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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – UFF
FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS
CONTÁBEIS – EST DEPARTAMENTO DE
ADMINISTRAÇÃO – STA
NÉLIO BARBERINI MERCÊS
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA
À FINANÇAS: OTIMIZAÇÃO DE
CARTEIRA DE INVESTIMENTOS EM
TRÊS PERFIS DE RISCO DISTINTOS
NITERÓI
2019
NÉLIO BARBERINI MERCÊS
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA À FINANÇAS: OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRA
DE INVESTIMENTOS EM TRÊS PERFIS DE RISCO DISTINTOS
Trabalho
de
Conclusão
de
Curso
apresentado à Universidade Federal Fluminense
como requisito parcial para obtenção do Grau de
Bacharel em Administração.
Orientador:
Profº. Dr. Aurélio Lamare Soares Murta
NITERÓI
2019
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Gerada com informações fornecidas pelo autor
F814e
Mercês, Nélio Barberini
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA À FINANÇAS: OTIMIZAÇÃO DE
CARTEIRA DE INVESTIMENTOS EM TrêS PERFIS DE RISCO
DISTINTOS: / Nélio Barberini Mercês ; Aurélio Murta,
orientador. Niterói, 2019.
5 f.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
Administração)-Universidade Federal Fluminense, Faculdade de
Administração e Ciências Contábeis, Niterói, 2018.
1. Pesquisa Operacional. 2. Finanças. 3. Programação
Linear. 4. Carteira de Investimentos. 5. Produção
intelectual. I. Murta, Aurélio, orientador. II.
Universidade Federal Fluminense. Faculdade de
Administração e Ciências Contábeis. III. Título.
CDD -
Bibliotecária responsável: Carlos Roberto Santos de Lima - CRB7/5531
À Felippe e Natalie pelo suporte.
Às memórias de meu falecido pai, Nélio Luiz
das Mercês.
Ao professor Aurélio Murta por todo o
conhecimento passado.
RESUMO
O mercado de capital aberto é muito instável, devido à isso e também pelo fato de que
muito pouco se discute sobre educação financeira no Brasil, poucos são os que têm segurança
no momento de aplicar dinheiro em ações. Com base nisso, o objetivo deste trabalho consiste
em apresentar ao leitor uma metodologia de Pesquisa Operacional capaz de minimizar os riscos
envolvidos nesse tipo de investimento e tornar esse processo decisório muito mais fácil. Sendo
assim, será desenvolvido um modelo de programação linear que consiste em três etapas:
identificação das variáveis de decisão, formulação da função objetivo e dos critérios de
restrição. Feito isso, o modelo será apresentado em um caso fictício em que um cliente busca
ajuda de um consultor financeiro para aplicar seus recursos em ações. Esse cliente já tem pré
selecionada 10 ações nas quais cogita investir, porém não sabe de que forma. Portanto, as
aplicações desse cliente serão simuladas pelo Excel em três cenários distintos: risco
conservador, risco moderado e risco agressivo. O objetivo do modelo será a maximização do
lucro e, utilizando a ferramenta Solver, será proposto a melhor solução possível em cada um
dos perfis de risco, para que o cliente possa investir com assertividade.
ABSTRACT
The publicly traded market is very unstable because of that and of how little discussion on
the topic there is available to the general public only a small number of people feel confident to
invest in the stock market. Based on this, the objective of this study is to present to the reader an
Operational Research methodology capable of minimizing the risks involved in this type of
investment and making the whole process much easier. Thus, a linear programming model that
consists of three stages will be developed: identification of the decision variables, form for
entering and the editing constraints. Once this is done, the model will be presented in a fictitious
case where a client seeks help from a financial advisor to invest his or her money in stocks. This
client has already pre-selected 10 shares in which he or she is considering to invest, but he does
not know how. Therefore, this client's applications will be simulated by Excel in three different
scenarios: conservative risk, moderate risk, and aggressive risk. The objective of the model will
be profit maximization and, using the Solver tool, the best possible solution will be proposed in
each of the risk profiles, so that the client can invest with assertiveness.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 01: Fases da Pesquisa Operacional ................................................................................ 21
Figura 02: Disposição dos dados referentes ao problema em Excel ......................................... 33
Figura 03: Aplicação dos parâmetros do problema no Solver .................................................. 35
Figura 04: Resolução encontrada pelo Solver no cenário conservador .................................... 36
Figura 05: Resolução encontrada pelo Solver no cenário moderado ........................................ 36
Figura 06: Resolução encontrada pelo Solver no cenário agressivo ......................................... 37
LISTA DE TABELAS
Tabela 01: Ações que podem compor a carteira do cliente ...................................................... 29
Tabela 02: Rentabilidade média e desvio-padrão das ações ..................................................... 31
Tabela 03: Histórico de retorno das ações ................................................................................ 45
LISTA DE EQUAÇÕES
Equação 01: Fórmula geral referente à otimização de z ............................................................ 26
Equação 02: Restrição referente ao capital total a ser alocado na carteira ................................ 26
Equação 03: Restrição referente ao percentual máximo a ser alocado em cada ação............... 26
Equação 04: Restrição referente ao perfil de risco da carteira .................................................. 26
Equação 05: Restrição de não negatividade .............................................................................. 26
Equação 06: Formulação referente à maximização do lucro na carteira de investimetos ......... 32
Equação 07: Equação que garente que 100% do capital será investido na carteira.................. 32
Equação 08: Equações que garantem que será permitido investir no máximo 30% em cada ação ..... 32
Equação 09: Equação que especifica o perfil de risco da carteira de perfil conservador ......... 32
Equação 10: Equação que especifica o perfil de risco da carteira de perfil moderado ............. 33
Equação 11: Equação que especifica o perfil de risco da carteira de perfil agressivo.............. 33
Equação 12: Equação que garente que nenhuma solução envolverá número negativo ............ 33
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 01: Estimativa de retorno financeiro em cada um dos cenários .................................. 37
Gráfico 02: Percentual de investimento alocado em cada ativo no cenário conservador ....................... 38
Gráfico 03: Percentual de investimento alocado em cada ativo no cenário moderado .......................... 39
Gráfico 04: Percentual de investimento alocado em cada ativo no cenário agressivo ........................... 39
Gráfico 05: Relação entre o retorno médio e o desvio-padrão dos ativos da carteira.............................. 40
Gráfico 06: Relação entre o risco e o retorno esperado pelo Solver em cada perfil de risco ... 41
10
SUMÁRIO
1. O PROBLEMA ..................................................................................................... 12
1.1 INTRODUÇÃO.................................................................................................... 12
1.2 OBJETIVOS......................................................................................................... 14
1.2.1 OBJETIVOS GERAIS ....................................................................................... 14
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS............................................................................. 14
1.3 JUSTIFICATIVA ............................................................................................... 15
1.4 RELEVANCIA DO ESTUDO............................................................................ 15
2.0 METODOLOGIA............................................................................................... 16
2.1 TIPO DE PESQUISA......................................................................................... 16
2.1.1 QUANTO AOS FINS........................................................................................ 16
2.1.2 QUANTO AOS MEIOS.................................................................................... 16
2.2 UNIVERSO E AMOSTRA................................................................................ 16
2.3 COLETA DE DADOS........................................................................................ 16
2.4 TRATAMENTO DE DADOS............................................................................ 17
2.5 LIMITAÇÕES DO MÉTODO........................................................................... 17
3.0 REFERENCIAL TEÓRICO.............................................................................. 17
3.1 MERCADO DE AÇÕES.................................................................................... 17
3.2 PESQUISA OPERACIONAL............................................................................ 19
3.3 PROGRAMAÇÃO LINEAR.............................................................................. 21
3.3.1 CARACTERÍSTICAS DO MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR......... 22
3.3.2 O PROBLEMA DA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS.............................. 23
4.0 METODOLOGIA............................................................................................... 24
4.1 DETALHAMENTO ESPECÍFICO................................................................... 24
4.2 SOFTWARE ESCOLHIDO............................................................................... 26
5.0 ESTUDO DE CASO............................................................................................ 28
5.1 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA............................................................... 28
5.2 IDENTIFICAÇÃO E COLETA DE DADOS................................................... 30
5.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO NO SOLVER................................... 33
5.4 RELATÓRIO FINANCEIRO GERADO A PARTIR DOS RESULTADOS 37
6.0 CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................................. 41
11
7.0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................. 43
8.0 APÊNDICE A....................................................................................................... 45
12
1. O PROBLEMA
1.1
INTRODUÇÃO
A população brasileira ainda tem pouca consciência de seu protagonismo em relação às
suas finanças. Gastar recursos de maneira imediatista é uma questão cultural no país. De acordo
com uma pesquisa realizada pelo instituto Anbima (2017), 62,34% dos brasileiros não
conhecem nenhum tipo de investimento:
De acordo com levantamento realizado pela Associação Brasileira das
Entidades dos Mercados Financeiro e de Capitais (Anbima) com o apoio do
Datafolha, entre o público que se declara investidor, a maioria está na classe A (42%),
com a classe C na ponta oposta (18%). No total, 62,34% disseram não conhecer
nenhum tipo de investimento.(ANBIMA, 2017)
De acordo com Bodie, Kane e Marcus (2014), investir é comprometer dinheiro ou
outros recursos no presente com a expectativa de colher benefícios futuros, e isso se aplica tanto
a questões monetárias, como será tratado nesse estudo, quanto ao investimento de tempo para
estudar um assunto, por exemplo. O essencial no momento de investir dinheiro, é saber tomar
decisões, pois é necessário que se pese as vantagens e desvantagens de cada alternativa para
escolher a melhor, sempre visando o desempenho econômico. Azevedo, Silva e Souza (2009)
acrescentam que o processo decisório é uma das principais tarefas de um administrador,
contudo, deixa claro que, muitas vezes, essa tarefa pode ser tornar muito complexa.
A tomada de decisão é algo que compõe a função básica do
administrador, porém muitas vezes difícil de ser realizada, devido à
grande quantidade de informações. Todas as decisões envolvem a escolha
de uma alternativa, através da comparação de custo e benefício entre as
opções apresentadas. (AZEVEDO; SILVA; SOUZA, 2009, p. 6)
Nesse cenário, podemos mencionar a pesquisa operacional, que consiste em um estudo
de como formular e construir modelos matemáticos de decisão para problemas diversos como
os de engenharia, de gestão/gerenciamento, de logística, finanças, entre outros, tendo como
objetivo apontar, a partir das variáveis expostas, dados que ajudem a minimizar as incertezas,
os riscos e a complexidade ligada ao processo de tomada de decisão.
De acordo com Vidal (2003):
A Pesquisa Operacional é uma área de estudo que diz respeito à alocação eficiente de
recursos escassos; é tanto uma arte como uma ciência. A arte reside na habilidade de
13
exprimir os conceitos de eficiente, escasso, mínimo, máximo, crítico e ótimo, por
meio de modelos matemáticos bem definidos para uma determinada situação; a
ciência consiste na dedução de métodos matemáticos e computacionais para
solucionar tais modelos. (VIDAL, 2003, p.4)
Para que o método seja aplicado com eficácia, é necessário, a partir do problema,
analisar os dados e elaborar um modelo matemático, estabelecendo três etapas, sendo elas:
definição das variáveis de decisão, determinação da função objetivo e delimitação das restrições.
Segundo Hillier e Lieberman (2013), as variáveis de decisão são as incógnitas a serem
determinadas pela solução do modelo. Sendo assim, havendo n decisões quantificáveis a serem
feitas, elas serão representadas como variáveis de decisão (por exemplo: X1, X2,..,XN). A
medida de desempenho apropriada (por exemplo, o lucro) é, então, expressa como uma função
matemática dessas variáveis de decisão, para que se chegue a um resultado. Essa função é
chamada de função objetivo. Quaisquer restrições nos valores que podem ser atribuídos às
variáveis de decisão são, comumente, expressas por meio de desigualdades ou equações
(por exemplo, X1 + 2X2 + X3 >= 11). Essas expressões matemáticas para limitações são
denominadas restrições.
É importante frisar que há inúmeros modelos matemáticos aplicados à pesquisa
operacional. No presente trabalho, utilizaremos o modelo de programação linear. De acordo com
Hillier e Lieberman (2013), a programação linear é um modelo formado apenas por funções
lineares e é considerado uma ferramenta-padrão que poupou milhões de dólares para muitas
empresas ao redor do mundo, consistindo basicamente em:
Em suma, o tipo mais comum de informação envolve o problema genérico
de alocar da melhor forma possível (isto é, de forma ótima) recursos limitados para
atividades que competem entre si. Mais precisamente, esse problema envolve
selecionar o nível de certas atividades que competem por recursos escassos que são
necessários para realizar essas mesmas atividades. A escolha do nível de atividades
determina, então, quanto de cada recurso será consumido a cada atividade.
(HILLIER/LIEBERMAN, 2013, p.20)
Tendo em vista o problema e todo o risco envolvido no momento de se investir dinheiro
em ações, busca-se nesse estudo analisar as variáveis de decisão para elaborar um modelo de
programação linear, utilizando a pesquisa operacional, de forma a determinar a composição ótima
de carteiras de investimentos para perfis conservador, moderado e agressivo, que minimize o risco
do portfólio, sujeito a um nível de retorno esperado.
14
Para construção do modelo, será analisado o histórico de um ano de retorno de um
conjunto de 10 ações. Feito isso, será criada uma persona de um investidor que possui até uma
determinada quantia para se investir em cada ação, respeitando um determinado risco da carteira
que será estabelecido para cada um dos cenários de risco que será simulado. Esse investidor
selecionou previamente um conjunto de ações e deseja aplicar todo o seu dinheiro nelas. Para isso,
buscou a ajuda de um analista financeiro que, ao conversar com o cliente, não soube identificar a
que perfil de risco ele se encaixa. Por isso, decidiu ajuda-lo a montar três carteiras de investimentos
distintas, variando apenas o percentual de risco máximo aceitado por cada uma delas, para que
assim o cliente possa ver diferentes cenários e escolher a maneira que gostaria de investir. Dessa
forma, serão montadas três carteiras que suportem, respectivamente, riscos conservador, moderado
e agressivo. O que se espera é que o modelo de pesquisa operacional forneça três soluções de
aplicação em investimento ótimas com os recursos disponíveis, respeitando todas as restrições
expostas em cada uma delas, de forma a maximizar o lucro.
1.2
OBJETIVOS
1.2.1 OBJETIVO GERAL
Criar um modelo de programação linear que monte três carteiras de investimentos
ótimas, respeitando-se os recursos disponíveis para se investir e a taxa de risco máximo da
carteira aceitado pelo investidor em cada uma delas. Será criado a persona de um investidor
que pretende aplicar e não sabe qual o seu perfil de risco, por isso será elaborado três cenários,
sendo eles de risco conservador, moderado e agressivo para demonstração do estudo de caso,
mas o modelo poderá ser aplicado em diferentes situações, variando o montante disponível, o
perfil de risco, as restrições impostas, etc.
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Contextualizar o mercado de ações no Brasil
- Contextualizar a Pesquisa Operacional
- Contextualizar o problema da carteira de investimentos
- Criar uma metodologia para montar uma carteira de investimentos ótima em diferentes
15
perfis de risco
- Apresentar um estudo de caso hipotético
- Rodar os dados do estudo de caso no modelo criado
- Identificar a otimização gerada pelo modelo
1.3
JUSTIFICATIVA
A principal preocupação que deu origem a esse trabalho é baseada na falta de educação
financeira da população brasileira, visto que a porcentagem de pessoas que aplicam seu dinheiro
é muito baixa. Essa dificuldade se dá pois há, sem dúvida, falta de informação quando o assunto
é investir, principalmente, quando se trata de renda variável. Além disso, será abordado a
pesquisa operacional, um assunto em alta no mundo tecnológico em que vivemos, muito
utilizado como facilitador de processos decisórios nas mais diversas áreas da administração e
da engenharia de produção.
Portanto, justifica a realização da pesquisa a necessidade da elaboração de uma
metodologia que suporte inúmeras variáveis de decisão e que as compare, levando assim, à
melhor carteira de investimentos possível com base nas restrições apresentadas em cada
problema.
1.4
RELEVÂNCIA DO ESTUDO
Esta pesquisa é relevante tanto para o meio acadêmico quanto para elucidar questões
relativas ao ato de investir. No meio acadêmico por pesquisa operacional tratar-se de um
assunto que aborda pontos importantes presentes em diversas disciplinas da administração e da
engenharia de produção. A partir desta pesquisa poderão surgir outros trabalhos científicos que
enriqueçam o assunto e mostrem outros âmbitos.
Ademais, é essencial que se fale mais de investimento em um país em que grande
parcela da população sente insegurança no momento de aplicar seus recursos financeiros. A
pesquisa operacional é uma ferramenta de extrema importância para minimizar esse sintoma de
incerteza, visto que auxilia na solução de problemas e na tomada de decisão assertiva com a
16
ajuda de metodologias matemáticas e estatísticas precisas.
2. METODOLOGIA
2.1 TIPO DE PESQUISA
Segundo taxonomia proposta por Vergara (2006), as pesquisas se classificam quanto aos meios
e quanto aos fins.
2.1.1 QUANTO AOS FINS
Quanto aos fins, a presente pesquisa se caracteriza como metodológica, pois a mesma irá
aprimorar um método para que o problema de alocação de recursos em uma carteira de
investimentos, de forma a maximizar o retorno e minimizar os riscos, seja resolvido, auxiliando
no processo decisório.
2.1.2 QUANTO AOS MEIOS
Quanto aos meios a pesquisa é bibliográfica e quantitativa. A pesquisa bibliográfica é
importante para a fundamentação teórico-metodológica do trabalho, onde foram
investigados os seguintes assuntos: cultura de investimentos no Brasil, pesquisa operacional,
programação linear. A pesquisa quantitativa é importante para elaboração do caso hipotético
a ser solucionado no presente trabalho.
2.2 UNIVERSO E AMOSTRA
Será coletado o histórico de um ano de retorno das ações na bolsa de valores para realização
do caso hipotético que será apresentado nesse trabalho.
2.3 COLETA DE DADOS
A coleta de dados foi realizada por meio de:
-
Pesquisa bibliográfica em livros, artigos, dissertações, além da internet, em acessos a sites
especializados.
17
-
Pesquisa quantitativa para elaboração de um modelo de pesquisa operacional que permita
um investidor alocar seus recursos da melhor maneira possível em suas carteiras de
investimentos.
As pesquisas bibliográfica e quantitativa justificam-se por permitirem que se estabeleça uma
correlação entre os objetivos definidos neste trabalho e os meios para alcançá-los.
2.4 TRATAMENTO DE DADOS
Os dados foram tratados de forma quantitativa, pela exploração do material obtido, tendo
sempre em mente os objetivos estabelecidos para o estudo. Os dados obtidos foram
transformados em elementos para a produção do texto científico.
2.5 LIMITAÇÕES DO MÉTODO
A metodologia bibliográfica escolhida para a pesquisa possui as seguintes limitações:
Serão utilizadas fontes secundárias para a pesquisa. Quando utilizamos pesquisas realizadas na
Internet, devemos optar por sites oficiais para a obtenção de dados confiáveis. Estes dados
podem não ser suficientes para a tomada da decisão final, sendo necessária a pesquisa dos dados
primários.
3.
REFERENCIAL TEÓRICO
3.1 MERCADO DE AÇÕES
A bolsa de valores é um mercado organizado onde são negociadas ações de empresas de
capital aberto e outros valores mobiliários. Ou seja, tendo como objetivo arrecadar fundos e
financiar projetos, algumas companhias decidem disponibilizar parcelas da participação na
empresa em troca de dinheiro, como se o dono da empresa estivesse convidando novos sócios a
participar do negócio, dessa forma, realizando uma abertura de capital. A partir desse momento,
a empresa passa a aparecer na bolsa de valores e na outra ponta, os investidores manifestam seu
interesse em comprar ou vender ações dessa empresa. Nesse momento, o preço da ação é definido
com base em um cálculo que leva em conta a oferta e demanda dos papéis por parte dos
investidores.
18
Pode-se definir então, dentro do universo da bolsa de valores, oferta como a quantidade
ações disponíveis para compra, enquanto demanda seria a quantidade de ações que os
investidores estão dispostos a comprar. Quando a demanda é maior do que a oferta, os preços
das ações tendem a subir, já que os investidores se dispõem a pagar mais para obter um
determinado item. Por outro lado, quando a oferta é maior do que a demanda, os preços tendem
a cair. Essa relação de compra e venda foi bem definida pelo Dr. Alexander Elder (2002):
Cada operação representa uma transação entre um comprador e um vendedor,
que se encontram face a face, por telefone ou na Internet, com ou sem a intervenção
de corretores. O comprador quer comprar tão barato quanto possível. O vendedor quer
vender tão caro quanto possível. Ambos sentem a pressão da multidão de operadores
que se aglomeram ao seu redor, prontos para abocanhar ou descartar suas presas. As
operações se concretizam quando o comprador mais ganancioso, com medo de que os
preços disparem, avança um passo e oferece um tostão a mais. Ou o vendedor mais
receoso, com medo de que suas mercadorias encalhem, recua um passo e aceita um
tostão a menos. Às vezes, um vendedor assustado “dá” sua mercadoria a um
comprador calmo e disciplinado, em constante estado de alerta para as oportunidades.
Todas as operações refletem os comportamentos da multidão. Cada novo preço na tela
dos computadores representa um consenso monetário sobre o valor de um ativo entre
os participantes do mercado. O valor das mercadorias e empresas com base em
critérios fundamentalistas muda lentamente, mas os preços de mercado oscilam a todo
instante, pois as condições de consenso são muito instáveis. (ELDER, 2002, p.8-9)
Vale ressaltar que fazer parte de uma empresa pode trazer benefícios, mas também
envolve riscos. O investidor que compra uma ação pode ganhar dinheiro a partir da valorização
desse papel ou através da distribuição dos dividendos da empresa. Contudo, tanto a valorização
quanto a desvalorização podem acontecer com base em diversos fatores: no curto prazo são as
notícias, os rumores e dos demais ruídos que fazem o preço das ações oscilarem, já no longo
prazo depende dos resultados da empresa por trás dessas ações. Por isso, devido à falta de
conhecimento da população brasileira no que tange o ato de investir em renda variável aliado à
todo o risco inerente a esse processo, poucas pessoas investem na bolsa de valores.
Apesar disso, segundo o maior investidor de todos os tempos, Warren Buffet, investir
no mercado financeiro é mais simples do que se imagina, porém é importante que se fique atento
para não comprar ações de empresas cujo negócio você não entende. Alguns de outros princípios
dele são:
Busque sempre a simplicidade. Não faça com que os investimentos se tornem
desnecessariamente difíceis. Atenha-se ao que você conhece e compre ações de
19
empresas sólidas com uma gestão forte e ética. As decisões de investimento que
envolvem complexidade devem ser evitadas.
Tome suas próprias decisões de investimento. Seja seu próprio consultor. Tenha
cuidado com corretores e outros vendedores que oferecem agressivamente
determinada ação ou fundo mútuo para aumentar as próprias comissões. É óbvio que
esses indivíduos não estão pensando no seu interesse. (PARDOE, 2009, p. 10-11)
3.2 Pesquisa Operacional
O início da atividade denominada Pesquisa Operacional, geralmente é atribuído às ações
militares durante a Segunda Guerra Mundial. Durante as batalhas havia a necessidade de alocar
de forma eficiente os escassos recursos para as diversas operações militares, sendo assim, os
comandos britânico e norte-americano convocaram grande número de cientistas para lidar com
este e outros problemas táticos e estratégicos no que tange as operações militares.
Com a era industrial ocorrida no pós-guerra, começaram a surgir os problemas decorrentes
da crescente complexidade e especialização nas organizações, tais como:

Aumento da divisão do trabalho e segmentação das responsabilidades gerenciais;

Unidades autônomas com seus próprios sistemas de valor;

Perda de visão sistêmica da organização.
Devido a tais fatores, as unidades da empresa, muitas vezes, possuíam objetivos diferentes
e conflitantes. Tornou-se necessário, portanto, alocar os recursos para as diversas unidades de
maneira mais eficiente para a organização como um todo. Percebeu-se dessa forma, que os
problemas enfrentados pelas grandes empresas eram muito semelhantes ao enfrentados pelos
militares. Assim, no início dos anos 1950, a Pesquisa Operacional fora introduzida nas
diversas organizações dos setores comercial, industrial e governamental.
Ainda de acordo com Longray(2013), o tema só foi ficar realmente em evidência a partir
da década de 1960 quando importantes trabalhos de cunho científico foram publicados a
respeito.
Alves, Menezes e Zimmermann (2006) corroboram com a ideia de que a Segunda Guerra
Mundial foi decisiva para difundir os conhecimentos de Pesquisa Operacional nas industrias,
mas acrescenta que outro fator de extrema importância foi o crescente avanço tecnológico
advindo da era computacional.
A influência da Segunda Guerra Mundial foi decisiva para o
ressurgimento da PO, e os desenvolvimentos que se seguiram nas
20
décadas que sucederam o grande conflito são devidos especialmente à
difusão do computador nas universidades e empresas. Havia demandas
da parte da indústria e dos governos (transportar, planejar e interceptar,
etc.), novos conhecimentos em Matemática, Engenharia, Estatística,
Economia e Computação eram publicados, e financiamentos de pesquisa
nesta
área
de
conhecimento
surgiram.
(ALVES;
MENEZES,
ZIMMERMANN, 2006, p. 3)
De acordo com Chiavenato (2004), o estudo da Pesquisa Operacional é dividido em seis
etapas distintas, para que o método possa ser aplicado com efetividade:
PO é "a aplicação de métodos, técnicas e instrumentos científicos a problemas
que envolvem as operações de um sistema, de modo a proporcionar, aos que
controlam o sistema, soluções ótimas para o problema em foco". Ela se "ocupa de
operações de um sistema existente...", isto é, "materiais, energias, pessoas e máquinas
já existentes... ". O objetivo da PO é capacitar a administração a resolver problemas e
tomar decisões. Embora haja diversidade nas definições sobre a PO, há unanimidade
quanto ao seu objetivo: fornecer subsídios racionais para a tomada de decisões nas
organizações. Ela pretende tornar científico, racional e lógico o processo decisório
nas organizações. A metodologia da PO utiliza seis fases:
1. Formular o problema. Com a análise do sistema e seus objetivos e das
alternativas de ação.
2. Construir um modelo matemático para representar o sistema. O modelo
expressa o sistema como um conjunto de variáveis, das quais uma, pelo menos, está
sujeita a controle.
3. Deduzir uma solução do modelo. A solução ótima de um modelo por meio
do processo analítico ou do processo numérico
4. Testar o modelo e a solução. Construir o modelo que represente a realidade
e que deve ser capaz de prever com exatidão o efeito das mudanças no sistema e a
eficiência geral do sistema.
5. Estabelecer controle sobre a solução. A solução de um modelo será adequada
enquanto as variáveis incontroladas conservarem seus valores e as relações entre as
variáveis se mantiverem constantes.
6. Colocar a solução em funcionamento (implementação). A solução precisa ser
testada e transformada em uma série de processos operacionais (CHIAVENATO,
2004, p.350-351).
21
Figura 1 – Fases da Pesquisa Operacional.
Fonte: Adaptado de Moreira (2007).
3.3
PROGRAMAÇÃO LINEAR
Conforme Barcelos, Evangelista e Segatto (2012), a Pesquisa Operacional é uma ciência
que busca encontrar a melhor solução possível para um problema, considerando aspectos
diversos, como restrição de tempo e custo. Ainda segundo os mesmos, várias técnicas foram
desenvolvidas para modelar os problemas, senda elas: Programação Linear, Programação
Dinâmica, Programação Inteira, Teoria dos Estoques, Teoria das Filas, Simulação, Teoria dos
Jogos, Teoria dos Grafos, Planejamento com Pert/CPM e Análise de risco. Nesse estudo, será
utilizado a técnica de Programação Linear, a a partir do método Simplex:
[...]o Método Simplex disponibiliza um critério para solucionar problemas de programação linear, buscando definir o valor das variáveis (incógnitas) para que se
satisfaçam, respectivamente, todas as restrições do problema. (Barcelos, Evangelista,
Segatto, 2012, p. 386)
A Programação Linear é simples e pode ser aplicada em uma considerável gama de
questões, devido a isso, tornou-se um recurso muito difundido. Compreende-se por uma técnica
de otimização utilizada para resolver problemas que sejam modelados por meio de funções
lineares.
Segundo Lisboa (2002), podemos afirmar que a programação linear tem como alvo
otimizar uma função linear de variáveis sujeita a uma série de equações ou inequações lineares,
chamadas de restrições.
Conforme Bodanese, Oliveira, Scalabrin e Mores alguns
procedimentos são fundamentais para aplicação desse método:
22
o método da programação linear deve observar os seguintes procedimentos,
para solucionar um problema: Definir o problema - para isso, é preciso identificar o
objetivo pretendido, as variáveis de decisão, ou seja, as variáveis que estão ligadas a
esse objetivo, e ainda, quais as limitações e relações a que estas variáveis estão
sujeitas. O objetivo, em geral, é maximizar ou minimizar um item, observando se os
recursos disponíveis são escassos, ou seja, possuem condições restritivas. O modelo
é codificado em uma linguagem simbólica, no caso, através de equações e inequações
matemáticas lineares. Dessa forma, o mundo real será representado através de um
modelo matemático, permitindo que sobre ele apliquem-se técnicas e métodos
matemáticos que facilitem a solução do problema. (Bodanese, Oliveira, Scalabrin,
Mores, 2005, p.5)
3.3.1 CARACTERÍSTICAS DO MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
De acordo com Lisboa (2002), todas as relações entre as variáveis das expressões
matemáticas do modelo devem seguir o princípio de linearidade. Essa característica faz com
que haja proporcionalidade das quantidades envolvidas. Por apresentar uma estrutura
matemática mais simples, esse método não serve para representação de fenômenos não lineares,
ainda assim, serve de base para a formulação de qualquer modelo de pesquisa operacional.
Programação Linear (PL) é uma técnica matemática que permite analisar os
recursos de produção no sentido de maximizar o lucro e minimizar o custo. É uma
técnica de solução de problemas que requer a definição dos valores das variáveis
envolvidas na decisão para otimizar um objetivo a ser alcançado dentro de um
conjunto de limitações ou restrições, que constituem as regras do jogo. Tais problemas
envolvem alocação de recursos, relações lineares entre as variáveis da decisão,
objetivo a alcançar e restrições. Quase sempre, essa técnica focaliza problemas de
busca a melhor maneira de alocar recursos escassos entre atividades concorrentes. O
problema da alocação envolve situações como programar a produção para maximizar
lucros, misturar ingredientes de um produto para minimizar custos, selecionar um
portfólio excelente de investimentos, alocar pessoal de vendas em um território ou
definir uma rede de transportes intermodais com o menor custo e maior rapidez. 30 A
PL é aplicável a programação de processos decisórios para obter custo mínimo ou
rendimento máximo. A PL apresenta características como:
a.
Busca a posição ótima em relação a um objetivo. A finalidade é minimizar custos e
maximizar benefícios em função do objetivo prefixado.
b.
Supõe a escolha entre alternativas ou combinação dessas alternativas.
c.
Considera limites ou restrições que cercam a decisão.
23
d. As variáveis devem ser quantificáveis e ter relações lineares entre si (CHIAVENATO,
2004, p.450-451).
3.3.2 O PROBLEMA DA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS
O estudo abordado nesse trabalho, fora inicialmente desenvolvido por um economista
chamado Harry Markowitz (1952), que percebeu que o risco de uma carteira não poderia ser
dado pelo risco individual de cada ação, mas sim pela correlação existente entre elas, baseado
nisso surgiu o cálculo da matriz de covariância, que leva em consideração a relação existente
ente o retorno e o risco de cada ativo, analisados com um todo, uma vez que uma carteira de
investimento não deve ser composta por um único investimento, é importante a diversificação
como forma de alcançar um bom resultado. Ademais, foi Markowitz (1952) quem propôs que
os ativos devem ser analisados ao longo do tempo e seu risco deve ser calculado com base no
desvio-padrão, preceitos básicos utilizados pelo estudo aqui desenvolvido com auxílio do
método explicado no capítulo anterior.
Segundo Oliveira, Carvalho, Roma e Melo (2011), Markowitz (1952) inseriu no âmbito
financeiro as bases para criação de carteiras diversificadas no intuito de maximizar o retorno
para um dado nível de risco, minimizando consequentemente o risco:
Markowitz (1952) contribuiu para o entendimento da relação risco/retorno a partir da
publicação do seu artigo intitulado Portfolio Selection no The Journal of Finance na
década de 1950. A teoria do portfólio defendida pelo autor admite que o risco de um
ativo individual é diferente de seu risco quando incluído em uma carteira. A partir
desta teoria, houve formulações nos pressupostos da definição de fronteira eficiente.
Nesta questão, Markowitz (1952) mostrou que cada ponto nesta fronteira representa
uma carteira eficiente e suas proposições ajudam na tomada de decisão. ( Oliveira,
Carvalho, Roma, Melo, 2011, p.2)
Assim, foi criada a teoria da carteira, que serviu de base para a concepção desse
problema dentro do universo da programação linear. Vale ressaltar, que nesse estudo, não será
desenvolvido o modelo de Marlowitz (2012), mas sim uma outra alternativa, pois de acordo
com Belfiore e Fávero (2012), o modelo de Markowitz foi posteriormente simplificado, uma
vez que possui alta complexidade:
Sharpe (1964) propôs um modelo simplificado de otimização de carteiras
com o objetivo de facilitar o cálculo da matriz de covariância. Semelhante ao modelo
de Markowitz, o modelo de Sharpe também busca determinar a composição ótima da
carteira que trará o maior retorno possível com menor risco.
O modelo de Markowitz exige o cálculo extensivo da matriz de covariância, sendo
24
assim de alta complexidade computacional. De forma a facilitar a sua aplicação,
modelos alternativos ao modelo original de Markowitz têm sido propostos.
Partindo da teoria de Markowitz (1952) e Sharpe (1964), pode-se elaborar um modelo
de programação linear que determina a composição ótima da carteira de investimentos
que minimiza o risco do portfólio, sujeito a um nível de retorno esperado.
Analogamente, pode-se buscar a melhor composição da carteira que maximiza o
retorno esperado do portfólio, sujeito ao atendimento de um nível mínimo desse valor
e a um risco máximo permitido (Belfiore e Fávero, 2012, p.37-38).
4. METODOLOGIA
4.1
DETALHAMENTO ESPECÍFICO
Nesse trabalho será desenvolvido o problema da carteira de investimentos, no qual um
consultor financeiro deverá auxiliar seu cliente a otimizar ao máximo os seus recursos, para que
o seu retorno de investimentos seja maximizado. Dessa forma, simulará três carteiras de
investimentos distintas, variando o perfil de risco entre elas para que o cliente decida como
deve aplicar.
A fim de responder de forma satisfatória essa solicitação, será usado o método de
programação linear, uma vez que o problema atende a todos os pré-requisitos necessários para
a utilização do modelo, sendo eles: a busca por uma solução ótima que atenda a função objetivo,
a necessidade de escolha entre diferentes alternativas ou combinação delas, há critérios de
restrições que cercam a decisão final, as variáveis são quantificáveis, não negativas e possuem
relação de linearidade entre si. O analista financeiro fornecerá todos os dados para que o estudo
seja realizado com êxito. Apesar do caso exposto nesse trabalho ser fictício, os dados utilizados
no cálculo serão coletados de fontes reais e confiáveis e o modelo poderá vir a ser aplicado em
situações cotidianas. O software utilizado para a realização do cálculo, será o Excel, pois possui
a ferramenta Solver, recurso muito poderoso que possui o objetivo de maximizar ou minimizar
algo da forma mais otimizada possível, justamente como demanda o problema em questão. Essa
ferramenta pode considerar muitas variáveis de decisão e restrições através do método Simplex.
Os dados utilizados na formulação do modelo de programação linear serão: o conjunto
de ações que poderão fazer parte da carteira do cliente, o retorno médio de cada uma, assim
como os seus respectivos desvios-padrão e o risco máximo assumido por cada carteira, tendo
cada uma delas, respectivamente, os perfis conservador, moderado e agressivo.
Após a coleta e análise desses dados, o primeiro passo para solucionar o problema é
25
definir as variáveis de decisão que, no caso exposto, serão os percentuais do recurso financeiro
total do cliente a ser investido em cada ação, de forma a otimizar as suas carteiras. Como
formularemos três cenários de riscos diferentes para que o cliente visualize como seus
investimentos poderá se comportar em cada um deles e tome sua decisão, essas variáveis serão
divididas em três grupos, sendo eles, respectivamente: O percentual de cada ação que será
investido na carteira 1, na carteira 2 e na carteira 3, que serão respectivamente, as carteiras de
perfil conservador, moderado e agressivo.
Feito isso, o segundo passo é expressar a formula linear para que se obtenha a função
objetivo. O resultado dessa expressão matemática irá fornecer a resposta do problema com o
objetivo de minimizar o risco em cada uma das carteiras e maximizar o retorno financeiro do
cliente. A fórmula será composta pela soma do produto do percentual investido em cada ação
pelo retorno médio de cada uma. Vale ressaltar que a função objetivo será a mesma nos três
cenários.
Por último, a terceira etapa consiste em elaborar as equações que expressem de forma
clara e objetiva os critérios de restrições existentes no problema.
Antes da aplicação do estudo de caso, é necessário apresentar os parâmetros do modelo
genérico de programação linear baseado em Belfiore e Fávero (2012), que será utilizado para
desenvolver esse estudo de caso. Vale lembrar que será elaborado a simulação da composição
de três carteiras de investimentos buscando maximizar o lucro do cliente em perfis de riscos
distintos, porém, a formulação geral será a mesma para todas, conforme segue abaixo:
Parâmetros do modelo:
E(R) = retorno esperado da carteira de investimento
µj = retorno esperado do ativo j na carteira
ƿ = risco máximo assumido pelo investidor na carteira
xjmax = percentual máximo permitido do ativo j a ser alocado na carteira
σj = desvio-padrão do ativo j na carteira
σ = desvio padrão ou risco médio da carteira
26
Variáveis de decisão:
xj = Percentual do ativo J a ser alocado na carteira
Formulação Geral:
n
Max E(R) =

jxj
(1)
j 1
Restrições:
n
x
j 1
j
=1
(2)
x j <= x max
j = 1...n;
j
n

 j x j >= ƿ
(3)
(4)
j 1
x j >= 0
4.2
j = 1...n;
(5)
SOFTWARE ESCOLHIDO
Para a realização do trabalho, o software escolhido foi o Excel, especificamente por
possuir o Solver, excelente ferramenta para otimização linear, como a do problema exposto,
mas também pode ser usado para problemas de não linearidade. Além disso, o programa foi
escolhido devido a sua facilidade de uso, pois o princípio de programação é o mesmo do Excel,
diversas funções algébricas no Excel são aceitas na formulação do modelo e o programa permite
alterar coeficientes da formulação facilmente, pois a modelagem pode ser toda feita na planilha,
dessa forma, a planilha criada poderá ser usado diversas vezes para representar outras situações.
O Solver utiliza o método Simplex para determinar a solução ótima de um problema de
programação linear. O objetivo proposto nesse trabalho é maximizar o retorno de investimentos
do cliente, minimizando seu risco de portfólio. De acordo com Barcelos, Evangelista e Segatto
(2012):
27
Para a resolução de problemas por meio desses métodos de programação linear,
pode-se fazer uso de algumas ferramentas computacionais; o MS Excel dispõe
da ferramenta Solver, utilizada para a solução de problemas com muitas variáveis
por intermédio do Método Simplex. Esse recurso faz parte de um pacote de programas algumas vezes chamado de ferramentas de teste de hipóteses, podendo-se encontrar um valor ideal (máximo ou mínimo) para uma fórmula em uma célula,
chamada célula de objetivo, conforme restrições, ou limites, sobre os valores de outras células de fórmula em uma planilha. Trabalha ainda com um grupo de células,
chamadas variáveis de decisão ou simplesmente de células variáveis, que integram o
cálculo das fórmulas nas células de objetivo e de restrição, ajustando os valores nas
células variáveis de decisão para satisfazer os limites sobre células de restrição e
produzir o resultado deseja do para a célula objetiva. (Barcelos, Evangelista e Segatto, 2012, p. 387)
A primeira coisa que deve ser feita é habilitar a ferramenta Solver após abrir o Excel.
Para isso, é necessário seguir alguns passos: Clicar no botão de menu do Office, clicar em
“Opções”, feito isso clicar em “Suplementos, selecionar a opção “Solver” e prosseguir. Após a
ativação, a funcionalidade deverá estar disponível na aba “Dados”.
Para que o modelo rode na ferramenta, é necessária a criação de planilhas e fórmulas,
trazendo os dados já prontos (variáveis de restrição, função objetivo e restrições) para a
formulação no Excel. A planilha elaborada, conterá algumas tabelas e abas. A primeira tabela
irá se referir aos coeficientes das variáveis de decisão e ao desvio-padrão de cada um deles. A
segunda tabela será formada pelos critérios de restrição do problema que deverão ser
respeitados no momento de alocar o capital financeiro do cliente. Na terceira tabela, será
demonstrado a resolução do problema, a partir da função objetivo, que é: maximizar o retorno
de investimentos do cliente. Haverá três abas contendo soluções distintas, pois será exposto três
cenários de riscos diferentes ao cliente. Assim, será demonstrado a composição ótima da
carteira de investimento em cada um dos cenários de risco, ou seja, em que ações é aconselhável
se investir, a porcentagem do recurso financeiro total investido em cada uma dessas ações e,
portanto, o retorno esperado pela carteira, que será descoberto a partir de uma soma dos
produtos dos percentuais investidos em cada um desses ativos pelo retorno médio de cada um
deles.
Em capítulos mais a frente, será demonstrado em uma figura a forma como os dados
foram dispostos no Excel.
Por fim, haverá uma quarta aba na planilha, denominada “Retorno de ações”, aonde será
demonstrado o retorno diário de cada uma das ações durante o período de 1 ano,
28
especificamente, de 24/04/2018 a 25/04/2019. Esse histórico, será de suma importância para o
estudo, pois a partir desses dados que serão retirados diretamente da bolsa de valores, será
possível auferir informações primordiais para que o estudo seja bem sucedido, como a média
do retorno de cada uma das ações e seus respectivos desvios-padrão.
Espera-se assim, compor carteiras de investimentos ótimas, conforme solicitado pelo
cliente, respeitando as ações previamente selecionadas e todos os critérios de restrições
impostos. Essas informações serão apresentadas para o cliente, para que ele possa decidir qual
perfil de risco assumir, utilizando a ferramenta de pesquisa operacional para alavancar seus
lucros, tomando decisões mais assertivas no momento de investir, minimizando o risco de
prejuízos financeiros.
5. ESTUDO DE CASO
5.1 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA
No presente trabalho, demonstraremos como compor de forma otimizada uma carteira
de investimentos a partir de um caso hipotético em que um cliente busca a ajuda de um consultor
financeiro para aplicar seu dinheiro em ações. Não sabe, porém, qual perfil de risco deseja
assumir, por isso, será apresentado para ele como suas aplicações financeiras se comportariam
em três cenários distintos, para isso será elaborada um modelo de pesquisa operacional que
simule a composição de três carteiras de investimentos. Uma delas assumirá risco conservador,
a outra moderado e a última agressivo. Além disso, o cliente pretende diversificar ao máximo
seus investimentos e já selecionou previamente as 10 ações que mais lhe atrai de diferentes
setores que busca investir, mas ainda não sabe de que forma deve alocar seu recurso financeiro
em cada uma delas para ter o máximo retorno possível. Portanto, o consultor financeiro usará
seus conhecimentos de pesquisa operacional como metodologia para levar seu cliente ao melhor
caminho possível e maximizar seus lucros. Segue abaixo a lista de ações de diferentes setores
já selecionadas pelo cliente para compor a sua carteira:
29
Tabela 1 - Ações que podem compor a carteira do cliente
Ações
Códigos
Natura On
NATU3.SA
JBS On
JBSSE.SA
Qualicorp On
QUAL3.SA
Lojas Renner On
LREN3.SA
Klabin Unt
KLBN11.SA
Petrobras
PETR4.SA
Bradesco Pn
BBDC4.SA
Cielo On
CIEL3.SA
Ambev On
ABEV3.SA
Vale On
VALE3.SA
Fonte: Adaptado de UOL, Economia
Como descrito matematicamente na formulação geral presente no capítulo anterior,
nota-se que a função objetivo desse problema busca maximizar o retorno financeiro dos
investimentos do cliente. O modelo que irá ser desenvoldido analisará individualmente cada
um dos cenários de risco de investimento propostos, para que o cliente, indeciso quanto ao seu
perfil de investidor, possa analisar as vantagens e desvantagens de cada um. O modelo lhe
apontará o quanto ele deve investir em cada ação para maximizar o seu lucro, sempre levando
em consideração, é claro, as restrições propostas. O que irá variar entre um cenário e outro, é o
risco que o investidor estará disposto a correr. Dessa maneira, será possível analisar o quanto o
seu retorno financeiro irá variar a partir de mudanças no perfil de risco da sua carteira e facilitará
a tomada de decisão do cliente, pois assim, ele poderá avaliar se vale a pena correr um risco
maior por um retorno maior, ou se não compensa.
A primeira restrição descrita garante que 100% do capital disponível será investido e
estarão distribuídos entre as ações pré-selecionadas. Portanto, em cada cenário de risco, a
simulação será feita aplicando todo o dinheiro que o cliente disponibilizou para investimento.
A segunda restrição garante que o limite máximo de risco aceito pelas carteiras
conservadora, moderada e agressiva, será respeitado. As chamaremos durante o estudo de caso,
respectivamente, de carteira 1, 2 e 3. Para chegar ao valor de cada um dos riscos assumidos em
cada perfil, o analista financeiro analisou o histórico de um ano de retorno das ações
previamente selecionadas pelo cliente, no período de 24/04/2018 até 25/04/2019. Dessa forma,
30
foi possível calcular qual o desvio-padrão de cada uma dessas aplicações financeiras durante
esse tempo, e chegou-se a uma média desses desvios-padrão de aproximadamente 2,3%.
Definiu-se, portanto, que a carteira 2, perfil moderado, aceitará, no máximo, esse risco médio.
Para chegar ao valor do risco aceito pelas carteiras 1 e 3, o analista financeiro decidiu descontar
aproximadamente 13% dessa média, variando para mais no caso da carteira agressiva, e para
menos no caso da carteira conservadora. Portanto, a carteira conservadora assumirá um risco
máximo de 2% e a agressiva de 2,6%.
A terceira restrição impõe um limite percentual máximo, por carteira, que poderá ser
aplicado em cada ação. Como forma de diversificar os investimentos e mitigar os riscos, uma
vez que a rentabilidade de um capital aberto sofre muita flutuação, foi definido um percentual
máximo de 30% do capital disponível que poderá ser alocado em cada uma das ações. De
acordo com Junior, Pamplona e Montevechi (2002), tanto Markowitz (1952) quanto Sharpe
(1964) contribuíram muito com o processo seleção de carteira de investimentos a partir do
desenvolvimento de metodologias de compensação e avaliação dos riscos através da
diversificaçãodas carteiras de investimentos, demonstrando que não se deve carregar todos os
ovos na mesma cesta.
Para finalizar, temos a restrição de não negatividade que garante que não trabalharemos
com variáveis negativas no modelo de programação linear aqui estruturado.
5.2 IDENTIFICAÇÃO E COLETA DE DADOS
O cliente solicitou a ajuda de um analista financeiro para montar sua carteira de
investimentos. Para isso, deixou claro alguns pré-requisitos, tais como: todo o seu dinheiro
deverá ser distribuído entre os ativos disponíveis, em cada um dos cenários, da melhor forma
possível, podendo ser alocado apenas um máximo de 30% do seu capital em cada ação,
respeitando os riscos máximos assumidos por cada uma e de forma a maximizar seu lucro, além
disso, o seu dinheiro deverá ser investido apenas em qualquer uma das 10 ações do mercado de
ações brasileiro que fora previamente selecionada por ele. Para atender a demanda solicitada, o
analista financeiro buscou analisar o histórico de rentabilidade dessas ações durante o período
de 24/04/2018 até 25/04/2019.
A partir da análise da tabela contendo tais informações de histórico de retorno, foi
possível auferir informações que serão primordiais para o desenvolvimento da solução ótima
31
do modelo de programação linear aqui proposto, tais como a média desses retornos que
sofreram variação nesse período de 1 ano, assim como o desvio-padrão da rentabilidade de cada
um desses ativos. Segue abaixo tabela demonstrando esses dados, os valores presentes na
primeira linha e na segunda linha da tabela são, respectivamente, a rentabilidade média e o
desvio padrão de cada ação.
Tabela 2 - Rentabilidade média e desvio-padrão das ações
Ambev
Bradesco
Cielo
JBS
Klabin
Renner
Natura
On
Petrobras
Qualicorp
Vale On
-0,07%
0,13%
-0,25%
0,31%
-0,05%
0,15%
0,16%
0,21%
0,04%
0,16%
1,66%
2,10%
2,98%
2,55%
1,54%
2,24%
2,40%
2,66%
2,53%
2,17%
Fonte: Elaborado pelo autor
Dado essas informações, o analista financeiro dispunha de dados o suficiente para
começar a formular o modelo de programação linear que irá dar ao seu cliente a solução ótima
para o problema exposto. Podemos, portanto, começar a especificar com dados concretos as
equações já expostas na formulação genérica deste trabalho. O primeiro passo é determinar
quais são as variáveis de decisão, lembrando que as mesmas variáveis serão aplicadas para os
três cenários de riscos que serão analisados nesse trabalho.
Percentual de cada ação a ser alocado na carteira:

x1 = Porcentagem da ação AMBEV a ser alocada na carteira

x2 = Porcentagem da ação BRADESCO a ser alocada na carteira

x3 = Porcentagem da ação CIELO a ser alocada na carteira

x4 = Porcentagem da ação JBS a ser alocada na carteira

x5 = Porcentagem da ação KLABIN a ser alocada na carteira

x6 = Porcentagem da ação RENNER a ser alocada na carteira

x7 = Porcentagem da ação NATURA a ser alocada na carteira

x8 = Porcentagem da ação PETROBRAS a ser alocada na carteira

x9 = Porcentagem da ação QUALICORP a ser alocada na carteira

x10 = Porcentagem da ação VALE a ser alocada na carteira
Após a definição das variáveis de decisão, a próxima etapa consiste em formular a
função objetivo do problema de programação linear aqui exposto. Como o próprio nome já diz,
32
essa equação expressa a finalidade da metodologia, e pode ser maximizada ou minimizada,
dependendo da solução que se busca. No caso, busca-se maximizar o retorno financeiro de um
cliente, alocando seus recursos da melhor forma para atingir esse fim, dentre todas as
combinações que seriam possíveis realizar. A função objetivo, em cada um dos cenários, será
dada pela soma do produto do percentual aplicado em cada ação pela rentabilidade média de
cada um desses ativos, conforme segue:

max E(R): x1.µ1 + x2.µ2 + x3.µ3 + x4.µ4 + x5.µ5 + x6.µ6 + x7.µ7 + x8.µ8 + x9.µ9 + x10.µ10
(6)
O próximo passo consistirá em elaborar as restrições. A primeira restrição, garante que
100% do capital disponível será investido:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 = 100% (7)
A segunda restrição garante que o cliente poderá investir, no máximo, 30% em cada
ação:

x1 =< 30%(percentual alocado na ação AMBEVE deve ser menor ou igual a 30%)

x2 =< 30%(percentual alocado na ação BRADESCO deve ser menor ou igual a 30%)

x3 =< 30%(percentual alocado na ação CIELO deve ser menor ou igual a 30%)

x4 =< 30%(percentual alocado na ação JBS deve ser menor ou igual a 30%)

x5 =< 30%(percentual alocado na ação KLABIN deve ser menor ou igual a 30%)

x6 =< 30%(percentual alocado na ação RENNER deve ser menor ou igual a 30%)

x7 =< 30%(percentual alocado na ação NATURA deve ser menor ou igual a 30%)

x8 =< 30%(percentual alocado na ação PETROBRAS deve ser menor ou igual a 30%)

x9 =< 30%(percentual alocado na ação QUALICORP deve ser menor ou igual a 30%)

x10 =< 30%(percentual alocado na ação VALE deve ser menor ou igual a 30%) (8)
A terceira restrição será separada em três grupos, pois é nesse momento que começa
haver diferença entre um cenário e outro, dentre os três que simularemos na realização desse
estudo de caso. Esse critério garante que as aplicações financeiras do investidor não podem
fazer com que ele corra um risco acima de um valor máximo estipulado.
- Cenário Conservador (Carteira 1):
33

σ1.x1 + σ2.x2 + σ3.x3 + σ4.x4 + σ5.x5 + σ6.x6 + σ7.x7 + σ8.x8 +σ9.x9 + σ10.x10 =< 2% (9)
- Cenário Moderado (Carteira 2):

σ1.x1 + σ2.x2 + σ3.x3 + σ4.x4 + σ5.x5 + σ6.x6 + σ7.x7 + σ8.x8 +σ9.x9 + σ10.x10 =< 2,3% (10)
- Cenário Agressivo (Carteira 3):

σ1.x1 + σ2.x2 + σ3.x3 + σ4.x4 + σ5.x5 + σ6.x6 + σ7.x7 + σ8.x8 +σ9.x9 + σ10.x10 =< 2,6% (11)
Por fim, temos, em comum entre as três carteiras, a restrição de não negatividade:

x j >= 0
j = 1...10; (12)
5.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO NO SOLVER
Após a coleta de dados e posterior definição das variáveis de decisão, da função objetivo
e das restrições, como exposto nos capítulos anteriores, o próximo passo consiste em aplicar
esses dados no software escolhido, que nesse caso foi o Excel, usando a ferramenta Solver.
Portanto, devemos armazenar todas as informações do problema reunidas até agora no
Excel, em uma linguagem em que o Solver possa entender e definir a solução ótima. Abaixo
segue a forma como os dados foram armazenados no software:
Figura 2 - Disposição dos dados referentes ao probema em Excel
Fonte: Elaborado pelo autor
Como pode-se perceber pela imagem acima, foi imputado no Excel todos os dados
necessários para aplicação do modelo de programação linear aqui proposto. No primeiro
34
quadro, tem-se o percentual de retorno médio de cada ação e os respectivos desvios-padrão
calculados a partir da variação da rentabilidade de cada um desses ativos no período de
24/04/2018 a 15/04/2019. Esses dados foram calculados a partir da tabela 02, explicitada no
capítulo anterior, que encontra-se em uma outra aba do documento em Excel elaborado, com o
nome “Retorno ações”. Para chegar ao resultado médio do retorno, bastou utilizar a fórmula
“MÉDIA” disponível no Excel e selecionar as células referente ao retorno de cada um dos ativos
que constam no quadro, então tem-se que o retorno médio da ação AMBEV é dado pela seguinte
equação “MÉDIA('Retorno ações'!B2:B248)”, do ativo BRADESCO é “MÉDIA('Retorno
ações'!C2:C248)”, e assim sucessivamente até chegarmos na coluna K, correspondente à ação
VALE.
Logo após, tem-se as restrições do problema, sendo um deles o capital investido que é
obrigatório ser 100%, e para isso foi usado uma fórmula para dizer matematicamente ao Excel
que a soma de todas as variáveis de decisão do problema, que são as células da última linha da
imagem acima marcadas de amarelo, devem ser iguais a 100%. Em seguida, tem-se o critério
de que apenas um percentual máximo de 30% poderá ser alocado em cada ativo, como visto no
segundo quadro. Além disso, no caso da carteira conservadora, como no exemplo acima, temse logo abaixo a definição de que o investidor só está disposto a correr até 2% de risco. Para
isso, foi usado a fórmula “SOMARPRODUTO”, que soma e multiplica matrizes da mesma
proporção, sendo no caso umas das matrizes as variáveis de decisão e a outra seus respectivos
desvios-padrão. Por fim, temos o espaço reservado para a solução logo abaixo, portanto foram
dispostas todas as variáveis de decisão ao lado esquerdo do símbolo “z = E(R)”, que representa
a função objetivo do problema. É possível observar que as variáveis de decisão, a função
objetivo, o risco efetivo corrido pela carteira e o capital total investido ainda encontram-se
zerados, pois a solução do Solver ainda não foi ativada. Para chegar ao resultado final, ou seja,
a resposta da função objetivo, novamente foi utilizada a fórmula “SOMARPRODUTO”, sendo
uma das matrizes as variáveis de decisão e a outra seus respectivos retornos médios.
Dessa maneira, ao aplicar a ferramenta Solver, o modelo nos dará a resposta de quanto
se deve investir em cada ativo para que se tenha o maior percentual de retorno possível,
respeitando todos os critérios definidos no modelo.
Após ter os dados devidamente armazenados na planilha, o próximo passo consiste em
imputá-los no Solver, para que se possa encontrar a solução ótima, ou seja, maximizar o retorno
financeiro do cliente. Dito isso, a seguir a solução será ativada, para cada um dos três cenários
montados para o problema, retornando a melhor resposta possível para cada um dos casos aqui
35
simulados. Para isso, foi definido no Solver a função objetivo e o que se espera (no caso,
maximização do retorno financeiro), as variáveis de decisão que serão modificadas para que se
atinja o objetivo, os critérios de restrições existentes no problema, por fim, selecionamos a caixa
“Tornar Variáveis Irrestritas Não Negativas”, respeitando a restrição de não negatividade já
explicada anteriormente (já que não é possível investir um percentual abaixo de zero em
qualquer dos ativos) e selecionamos o método de resolução, no caso desse estudo, LP Simplex.
Figura 3 - Aplicação dos parâmetros do problema no Solver
Fonte: Elaborado pelo autor
Após preparar o Solver, como visto na figura acima, o próximo passo é clicar em
“Resolver”. Feito isso, será exibido no Excel o quanto o investidor deve aplicar em cada ativo,
respeitando todos os critérios de restrições impostos, de forma a ter o melhor retorno possível.
O resultado final pode ser encontrado a seguir, e a resposta definitiva, dada pelo resultado da
36
função objetivo será evidenciado por uma marcação vermelha, em cada um dos três cenários
montados:

Cenário Conservador:
Figura 4 - Resolução encontrada pelo Solver no cenário conservador
Fonte: Elaborado pelo autor

Cenário Moderado
Figura 5 - Resolução encontrada pelo Solver no cenário moderado
Fonte: Elaborado pelo autor
37

Cenário Agressivo
Figura 6 - Resolução encontrada pelo Solver no cenário agressivo
Fonte: Elaborado pelo autor
5.4 RELATÓRIO FINANCEIRO GERADO A PARTIR DOS RESULTADOS
O Solver nos retornou três resultados distintos, mostrando que quanto mais risco se corre
no ato de investir, maior a probabilidade de se ter um retorno financeiro maior. Cabe, no
entanto, ao consultor financeiro elaborar um relatório financeiro detalhado e aconselhar nosso
cliente, mostrando a diferença obtida entre cada um dos cenários para que ele se possa chegar
a melhor decisão possível.
Gráfico 1 - Estimativa de retorno financeiro em cada um dos cenários
Fonte: Elaborado pelo autor
Como pode-se observar pelo gráfico acima, a diferença percentual entre os resultados
obtido entre os cenários conservador e moderado é de aproximadamente 92,37%, entre os
38
cenários conversador e agressivo a diferença aumenta para aproximadamente 111,31% e, por
sua vez, entre o cenário moderado e agressivo temos um aumento de apenas 9,84%. A seguir,
seguem gráficos que mostram detalhadamente o quanto foi investido em cada um dos ativos
selecionados previamente, de forma a obter esses resultados acima, que lembrando mais uma
vez, são as melhores soluções possíveis dada as restrições impostas.

Cenário Conservador:
Gráfico 2 - Percentual do investimento alocado em cada ativo no cenário conservador
Fonte: Elaborado pelo autor
39

Cenário Moderado
Gráfico 3 - Percentual do investimento alocado em cada ativo no cenário moderado
Fonte: Elaborado pelo autor

Cenário Agressivo
Gráfico 4 - Percentual do investimento alocado em cada ativo no cenário agressivo
Fonte: Elaborado pelo autor
A partir dos gráficos acima, é possível fazer algumas considerações. O ativo VALE, como
pode-se observar, é recomendado que se invista com o máximo percentual permitido em todos
os três cenários. Isso se dá pela sua melhor relação entre retorno médio e desvio-padrão, quando
comparado com as demais ações. Tratando-se do retorno médio, a VALE perde apenas para
JBS e PETROBRAS e empata com a NATURA, entretanto, possui o menor desvio-padrão
40
dentre essas opções.
Ademais, é interessante notar que o Solver também aconselhou que se invista na JBS
em todos os três cenários, uma vez que dentre todas essas ações, essa é a que tem o maior
percentual de retorno médio. Apesar disso, no cenário conservador apenas 10,74% do capital
disponível aparece aplicado na JBS, devido ao seu alto desvio-padrão, ou seja, seu grande
percentual de risco. Nos cenários moderado e agressivo, foi possível investir o percentual
máximo de 30% nessa ação, pois aceitam um percentual de risco mais elevado.
É interessante também notar que como o cenário agressivo suporta correr um risco mais
elevado, foi investido o máximo possível nas 4 ações que geram o maior retorno financeiro
médio, apesar dos seus respectivos desvios-padrão. São elas: JBS, PETROBRAS, VALE E
NATURA. A PETROBRAS é a ação que, dentro todas as selecionadas, possui o segundo maior
percentual de risco, perdendo apenas para CIELO. Não é interessante investir na CIELO, no
entanto, pois possui uma média de retorno financeiro negativa. Outro ponto interessante de se
analisar ocorre entre a VALE e a NATURA, pois ambas possuem o mesmo retorno médio,
contudo, o Solver prioriza o investimento na VALE, uma vez que o seu desvio-padrão é menor.
Dito isso, fica evidente o quanto essa ferramenta é eficaz para a resolução desse problema, pois
nos três exemplos que foram criados, o modelo respeitou todos os critérios de restrição e alocou
o dinheiro do cliente da melhor forma possível, buscando sempre atender a função objetivo
estabelecida, que é a maximização do lucro. Segue abaixo a relação entre o retorno financeiro
médio e os respectivos desvios-padrão de cada um dos ativos:
Gráfico 5 - Relação entre retorno médio e o desvio-padrão dos ativos da carteira
Fonte: Elaborado pelo autor
41
6.0 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para que o consultor financeiro possa aconselhar o cliente a respeito da melhor opção
de investimento dente os três cenários montados, é importante analisar a relação entre o risco
corrido e o retorno obtido em cada um dos três perfis de risco. Como visto anteriormente, o
Solver encontrou um percentual de retorno de aproximadamente 0,1043%, 0,20065% e
0,22040% para, respectivamente, os perfis conservador, moderado e agressivo. Além disso,
para que se alcance tal resultado em cada um desses perfis, de acordo com o Solver o investidor
correria um risco de 2% no perfil conservador, 2,3% no perfil moderado e 2,45% no perfil
agressivo. Vale ressaltar que, no perfil agressivo, foi estabelecido que o cliente estaria disposto
a correr um risco de no máximo 2,6%, ainda assim, de acordo com a solução da ferramenta o
risco corrido seria menor. Ou seja, isso significa que considerando os ativos previamente
selecionados e as outras restrições impostas, 2,45% é o máximo de risco que o cliente deverá
correr para ter o maior retorno possível.
Gráfico 6 - Relação entre o risco e o retorno esperado pelo Solver em cada perfil de risco
Relação entre Risco e Retorno
3,0000%
2,5000%
2,45%
2,30%
2,00%
2,0000%
1,5000%
1,0000%
0,5000%
0,1043%
0,20065%
0,2204%
Cenário Moderado
Cenário Agressivo
0,0000%
Cenário Conservador
Retorno
Risco
Fonte: Elaborado pelo autor
Como pode-se auferir pelos dados dispostos acima, fica claro que quanto mais risco se
corre, maior o retorno financeiro estimado. Vale a pena, no entanto, investir no perfil agressivo?
Isso depende do perfil de risco de cada investidor, contudo, o analista financeiro analisou
matematicamente os dados para dar seu parecer ao seu cliente.
Pode-se calcular pelos dados do gráfico acima que do perfil conservador para o perfil
moderado, corre-se 15% a mais de risco para se obter uma estimativa de retorno 92,37% mais
42
elevada. Quanto trata-se do perfil conservador para o agressivo, temos um aumento de
aproximadamente 111,31% no retorno financeiro e o risco aumenta em 22,5%. Por fim, fazendo
a mesma comparação entre o cenário moderado e agressivo, tem-se que o percentual de retorno
aumenta apenas aproximadamente 9,84% e o risco, por outro lado, aumenta um valor
aproximado de 6,52%.
Tendo em vista os valores expostos, pode-se observar que no perfil moderado o aumento
na rentabilidade é proporcionalmente muito maior do que o aumento do percentual de risco,
quando comparado com o cenário conservador. Já no perfil agressivo, em relação ao cenário
moderado, tem-se um aumento mais inexpressivo no percentual de retorno, ainda assim, esse
aumento é maior do que o aumento na margem de risco, apesar de muito mais próximo. Já que
o cliente buscou ajuda e não tem muita experiência no ato de investir em ações, o consultor
financeiro aconselhou que se invista no perfil moderado, já que não valeria a pena aplicar o
dinheiro no perfil conservador, pois se correria 2% de risco em torno de uma expectativa de
rentabilidade muito menor.
Vale lembrar no entanto, que trata-se de uma escolha pessoal do investidor e o mesmo
poderá variar seus investimentos ao longo do tempo e usar a planilha e toda a metodologia
desenvolvida nesse estudo para auxílio próprio. Segundo Junior, Pamplona e Montevechi
(2002) são vários os fatores levados em consideração no momento de se definir o perfil de risco
de cada um:
O risco que uma pessoa está disposta a assumir pode variar muito dependendo de
fatores como idade, nível social, estado civil, número de filhos, perspectivas futuras e
vários outros fatores. Deste modo nunca existirá uma carteira de ações que agrade a
todos, já que quanto maior o retorno desejado maior será o risco a se assumir. A
composição de uma carteira pode variar muito devido ao fato de existirem diferentes
tipos de investidores que desejam assumir diferentes riscos e retornos (Junior,
Pamplona e Montevechi, 2002, p.3)
Dito isso, cabe ao cliente analisar todo o parecer financeiro disponibilizado e decidir o
seu perfil enquanto investidor. O papel do consultor financeiro foi apenas fornecer toda essa
análise para que o processo decisório do seu cliente seja muito mais fácil. O mais importante é
que independente do perfil de risco que se escolha nesse caso, agora ficou evidente o quanto
deve-se investir exatamente em cada ativo para que se obtenha o melhor resultado possível
dentro dos parâmetros de restrições impostas.
43
7.0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVES, A. C . B.; MENEZES, M. A. F. de, ZIMMERMANN, F.J. P. Pesquisa Operacional:
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VIDAL, Antonio. Introdução aos modelos de rede. São Paulo: FEA/USP - Faculdade de
Economia, Administração e Contabilidade da USP, 2003.
45
APÊNDICE A – Tabela de histórico de retorno das ações no período de 24/04/2018 a
25/04/2019
Tabela 3 - Histórico de retorno das ações do período de 24/04/2018 a 25/04/2019
Data
25/04/19
24/04/19
23/04/19
22/04/19
18/04/19
17/04/19
16/04/19
15/04/19
12/04/19
11/04/19
10/04/19
09/04/19
08/04/19
05/04/19
04/04/19
03/04/19
02/04/19
01/04/19
29/03/19
28/03/19
27/03/19
26/03/19
25/03/19
22/03/19
21/03/19
20/03/19
19/03/19
18/03/19
15/03/19
14/03/19
13/03/19
12/03/19
11/03/19
08/03/19
07/03/19
06/03/19
01/03/19
28/02/19
27/02/19
26/02/19
25/02/19
22/02/19
21/02/19
20/02/19
19/02/19
Retorno
Ambev
Retorno
Bradesco
Retorno
Cielo
Retorno
JBS
Retorno
Klabin
Retorno
Lojas
Renner
Retorno
Natura
On
Retorno
Petrobras
Retorno
Qualicorp
Retorno
Vale On
3,33%
1,18%
-0,63%
7,73%
5,29%
5,79%
10,05%
0,72%
6,60%
0,28%
-0,67%
-4,43%
-3,55%
-0,55%
-0,82%
2,12%
-0,29%
-1,11%
-0,06%
-3%
0,97%
2,43%
4,11%
3,84%
0,93%
0%
-1,57%
0,87%
1,06%
1,21%
2,46%
0,83%
-2,79%
4,11%
-0,92%
2,20%
-3,15%
-0,58%
0,69%
-2,43%
0,18%
1,37%
-7,30%
-4,50%
-1,15%
5,21%
0,88%
3,18%
0,89%
0,63%
-2,74%
-1,38%
-1,44%
-1,80%
3,44%
-0,94%
-0,78%
0,11%
1,41%
-1,60%
0,63%
-0,17%
0,11%
8,48%
0,44%
-0,05%
-0,09%
3,05%
-0,70%
3,45%
2,11%
-0,23%
-2,49%
1,64%
-2,51%
-0,63%
-0,22%
0,39%
0,38%
-0,29%
-1,10%
-0,91%
-1,39%
4,44%
-1,27%
-0,81%
1,30%
-7,75%
-1,64%
-0,60%
-1,71%
-1,59%
-3,50%
-1,29%
0,55%
-1,85%
-2,04%
-2,71%
-1,24%
0,06%
-0,79%
-1,43%
3,85%
1,24%
-2,66%
0,35%
4,17%
-1,30%
0,31%
-1,13%
1,96%
-0,38%
1,63%
-2,03%
-2,31%
-0,63%
-1,83%
-0,31%
0,50%
-1,95%
-0,52%
0,14%
-0,97%
3,92%
0,58%
-2,70%
-1,47%
1,63%
0%
2,71%
0,69%
1,11%
-0,53%
5,20%
2,32%
0%
0,50%
1,09%
1,72%
-0,38%
2,85%
2,59%
5,77%
1,15%
-3,39%
1,85%
1,33%
3,38%
1,55%
0,73%
0,42%
-1,12%
-3,28%
-1,64%
-0,85%
-0,16%
-0,68%
-2,65%
-1,65%
0,29%
-0,30%
-1,28%
-4,89%
-2,28%
-0,11%
-1,19%
0,24%
1,04%
0,83%
-1,84%
-0,06%
0,81%
1,26%
1,95%
3,17%
-0,02%
0,20%
-0,21%
-0,57%
3,28%
0,48%
1,71%
-0,32%
2,91%
-1,16%
3,55%
1,82%
0%
2,22%
3,31%
1,27%
5,08%
2,46%
5,81%
1,29%
3,15%
2,06%
2,63%
5,28%
-0,60%
-2,65%
-3,46%
-2,71%
-3,31%
-0,06%
-3,07%
-0,73%
-4,51%
-5,82%
-1,35%
2,85%
0,65%
0%
4,71%
1,43%
0,69%
9,73%
4,72%
2,11%
1,47%
-1,20%
0,22%
-3,52%
1,05%
-2,21%
-1,48%
-3,37%
1,26%
-1,30%
-1%
-1,53%
-3,53%
-3,96%
-2,46%
-0,92%
-0,77%
-7,78%
-5,46%
-3,76%
-1,65%
-0,12%
-2,20%
-3,99%
-2,20%
0,12%
-2,14%
-2,36%
-1,42%
-0,93%
0,65%
-1,11%
-2,71%
-2,97%
-0,07%
-1,42%
-0,99%
-1,20%
-0,79%
-0,56%
-2,58%
-0,69%
-2,15%
2,96%
-3,60%
-1,74%
-0,31%
0,37%
1,60%
-0,67%
2,85%
3,28%
0,53%
2,56%
4,71%
0,28%
1,34%
-0,39%
1,73%
0,62%
-0,18%
0,60%
0,42%
-1,50%
3,13%
1,14%
-0,48%
-1,21%
0,21%
-0,55%
-0,32%
-1,42%
0,22%
-0,93%
1,98%
-1,89%
-0,36%
-3,02%
0,32%
0,06%
0,02%
-0,59%
0,96%
-1,64%
3,07%
1,64%
-1,75%
-0,92%
2,18%
2,91%
1,46%
-0,64%
0,29%
-1,35%
3,40%
-1,29%
-1,05%
2,42%
-0,90%
1,74%
0,18%
3,13%
4,06%
2,58%
0,76%
-0,67%
4,04%
-0,21%
4,05%
-0,06%
2,11%
-0,60%
1,39%
1,59%
0,61%
1,92%
2,45%
3,02%
-0,37%
4,43%
-0,02%
1,69%
1,95%
0,71%
-0,19%
-2,46%
0,11%
-1,56%
-0,95%
0,04%
-0,13%
-2,73%
-0,75%
-1,02%
-5,10%
-1,45%
0,37%
-0,78%
0,22%
-2,16%
2,80%
-2,32%
-1,66%
-0,64%
5,14%
-0,72%
0,12%
-1,82%
-1,33%
-1,55%
-0,76%
-6,15%
-2,63%
-2,34%
-2,40%
-1,26%
-1,75%
0,37%
-0,07%
-0,13%
0,58%
-0,70%
-1,11%
-2,02%
0,44%
-2,61%
-0,79%
-1,55%
1,88%
3,33%
-0,78%
0,54%
1,79%
4,22%
-1,93%
2,40%
0,02%
-1,54%
-0,45%
-0,73%
0,17%
0,38%
-1,01%
-1,62%
-1,69%
0,94%
-0,69%
0,48%
-1,58%
0,33%
0,28%
0%
-0,82%
4,13%
2,08%
-0,82%
3,23%
5,93%
-0,99%
0,47%
3,55%
0,94%
0,87%
-1,80%
-2,18%
-1,24%
-0,23%
2,76%
1,33%
-1,51%
-0,92%
-0,93%
-1,65%
2,59%
-3,79%
0,27%
-2,69%
-4,36%
-1,24%
-1,87%
0,68%
0,71%
0,85%
1,50%
-1,40%
2,10%
0,81%
3,36%
2,32%
2,44%
0,53%
46
Data
18/02/19
15/02/19
14/02/19
13/02/19
12/02/19
11/02/19
08/02/19
07/02/19
06/02/19
05/02/19
04/02/19
01/02/19
31/01/19
30/01/19
29/01/19
28/01/19
24/01/19
23/01/19
22/01/19
21/01/19
18/01/19
17/01/19
16/01/19
15/01/19
14/01/19
11/01/19
10/01/19
09/01/19
08/01/19
07/01/19
04/01/19
03/01/19
02/01/19
28/12/18
27/12/18
26/12/18
21/12/18
20/12/18
19/12/18
18/12/18
17/12/18
14/12/18
13/12/18
12/12/18
11/12/18
10/12/18
07/12/18
06/12/18
05/12/18
04/12/18
Retorno
Ambev
Retorno
Bradesco
Retorno
Cielo
Retorno
JBS
Retorno
Klabin
Retorno
Lojas
Renner
Retorno
Natura
On
Retorno
Petrobras
Retorno
Qualicorp
Retorno
Vale On
-1,62%
-2,28%
-2,74%
1,21%
-1,25%
0,20%
-1,24%
-0,30%
-3,01%
-1,37%
-0,54%
-0,65%
-3,01%
2,21%
0,99%
-1,14%
2,91%
-0,41%
-0,13%
0,48%
1,09%
3,81%
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-0,12%
4,14%
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1,56%
50
Data
Retorno
Ambev
Retorno
Bradesco
25/04/18
-0,60%
1,22%
24/04/18
-0,60%
0,18%
Fonte: Elaborado pelo autor
Retorno
Klabin
Retorno
Lojas
Renner
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Natura
On
Retorno
Petrobras
-1,64%
0,30%
-2,94%
0,18%
-2,99%
5,42%
-0,75%
-0,87%
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5,16%
1,71%
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Cielo
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JBS
-0,52%
3,21%
Retorno
Qualicorp
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Vale On