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14. caminho minimo, fluxo maximo e arvores geradoras

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Caminhos Mais Curtos
Fluxo Máximo
Árvores Geradoras Mínimas
Túlio Toffolo – www.toffolo.com.br
Marco Antônio Carvalho – [email protected]
BCC402 – Aula 14
Algoritmos e Programação Avançada
Plano da Aula
• Caminhos Mais Curtos
• Algoritmo de Dijkstra
• Algoritmo de Floyd
• Fluxo Máximo
• Algoritmo de Ford Fulkerson
• Árvores Geradoras Mínimas
• Algoritmo de Kruskal
• Algoritmo de Prim
• Otimização dos algoritmos
2
CAMINHOS
PROGRAMAÇÃO
DE TRIPULAÇÕES
MAIS
CURTOS
Caminhos mais Curtos
• Dados: grafo G=(V,A) orientado e
distância cij associada ao arco (i,j) ∈ A.
Problema: Obter o caminho mais curto entre dois nós s e t.
• O comprimento de um caminho é igual à soma dos
comprimentos (distâncias) dos arcos que formam o caminho.
• A “distância” ou “comprimento” de um arco pode ter diversas
interpretações
Exemplo 1: Dado um mapa rodoviário, determinar a rota mais
curta de uma cidade a outra.
4
Caminhos mais Curtos
Exemplo 2: Construção de uma estrada entre duas cidades A e K.
O grafo abaixo representa os diversos trechos possíveis e o custo
de construção de cada um. Determinar o trajeto ótimo cujo custo
de construção seja mínimo (corresponde a achar o caminho mais
curto de A a K em relação a estes custos).
B
2
8
5
C
D
Solução:
4
4
F
I
2
4
4
7
H
4
4
5
A
E
6
5
K
2
4
2
G
4
J
A–D–G–I–K
custo = 7 + 2 + 2 + 5 = 16
5
Caminhos mais Curtos
• Condição de existência:
Caminho de i a j contendo um circuito w:
k
j
i
w
Comprimento do caminho =
comprimento (i → k) +
comprimento (w) +
comprimento (k → j)‫‏‬
Qual é o comprimento do caminho mais curto de i a j se o
comprimento do circuito w é negativo?
6
Caminhos mais Curtos
Condição de existência:
não há circuitos de comprimento negativo.
A solução ótima (caminho mais curto) sempre será um
caminho elementar (sem ciclo).
7
Caminhos mais Curtos
" Caminho mais curto:
- De um nó a outro
- De um nó a todos os demais
- Entre todos os pares de nós de um grafo
8
Caminhos mais Curtos
Caminho mais curto do nó 1 a cada nó do grafo G=(V,A)‫‏‬
Hipótese: todas as distâncias cij são positivas:
cij ≥ 0, ∀(i,j) ∈ A
• Algoritmo de Moore-Dijkstra (1957-1959)‫‏‬
π*(i) = comprimento do caminho mais curto do nó 1 ao nó i
Em especial, π*(1)=0 (distâncias positivas).
"
"
Algoritmo com n-1 iterações
No início de cada iteração, o conjunto V de nós está
particionado em dois subconjuntos S e S, com o nó 1 em S.
S ∩S =φ
S ∪ S =V
9
Caminhos mais Curtos
– Cada nó i ∈ V possui um rótulo π(i ), que verifica
a seguinte propriedade:
Se i ∈ S ⇒ π (i ) = π * (i )
Se i ∈ S ⇒ π (i ) ≥ π * (i )
–
π (i ) = min{π (k ) + c ki }
k ∈S
k ∈Γ i−
π (i ), i ∈ S , dá o valor do caminho mais curto de 1 a i sob
a restrição de que todos os nós utilizados (exceto o próprio
i ) pertençam a S.
π (a )
a
π (b )
1
b
cai
cbi
π (c )
c
π (i )
i
cci
S
S
10
Caminhos mais Curtos
Teorema: Seja o nó j ∈ S tal que π ( j ) = min π (i .)
i ∈S
Então π * ( j ) = π ( j ) , isto é, o comprimento do caminho
mais curto do nó 1 ao nó j é igual a π ( j ) .
Demonstração:
– Por construção, certamente existe um caminho de 1 até j com
comprimento π(j).
– Suponhamos que exista outro caminho de 1 a j de
comprimento menor do que π(j).
– Dividamos este caminho em duas partes:
- P1 é a parte inicial, do nó 1 ao nó L, onde L é o primeiro nó
de S encontrado
- P2 é a parte final, do nó L ao nó j
11
Caminhos mais Curtos
– comprimento de P1 ≥ π(L) ≥ π(j)‫‏‬
comprimento de P2 ≥ 0
Logo, o comprimento de P1 + P2 ≥ π(j).
12
CAMINHOS
MAIS CURTOS
PROGRAMAÇÃO
ALGORITMO
DE
DIJKSTRA
DE TRIPULAÇÕES
Caminhos mais Curtos
Algoritmo de Moore-Dijkstra
Inicializar S ← {2,3,...,n},
S ← {1},
π(1)← 0,
π(j)← c1j se j∈Γ1+
+∞ caso contrário
Enquanto S ≠ ∅ faça
Selecionar j∈S tal que π(j)= mini∈S{π(i)}
S ← S – {j}
Para ∀i∈S e i∈Γj+ faça
π(i) ← min{π(i), π(j)+cji}
fim_enquanto
14
Caminhos mais Curtos
• O algoritmo de Moore-Dijkstra constrói progressivamente
o conjunto dos nós mais próximos de 1.
• Construção de uma arborescência com raiz em 1 que
define os caminhos mais curtos do nó 1 a cada nó do
grafo.
15
Caminhos mais Curtos
Exemplo:
4
4
7
1
1
5
1
5
5
2
2
3
S = {1}
S = {2,3,4,5,6}
2
3
6
7
π(1) = 0
π(2) = 7
π(3) = 1
π(4) = π(5) = π(6) = +∞
ITERAÇÃO 1
4
π*(1) = 0
1
1
5
1
3
π*(3) = 1
5
2
2
7
4
5
j=3
S = {2,4,5,6}
6
π(2) = min{7, 1+5} = 6
π(5) = min{∞, 1+2} = 3
π(6) = min{∞, 1+7} = 8
2
7
3
16
Caminhos mais Curtos
4
π*(1) = 0
1
1
5
1
3
1
1
3
π*(3) = 1
3
5
π(2) = min{6, 3+2} = 5
π(4) = min{∞, 3+5} = 8
ITERAÇÃO 3
π*(5) = 3
j=2
S = {4,6}
5
2
7
j=5
S = {2,4,6}
6
4
1
5
π*(5) = 3
2
2
2
7
π*(1) = 0
4
ITERAÇÃO 2
5
7
π*(3) = 1
π*(2) = 5
5
2
2
7
4
3
6
π(4) = min{8, 5+4} = 8
π(6) = min{∞, 5+1} = 6
17
Caminhos mais Curtos
π*(2) = 5
1
1
5
1
4
5
2
2
7
π*(1) = 0
4
3
5
2
3
ITERAÇÃO 4
j=6
S = {4}
π(4) = 8
6
7
π*(3) = 1
π*(5) = 3
π*(6) = 6
π*(4) = 8
π*(2) = 5
1
1
5
1
4
3
π*(3) = 1
5
2
2
7
π*(1) = 0
4
π*(5) = 3
5
2
7
3
ITERAÇÃO 5
j=4
S={}
6
π*(6) = 6
18
Caminhos mais Curtos
4
1
Iteração
1
5
2
π
3
2
3
3
5
2
2
1
3
4
3
6
4
7
Início
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
0
0
0
0
2
4
4
4
4
4
4
4
3
2
2
2
2
2
2
2
4
∞
5
5
5
5
5
5
∞
4
4
4
4
4
4
∞
∞
7
7
7
7
7
∞
∞
7
7
7
7
7
nó
5
6
7
19
Caminhos mais Curtos
• Número de operações (tempo): ~ n2
n-1 iterações, cada iteração busca o mínimo em uma lista com
até n-1 elementos (vetor π)‫‏‬
"
Caminho mais curto do nó 1:
→ ao nó j
→ a todos os nós
Mesma complexidade, mas critérios de parada diferentes.
"
Distâncias negativas:
Caminho mais curto de 1 a 3? 2
3
3
1
-8
10
2
Resultado do algoritmo?
3
Por que?
20
Caminhos mais Curtos
Algoritmo de Moore-Dijkstra para o caso com distâncias negativas
Inicializar S ← {2,3,...,n},
S ← {1},
π(1)← 0,
π(j)← c1j se j∈Γ1+
+∞ caso contrário
Enquanto S ≠ ∅ faça
Selecionar j∈S tal que π(j)= mini∈S{π(i)}
S ← S – {j}
Para ∀i∈Γj+ faça
Calcular π* ← π(j)+ cji
Se π* < π(i) então
S ← S ∪ {i}
π(i) ← π*
fim-se
fim-para
fim-enquanto
21
CAMINHOS
MAIS CURTOS
PROGRAMAÇÃO
ALGORITMO
DE
FLOYD
DE TRIPULAÇÕES
Caminhos mais Curtos
• Dados:
Grafo G=(V, A) orientado, |V | = n.
Não há circuitos negativos.
c = {cij}, j = 1,...,n, i = 1,...,n
cij ≥ 0
cii = 0
cij = +∞, (i, j ) ∉ A
Ak(i, j ) = valor do caminho mais curto de i a j podendo
usar apenas nós numerados de 1 a k como nós
intermediários.
23
Caminhos mais Curtos
A0(i, j ) = cij : caminho mais curto de i a j usando no máximo o nó
“0” (que não existe) como nó intermediário (caminho
mais curto de i a j sem nós intermediários)‫‏‬
Ak(i, j ) : pode usar o nó k ou não.
Ak+1(i, j ) : pode usar o nó k+1 ou não.
A0 → A1
A1 → A2
...
An-1 → An
An(i, j ) = valor do caminho mais curto
de i a j podendo usar
qualquer nó de 1 a n como
nó intermediário.
24
Caminhos mais Curtos
• Se Ak+1(i, j ) não usa o nó k+1 como intermediário, então:
Ak+1(i, j ) = Ak(i, j )
• Se Ak+1(i, j ) usa o nó k+1 como intermediário, então:
Ak+1(i, j ) = Ak(i, k+1) + Ak(k+1, j )‫‏‬
Ak+1(i, j ) = min { Ak(i, j ), Ak(i, k+1) + Ak(k+1, j ) }
25
Caminhos mais Curtos
Algoritmo de Floyd:
Para i = 1,...,n faça
Para j = 1,...,n faça
A0(i,j) ← cij
fim-para
fim-para
Para k = 1,...,n faça
Para i = 1,...,n faça
Para j = 1,...,n faça
Ak(i,j) ← min{Ak-1(i,j),
Ak-1(i,k) + Ak-1(k,j)}
fim-para
fim-para
fim-para
26
Caminhos mais Curtos
Exemplo:
6
1
2
4
3
11
0
4
11
0
4
11
C = 6
0
2
A0 = 6
0
2
+∞
0
3
+∞
0
3
2
3
0
4
11
0
4
6
0
4
6
A1 = 6
0
2
A2 = 6
0
2
A3 = 5
0
2
3
7
0
3
7
0
3
7
0
Teoriade Grafos
27
Caminhos mais Curtos
• Algoritmo de Dijkstra: número de operações (tempo) ~ n2
n-1 iterações, cada iteração busca o mínimo em uma lista com até
n-1 elementos (vetor π)‫‏‬
• Algoritmo de Floyd: número de operações (tempo) ~ n3
Três comandos for de 1 até n um dentro do outro
• Ou seja, o problema de calcular os caminhos mais curtos entre todos
os pares de nós pode ser resolvido com a mesma eficiência
aplicando-se n vezes o algoritmo de Dijkstra, uma vez a partir de
cada nó inicial.
28
Otimizações: uso de Heaps
Complexidade Amortizada
Complex.
“Real”
Pairing Heap
Fibonacci Heap
isEmpty
O(1)
O(1)
O(1)
size
O(1)
O(1)
O(1)
getMax
O(1)
O(1)
O(1)
put
O(1)
O(log n) **
O(1)
removeMax
O(n)
O(log n)
O(log n)
meld
O(1)
O(log n) **
O(1)
remove
O(n)
O(log n)
O(log n)
increaseKey
O(n)
O(log n) **
O(1)
Operação
PROGRAMAÇÃO
FLUXO MÁXIMO
DE TRIPULAÇÕES
Problema do Fluxo Máximo
• Dados: Grafo G=(X,U) orientado
∀u ∈ U: capacidade c(u)‫‏‬
0 ≤ f(u) ≤ c(u)‫‏‬
fonte
S
f
sumidouro
P
• Problema: Obter um fluxo máximo de S a P respeitando as
restrições de capacidade e as restrições de conservação de
fluxo em cada nó.
31
Problema do Fluxo Máximo
"
Inserindo-se um arco de retorno, transforma-se um
fluxo em uma “circulação”:
S
P
f
Exemplo:
a
1, 1
1, 2
S
2, 4
capacidades c
fluxos f
0, 5
P
3, 3
b
3, ∞
32
Problema do Fluxo Máximo
v, x = S
f (u ) − ∑ f (u ) =
∑
u I u x
uT u x
: ( )=
: ( )=
I(u)
0, ∀x ≠ S, ∀x ≠ P
-v, x ≠ P
u
T(u)
Com o arco de retorno:
f (u ) − ∑ f (u ) = 0, ∀x ∈ X
∑
uI u x
uT u x
: ( )=
: ( )=
33
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
a
∞
S
3
1
e
2
∞
b
c
2
∞
1
1
P
7
5
∞
d
∞
"
Capacidades associadas aos nós:
2
3
2
x
8
x1
7
8
c(x)‫‏‬
3
x2
7
34
FLUXO MÁXIMO
ALGORITMO DE
FORD FULKERSON
Problema do Fluxo Máximo
"
Algoritmo de rotulação de Ford e Fulkerson (idéia básica)‫‏‬
Início: fluxo viável (por exemplo um fluxo nulo)
Iteração:
Determinar um caminho C de S a P ao longo do
qual nenhum arco esteja saturado.
(isto é, f(u) = c(u))
Circuito Γ = C ∪ {(P,S)}
Aumentar o fluxo ao longo dos arcos de Γ do
valor δ = minu∈Γ[c(u)-f(u)]
36
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
a
1
1
5
2
S
P
1
3
4
b
32
1
2
3
Este fluxo (f=3) é máximo?
Por que?
Fluxo máximo = 4
37
Problema do Fluxo Máximo
"
A inexistência de um caminho aumentante no grafo original
não quer dizer que não seja possível aumentar o fluxo.
• Obter uma cadeia ligando S e P que, em conjunto com o arco de
retorno (P,S) defina um ciclo Γ:
Γ+: arcos de Γ orientados como (P,S)‫‏‬
Γ-: arcos de Γ orientados no sentido oposto a (P,S)‫‏‬
δ1= minu∈Γ+ [c(u) – f(u)] (aumento possível nos arcos de Γ+)
δ2= minu∈Γ- [f(u)]
"
(redução possível nos arcos de Γ-)
Melhorar a solução (aumentar o fluxo) somando
δ = min{δ1, δ2} aos fluxos nos arcos de Γ+ e subtraindo δ aos
fluxos nos arcos de Γ-.
38
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
f(u) c(u)
a
Γ+
1, 1
+1
S
+1
1,
X 2
0
P
Γ
-1
Γ+
Γ
3, 3
2,
X 4
3
Γ+
1
0, 5
X
b
+1
δ1 = 2
δ2 = 1
3,
X ∞
4
δ=1
39
Problema do Fluxo Máximo
Algoritmo
• Procedimento de rotulação para obter um ciclo Γ:
Nó x → rótulo δ(x)‫‏‬
"
Rotulação direta:
x marcado δ(x)‫‏‬
com u = (x,y)‫‏‬
f(u) < c(u)‫‏‬
y não marcado
Quantidade pela qual pode ser
aumentado o fluxo de S a x seguindo
uma cadeia cujo último arco é A(x)‫‏‬
x
u
y
δ(x)
δ(y) = min { δ(x), c(u)-f(u) }
A(y) = u
40
Problema do Fluxo Máximo
"
Rotulação inversa:
x marcado δ(x)‫‏‬
arco u = (y,x)‫‏‬
f(u) > 0
y não marcado
x
u
y
δ(x)
δ(y) = min { δ(x), f(u) }
A(y) = u
f(u) ← 0 ∀u
ROTULAR(f,δ,A,Y)
Enquanto δ > 0 faça
ALTERAR_FLUXOS(f,δ,A)
ROTULAR(f,δ,A,Y)
fim-enquanto
41
Problema do Fluxo Máximo
ROTULAR(f,δ,A,Y)
δ, δ(S) ← +∞
Y ← {S}
Enquanto P ∉ Y e δ > 0 faça
Se ∃u =(x,y): x ∈ Y, y ∉ Y e f(u) < c(u) então
Y ← Y ∪ {y}
A(y) ← u
δ(y) ← min {δ(x), c(u)-f(u)}
Senão
Se ∃u =(y,x): x ∈ Y, y ∉ Y e f(u) > 0 então
Y ← Y ∪ {y}
A(y) ← u
δ(y) ← min {δ(x), f(u)}
Senão
δ ← 0
fim-enquanto
Se P ∈ Y então δ ← δ(P)
FIM-ROTULAR
42
Problema do Fluxo Máximo
ALTERAR_FLUXOS(f,δ,A)
x ← P
f(P,S) ← f(P,S) + δ
Enquanto x ≠ S faça
u ← A(x)
Se x = T(u) então
f(u) ← f(u) + δ
x ← I(u)
Senão
f(u) ← f(u) - δ
x ← T(u)
fim-enquanto
FIM-ALTERAR_FLUXOS
43
Problema do Fluxo Máximo
a
1, 1
Exemplo:
1,
0, 5
1, 2
0,
S
2,
3, 4
P
3, 3
b
3, ∞
4,
Marcação:
f(P,S) = 4
δ(S) = +∞
Y = {S}
A(S) = (P,S)‫‏‬
δ(b) = 2
Y = {S, b}
A(b) = (S,b)‫‏‬
δ(a) = 1
Y = {S, b, a}
A(a) = (a,b)‫‏‬
δ(P) = 1
Y = {S, b, a, P} A(P) = (a,P)‫‏‬
δ=1
f(a,P) = 1
f(a,b) = 0
f(S,b) = 3
f(S,a) = 1
f(b,P) = 3
44
Problema do Fluxo Máximo
a
1, 1
Exemplo:
1, 5
0, 2
S
P
3, 3
3, 4
b
4, ∞
Marcação:
δ(S) = +∞
Y = {S}
δ(b) = 1
Y = {S, b}
δ = 0, P ∉ Y
FIM
45
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
20
2
15
15 15
4
5
1
5
12
3
15
4
9
15
7
8
6
8
10
6
8
12
8
15
∞
δ(1) = +∞
Y = {1}
A(1) = (7,1)‫‏‬
δ(2) = 20
Y = {1, 2}
A(2) = (1,2)‫‏‬
δ(6) = 15
Y = {1, 2, 6}
A(6) = (2,6)‫‏‬
δ(7) = 15
Y = {1, 2, 6, 7} A(7) = (6,7)‫‏‬
δ = 15
f(6,7) = 15
f(2,6) = 15
f(1,2) = 15
f(7,1) = 15
46
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
20
15
2
10
5
3
15
8
9
4
15
7
8
6
8
8
6
4
5
12
1
15 15
8 8
8
12
8
15
23
∞
δ(1) = +∞
Y = {1}
A(1) = (7,1)‫‏‬
δ(3) = 10
Y = {1, 3}
A(3) = (1,3)‫‏‬
δ(4) = 9
Y = {1, 3, 4}
A(4) = (3,4)‫‏‬
δ(8) = 9
Y = {1, 3, 4, 8} A(8) = (4,8)‫‏‬
δ(7) = 8
δ=8
Y = {1, 3, 4, 8, 7} A(7) = (8,7)‫‏‬
f(8,7) = 8
f(4,8) = 8
f(3,4) = 8
f(1,3) = 8
f(7,1) = 23
47
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
20
2
15
20
5
5
5
10
3
15
8
9
4
15
7
5 8
6
8
8
6
4
5
12
1
15 15
8 8
8
12
8
23
28
∞
δ(1) = +∞
Y = {1}
A(1) = (7,1)‫‏‬
δ(2) = 5
Y = {1, 2}
A(2) = (1,2)‫‏‬
δ(3) = 5
Y = {1, 2, 3}
A(3) = (2,3)‫‏‬
δ(5) = 5
Y = {1, 2, 3, 5} A(5) = (3,5)‫‏‬
δ(7) = 5
δ=5
Y = {1, 2, 3, 5, 7} A(7) = (5,7)‫‏‬
f(5,7) = 5
f(3,5) = 5
f(2,3) = 5
f(1,2) = 20
f(7,1) = 28
48
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
20
2
20
5
5
5
7
10
10
8
15
8
9
4
15
7
7
5 8
6
8
3
6
4
5
12
1
15 15
8 8
8
12
8
28
30
∞
δ(1) = +∞
Y = {1}
A(1) = (7,1)‫‏‬
δ(3) = 2
Y = {1, 3}
A(3) = (1,3)‫‏‬
δ(5) = 2
Y = {1, 3, 5}
A(5) = (3,5)‫‏‬
δ(7) = 2
δ=2
Y = {1, 3, 5, 7} A(7) = (5,7)‫‏‬
f(5,7) = 7
f(3,5) = 7
f(1,3) = 10
f(7,1) = 30
49
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
20
2
20
5
5
7
10
10
6
4
5
12
1
15 15
8
9
4
15
7
7 8
6
8
3
15
8 8
8
12
8
30
∞
δ(1) = +∞
δ = 0, P ∉ Y
Y = {1}
FIM
50
Problema do Fluxo Máximo
Teorema do Corte Mínimo
• Um conjunto de arcos C é chamado de corte separando P de S se ∃
Y ⊂ X com S ∈ Y e P ∉ Y tal que
C = { u ∈ U: I(u) ∈ Y, T(u) ∉ Y }
• Um corte separando P de S corta qualquer caminho de S a P no
grafo G = (X,U).
• Capacidade de um corte separando P de S:
c(C) = ∑u∈C c(u)‫‏‬
51
Problema do Fluxo Máximo
"
Teorema:
fluxo viável f
corte C
f(P,S) ≤ c(C)‫‏‬
Y
Y
fS
S
fP
S
P
f sp = f ps + f (P , S )
P
f ps ≥ 0 ⇒ f (P , S ) ≤ f sp =
f (u )
∑
u C
∈
≤
c (u ) = c (C )
∑
u C
∈
52
Problema do Fluxo Máximo
• Corolário:
Quando o algoritmo de rotulação termina com um fluxo f sem que
seja possível marcar o nó P, f é a solução ótima do problema de
fluxo máximo de S a P.
u
Y
T(u)‫‏‬
Y
Y
Y
f(u) = c(u),
senão a extremidade u
estaria marcada
I(u)‫‏‬
u
P∉Y
f(u) = 0,
senão a extremidade u
estaria marcada
53
Problema do Fluxo Máximo
• Corolário:
Se as capacidades são inteiras, então o algoritmo de Ford e
Fulkerson obtém em um número finito de iterações uma solução
ótima do problema de fluxo máximo.
54
Problema do Fluxo Máximo
• Teorema:
O valor do fluxo máximo é igual à capacidade do corte mínimo
separando P de S.
Ao final do procedimento de rotulação:
Y
Y
fSP = fPS + f*(P,S)‫‏‬
fSP
S
fPS = 0
P
fPS
fSP = c(C)‫‏‬
f*(P,S) = c(C)‫‏‬
f(P,S) ≤ c(C)‫‏‬
f*(P,S)‫‏‬
corte é mínimo.
55
Problema do Fluxo Máximo
Exemplo:
20
2
20
5
5
7
10
10
15
8
9
4
15
7
7 8
6
8
3
6
4
5
12
1
15 15
8 8
8
12
8
30
∞
Corte mínimo
Capacidade = 30
Fluxo máximo = 30
δ(1) = +∞
Y = {1}
δ = 0, P ∉ Y
FIM
56
ÁRVORES
PROGRAMAÇÃO
GERADORAS
DE TRIPULAÇÕES
MÍNIMAS
Introdução
• Árvore Geradora Mínima – AGM
(Minimum Spanning Tree – MST)
• Um dos problemas de otimização mais simples e mais
bem estudados em Ciência da Computação e Teoria dos
Grafos
• Objetivos
• Obtenção de uma árvore em um grafo conexo, com arestas
valoradas, de tal forma que a soma dos custos das arestas
seja mínimo
Principais Algoritmos
• Algoritmo de Boruvka (1926)
O. Boruvka. O jistém problému minimálním. Práca Moravské
Prirodovedecké Spolecnosi, 3 (1926), 37-58. (In Czech.)
• Algoritmo de Kruskal (1956)
J.B. Kruskal. On the shortest spanning tree of a graph and the
traveling salesman problem. Proceedings of the American
Mathematical Society, 7:48-50, 1956.
• Algoritmo de Prim (1957)
R.C. Prim. Shortest connection networks and some
generalizations. Bell Systems Technology Journal, 36:1389-1401,
1957.
ÁRVORES
GERADORAS MÍNIMAS
PROGRAMAÇÃO
ALGORITMO
DE
BORUVKA
DE TRIPULAÇÕES
Algoritmo de Boruvka
• Primeiro algoritmo proposto para resolução do Problema
da Árvore Geradora Mínima
• Surgiu em 1926 antes dos primeiros computadores e da
publicação do primeiro livro sobre teoria dos grafos
(1936)
• Seu propósito era fornecer uma cobertura elétrica
eficiente para a cidade de Bohemia
• Método ideal para implementação em computadores
paralelos
∈
Algoritmo de Boruvka
• Seja um grafo G(N, A), onde N é o conjunto de nós e A o
conjunto de arestas
Passo 1: Para cada i ∈ N faça Ni ← { i }
Passo 2: T* ← {}
Passo 3: Enquanto |T*| < (n-1) faça
Ø Para cada árvore Nk faça min(Nk, ik, jk)
Ø Para cada árvore Nk faça
Se os nós ik e jk pertencem a árvores diferentes
então unir(ik, jk) e atualizar T* ← T* ∪ {(ik, jk)}
Algoritmo de Boruvka
21
7
14
30
6
1
10
4
9
ÁRVORES
GERADORAS MÍNIMAS
PROGRAMAÇÃO
ALGORITMO
DE
KRUSKAL
DE TRIPULAÇÕES
Algoritmo de Kruskal
• Idéia do algoritmo:
• Aresta de menor peso sempre pertence à árvore
geradora de peso mínimo
• Complexidade: O(A * log A)
• Gargalo: ordenação das arestas
Algoritmo de Kruskal
Criar uma lista L com as arestas ordenadas em
ordem crescente de pesos.
Criar |V| subárvores contendo cada uma um nó
isolado.
F ← ∅
contador ← 0
Enquanto contador < |V|-1 e L ≠ ∅ faça
Seja (u,v) o próximo arco de L.
L ← L – {(u,v)}
Se u e v não estão na mesma subárvore então
F ← F ∪ {(u,v)}
Unir as subárvores que contêm u e v.
contador ← contador + 1
fim-se
fim-enquanto
Algoritmo de Kruskal
3
17
7
2
7
11
8
9
12
10
Variação do Algoritmo de Kruskal
• Idéia do algoritmo:
• Se a aresta de menor peso sempre pertence à
árvore geradora de peso mínimo, então a aresta de
maior peso não pertence, se o número de arestas
for maior que n-1
• Complexidade: O(A*log A)
• Gargalo: ordenação das arestas
Variação do Algoritmo de Kruskal
Criar uma lista L com as arestas ordenadas em
ordem decrescente de pesos.
F ← L
contador ← 0
Enquanto contador < |A|-|V|-1 e L ≠ ∅ faça
Seja (u,v) o próximo arco de L.
L ← L – {(u,v)}
Se (u,v) não é ponte então
F ← F - {(u,v)}
contador ← contador + 1
fim-se
fim-enquanto
Variação do Algoritmo de Kruskal
3
17
7
2
7
11
8
9
12
10
Algoritmo de Kruskal
• Principais desvantagens:
• O método exige uma “etapa preparação”, por
exemplo, em caso de representação por listas de
adjacência
• Grande consumo de memória
ÁRVORES
GERADORAS MÍNIMAS
PROGRAMAÇÃO
ALGORITMO
DE
PRIM
DE TRIPULAÇÕES
Algoritmo de Prim
• Idéia do algoritmo:
• Inicia com uma árvore formada apenas por um nó
qualquer do grafo, ou pela aresta de peso mínimo.
• A cada iteração, adiciona a aresta de menor peso que
conecta um nó já conectado a um nó ainda não
conectado
• Complexidade: O(A*log N) = O(A*log A)
• Usando Heap de Fibonacci: O(A + N*log N)
Algoritmo de Prim
Seja (u,v) a aresta de menor peso.
F ← {(u,v)}
Para i = 1,...,n faça
Se c(i,u) < c(i,v) então prox(i) ← u
Senão prox(i) ← v
fim-para
prox(u), prox(v) ← 0, contador ← 0
Enquanto contador < n-2 faça
Seja j tal que prox(j)≠0 e c(j,prox(j)) é mínimo.
F ← F ∪ {(j,prox(j))}
prox(j) ← 0
Para i = 1,...,n faça
Se prox(i) ≠ 0 e c(i,prox(i)) > c(i,j) então
prox(i) ← j
fim-para
contador ← contador + 1
fim-enquanto
Algoritmo de Prim
3
17
7
2
7
11
8
9
12
10
ÁRVORES
GERADORAS MÍNIMAS
PROGRAMAÇÃO
OTIMIZAÇÕES
DE
TRIPULAÇÕES
Implementações
• Variação na estrutura de dados utilizada:
• Prim usando Pairing Heap
• Prim usando Fibonacci Heap
• Prim usando Binary Heap
Pairing Heap x Fibonacci Heap
Complexidade Amortizada
Complex.
“Real”
Pairing Heap
Fibonacci Heap
isEmpty
O(1)
O(1)
O(1)
size
O(1)
O(1)
O(1)
getMax
O(1)
O(1)
O(1)
put
O(1)
O(log n) **
O(1)
removeMax
O(n)
O(log n)
O(log n)
meld
O(1)
O(log n) **
O(1)
remove
O(n)
O(log n)
O(log n)
increaseKey
O(n)
O(log n) **
O(1)
Operação
Resultados de Moret e Shapiro (1991)
• Grafos esparsos
1)
2)
3)
4)
5)
Binary Heap
Fibonacci Heap
Slay tree
Rank-relaxed Heap
Pairing Heap
Resultados de Moret e Shapiro (1991)
• Grafos com A = N * log N
1)
2)
3)
4)
5)
Binary Heap
Fibonacci Heap
Slay tree
Rank-relaxed Heap
Pairing Heap
Resultados de Moret e Shapiro (1991)
• Grafos com A = N3/2 (grafos densos)
1)
2)
3)
4)
5)
Binary Heap
Fibonacci Heap
Slay tree
Rank-relaxed Heap
Pairing Heap
Resultados da Literatura
• Moret e Shapiro (1991) fazem uma série de
experimentos envolvendo vários algoritmos e estruturas
de dados para gerar uma AGM.
• Nos testes foram utilizadas diferentes estruturas e
densidades de grafos
• Foi feita uma análise tanto de desempenho quanto de
consumo de espaço em memória
Resultados da Literatura
• Consumo de memória
Resultados da Literatura
• Tempo de execução
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