UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda
PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL
Professora Salete Souza de Oliveira
Aluna Thais Silva de Araujo
P1 –Turma V1 – Data 29/05/2009
1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais
a) C é a curva é definida pela função
b) C é a curva definida pela função
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por
.
Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo
campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1)
3) Calcule
, onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície
, sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2).
4) Seja
um campo vetorial continuo definido no ℝ². Seja C uma
curva simples diferenciável por partes contidas no ℝ² definida por
. Mostre
que:
5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
Ao mover uma partícula
ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas
e
no sentido anti horário.
6) Enuncie e prove o teorema das equivalências.
7) Considere o campo vetorial
continuo num subconjunto aberto D ⊂ ℝ² definido por:
a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para .
b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência
1
RESPOSTAS: P1 –TURMA V1 – 29/05/2009
1)
a)
c)
2)
2
3) Para o ponto (1,1,2)
4)
5)
.1 .
=
d =
=0
+ a ) . ( )dt =
= at = a²
+ t ) ( ) dt = 3
d =
W=
). dt = 0
+
d = 2a²
6) Solução Caderno
7) a)
= y (1)
= x (2)
Integrando (1): f =
Derivando (3) em relação a y:
=x+
(3)
(y) (4)
(4) = (2) temos:
C=a
f = xy+a
c) x = cos t
y = sen t
0≤ t ≤
t 0 → cos 0 sen 0
10
t π → cos π sen π
-1,0)
.d =
W=0
4
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P1 –Período Especial – Data 25/03/2002
1) (2,0 Pontos) Supondo que
Mostre que:
, com r =
e que a seja um vetor constante.
a) (0,5)
b) (0,5)
c) (0,5)
d) (0,5)
2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D ⊂
definido por:
. z, 2x.y.z, x
a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f
para F.
b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho
c) Seja C uma curva simples fechada em
ao longo de C? Justifique sua resposta.
. O que se pode dizer sobre o trabalho de F
Um campo vetorial de classe C1, fechada e definido em
3) (3,0 Pontos) Seja
onde Ai são pontos do plano e que
Em D. Sejam C1, C2, C3
circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido
horário e tais que Ci contem apenas o ponto Ai. suponha que:
Onde
a) (1,0) Calcule o valor de
, onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido
anti-horário e que envolve os pontos Ai.
b) (1,0) Quais os possíveis valores de
, onde C é qualquer curva fechada contida
em D.
c) (1,0) Caso
circunferência de equação
4) (2,5 Pontos) Seja
Em D. Qual seria o valor de
, onde C é uma
que envolve os pontos Ai no sentido anti horário.
Um campo vetorial em |R2. Calcule a integral
de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti – horarario,
onde:
a) (1,0) C1 é a circunferência de equação
5
b) (1,5) C2 é a fronteira do retângulo
RESOLUÇÃO PROVA V1 – 25/03/2002
QUESTÃO 1:
a)
temos que:
então:
er=
= ;
e
desta forma:
b) Seja
o vetor constante
axr=
Portanto:
c)
6
Portanto:
d)
Portanto:
QUESTÃO 2
a) Como o campo é conservativo
ou seja:
Integrando (1), teremos
7
Derivando (4) em relação à ’y’ e depois derivando (4) em relação à ‘z’, e igualando (2) e
(3), respectivamente, teremos que:
Como
podemos tomar g(y,z) como sendo zero. Então:
b) Para um campo conservativo:
Aplicando (5)
c) Como o campo é conservativo, o trabalho realizado só dependerá do ponto inicial e final.
Seja ‘p’ um ponto da cur a C parametr ada por σ t com ‘t’
e tal que σ a σ b
=p
Então pelo teorema fundamental do calculo:
Logo, o trabalho da força conservativa f ao longo de uma curva fechada é zero.
QUESTÃO 3
a) Para um campo conservativo
o teorema de Green é dado por:
ou seja:
8
Como os sentidos de C1, C2 e C3 são horários e C é anti-horário, devemos colocá-las no mesmo
sentido. Então,
b) Para C no sentido anti- horário:
Para A2:
Para A3:
Para A1 e A2:
Para A1 e A3:
Para A2 e A3:
Para D:
9
Para A1 , A2 e A3:
Para C no sentido horário os valores acima são validos com sinal trocado.
OBS: se C for da forma
A1
A2
Temos mais valores.
c) Como
Pelo teorema de Green:
A integral dupla do segundo membro deve ser expressa por:
o tem ‘a’ temos:
QUESTÃO 4
a) Pelo teorema de Green:
10
Cons derando γ como ² + ² 1
Temos:
Temos que:
E:
Portanto:
11
b) Pelo teorema de Green
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P1- Turma V1 – Data 02/10/2009
1) Calcule o comprimento e o centroide do arco de círculo dado por:
C={(x,y)
y
R²/ x² + y² = a², x
A posição do centroide é dada por [ ,
]:
=
2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por
;
.
= 2xex² seny + ex² cosy . Encontre
onde C é o arco da parábola y = x² que vai do ponto (0,0) ao ponto (1, ).
3) Seja F(x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) um campo vetorial continuo definido no R³.
Seja C uma curva simples, diferencial por partes, contida no R³ definida por
. Mostre que
.
4) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
incompressível.
5) Seja
e
é
. Verifique as identidades:
a)
b)
=
13
RESOLUÇÃO P1 TURMA V1 – 02/10/2009
1)
x=
y=
- Cálculo do Comprimento:
- Cálculo da Posição do Centróide:
Cálculo de
Cálculo de
Cálculo de C =
=
:
=
;
C=
2)
Integrando (2) :
14
Cálculo de
:
(4) = (1)
(5) em (3)
3)
4)
5)
a)
15
b)
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Terceira Avaliação
1) Calcule
onde
, sendo
e
, com
a normal apontando para cima.
2) Calcule o fluxo do campo
figura abaixo, sabendo-se que
normal exterior.
através da superfície fechada da
,com e constantes e vetor
3) Encontre o fluxo de
para cima através da porção do plano
no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
4) Calcule
se
e C é a borda da porção do plano
no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
17
Resolução Terceira Avaliação
1)
2)
Teorema de Gauss:
18
3)
Plano
σ
4)
Plano
σ=
19
20
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Primeira Avaliação – Turma V1
1) Se f e g são funções de classe C² de ℜ⟶ℜ³,
e
são campos vetoriais de classe C¹ num
aberto de ℜ³, então mostre que:
a)
b)
2) Se
é um caminho em ℜ³, tal que σ’’(t)= para todo t, prove que a trajetória é uma reta , ou
um ponto.
3) Calcule
onde γ é a interseção do paraboloide
com o plano
. O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) no plano
caminhe no sentido anti-horário.
4) Dado um campo vetorial tridimensional
derivadas parciais
onde as
são contínuas num conjunto aberto . Se
é o gradiente de
alguma função potencial ϕ prove que:
Em cada ponto de
5) Resolva as seguintes questões:
a) Se um objeto move-se em um campo de forças
, seu vetor velocidade seja ortogonal à
de tal modo que, em cada ponto
, mostre que o trabalho realizado por
sobre o objeto é 0.
b) Ache o trabalho realizado por uma força elástica dirigida para origem, de módulo proporcional à
distância do ponto de aplicação da força à (0,0). Se o ponto de aplicação da força traça um quarto
da elipse
pertencente ao primeiro quadrante.
21
Resolução Primeira Avaliação – Turma V1
1)
a)
Seja:
Assim:
b)
2)
Assim:
22
A trajetória pode ser uma reta ou um ponto.
3)
Curva γ:
5)
a)
Sendo σ(t)=posição e σ’ t
Se
então
eloc dade
, então W=0
b)
23
24
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Primeira Avaliação – Turma V2
1) Considere o campo de forças
onde ℜ ⟶ ℜ é uma função derivável e
. Prove que
é irrotacional.
2) A base de uma cerca é uma C no plano
definida por:
A altura em cada ponto (
) é dada por
(x e y em metros). Se para pintar
cada m² um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca?
3) Calcule
onde
e c é a interseção das superfícies
sendo o sentido do percurso de ponto (1,0,0) para
o ponto (-1,0,0)
4) Considere o campo vetorial
contínuo num subconjunto aberto
ℜ definida por
Se define uma força conservativa, encontre uma função f para
onde γ é dada por
e calcule
5) Seja A a área de uma região R limitada por uma curva simples, fechada, diferenciável por
partes. Prove que:
6) Seja c uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai do ponto (2,0) a (-2,0), percorrida
no sentido anti-horário. Sabendo-se que a área da região delimitada por c e pelo eixo x vale
6π, calcule
, onde
7) Seja D uma região fechada e limitada do plano
cuja área é 10, sua fronteira ∂D está
orientada positivamente e é parametrizada por uma função C¹ por partes, de modo que ∂D
seja percorrida uma única vez. Se
é um campo vetorial de classe
C¹ num subconjunto aberto que contém D e
, então calcule
25
Resolução Primeira Avalição –Turma V2
1)
=
=
2)
I)
II)
26
Resposta: 900p Reais
3)
(x,y,z)= 2yi + zj + xk
c: interseção
x2 + xy² = 1 ; x² + y² = 1 : y 0
z 0
4)
Integrando (1)
27
5)
pelo teorema de green
Se Q=x e P=0
Se P=-y e Q= 0
Se P = -y/2 e Q = x/2 então
6)
Calculo de
7)
Pelo teorema da divergência no plano
DivF = 20 ∴
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Primeira Avaliação – Turma V1
1) As equações de Maxwell relacionam campo elétrico e o campo magnético quando eles
variam com o tempo numa região que não contenha nem carga e nem corrente, como
segue:
Onde c é a velocidade da luz.
Use essas equações para mostrar que:
onde γ é a interseção do paraboloide
2) Calcule
com o plano
O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t)
no plano xy caminhe no sentido anti horário.
3) Calcule
onde
, c é a interseção das superfícies
e
, x≥0, y≥0, z≥0 sendo o sentido do percurso do ponto (1,0,0) para o ponto (0,0,2)
4) Um campo de forças F em duas dimensões é descrito pela equação
Mostre que o trabalho realizado por esta força movendo uma partícula ao longo da
curva
Depende somente de f(a), f(b), g(a), g(b). encontre o
trabalho realizado quando f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = 4.
5) Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pelos gráficos
E
6) Calcule
, onde c é o arco de circunferência
no
segundo quadrante, orientado no sentido anti horário.
7) Seja
Seja
4
) seja c dada por
a área do conjunto limitado pela curva c que é fechada. Calcule
Onde n é
normal a c e aponta para fora do conjunto mencionado
29
Resolução Primeira Avalição –Turma V1
1)
2)
3)
30
4)
Calculo da Função Potencial:
Integrando (1):
Derivando (3) em relação a y:
Fazendo (4)=(2):
Assim:
Então:
31
5)
dx
6)
32
7)
-
33
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Segunda avaliação
1) Parametrize o cilindro
correspondente é dado por
e mostre q o elemento de área
2) Calcule a área da superfície
3) Considere uma casca esférica homogênea de massa M e raio a. o potencial gravitacional
gerado em um ponto a uma distancia c da origem é dado pela integral
onde G é a constante gravitacional e
é a densidade.
Mostre que :
4) Considere o campo vetorial
elipse C descrita por
horário quando vista de cima.
5) Sejam
calcule
e
Calcule a circulação
ao longo da
orientada no sentido anti
. Seja σ uma superfície esférica, com normal exterior n.
supondo que o ponto (0,0,0) não pertence a figura.
34
1)
2)
35
3)
Equações paramétricas:
Chamando
36
4)
37
5)
ℝ
Seja σ a fronteira da esfera k, com normal exterior . Suponhamos que a origem não pertença a K
38
