Lista 1 - MTM

MTM 5261 | Lista 1
Aneis
16/03/17
Professor: Sergio Tadao Martins
Z
is complicated.
(Obs.: um anel, para nos, sempre e um anel com unidade)
1) Se a e b s~ao elementos nilpotentes do anel comutativo A, prove que a + b tambem e nilpotente. O resultado
continua valido se n~ao supusermos que A e comutativo?
2) Se S e um conjunto qualquer, seja ℘(S) o conjunto das partes de S (isto e, o conjunto de todos os subconjuntos de
S. Dena em ℘(S) as operac~
oes + e · por
A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B),
A · B = A ∩ B.
Mostre que, com estas operac~oes, ℘(S) e um anel comutativo no qual a2 = a para todo a ∈ ℘(S). O anel ℘(S) tem
unidade?
3) Se A e um domnio, prove que A[x] e um domnio.
4) Seja A o anel das func~oes R → R no qual denimos a soma e a multiplicac~ao ponto a ponto, isto e,
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
e (fg)(x) = f(x)g(x).
Calcule A× .
5) O centro de um anel A e o conjunto {z ∈ A | az = za∀a ∈ A}, isto e, o conjunto dos elementos que comutam com
todos os elementos de A. Prove que o centro de um anel A e um subanel de A. Prove que o centro de um anel com
divis~ao e um corpo.
6) Calcule o centro do anel Mn (R).
7) Seja H = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R} o anel dos quaternios reais visto em aula. Determine o centro de H.
8) Se G = {g1 , . . . , gn } e um grupo nito e A e um anel, mostre que N = g1 + · · · + gn pertence ao centro do anel de
grupo AG.
9) Seja x um elemento nilpotente do anel comutativo A.
a) Prove que ax e nilpotente para todo a ∈ A.
b) Prove que 1 + x ∈ A× .
c) Prove que a soma de um elemento nilpotente com uma unidade de A e uma unidade de A.
10) (para quem fez Algebra
Linear)Se o elemento x ∈ A e nilpotente, o menor inteiro positivo n tal que xn = 0 e
chamado de ndice de nilpot^encia de x. Qual o maior ndice de nilpot^encia possvel para um elemento de Mn (C)?
Q
11) Seja {Ai }i∈I uma famlia de aneis. Verique que o produto cartesiano i∈I Ai e um anel com as operac~oes de
soma e multiplicac~ao denidas coordenada por coordenada (tal anel e chamado de produto direto da famlia {Ai }).
12) Seja A =
Y
Z = Z × Z × Z × · · · o produto direto de uma quantidade enumeravel de copias de Z, e seja
i∈N
R = {f : A → A | f e morsmo de grupos abelianos}
o anel com operac~oes de soma e multiplicac~ao dadas por (f + g)(a) = f(a) + g(a) e (fg)(a) = f(g(a)). Finalmente,
sejam ϕ, ψ ∈ R os morsmos dados por
ϕ(a1 , a2 , a3 , . . .) = (a2 , a3 , . . .)
e ψ(a1 , a2 , a3 , . . .) = (0, a1 , a2 , a3 , . . .).
a) Prove que ϕψ = 1 mas ψϕ 6= 1 (isto e, ψ e um inverso a direita para ϕ mas n~ao e um inverso a esquerda)
b) Exiba innitos inversos a direita para ϕ .
c) Determine um π ∈ R − {0} tal que ϕπ = 0 e prove que n~ao existe λ ∈ R − {0} tal que λϕ = 0.
13) Seja
(a ) a sequ^encia dada por a0 = 1, a1 = 4 e an+2 = 5an+1 − 6an . Seja f(x) ∈ R[[x]] a serie formal
P n
f(x) =
∞
n=0
an xn
a) Mostre que (1 − 5x + 6x2 )f(x) = 1 − x.
b) Mostre que
2
1
1−x
=
−
.
2
1 − 5x + 6x
1 − 3x 1 − 2x
c) Deduza que an = 2 · 3n − 2n para todo n ≥ 0.
14) A sequ^encia de Fibonacci e denida por F0 = 0, F1 = 1 e Fn+2 = Fn+1 + Fn para todo n ≥ 0. Mostre que
Fn =
αn − βn
,
α−β
√
√
1+ 5
1− 5
em que α =
eβ=
.
2
2
15) Prove que 32n+1 + 2n+2 e multiplo de 7 para todo n natural.
16) Determine inteiros x e y que resolvam as equac~oes abaixo:
a) 93x + 81y = 3
b) 43x + 128y = 1
17) Se a e b s~ao primos entre si, mostre que
aϕ(b) + bϕ(a) ≡ 1 (mod ab).
18) (Teorema de Wilson) Prove que o inteiro n > 1 e primo se, e somente se, (n − 1)! ≡ −1 (mod n).