curso de matemática básica

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Aula 02:
• Fatoração
• Equação do 1º Grau
• Equação do 2º Grau
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Fatoração
• Fatorar é transformar uma soma em um produto.
• Fator comum:
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Fatoração
• Agrupamentos:
• Quadrado Perfeito
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Fatoração
• Diferença de dois quadrados:
• Cubo Perfeito:
• Soma e Diferença de dois cubos:
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Equações do 1º Grau
Definição:
Define-se como equação do 1º grau toda
sentença aberta, redutível e equivalente a
ܽ‫ ݔ‬+ ܾ = 0 com a ∈ ‫ܴܫ ∈ ܾ ݁ ܴܫ‬.
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Equações do 1º Grau
Possíveis Resoluções:
ܾ
Para ܽ ≠ 0, ܽ‫ = ݔ‬−ܾ ↔ ܸ = ቄ− ቅ
ܽ
Para ܽ = 0 ݁ ܾ ≠ 0, ܽ‫ = ݔ‬−ܾ ↔ ܸ = ሼ ሽ
Para ܽ = 0 ݁ ܾ = 0, ܽ‫ = ݔ‬−ܾ ↔ ܸ = ‫ܴܫ‬
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Equações do 1º Grau
Resolução de Problemas:
Resolver problemas práticos usando matemática simbólica(álgebra)
possui uma única dificuldade: o equacionamento do problema dado
mediante símbolos e operações elementares.
Não existe um método específico nem uma fórmula para solucionar
um problema, é possível, no entanto, adotar certos procedimentos pode
facilitar a resolução dos problemas:
• Na leitura compreensiva do problema, verificar quem é a incógnita de
maneira a atribuir à mesma um símbolo(digamos x).
• Equacionar o problema de acordo aos dados do mesmo.
• Proceder a uma interpretação da solução no correspondente problema.
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Equações do 1º Grau
• Existem problemas físicos ou matemáticos que envolvem
duas ou mais equações, cada uma delas com uma, duas ou
mais variáveis. Ao conjunto formado por essas equações
chamamos de sistema de equações. Resolver um sistema de
equações do 1º grau com duas variáveis consiste em
encontrar dois valores que verifiquem simultaneamente as
equações do sistema.
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Equações do 2º Grau
Definição:
Denomina-se equação do 2° grau a toda
sentença aberta, em x redutível a ܽ‫ ݔ‬2 + ܾ‫ ݔ‬+ ܿ = 0,
com ܽ, ܾ ݁ ܿ ∈ ‫ܴܫ‬.
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Equação do 2º Grau
• Exemplo:
x2 - 5x + 6 = 0
b = -5 e c = 6.
é um equação do 2º grau com a = 1,
• Resolução do caso geral: Fórmula de Báskara
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Equação do 2º Grau
• As raízes de uma equação do 2°grau são dadas da
seguinte forma:
• Onde a, b e c são os coeficientes da equação do
segundo grau indicada acima e
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Equação do 2º Grau
Se ∆ > 0, as duas raízes são reais e diferentes.
Se ∆ = 0, as duas raízes são reais e iguais (Raiz dupla).
Se ∆ < 0, não há raízes reais.
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Equação do 2º Grau
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Exercícios
•
Exercício 1: Fatore as seguintes expressões:
a) x² – y²
b) 4a² – 1
c) 1 – 16x^4
•
Solução:
a) (x + y) . (x – y)
b) (2a + 1) . (2a – 1)
c) (1 + 4x²) . (1 – 4x²) = (1 + 4x³) . (1 + 2x) . (1 – 2x)
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Exercícios
•
Exercício 2: Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393.
Que números são esses?
•
Solução:
x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
•
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.
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Exercícios
•
Exercício 3: Resolva as equações a seguir:
a) 23x - 16 = 14 - 17x
b) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
•
Solução:
a) 23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = 3/4
b) [2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20
2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x
-6x - 6 = 15 - 5x
-6x + 5x = 15 + 6
-x = 21
x = -21
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Exercícios
•
Exercício 4: Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e
(2a + 10)/6 sejam iguais.
•
Solução:
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22
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Exercícios
•
Exercício 5: O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63
menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?
•
Solução:
Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x² equivale ao triplo do
quadrado do número de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o
número de filhos. Montando a sentença matemática temos:
3x² = 63 - 12x
Que pode ser expressa como:
3x² + 12x - 63 = 0
Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax² + bx + c = 0,
que é denominada equação do 2°grau. Vamos então encontrar as raízes da
equação, que será a solução do nosso problema:
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Exercícios
•
Primeiramente calculemos o valor de ∆:
Como ∆ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas
raízes reais distintas. Vamos calculá-las:
A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma
pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.
Portanto:
Pedro tem 3 filhos.
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Exercícios
•
Exercício 6: O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos
atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?
•
Solução:
Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar
a seguinte equação:
x2 - (x - 20) = 2000
Ou ainda:
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Exercícios
•
A solução desta equação do 2°grau completa nós dará a resposta deste
problema. Vejamos:
As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos,
é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo:
Agora eu tenho 45 anos.
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