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F.RAÇOES E
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EXPRESSOEs· ·
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.~RITMETICAS
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11111~ Ili~ 1~GH00125
1 111~ 11111~111 11111~1 llll
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HUGO LUCIANO DOTTORI
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FRAÇÕES E EXPRESSÕES .
ARITMÉTICAS
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1
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GRAFICA EDITÔRA HAMBURG
SÃO PAULO
1966
P R E F Á C I O
Esta apostila contém uma parte do programa do
Curso de Admissão ao Ginásio.
Foi nossa
int en ção
a-
presentar essa parte da matéria dentro de uma sequ ên cia que possibilitass e ao aluno vencer as dificuldad es
uma por vez.
Também foi nossa preocupaçao empregar um vocabulári0 que tornasse a nossa obra acc essível , principalmente, aos alunos., para que pudesse haver
,
o ma -
ximo r endimento possi v.e l.
Entretanto, não a fizemos sozinhos. To d os os
ex-alunos d o "Ext ernato Sud Menucci 11
tiveram, tal vez
sem perceber, uma pequena participação.
À
esta colaboração os sinc eros agradecimentos
do AUTOR .
São Paulo/$etembro/ 1966.
•• DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS ••
I NDI C E
Pág.
GRANDEZA. • • . . . • • . • . • • • • • • • • • • . • • • • • . • • • • • • • . • • • • •
9
DIVISÃO DE UMA GRANDEZA EM PARTES IGUAIS; A IDÉIA
DE METADE; TERÇA PARTE; QUARTA PARTE;
ETC.
RELAÇÕES ENTRE ESSAS IDÉIAS E AS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS
9
EXERCÍCIOS................. . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . .
10
NOMENCLATURA DAS FRAÇÕES •••• • ••••••••••••••••••••
12
SIGNIFICADO DAS FRAÇÕES·. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • •
13
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS FRAÇÕES ••••••••••••••••
14
EXERCÍCIOS • • • • • • . • • • . . • • • • . . • • • • • • • . . . . • • . • . • . • . .
15
> " ; " < ";. . . . . . . . . . . . . . . . .
16
•
OS SÍMBO ID S " = " ; "
EXERClCIOS............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES ••••••• •• • • • .••••• ••••••••••
17
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:
a) Adição.. ......................................
b) Subtração.....................................
18
19
EXERCÍCIOS . • . . . . . • • . • • • . • • • • • • • . • . . • . . • . . . . • . . . . •
20
ORDEM CRESCENTE E DECRESCENTE ••.•••••••••••••• • ••
21
EXERCÍCIOS . • • • . . . . . . . • . . • . • . • • • • . • . • . . . . • • • . . • . • •
22
FRAÇÕES PRóPRIAS E IMPRÓPRIAS.
S IGNIFICADO ARITMÉTICO DAS FRAÇÕES. FRAÇÕES APARENTES.NÚMEIDS MISTOS. • • • . . . • • • • . • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • . • . • • • • • • •
24
Pág.
pág.
EXERCÍCIOS
................ ... ... .. ... ... .. . ... . ..
GRANDEZAS EQUIVALENTES
. . •. . . •. . . . . •. . . . . . . . . . . . ••
.................... .... ................
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
... ... ...................
EXERCÍCIO
.............. ......... .................
OBTENÇÃO DE FRA Õ
DUTiVEIS
ç ES EQUIVALENTES A FRAÇÕES IRRE.............
.... ...... .. ................
EX:ERctcIO s
..... ... .... .... ......... .. .... .. ......
27
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO ORDINÁRIA EM DECIMAL E DE
DECIMAL EM ORDINÁRIA... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
56
29
EXERCÍCIOS,, ••••.•••••••••••••...•••••..•.. · . ••• ·•
57
31
DÍZIMAS PERIÓDICAS ••••••••••••••• • •• • • • • • • • • • • • • •
58
32
REPRESENTAÇÃO DAS DÍZIMAS PERIÓDICAS •••••••••••••
59
33
EXERC íC IO S. • • . • . • • . . • . • • • . . • . • • • • • . • • • • • • . • • • • • • •
60
CÁLCUID DA FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓD ICA
EXERCÍCIO
EXERCÍCIOS
... .. ...... . .. . .... .. .. ... .............
REDUÇÃO DE FRAÇÕE
Í
DOR • • •••••• •• •.
S IRREDUT VEIS AO MESMO DrnOMD.U-
..................................
....................... ...... ....... .. .
EXERCÍCIOS
.... .. ......... ... .... .. .. ..... .........
EXERctc:i:os •
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
a) Dizima periódica simples •••.•••••..• .•• . . •• • ••
37
b) Dízima periódica compo sta ....... . .. . • . . . • • • . • •
60
61
61
38
EXERC te IO S • ••.•.•.•••.......•... • • • • • • • · · • • · • • • • •
62
•
E FRA ÇÃO ORD I NÁRIA. . .. . . . . . . . • . . . • . • . . • . . . . • . . • . . . . • . • • . • • • . . •
63
41
EXERCÍCIOS • ••••••••• . .• •.•..•
e: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
63
43
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES ORDINÁRIAS E DECIMAIS ••••••
64
46
EXERCÍCIOS • •••••••••••••••••••.••.. • • • • • • •• • • ••.•
39
OPERAÇÕES CONTENDO FRAÇÃO DECIMAL
EXERCÍCIOS
~~~AÇÃO
.......................... . .... : .......... .. .
EXERCÍCIOS
.. ... .... ... .. ... . ... . .. .. . . . . .........
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES •••••••••
. .. .. . .. . .......
DIVISÃO DE FRAÇÕES ••••••••••••
............ .. .....
EXERCÍCIOS
.. ..... .. ... .. ..... .. ............
EXERCÍCIOS ...........
••••••
...........
FRAÇÕES DECIMAIS
• • ••• • • • • • • • • • • • •
.......... ..........
" ...
.. .......
•
t
r
DE FRAÇÕES QUE POSSUEM O MESMO NUMERA-
48
50
EXERCÍCIOS • ••••••••••••• .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • · • • •
EXPRESSÕES _ ARITMÉTICAS ••••••••••• ·••••• • •• • • • ••• ••
A) Expressõ es contendo adições e subtrações •••.••
50
51
52
54
55
EXERCÍCIOS • •••••••••••••••••••••••••.••••••••• • ••
70
B) ExpreAsÕes contendo ad i ções, subtraçõ e s e multipl icações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EXER eí e IO s • . • . .
71
•. . •. ••. . . . •. •. . . . . . •. . . . •. . . •. . . .
72
C) Expr e ssões cont e ndo as quatro op eraçõ e s •••.•••
73
,
Pag .
D) Expressõ es a r itmét i c a s c ontendo pa r ên tesis • • ••
76
77
.. .. .... ..... ......... .............. ...
79
E) Expr e ssõ es contendo pa r êntesis e co lc hetes ••• •
80
...... ...... .. .... ....... ..... ..... ....
81
EX'ER.C ÍC IO S • •• . ••• • • •••• • •.. • . •• •••• •. •• ••• • • .•.••
EXERC Í CIOS
EXERCÍCIOS
F) Expressõ es contendo parêntes is ,
e chaves .. . ..... . .. .. . . .
É tudo o qu e po de ser med i d o o u pesado.
.... ... ....... ....... .... .... ..........
TtN C IA. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ...... .. .... .. ..... .
sim 9 todos os o bjetos que nos rodeiam, · bem como quase
tud o qu e nós conhe c e mo s pod e se r c o ns;id erad o grandeza .
~x emplo s :
Uma quantia em dinheirD .
83
EX'ER.CÍCIOS
84
l?()
85
POTtN'CIA DE FRAÇÕES ••• • • . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . • • . .
86
... ... ... ..... .. ..... .... ..... ... ... ...
88
EXERCÍCIOS
As -
A distância entre .duas· cidad es .
c o lchetes
.. ..... .. ..... .. ......
GRANDEZA
DIVISÃO DE UMA GRANDEZA EM PARTES IGUAIS ;A IDÉIA
DE METADE ; TERÇA PAR'l;'E ; QUARTA PAR:tE ; ETC ~ RELAÇÕES ENTRE ESSAS I DÉIAS E AS OPERAQ)ES .ARIDlETICA S
Todos nós t emo s uma n o ça o intuitiva
do
que
G) Expressões aritméticas co nt endo p o t ências •• . . •
88
........ ...... ... ... .. .. .... ...... .... .
EXERCÍCIOS .. ....... ......... .. .. ... ........ .... ..
se ja dividir uma grand eza e m p a r t e s iguais. Se tiver-
90
mos um punha do d e b a las e q ui zermos dividir
92
p es so as dando a me t a d e para cada uma, . me smo
EXERCÍCIOS
por
duas
sem
co-
nhe c er nada d e aritmética, nós sab e rlamos como faz er.
l
•
Entretanto, queremos chamar a atenção do
o fat o d e que ex i st e uma est r e ita r e lação
l e i t or
para
e:n:tre
essa
n ossa n oção intuitiva e as operaçõ es a ritm ética s .
Ass im se tivermos u ma grand eza
••
q ualqu er
e
qui z érmos sab Gr qua l é a metad e d~ssa gr~ndeza, dev e mo s d i vidi-la por 2.
1
r
Por e xemplo, a meta d e d e @$. 120
vididos p or 2 , o qu e dá @$ 60.
é @$
1 20 di -
Da mesma forma a terça
parte d <: uma grande·za é e sta grand eza di vid.ida por 3 ,
lO
HUGO LUCIANO DOTTORI
a quarta parte por
FRAÇÕES E EXPRESSÕES AR I TMÉTICAS
11
5 s extas partes dessa caixa?
4, etc.
6) Dado um retântulo assinalar 4 quintas par Exemplificando teriamas:
A terça par te de l 2 m
é 4
tes d &sse r e tângulo.
m.
RESPO STAS: 1 ) 9 km
A sétima parte de ~$ 140 é ~$ 20 .
4)
Pod eriama s tamb ém para
dividir uma figura qualquer em
exemplificar me lhor,
t
par e s iguais.
Seja,
por exemplo, um r e t ângulo. Se dividirmos êsse
retângula em cinco partes iguais temos:
Ond e a parte assina lada correspond e à quinta parte do r etângulo.
rfflhJ
~$
2)
~$
200
3 ) 2 500 1
150 5 ) 20 kg
O que foi exposto até aqui veio
reforçar
a
nossa noç ão intuitiva d e divisão de grandeza s em par tes iguais e chamar a nossa at ençã o para as r e l aç õ es
exist e nt e s e ntr e id éias qu e já tinhamas e as op e rações
Devemos
também ter
em mente que se a quinta
t
par e d e uma quantia em dinh eiro é ~$ 30 três q · t
uin as partes serão ~$ 30 vêzes
'
três o que dá ~$ 90.
aritmé t icas.
,
Nosso principa l objetivo, entr e tanto , e
diz er que po demos asso c iar números a e ssa id é ias.
Ao inv é s d e falarmos metade podemos falar
21
( l ê - se um meio ) .
Ao invé s de fa l a rmos terça parte p o d e mos fa 1
lar
EXERCÍCIOS
3
(lê - s e um têrço).
Ao invés d e falarmos quarta parte pod e mos f a -
1 ) Que
distância correspond e à metade de 1 8km?
2) Com a qu inta parte de ~$
2 000 compr ei 2·
cadernos. Quanto c ustou cada caderno?
3) Um reservatório com
lar
1
4
Ao invé s d e fa l armos quinta parte podemos fa l ar
capacidade para 3
1 está cheio até a sexta parte.
. 000
para enchê -lo ?
Quant o s litros faltam
•
,
.
um.a qua n tia é~$ 50
uan t ia corresponde a tr ês d' .
. Que
t i a?
ec imas partes d
essa quan-
q
24 kg.
1
5
( l ê - se um quinto) .
E assim por diante .
tsses números que estão asso ciados a
4) A décima parte d~
5 ) Uma ca ixa P üs a
(l ê - s e um quarto) .
Quant os kg
~
pe s ar a o
de grandezas c hamam- se frações ou
numer a s
part e s
fracioná -
rio s.
A man eira d e re pr e s entar as fraçõ e s
éa
v ist a
aci ma, ou s e j a , co lo c a mos um tra ço ( q u e chamamos t r a ço
fr
1
r
..
12
HUGO LUCIANO DOTTORI
de fração) com um nÚmero aci· ma deAle e outro abaixo dAe · · acima
·
l e• O número que f ica
do traço chama - s e numerador e
0
que . fica abaixo do traço. chama-se d enominador •
Se ja, por exemplo, a fração
Temos;
3........._
1
l ê - s e um treze avos
13
Exc e ção feita a os denominadores que s ao
3
d e fraçã o
1
100
lê-s e um centésimo
1
1000
l ê -se um mil ésimo
d e nominador
t
NOMEl~CLATURA DAS
F~ÇÕES
l ê- se um décimo de
1
10000
ma .
A nomenclatura das
fraçõ e s foi
Foi visto até a fração
temos:
1
b
1
7
·1
-g:l
9
1
po-
tências de 10 ( 100; 1 000; 10 000; etc.):
2
/numerador
~-traç o
13
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
l
5
.
l.n .l.
Dai para
mil és imo
Jada aci a frent ~
SIGNIFICADO
DAS
FRAÇÕES
l ê -se um sexto
l ê-se um sétimo
Uma fraçã o representa sempre alguma . coisa que
lê-se um oitavo
foi dividida em partes iguais e da qual a lguma part e
l ê-se um r.ono
foi consid erada.
lo l ê -sé
um
d Í: cimo
1
IT l ê- s e um onze avos
Dai p ara · a fr ent e l ê
.
- s e como f .
t imo
ex emplo' ou s e j
oi Vis t o
.
. a, o c.ardina1
no Úld ~nom~nador aco
correspo nd
~panhad o da pal
ent e
ªº
avra avos:
l'
'1' l ê -s e u m doze avos
Essa a lguma coisa qu e foi
dividida
em part e s iguais chamamos de todo ou inteiro. Se qui zermo s r epr {;sentar uma fração por uma figura qualqu er,
e s sa figura na qual a fração foi representada
c hamamos d e int e iro.
é o que
O d enominador d e uma fra ção in-
dica em quant a s part es o int e iro foi dividido e o numer ador indica o número de partes considerada s.
Se ja u m ano, que é igual a doze me ses.
Se
qui z ermos r epresentar 7 meses do ano, em fração temos:
HUGO LUCIANO DOT'IORI
7
l2 ' ond e
0
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
S eja agora representar a fração
denominador ( 12) indica o número de meses
em q_ue 0 ano é dividido e o numerador (7) indica o número de meses considerados.
15
li-·
Se to -
marmos um Único inteiro podemos representar no máximo
8 •
~
É pr e ciso então que tomemos 2 inteiros para re-
presentar a fração
li- .
Se r epresentarmos o inteiro
por um retângulo teremos:
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS
FRAÇÕES
13
8
De um modo geral podemos
ção
representar uma fracom um d esenho q 1
fGr
,
ua quer, de pr efer ência com uma
ma geometrica definida (retângulo' circulo
do, etc.) .
, quadra-
D
Se o inteira fÔr
representado por um retângulo podemos representar 1:...
3
e
53 das seguintes formas:
EXERCÍCIOS
1) Em minha classe somos em 50 alunos.
.2_
5
Que
fração da class e e u r epres ento?
]
2) Que fração do dia (24 horas )
repres e ntam
11 horas?
Se o inteiro fôr representado
teremos:
'
por um circulo
3) Que fração da hora (60 minuto s ) representam 37 minutos?
4) Qu e fração do minuto (60 segundos ) repr e sentam 43 segundos?
5 ) Que fração do ano (12 me s es)
Se o inteiro fA
or repr esentado
:pod emos r eprese ntar ·.
por u rn quadrado
r e pres en tam
13 me s es?
6) Qu e fraçã o da hora (60 minutos) r epr esen -
tam '?3 minutos?
7) Representando o inteiro por
um retângulo
repr e s e nta r gràficam ent e as s e guint es f raçõ es:
a) f
b)
~
e)
141
d) · §
I
16
HUGO LUCIANO DOTTORI
8) Representando
0
int eiro por
um
f
RESPOSTAS : 1)
5)
~
b)
2)
1
50
~~
•
e)
1 1=_
2l+
L6
d)
4)
17
f) 27
30
e ) 23
17
g) 33
34
65
66
h) 22
20
d)
~-
~~
6)
RESPOSTAS:
OS SÍMBOLOS
1
13
-4
~b
3)
18
b ) 34
15
56
a) 14
circulo,
repr esentar gràficamente as seguintes fraçõ es :
a)
ti
=
Quando queremos dizer que duas gra ndezas
ut j.11' zamos o simbo lo 11 = 11
Exemplo:
1 m
=
>
Exemplo :
9> 7
o
<
simbolo
Ex:e mplo ~
b) <
g)<
h)
e)
.>
>
e) > f) >
d) <
Suponhamos que dadas duas frações
<
queiramos
saber qual das duas é maior. . Seja, por exemplo, comparar
. ermos dizer maior
'-'" e quiz
vemos ut 1· 1 ·
ou me nor
izar os simbolos
ou
o símbo lo
s~ o
100 cm
>
a)<
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
!I
l.~uai s
e)
li
li> li' <li
·
17
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
~
e
~
Para me lhor visualização e cons e -
º
que nt e me lhor aprendizado vamos re co rrer às r epresen que,
de-
ta çõ es gráficas das f r a çõ es a s er em comparadas.
Re-
presentemos o inteiro por um retângulo. Teremos então:
l ê- se maior que .
1
7
l ê - se menor que .
4 <: 9
2..
7
EXERC1. CIOS
1
1)
Colocar
conv eni ent
7
ement e os
..2... é maior que
7
Tor na - s e ago r a fá cil ver que
,
sirnbolos ......-.
. . ._ ou
Escr ev e -s e
_?_ ..:::> ...!.. •
7
7
Se ja agora compa rar
s e o me smo processo, t eremos:
2
5
e
4
5
• Ut i l izando-
18
HUGO LUCIANO DOT'IORI
-25
FRAÇÕES E EXPRESSÕES AR ITMÉTICAS
J
..L
19
..L
s
5
~
-
4
5
..!L
5
Donde concluímos que
E concluímos:
.i_>
5
1
5
+
25
Para somar
Podemos então enunciar a regra:
2
5
duas frações homogêneas conserva-s e o
Podemos en tao enunciar
ou mais frações regra: Quando duas
sao homogeneas (f
as que têm
raçoes homogeneas sao
o mesmo denominador) a
.
,
maior numerad or.
maior e a
que tem
denominador
A
soma-se os numeradores.
_
b ) SUBTRAÇÃO
a'
A idéia de subtrair es tá associada
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
t rair coisas desta grandeza significa
desta grandeza.
ADIÇÃO
~
r etirar coisas
5
de
Façamos
9
A id éia de adição
,
esta associada ' . ,
coisas. Seja adicionar 3_
l a ideia de
suas representações gráficas
7 a
Façamos
num mesmo inteiro.
juntar
...!_
1--
7
Se juntarmos
assinalada da figura
2
9
7
......
2
7
]
A_
..L
9
9
a
Se ja agora adie·
ionar
mesmo
processo t
ernos:
7
teremos t "
l_
oda a parte
7
1
5
a
3
5
Utilizan_
Donde
9 -
3
9
valem
Uti lizando-se o mes-
Façamos agora
l
í
Torna-se agora fácil ver qu e
mo proc e sso temos:
' ou seja
0
-
f
~·
do-se
Seja subtrair
sub -
suas repres en tações gr áficas num mesmo i nteiro:
7
1
idéia
Se tivermos uma grand eza qualquer,
de retirar.
1
e
ª
A
a)
4
5
valem
.,
8
8'°"
L
8
concluímos que
7
8
3
8
valem
4
8
20
HUGO LUCIANO DOTTORI
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
Podemos então enuncia
trair frações homo ~
r
regra: Para se subgeneas conserva
subtrai
-se o denominador e
-se os numeradores.
ª
21
ORDEM CRESCENTE E DECRESCENTE
A idéia de ordem também é intuí tiva para nós.
Em quase tôdas as nossas atividades existe a preocupa-
EXERCÍCIOS
ção de ob ede cer determinadas ordens que nos facilitem
a boa execução destas atividades.
-
1 ) Qual
das duas
3 ou
frações é
b) 5
7
7?
..2_
7
2) Qual das duas
frações é
b) _4
ou ~
menor:
. 9
9 ?
4
9
7
maior: a) _
9
a)
ou
ção de ordem cr escente e decrescente também pode ser
desenvolvida com o auxilio dos nossos c onhecimentos
intuitivos.
2
ou
7
5 =
5
e)
d)
RESFOSTAS:
.i.
7
..!..
9
+
5
7
+ 4
r ·)
7
9+9=
131 + 15 . +
1
1) a)
Seja colocar em ord em de grandeza
e)
=
.L
9
2 ) a) ~
7
3
3) a)
5
e)
l
7
g)
_z__
11· =
7
b)
'7
13
19-
-
-2...
13 -
h) _119
b)
b)
.2..
e)
7
f)
2.
_76 -
+
os numeras 61 ; 45 e 76.
==
-&
g)
vemos ir escrev endo os números do menor para os maiores .
=
13 =
-L -L.
19 +
> 73
7
~ < 4
9
-9
12
13-
é crescente de-
io
d)
h)
A ordem crescente será então :
45 ~ 61
< 76 .
A ordem decrescente é exatament e o contrário.
=
Temos que iniciar pelos número s maior es
ir escrevendo os menores.
2..
9
Como a ordem
crescente
19
8
19
> 94
< -5
A palavra crescente quer dizer "que cres-
ce", ou seja vai do menor ao maior.
3 ) Efetuar as
l
operaçõ es:
a) _
+ 2
b)
Em aritmética a no-
para
depois
Se colocarmos em ordem de
grandeza decrescente o s núm eros 13; 34 e 11, teremos:
34 >13 >1L
15
1.T
11
19
Agora que temos uma idéia do que
crescente e decrescent e podemos colocar
seja ord em
nao
somente
numeras inteiros n estas ordens, mas também fraçõ es . Basta guP. f aça mos para as frações o mesmo que fizemos para os números inteiros que vimos como exemplo.
Ordem cr es c ente : Começa-se pela menor fração
e Vai-se escrevendo as maiores.
22
HUGO LUCIANO DOTTORI
Ordem decrescente: Começa-se pela maior fraçao e vai-se escrevendo as menores.
Seja colocar em ordem
de grandeza crescente
as frações: 2_ . 1
e
7 .
7 '7
Iniciando p e la menor e · d
in
escrevendo as maior es, temos: l
2_
5
7
7
7 .
Seja colocar em ord em d
e grandeza decresc ente
as frações·
3
6
5
.L.
°
< <
· 8
i
8
e
8•
Iniciando pela ma1·or e indo es
6
nores, temos: B
crevendo as me-
>t >i
7) Colocar em ordem de
1 ) Qual das duas frações '
3
e maior: - ll
5
OU- ?
2 ) Qual das duas
·
frações e menor: -13·-ou ll
9
19
-y-?
3) Co locar em ord em de
,
grandeza crescente9 os
numeras: 65; 56 e 78.
4) Colocar em ordem d
os números: 2 7 ; 19 e 53.
e grandeza decr escente
5) Colocar em ord em
de grandeza
as frações: 1
4 e 2_.
5 ' 5
5
.-
decrescente
6) Co locar
em ord em
de grandeza
frações: 11
23
3
crescent e as
37
37- e
37-·
grandeza decrescente
as frações: _2._ . _]__
11
13 ' 13
e
13 '
8) Colocar em ordem de grandeza crescente as
17
13
fraçõ es: "1f"l
; q.-1
e
8
41 .
9) Efetuar as operações :
1
8
2
a) 17 + 17 + 17 =
11
9 + 19
b 'J 13
19 + 19
e)
+ 37
37
1
4
d)
+ 5
5
1
e) - - +
3
f)
5
RESPOSTAS:
3
_2_
5
1)
2)
1
+
+
=
19
9
37 + 37
12
1
2
EXERCÍCIOS
23
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
..l...
5
2
+-
5
=
5)
<19
3) 56
< 65 < 78
4) 53
> 27 >19
5
.!t_ >_L
5
3
6 ) 37
13
11
9) a) 17
10
d)
=
=
-~->_L
11
11
9
19
=
b) 33=
19
1
e)
3
5
11
37
>
~
< < 3723
11
9 > 7
7) -rr> 13
13
8)
e)
f)
8
41
41
< "'IT
13 < 17
41
37
2
5
-24
HUGO LUCIANO DOTTQRI
25
-
FRAÇÕES E EXPRESSõtS ARITMÉTICAS
FRAÇÕE,<; PRÓPRIAS E IMPRÓPRIAS . SIGNIHÇADO :~~=
MÉTICO
DAS FRAÇÕES. FRAÇÕES APARENI'ES .NUMERO
TOS.
DEFINIÇÕES
l) Fração própria
é aquela em que o num erador
e menor qu e o denominador.
3 -g-;
7 ~
5
Ex emplo s : ~;
,
2 ) Fração i mprópria é aque la em qu e o numer a dor é
ma ior que o d enomina dor. Ex emplos: 3-;
8 ""'74""; ~·
8
Quando r epr e s enta mos uma fração e stamos também repr es (!ntando um.a oper a çã o aritmé tica. Quando co 1
,
l ocamo s o num er a do r s Ôbr e o d enominado r queremos diz er
que o numerador va i s er dl.vidido pe lo d 0nominador. Ass im qua ndo es cre vemos -25 ' esta mos t a mb ém di zendo 2 diVi di do por 5.
3) Fração apar ente e a que l a em qu e o numer a dor é divisí vel pe lo d unomi na dor .
8
14 ; -z;:-16
Ex emplos~ ~
e -S-·
As fraç õ es a par e!lt es , como o pr oprio nome diz
sao a pare nt eme nte fraçõ e s , mas s e dividi r mos
dor pel o deno mi nador ob t er emos
nu'm~ro s
0
numer a -'
...
i nt eiro s .
Se ja agora a f r ação i mprópria
z er mo s r epr es entar gr à fica ment e ess f
'+~
Se q ui do um r e t angulo
pa r a r epr esen tar o a. t raça
. o, Utiliza n"
J_
in eiro t er emo s :
tiara r epresentar T9
O l e i tor no t ou que p 1
Podemos então esv ~ mo s qu e t oma r
2 i n t e iros e 4 .
tra maneira de
Essa ou
9
2 1
cr c v P.r 1+'
sob a
forma
1+
º
,
. s e, o qu e chamamos de
r epr e s e ntar a s fraç õ e s impropria
número misto.
No n úm ero misto
2
1
T
2
1
1+
chamamos:
part e int eira
part e fracio nária
d e uma fraçao
e' zero, ª
merador
O
Quando o nu
o o· ~ = o
,
fração e
Ex ·4= ' 7
igual a zero•
".
. d r seja zero•
denomina
o
'o
Não exist e fraçao cUJ
o r e corr er a r e Entr e tanto, não é nec essari
,.
que qui. zermos sa,.
a
s
vez
es
, ro
Pr ese nt açõ e s gra· r i· c as todas
, i a em nume
- impropr
ta uma fraçao
ber como s e r eprese n
,
ui· nt e regra:
a
s
e
g
re corr er
mi sto . Pod emos
p e lo d enominador .
.
mera dor
0
Di vid e - se
nu
,
t e int ei ra
- sera a par
a) O coci ent e da d ivis ao
do númer o misto.
da
numerador
s erá 0
resto da divi sao
, ro mi s to .
, . do nume
Parte
_ imprópria ser á 0
f r a ciona r ia
ra
çao
d
f
e ) O d enomina dor a
b)
o
26
HUGO LUCIANO DOT'IDRI
denominador da mesma parte fracionária.
Seja representar a fração imprópria
numero misto:
3
L4
23
T
5
· a que
,
mi stos, a P rimeira cois
apareçam numeras
,
. t
em fraçoes
se faz é transformar esses
~
numeres mis os
impróprias.
em que
,
23
27
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
23 em
T
3
1 4
·
4
Seja por exemp 10 efetuar: 21:..hemos que:
=
A transformação de fração imprópria em número
T
1
T
misto também é chamada extração de inteiros.
O problema inverso, ou seja ,
representar um
numero misto sob a forma de fração imprópria é resolvida da seguinte maneira:
1
2
=
3
=
2
X
9
4 + 1
4
=T
lx4 + 3
=T
Temos então:
7
1
2
Sa-
T
-
3
1 T
=
f-
2
7
T =T
O d enominador da parte fracionária do nÚmero
misto é o mesmo que o da fração imprópria.
O numerador da fração imprópria é obtido da
seguinte maneira:
a) Multiplica-se a parte inteira do nÚmero
misto pelo d enominador da parte fracionária do mesmo.
b) Soma-se o resultado obtido
da parte fracionária do nÚmero misto.
misto
ao
EXERCÍCIOS
número misto as
1) Represen t ar sob a forma de
.
.
'prias:
segu~ntes
fraçoes
impro
numerador
a)
5
3 ~
5
=
6
b)
5
e)
18
d)
7
19
4
,
2) Re presentar sob a forma
Seja
representar em fração imprópria o número
2
35.
17
de fraçao
impro-
ria os seguintes números mi·stos:
3
X
5 + 2
5
= 15
b) 1
+ 2
5
=
17
5
~ preciso
mos uma comparação ter em mente que sempre que tiv erd e frações 0
_
u urna operaçao qualquer
5
7
e)
8
3) Das frações seg uintes
11 . 5
3 ' 4;
--...;,..
4)
l>:t-ias:
16
1 3i
4
16
5; .15
;
3 .
1
9
a) 4
1
T
sublinhar as prÓpri-
..!..
T' 2
sublinhar as
Das frações seguintes
5
1
- 11 .
11 .l_
5 . 7 ; 2;
)2i 14 ' -r;
,
ímpro-
r
28
f Ôr
HUGO LUCIANO DOTTORI
29
tRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
5) Efetuar as
.
operaçõ es (extrair, sempre que
' os inteiros do resultado)~
possível
a) 2
3
2
7+1-7 +42...
7
b) l
l...
e)
d)
J1..
17
+
l... 7
5 4
8
3
1
=
. Existem grandezas que podem ser expressas por
9 + 79=
+ 2
3 ~
5
e) 2
f)
+
9
17'
+ 1
4
3
números diferentes e no entanto representam
17 =
coisa.
-7
6
2)
3)
4)
. 5)
a)
a)
4
b) i
5
d)
8 2_
7
4 ~
5
tanto
laranjas,
12
o e:xe mplo acima pode acontecer com as frações.
b)
l
e) 2
5
12
7
e)
4
7
~3
d)
d)
1
5; 4; 2
l&... 15
13' -yq:-;
a)
Assim se ti vermos 1 dúzia de laranjas,
A
3 ~
3
mesma
POis 12 e 1 d Úzia sao a mesma coisa. Se fizéssemos outros exemplos veríamos que coisas aparentemente diferentes sao
- as
' vezes iguais. O mesmo que aconteceu com
=
~
a
faz que digamos 1 dúzia de laranjas ou
5+5=
3-f-+ =
RESPOSTAS: 1)
GRANDEZAS EQUIVALENTES
13
--r;-
t
Illos uma verificação.
meio.
Pegue uma f8lha de papel e dobre-a ao
Cada uma das partes obtidas corresponde à metade, ou
Dobre agora a mesma fÔlha de paSeja 1
2 da fÔlha.
Pel em quatro partes iguais. Cada parte obtida agora
Corr esponde a
da fÔlha •
t
f
b) 14 ~
9
e) 1
4
~
7
f) 2
2
4
l
Responda: O que é maior:
e) 3 15
17
Faça-
ou
-z-
2
·4
?
Comparando-se as representações gráficas (na
ºlha de papel) de _!_ e ~ verificamos que estas frações sao
- iguais (dizemos
2
'+também que são equivalentes ) •
f'
Papei
is
.
ªº
Poderíamos também dividir uma outra fÔlha de
8
te igua-
meio para depois dividi-la em
1
qu·
Verificaríamos que
l.'llalentes
2
e
4
8
par
s
também são e-
r
30
HUGO LUCIANO DOTTORI
Concluímos então que:
1
2
l
2
e
e
2
1+
4
a-
que dividir o numerador e o denominador de }
por 4.
Teremos então:
-
sao equiyalentes
4
sao equivalentes
8
Mostramos em parágrafos anteriores que se um
numero misto e wna fraçao
sa- o equi· valentes
,
- impropria
,
.
existe uma r egra que nos p ermit e obter a fraçao
- impropria a partir do nÚmero misto ou o numero mis
,
· to a partir da fração imprópria.
Surgiu, entretanto, um
2
nôvo problema. Vimos
2 e T
Pergunta:se agora
como fazer para são equivalent es .
partindo de
obt er
que
31
!'._'.RAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
1
-f-.
i-
Bastal que se multiplique o numerador
e
nom.inador de 2 por 2 . Temo s então:
0
4
= 8
+
4
+ 4
1
= ·2
ropriedade fundaenunciar
a
p
Podemos agora
ou divi. dindo-se
t
framental das fraço- es •. Mul l.. plicando-se
minador ) d e uma valor
"
(numerador ( de . deno
os do i s termos
ferent e de zero ) o
ção, por um mesmo num
1
' ero
da fração não se altera.
4
a -r•
·val
entes
o
equi
Seja obt er frações
4
6 =
4
6
X
X
16
4
4 = 24
de-
4
b
4 + 2
= 6
.;.
2
2
=3
2
T
Foi também conclusão nossa que
equivalentes.
devemos
fazer:
Se tivermos
i
i
6T
~
e {
e quizermos obt e r
EXERCÍCIO
. l entes a
Obter duas frações e quiva
das frações abaixo :
6
a)
Se quiz ermos Obt er
i
a partir d e
4
8
temo s
4
7
b)
15
To
e)
6
1o
d)
7
cada
uma
32
HUGO LUCIANO DOTTORI
33
t_RAQ?Ês E EXPRES&lES ARITMtTICAS
Apesar de nao haver uma única maneira de se
efetuar a simplificação de frações, de qualquer manéi-
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
ra que isto seja feito, o resultado final é sempre .o
Devemos i r simp1ificandD
lllesnto •
Simplificar uma
e o de
fração é di vi· di· r
nominador desta
o numerador
se b ter uma f
fração
por
um
mesmo número· para
0
raçao e .
'
sejam nÚmeros
qu1va1ente a ela
~
menores que
'
cujos t e rmos
os inicia·l.S •
Seja s·
dir o
implificar a fra 6
numerador e o
çao ""8"'" • Podemos diviTeremos
denominador desta fração
por 2.
então:
seja mais·possíve1 fazê-lo.
a
fração até que nao
A fração obtida
no
fim
da siap1·i r icaçao
·
- chama-se irredutivel.
'
Fração irredut:lve1 é aquela que não pode mais
ser Biaplificada.
sempre uma
Ulti.ca diVi.são basta que se determine o maior divisor
COnt"- d
......
numerador e denominador. da fraçao
e depois
Se quizeraos, entretanto, fazer
•
0
6
6
a= 8
~ 2
~ 2
di Vid •
l.z-
- 3
-~
os dois têraos da fração pelo
oportun 0
rio unico
' ·
lembrar que não
para .
existe um cri téSl.mplifº
Plo, simplifica
icar frações
r ª fra çao
12
• Seja, por exem"";'"TTlo •
Podemos fazer:
<10 :•
Seja simplificar
= 10.
'·o>
't
10
12
=
2
lo
=
10· . 10
~ 10
4õ
lt.d.c.
l2
is- =
ca nc ela
Esta
menta.
=
6 •
6
9=
=
2
3
EXERCÍCIO
•
l.lllpll.fica Çao é challlada s .
.
llnplificação pe~
sabemos que o m.d.c.
' . ch~.-.da si.JllPlifica~o peca.uEsta sim.plificação e
3
Ou ainda:
-tg •
Teaos então:
"1iõ
=
divisor
Obtido.
t
lF
·
maior
Siaplificar as frações:
1
'1
34
HUGO LUCIANO DOTTORI
a)
-1215
b)
25
30
f)
RESPOSTAS: a)
f)
-54
5
6
18
14
2õ
e)
g)
-
21
h)
12
b)
-10
e)~
3
4
10
9
g) ~
h)
5
d)
18
e)
21+
18
Seja obt er
27
redutív e l
24
3
e)
4
2 X
-5 =
2
frações equivalentes
à
fração ir-
_2_
5
2
d)
35
!:_RAÇÕ ES E EXPRESSÕES AR ITMÉTICAS
5
X
4
4
=
8
2o
3
1
2
2
2 X 5
-5 = 5
X
5
Poderemos também obter frações equivalentesª
OBTENÇÃO DE
FRAÇÕES EQUI
lRREDUTí~i~TES
frações
.
irr eduti veis dadas, com denominadores d e terA
FRAÇÕES
ção d e f se_ uma fração pode
raço e s e .
ser simplif "
mane ·
quivalent
icada, a obt enira que u.
es a ela pod
v ·d .
q 1 zermos
e ser feita da
1 1ndo-se
' ou se ja' multi· .
.a
seus ·d oi· s t "'
plica n d o -se ou diermos por um mes mo numero.
J ' por e:x:em
,
Seplo a f
6
çoes equi
'
raçao -;-rSe
q
·
Valent es a ela
l~ •
uizermos obter fra podemos fazer:
6
1Jj:"'
:::
-i-&-2
14.._2-
:::
-3
7
6
14-
==
18
~
Se ' entret
va l ent e s a
anto
fraçõ es .
' quizermos
zer 1· sto e
1rred u t i<
.o bt er fr açoes
equimultipl '
v e 1s a ún ·
um me smo .
1cando
ica maneira de fanumero •
os dois t er
" mos
da f raçao
por
minados.
S eja obter uma fração equivalente
.
l.rredut J.' v e l
2
à
fração
Temos que mu lt··1-
d
5
e denomina or 1 •
l.car o d
2
,
tal
e nominador de ~ por um num ero,
Pl"
~
d
3
resu1t ado s e ja 15.
tsse número é
2
3=
3
X
5
=
que
o
5.
15
, 0 numerador
Re sta-nos saber agora qual sera
seJ'ª equivada no,,a f
raçao.
Para que a nova fraçao
lent e à
é necessário que o número pelo qual
primeira
'
número
0
0
d eno .
mi nador foi multiplicado seja tambem
d
como o
:Pelo
que
multiplicar
o
numera
or.
,
qua1 t emos
d
um erador tambem
enom·l.nador
0
foi multiplicado por 5 ,
n
t ein
s
T
.
e
remos
então :
que
er multiplicado por 5·
2
T=
2 X
5
3
5
X
l
o
:: 15
O
'
q u e nos
dá
a
solução
36
HUGO LUCIANO OOTTORI
~onpro blema,
denominador
ou
s ·eja, a fração equivalente a
15 é
a
2
3
.. 10
fraçao
15•
de
Não se pode todavia fazer com que uma fração
eirredutl.vel tenha qualquer denOmina or.
"""'
d
S~ja, por
. .. irredu t ive
• l "5'
2 • Podemos
obter
xemplo, a fraçao
'
de
denomifração equivalente à fração irredutivel
~
nadar 10.
2
2 X 2
5
X
2
5
5
X
X
6 = 6
a
10
12
3
3
15
= TI""
E poderemos dizer que a
de denominador
37
18 é
a fração
equivalente
fração
15
l'S'""•
5
Teremos então:
5=
E_RAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
EXERCÍCIOS
4
= 10
De denominador 15: 52
=
1) Qual
2
X
3
5
X
3
6
= 15
ª _§_
7
de deno-
ª b5
de deno-
é a fr ação equi· valente a 2
1
de deno-
54
d e deno-
é
a fração equi. valente
lllinador 14?
2) Qual é a fração equi. valente
Entretanto, o leitor não saberia como
fazer
para obter u.,.. fraçao
.. equivalente a · "5'
2 de denom inador
17 ou de denolliliador 21. !ato acontece, porque l.0 e
i5 aão
de 5, enquanto que 17 e 21 não são•
mÚltipl~a
Podemoa então dizer que oa denominadores das now.s frações
têm que ser múltiplos doa denominadores das frações iniciais.
Se tivermos que obter frações equivalentes.a
frações que P<>••am •er •implificadaa, devemos antes
10
de tudo •impUficá-laa.
Seja obter a fração equivs"
lente a 12' de denolllinador 18.
lllinador
30?
3) Qua l
lllinador
16 ?
4) Qual e, a fração equi·valente a
ltlinador 30?
5) Qual
lllina dor 2 4 ?
6) Qual
lllina dor
é
·valente a
a fração equi
9?
7)
lllinador
3 de denoé a fração equi· valente a lf
8)
6 de d eno-
· valent e a
Qual é a fração eqUl.
B
a
equ1. valente
Qual é a fração
-10
12?
ltíinador · 4?
10 de deIP-
-15
5 d e deno-
39
~ÇÕE~ EXPRESS>_QÕ~E~S_:A~R~I~T!MÉ~T~IC~A~S~-------RESPOSTAS: 1)
if
6)
96
2) 25
4) 24
30
30
5)
,
9
t
6) Qual e a fração equivalen e
21+"
ª ~
0
de nume-
rador 3·?
7) -2._
12
RESPOSTAS: l)
Poderiamas também obter frações equivalentes
a fraçõ es dadas
' com numeradores determinados.
Se ja
2
obter a fração equi 1
va ente a "3" de numerador 8. Ter e mos então:
2)
15
~
+
6)
12
lb
3)
10
4)
15
~
32
5)
15
lB""
REDUÇÃO DE FRAÇÕES IRREDUTÍVEIS AO MESMO
2
3
=
2
3
X
4
X
4
DENOMINADOR
1
fração
A fração equivalente a
8
12.
~.
e' a
3 de numerador 8
Se ja, por e xemplo, a fração
2 =
1) Qual e, a
fração equivalente
rador 15'?
aL. de nume6
,
2) Qual e
a fração equivalente
rador 12'?
ê:I. 4... de nume-
1 de de-
Vamos obter a fração equivalent e a
norn·l.nador 12:
1
EXERCÍCIOS
""2 •
1
2
X
X
6
6 =
""2
6
12
4= •
SeJ'a ago ra a fração ~
3 de de- equivalente a '4""
Vamos obt er a fraçao
norn·
l.nador 12 :
4
,
~
3) Qual e a
fraçã o equivalente
2
radar 10?
a - de nume 3
4 ) Qua1 e, a
fração
radar 28?
equivale nt e a
d e nume ,
5) Qua1 e
a fra ção
merador 15?
equivalent e a 10
12- d e: nu-
+
3
lj:"'
3
= 4
X
X
3
3
= -212
-
Ob t ivemos e ntao as
f açõ es
3
rl
6
e
9
-'2"
l
-i2Nota -se
a
par-
que
a5
ti~ d as f
•
e ...,.....
L+ •
raçoes
irr <?.du tie veis
2
· ,. 0 me smo d en o 3
:t'~a 1 e _,__ tem
Çoes obtidas a partir de
lll:i.nador.
2
4
li
HUGO LUCIANO OOTTORI
A Õperação desenvo l vida nas linhas acima chama - se redução- de frações ao mesmo denominador. De fat o o leitor observa _que partimos de duas frações
41
~AÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
. nadores iniciais.
ro que seja múltiplo comum dos denomi
que
tinham denomin.".l.dores diferentes e obt Lvemos frações e -
EXERCÍCIO.S
~ui valentes a elas que tinham o mesmo denominador .
Entretanto, 12 não é 0 Único numero qu e n o s
permite obter uma s o luçã o par a 0 problema. O l e i t or pode verificar que os nÚmeros 8; 16; 20;
ser denominadores das novas frações .
também
Seja obter f r ações equivalentes a
denominador 8.
~
po dem
e
-i-- de
1
3
=
1
2
3
·T = 4
X
X
4
4
4 = -g-
X
2
X
2
de denominador 12 .
. . valentes a
2) Obter as frações equ1
~iõ
de denomina d or 20 •
~
5
e
6
= -g-
54
e
equivalentes a
4 ) Obter as frações equi· valentes
3 de denominador 40 •
8
1
!
l
r
Pode agora 0 leit
. .
10; 14; 18 não nos Perm·t or verificar que os núme ros
1
e!?l obter u•na
1 ' problema. Não podemos obt
• so uçao para o
equivalentes a
2l e T3 cujo.s denominador eser sefrações
.
lS
e
f;
4
3
e
6
270
~.
3 '
4. -2
6) Obter as fraçõ e s equ1
-S-' 3
e
de denominador 12 .
6
;
e
12
2)
20 •
21
e
24
4)
RESPOSTAS: 1) {
3)
A
e
1
14
Jam os
'
acima. Isto se deve ao f t
numeras
citados
,
a o de qu
sao mu1t·ip l os comuns de 2
e esses números não
4
2
~'
d0
ª
0
4 . 10 e 20
2Õ' 2o
1.5
32
12 . 14 ·~ e40
4o' 4o'
8
12' 12
6 .
6)
•
Podemos então d.
izer que qu d
zir fraçoes irredut.ive;s a
an o queremQs r edu...
o mesmo d
.
escolher para denom ·
enom1nado r temos que
inador da
s nova s frações um núme ~
5' 2
- s equi·valentes a 10;
5 ) Obter as fraçoe
de denominador 15 ·
l:'S'-
1 .
3 .
ª lo'
· valentes a
r
3. 5 e
4' b
1
2'"
3) Obter as frações
.{_
o de denominador 2 4 •
Temos:
2
1 ) Obter as frações equivalentes .a
t+-0
10
e - 21
t riores q ue quan, rafos an e
dutiveis
parag
- es irre
Vimos en tão em
is fraço
inador
a d eno!D
duas ou 111a
temos que reduzir
her
par
esco l
ode111os
mesmo d enominador P
42
RUGO LUCIANO DOTTORl
das novas frações qualquer numero qu e seja múltiplo
comum dos d enominadores d as f r a ç 0
- es ~niciais.
4
3 e 2Se tivermos que reduzir as fraçoes
4""
6
ao me smo d enominador, podemos, por ex emplo, obter fraçoes equivalentes a elas de denominador 48.
3
3
4
X
5
b = 6
X
X
4 =
5
X
12
12
=~
8
4o
F~AÇÕE S E EXPRESSÕES AR I TMÉTICAS
3
T e
ª
Calculemos g ora a s frações
5
· dor 12 :
6 d e d enomina
3
3
5
5
4 =
X
4
X
=
Entreta nto nao há
interêsse n e nhum d e nossa
em estarmos trabalhando
em aritmé tica com números muito grand es . É sempre melhor para nos trabalharmos com nÚmeros qu e s e jam os me nor e s posslv e i s ·
tivermo s que r edúzir fraçõ es irr e dutíveis ao
~uando
~
pa ra d enominador
menor nÚmero po sstv e l.
~sse
núme-
út i lizando
nador as frações:
_§_;
f
b)
l;
i; 15
e)
ço es iniciais.
f f
Se j a •inda r eduzir as fraçõ es
e
ao me s mo denomina dor . Calculemo s 0 me no r múltiplo comum dos
nú.mero s 4 e 6.
ao mesmo d enomim.m.c.' reduzir
0
a)
ro é o menor múlt i plo comlllll dos d enominador e s das frad)
RESPO STAS :
7
e
9
""IT"
2
2 - 3
2
l
- 3
3
l
- l
l
m.m.c. (4; 6)
= 12
1
11
5
3 . ]-_; 7
Lt' 2 8
e
3
11
e
21
e
28
7 ,...!!. e
zo'
30
24
21
18
a)
28"""; 28
b)
To'
e)
21
18 . ~
2 j 24'
24'
l:'. '+
d)
2 1.
bo'
18 . ~~;
4 - 6
12
EXERCÍCIOS
part e
das nova s fraçõ es
_2_
= 12
8 =~
mesmo denominador, dev emo s escolher
a
10
X 2
X 2
6 = 6
36
3
3
equi. val ent e s
3o
12
22
3o
22 e
---
60
10
e -3Õ
22
e 24'
-t'±O
44
HUGO LUCIANO DO TTOR I
Definição: Frações heterogêneas sao
que têm denominadores diferentes.
3
Exemplos: i;:1
2
4
aque_las
6
7
5
8
13
9e 17
31 -
Suponhamos agora que
queiramos
b
de
ou comparação
Ope ração
Como em qua q •
is tos, t emos ini
. . cialmennÚmP.ros m
frações que t \ vermos
_ imprópria,
vem:
te que r edu zi-los ª fraçao
ue~
...!.. = .1_
3
3
2
2
1
3
1f
b =3
= 12
rn.m.c.
..7_
3
= 37
11
b=
3
:::
11
-b
11
7
5
1
b
fazer
as mesmas
operações com frações heterogêneas. Seja e1
fetuar 3
T + T· Da maneira
que es t as fra· ço- es estão
·
nao é possivel somá-las. · Entretanto, podemos reduzilas ao mesmo denominador.
que m.m.c. (4; 6)
=
1 5
1
d
Sab~mos
Seja agora efetuar:
2
Algumas operações com frações, bem comoª colocação de frações em . ord~m c~esc~nte ~
decrescente
já foram em ..,parte vistas· por nós~ Já vimos
·como se
soma, se subtrai e se coloca em ordem crescente e
decrescente frações homogêneas (são as que têm o mesmo
enominador
.
)'
45
~ACÕES E EXPRESSO ES _-.ti-RIT~}'Q,JI~C~A~S~--------
C?;
6)
:::
6
X 2
X
2
11
X
X
6
1
1
11
==T
T=
11
11
2
l
1
3
- l
h
i- ::: .1..3 - -rt>
1
T=
crescente
Colocar em ord em
+
i-
Substituindo
e
por
suas
equivalentes de denolllinador 12, teremos:
-L
12 +
frações
m.m.c. (2; 4; 6)
1
2
12 =
11
12
2
=
::: b3 --- .1:..
2
== 12
l
3 . -r'•
o
• -"r.'"'1
2'
'+
46
HUGO LUCIANO DOT'IDRI
3
1+ = 34
1
1
6= 6
X
3
3
X
X
2
2
X
= -2_
12
2
+<+<+.
as frações equivalentes às iniciais,
de
3
b)
f
+
~ =
m)
T - 3 -
l
n)
3 3 - 2 4 -
o)
43 - 21 --
4
7
d)
11
15
e)
17
fraç ões ti •ermos n Úmeros inteiros, por ex e mplo : 2 +
devemos escrever:
1
t'
4
5
f)
l_
7
=
17
7 =2
l...
q:-
-
e 1
2 de denominador 24?
10 e +
13
+
20
3
+
~
+
)
~
+
~
=
:=
1 -4 - 2 -3
r )
4
+
1
3 :::
i2+4
7
-
? T
s)
{4 : :
15 ::
q)
=
87 --
-
2 - 16
p) 1
3
4
i+ .
1
1
_1_
10
5
1.
+ 2
t)
5
u)
3 -
1
~
5 :::
1
3
+
b
5l --
cr escente a s
grand eza
ord
em
de
5) Escrever em
l
fraç õ es 2;
e quivalent es
2)
5 e 11 d Quais s ão as fraçõ es
b
equiva l ent es
1:'5 e denominador 60?
7
6
+
i ) 1 -
7
EXERcic1os
3
_2_ + 1
l
g) ~,. T
j)
1) Quais
sao as fra çõ es
5
=
l 1.
b.)
+
3
+
18
=
2
+
denominador
evemos lembrar ainda qu e se numa op eraçao
de
=
1
1) 2 - 1 4
=
+
D
~
2
2
c)
12 )
1
a)
= 12
A ordem crescente será então (comparando - se
47
~ÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
3) Quais
sao as
de denominador fraçõ es equi Valentes
20?
a
a
a
7 ;
8
-53 ,.
1 .
-,
5
4) Efetuar as oper ações : (utilizar o m.m.c.)
{- e+·
6) Escrever em ordem
1
7 e -·
as fraç õ es : 3. lo
2
5'
7)
as frações :
8)
as f r ações :
de grand eza
decrescente
crescente
grandeza
d
e
Escr ev er em orde m
7
11. 2e
12
·
18' 9
decresc ente
d e grand eza
Escr ever em 7ordem
3
8 e ·
10
- ,. 5l
5
..1
HUGO LUCIANO DOT'.fORI
RESPOSTAS: 1) 21
2)
18
2Zf; 2Zf
e 12
36 50
bo; bo
e
L . 2õ
14
3) 2O '
4)
4
b6.
7
1 2
e) 2 ...!._
.)
9
l
l.
20
1
8
j) -
9
lb
2
1)
2
q)
3
l
8 l
t)
2-
f) 2
--
p)
b
4<-} < 87
7)
-L>
10
-2..
9
8)
7
= 4
5
e) 1
Jt
d) 1
31
g) l
~
lo
h)
7
f
m)
r)
6 41
.l_
2
5
o
n)
4.'+
1
5
õ"º
1
o)..,.-
lÕ >-L·;
5
4
4
2o
4
=
2o
f > t·
Se quizermos agora comparar
3
10
3
5
=
=
X 2
X 2
=
X 1
10 X 1
3
11
e
{0
teremos:
-6
10
_]_
= 10
t>
"IB"-
+
= 10
m.m.c. (5; 10)
5
2
..
l ·X
5 X
5
=
de denominador 20 , concluimos:
2...
3
< 712 <
5
'+
s) 1 _!_
2
5>l
7
=
X
Comparando-se as frações equivalentes a ,} e
~
5 '
u) l
5) 1
6)
1 X 5
l
T
e .12_
20 •
b) l
= 20
m.m.c. ( 4; 5)
~·
1
l6
1
a)
49
!BAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
_]_
10
que
Concluimos entã·o
Observando o que foi feito acima podemos gra-
8
>15
Yar melhor a s e guinte propriedade das fraçoes:
-
COMPA
Quando duas frações têm o me smo numerador a
RAÇÃO DE
F'RAÇOES
- QUE
Suponh
ramos
s
ªº
O MESMO NUMl~RADOR
amos que dad
d
as as
frações l
1
qua1 as duas ,
d en
e maior
lT""
e - quei.
mesmo
Vamos e ntao
_5 redu0 m1nador
saber
zi-la
POSSUEM
maio r e• a que tem menor
denominado~·
50
HUGO LUCIANO LOT'l'O '""'I
n
!_RAÇÕ ES E EXPRESSÕES
1
4
7
2
·-X
3
EXERCÍCIOS
2-
= 3
20
4
X
7 = 21
- das seg ui nmultip l 1·caçao
indicar
uma
Pod e mos
car1 em ordem de grandeza
frações: 11) Colo
1
2i 5 e 3•
cresc e
nte as
t e s maneiras:
as f
~
2) Colocar em ordem de
2
2
2
raçoes: ~;
Ti "'9"•
grandeza
decres cant e
4) Co
car
6 lo----·
6 em
6 ord em d e grandeza
as frações: --·
___
7 ' 17 ' 11 •
RESPOSTAS:l) .l_
<..!_
5
3
<'
3 "
.l_
2
)i-<t<f
as
decr e scent e
de
~
e vê z e s).
" ( le-s
"de"
Com as pala v ras
4
Exemp 1 o.• _9
fraçõ es: 3)
3 Colocar
3
3 em ordem d e grandeza cr e scen t e
4; 1f e 5•
X
li
Com o sina l
31
"dos" ·
ou
4 x -1 .
significa 9
3
Com um ponto •
l
7
2)
~>~>~
_
FRAÇÕES
DIVISAO DE
4)
6
6
6
7>u->n-
escrita
fr ação
-o
é
a
d
enomifraça
e
o
O inv e rso d e uma
·nador,
denom1
com o numerador no lugar do
nador no lugar do numerador.
3
7
9
,
e
inv e rso d e
MULTIPLICAÇÃO D'E FRAÇÕES
mui~
Para s e multip1icar duas ou mais frações
tiplíca-se os numerador e s e os denominadores entre si.
Exemplos:
. lica-se
Exemplo : O
fraçõ e s multip
duas
.
dividir
Para se
gunda.
da
se
inverso
Prim eira pelo
Exe mplos:
2
4
-x-3
5 =
2 X 4
8
3xs = 15
6
5·
4
5
1
4-
2
-· 54
x
T2 =
f ·= t
1
a
52
RUGO LUCIANO DOTTORI
1) 2 43
Podemos indicar uma d
neiras:
Com o sina 1
11
...
•
11
(
ivisao das seguintes
l"
)
e-se dividido por
Com um t r aço
Exemplos:
9
3""
· . f.
s1gn1 ica
9 .., 3
3
7
significa
+
ma-
m)
6
7
2 -
X
ilx 3 =
1
4
=
2
b)
e)
d)
e)
.2..
de 3
7
a)
t .. +
-13
=
g
)
9
=
8
91
=
n) 16 -
3
6
1tX7 =
5
f)
j)
o)
1
5
Numa multiplicação
g)
9
14
h)
1) 9
-Íõ
m)
9
12
h)
5
p)
1
q)
4 2
de frações, P
podemos efetuar
~ =
45
5b
d)
15
7
1-s-
8
4
.
i ·
s1.lllP 1
14
15
-35
i
i) l ~X 4
3
5
j)
3
T ...
2
l
=
3 =
2
-3-x3
6
7
2_~x-;-=3
__
9
~
3
18
or ex emplo:
ficações do se-
7
11
.2..
1
i
e)
b) ~
77
l
2
T =
T . +=
9
15
54
i) l - ·
3
4
8
f)
3 =
~
2
1
9
ll =
1
=
p)
e)
X
5
i-}
EXERCÍCIOS
6
4
o)
q)
7
=
=
l~
n) 6
RESPOSTAS:
a)
3 ~
5
X
3
2...
5
7 ... 6 .
Efetuar a s o peraçoes:
~
53
!]AÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
4
=21
54
~
1
HUGO LUCIANO DOTTORI
O que fizemos foi
dividir o numerador de uma
fração e o denominador d e
0 utra por
antes d e efetuar a multipl·
_
um me smo numero,
.
icaçao.
h) 9 .;.
VeJamos agora a a
.
seguint
pli.caçao d 0 que foi dito acima nos
es exemplos:
i)
a) 3
..!..
3
X
2
lS:::
5
2
g) - r . ; .
o
3
RESPOSTAS:
::: -
b)
3--.
7
2
3
X
2
-3 .::
... 6 ::: 4
6
4
7 ... -1 ::: 7
-
:::
= -7
2
l
x 3-
=
a)
3
lo
4
j)
5
.b )
3
2
f+X5
.2_
7
e)
X
6 ...
-ª...
" b:::
5
9
x 3
d) __§__
1
1f
h) 12
2l
:::
2
cujo denominador
São frações
=
dez (lO·' 100; 1 000;
1
=
=
7
m) 2
10
ooo;
é pot ência d e
etc.).
{õ ; iboi l 660
Ent r etanto, a man eira v i sta acima nao e a
ma-
neir a usua l d e se e s cr ever a s fun ç õ es decima i s . A ma Il e ira maís c o mum d~ s e e screver a s f raç o- es d eci· ma i· s e'
ª se gui nt e~
d)
.l~
5
... 1.o
7
...
e)
32
X
f )
5
3
lÕ :::
1)
x 6
4
15
g) l
x
5
1
T
l
1
X
op e ra ço- e s :
-·
2
5
1
1
2:
FRAÇÕES DECIMAIS
EXERcícros
a)
6
x1
2
1
X
1
b =
X
Exe mplos:
Ef e t uar a s
e)
f) 1 _!..
2
l
l
m) 5 x
{r;-
b)
10
X
l) 2
:::
3
14
1
7x15x2=
i)
9
#
4 ... 2
7
=
e) 6
:::
15 + 5
~
52
j )
X
9 :::
-2_
10
:::
0,3; 09 07; O 90 /-9 •
51
TMÉT rc.A_A§.S_ _ _ _
~
HUGO LUCIANO DOTTORJ
56
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO ORDINÁRIA EM DECIMAL
DECIMAL EM ORDINÁRIA
F~R~A~Ç~'Õ~E~S~E~EX~P~R~E~S~S~Õ~E~S~A~R~I.:;----
EXERCÍCIOS
E
. 1 as segui·n fração decima
Transf orma r em
.. s ·
tes fraç ':; es ordinar :La
1)
.,
Como Jª foi visto em capítulo anterior a fraçao ordinária pode ser interpretada como uma divisão.
Por exemplo a fração
significa 1 dividido por 4.
+
Para transformar uma fração ordinária em decimal. basta
l
e)
que se aplique o que foi dito acima.
+
b)
a) ~
l
4
f)
T
e)
g)
5
2) Transformar em
Seja transformar em fração decimal
2
ord maria . ,
a
fração
5
2
20
=
5
o
1)
RESPOSTAS :
Vejamos agora a transformação de
cimal em fração ordinária.
fração
Seja transformar em fração
decimal sem a virgula.
O numerador será o
número
e)
l,
acrescido d e tantos zeros quantas forem as casas decimais da fração decimal.
a)
2) a)
O numerador da fração ordinária será a fração
ordinária
o,o4
f)
e)
de-
ordinária a fração decimal 0,5.
0,5
b ) O, 13
e) 0,25
0,4
1
-r
fraçao
guintes fraço- es decimais:
a ) O, 7
+
o ,6
g)
o,Ol
b)
f )
o,75
o,8
_]__
b)
IÕÕ
1
f)
4
e)
g)
13
c)
l
g)
25
· zermo 5
tretanto qui
Se en
- decimal,
_1
em fraça o
d) 0 , 2
h) o,875
O,l25
20
-1- d ) _L
5
2
1
h) 25
100
o,6
-- -
ar a fraç ã )
transform
teremos·
3-
~
o,33333· · ·
10
10
10
10
10
1
se-
h) 0 ,08
3
1
as
d) 0 ,15
e)
o,5
o,25
10
ord inária
As r etic ênind í cam
qu e a
- não
divisao
'
pá r a a i·
-
n
58
-
HUGO LUCIANO DOT'IORI
FRAÇÕES
-
E, por ma.
ca obt er1am
' os restol.s que cont1·n uassemos
,
dº . do o rest o d
zero. Qua d
a i visao nundi vi sao
- nunca d, n
isto aco ntece , quantinuemos
.
47
90
°
ª
.
ciente
eh esta di v.isao'
a fra a- zero ' por maj s que conama - se d:i z ima
.
çao de cima 1 ob tida n o \.!0peri'd.
0 ica.
59
E EXPRESSÕES AR ITMÉTICAS
=
470
200
200
200
20
L
90
0,5222 • ••
Temos agora um número (2) que se repete sempre , e um ou tro ( 5 ) que não se r epete .
O numero
,
se re p ete sempre chama - se periodo e o que não
DÍZIMA
.
S PERIÓDICAS
que
se re-
Pe te chama - se não periodo.
Sej
Ordinária ..5:._a
3 transformar em fração d e cima
. l
Dizima p eriódica simples é aquela em que de a
fração
temos sàmente o per1odo.
pois da virgula
'
Dízima p e riódica composta é aqu e la em que de-
20
20
20
20
20
2
L
3
temos o periodo
e o nao
p ois da virgula
'
'
- perio
' d o.
...
o , 66666...-~
REPRESENTAÇXO DAS
No
pet·l.ndo
exempl 0 Vi t
o
,
ter
sempre
s o acima
num ero 6 vai s e
co
quantos , • Pod eríamos
ntinuar
a divisão e
Vai se
num eras 6 qui zéss e
r. ,
r epetind sempr e chama - se
mos .
~ss e número
l.Odic a .
O
período da d'izima
.
Se Ja
· ago
o
d
tr
fraçã o r inária ra
47
ansformar em fração
9õ
DÍZIMAS
PERIÓDICAS
a) Repetindo-s e várias vê ze s o
r e-
periodo
( ge-
ralmente tr ês v êzes) e coloc ando - se reticên cias.
ob-
b) Co locando - se um ponto sôbre o período.
que
pe-
e) Co loc ando - s e um peque no traço sôbre o pe -
riodo.
decimal
Seja a dí zima p eriódic a 0 , 7888 •••
a
A primeira maneira de representá-la é a vi s ta a ci· ma •
As outras se riam:
·
O , 78°
ou
o .
O , 715"
=
:·'õõ?
60
HUGO LUC IANO DOTTORI
§?!!>
FRAçõ
-- - -~S
cas
dízima.
Dadas as seguintes
d { zima s pe .•
a) 0,777...
r io dicas: .
•.
b) 0,888
0,8777.
e) O •••
e ) O' 171 717 • .•
9134 134134
.
••
g) o 4
•••
555
i ) o,565656..
. '
•••
h ) 0,0444
l Q)
J) 0,67454545...
• ••
.
Diz e r se são
simpl es ou c ompostas
2 Q) Dizer qual e
o p er.iodo e o não p er.iodo.
.
RESPOSTAS :
EX~RESSÕES ARITMÉTICAS
-
-61
Essa fração que dá orige m a dizimas periÓÚ-
geratriz.
c hama- se f raçao
-
EXERCÍCIOS
d)
f ) O ' 4 5454 5 .
E
-----~
p e riodica
simples:
a) D izima
< .
•
A fraç ão ordinária qu e dá origem a uma dizima
P e rió d·ica simpl e s é obtida da seguint e forma:
O numerador da fração ordinária será o perío-
zima p c riodica. O d enominador da fração ordido da di .
•
armado por tantos noves quantos for em os
nár ia
·
será f
alga rismos
.
dê ste p eríodo.
Seja calcula r as frações geratrizes d e :
Da a) a, e )• D'
a) periodo
,
· 7 i z ima s p eriod
. i cas
.
b)
.
s imples .
p er io d o 8
e ) P eriodo 17
e) p eriodo 134 d) p e r i odo 45
Da f) a, j): D' .
f)
izimas
p eríodo 7
periódicas COml_Jos tas .
g)
' nao p
,
p e ríodo 5, eriodo 8 .
h)
nao p
,
p eríodo 4
er iodo 4
i )
• não p
,
•
p er í odo 56
eriodo O .
j)
• não p er io d o o.
p er iodo 45, n ão
p eríodo 67 .
a) O, 888 .••
C! '-' ••f. l
'1
o,888 .•• =· -}
': } •.
( :>
b) 0,171717 •••
17_
0,171717··· =
99
(
·.
( :-1
b) Dizima p er iódica composta:
Coloca -s e no nume r a dor d a fração ordinária o
não periodo acompanha do do p eriodo e do número obtido
CÁLCULO DA F'HAÇ UMA DÍZIMA AO ., G8 1,(ATJUZ DE
PLHIOUlCA
Suponhamo s
que dada
ramos sab er qual foi a fra ção uma dizima peri. odi
• ca qu='-qu e d e u
.
-.co rigem àque la
subtrai-s e
não per fodo.
0
No d enomitiador
coloca· - se
tantos noves quantos forem os algaris mos do
p e r:l.odo •
acompanhados d e tantos zeros quantos for em os algaris-
mos d o nao
,
p eriodo.
-
o3
...
HUGO LUC IANO D0T'I'..) P.:;:
Se·Ja calcular
as fra ço- e s g e ratr ·
a) 0,7888
i zes d e :
...
0,7888 ...
b)
0 , 0777 • • .
0,0777 ..•
OPERAÇÕES CONTENDO FRAÇÃO DECIMAL
E FRAÇÃO ORDINÁRIA
78
9
==
- 7o
71
90
==
Uma r egra que pode ser aplicada em
casos
==
Reduz-se tudo a fração ordinária para depois
07 - o
9
o
==
==
se e f etuar as ope raçõ es.
7
90
Seja, por exemplo:
=
0,5 + 3
EXERCÍCIOS
Calcular
as fraçperiÓdicas .•
oes geratrizes das seguintes
015
=
05
lO
1
=
2
Teremos então:
a)
e)
0,444
0 , 388~ ..
e) O ,0444 .
g)
b) 0,161616
d) o' 5666
....•
.
..
0,0272;~; ••
RESPOSTAS: a) i_
9
e)
2
45'
b)
f)
os
é a s eguinte:
1
dizimas
todos
0,5
1
+
3
1
+ -3
l
=2
f) 0, 2 373737 ..•
h) 0,3444 ...
16
99""
47
l9F
e)
g)
1E""
7
d)
17
30
-l_
110
h)
_g_
EXERCÍCIOS
Efetuar as op erações:
90
a)
l
+ -;:: · =
::>
0,7
e) 0 9 333• • •
e)
1
3
1-
3
X
O , 666.
·4 ::
.•
=
b)
2l - 0 ,3 =
d)
.l:-
~ o . 444 ...
!j-
f) -
2
5
- O,l ==
=
64
g)
+X 0,3°b =
i) 0.,55.5 • •• + -
1
=
3
X 5
9 =
1) 0 , 3
t
0;4
r)
0,2666 • • •
t)
2
X
1:5"
...L
- o,4 =
10
"
3
0,4
u)
=
=
2
a)
9
b)
10
...!..
5
3
f) 10
e) l
.) 8
l.
9
')
J
4
n) 1 -
3
lã
4 - 0,2 =
.
5
- 0,36
6
EXERCÍCIO S
=
-
1
de gr andeza
1) Colocar em ordem
lo =
~ ~ 0,777 ••• =
o) 2Q'
r) l
s) -
1
5
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
•
,
g)
l)
41
3
li
+
11
9
D ev
c)
d
p) -
t)
frações:
2
7
.l.:
9
d)
9
16
q)
=
4
lÕ
=
52
0,2; b'
1 .
a)
7
1) a )
1
1
<
0
,
2
<
3
6
2) a)
~
3
15
u) l
ORDINÁRIAS E DECIMAIS
b) O, 3 .' -5'
o ,6 j -32 , o,4
l
2
4
2
3
frações:
h) 1
m)
b ) - 1 ,. O, 7 ;
1, 1
crescen t e as
1
4
d ecrescent e a s
d
e
za
de gran
2) Colocar cm ord em
emas r e uzir
ordi.nari.a
· tudo a fraçao
. , •
para
d epois comparar. Seja colocar em ordem d e grand e za
cr es c ent e as fraçõ e s•. o 4 2
l
' ; 3 e 2:
o, 4
3
o,4< ..!-<
2
,
entao :
Conclui.mos
a)
RESPOSTAS:
2 O . - 15
-30'
30
30 '
12 .
=
s) 0 , 2999 •• •
0,2 =
X
j)
q)
+ 11
8
9
0 , 888 • • •
o)
=
p)
..
h)
m) 2
·n) O, 777 • • • +
1
HUGO LUCIANO ~__![1_9_Bl
--- - - --
··- - ._ --
65
!]AÇÕES E EXPRE SSÕES ARITMÉTICAS
o,9
~ o,4
6
"""'º'
/
/
que
do f r aço es
volV'en
É pr e stõ e s e_n
ivi daS·
Ex1. st em ain
. da que de s erem r eso · oc:i.n:i.
' ·o e a os
1
, rio r ac1 are pr es en11~ o t em
~ uma mane ira g era a ao proP
casa•
mos
Ciso que 0 l e itor r e corr
Em ª 1guns
casos d ev e
·ridOS•
tros
conhecime ntos adqu1
·to• Nou
nhecidª•
·a
mu1
ão
co
tação gráfica auxil1
operaç
a1guraa
fazer analogia com
Ex e mplo:
66
HUGO LUCIANO DOT'.IO R_!
Qu e alt eração sofr e o valor d e uma fração,
q uando s e multiplica o
nume rador d e s ta fraçao por 5?
Seja, por exemplo, a fração
plicar o seu numerador por
.l.
5 e o seu 2
Vamos multi-
denominador
P or
67
!]AÇÕES E EXPRESSÕES AR I TMÉTICAS
f ra ção sofr e
d eno e a lt e ra o nume rador, a
e alt era o
~ € r a ç a o q u e ê st e . Quando s
a me s ma alt
, xa tament e
e
e
q
ue
minador, a fraçao sofr e uma alt eraçao
denomi· nador ·
o contrário do que foi feito com 0
Quand o
S
1 (o que não altera o denominador):
Exemplos:
1 X 5
2
X
l
o valor do
Quando s e aumenta
5
=2
que foi f e ito e, a me sma coisa qu e mul t•p1i1
car a f
l
5 •
raçao
2 por T ·
Façamos agora a me sma coisa com a fração
2
X
5
X
l
1-
2
3·
=3
-f-.
va -
Quando se aumenta
o valor d o
deno minador,
o
valor da fração diminui·
,
uando a
é
acima so funciona q enuncia da
a
lt
er
a
ça
o
A r e gra
alt eraçao e esta
f
única
r a çao sofr e uma
d·visão, um aumen to ou uma di-
uma i do denoll11. na dor.
tuna multiplicaçao,
.
_
dor
ou
~1nuiçao do numera
10
O que foi feito
car a fraçã o
por
0
lor da fração aumenta.
o
3
numerador,
é a mesma coisa que multipli-
EXERCÍCIOS
Podemos então concluir qu e quando s e multi1
P ica o numerador de uma fração por 5, a fração
f ica
mul tiplicada por 5.
2?
Entr et a nto, o qu e foi f e ito acima não pod e
ser considerado r e gra para a r esolução d e exercicios
dês te tipo. D
'
ao
soment
e
um
ex
emplo
para
mostrar
emos
l eitor d e qu
·
e maneira s e d e ve r a ciocinar n e st e caso.
a se g uinteUma
: r egra q u e nos a uxilia e m a lguns
caso s
,
e
5?
d e uma fração:
valor
por
- sofre o
numerador
alt eraçao
. a o s eu
Que
t'plic
m.ul 1
a) Quando s e
por 3?
numer a dor
o s eu
omina dor por
s e d·vide
b) Quando
J.
seu d en
·ca 0
tiplJ.
l
s e rnu
e) Qua ndo
por 3?
i nador
d
eno.rn
o seu
')
s e divid e
r ador ·
Qua
ndo
d)
num
e
. o s eu
diIDinU1
se
e ) Quando
•
e
HUGO LUCIANO DOT'.IDRI
f) Quando se diminui o seu denominador?
g) Quando se multiplica o seu numerador
2 e o d enominador por 3?
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
por
h) Quando se divide o seu numerador por 3
o denominador por 2?
e
o estu· vidiremos
di , ticas e m diversos
Pa r a m e lhor ap rendizado
aritme
do da resolução das expr essoes
casos .
RESPOSTAS:
a) Fica multiplicado por 2 .
e su b trações
contendo adiçoes
A) Expressões
b) Fica dividido por 3.
Seja a expressão:
c) Fica dividido por 5.
d) Fica
multiplicado por 3.
e) Diminui.
15 - 6
f) Aumenta.
g) Fica
multiplicado por
h) Fica multiplicado por
2
3·
(Dividido por
y·
(Dividido por
i)
2
l)
2
+
43 - 29
==
~
.
ou seja.
encia'
f
e:x:is t e Pre er
primei·ro luNe ste caso nao - que estiver em
rioperaça o
10, em fazer P
faz-se primeiro
por exemp
tôdas as
ensar
,
.
se
fazer
gar. Não se deve P
ra depois
pa
Ineiro t9das as adiçoes,
ª
subtrações .
Iniciemos
a resolução
- acima.
da expressa o
15 - 6 -- 9
Q
6'
No 1ugar d e 15 tão:
1
9
+
escr eve-se ,,.
Teremos en-
43 - 29 ==
.
fa z- se
s e Jª•
a regra, ou
novamente
Apl1· ca-se
·meirº•
arece pr1
ap
u
e
:Primeiro o q
----=--
70
HUGO LUCIANO DOTTORI
9
+
43
tEA9ôES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
= 52
g) 2 +
Escrevendo-se 52 no lugar de 9 +
h) 8 - 2 -
43 ' teremos:
8 - 13 + 37 - 16 - 8
= 14 - 13 + 37 - 16 - 8 =
= l + 37 - 16 - 8 =
= 38 - 16 - 8 =
= 22 - 8 =
=
=
14
3+9-5-l=
0 ,27 =
Seja agora resolver a expressão:
+
=
4 - 5
+
o,o 8 i) 0,5 - o, 3 +
o 05
- 0,7 - f
j ) o, 32 + o,48
52 - 29 = 23
6
17 - 18
1
1)
21 - - 3
m)
T
n)
b5 -
1
+
+
87 -
11 =
1.2
4-
=
'+
1
o)
~ESPOSTAS:
1
7
a)
f)
A regra enunciada acima vale também para as
expressões fracionárias.
+
5
12- 3
4
3
+
21 --
-
k=
2
5
g)
o
h)
e)
5
d)
e) 10
b)
i) 0.,01
6
1
Ill)
1) 1 2
j) 0,05
o)
1
3
14"
5
=
3
n)
-s-
9
.:L12
o.
tendo
õ es con
B) Express
- S•
EXERCÍCIOS
b) 5 - 4 + 6 - 2
c) 7 + 6 - 12 + 9
d) 1
e)
f)
2
+
3 - 13
+
d
=
=
l =
16 - 7 + 18 _ 19 +
14 + 13 - 22 + 4 - 6
=
tôda~
as 111u
5
. recetn'
Cações que apa
·
=
4 - 1
. 11· caçoe
it1p
. rneiro
f etuar
e pr1
se e
fazidª
Neste c aso para e lll segu
rn
caso A·
mu
Resolver as seguintes expressoes:
a) 4 - 2 + 3 =
1tiP
0
,. do co
cor
8
- s de
- •
"' ço~ es e subtraçoe
....
expre ssaO·
Seja r eso 1ver a
5
+ 6
JC
2
- 8
+
3
X
6
:=
i·
1-
as a -
72
HUGO LUCIANO DOT'!ORJ
73
!_RAÇÕES E EXPRESSÕES ARIT MÉTICAS
Façamos primeiro tÔdas as multiplicaçõ es que
aparecem.
6
X
2
= 12.
7
X
4
e) 42
- 5
X
8 + 7
17 - 4
X
4
d)
A expressão fica então:
e) 2
5
3
+ 12 -
X
6
8
3
+
X
6
=
f)
5
16 X
=
Que é resolvida agora de acÔrdo com
gras e nunciadas no cas o A.
5
=
+ 12
8 + 18
17 - 8 + 18
as
5
X 3 -
·- 9 + 18
3
n)
-5 -
5
_2_
X
4
RESPOSTAS :
X
1
3
a) 2
17 - 5
X
3 =
sões.
0 , 01 ==
4,1 -
2
5
X
-
b -
.!±...
5
3
J._ -
-
1
1 X7
~+-z+
1'+
9
f)
o
í6
m)
l )
s õ es
38
o
X
5
+
9
h)
o
3
5
==
-/s-
3
e)
==
O
o
_l..
15
l
4-
X -'1r ==
X
g)
3
1f
X -
b) 1
C) Expres
a)
+
X 2 , 5 ==
4
'
=
4
X
1
3
'+
7
X
X
0
4
t
3
EXERCÍCIOS
Resolver as expressões:
0 1
1
3 + ~
-
m)
=
X
1
2
76
l, 2 -
1,4 -
X
=
= 27
X
0 ,5
+
2
o)
2+4x5==
2 +
8
l) ];_ - .)_4
=
=
X 2 ==
3 + 17 - 9
+
J• ) 0,3
r e-
X
4
i ) 0,7
5 + 12 - 8 + 18
=
3
X
14 - 3 X
h ) 17 -
A expr essão fic a então:
+ 2
=
12 - 2 X 4 + 5 X 3
X
g) 2
= 18.
=
29
b)
d)
7
i) o,3
2
n) ~
cont en d o as
==
e) 31
j) o
o) O
q uatro
operações ·
7.2
HUGO LUCIANO DOTTORI
1
Depois f az-se as somas e
subtrações .
~ÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
•m
e l e mbrar também que se ti vermos,
É important
.
.
segu·d
1 a:
Seja a expressão•
8
+
16 "' 4 - 5
+ 4 X 3 - 9 =
Resol
mente as multipl·icaçoes
as divisoes:
· vamos inicial
.
-
X
3
Duas di visÕ es
e
Uinte
=4
16 .. 4
4
Uma multiplicação e uma divisão
multiplicaçao
Uma div1.· sa-o e uma
-
g
= 12
regra!
me iro
+
Fazer primeiro a opera çao que
estiver em p&
lugar.
Tere mos entao:
8
O mais aconse lha'vel e' que se emprega e a s e -
Seja r e solver as expressões:
16 .. 4 - 5
4
+
X
3
=8+4
a)
-9=
3 - 7
=
5 ~ 10 + 3
=
18 "' 6
X
- 5 + 4 X 3
=8
+ 4
- 9
- 5 + 12 - 9
=
=
=9-7=2
Como
subtraçõ e
a expressã
gras enuncs,· podemos resol
o tem
ago ra sÕmente
•
i.adas no • t
ve-la
de
..
adições e
l. em A ~
acordo com as re-
8 + 4 - 5 + 12
- 9
= 12 - 5 + 12
= 7 + 12 - 9
= 19
- 9
= 10
- 9
=
=
b)
4
= 20
X
"' 10 + 3 =
:2+3=5
=
6
.
EXíste
uma
e ja!Xl f eit a s
r e gra que mand• q u e depois
s e j alll
ialmente tôdas a s d i vi s õ es para que
1nic·
f e i t as as
,
76
HUGO LUC IANO DOTTOfil
sos, apar e cer números decimais.
Devido a is t
0
tE_AçxJES E EXPRESSÕES AR ITMÉTICAS
não ag)
f ) 2
1
chamas aconselhável o emprêgo desta regra.
m)
l) 12
Resolver as seguintes expressões:
+ 6
e) 11 + 3 X 4
d)
16
.... 4
e ) 3 + 30 .;. 2
-
X
X
3
"'" 8 + 43 - 9
h) 9 - 12
i)
o,04
X
3 - 5
X
18 ...
6
~
m)
.L.
5
X
5
37.
3
.;.
X
10
=
0,1
=
dentro
n) 2
..l..
3
x
L
5
+
..l..
+
2
l
4-
e nunciadas nos
=
l
1
l
-lz-x3+5x l
o) 3
RESPOSTAS: a ) 5
2
X
1
b)
l
l
~ + -5
3
..
e) O
1
15
que
l
l
T
2
d) 2
3
8 =
X+ e)
1
1
10
15
::
d OS
Par en
está
t esiS
)
B) • C •
't
e
ns
A);
'
1
,
~ nt e siS
sO
5
do den. . nados q u.an
ão eliznJ.
par e
núme ro•
. na e xpr
'
• CO
~ t e SJ.
m uni
aren
tro dêlc s houv e r u
alguzn P
d êl e •
ouver
.8 fora
h
d) Enqua nto
do que e st e J
a da
são não se e f e tua n
ão:
expr ess
a
solv er
2 ==
Seja r e
3) - 18 x
c) Os
=
l
2
1
~
b ) D entro
3
l
l
3
l
3 Xi;--i;-+5+5-2=
-
tiPº de
r egras
=
5 - 2 ,4
X
par ênt e-
cont endo
estu
seguintes
as
P e lo menos no
t nte
e xpressão é muito 1· mpor a
' t e gra.
Se jam obedecidas na in
::
=
1
2
+ 0,2 + 0,5 - 6,7
0, 3
14
do d ê ste
3 =
3 .;. 18 + 4 X 3
j) 2 + 0,04 - 49 +
l)
i
15
, · cas
. tmeti
Expr
e
ssõ
e
s
ar1
D)
1 =
f) 20 + 10 + 2
+ 4 X 3 .;. 6
g) 32
n)
o)
30 .;. 3 - 13 =
2 + 3
X
.;. 2
9
lo
9
j) O,l
quatro operaçõ e s.
a) 13 - 5 X 2
+ 18 .;. 9 =
5
h)
o,o3
r ef erirn:t>S
que nos
~ as
e nte sempre ,
contem
Daqui para a fr
. ndo as que
ref
eri
a expressõ e s e star emo s n Os
EXERCÍCIOS
b) 21 - 4 X
o
i)
43 - 2
(17 -
5 "
:X:
:: 43 - 2
X
(17 -
15) -
1
8
X
es -
2 ::
'
'
-
79
78
HUGO LUC ! ANO DOTTOfil_
Na expr e ssão acima os parên t esis
f oram
!BAÇÕES E EXPRESSÕES ARI TMÉTICAS
con-
EXERCiCIOS
servados, porque haviam 2 números dentro dêle (haviam
ainda dentro dos parentesis os números l7 e l5).
Resolver as e xpr
17 - 15 = 2
3
X
b)
5
+ 2 X
Se es crevêssemos a expressao da seguinte maneíra:
14 - 4
a)
(
e ) 13 - 4
43 -
18
2 X (2) -
X 2
Estariamas escrevendo coisas a mais qu e o necessário. Den t ro d os par ent
~
,
'
e sis restou um unice
numero, o que nos permite eliminá-los.
f)
g)
X
2 - 18
X
h)
E, agora pod emos resolver a expressão obtida'
e):
43 - 2 X 2 -
= 43
= 43
= 39
4
18
18
X
4 - 36 =
- 36
=3
X
2
2 :
=
3 ) ::
4)
X
+ 3 _ 6
l8
( 19 +
2
5) -
4 _ 3 x ( ll
B);
i )
5 ::
2)
( ]_2 .;. 6 + 3 X
( 120 - 500 +
X
2 ::
+
_ 5
X
2) +
- 16 + 4 ::
2 :
de acÔrdo com as regras enunciadas nos ltens A);
3
X
X
4
e) 2 X
Deveríamos ter escrito então:
43 - 2
5
7 -
X
3) ::
X
( 17 (23 - 5
:
d) 2
essões!
(27
+ 9
2) +
i
- 3
m) 2 n) 4
X
6
X
o)
RESPOS'.rAS: a ) G
]:_ + ( 5
2
(
]:_ X
5
l
( 12 - 3
b)
3
3 ) ::
X
+ 2 X 2) -
X
(6
X
5 -
+ 0,1 ::
::
8 + 0 , 0 l ) - 2,5
X
o,02 - o,l
l X .1..)
4
..!...xo- 2 · 2
2
l ::
6
(12 +
X (3 X 4 - 20 .;.
5 - 2
8
+ 3) - 5 X
::
- 51
2)
co ,47 - o,23 x
0 ,2 - 5
+
X
::
j) 1,3 X (0,4 +
1)
4)
X
l
_ o,25 + ~
41
i
+
_ o,5 ..
9
•
2 •
e)
1
X
0,25) ::
5
- -)
6
::
l
l
•
o,6) -
-r;
3
2
-
3"'9
l
+4
d) 1
X
2 ::
e)
8
81
. ICAS
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMET
80
HUGO LUCIANO DOT'IORI
f)
o
g)
j) 0, 1
1)
4
h)
+
Teremos então:
o
i) 0,25
m) 1
n) 1
o)
1
37-z
37 -
X
2 X (49 - 3
·- 37 -
2 X [49 - 42 +
= 37 -
2
X
f7
37 - 2
X
[8)
E) Expressões contendo parêntesis e colchet es
Devemos fazer inicialmente o que está dentro
dos parêntesis, obedecendo às regras
no
enunciadas
item D). Quando os parêntesis são eliminados, começase a resolver o que está dentro dos colchetes, obede cendo-se as mesmas regras enunciadas no item D). (Para sabermos quais são as regras que devemos usar, basta qu e se troque nas regras enunciadas no it em D,
palavra parêntesis pela palavra colchetes).
a
14
=
=
1)
+
1) =
+ 1) ..
=
colchetes
,
a necessidade que os
Não ha via agor
há sàmen te um nume·s dentro del es
fôssem escritos, poi
ro. Deveriamos ter escrito:
A
37 - 2
X
8
=
do com as regras
ora
da a cor
resolve ag
Que se
. C):
't
s
A)
;
B),
enun ciadas nos 1 en
A
Seja resolver a expressão:
37 -
2 X
(49 - 3
X
(4
+
5
X 2)
+
Resolveremos inicialmente o que
do s par êntesis. Teremos então:
37 -
2 X
(49 - 3
X
(4
+
5
X 2)
1)
=
está dentro
+
- 2 X
(49 - 3
X
(4 + 10) + 1) =
= 37
- 2
( 49 - 3
X
14
+
X
= 37 -
16
=
8
= 21
1) =
= 37
X
37 _ 2
1) =
Como o s parêntesis foram eliminados passamos
agora a resolver o que está dentro dos colchetes, obed e c endo sempre às regras J·a'
·
enunciadas.
EXERCÍCIOS
e xpressões:
Resolve r as
17 - 2
a ) 11 -
l
b) 26 -
( 21
- 5
X
X
)
( 45 - 5
(7
X
4
X
8)
=
_ 100 .. 4)·
+
14 )
=
83
--
HUGO LUCIANO DOTTORI
82
18 - (42
d) 27 _ 2 X
e)
2) )
X
8
-
49 - 6
"
- 7
(11 - 4 X
f)
17 - 5
- 4
2 - 1)
X 2) ]
(15 - 4
h) 27 - 2
X
(2
=
- 18 .;. 6
i ) 12
1)
j)
X 2
+
+
. m)
n)
3
l)
X
X
+ 1) - 1 :::
(7
X
=
3
3 - 11
X
X
X
2)
1) -
11 )
2
o,3
'
1
b) )
o) 2 - 0,5
+
X
+ 1
3
X
(1
- 1,2
X
3
=
- 0,2
X
6
n)
1-209
j) 3
o)
+
cont endo
1
Temos sÕment e que ob ed ecer à s eguint e or-
d e alguma.
.;.
5
?
-
+
~· ~ ~
.l
5x(2
1
29)
o
·
fora
dêle• A
ntesis não se faz nada do que este Jª
X
2) -
, 2 .;. 0,06 - 18 ) +
o
dos pa r ê ntesis·
dentro
que es tá
colchetes .
doS
d
e
ntro
que e stá
das chav es.
d
e
ntro
que e stá
De vemos l embrar a inda que enquanto houver pa-
rê
(t
l Q)
3º ) o
1) +
mesma coisa se pod e dizer em r elação aos colchetes e
..
as
c hav es~
21 - {2 + 2
+
X
(30 - ( 27 - 4
. . .
.l
4 .;. 5 =
.;. (3 -
i)
se conheça b em tudo o que foi visto at é aqui· Não a pr esenta ê st e t ipo de expressão pràticame nte , no vida-
)
2 • 8
=
+
(2
h ) 10
4
e)
Para a resolução d estas expressões basta que
d em~
3 - 10 0
X
( 12
- 7
.;. (2,4
4)
0
3
F) Expr e ssõ e s aritméticas
+ (13 - (20 -
(1, 2 - 0 ,22 .;. (2,6 - 1 2
- 0,2 X 0,4 =
t
- 11
1
+
X
6
d)
m) O
1 ) 0,17
X
- o,o5)
o' 6 + 12
+
2
X
( 12
X
(35 - 17
X
5 + 2
2 0 .;. )
1 ) 0,4 -
3
g)
e) 14
par ê nte-
13 - 6
+
( 143 - 70
+
16 .;. 4
29 - 5
)
X
- {27 - 5
9
4
+
"
X
4
f) 3
6
sis, colchet e s e chaves.
(14 - (3
X
19 - 3
g)
1=
Y
b)
a)
(1 l - 2 '/ • 9) + (3 + 4
X
(20 - 60 • 6
X
RESPOSTAS:
6j ::
12 .;.
+
T
e) 2 X ( 71
X
60 • 4 )
X (20 -
(
[RAÇÕES E EX PRESSÕES ARITMÉTICAS
X
t
2 ) )-1} "
que está dentro
vamos resolver in1c1a1men e o
,
dos pa r ênt esis e dos co 1che t "s ' ob ede cendo a r egras j •
X
096' + 2 l
Lt
X
vistas.
21 - { 2
+
2 "
(3º -
(27 - 4 x 2l)-10} "
85
HUGO LUCIANO DOT'IDRI
84
= 21 -
{2 +2
(30 - (27 - 8))
X
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
=
-10}
g ) 0,4 -
l 0,2
+ 0.5
X
- 0,5 X 4) - 0,1)}
21 · - {2 + 2
=
=
-
21
(30 - 19) - 10}
X
=
h)
(2 + 2
=
11 - 10}
X
~
+
+
t
2 + 3
_2_)
10 .
+1
1
9
+
à eliminação das chaves, da mesma forma
RESPOSTAS:
que os parêntesis e colchetes foram eliminados:
= 21
{2 + 22 -
= 21
{24
= 21
4 =
14
9
a)
f)
10} =
d)
+ { 12 -
d
fatôres iguais.
e
2 X 2 X 2
( 22 - ( 6
=
5 - 10 ) ) )
X
X
,
to e uma
~
(5
{ 13 X {
7
d) 2
X {
29 - 9
+
2}
=
e) 2
4 X
0 2 x8+
(31 -
4
X
(
(11
\
l8 - 2
l2X3
+ 120 .. 30 ) } +
-&.
X
{
18
6
X
4-
(
-
(20
9
4-
(
5 n}
36
4-
3
4 + 2
13 - 5
- {5 - 24
2} =
=
4-
X
( 22
JC
10) -
l)) :::
X 2)
+ 1
2 )) }
=
4-
11 +
J
+
•
2 :::
potência
de
êste produ
. ta pot ê ncia.
Dizemos qu e
2. elevado à qu1n
. s a me nt e '
do ba s e e o
2 , ou mais Pr e ci
, ro 2 e' chama
5
ond e o nume
Escr e v e -se 2
'
e xpo e nt e .
, o número qu e
nume ro 5 e, cha ma d o
qual e
· a indica
e indica
d
pot e nc1
A ba se a
. mesmo• O expo ent
. lica çã o.
d 0 Por si
mult1P
vai s er mu l tipliCª ,
apar e ce na
nume ro
quantas vê ze s esse
A
lO - 2
e) 10
7
Resolve r a s expre ssõ es :
C)
8
p0T~NCIA
EXERCÍCIOS
b) 3 0
+
h) 1
o
Seja o produto 2 x
4
....
io) =
É um produto
a)
'+
o
c)
b) 21
g)
+. ~ 4-)
o
:::
Uma vez eliminados os parêntesis e colchetes
vamos proceder
(2,3 -
X
0,1:::
1
(-5 .;. (3
X
3
(1,2 -
A
Ex e mplos:
=3
34
7
X
7
x 3 x 3 x 3
3
X
7 ::: 7
87
HUGO LUCIANO DOTTORI
86
Se tivermos uma expressao qualqu er elevada a
FRAÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
poente da potêncj a .
uma potência, devemos inicialmente r eso lver a expressa.o
para depois elevá-la à potência.
23
=2
X
2
X
2
=8
Se ja, por exemplo:
(21 - 6
X
3)
2
=
,
de casas
numero
(21 - 18)
2
=
3
X
3
=9
Multiplica-se 0
da potência.
base pelo expoente
. da base
decima1s
Número de casas
Expoente da P
POTÊNCIA DE FRAÇÕES
2
X
3 = 6
ot ência
(número
decimais
da
= 2.
= 3.
de casas
decimais do resul-
tado)
Seja, por exemplo:
, então o número
O resultado sera
Teremos:
8, escrito com
6 casas decimais:
•
Quando se quer elevar uma fração ordinária a
(o,02)
uma potência, eleva-se o numerador e o d enominador da
fração e esta potência.
Seja agora elevar (0,02)3
Uma das maneiras de se fazer isto
.
seria:
3
(0,0 2 ) = 0,0 2
X
0,02 X 0,02 = 0,000 008
Existe, entretanto, uma regra que pod e ou não
ser usada, dependendo da opinião
do leitor. É-nos p ermitido escolher 0 que . 1
JU garmos mais fácil.
Seja a
mesma potência (0,02)3.
Eleva-se a
t
par e significativa da base ao ex-
3 =
•
0 , 000 oo.8
à unidade
é igual
a
si
, mero elevado
Todo nu
mesmo.
Exemplo:
) el evado
te de zero '
(diferen
número
Qualquer,
igual a 1.
0
ao expo e nte z ero e
co,6)
Exemplo:
=1
=1
~=
§_8
HUGO LUCIANO DOT'IOB_l
~AÇÕES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
Seja r esolver a expressão:
EXERCÍCIOS
3
18 - 2
Resolver:
a)
62
==
i) (1 J:...)2
3
j)
(37
17
d) (42
8
2)3 ::
X
X
5)4 ::
g)
h)
•
RESPOSTAS:
<-i-)2
::
(~)3
5
::
<-})4
a)
f)
1)
o)
::
::
36
-fb
3 3
8
0,0144
~
64
g)
2t_
m)
125
º·ººº
2
=
(0,7)
o)
(0,12)::::
2 ) + 13 ::
p)
(0,3) 3 ::::
d)
h)
i) l
1
lb
n)
4
16
X
2
X
2
=8
33
=3
X
3
X
3
= 27
32
=
3
X
3 = 9
13
=
l
X
1 X 1
X
( 17 + 27
::::
1
~
2
9 - 9
X
) + l ::::
r esolvida de acôrdo com o
::::
Que pode agora ser
e)
16
que vtmos anterio rmente.
18 - 8 X (i7
.2. j)5fb
9
° potencias.
A
+
~
27
9 - 9
-
9
X
== 18
8
X
(17 + 3
::::
18
8
X
(17 + 3
==
18
8
X
(20
-
18) + 1
::::
18
8
X
2
1
::::
=
18
q) 0,0016
Ordem:
30 As somas
=2
18 - 8
o,49
G) Expres s o- es
aritmét·i c as cont
en d
lQ As potê
.
.. ncias
20 As multi Pl1caço.
23
como segue:
então
inicial fica
A expressão
::::
2
e) 27
001
p) 0,027
3
n)
q) (0,2)
b)
=
)3
(0,01)
m)
=
(2 +)2
1) (1
e) (22 ~
11 + 30 ~ 10)2
f)
X
potências:
tÔdaS as
primeiro
Besolve-s e
b) 43 ::
e)
+ 33 ..,• 9 - 32
(17
X
-
16
+
+
1 = 2
X
2) + 1
18) + 1
+
2) + l ::
::::
::::
::::
1 == 3
Se e ntretanto tivermos uma expressao elevada
a uma potência, como no seguinte exemplo:
es e divisõ es
e subtra çoes
'l
90
HUGO LUCIANO DOT'.IúR_l
14 - 2
X
(32 - 6
FRAÇÕES
5)2
X
h)
Devemos inicialmente resolve r a expressao
- que
está elevada a' potencia:
~
= (32
(32 - 6 X 5)2
- 30)2
(3 + 24 + 8)
2
-
(6
(23 -
j) 12
(18 - (19 - 5
- 5
X
ª
X
X
=
3
14 - 8 = 6
RESPOSTAS:
b) 1
a) l
f) 11
expressões:
X
b)
32
c)
(23
:X:
2 -
23) =
e) 3
X
42
(2 4
3 - 13 ::
m)
(9 - 5)
2
-
/J
2
0,011)
X
10
=
=
t) 2 ) . . 3
l
=
5
2
3)
X
(15 - 20 + 2
3
- l5 + 3 - 2 )
+
10 - 4 2 :
- l) + 2
B-
2
2
X
- 15
+
( 16
e)
h)
d)
8
o
e) 3
26
j)
i) 4
n)
1
9
o
o) l
+
-3
8 =
X
expressao:
3) 2 - 47
2
-
X
X 5 + 4
4 - 20 + 2
=
Resol ve-se o que e stá acima e o que está e mNo final divide-se os resultado s ob·,co do traço.
bª~
Teremos enta- o:
t:i.dOS •
=
3
-
agora a
27 - 5
X
+
.2-.
3
seja
f) 2 X (32 + 8 _ 2 )2 +
3
g)
creve r
+ 2
34 .;. 27
d) (33 - 42
2
ora que, como já foi di1ernbrar a g
Devemos re
indicada por um traço ~
d
e
ser
po
repres entar 9 .,. 3 podemos es-
EXERCÍCIOS
24 + 8 + 22
3
0,03
g)
1) 1
a)
l )
=
4
Resolver as
3
c..!.)2
22 ::
X
+
=
(0,2)
(1
= 14 - · 2
2
=
7
expressão ·
inicial fica como segue:
14 - 2
2
X
11 X 2
=
.,,. 2)3 - 42 =
10 ~
3
2 + ( 2 4 ... 8 + l ) -
i) 47
= 22
3
1) (0,3)3 ... 0,0027 - 9
E
91
E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
=
..
HUGO LUCIANO DOT'IOR_l
92
27
3
X
-45 X 205
+
-
h)
4
=
+ 2
1-1
27 - 25
=
12
+
4
20 + 2
2
6
+ 4
= 12
= 3
10 =2
-
-
2
-
b)
2
<3)
m) -
=
1
=
2
0,333 • ••
0,5 +
g)
- o ,222 •••
l
3
+
-g-)
X
2
3
- ci 2l. - a)=
q)
3].
-
5 ... 5) -
l (3
+(1
4 -
.
2
2
•
+
X
(
1 )2 =
2
(
X
7
1
2
21
X
1)
3
1
+ 2 2 + 5))
7
- 15
f) - cct if) -i-J
+
~
)
2
+
l
~)
1
+
-
5
3
1
lQ
0,222. ·•• + 3
1
X
1
31
+
2
3
1
T
-02- -
'
X
=
2
15
(0,2 +
1
2
X
2
1
2
.
+ 0,7)
____
-------~------------1------___;;;;_
0,555 .• •
0,5
)
l2
5 -
•
+ (
0,5
04--
0,1
=
41
1 -
3) -
,
1
(
X
n)
p)
1
~)
+
21 - 32
1
3
{2)
<2 - 3
9 ...
X
-
)
1 )
o)
("'2"
~
.
... 9
3" <3
f)
+
(1
+
1
1-
(2
2
b
1
15)=
5
33 - 6 X 5 + 7
25 - 5 X 4
1
e)
2 -
6 - 29 =
2+3
5
+) ((~
+
1)
Resolver as expressões:
X
+
=
3 )2
<i5
<t-)2
+
(~
Cif
EXERCÍCIOS
X
T
l
<+)3
47 ..:. ·9
+ _l )
( - ]_
i) -~3'--___ 2_-=----"3'--_
3
j)
a)
93
FRAÇÔES E EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
X
5
1
- Lt
1
b
=
---
-
•
i
-
~
HUGO LUCIANO DOTTORI
21
2
r)
X
1
C5
-
3
0 ,2
X lj:'"")
X
0,25
o ,3
X
l X ---)
l
(0,5 - ~
~------;:;:--------__;2=----~3~52 .;. 0, 111. ••
2
~ - 0,181818 •••
~
.
s)
?
2 - 0,5
X
0,6
o
t
2 .;. 21
X
2 21 + Q '777 • • •
(3 - 0,2666 ••• .;....!..) _
5
RESPOSTAS:
a) 2
f)
~
9
1) l
q)
7
b) 2
g) 1 5
b
m)
r)
1
10
l
12
e) l
d)
h) 2
i) 13
15
2
o)
21
n) 1
21
s)
4
2..
e) 2
.)
2
1
11
1
3
J
---
p)
l
5
TI:õ
patilografia e Desenhos de: Taniguchi
r esso p e la GRÁFICA EDITÔRA HAMBURG
1
R:~
vergueiro, 688 - Fo n e: 31-3512
s.ÃO PA UI.O - Capital
-
.l
1
,.
•
•
..
•
&
..
'.
•
..
•
..
..
