Aspectos Quânticos da Óptica Não Linear

Curso: Introdução à Física Atômica Molecular
Professor: Phillipe Wilhelm Courteille
Autor: Tiago Gualberto Bezerra de Souza
Aspectos Quânticos da Óptica Não Linear
Introdução
Óptica não linear é o ramo da fotônica, que estuda a interação entre luz e
matéria. Mais especificamente, a óptica não linear estuda fenômenos que ocorrem
como consequência das modificações das propriedades ópticas dos materiais pela
presença de luz, de forma que esta introduza uma perturbação no sistema Tais
modificações são apreciáveis apenas quando a luz interagente é suficientemente
intensa, – aproximadamente da ordem do campo elétrico interatômico (
) – de forma que esses fenômenos só foram propriamente estudados
após o advento do laser.
Geralmente, a interação luz-matéria é expressa através da relação entre a
polarização induzida no meio (
) com o campo óptico da luz (
). No caso das
propriedades ópticas lineares, essa relação pode ser expressa de forma linear:
̃
̃
(1)
Porém, no regime perturbativo da óptica não linear essa expressão é
generalizada a uma série de potências do campo elétrico
̃
[
̃
̃
̃
]
(2)
De forma que termos de polarização de ordens mais elevadas (
) são considerados. Logo, os fenômenos são não lineares no sentido de
que o seu efeito óptico depende não linearmente com o campo óptico aplicado ao
material.
Em um tratamento mais completo, em termo de propriedades ópticas dos
materiais, ̃ e ̃ são campos vetoriais e a susceptibilidade elétrica é uma grandeza
tensorial. Contudo, para simplificar o tratamento e torna-lo mais didático considerar-seos campos como escalares e
como constantes independentes da frequência .
Exemplos de fenômenos ópticos não lineares são: os processos paramétricos
de soma e diferença de frequências (Figura 1), oscilação paramétrica óptica e a
dependência do índice de refração com a intensidade óptica.
Figura 1 – Processos paramétricos de a) soma de frequência, b) diferença de fequência e c)
geração de terceiro harmônico.
E como exemplo de um processo não paramétrico tem-se: a absorção
multifotônica, espalhamento Raman estimulado e a absorção saturada. Nesse ultimo,
o coeficiente de absorção do material diminui com o aumento da intensidade de luz:
(3)
A absorção saturada é um exemplo em que a teoria perturbativa não é capas
de prover bons resultados, e a sua descrição mais fidedigna se dá pela aproximação
de um sistema quântico com dois níveis.
Se faz importante também ressaltar que processos paramétricos são aqueles
em que os estados quânticos iniciais e finais de um sistema são idênticos e que,
consequentemente, a população de um estado quântico só pode ser removida por um
breve lapso temporal – limitado pelo princípio de incerteza de Heisenberg (
) –
quando ela reside em um estado virtual, diferente em energia
do estado inicial. Já
os processos não paramétricos são aqueles que envolvem transferência de população
entre níveis de energia reais, auto estados do hamiltoniano do sistema. Em termos da
susceptibilidade elétrica do meio,
é uma grandeza real em processos
paramétricos e imaginária em não paramétricos.
Descrições da susceptibilidade óptica não linear
A descrição dos fenômenos ópticos não lineares podem ser abordados por
diversas perspectivas, sendo a maioria delas semi-clássicas no sentido que a matéria
é tratada quanticamente, enquanto que a radiação eletromagnética é vista
classicamente. Uma delas é a descrição que explora a natureza ondulatória da
radiação, que utiliza as equações de Maxwell para descrever a geração de novas
componentes espectrais pelos termos de polarização não linear, e mais geralmente
ela explica como diferentes frequências podem se acoplar através da sua interação
não linear com o material. Pode ser demonstrado que a equação de onda
eletromagnética no regime não linear é descrita por:
̃
̃
̃
(4)
̃
̃ . Nessa visão, ̃
tal que ̃
diversas daquela incidente.
age como termo fonte de frequências,
Muito embora a teoria eletromagnética seja capaz de explicar diversos aspectos da
óptica não linear, é a descrição quântica que fornece expressões explícitas para a
susceptibilidade óptica não linear. Há três motivações principais para obter expressões
quânticas:
i.
Elas revelam uma forma funcional do termos da susceptibilidade óptica não
linear e mostram como estas dependem de parâmetros microscópicos dos
materiais, tais como os momentos de dipolo de transição e os níveis de energia
atômicos.
ii.
Elas mostram as simetrias internas da susceptibilidade não linear.
iii.
Podem ser usadas para calcular
susceptibilidades não lineares.
numericamente
os
valores
das
As previsões numéricas da teoria quântica para a susceptibilidades ópticas não
lineares são precisas, particularmente, para o caso de vapores atômicos, pois os
parâmetros atômicos destes são conhecidos com precisão suficiente para que a teoria
forneça resultados confiáveis.
Ainda dentro da mecânica quântica, dois formalismos podem ser empregados para
o calculo das susceptibilidades ópticas não lineares. A teoria quântica de perturbação
da função de onda é usada para fazer predições sobre sistemas não ressonantes, ou
seja, aqueles em que a energia no fóton é bem menor do que a separação entre dois
auto-estados do material. Entretanto, quando as interações são próximas da
ressonância, e é necessário incluir processos de relaxação, utiliza-se o formalismo da
matriz de densidade de estados que, embora seja mais complexo, provê resultados
mais geralmente válidos.
Óptica não linear em uma aproximação de um sistema de dois
níveis
Finalmente, tendo se estabelecido os conceitos gerais da óptica não linear e
introduzido como a mecânica quântica se relaciona com ela, podemos fazer um estudo
de caso para compreender melhor a abordagem quântica da óptica não linear. Para
tanto, será apresentado um exemplo em a expansão em série de potências não
converge, ou seja, o tratamento em que a luz entra como uma perturbação do sistema
não é conveniente. Então, como já foi citado no início do texto, esse é o caso dos
absorvedores saturados. Lembrando que neles o coeficiente de absorção depende da
| | ) do campo óptico aplicado.
intensidade (
Nessas condições a complexidade de descrever o sistema de uma maneira
não perturbativa pode ser compensada pela aproximação de dois níveis de energia,
pois ela elimina a soma sobre todos os estados que aparecem na expressão geral de
. Embora a aproximação de dois níveis ignore muitas das características dos
sistemas atômicos reais, ela é muito rica quando trata de efeitos como absorção
saturada, oscilação de Rabi e Stark óptico.
Solução estacionária para um campo monocromático e um
sistema de dois níveis
Em um sistema de dois níveis ( e ), abstendo efeitos de amortecimento, a
interação de um sistema de dois níveis com um campo óptico é descrito pelo
hamiltoniano
, onde
representa a energia dos estados puros (
e
)e
a interação com a luz. Assumindo que a interação possa ser
seja descrita pela aproximação de dipolo elétrico (
) e que os estados
do sistema tenham paridade bem definida, tem-se que
, pois
. Dessa forma, os únicos elementos não nulos da interação são
e
,
relacionados por
.
A evolução do operador de densidade ( ) do sistema de dois níveis é dada pela
seguinte expressão:
[
tal que
]
∑
(5)
é a frequência de transição.
Desenvolvendo essa equação de movimento para os níveis e demosntra-se
que
é uma quantidade conservada, e como os elementos diagonais de
representam probabilidades de ocupação dos estados, temos que
para
um sistema fechado.
Neste ponto a equação do movimento pode ser generalizada para incluir
processos de relaxação (Figura 2), como o decaimento do nível para o à taxa
e a largura de linha de transissão
Figura 2 – Processo de relaxamento de em um sistema de dois níveis
No geral, os processos de relaxação são introduzidos fenomenologicamente
nas equações do movimento, sem que haja prejuízos para o desenvolvimento destas.
Assim, incluindo os termos citados tem-se:
(
)
(6)
(7)
onde é enfatizada a diferença de população entre os estados, que relaxam da
condição inicial (
) até o equilíbrio (
, supondo que no
equilíbrio térmico este termo possa ser diferente do que
) em um tempo da ordem
de .
Como as equações de movimento não podem ser resolvidas analiticamente
para
, usa-se uma aproximação chamada de onda girante1. Nessa aproximação, na
ausência de fontes externas,
evolui como
e, portanto,
é
aproximadamente igual a
, logo, a parte de
que oscila com
atua de forma
mais efetiva do que
na evolução de
:
(
(8)
)
Além da aproximação de onda girante, também é interessante eliminar a
solução transiente das equações de movimento, determinando a solução estacionária
do problema. Para isso, introduz-se um termo que varia lentamente com o tempo
(
) e despreza-se as taxas de variação (
). Resolvendo
algebricamente as equações, obtem-se:
[
]
(
)|
| | |
(9)
(10)
Finalmente, determina-se a polarização do material ( ̃
), e
consequentemente sua susceptibilidade (
), através do formalismo da matriz
de densidade, em função de parâmetros microscópicos do meio.
̂ ̂
[
| || |
onde
campo óptico.
|
(11)
|
]
é a frequência de Rabi, e
(12)
, é a dessintonização do
Com esse formalismo quântico, a susceptibilidade expressa é total, estando
incluso os efeitos lineares e não lineares, para exemplificar basta considerar o
coeficiente de absorção (
), que é uma quantidade diretamente observável.
1
Tradução livre do autor para “rotating wave approximation”.
(13)
|
[
|
(14)
]
Vê-se que a equação para a absorção tem a mesma forma funcional que a
equação 3, e que
relaciona o coeficiente de absorção linear com as grandezas
quânticas do sistema com dois níveis. A tendência da absorção decrescer quando
medida com campos ópticos intensos é conhecida como saturação. A situação é
ilustrada na figura 3 a seguir:
Figura 3 – Parte real e imaginária da susceptibilidade
(em unidades de
)
Por fim, a expressão quântica para a susceptibilidade pode ser desenvolvida
em uma série de potências e comparada com os termos de primeira e terceira ordem:
[
|
|
|
|
]
(15)
(16)
Como foi enfatizado anteriormente, a formulação quântica da óptica não linear
fornece valores diretos para os termos não lineares e é mais adequada para regimes
próximos da ressonância. Por exemplo, considerando valores típicos para a transição
do sódio atômico:
,
,
,
,e
. Obtém-se o valore de
, que é um valor mais alto do que o determinado para sistemas não
ressonantes, porém condizente para sistemas próximos da ressonância.
REFERENCIA
Robert Boyd – Nonlinear Optics, 3º Edição.