Provas Antigas Resolvidas de Cálculo Vetorial

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda
PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL
Professora Salete Souza de Oliveira
Aluna Thais Silva de Araujo
P1 –Turma V1 – Data 29/05/2009
1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais
a) C é a curva é definida pela função
b) C é a curva definida pela função
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por
.
Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo
campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1)
3) Calcule
, onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície
, sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2).
4) Seja
um campo vetorial continuo definido no ℝ². Seja C uma
curva simples diferenciável por partes contidas no ℝ² definida por
. Mostre
que:
5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
Ao mover uma partícula
ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas
e
no sentido anti horário.
6) Enuncie e prove o teorema das equivalências.
7) Considere o campo vetorial
continuo num subconjunto aberto D ⊂ ℝ² definido por:
a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para .
b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência
1
RESPOSTAS: P1 –TURMA V1 – 29/05/2009
1)
a)
c)
2)
2
3) Para o ponto (1,1,2)
4)
5)
.1 .
=
d =
=0
+ a ) . ( )dt =
= at = a²
+ t ) ( ) dt = 3
d =
W=
). dt = 0
+
d = 2a²
6) Solução Caderno
7) a)
= y (1)
= x (2)
Integrando (1): f =
Derivando (3) em relação a y:
=x+
(3)
(y) (4)
(4) = (2) temos:
C=a
f = xy+a
c) x = cos t
y = sen t
0≤ t ≤
t 0 → cos 0 sen 0
10
t π → cos π sen π
-1,0)
.d =
W=0
4
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P1 –Período Especial – Data 25/03/2002
1) (2,0 Pontos) Supondo que
Mostre que:
, com r =
e que a seja um vetor constante.
a) (0,5)
b) (0,5)
c) (0,5)
d) (0,5)
2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D ⊂
definido por:
. z, 2x.y.z, x
a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f
para F.
b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho
c) Seja C uma curva simples fechada em
ao longo de C? Justifique sua resposta.
. O que se pode dizer sobre o trabalho de F
Um campo vetorial de classe C1, fechada e definido em
3) (3,0 Pontos) Seja
onde Ai são pontos do plano e que
Em D. Sejam C1, C2, C3
circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido
horário e tais que Ci contem apenas o ponto Ai. suponha que:
Onde
a) (1,0) Calcule o valor de
, onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido
anti-horário e que envolve os pontos Ai.
b) (1,0) Quais os possíveis valores de
, onde C é qualquer curva fechada contida
em D.
c) (1,0) Caso
circunferência de equação
4) (2,5 Pontos) Seja
Em D. Qual seria o valor de
, onde C é uma
que envolve os pontos Ai no sentido anti horário.
Um campo vetorial em |R2. Calcule a integral
de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti – horarario,
onde:
a) (1,0) C1 é a circunferência de equação
5
b) (1,5) C2 é a fronteira do retângulo
RESOLUÇÃO PROVA V1 – 25/03/2002
QUESTÃO 1:
a)
temos que:
então:
er=
= ;
e
desta forma:
b) Seja
o vetor constante
axr=
Portanto:
c)
6
Portanto:
d)
Portanto:
QUESTÃO 2
a) Como o campo é conservativo
ou seja:
Integrando (1), teremos
7
Derivando (4) em relação à ’y’ e depois derivando (4) em relação à ‘z’, e igualando (2) e
(3), respectivamente, teremos que:
Como
podemos tomar g(y,z) como sendo zero. Então:
b) Para um campo conservativo:
Aplicando (5)
c) Como o campo é conservativo, o trabalho realizado só dependerá do ponto inicial e final.
Seja ‘p’ um ponto da cur a C parametr ada por σ t com ‘t’
e tal que σ a σ b
=p
Então pelo teorema fundamental do calculo:
Logo, o trabalho da força conservativa f ao longo de uma curva fechada é zero.
QUESTÃO 3
a) Para um campo conservativo
o teorema de Green é dado por:
ou seja:
8
Como os sentidos de C1, C2 e C3 são horários e C é anti-horário, devemos colocá-las no mesmo
sentido. Então,
b) Para C no sentido anti- horário:
Para A2:
Para A3:
Para A1 e A2:
Para A1 e A3:
Para A2 e A3:
Para D:
9
Para A1 , A2 e A3:
Para C no sentido horário os valores acima são validos com sinal trocado.
OBS: se C for da forma
A1
A2
Temos mais valores.
c) Como
Pelo teorema de Green:
A integral dupla do segundo membro deve ser expressa por:
o tem ‘a’ temos:
QUESTÃO 4
a) Pelo teorema de Green:
10
Cons derando γ como ² + ² 1
Temos:
Temos que:
E:
Portanto:
11
b) Pelo teorema de Green
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P1- Turma V1 – Data 02/10/2009
1) Calcule o comprimento e o centroide do arco de círculo dado por:
C={(x,y)
y
R²/ x² + y² = a², x
A posição do centroide é dada por [ ,
]:
=
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por
;
.
= 2xex² seny + ex² cosy . Encontre
onde C é o arco da parábola y = x² que vai do ponto (0,0) ao ponto (1, ).
3) Seja F(x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) um campo vetorial continuo definido no R³.
Seja C uma curva simples, diferencial por partes, contida no R³ definida por
. Mostre que
.
4) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
incompressível.
5) Seja
e
é
. Verifique as identidades:
a)
b)
=
13
RESOLUÇÃO P1 TURMA V1 – 02/10/2009
1)
x=
y=
- Cálculo do Comprimento:
- Cálculo da Posição do Centróide:

Cálculo de

Cálculo de

Cálculo de C =
=
:
=
;
C=
2)
Integrando (2) :
14
Cálculo de
:
(4) = (1)
(5) em (3)
3)
4)
5)
a)
15
b)
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Terceira Avaliação
1) Calcule
onde
, sendo
e
, com
a normal apontando para cima.
2) Calcule o fluxo do campo
figura abaixo, sabendo-se que
normal exterior.
através da superfície fechada da
,com e constantes e vetor
3) Encontre o fluxo de
para cima através da porção do plano
no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
4) Calcule
se
e C é a borda da porção do plano
no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
17
Resolução Terceira Avaliação
1)
2)
Teorema de Gauss:
18
3)
Plano
σ
4)
Plano
σ=
19
20
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Primeira Avaliação – Turma V1
1) Se f e g são funções de classe C² de ℜ⟶ℜ³,
e
são campos vetoriais de classe C¹ num
aberto de ℜ³, então mostre que:
a)
b)
2) Se
é um caminho em ℜ³, tal que σ’’(t)= para todo t, prove que a trajetória é uma reta , ou
um ponto.
3) Calcule
onde γ é a interseção do paraboloide
com o plano
. O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) no plano
caminhe no sentido anti-horário.
4) Dado um campo vetorial tridimensional
derivadas parciais
onde as
são contínuas num conjunto aberto . Se
é o gradiente de
alguma função potencial ϕ prove que:
Em cada ponto de
5) Resolva as seguintes questões:
a) Se um objeto move-se em um campo de forças
, seu vetor velocidade seja ortogonal à
de tal modo que, em cada ponto
, mostre que o trabalho realizado por
sobre o objeto é 0.
b) Ache o trabalho realizado por uma força elástica dirigida para origem, de módulo proporcional à
distância do ponto de aplicação da força à (0,0). Se o ponto de aplicação da força traça um quarto
da elipse
pertencente ao primeiro quadrante.
21
Resolução Primeira Avaliação – Turma V1
1)
a)
Seja:
Assim:
b)
2)
Assim:
22
A trajetória pode ser uma reta ou um ponto.
3)

Curva γ:
5)
a)
Sendo σ(t)=posição e σ’ t
Se
então
eloc dade
, então W=0
b)
23
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Primeira Avaliação – Turma V2
1) Considere o campo de forças
onde ℜ ⟶ ℜ é uma função derivável e
. Prove que
é irrotacional.
2) A base de uma cerca é uma C no plano
definida por:
A altura em cada ponto (
) é dada por
(x e y em metros). Se para pintar
cada m² um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca?
3) Calcule
onde
e c é a interseção das superfícies
sendo o sentido do percurso de ponto (1,0,0) para
o ponto (-1,0,0)
4) Considere o campo vetorial
contínuo num subconjunto aberto
ℜ definida por
Se define uma força conservativa, encontre uma função f para
onde γ é dada por
e calcule
5) Seja A a área de uma região R limitada por uma curva simples, fechada, diferenciável por
partes. Prove que:
6) Seja c uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai do ponto (2,0) a (-2,0), percorrida
no sentido anti-horário. Sabendo-se que a área da região delimitada por c e pelo eixo x vale
6π, calcule
, onde
7) Seja D uma região fechada e limitada do plano
cuja área é 10, sua fronteira ∂D está
orientada positivamente e é parametrizada por uma função C¹ por partes, de modo que ∂D
seja percorrida uma única vez. Se
é um campo vetorial de classe
C¹ num subconjunto aberto que contém D e
, então calcule
25
Resolução Primeira Avalição –Turma V2
1)
=
=
2)
I)
II)
26
Resposta: 900p Reais
3)
(x,y,z)= 2yi + zj + xk
c: interseção
x2 + xy² = 1 ; x² + y² = 1 : y 0
z 0
4)
Integrando (1)
27
5)
pelo teorema de green
Se Q=x e P=0
Se P=-y e Q= 0
Se P = -y/2 e Q = x/2 então
6)
Calculo de
7)
Pelo teorema da divergência no plano
DivF = 20 ∴
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Primeira Avaliação – Turma V1
1) As equações de Maxwell relacionam campo elétrico e o campo magnético quando eles
variam com o tempo numa região que não contenha nem carga e nem corrente, como
segue:
Onde c é a velocidade da luz.
Use essas equações para mostrar que:
onde γ é a interseção do paraboloide
2) Calcule
com o plano
O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t)
no plano xy caminhe no sentido anti horário.
3) Calcule
onde
, c é a interseção das superfícies
e
, x≥0, y≥0, z≥0 sendo o sentido do percurso do ponto (1,0,0) para o ponto (0,0,2)
4) Um campo de forças F em duas dimensões é descrito pela equação
Mostre que o trabalho realizado por esta força movendo uma partícula ao longo da
curva
Depende somente de f(a), f(b), g(a), g(b). encontre o
trabalho realizado quando f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = 4.
5) Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pelos gráficos
E
6) Calcule
, onde c é o arco de circunferência
no
segundo quadrante, orientado no sentido anti horário.
7) Seja
Seja
4
) seja c dada por
a área do conjunto limitado pela curva c que é fechada. Calcule
Onde n é
normal a c e aponta para fora do conjunto mencionado
29
Resolução Primeira Avalição –Turma V1
1)
2)
3)
30
4)
Calculo da Função Potencial:
Integrando (1):
Derivando (3) em relação a y:
Fazendo (4)=(2):
Assim:
Então:
31
5)
dx
6)
32
7)
-
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Segunda avaliação
1) Parametrize o cilindro
correspondente é dado por
e mostre q o elemento de área
2) Calcule a área da superfície
3) Considere uma casca esférica homogênea de massa M e raio a. o potencial gravitacional
gerado em um ponto a uma distancia c da origem é dado pela integral
onde G é a constante gravitacional e
é a densidade.
Mostre que :
4) Considere o campo vetorial
elipse C descrita por
horário quando vista de cima.
5) Sejam
calcule
e
Calcule a circulação
ao longo da
orientada no sentido anti
. Seja σ uma superfície esférica, com normal exterior n.
supondo que o ponto (0,0,0) não pertence a figura.
34
1)
2)
35
3)
Equações paramétricas:
Chamando
36
4)
37
5)
ℝ
Seja σ a fronteira da esfera k, com normal exterior . Suponhamos que a origem não pertença a K
38