Fuja do Nabo: Física II – P2 – 2014 – Rogério Motisuki Oscilações – Resumo Teórico Oscilações simples O famoso MHS. A descrição do movimento pode ser escrita da forma: = cos + Sim, é exatamente igual à descrição de uma onda harmônica, e ambas estão estritamente relacionadas. Os pontos de uma corda realizam um movimento oscilatório quando a onda se propaga por ela. E do mesmo jeito, podemos achar a velocidade e a aceleração derivando: =− =− sen cos = =− Observe agora uma relação interessante: + + Por que isso é tão importante? Essa é a equação diferencial que dá origem ao movimento oscilatório. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona a variável com suas derivadas, em vez de suas potências. Sua resolução é muito mais complexa, portanto nesta matéria as soluções são dadas. O principal é saber montar a equação e identificar qual solução é de qual caso e conhecer todos os parâmetros. Obtenção da equação diferencial Olhando pra carinha da equação que obtivemos acima, temos uma dica: envolve aceleração. O que mais tem aceleração? Sim, = O exemplo mais simples possível: Massa-mola =− ⇔ = − Comparando com a outra equação, obtemos que: ⇔ ²= = ⇔ = − = Lembrando da relação com o período, obtemos uma relação famosa: = = 2" Não estamos restritos somente à movimentos lineares. Poderíamos fazer a mesma coisa com ângulo e aceleração angular, que é o caso do pêndulo: No caso angular, = se torna # = $% O torque da força peso é − &. (. )*+, . O momento de inércia da massa pontual é − &()*+, = (². Portanto, a equação fica: ( % ⇔ %= , & & = − )*+, ≈ − , ⇔ ( ( = & ( Sem utilizar a aproximação de pequenos ângulos, o pêndulo não é mais uma oscilação simples. = Resumindo: se você sabe escrever a equação diferencial, através de consegue encontrar a frequência de oscilação e # = $% você e consequentemente o período. Os outros parâmetros (amplitude e fase) são obtidos por outras formas. Geralmente leitura em gráfico, ou dado no enunciado, ou algo do tipo. Oscilação de duas partículas Esse é um problema um pouco mais complicado, mas pode ser resolvido facilmente utilizando = a técnica certa. O problema com 2 corpos pode ser simplificado para uma oscilação de um corpo só, utilizando o conceito de massa reduzida: Onde . é chamado de massa reduzida, e vale a relação: 1 1 1 = + . 0 O que isso significa? Nessas duas situações, a frequência de oscilação será igual. Oscilações Amortecidas Uma oscilação amortecida nada mais é uma oscilação simples, mas com atrito. Se modelarmos o atrito de forma que ele seja proporcional à velocidade, a equação diferencial fica um pouco mais complicada. A equação diferencial é da forma: ² ² +1 + = 0 3+ * 1 = 4 , 678 = −4 Note que temos dois parâmetros agora: 1, que representa o atrito, e , que representa a tendência de oscilação. Durante a resolução da equação, aparece uma equação do segundo grau, e portanto temos 3 possibilidades para a solução, e damos nomes para elas: Amortecimento subcrítico Acontece quando: 1 9 2 Único caso onde há oscilação. A equação do movimento é dado por: ; = * : 7 cos + Muito cuidado para não confundir > com >? ! 3+ * =< : frequência de oscilação real, aquela que realmente ocorrerá − 1 4 : frequência de oscilação natural, recebe esse nome pois é a frequência original sem o amortecimento. Amortecimento crítico Acontece quando: 1 = 2 Neste caso, não há oscilação. O sistema retorna ao ponto de equilíbrio no tempo mínimo possível dentre os 3 casos de amortecimento. A equação do movimento é dada por: =* Amortecimento supercrítico ; : 7 +A Acontece quando: 1 B 2 Também não há oscilação. O sistema volta ao estado de equilíbrio seguindo uma exponencial. A equação do movimento é dada por: 1 = *− 2 C *D + A*−D Visualização dos 3 tipos de amortecimento: E 3+ * D = < 12 − 4 0 2 O principal é saber identificar os tipos de amortecimento e suas respectivas soluções. Com a solução em mãos, basta achar o resto dos parâmetros a partir de informações dadas no enunciado. Agora só resta fazer exercícios para praticar…
