Álgebra na Mesopotâmia • De uma forma discursiva, com poucos

Álgebra na Mesopotâmia
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De uma forma discursiva, com poucos símbolos para as incógnitas;
Os mesopotâmios sabiam resolver, sem o uso de fórmulas, a equação do 1º grau, sistemas lineares com duas incógnitas,
equações do 2º grau, sistemas do 2º grau com duas incógnitas, equações biquadradas e algumas cúbicas.
Exemplo:
Sistemas Lineares
1
𝑥+ 𝑦=7
{
4
𝑥 + 𝑦 = 10
1
𝑥+ 𝑦 =7∙4
{
4
𝑥 + 𝑦 = 10
⟹
4 × 7 = 28
28 − 10 = 18
18
=6→𝑥
3
10 − 6 = 4 → 𝑦
4𝑥 + 𝑦 = 28
{
𝑥 + 𝑦 = 10 ∙ (−1)
⟹
4𝑥 + 𝑦 = 28 ↰
{
−𝑥 − 𝑦 = −10
⟹
3𝑥 = 18
𝑥=6
𝑦=4
Exemplo:
Problema:






Equação do 2º grau
Qual e o lado de um quadrado se a área menos o lado dá 14 , 30?
𝑥 2 − 𝑥 = 870
Tome a metade de 1 que é 0 ; 30.
Multiplique o resultado por ele mesmo que dá 0 ; 15.
Some isto a 14 , 30 o que dá 14, 30 ; 15.
Isto é o quadrado de 29 ; 30.
Agora some 0 ; 30 à 29 ; 30 e o resultado é 30, que é o lado do quadrado.
“Este é o procedimento”.
Em notação atual:
𝑥 2 − 𝑝𝑥 = 𝑞 ⟹ 𝑥 2 − 𝑝𝑥 − 𝑞 = 0
𝑝
𝑝 2
𝑝 2
𝑝 2
𝑝 2
𝑝 𝑝
𝑝2 + 4𝑞 𝑝 √𝑝2 + 4𝑞 𝑝 + √𝑝2 + 4𝑞
⟶ ( ) ⟶ ( ) + 𝑞 ⟶ √( ) + 𝑞 ⟶ √( ) + 𝑞 + = + √
= +
=
2
2
2
2
2
2 2
4
2
2
2
𝑥=
Exemplo:
𝑝 ± √𝑝2 + 4𝑞
2
Resolva a equação 11𝑥 2 + 7𝑥 = 6 ; 15 utilizando o método babilônico.
11𝑥 2 + 7𝑥 = 6 ; 15 ∙ (11)
(11𝑥)2 + 7 ∙ (11𝑥) = 1 , 8 ; 45
11𝑥 = 𝑦
𝑦 + 7𝑦 = 1 , 8 ; 45
2
7
7 2 49 49
11
7 11
= 3,5 → ( ) =
→
+ 66 +
= 81 → √81 = 9 → 9 − =
=𝑦
2
2
4
4
4
2
2
11
11 1
11𝑥 =
→𝑥=
=
2
22 2
Exemplo:
Equações biquadradas
𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 = 𝑐
𝑥2 = 𝑦
𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Exemplo:
Equações Cúbicas
3
a)
𝑥 = 0 ; 7 , 30
𝑥3 =
b)
1
1
⟹ 𝑥 = ⟹ 𝑥 = 0 ; 30
8
2
𝑥 3 + 𝑥 2 = 4 , 12
𝑥 3 + 𝑥 2 = 252 ⟹ 𝑥 = 6
c)
144𝑥 3 + 12𝑥 2 = 21
144𝑥 3 + 12𝑥 2 = 21 ∙ (12)
(12𝑥)3 + (12𝑥)2 = 252
𝑦 = 12𝑥
𝑦 3 + 𝑦 2 = 252 ⟹ 𝑦 = 6
6 = 12𝑥 ⟹ 𝑥 =
6
1
= ⟹ 𝑥 = 0 ; 30
12 2
Teoria dos Números
Na placa de argila Plimpton 322 (G. Plimpton 322 – Columbia University NY) estudada por Otto Neugebauer (1945) foram
encontrados ternos pitagóricos dispostos em 15 linhas.
Exemplos:
3 ,4 ,5
5 , 12 , 13
𝑎 = 3, 31, 49
𝑏 = 3 , 45, 0
𝑐 = 5, 9, 1
12 709
13 500
18 541
161 518 681
182 250 000
343 768 681
Geometria
Era uma álgebra aplicada à figura. Nenhuma definição, nenhum teorema. Calcularam a diagonal do quadrado, a altura do
triângulo equilátero, áreas de triângulos, retângulos e trapézios. Para a área do círculo usavam 𝜋 = 3.
Exercícios
1. Quais são as mais importantes contribuições da Mesopotâmia ao desenvolvimento da matemática? Explique porque as
considera importantes.
2. Quais são as deficiências da matemática mesopotâmia? Explique.
3. Descreva as vantagens e desvantagens relativas as notações dos mesopotâmios para os números.
4. Escreva os números 10 000 e 0,0862 em notação mesopotâmia.
5. Use o algoritmos mesopotâmio para raiz quadrada para encontrar a raiz quadrada de 2, com seis casas decimais e compare
com o valor mesopotâmio 1; 24, 51, 10.
6. Mostre que a representação sexagesimal de 1/7 tem periodicidade de três casas. Quantas casas há na periodicidade em
representação decimal?