Lógica e Raciocínio - Universidade da Madeira

Lógica e Raciocínio
Universidade da Madeira
http://dme.uma.pt/edu/LeR/
Decisão sob Risco
Probabilidade
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Probabilidade
ÎEm decisões sob ignorância a probabilidade dos
diferentes resultados e consequências são
desconhecidas.
ÎPorém, em muitas situações, temos alguma
percepção sobre a probabilidade
ÎSe numa decisão consideramos as probabilidades
dos diferentes resultados, chamamos a este
processo decisão sob risco.
Probabilidade - Introdução
ÎA probabilidade dum evento A é denotada P(A).
ÎP(A) pode ser derivada do facto que a frequência
relativa de tentativas repetidas fica perto deste
número. Por exemplo, se um dado é lançado que a
probabilidade de uns cinco é 1/6. Depois de
muitos lances (se o dado estiver equilibrado)
aproximadamente um em seis de todos os
lançamentos é cinco.
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Espaço de Resultados
ÎUm resultado é o desenlace duma tentativa feita
ao acaso (random)
ÎO Espaço de Resultados é o conjunto de todos os
possíveis resultados. Pode ser representado num
diagrama de Venn
Ω
Fig 1. Espaço de Resultados Ω
Intersecção e União
A
A
B
Fig 2. O evento A
A
B
Fig 3. A intersecção A∩B
(A e B acontecem)
Fig 4. A união A∪B
(A ou B ou ambas)
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Outros Eventos
ÎEventos Complementares (e.g. Ac ou ┐A),
Î Conjunto vazio (Ø)
ÎEventos disjuntos ( A e B não podem
acontecer juntos)
A
Ac
Fig 5. Eventos Complementares (Ac or ┐A)
A
B
Fig 6. Eventos disjuntos (A∩B = 0)
Teoria da Probabilidade
ÎSe um evento A = Ω, então A é certo, o que
significa que a probabilidade desse evento é
100%
ÎSe dois eventos A e B são disjuntos, então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
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Axioma de Kolmogorov
Î 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo evento A
Î P(A ∩ AC) = 0 e P(A ∪ AC) = 1, para todo
evento A.
Î P(X ∪ Y) = P(X) + P(Y) – P(X ∩ Y)
Teoria da Probabilidade:
Exemplo
Uma moeda é jogada no ar duas vezes. O espaço de
resultados é Ω:
u1: CaCa; u2 : CaCo; u3 : CoCa; u4 : CoCo
Podemos definir diferentes eventos, por exemplo:
A: Pelo menos obtemos uma cara.
B: A primeira jogada é cara
C: A segunda jogada é coroa
D: Só foram obtidas coroas.
A = {u1, u2, u3}
B = {u1, u2} C = {u2, u4} D = {u4}
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Teoria da Probabilidade:
Exemplo
A = {u1, u2, u3} B = {u1, u2} C = {u2, u4}
D = {u4}
Podemos inferir, entre outras, as seguintes relações:
B é um subconjunto de A (B ⊂ A), A é o
complemento de D (AC = D), a união dos eventos
A e D são o espaço de resultados (A ∪ D = Ω), a
intersecção de B e C é (B ∩ C = {u2}).
Variáveis Estocásticas
ÎVariáveis aleatórias ou estocásticas: Una
quantidade o qual valor determina-se como
resultado dum experimento
ÎPodemos ter duas categorias
)Discreta, entre duas variáveis X e Y podem
não existir valores intermédios
)Continua, entre duas variáveis X e Y existem
infinitos valores intermédios
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Variáveis Estocásticas
ÎMais formalmente uma variável estocástica pode ser vista
como uma função a partir dum domínio, por exemplo
ÎPor exemplo, se X é a variável estocástica no domínio
{rato, cão, gato} P(X) = <30%,60%,10%> á a sua
distribuição de probabilidade.
Se X(rato) = 10, X(cão) = 20, X(gato) = 30,
podemos fazer observações do tipo
P(X = 10) = 30%,
P(X > 10) = 70%,
P(0 ≤ X ≤ 30) = 100%
Distribuição de Probabilidade
ÎP(X = 10) = 30%, lê-se “a probabilidade de
que a variável assuma o valor 10 é 30%”
ÎP(X > 10) = 70%, lê-se “a probabilidade de
que a variável assuma um valor maior que
10 é 70%”
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Interpretação das Probabilidades
ÎVisão Clássica: É a visão objectiva e matemática,
a que melhor se aplica nos casos onde o espaço de
resultados é perfeitamente conhecido
)Um problema da visão clássica é a carência de
conteúdo empírico.
ÎVisão de frequência relativa: Consiste numa visão
objectiva e empírica que foi desenvolvida em
resposta a visão clássica. Define a probabilidade
em termos de eventos actuais
Interpretação das Probabilidades
ÎVisão Subjectiva: É uma tentativa para
desenvolver uma noção de probabilidade
que afronta todos estes desafios.
Probabilidades subjectivas são avaliações
pessoais.
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Probabilidade condicional
ÎA Probabilidade condiciona é utilizada para
representar o que acontece quando nova
informação é adicionada.
ÎA probabilidade condicional denota-se
P(A | B).
)P( chuva | muito nublado ) = 70%
Probabilidade condicional
ÎA probabilidade condicional é muito importante em
aplicações de decisão analítica, onde lidamos com o
valor da nova informação
ÎA fórmula para a probabilidade condicional:
P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A) ), sendo P(A) > 0.
Em palavras, significa qual é a probabilidade
condicional de B, assumindo que acontece A
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Probabilidade condicional
ÎPodemos derivar a fórmula
P(A ∩ B) = P(A)*P(B | A),
Que é chamada regra de produção
Probabilidade condicional
Hom em
Mulher
Total
Câncer de Prostata
600
0
600
No Câncer de Prostata
800
1000
1800
1400
1000
2400
P(prost. câncer)=
600/2400=
0,25
P(prost. câncer, homem)=
600/1400= 0,428571
Total
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Probabilidade condicional
Î Baseado na tabela precedente, a probabilidade
de uma pessoa qualquer do grupo ter câncer
de próstata é P(pros. câncer) = 25%. Se
escolhemos a priori um homem a
probabilidade é P(pros. câncer | homem) =
43%.
) E.g. P(pros. câncer | homem) > P(pros. câncer)
Eventos Independentes
ÎDois eventos são independentes se A e B
são tais que P(B | A) = P(B). Isto significa
que a probabilidade de B não muda pelo
facto de acontecer A.
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Regra de Bayes
ÎDada as duas fórmulas da regra do produto:
P(A∩B) = P(A|B) P(B)
P(A∩B) = P(B|A) P(A)
ÎIgualando e dividindo as equações por P(A),
obtém-se:
P(B|A) = P(A|B) P(B) / P(A)
ÎEsta equação é conhecida como Regra de Bayes
(Lei de Bayes ou Teorema de Bayes) que
representa a base da maioria dos sistemas para
inferência ou decisão probabilística
Regra de Bayes (cont.)
Um caso simples: diagnóstico médico
)Suponha que a meningite cause, em 50% dos casos,
torcicolo em um paciente - P(T|M) = 0.5
)Suponha que a probabilidade de um paciente ter
meningite - P(M) = 1/50.000
)E a probabilidade de um paciente ter torcicolo - P(T) =
1/20
)Deseja saber P(M|T) ?
P(M|T) = P(T|M)P(M) = 0.5 x 1/50.000 = 0.0002
P(T)
1/20
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Conclusão
ÎAs probabilidades oferecem poderosas
ferramentas na hora de tomar decisões.
ÎPorém adoecem de algumas dificuldades
práticas, sendo a principal o
desconhecimento do espaço de resultados e
as probabilidade exacta de cada resultado
FIM
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