APOSTILA DO COMPONENTE (MATEMÁTICA) Professor(a): Allan Kardec Oliveira Benevente Serie: 2º ano Bimestre: 1º Bimestre Data: 10/05/2021 Conteúdo: PROPORCIONALIDADE: Grandezas direta e inversamente proporcionais. FUNÇÃO DO 1º GRAU (AFIM) Nº de atividades: Conteúdo 1: PROPORCIONALIDADE: Grandezas direta e inversamente proporcionais. Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Grandezas inversamente proporcionais São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é divida à metade. Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta. Exemplo 1 Exemplo 3 Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela: Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias? Grandezas diretamente proporcionais Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no intuito de encher o tanque. Exemplo 2 Para percorrer 300 km, um carro gastou 30 litros de combustível. Nas mesmas condições, quantos quilômetros o carro percorrerá com 60 litros? E com 120 litros? As duas grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, isto é comum no cotidiano. A utilização da regra de três nos casos envolvendo proporcionalidade direta e inversa é de extrema importância para a obtenção dos resultados. Conteúdo 2: FUNÇÃO DO 1º GRAU (AFIM) Exemplos de função do primeiro grau Uma função do primeiro grau é aquela cuja lei de formação pode ser escrita na seguinte forma: Os exemplos a seguir são de funções do primeiro grau. Isso significa que elas podem ser escritas na forma y = ax + b, ou já estão nessa forma. y = ax + b Na qual, a e b pertencem ao conjunto dos números reais, e a é diferente de zero. Esse tipo de função também é chamada de função afim. É importante relembrar os principais conceitos a respeito das funções em geral para compreender bem as funções do primeiro grau. O que é uma função? Uma função é uma regra matemática que relaciona cada elemento x, de um conjunto A, a um único elemento y, de um conjunto B. Os conjuntos A e B são conhecidos, respectivamente, como domínio e contradomínio. Já x e y são conhecidos, respectivamente, como variável independente e variável dependente, pois o valor de y sempre dependerá do valor de x. Assim, as funções do primeiro grau são regras que relacionam cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro cuja variável independente é uma potência de expoente 1. O grau de uma função sempre é dado pelo maior expoente da variável independente e, no caso das funções do primeiro grau, o maior expoente é 1. Mapa Mental: Gráfico de função do 1º Grau a) y = 2x + 9. Essa é uma função afim, ou do primeiro grau, em que a = 2 e b = 9. b) y = – x – 7. Embora o sinal de – 7 não seja positivo, essa também é uma função do primeiro grau, com a = – 1 e b = – 7. Para que não haja dúvidas, basta escrevê-la: y = (–1)x + (–7). c) f(x) = 0,2x. Essa é uma função afim, ou do primeiro grau, na qual a = 0,2 e b = 0. Observe que f(x) é outra notação para y, mas ambos representam a mesma coisa. A partir dos exemplos acima, lembre-se sempre: as funções do primeiro grau são aquelas em que a variável independente possui expoente máximo igual a 1. Exemplos de funções que não são do primeiro grau Para que não fiquem dúvidas, observe agora alguns exemplos de funções que não são do primeiro grau: a) y = 2x2. Essa função não é do primeiro grau porque a variável independente possui grau 2. Nesse caso, ela é uma função do segundo grau. b) y = 1/x. Essa função não é do primeiro grau porque y = 1/x também pode ser escrito como y = x-1 e esse (-1) não é o expoente correto para as funções do primeiro grau. Gráfico da função do primeiro grau Toda função do primeiro grau pode ser representada geometricamente por uma reta. Para construí-la, basta encontrar dois pares ordenados de pontos que pertencem a essa reta, colocá-los no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles. Tomando a função y = x – 3 como exemplo, o passo a passo da construção do gráfico de uma função do primeiro grau deve ser o seguinte: 1º Encontrar os pares ordenados Para encontrá-los, basta escolher dois valores quaisquer para a variável independente e descobrir seus correspondentes por meio da função. Para isso, escolhemos x = 1 e x = 2 e construímos a tabela a seguir: x y=x–3 Y Par ordenado (x,y) 1 y=1–3 =–2 – 2 (1, –2) 2 y=2–3 =0 – 1 (2, –1) A segunda coluna dessa tabela é preenchida com o valor de x substituído na função, a terceira com o valor final de y e a quarta com o par ordenado formado pelos valores de x e de y. 2º Colocar os pares ordenados no plano cartesiano e traçar a reta que os contém ANL – AC NOTA COMPONENTE: PROFESSOR (A): 3,5 ALUNO (A): VALOR DA ATIVIDADE: ATIVIDADE 1 A) 153. B) 460. C) 1218. D) 1380. E) 3066. QUESTÃO 1 (Vunesp) Para uma prova, 150 candidatos deveriam ser acomodados nas salas A, B, C e D de um colégio, com capacidade para receber 60, 50, 40 e 30 candidatos, respectivamente. A organização decidiu preencher inicialmente todos os lugares da sala menor, e os candidatos restantes foram repartidos entre as demais salas de forma diretamente proporcional à capacidade de cada uma. O número de lugares não ocupados na sala de maior capacidade foi igual a: A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 QUESTÃO 3 (Enem) Fontes alternativas Há um novo impulso para produzir combustível a partir de gordura animal. Em abril, a High Plains Bioenergy inaugurou uma biorrefinaria próxima a uma fábrica de processamento de carne suína em Guymon, Oklahoma. A refinaria converte a gordura do porco, juntamente com o óleo vegetal, em biodiesel. A expectativa da fábrica é transformar 14 milhões de quilogramas de banha em 112 milhões de litros de biodiesel. Revista Scientific American. Brasil, ago. 2009 adaptado). QUESTÃO 2 Considere que haja uma proporção direta entre a massa de banha transformada e o volume de biodiesel produzido. (Enem 2012) Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por período de uso dos jogos. Para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, a massa de banha necessária, em quilogramas, será de, aproximadamente, Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3 e que uma bicicleta custa 9200 tíquetes. Para uma criança que recebe 20 tíquetes por tempo de jogo, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é A) 6 milhões. B) 33 milhões. C) 78 milhões. D) 146 milhões. E) 384 milhões. QUESTÃO 4 (Enem) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. De acordo com as informações do gráfico, A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade. QUESTÃO 5 Os ângulos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 3, 7 e 15, então, podemos afirmar que o menor ângulo mede: A) 108º B) 50,4º C) 21,6º D) 42º E) 50,4º ANL – AC NOTA COMPONENETE: PROFESSOR (A): 3,5 ALUNO (A): VALOR DA ATIVIDADE: QUESTÃO 2 ATIVIDADE 2 QUESTÃO 1 (Enem 2018 – PPL) Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal). Encceja 2018) Uma prestadora de serviços cobra pela visita à residência do cliente e pelo tempo necessário para realizar o serviço na residência. O valor da visita é R$ 40 e o valor da hora para realização do serviço é R$ 20. Uma expressão que indica o valor a ser pago (P) em função das horas (h) necessárias à execução do serviço é: A) P = 40h B) P = 60h C) P = 20 + 40h D) P = 40 + 20h QUESTÃO 3 (Enem 2016) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo. A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é: Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora? A) 1 000 B) 1 250 C) 1 500 D) 2 000 E) 2 500 QUESTÃO 4 (UFSM) Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, que é denominada bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distância percorrida. Se o preço da bandeirada é de R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a distância percorrida pelo passageiro que pagou R$ 19 para ir de sua casa ao shopping é de: A) 5 km B) 10 km C) 15 km D) 20 km E) 25 km QUESTÃO 5 Sobre o comportamento da função f(x) = 4x – 3, marque a alternativa correta: A) f(x) é crescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a 4. B) f(x) é decrescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a 4. C) f(x) é decrescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a -3. D) f(x) é crescente, pois seu coeficiente angular é negativo e igual a -3. E) f(x) é decrescente, pois o seu coeficiente linear é negativo e igual a -3. ANL – AC NOTA COMPONENETE: PROFESSOR (A): 3,0 ALUNO (A): VALOR DA ATIVIDADE: QUESTÃO 4 ATIVIDADE 3 (REVISÃO) QUESTÃO 1 Um automóvel faz 35 km com 5 litros de etanol. Realizando uma viagem de uma cidade para outra, com base nesse consumo, qual deve ser a quantidade de etanol necessária para percorrer 170 km? A) R$ 2 B) R$ 2,50 A) 28 litros B) 25 litros C) 20 litros D) 30 litros E) 18 litros C) R$ 3,60 D) R$ 4,40 QUESTÃO 2 Das relações entre as grandezas a seguir, identifique aquela que não é diretamente proporcional. A) Quantidade de funcionários e produtividade B) Distância percorrida e consumo do veículo C) Velocidade do automóvel e tempo para completar o percurso D) Valor pago pela verdura e peso QUESTÃO 3 Podemos afirmar que o zero da função f(x) = -2x + 5 é igual a: A) 2 B) 2,5 C) -2,5 D) -3 E) 3 O uso de aplicativos para realizar viagens é cada vez mais comum no cotidiano. Supõe-se que, para calcular o valor da viagem em um aplicativo, há um valor fixo mais um total de R$ 1,40 por quilômetros rodado. Sabendo que um cliente pagou R$ 15,60 ao final da viagem, a quantidade de quilômetros rodados foi de 8 km, então o valor fixo da viagem foi de: E) R$ 5 ESCOLA ALCIMAR NUNES LEITÃO ALUNO: Nº.: SÉRIE: 2º ANO TURMA: C DISCIPLINA: MATEMÁTICA PROFESSOR: ALLAN KARDEC OLIVEIRA BENEVENTE ETAPA: 1º BIMESTRE DATA: / /2021 __________ NOTA INSTRUÇÕES: 1. LEIA ATENTAMENTE AS QUESTÕES; 2. USE SOMENTE CANETA ESFEROGRÁFICA COM TINTA AZUL OU PRETA; 3. NÃO SE ESQUEÇA DE ASSINAR A PROVA E MARCAR AS RESPOSTAS NO GABARITO; 4. MARQUE SOMENTE UMA ALTERNATIVA; 5. AS ALTERNATIVAS E O GABARITO QUANDO RASURADOS SERÃO ANULADOS; QUESTÃO 03 GABARITO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E QUESTÃO 01 (VALOR – 1,0) – João, Heitor e Davi foram convidados a uma festa de aniversário de 15 anos e decidiram se juntar para comprar um presente. O presente escolhido custou R$ 350,00 . João pago 3/7 do valor total, Heitor pagou 3/5 do restante e Davi pagou o valor que restou. O valor pago por Davi foi a) b) c) d) e) R$ 200,00 R$ 150,00 R$120,00 R$ 80,00 R$ 60,00 QUESTÃO 02 (VALOR – 1,0) – Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente proporcionais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$ 36.000,00. Sabe-se que dentre esses quatro funcionários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 6 anos trabalhados e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$ 6.000,00. Dessa maneira, o número de anos dedicados para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a a) b) c) d) e) 5 7 2 3 4 (VALOR – 1,0) – Dois Técnicos Judiciários de um setor do Tribunal Regional Federal - Paulo e João - têm, respectivamente, 30 e 35 anos de idade e seus respectivos tempos de trabalho nesse setor são 6 e 9 anos. Incumbidos de arquivar os documentos de um lote, eles os dividiram entre si em partes diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço nesse setor, cabendo a Paulo 78 documentos. Se a divisão tivesse sido feita em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades, quantos documentos caberiam a João? a) b) c) d) e) 82 85 87 90 105 QUESTÃO 04 (VALOR – 1,0) – Os 250 trabalhadores de uma instituição serão distribuídos em frentes de trabalho, em 3 grupos de x, y e z pessoas. O número de trabalhadores x, y e z desses grupos será diretamente proporcional a 10, 15 e 25. Nesse caso, a diferença entre a frente com maior e a frente com menor número de trabalhadores será a) 50 b) 100 c) 75 d) 45 e) 25 QUESTÃO 05 (VALOR – 1,0) – Um automóvel faz 35 km com 5 litros de etanol. Realizando uma viagem de uma cidade para outra, com base nesse consumo, qual deve ser a quantidade de etanol necessária para percorrer 170 km? A) 28 litros B) 25 litros C) 20 litros D) 30 litros E) 18 litros QUESTÃO 06 (VALOR – 1,0) – O uso de aplicativos para realizar viagens é cada vez mais comum no cotidiano. Supõe-se que, para calcular o valor da viagem em um aplicativo, há um valor fixo mais um total de R$ 1,40 por quilômetros rodado. Sabendo que um cliente pagou R$ 15,60 ao final da viagem, a quantidade de quilômetros rodados foi de 8 km, então o valor fixo da viagem foi de: A) R$ 2 B) R$ 2,50 C) R$ 3,60 D) R$ 4,40 E) R$ 5 QUESTÃO 07 (VALOR – 1,0) – Podemos afirmar que o zero da função f(x) = -2x + 5 é igual a: A) 2 B) 2,5 C) -2,5 D) -3 E) 3 QUESTÃO 08 (VALOR – 1,0) – (UFSM) Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, que é denominada bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distância percorrida. Se o preço da bandeirada é de R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a distância percorrida pelo passageiro que pagou R$ 19 para ir de sua casa ao shopping é de: A) 5 km B) 10 km C) 15 km D) 20 km E) 25 km QUESTÃO 09 (VALOR – 1,0) – Sobre o comportamento da função f(x) = 4x – 3, marque a alternativa correta: A) f(x) é crescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a 4. B) f(x) é decrescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a 4. C) f(x) é decrescente, pois seu coeficiente angular é positivo e igual a -3. D) f(x) é crescente, pois seu coeficiente angular é negativo e igual a -3. E) f(x) é decrescente, pois o seu coeficiente linear é negativo e igual a -3. QUESTÃO 10 (VALOR – 1,0) – (Enem 2018 – PPL) Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal). A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é:
