Teoria dos Conjuntos Fuzzy

Como tudo começou!
Lotfi Asker Zadeh
Falando sobre Conjuntos Fuzzy
Exemplos de Conjuntos Fuzzy
Operações com Conjuntos Fuzzy
O que consultamos?
Teoria dos Conjuntos Fuzzy
Francisco Carpegiani Medeiros Borges
Universidade Federal do Piauı́
Campus Parnaı́ba
27 de setembro de 2011
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COMO ESSA HISTÓRIA DE FUZZY COMEÇOU ?
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O QUE SIGNIFICA A PALAVRA FUZZY ?
Fuzzy
Palavra inglesa, que significa INCERTO, IMPRECISO,
DIFUSO, NEBULOSO, SUBJETIVO, ETC.
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A Teoria dos Conjuntos Fuzzy foi introduzida, em 1965, pelo
matemático iraniano Lofti Asker Zadeh, com a publicação do artigo “Fuzzy Sets”, com a principal finalidade de dar um tratamento matemático a termos linguı́sticos subjetivos, tais como: “aproximadamente”, “em torno de”, “baixo”, etc.
Esse seria um primeiro passo no sentido de se programar e armazenar
conceitos vagos em computadores, tornando possı́vel a produção de
cálculos com informações imprecisas, a exemplo do que faz o ser
humano.
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Lofti Asker Zadeh
Lotfali Askar-Zadeh(1921)
Nasceu na cidade de Baki, no Azerbaijão. Imigrou
para os Estados Unidos em 1944, devido à Segunda
Guerra Mundial
Mudou o nome para Lotfi Asker Zadeh
Mestrado em Eng. Elétrica pela Massachusetts
Institute of Technology(MIT), em 1946
Doutorado em Eng. Elétrica pela Columbia University,
em 1949
Professor da Universidade da Califórnia, Berkeley,
desde 1959
Em 1973, propõe a Teoria da Lógica Fuzzy
É referêncica nas áreas de Matemática Aplicada e
Ciências da Computação
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Função de Pertinência de um conjunto “crisp”(clássico)
χA (x) =
1 ,
se x ∈ A
0 , caso contr ário
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Conjunto Fuzzy
Seja U um conjunto crisp. Um conjunto fuzzy A em U é
caracterizado por uma função
µ : U → [0, 1],
chamada função de pertinência do conjunto fuzzy A.
Em outras palavras, um conjunto fuzzy A em U é expresso em
conjunto de pares ordenados:
A={(x,µA (x)) | x ∈ U}
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Conjunto crisp × Conjunto fuzzy
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Conjunto dos números naturais “pequenos”.
F = {n ∈ N | n é pequeno}
Quem pertence a F ? 0 está em F ? 1000 está em F ?
Na teoria fuzzy, pode-se dizer que ambos pertencem a F,
porém com graus de pertinência distintos, de acordo com a
propriedade que o caracteriza.
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Uma possibilidade para a função de pertinência de F é
µF (n) =
1
n+1
Desse modo, µF (0) = 1 e µF (1000) = 0, 0011.
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Outra possibilidade seria
µF (n) = e −n
Com isso, µF (0) = 1 e µF (1000) ≈ 5, 0759 × 10−435 .
A escolha da função que representará o conjunto fuzzy depende de
fatores relacionados com o contexto do problema em questão.
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Conjunto dos “jovens”de uma cidade.
⇒ A cada indivı́duo desta população podemos associar um
número real correspondente à sua idade.
⇒ Considere o conjunto universo das idades o intervalo
U = [0, 120]
⇒ x ∈ U é interpretado como a idade de um indivı́duo.
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O conjunto fuzzy J de U, dos jovens desta cidade, poderia ser
caracterizado pelas seguintes funções de pertinência

,
se x ≤ 10
 1
80−x
µJ (x) =
,
se
10 < x ≤ 80
 70
0
,
se x > 80
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ou
(
µJ (x) =
40−x 2
40
0
, se 0 ≤ x ≤ 40
, se 40 < x ≤ 120
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=⇒ A adoção de U = [0, 120] está ligada ao fato de termos
escolhido a idade para indicar o quanto um indivı́duo
é jovem. Se fosse adotada outra caracterı́stica como o
número de cabelos grisalhos, ou o número de filhos, ou
de netos para indicar o grau de jovialidade, o conjunto
universo U seria outro.
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Conjunto dos números reais “próximos”de 2.
P = {x ∈ R | x é pr óximo de 2}
Como identificar quais elementos pertencem a P ?
Será que 1,99 está em P ? E o que dizer de 10 ?
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Se considerarmos a seguinte função de pertinência µP : R → [0, 1]
dada por
1 − |x − 2| , se 1 ≤ x ≤ 3
µJ (x) =
0
, caso contr ário
Temos que µP (1, 99) = 0, 99 e µP (10) = 0, ou seja, neste caso,
dizemos que x=1,99 é um número próximo de 2 com grau de
proximidade 0,99 e x=7 não é próximo de 2.
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Por outro lado, alguém poderia sugerir outra função de
proximidade a 2. Por exemplo, se tal função fosse definida por
2
µP (x) = e −(x−2) , ∀ x ∈ R
Terı́amos então µP (1, 99) = 0, 9999 e µP (10) = 1, 6 × 10−28 .
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Algumas observações podem ser feitas:
. Nem sempre é imediato determinar o conjunto universo
de um conjunto fuzzy
. A escolha da função que representará o conjunto fuzzy
depende de fatores relacionados com o contexto do problema em questão
. Cada possibilidade da função de pertinência produz um
conjunto fuzzy diferente
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Inclusão Fuzzy
A é dito um subconjunto fuzzy de B, e denotamos A ⊂ B, se
A(x) ≤ B(x) ∀ x ∈ U
União de Conjuntos Fuzzy
A união entre A e B é o conjunto fuzzy cuja função de pertinência
é dada por
(A ∪ B)(x) = max{A(x), B(x)}.
x∈U
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Interseção de Conjuntos Fuzzy
A união entre A e B é o conjunto fuzzy cuja função de pertinência
é dada por
(A ∩ B)(x) = min{A(x), B(x)}.
x∈U
Complemento de Conjunto Fuzzy
O complemento de A é um conjunto fuzzy A’ cuja função de
pertinência é dada por
A0 (x) = 1 − A(x) , x ∈ U
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Vejamos um exemplo com as operações.
Suponha que o conjunto universo U seja composto pelos pacientes de um hospital, identificados pelos números 1,2,3,4
e 5. Sejam A e B os conjuntos fuzzy que representam os
pacientes com dengue e virose, respectivamente.
Paciente
1
2
3
4
5
Dengue(A)
0,7
1
0,4
0,5
1
Virose(B)
0,6
1
0,2
0,5
0,2
A∪B
0,7
1
0,4
0,5
1
A∩B
0,6
1
0,2
0,5
0,2
A’
0,3
0
0,6
0,5
0
A∩A0
0,3
0
0,4
0,5
0
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PROPRIEDADES
A∪B =B ∪A
A∪(B∩C ) = (A∪B)∩(A∪C )
A∩B =B ∩A
A∩(B∪C ) = (A∩B)∪(A∩C )
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
A∩∅=∅ e A∪∅=A
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
A∩U =A e A∪U =U
A∪A=A
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
A∩A=A
(A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0
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Na Teoria dos Conjuntos Fuzzy, não vale a Lei do Terceiro
Excluı́do, isto é, A ∩ A0 = ∅.
Veja que na coluna A ∩ A0 , o valor 0,3 indica que o paciente 1 está
tanto no grupo dos “dengosos”como no dos “não-dengosos”.
Também não é válido que A ∪ A0 = U.
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Laécio Carvalho de Barros & Rodney Carlos Bassanezi
Tópicos de lógica fuzzy e biomatemática
Campinas, SP: UNICAMP/IMECC, 2006.
Biografia de Lotfi A. Zadeh
http://en.wikipedia.org/wiki/Lotfi A. Zadeh
Acesso em: 21 de setembro de 2011.
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