n = 13 e a = 6 tem-se que n − a = 13 − 6 =
169 − 36 = 133 = 7 · 19. Então, 7 e 19 são os primos de Goldbach para n = 13. Estes
encontrar um
a
n
(o número da linha) e primos
primos podem ser localizados na tabela por se seguir as diagonais a partir do número
que se encontra no cruzamento da linha
13
com a coluna
6.
estão sublinhados. As diagonais percorridas para encontrar
primos
p
e
q
Na tabela
p
e
q
n, a
e
n2 − a2
estão em itálico e os
estão em negrito.
Utilizando o mesmo processo para outros valores de
n
e de
a
para os quais
n2 − a2
possuam quatro divisores o leitor perceberá que pode encontrar diversos primos de
Goldbach.
No entanto, a demonstração de que existe um
a
para todo
n > 2,
nas
condições da Proposição 5.4 , equivalente à vericação da Conjetura de Goldbach,
ainda não foi possível.
Pelos estudos que z concluí que tal demonstração é tão complexa quanto a própria
Conjetura de Goldbach, mas deixo aos interessados o incentivo para procurar respostas
e caminhos adicionais.
45
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
0
-3
-8
-15
-24
-35
-48
-63
-80
-99
-120
-143
2
3
0
-5
-12
-21
-32
-45
-60
-77
-96
-117
-140
3
8
5
0
-7
-16
-27
-40
-55
-72
-91
-112
- 135
4
15
12
7
0
-9
-20
-33
-48
-65
-84
-105
-128
5
24
21
16
9
0
-11
-24
-39
-56
-75
-96
-119
6
35
32
27
20
11
0
-13
-28
-45
-64
-85
-108
7
48
45
40
33
24
13
0
-15
-32
-51
-72
-95
8
63
60
55
48
39
28
15
0
-17
-36
-57
-80
9
80
77
72
65
56
45
32
17
0
-19
-40
-63
10
99
96
91
84
75
64
51
36
19
0
-21
-44
11
120
117
112
105
96
85
72
57
40
21
0
-23
12
143
140
135
128
119
108
95
80
63
44
23
0
13
168
165
160
153
144
133
120
105
88
69
48
25
14
195
192
187
180
171
160
147
132
115
96
75
52
15
224
221
216
209
200
189
176
161
144
125
104
81
16
255
252
247
240
231
220
207
192
175
156
135
112
17
288
285
280
273
264
253
240
225
208
189
168
145
18
323
320
315
308
299
288
275
260
243
224
203
180
19
360
357
352
345
336
325
312
297
280
261
240
217
20
399
396
391
384
375
364
351
336
319
300
279
256
21
440
437
432
425
416
405
392
377
360
341
320
296
22
483
480
475
468
459
448
435
420
403
384
363
340
23
528
525
520
513
504
493
480
465
448
429
408
385
24
575
572
567
560
551
540
527
512
495
476
455
432
25
624
621
616
609
600
589
576
561
544
525
504
481
26
675
672
667
660
651
640
627
612
595
576
555
532
27
728
725
720
713
704
693
680
665
648
629
608
585
28
783
780
775
768
759
748
735
720
703
684
663
640
29
840
837
832
825
816
805
792
777
760
741
720
697
30
899
896
891
894
885
874
861
846
829
800
869
756
31
960
957
952
945
936
925
912
897
880
861
840
907
32
1023
1020
1015
1008
999
988
975
960
943
924
903
880
33
1088
1085
1080
1073
1064
1053
1040
1025
1008
989
968
945
34
1155
1152
1147
1140
1131
1120
1107
1092
1075
1056
1035
1012
35
1224
1221
1216
1209
1200
1189
1176
1161
1144
1125
1104
1081
36
1295
1292
1287
1280
1271
1260
1247
1232
1215
1196
1175
1152
37
1368
1365
1360
1353
1344
1333
1320
1305
1288
1269
1248
1225
38
1443
1440
1435
1428
1419
1408
1395
1380
1363
1344
1323
1300
39
1520
1517
1512
1505
1496
1485
1472
1457
1440
1421
1400
1377
40
1599
1596
1591
1584
1575
1564
1551
1536
1519
1500
1479
1456
Tabela 5.1: Tabela de Diferenças de Quadrados
6 Aplicação do Tema Divisibilidade
em Sala de Aula
Apresenta-se agora uma sugestão para a utilização do tema divisibilidade na Escola
Básica. O objetivo é mostrar aos alunos como diferentes áreas da Matemática estão
interligadas e como entender esta ligação é de ajuda para uma melhor compreensão e
aplicação dos conteúdos estudados em sala de aula.
No Capítulo 4 deste trabalho foram analisadas algumas ligações entre fatoriais e
divisibilidade. Em especial o Exemplo 4.1, que mostra como encontrar a decomposição
de
20!
utilizando a função
Ep (m),
na qual
p
é um número primo e
m
é um número na-
tural, fornece um tema bastante interessante para utilização em uma classe do segundo
ano do Ensino Médio, associado ao ensino de Análise Combinatória.
Essa função, denida na Observação 4.1, e que retorna o expoente da maior potência
de
p
que divide
m,
ou seja, o expoente que aparece na decomposição de
m
em fatores
primos, é simples o suciente para ser trabalhada com os alunos do Ensino Médio.
Uma sequência didática para trabalhar o tema é:
1. Recordar a ideia da decomposição de um número em fatores primos;
2. Como motivação, explicar o relacionamento entre a decomposição de números
muito grandes e a segurança na internet;
3. Revisar o conceito de fatorial, trabalhado anteriormente no estudo da Análise
Combinatória e do Binômio de Newton;
4. Denir a função
Ep (m)
e trabalhar exemplos para uma melhor compreensão do
conceito;
5. Tornar claro como a função está associada à decomposição de fatoriais em fatores
primos, conforme explicado no Teorema 4.2 (De Legendre);
6. Apresentar a fórmula do Teorema e exemplos com números pequenos;
20 usando
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19.
7. Calcular a decomposição do fatorial de
posição é dada por
18
8
4
2
46
o Exemplo 4.1. Essa decom-
47
8. Comentar o trabalho envolvido no cálculo desta decomposição utilizando o algoritmo tradicional, destacando que, antes deste ser aplicado, é necessário calcular
o valor de
20!;
9. Escolhendo um fatorial menor, por exemplo,
10!
(veja Exemplo 6.1), mostrar
como encontrar a decomposição utilizando o teorema de Legendre e utilizando o
algoritmo tradicional da decomposição em fatores primos;
10. Aplicar alguns exercícios para xação os conceitos.
Se o professor tiver tempo e achar interessante poderá ainda mostrar aos alunos
como descobrir com quantos zeros termina
20!
ou outro fatorial qualquer, conforme
explicado no Exemplo 4.1.
Concluindo, apresenta-se abaixo uma comparação entre os dois processos e alguns
exercícios para aplicação em sala de aula.
Exemplo 6.1.
Decomponha
10!
pelo método tradicional e usando o Teorema de Le-
gendre.
Resolução:
Para utilizar o algoritmo tradicional inicialmente calcula-se o valor de
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 3628800.
1.
3628800
1814400
907200
453600
226800
113400
56700
28350
14175
4725
1575
525
175
35
7
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
5
5
7
10! = 28 · 34 · 52 · 7.
Usando o Teorema de Legendre é necessário encontrar o valor de
primo
ou seja,
Depois divide-se este número pelos números primos
em ordem crescente até que o resultado seja
Então
10!,
p ≤ 10.
Tem-se que:
Ep (10!) para todo
48
10
10
10
E2 (10!) =
+
+
=5+2+1=8
2
4
8
10
10
+
=3+1=4
E3 (10!) =
3
9
10
=2
E5 (10!) =
5
10
E7 (10!) =
=1
7
Logo
10! = 28 · 34 · 52 · 7.
Observe que, calculando pelo Teorema não é necessário encontrar o valor do fatorial,
o que facilita, em muito, encontrar a decomposição do fatorial para números grandes.
Exercício 6.1.
Resolva os exercícios abaixo utilizando a função
Ep (m)
e o Teorema
de Legendre (Teorema 4.2).
1. Quais as maiores potências de 3 e 7 que dividem
10000!?
2. Com quantos zeros termina a representação decimal de
3. Ache a maior potência de
4. Ache o menor valor de
n
108
que divide
10000!?
10000!.
tal que a maior potência de
7
que divide
n!
seja
734 .
Referências
[1] GAUSS, C. F., Disquisitiones arithmeticae. Tradução para o inglês de Clarke, A.
A.; Waterhouse, W. C. Londres: Springer-verlag, 1966.
[2] HEFEZ, A., Elementos de aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2011. 176 p. (Coleção
do Professor de Matemática; 2).
[3] MAYER, R., Teoria dos Números, 2005. Disponível em:
< http : //www.mat.unb.br/ maierr/tnotas.pdf >.
Acesso em: 18 jan. 2013.
[4] OLIVEIRA, K.; CORCHO, A. J., Iniciação à Matemática. 1. ed. Maceió: SBM,
2010.
[5] RIBENBOIM, P., Números Primos: Mistérios e Recordes. Rio de Janeiro: IMPA,
2001.
[6] SANTOS, J. P. O., Introdução à Teoria dos Números. 1. ed. Rio de Janeiro: IMPA,
2007.
[7] TALK:GOLDBACH'S conjecture. , 2003. Disponível em:
< http : //en.wikipedia.org/wiki/T alk : Goldbach%27s_conjecture >.
18 jan. 2013.
49
Acesso em: