Aula 5

Distribuição de Frequência
• Podemos aproximar funções discretas por contínuas
• Pode simplificar enormemente o problema.
• Em certos casos, é o único modo possível de solução ou obtenção de
informações mais completas sobre o conjunto de dados.
• São as funções de distribuição
Aula 5
Distribuição Contínuas
• Usamos para descrever o comportamento de variáveis contínuas
• Exemplo: temperatura, peso, pressão, comprimento de onda, ...)
• Será descrita por uma função analítica (função de distribuição)
ρ (x )
• O valor médio (ou valor esperado de x) é:
ρ (x )xdx
∫
μ=⟨ x⟩=
∫ ρ (x )dx
Aula 5
Distribuição Contínuas
• Os limites de integração compreendem todo o intervalo de valores da
variável x.
• Em geral definimos o intervalo como:
• Costumamos usar a função
∫
• e assim:
  < x < +
ρ (x ) normalizada, ou seja:
ρ (x )dx= 1
 x = μ =  ρx xdx
Aula 5
Variância
• A variância é definida como:
∫
σ =
2
2
(
)(
)
ρ x x− μ dx
∫
ρ (x )dx
• Consequentemente, o desvio padrão é σ e o Coeficiente de Variação:
σ
V = 100%
μ
Aula 5
A Moda
• A moda situa-se no valor de
• Isto ocorre quando :
x onde a função ρ (x )tem um máximo.
df (x )
=0
dx
• No caso de uma função multimodal, serão os valores mi de
dρ (mi )
=0
dx
Aula 5
x onde:
Distribuição de Laplace – Gauss ou Normal
• É uma das distribuições de frequências mais usadas em Estatística.
• Existem na natureza muitos casos de coleta de dados que podem ser
2
(x− μ )
ajustados por esta curva.
−
1
2σ 2
• Ela é definida por:
f (x )=
e
σ
2π
√
Aula 5
Distribuição de Laplace – Gauss ou Normal
Variáveis: média e desvio padrão
Aula 5
Distribuição de Laplace – Gauss ou Normal
• Variação de − ∞ <x <+ ∞
• É simétrica em torno da média µ
• Média = Moda
• Assintótica ao eixo das abscissas
• Área total sob a curva vale 1
•
μ+σ
∫
μ− σ
μ+3σ
μ+2σ
f (x )dx=0,6827 ,
∫
f (x )dx= 0,9545 e
μ− 2σ
∫
μ− 3σ
Aula 5
f (x )dx= 0,9973
Distribuição de Laplace – Gauss ou Normal
O fator
Ou seja:
1
normaliza a função a 1.
σ√
2π
2
+∞ − 1 x− μ
2 σ
∫− ∞ e
( ) =σ √2π
Estas funções são definidas por 2 parâmetros σ e µ.
Existem portanto infinitas funções.
Podem ser identificadas por:
N ( μ,σ )
Aula 5
.
Distribuição Normal reduzida
• È conveniente procurar tabela que seja independente dos valores dos
parâmetros.
• Multiplicando os dois lados da distribuição gaussiana por σ.
σf x  =
e definindo x− μ =z, chamamos
σ
1
e
2π
1 x  μ 
 


2 σ 
σf (x )=F (z ).
2
Logo: F (z )= 1 e
2π
√
2
z
−
2
≡ N (0 ; 1 )
• A forma reduzida tem valor médio igual a zero e desvio padrão igual a um.
• Como ficam suas propriedades?
Aula 5
Distribuição Normal reduzida
Propriedades
• Variação de − ∞ <x <+ ∞
• Distribuição simétrica em torno de zero
• Média = Moda=Mediana
• Assintótica ao eixo das abcissas
• Área total sob a curva continua sendo 1
+2
+1
∫
−1
f (z )dz= 0,6827 ,
∫
+3
f (z )dz= 0,9545 e
−2
∫
−3
Aula 5
f (z )dz= 0,9973
Distribuição Normal reduzida ou padronizada
Aula 5
Distribuição Normal reduzida ou padronizada
Aula 5
Distribuição Normal reduzida ou padronizada
Ou melhor
Aula 5
Distribuição Normal reduzida ou padronizada
• Exemplo
Um professor de cálculo aplica dois testes
diferentes a duas turmas do seu curso. Os
resultados foram:
Turma 1:média = 75 desvio padrão = 14
Turma 2:média = 40 desvio padrão = 8
Que nota é relativamente melhor: 82 na
turma 1, ou 46 na turma 2?
Aula 5
Uso das Tabelas de N(0,1)
As tabelas de distribuição normal reduzida
representam a área sob a curva de densidade
de probabilidade com valores entre 0 e o da
variável reduzida z.
Exemplo:
Distribuição normal com média 100,00 e
desvio padrão 10,00.
Qual é a probabilidade de obter valores entre
100,00 e 105,10?
Qual é a probabilidade de obter valores entre
80,00 e 105,10?
Aula 5
Situações mais comuns no
cálculo das probabilidades
Aula 5
Momentos de uma Distribuição
Permite identificar propriedades da distribuição em estudo.
Chama-se momento de grau M da distribuição,
em relação à média, à quantidade:
N
∑
K M=
M
x
−
μ
(i )
i=1
N
Aula 5
Momentos de uma Distribuição
• O momento de primeiro grau de
qualquer conjunto de dados é zero.
Se anula quando a distribuição é simétrica ao
redor de µ.
N
∑ (x− μ )
K 1=
i=1
N
K3
Para obtermos medidas
adimensionais fazemos, γ 1 = σ 3 .
=0
• O de segundo grau é a variância.
Quando:
N
∑ (x − μ )2
K 2=
• O de terceiro grau
i=1
N
=σ
γ1 <0⇒x
alto é favorecido,
média < moda e mediana
2
N
∑
K 3=
γ1 >0⇒x
(x− μ )3
baixo é favorecido,
média > moda e mediana
i=1
N
Aula 5
Momentos de uma Distribuição
O quarto momento permite avaliar
o grau de dispersão da distribuição.
• Se a distribuição for normal,
K4
σ
4
=3
• Podemos avaliar o achatamento da curva definindo,
• Nas distribuições normais ou gaussianas,
Aula 5
γ 2= 0
γ 2=
K4
σ4
( x− μ )
∑
− 3=
−3
4
Nσ 4