VI - Quadripolos - LaPS

Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
VI - Quadripolos
No estudo de circuitos é bastante comum existir um acoplamento entre uma fonte (colocada
em um par de terminais) e uma carga (num outro par de terminais), muitas vezes ligados
por uma estrutura complexa. Por exemplo, no estudo de filtros e de linhas de transmissão.
Essas estruturas, genericamente chamadas de quadripolos, podem ser modeladas
matricialmente, facilitando assim o estudo sistemático de seu comportamento para
diferentes cargas colocadas sob diversas excitações.
figura 6.1
Um quadripolo é um circuito qualquer com DOIS pares de terminais, onde valem as
relações de corrente:
Embora a definição contemple circuitos não-lineares, na representação matricial são
analisados apenas circuitos lineares.
Matriz Admitância
Para o estudo sistemático dos quadripolos lineares as condições iniciais serão consideradas
nulas e estes não devem possuir fontes independentes. Portanto, usando a representação
transformada de Laplace do circuito, as análises serão sempre algébricas.
figura 6.2
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
100
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Define-se Matriz Admitância Y:
Portanto, dadas as tensões V1 e V2
determinam-se as correntes I1 e I2.
Exemplo:
figura 6.3
Escrevendo as equações para o circuito (método dos nós), obtém-se:
Se um quadripolo é recíproco, sua Matriz Admitância é simétrica, isto é, Y12 = Y21.
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
101
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Associação em Paralelo
Propriedade:
A Matriz Admitância da associação em paralelo de dois quadripolos é igual à soma de suas
Matrizes Admitâncias
figura 6.4
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
102
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Exemplo:
figura 6.5
figura 6.6
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
103
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Interpretação dos Parâmetros da Matriz Admitância
Interpretação dos Parâmetros da Matriz Admitância
figura 6.7
figura 6.8
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
104
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Interpretação da Matriz Admitância
figura 6.9
Admitância de Entrada
Transadmitância
Transadmitância
Admitância de Saída
Matriz Impedância
figura 6.10
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
105
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Define-se Matriz Impedância Z:
Portanto, dadas as correntes I1 e I2,
determinam-se as tensões V1eV2.
Se um quadripolo é recíproco, sua Matriz Impedância é simétrica, isto é, Z12 = Z21.
Para o mesmo quadripolo, tem-se:
Exemplo:
figura 6.11
As equações deste circuito são:
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
106
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Resolvendo para V1 e V2, obtém-se
ou
Associação em Série
Propriedade:
A Matriz Impedância da associação em série de dois quadripolos é igual à soma de suas
Matrizes Impedâncias.
figura 6.12
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
107
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Interpretação dos Parâmetros da Matriz Impedância
figura 6.13
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
108
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Interpretação da Matriz Impedância
figura 6.14
Impedância de Entrada
Transimpedância
Transimpedância
Impedância de Saída
Quadripolos Equivalentes
Dois quadripolos são equivalentes se possuem a mesma matriz de representação.
Exemplo:
figura 6.15
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
109
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Circuito Equivalente:
figura 6.16
Pois
Quadripolos Recíprocos
Com uma fonte de tensão de 1 Volt e um medidor de corrente ideais, tem-se
figura 6.17
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
110
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
figura 6.18
Pelo Teorema da Reciprocidade,
.
Associação de Quadripolos
Contra-Exemplo:
figura 6.19
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
111
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
figura 6.20
A matriz Y não representa a associação paralelo dos dois quadripolos. Nesta associação,
em cada uma das estruturas, a corrente do terminal superior é diferente da que sai pelo
terminal inferior.
Parâmetros Impedância
Para circuitos recíprocos, as diversas representações matriciais de quadripolos podem ser
obtidas a partir dos parâmetros:
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
112
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Note que
Quatro parâmetros impedância
3 graus de liberdade
Para quadripolos recíprocos
Matriz de Transmissão ou Matriz ABCD
figura 6.21
Note o sentido de referência da corrente I2, facilitando a associação em cascata de
quadripolos.
Apropriada ao estudo de linhas de transmissão.
Define-se Matriz de Transmissão T:
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
113
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Portanto, dadas a tensão V2 e a corrente I2
determinam-se a tensão V1 e a corrente I1
Exemplo:
figura 6.22
Resolvendo para V1 e I1,
_
Matricialmente
Interpretação dos Parâmetros da Matriz ABCD
_
figura 6.23
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
114
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Impedância de Entrada
Qual a impedância de entrada de um quadripolo terminado com uma impedância Z?
_
figura 6.24
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
115
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Na carga Z:
_
_
_
_
Equivalência entre Matriz Admitância e Matriz de Transmissão
Substituindo V1 na primeira expressão,
Portanto, trocando-se o sinal de I2
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
116
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Determinante Unitário
Calculando o determinante da Matriz de Transmissão
Obs.: Para quadripolos recíprocos (Y12 =Y21), a matriz de Transmissão tem determinante
unitário, isto é:
Propriedade: (Quadripolos recíprocos)
_
_
_
A Matriz Transmissão no sentido inverso é igual à inversa da Matriz de Transmissão no
sentido direto.
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
117
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Thévénin
Qual o modelo de Thévénin do circuito?
_
figura 6.25
Invertendo-se os sentidos de I1 e de I2, tem-se:
Calculando-se a Impedância ``vista'' ZTh (de maneira análoga à do exemplo anterior)
Usando as equações
Tensão de Thévénin (circuito aberto)
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
118
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Equação da Malha na entrada do quadripolo:
Substituindo
Para quadripólos recíprocos: DA - BC=1
Associação em Cascata
Propriedade:
A Matriz de Transmissão da associação em cascata de dois quadripolos é igual ao produto
de suas Matrizes de Transmissão.
_
_
figura 6.26
_
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
119
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
_
_
Matriz Híbrida
figura 6.27
Usada para modelar transistores bipolares na região ativa.
Define-se Matriz Híbrida H:
Portanto, dadas a corrente I1 e a tensão V2
determinam-se a corrente I2 e a tensãoV1.
Exemplo
figura 6.28
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
120
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Resolvendo para V1e I2
Matricialmente
Propriedade: Nos quadripolos recíprocos, a Matriz Híbrida é anti-simétrica, isto é,
.
Interpretação dos Parâmetros da Matriz Híbrida
figura 6.29
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
121
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Interpretação da Matriz Híbrida
figura 6.30
Impedância de Entrada
Ganho reverso de tensão
Ganho direto de corrente
Admitância de Saída
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
122
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Exemplo:
Matriz Híbrida para o modelo de transistor com emissor comum:
figura 6.31
Note que
isto é, este circuito não é recíproco (tem fonte dependente).
Não existe Matriz Admitância
Obs.: Note que para alguns quadripolos pode não existir uma das representações.
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
123
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Exemplo:
figura 6.32
Matriz Impedância:
Não existe Matriz Admitância.
Matriz de Transmissão (invertendo o sentido de I2):
Não existe Matriz Impedância
Exemplo:
figura 6.33
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
124
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
Matriz Admitância:
Não existe Matriz Impedância.
Matriz de Transmissão (invertendo o sentido de I2):
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
125
Circuitos Elétricos II
Capítulo 6 – QUADRIPOLOS
CARTA DE CONVERSÃO DE MATRIZES DE QUADRIPOLOS
Z
Z
Y
T
T’
H
G
Y
z11
z12
z21
z22
z22 −z12
∆Z ∆Z
−z21 z11
∆Z ∆Z
T
y
y
−
∆Y
∆Y
−y
y
∆Y ∆Y
22
21
12
11
y11
y12
y21
y22
A ∆T
C C
1 D
C C
D −∆T
B
B
−1 A
B
B
z11 ∆Z
z21 z21
1 z22
z21 z21
− y22 −1 A
y21
y21
− ∆Y − y11
y21
y21 C
z22 ∆Z
z12 z12
1 z11
z12 z12
− y11
y12
−∆Y
y12
∆Z
z22
− z21
z22
1
y11
y 21
y11
− y12
y11
∆Y
y11
∆Y
y 22
− y 21
y 22
y12
y 22
1
y 22
1
z11
z 21
z11
z12
z22
1
z22
− z12
z11
∆Z
z11
−1
y12
− y 22
y12
Profa Dra Valquíria Gusmão Macedo
[email protected]
T’
B
D
D
∆T
C
∆T
B
∆T
A
∆T
B
D
− 1
D
∆T
D
C
D
C
A
1
A
−∆ T
A
B
A
D′
C′
∆T '
C′
A′
B′
− ∆T '
B′
1
C′
A′
C′
−1
B′
D′
B′
H
G
∆H h12
h22 h22
−h21 1
h22 h22
1
h1 1
− h1 2
h1 1
h21
h1 1
∆H
h1 1
1 −g12
g11 g11
g21 ∆G
g11 g11
∆G g12
g22 g22
− g21 1
g22 g22
D′ B ′
∆T ′ ∆T ′
C ′ D′
∆T ′ ∆T ′
−∆H −h11
h21
h21
−h22 −1
h21
h21
A′
B′
C′
D′
1
h12
h22
h12
B′
A′
− ∆T ′
A′
1
A′
C′
A′
1
g21
g22
g21
g
∆G
g21
11
g21
h11
h12
∆H
h12
h11
h12
h21
h22
C′
D′
−1
D′
h22
∆H
− h12
∆H
∆T ′
D′
B′
D′
−h21
∆H
h11
∆H
− ∆G
g12
− g11
g12
− g 22
g12
−1
g12
g 22
∆G
− g 21
∆G
− g12
∆G
g11
∆G
g11
g12
g21
g22
126