Distribuição de Frequência • Podemos aproximar funções discretas por contínuas • Pode simplificar enormemente o problema. • Em certos casos, é o único modo possível de solução ou obtenção de informações mais completas sobre o conjunto de dados. • São as funções de distribuição Aula 5 Distribuição Contínuas • Usamos para descrever o comportamento de variáveis contínuas • Exemplo: temperatura, peso, pressão, comprimento de onda, ...) • Será descrita por uma função analítica (função de distribuição) ρ (x ) • O valor médio (ou valor esperado de x) é: ρ (x )xdx ∫ μ=〈 x〉= ∫ ρ (x )dx Aula 5 Distribuição Contínuas • Os limites de integração compreendem todo o intervalo de valores da variável x. • Em geral definimos o intervalo como: • Costumamos usar a função ∫ • e assim: < x < + ρ (x ) normalizada, ou seja: ρ (x )dx= 1 x = μ = ρx xdx Aula 5 Variância • A variância é definida como: ∫ σ = 2 2 ( )( ) ρ x x− μ dx ∫ ρ (x )dx • Consequentemente, o desvio padrão é σ e o Coeficiente de Variação: σ V = 100% μ Aula 5 A Moda • A moda situa-se no valor de • Isto ocorre quando : x onde a função ρ (x )tem um máximo. df (x ) =0 dx • No caso de uma função multimodal, serão os valores mi de dρ (mi ) =0 dx Aula 5 x onde: Distribuição de Laplace – Gauss ou Normal • É uma das distribuições de frequências mais usadas em Estatística. • Existem na natureza muitos casos de coleta de dados que podem ser 2 (x− μ ) ajustados por esta curva. − 1 2σ 2 • Ela é definida por: f (x )= e σ 2π √ Aula 5 Distribuição de Laplace – Gauss ou Normal Variáveis: média e desvio padrão Aula 5 Distribuição de Laplace – Gauss ou Normal • Variação de − ∞ <x <+ ∞ • É simétrica em torno da média µ • Média = Moda • Assintótica ao eixo das abscissas • Área total sob a curva vale 1 • μ+σ ∫ μ− σ μ+3σ μ+2σ f (x )dx=0,6827 , ∫ f (x )dx= 0,9545 e μ− 2σ ∫ μ− 3σ Aula 5 f (x )dx= 0,9973 Distribuição de Laplace – Gauss ou Normal O fator Ou seja: 1 normaliza a função a 1. σ√ 2π 2 +∞ − 1 x− μ 2 σ ∫− ∞ e ( ) =σ √2π Estas funções são definidas por 2 parâmetros σ e µ. Existem portanto infinitas funções. Podem ser identificadas por: N ( μ,σ ) Aula 5 . Distribuição Normal reduzida • È conveniente procurar tabela que seja independente dos valores dos parâmetros. • Multiplicando os dois lados da distribuição gaussiana por σ. σf x = e definindo x− μ =z, chamamos σ 1 e 2π 1 x μ 2 σ σf (x )=F (z ). 2 Logo: F (z )= 1 e 2π √ 2 z − 2 ≡ N (0 ; 1 ) • A forma reduzida tem valor médio igual a zero e desvio padrão igual a um. • Como ficam suas propriedades? Aula 5 Distribuição Normal reduzida Propriedades • Variação de − ∞ <x <+ ∞ • Distribuição simétrica em torno de zero • Média = Moda=Mediana • Assintótica ao eixo das abcissas • Área total sob a curva continua sendo 1 +2 +1 ∫ −1 f (z )dz= 0,6827 , ∫ +3 f (z )dz= 0,9545 e −2 ∫ −3 Aula 5 f (z )dz= 0,9973 Distribuição Normal reduzida ou padronizada Aula 5 Distribuição Normal reduzida ou padronizada Aula 5 Distribuição Normal reduzida ou padronizada Ou melhor Aula 5 Distribuição Normal reduzida ou padronizada • Exemplo Um professor de cálculo aplica dois testes diferentes a duas turmas do seu curso. Os resultados foram: Turma 1:média = 75 desvio padrão = 14 Turma 2:média = 40 desvio padrão = 8 Que nota é relativamente melhor: 82 na turma 1, ou 46 na turma 2? Aula 5 Uso das Tabelas de N(0,1) As tabelas de distribuição normal reduzida representam a área sob a curva de densidade de probabilidade com valores entre 0 e o da variável reduzida z. Exemplo: Distribuição normal com média 100,00 e desvio padrão 10,00. Qual é a probabilidade de obter valores entre 100,00 e 105,10? Qual é a probabilidade de obter valores entre 80,00 e 105,10? Aula 5 Situações mais comuns no cálculo das probabilidades Aula 5 Momentos de uma Distribuição Permite identificar propriedades da distribuição em estudo. Chama-se momento de grau M da distribuição, em relação à média, à quantidade: N ∑ K M= M x − μ (i ) i=1 N Aula 5 Momentos de uma Distribuição • O momento de primeiro grau de qualquer conjunto de dados é zero. Se anula quando a distribuição é simétrica ao redor de µ. N ∑ (x− μ ) K 1= i=1 N K3 Para obtermos medidas adimensionais fazemos, γ 1 = σ 3 . =0 • O de segundo grau é a variância. Quando: N ∑ (x − μ )2 K 2= • O de terceiro grau i=1 N =σ γ1 <0⇒x alto é favorecido, média < moda e mediana 2 N ∑ K 3= γ1 >0⇒x (x− μ )3 baixo é favorecido, média > moda e mediana i=1 N Aula 5 Momentos de uma Distribuição O quarto momento permite avaliar o grau de dispersão da distribuição. • Se a distribuição for normal, K4 σ 4 =3 • Podemos avaliar o achatamento da curva definindo, • Nas distribuições normais ou gaussianas, Aula 5 γ 2= 0 γ 2= K4 σ4 ( x− μ ) ∑ − 3= −3 4 Nσ 4