PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO E DE ESTIMATIVA

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PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO E DE ESTIMATIVA SIMULTÂNEA
DE MODELOS E PARÂMETROS EM CRESCIMENTO DE TUMORES
José Mir Justino da Costa
Tese
de
Doutorado
apresentada
ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica,
COPPE,
da
Universidade
Federal do Rio de Janeiro, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do título
de Doutor em Engenharia Mecânica.
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Rio de Janeiro
Setembro de 2015
PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO E DE ESTIMATIVA SIMULTÂNEA
DE MODELOS E PARÂMETROS EM CRESCIMENTO DE TUMORES
José Mir Justino da Costa
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM
CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________
Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.
_______________________________________
Prof. Haroldo Fraga de Campos Velho, D.Sc.
________________________________________
Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
________________________________________
Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.
________________________________________
Prof. Antonio Carlos Gardel Leitão, Ph.D.
________________________________________
Prof. Viviane de Oliveira Freitas Lione, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
SETEMBRO DE 2015
Costa, José Mir Justino da
Problema de Estimativa de Estado e de Estimativa
simultânea de Modelos e Parâmetros na Modelagem de
Crescimento de Tumores / José Mir Justino da Costa. –
Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2015.
XXI, 188 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2015.
Referências Bibliográficas: p. 171-181.
1. Câncer. 2. Problema Inverso. 3. Filtro de Partículas.
4. Seleção de Modelos. I. Orlande, Helcio Rangel Barreto
et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,
Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.
iii
Para meus pais, minha esposa e meus
filhos.
iv
AGRADECIMENTOS
Queria agradecer em primeiro lugar ao Deus da vida, pessoa na qual tudo devo.
Agradecer a minha esposa, Célia e aos meus filhos, Jaqueline, Jean e Zé Lucas
por terem compreendido e me apoiado nesse momento que tivemos que conviver com
uma distância cuja saudade cortava como aço de navalha. Não há como agradecer isso.
Aos Meus pais, Antonino (In Memórian) e Josefa, pela sabedoria transmitida, que
não se encontra em sala de aula.
Agradeço com igual importância ao meu orientador nesta pesquisa, Prof. Helcio
Rangel Barreto Orlande, um pesquisador da maior relevância na ciência mundial,
sempre preocupado em conduzir suas pesquisas para a fronteira da ciência e uma
pessoa do coração do tamanho da sua imensa capacidade intelectual.
Aos professores, Daniel Alves Castello, Thiago Gamboa Ritto, Haroldo Fraga de
Campos Velho, Viviane de Oliveira Freitas Lione e Antonio Leitão ,membros da banca
desta pesquisa, pela leitura criteriosa e enormes contribuições.
Ao Programa de Engenharia Mecânica da COPPE, Universidade Federal do Rio
de Janeiro (UFRJ), Laboratório de Transmissão e Tecnologia do Calor (LTTC),
Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnológico (CNPq), Fundação de
Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas (FAPEAM) e Coordenação de
Aperfeiçoamento a Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo apoio financeiro e técnico
para o desenvolvimento deste projeto.
A Universidade Federal do Amazonas-UFAM, e ao Departamento de Estatística,
pela compreensão e apoio, na concessão de liberação para esta pesquisa pudesse ser
concluída.
As Professoras Viviane de Oliveira Freitas Lione, Franceline Reynaud e ao aluno
Antônio Gilclêr F. Lima, do Laboratório de Bioensaios Farmacêuticos – LaBioFar,
Departamento de Fármacos e Medicamentos da Faculdade de Farmácia da Universidade
Federal do Rio de janeiro pela enorme gentileza e presteza na realização dos
experimentos.
Ao Prof. Manuel Ernani, pela enorme preocupação com o andamento e conclusão
deste trabalho.
À Vera Noronha, Luciana Machado e Evanise Barbosa, secretárias do
departamento de mecânica e do LTTC, respectivamente , pela presteza habitual.
v
Ao Martim (batorezinho) com quem dividi moradia por um longo período, sempre
numa convivência muito familiar.
Ao Diego e a Anna que por diversas vezes abriram as portas de sua casa para me
receber, obrigado pelo carinho e amizade.
A todos os colegas com quem tive a oportunidade de conviver harmoniosamente
durante esse período: Nilton, Breno, Lamien, Leonardo, Ali, Massoud, Milena, Zio,
Ivana’s, Bruna, Bruno , Mabel, Antônio Alves, Gino, Diana, Moussein, Rubelmar,
Wellington, Marcos Cury, Péricles, Moussein, Luiz Abreu, Rafael e Rodrigo.
vi
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO E DE ESTIMATIVA SIMULTÂNEA
DE MODELOS E PARÂMETROS EM CRESCIMENTO DE TUMORES
José Mir Justino da Costa
Setembro/2015
Orientador:
Helcio Rangel Barreto Orlande
Programa:
Engenharia Mecânica
O presente trabalho tem como objetivo estimar a dinâmica de crescimento de
tumores sólidos, através de modelos matemáticos, utilizando para isso abordagens
Bayesianas para seleção de modelos bem como estimativa de parâmetros e variáveis de
estado. Os modelos estudados são baseados em equações diferenciais ordinárias (EDO)
e equações diferenciais parciais (EDP). Foram realizados experimentos para verificar as
variações dos números de células tumorais e de macrófagos, com e sem tratamento
quimioterápico. Em função das medidas experimentais, que não possibilitaram a
obtenção de um modelo estatístico adequado para os seus erros, utilizou-se Cálculo
Bayesiano Aproximado (Approximate Bayesian Computation) para seleção de modelos
e estimativa dos respectivos parâmetros. Com os modelos e parâmetros selecionados,
aplicou-se o filtro de partículas a outros conjuntos de medidas obtidas por repetições
dos experimentos.
vii
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
PROBLEM OF STATE ESTIMATION AND SIMULTANEOUS ESTIMATION OF
MODELS AND PARAMETERS IN TUMOR GROWTH
José Mir Justino da Costa
September/2015
Advisor:
Helcio Rangel Barreto Orlande
Department: Mechanical Engineering
The objective of this work is to estimate the dynamics of solid tumor growth by
using mathematical models and Bayesian approaches for the selection of models, as
well as for the estimation of parameters and state variables. The mathematical models
examined here are based on ordinary differential equations and partial differential
equations. Experiments were performed to measure the number of tumor and
macrophage cells, with and without chemotherapy treatment. Due to the experimental
measurements, which did not reveal an appropriate statistical model for their errors,
Approximate Bayesian Computation was used for the selection of models and
estimation of the corresponding parameters. With the selected model and parameters,
the particle filter was then applied to other experimental data sets obtained in the
repetition of the experiments.
viii
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO...................................................................................... 1
1.1 - Motivação e Objetivo do Trabalho e Contribuição .............................................. 3
1.2 - Organização do Trabalho ..................................................................................... 3
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................... 5
2.1 - Biologia do Câncer ............................................................................................... 5
2.1.1 - Início ............................................................................................................ 5
2.1.2 - Auto suficiência dos sinais de crescimento ................................................. 8
2.1.3 - Indiferença aos sinais inibidores de crescimento......................................... 9
2.1.4 - Apoptose .................................................................................................... 12
2.1.5 - Telomerase ................................................................................................. 13
2.1.6 - Angiogênese............................................................................................... 14
2.1.7 - Metástase ................................................................................................... 16
2.2 - Problemas Inversos ............................................................................................ 20
2.3 - Inferência Bayesiana .......................................................................................... 21
2.4 - Formulações para Crescimento de Tumores ...................................................... 26
2.5 - Escolha de Modelos ........................................................................................... 33
2.5.1 - Critério de Informação de Akaike-AIC ..................................................... 33
2.5.2 - Critério de Informação Bayesiano –BIC ................................................... 34
2.5.3 - Cálculo Bayesiano Aproximado - ABC..................................................... 35
CAPÍTULO 3 - MODELOS MATEMÁTICOS ............................................................ 38
3.1 - O Modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003) ............................................ 38
3.1.1 - Descrição do Modelo ................................................................................. 38
3.2 - O Modelo de GATENBY e GAWLINSKI, (1996) ........................................... 42
3.2.1 - Descrição do Modelo ................................................................................. 43
3.3 - O Modelo de RODRIGUES (2011) ................................................................... 48
3.3.1 - Descrição do Modelo ................................................................................. 48
ix
3.4 - O Modelo de PINHO et al., (2013) .................................................................... 51
3.4.1 - Descrição do Modelo ................................................................................. 51
CAPÍTULO 4 - PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO ................................. 56
4.1 - Filtro de Partículas ............................................................................................. 58
CAPÍTULO 5 - PROBLEMAS DE SELEÇÃO DE MODELOS .................................. 66
5.1.1 - Cálculo Bayesiano Aproximado via Método Sequencial de Monte Carlo–
ABC SMC ...................................................................................................................... 66
CAPÍTULO 6 - DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS ............................................... 69
6.1 - Metodologia ....................................................................................................... 69
6.2 - Ensaio de Proliferação Celular ........................................................................... 71
CAPÍTULO 7 - RESULTADOS E DISCUSSÕES........................................................ 74
7.1 - Estimativa de Estado do Modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) ....... 74
7.2 - Estimativa de Estado para o Modelo de GATENBY e GAWLINSKI (1996) ... 96
7.3 - Estimativa de Estado para o Modelo de RODRIGUES (2011) ....................... 109
7.4 - Estimativa de Estado para o Modelo de (PINHO et al., 2013) ........................ 127
7.5 - Estimativa simultânea de Modelos e Parâmetros: Aplicação aos Dados
Experimentais Obtidos ............................................................................................. 140
7.5.1 - Estimativa para as células tumorais sem tratamento ............................... 141
7.5.2 - Estimativa para as células RAW 264.7 - macrófagos, sem tratamento ... 146
7.5.3 - Estimativa para os dados experimentais com tratamento- Células tumorais
...................................................................................................................................... 155
7.5.4 - Estimativa para os dados experimentais com tratamento- Células Normais
...................................................................................................................................... 159
CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHOS FUTUROS .... 168
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 171
APÊNDICE A – GLOSSÁRIO .................................................................................... 182
APÊNDICE B – MEDIDAS EXPERIMENTAIS ........................................................ 185
APÊNDICE C – SELEÇÃO DE MODELOS .............................................................. 186
x
Lista de Figuras
Figura 2.1 - Os vários estágios da carcinogênese, adaptado de (WEINBERG 2008b) .. 7
Figura 2.2 - Rotas sinalizadoras em células normais levam sinais externos estimuladores
ou inibidores de crescimento até o núcleo da célula. Adaptado de FERREIRA JUNIOR
(2003). ............................................................................................................................ 10
Figura 2.3: Etapas do ciclo celular, adaptado de ROBINSON e OSÓRIO, (2001). ..... 11
Figura 2.4: Angiogênese Tumoral. ................................................................................. 15
Figura 2.5: Formação de metástases por via sanguínea ou linfática,
adaptada de
(WEINBERG, 1996). ..................................................................................................... 19
Figura 4.1 – processo de previsão e atualização dos dados para estimativa de variáveis
de estado (KAIPIO e SOMERSALO, 2004) .................................................................. 58
Figura 4.2 – Filtro de Partículas ..................................................................................... 60
Figura 6.1 – Centrífuga utilizada nos ensaios. ............................................................... 70
Figura 6.2 Microscópio com a câmara de Neubauer. ..................................................... 70
Figura 6.3 Câmara de Neubauer ampliada ..................................................................... 71
Figura 6.4. Microplacas de 96 poços .............................................................................. 72
Figura 6.5 Leitor de microplacas .................................................................................... 72
Figura 7.1 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ...................................... 77
Figura 7.2 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e
5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros ............................ 77
Figura 7.3 Estimativa da matriz de degradação usando 5% de desvio padrão para os
erros de medida, modelo e parâmetros. .......................................................................... 78
Figura 7.4 Estimação dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. .......... 79
Figura 7.5 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 10%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ................................. 80
xi
Figura 7.6 Estimativa da matriz extra celular usando 1000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................................. 80
Figura 7.7 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................................. 81
Figura 7.8 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ........ 82
Figura 7.9 Estimativa da densidade de células tumorais usando 3000 partículas e 10%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ................................. 83
Figura 7.10 Estimativa da densidade da matriz extra-celular usando 3000 partículas e
10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ......................... 83
Figura 7.11 Estimativa da matriz de degradação usando 3000 partículas e 10% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ...................................... 84
Figura 7.12 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ........ 85
Figura 7.13 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 2. .................... 86
Figura 7.14 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e
5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2 ............. 87
Figura 7.15 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso2. .................................... 87
Figura 7.16 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo ........... 88
Figura 7.17 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 10%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros –Caso 2. ................... 89
Figura 7.18 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e
10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros–Caso 2. ............ 89
Figura 7.19 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 10% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- caso 2. .......................... 90
xii
Figura 7.20 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas e desvio padrão
de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo–Caso 2.
........................................................................................................................................ 91
Figura 7.21 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas,
ɤ=0.05 e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3.
........................................................................................................................................ 93
Figura 7.22 Estimativa da densidade da matriz extra celular usando 1000 partículas,
ɤ=0.05 e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3
........................................................................................................................................ 93
Figura 7.23 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3 ................... 94
Figura 7.24 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas, ɤ=0.05 e desvio
padrão de 1% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modeloCaso 3. ............................................................................................................................ 95
Figura 7.25 Estimativa da densidade de células tumorais usando 500 partículas e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. .................. 98
Figura 7.26 Estimativa da densidade de células normais usando 500 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ....................... 99
Figura 7.27 Estimativa da concentração de íon H+ usando 500 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ....................... 99
Figura 7.28 Estimativa dos parâmetros do modelo com 500 partículas e desvio padrão
de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 1.
...................................................................................................................................... 100
Figura 7.29 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ................ 101
. Figura 7.30 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ................ 101
Figura 7.31 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ..................... 102
xiii
Figura 7.32 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 1.
...................................................................................................................................... 102
Figura 7.33 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ................ 104
Figura 7.34 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2 ................. 104
Figura 7.35 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ..................... 105
Figura 7.36 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 2.
...................................................................................................................................... 106
Figura 7.37 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 10%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ................ 107
Figura 7.38 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 10%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ................ 107
Figura 7.39 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 10% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ..................... 108
Figura 7.40 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 2.
...................................................................................................................................... 108
Figura 7.41 Estimativa do número de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 111
Figura 7.42 Estimativa do número de células normais usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 112
Figura 7.43 Estimativa do número de células endoteliais usando 1000 partículas e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ............................... 112
Figura 7.44 Estimativa da massa de droga no corpo, usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 113
xiv
Figura 7.45 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ........ 115
Figura 7.46 Estimativa do número de células tumorais com 1000 partículas e desvio
padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
...................................................................................................................................... 117
Figura 7.47 Estimativa do número de células normais com 1000 partículas e desvio
padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
...................................................................................................................................... 117
Figura 7.48 Estimativa do número de células endoteliais com 1000 partículas e desvio
padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
...................................................................................................................................... 118
Figura 7.49 Estimativa da massa de droga no corpo com 1000 partículas e desvio
padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
...................................................................................................................................... 118
Figura 7.50 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão
de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...... 121
Figura 7.51 Estimativa do número de células tumorais com 3000 partículas e desvio
padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
...................................................................................................................................... 122
Figura 7.52 Estimativa do número de células normais com 3000 partículas e desvio
padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
...................................................................................................................................... 123
Figura 7.53 Estimativa do número de células endoteliais com 3000 partículas e desvio
padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
...................................................................................................................................... 123
Figura 7.54 Estimativa da massa de droga no corpo com 3000 partículas e desvio
padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
...................................................................................................................................... 124
Figura 7.55 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas e desvio padrão
de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo ....... 126
xv
Figura 7.56 Estimativa do número de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 130
Figura 7.57 Estimativa do número de células normais usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 130
Figura 7.58 Estimativa do número de células endoteliais usando 1000 partículas e 5%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ............................... 131
Figura 7.59 Estimativa da massa de droga no corpo usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 131
Figura 7.60 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas, e desvio padrão
de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ........ 133
Figura 7.61 Estimativa do número de células tumorais usando 3000 partículas e 10%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ............................... 134
Figura 7.62 Estimativa do número de células normais usando 3000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 135
Figura 7.63 Estimativa do número de células endoteliais usando 3000 partículas e 10%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ............................... 135
Figura 7.64 Estimativa da massa de droga no corpo usando 3000 partículas e 10% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 136
Figura 7.65 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas, e desvio padrão
de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...... 138
Figura 7.66 Histograma pra seleção de modelos em todas populações. ..................... 144
Figura 7.67
Os gráficos, letras (a-c) representam o ajuste do modelo aos dados
experimentais através das populações 1,10,15 e 23.. ................................................... 145
Figura 7.68 Histograma pra seleção de modelos em todas populações-Conjunto de
medidas 1. ..................................................................................................................... 147
Figura 7.69 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo selecionadoLogístico Generalizado. ................................................................................................ 148
Figura 7.70
Histograma pra seleção de modelos em todas populações para o
experimento 5 (Tabela 6.1) . ......................................................................................... 149
xvi
Figura 7.71
Os gráficos, letras (a-c) representam o ajuste do modelo aos dados
experimentais (segundo conjunto de medidas) através das populações 1,8,16 e 23. ... 150
Figura 7.72 Estimativa da variável de estado com 1000 partículas e 15% de desvio
padrão para os erros de modelo e parâmetros............................................................... 152
Figura 7.73 Estimativa dos parâmetros do modelo ..................................................... 152
Figura 7.74 Estimativa da variável de estado com 1000 partículas, 10% de desvio
padrão para os erros de modelo e15% de desvio padrão para os erros de parâmetros. 153
Figura 7.75 Estimativa dos parâmetros do modelo ..................................................... 154
Figura 7.76 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para conjunto de
medidas(células tumorais com quimioterapia). ............................................................ 157
Figura 7.77 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo Logístico
generalizado. ................................................................................................................. 157
Figura 7.78 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo Gompertz. . 158
Figura 7.79
Histograma pra seleção de modelos em todas populações para o
experimento 4 (Tabela 6.1)-(células normais com quimioterapia)............................... 160
Figura 7.80 Estimativa da variável de estado usando os parâmetros estimados pelo
ABC SMC. ................................................................................................................... 160
Figura 7.81
Histograma pra seleção de modelos em todas as populações para
experimento 6 (Tabela 6.1)- (células normais com quimioterapia).............................. 161
Figura 7.82 Estimativa da variável de estado usando os parâmetros estimados pelo
ABC SMC para o Modelo 4. ........................................................................................ 162
Figura 7.83
Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de
LIU e WEST ( 2001) com 1000 partículas. ................................................................. 163
Figura 7.84 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de (LIU;
WEST, 2001) com 1000 partículas. ............................................................................. 164
Figura 7.85 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de LIU e
WEST ( 2001) com 2000 partículas. ............................................................................ 165
Figura 7.86 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de (LIU;
WEST, 2001) com 1000 partículas. ............................................................................. 166
xvii
Figura 7.87 Estimativa do decaimento da droga usando o algoritmo de (LIU; WEST,
2001) com 1000 partículas. .......................................................................................... 166
Figura 7.88 Estimativa dos parâmetros do modelo usando o algoritmo de (LIU; WEST,
2001) com 1000 partículas. .......................................................................................... 167
xviii
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 – Algoritmo do Filtro de Partículas SIR (RISTIC et al., 2004). ................... 61
Tabela 4.2 – Algoritmo do Filtro de Partículas ASIR (RISTIC et al., 2004). ................ 62
Tabela 4.3 – Algoritmo de Filtro de Partículas (LIU e WEST, 2001). .......................... 64
Tabela 5.1 – Algoritmo ABC SMC (TONI, T. et al., 2009)........................................... 68
Tabela 6.1 – Condições de cada experimento ................................................................ 73
Tabela 7.1 – Valores dos parâmetros utilizados na simulações (ANDERSON e
CHAPLAIN, 2003). ........................................................................................................ 76
Tabela 7.2 –Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000
partículas com 5% e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e
parâmetros. ..................................................................................................................... 82
Tabela 7.3 – Erro RMS para as variáveis de estado e quantis 0.01 e 0.99 para os
parâmetros do modelo usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de
medida, modelo e parâmetros. ........................................................................................ 85
Tabela 7.4 –Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000
partículas com 5% e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e
parâmetros-Caso 2. ......................................................................................................... 91
Tabela 7.5 – Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000
partículas e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 3.
........................................................................................................................................ 95
Tabela 7.6 – Valores dos parâmetros usados nas simulações ........................................ 97
Tabela 7.7 – Parâmetros usados na simulação ............................................................... 97
Tabela 7.8 – Média, quantis 0.01 e 0.99 e 5% de desvio padrão para os erros de medida,
modelo e parâmetros- Caso 1. ...................................................................................... 103
Tabela 7.9 – Média e quantis 0.01 e 0.99 usando 1000 partículas e desvio padrão de 5%
e 10% para os erros de medida, modelo e parâmetros - Caso 2. .................................. 109
Tabela 7.10 – Valores dos parâmetros usados nas simulações RODRIGUES (2011). 110
Tabela 7.11 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro. ....... 116
xix
Tabela 7.12 – Erro RMS para as variáveis de estado e tempo de execução da simulação.
...................................................................................................................................... 116
Tabela 7.13 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro ........ 121
Tabela 7.14 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro. ....... 127
Tabela 7.15 – Erro RMS para as variáveis de estado e tempo de execução da simulação.
...................................................................................................................................... 127
Tabela 7.16 – Valores dos parâmetros usados nas simulações PINHO et al. (2013). .. 129
Tabela 7.17 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro ........ 139
Tabela 7.18 – Distribuição a priori para os valores dos parâmetros............................. 143
Tabela 7.19 – Distribuição a priori para os valores dos parâmetros............................. 145
Tabela 7.20 – Saídas do ABC SMC experimento 3, para o modelo selecionado. ....... 148
Tabela 7.21 – Saídas do ABC SMC, conjunto de medidas 2 para o modelo selecionado
...................................................................................................................................... 150
Tabela 7.22 – Parâmetros usados no filtro para estimar para o modelo selecionado .. 153
Tabela 7.23 – Distribuição usada a priori para os parâmetros...................................... 155
Tabela 7.24 – Estimativa dos parâmetros através do ABC SMC para o modelo Logístico
Generalizado ................................................................................................................. 158
Tabela 7.25 – Estimativa dos parâmetros através do ABC SMC para o modelo
Gompertz ...................................................................................................................... 158
Tabela 7.26 – Distribuição usada a priori para os parâmetros...................................... 159
Tabela 7.27 – Parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população para o
experimento 4(Tabela 6.1)- (macrófago com tratamento)............................................ 161
Tabela 7.28 – Parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população para o
experimento 6(Tabela 6.1)- (macrófago com tratamento)............................................ 162
Tabela 7.29 – Médias e quantis 0.01 e 0.09 para os parâmetros do Modelo Exponencial
Modificado usando 1000 partículas. ............................................................................. 165
Tabela 7.30 – Estimativas e quantis 0.01 e 0.09 para os parâmetros do Modelo
Exponencial Modificado usando 1000 partículas. ........................................................ 168
xx
NOMENCLATURA
Variáveis Gregas
α
taxa de crescimento celular
γ
taxa na qual as células atingem a saturação
φ
diz respeito a proliferação das células endoteliais adjacentes ao tumor
ø
está relacionado com a liberação dos fatores de crescimento da massa
tumoral
λ
taxa de decaimento da droga
µ
taxa de tratamento das células tumorais
ν
taxa de tratamento das células normais
δ
fator de redução
ω
modela a inibição da vascularização provocada pelo próprio tumor
η
modela a intensidade do efeito da quimioterapia metronômica
χ
coeficiente haptotático
π(a|b)
probabilidade condicional de a quando ocorre b
σ
desvio padrão das medidas
θ
parâmetros
Sobrescritos
i
índice da partícula
Subscritos
med
medido
est
estimado
exa
exato
xxi
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
Segundo a Organização mundial de Saúde, em 2012, houve 8,2 milhões de morte
por câncer em todo mundo. PERUMPANANI (1996) observa ainda que a gravidade da
doença tem demandado esforços de toda a comunidade científica, com várias
publicações devotadas a este tema. ALBERTS et al.(2002) lembram que a ênfase dada a
pesquisa em câncer tem impulsionado pesquisas fundamentais como, por exemplo, na
biologia molecular. No entanto, vale ressaltar que o estudo do câncer não é algo recente.
PORTER (1997) afirma que cirurgia de câncer de mama remonta a antiguidade, dando
exemplo do médico bizantino Aetius de Amida, que havia enfatizado que ‘a faca deve
cortar o tecido saudável ao redor do tumor e que uma cauterização com ferro deve
estancar o sangue’’. Para OLSON (2002), os egípcios há mais de 3500 anos atrás, já se
dedicavam ao tratamento do câncer e WARD e KING (1999) relatam que vários textos
da Grécia antiga, Egito e Roma indicam que ‘’os médicos estavam bem conscientes da
natureza do câncer e eram capazes de fazer diagnósticos corretos e realizar terapias bem
sucedidas’’.
O estudo do crescimento de tumores e desenvolvimento de terapias anti-câncer é
de suma importância, haja vista o potencial em melhorar a qualidade de vida, aumentar
a sobrevida, além de consideráveis benefícios econômicos e sociais oriundos destes
estudos e descobertas. GATEMBY (1998) explica que, apesar dos últimos avanços e
das pesquisas que usam novas técnicas, em particular em biologia tumoral, tenham
produzido informações em ritmo bastante acelerado, ainda falta uma estrutura
conceitual em que os novos e antigos conceitos sejam adequadamente ajustados.
MURRAY (2002) ressalta a importância de desenvolver modelos que sejam
capazes de capturar a essência de várias interações do fenômeno em questão, permitindo
assim uma melhor compreensão do mesmo.
GATEMBY e MAINI (2003) observam que oncologistas e biólogos tumorais
pouco se valem de modelos teóricos para servir de ferramenta de compreensão,
organização e aplicação destes dados. Afirma ainda que é necessário desenvolver
modelos matemáticos bem fundamentados biologicamente, que forneçam percepções
reais dos parâmetros que controlam a dinâmica do sistema.
BYRNE (1999) diz que, para desenvolver tratamentos eficazes é importante
identificar os mecanismos que controlam o crescimento do câncer, suas interações e
1
como eles podem mais facilmente ser manipulados de forma a erradicar ou controlar a
doença. A ideia do desenvolvimento e solução de modelos matemáticos que descrevam
diferentes aspectos do crescimento de tumor sólido é servir de ferramenta aos
profissionais ligados ao combate dessa doença, bem como evitar a experimentação
excessiva, o que nem sempre é possível.
De acordo com KUNZ-SCHUGHART et al. (1998), médicos e pesquisadores
estão cada vez mais conscientes do papel da modelagem matemática como um novo
caminho, reconhecendo que as técnicas médicas atuais e abordagens experimentais nem
sempre são capazes de distinguir os vários mecanismos envolvidos em importantes
aspectos do crescimento do tumor.
Por outro lado, é importante saber se, dentre vários modelos que se destinam a
representar a dinâmica de crescimento de tumores, qual melhor representa os fenômenos
do problema. A literatura traz propostas tanto do ponto de vista da estatística clássica
como também da estatística Bayesiana. O Critério de Informação de Akaike - AIC,
(AKAIKE (1974), o critério de Informação Bayesiano-BIC, SCHUWARZ (1978), são
exemplos de propostas clássicas, enquanto Cálculo Bayesiano Aproximado-ABC, é um
exemplo do ponto de vista Bayesiano. Nesse trabalho, optamos por utilizar algoritmos
baseados no ABC (Approximate Bayesian Computation), em virtude das medidas das
variáveis de estado de interesse, apresentarem comportamento que não são gaussianos
ou com verossimilhança não claramente identificável.
Ao longo das últimas décadas, vários estudos acerca da solução de problemas de
estimativa de parâmetros e variáveis de estado usando abordagens estatísticas têm sido
desenvolvidos, produzindo resultados animadores. Alguns métodos amplamente
conhecidos e usados são os algoritmos de Monte Carlo via Cadeia de Markov,
ANDRIEU et al. (2003) e filtros de Kalman , KALMAN (1960). Outros algoritmos
menos restritivos para problemas de estimativa de estado tais como, filtro de Kalman
estendido, JULIER e UHLMANN (1997), filtro de partículas baseado em amostragem
por importância sequencial (SIS, do inglês Sequential Importance Sampling),
HAMMERSLEY, J. M. e E HANSCOMB, (1964), filtro de partículas baseado em
amostragem e reamostragem por importância (SIR, do inglês Sampling Importance
Resampling), GORDON et al. (1993), e filtros de partículas baseados em amostragem
auxiliar e reamostragem por importância (ASIR, do inglês Auxiliary Sampling
Importance Resampling), PITT e SHEPHARD (1999), também são usados para
2
problemas lineares e não lineares de estimativa de estado, ARULAMPALAM et al.
(2001). Alternativamente, as técnicas citadas para problemas de estimativa de estado,
LIU e WEST (2001) propuseram um algoritmo que permite estimativas combinadas de
parâmetros e variáveis de estado. Este algoritmo é uma das principais técnicas no
processo de estimação desta pesquisa.
1.1 - Motivação e Objetivo do Trabalho e Contribuição
De acordo com estimativas mundiais do projeto Globocan (2012), da Agência
Internacional para Pesquisa em Câncer (IARC, do inglês International Agency for
Research on Cancer), da Organização Mundial da Saúde (OMS), houve 8,2 milhões de
mortes por câncer, em todo o mundo, em 2012. A quantidade de pessoas acometidas
pelo câncer continuará aumentando nos países em desenvolvimento e crescerá ainda
mais em países desenvolvidos se medidas preventivas não foram amplamente aplicadas.
Estima-se que no ano 2030, as vítimas fatais do câncer serão da ordem de 13,2 milhões
INCA (2014).
A contribuição do presente estudo é o uso de filtros Bayesianos, a saber o filtro
proposto por LIU e WEST (2001) para calcular estimativas combinadas das variáveis de
estado e dos parâmetros dos modelos estudados, bem como o uso de algoritmos
baseados em Cálculo Bayesiano Aproximado (ABC) para selecionar dentre os modelos
concorrentes aquele que melhor explica os dados relacionados ao crescimento de
tumores.
1.2 - Organização do Trabalho
O Capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica no qual este trabalho está
embasado.
No Capítulo 3 apresenta-se a formulação matemática dos modelos de crescimento
de tumores que foram usados na aplicação do problema inverso.
No Capítulo 4 aborda-se a teoria geral de estimativa de estado, com ênfase para
os filtros de partículas SIR, ASIR, (LIU e WEST, 2001, RISTIC et al. 2004).
3
No Capítulo 5 apresenta-se o método de solução do problema de seleção de
modelos, usado para escolha do modelo mais plausível dentre os concorrentes.
No Capítulo 6 é feita a descrição do experimento realizado para aplicação do
problema inverso e seleção de modelos.
O Capítulo 7 versa sobre os resultados obtidos nesta pesquisa.
No Capítulo 8 apresentam-se as conclusões do trabalho e as sugestões para
trabalhos futuros.
4
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Apresentamos a seguir a revisão de literatura na qual este trabalho está baseado,
levando em conta os seguintes aspectos: a biologia do câncer, problemas inversos,
inferência Bayesiana, modelos de evolução de tumores e seleção de modelos.
2.1 - Biologia do Câncer
Uma das principais motivações deste trabalho é contribuir com o desenvolvimento
de ferramentas que tornem o tratamento do câncer mais efetivo e com melhor qualidade
de vida para o paciente. Como já mencionado, de acordo com a OMS houve 8,2 milhões
de mortes por câncer, em todo o mundo, em 2012, e continuará aumentando se medidas
preventivas não foram amplamente aplicadas. Estima-se que no ano 2030, haverá 13,2
milhões de mortes por câncer INCA (2014). A seguir apresentamos os principais
aspectos do desenvolvimento de um tumor maligno.
2.1.1 - Início
Em todo tecido biológico há um equilíbrio dinâmico ou homeostático entre
reprodução e morte celulares denominadas mitose e apoptose, respectivamente
ROBINSON e OSÓRIO (2001). Quando este equilíbrio é quebrado duas coisas podem
acontecer: ou as células passam a se reproduzir de forma descontrolada ou deixam de
morrer quando deveriam. Um adulto possui aproximadamente 30 trilhões de células
individuais que vivem em uma sociedade complexa, onde as próprias células controlam
mutuamente o crescimento umas das outras. É justamente esse comportamento que
permite que células que vão morrendo durante o ciclo normal possam ser repostas.
Paralelamente, crescimentos inapropriados são inibidos, fazendo com que a integridade
e funcionalidade dos órgãos sejam preservadas. O principal mecanismo regulador
relacionado a esse controle mútuo diz respeito à produção e processamento de fatores de
crescimento: proteínas produzidas por diferentes células que tem a capacidade de
5
estimular ou inibir a multiplicação celular. Se os mecanismos de controle de
crescimento funcionam de forma adequada e as células tem comportamento coletivo
harmônico, o produto final é o funcionamento normal do organismo. Caso contrário, se
uma determinada célula adquirir mecanismos autônomos de sobrevivência, as
consequências para o organismo poderão ser fatais. Este comportamento celular
inapropriado recebe o nome de neoplasia e a população de células resultante não segue a
taxa normal de proliferação e/ou morte do tecido original, (FERREIRA JUNIOR, 2003,
HANAHAN e WEINBERG, 2011). Além disso, em geral, não possuem a função
determinada ou desejada no tecido. Esta nova população celular é chamada de tumor e
podem ser classificados como benigno ou maligno. É dito benígno se são autolimitantes
e não disseminantes e malignos se possuem crescimento ilimitado e são metastáticos.
Os tumores benignos podem invadir tecidos e órgãos adjacentes, mas não tecidos e
órgãos distantes de sua origem. Os tumores malignos, em geral, possuem crescimento
ilimitado e são capazes de invadir tecidos e órgão adjacentes e afetados ao tecido de
origem, num processo denominado metástase. Assim sendo, o grau de malignidade de
um tumor está ligado a sua capacidade e rapidez em produzir metástases ROBINSON e
OSÓRIO, (2001).
O termo câncer refere-se a mais de 100 formas de doenças que podem se
manifestar em quase todos os tecidos do corpo humano, sendo que alguns tecidos
podem desenvolver vários tipos distintos. A maioria das doenças constituem um agente
externo que invade o corpo, atacando tecidos e órgãos, enquanto o câncer é formado
pelo mesmo material presente na constituição do nosso corpo: células humanas
ROBINSON e OSÓRIO, (2001).
Na tentativa de melhor compreender os mecanismos que dão origem ao câncer
pesquisas recentes concluíram que todas as células de um tumor descendem de uma
célula ancestral comum que, em um determinado momento iniciou um programa de
reprodução inapropriado, que pode levar décadas até o tumor tornar-se detectável. Para
que as células cancerosas se tornem completamente malignas, elas passam por uma
série de transformações que permitem que o tumor supere as barreiras impostas pelo
organismo que inibem o crescimento neoplásico. Na Figura 2.1 apresentamos um
esquema de modelo de progressão de um tumor epitelial maligno, carcinoma, o tipo
mais comum. Este esquema resulta de apenas quatro transformações, causadas por
mutações em classes específicas de genes que estão presentes no DNA das células. Vale
6
salientar que a quantidade de transformações pode ser superior a apresentada neste
esquema WEINBERG (2008a). Genes são pacotes de informações contidos em cada
célula do corpo que determinam todas as características do indivíduo e são carregados
nas moléculas de DNA contidas no núcleo celular. Um determinado gene é especificado
por uma sequência de bases nucleotídicas no DNA, e cada gene que pode estar ativo ou
não, determina a sequência de aminoácidos que devem ser ligados para compor uma
proteína específica. Cada célula contém todos os genes do indivíduo, embora nem todos
estejam ativos. Se um determinado gene está ativo, a célula responde sintetizando a sua
respectiva proteína. As proteínas determinam as características e ações celulares.
Quando ocorrem mutações em genes específicos isso pode provocar perturbações na
célula e mudar as quantidades ou as atividades das proteínas produzidas e por
consequência as propriedades celulares fundamentais (BRASILEIRO FILHO, 1998,
FERREIRA JUNIOR, 2003, HANAHAN e WEINBERG, 2011).
Câncer invasivo
Câncer in situ
Célula geneticamente modificada
Hiperplasia
Displasia
Figura 2.1 - Os vários estágios da carcinogênese, adaptado de (WEINBERG 2008b)
Os protooncogenes e os genes supressores de tumor são os dois tipos de genes que
desempenham papéis fundamentais no aparecimento do câncer. Estas duas classes,
quando sofrem modificações, tornam-se as principais responsáveis pelo crescimento
celular desregulado da maioria dos cânceres. Isso acontece porque os protooncogenes
modificados podem tornar-se oncogenes, e estes, por sua vez, provocam a proliferação
celular excessiva e promovem a produção anormal de proteínas estimuladoras de
crescimento. Isso faz com que sinais de crescimento inexistentes sejam processados o
que leva a diminuição de diferenciação celular no tecido tumoral. Quando os genes
7
supressores de tumor estão inativos devido a mutações, eles acabam contribuindo para o
câncer pelo fato de eliminar o controle de divisão das células cancerígenas e suprimir a
apoptose (WEINBERG 2008a).
2.1.2 - Auto suficiência dos sinais de crescimento
Grande parte da literatura devotada à biologia tumoral evidencia que as funções
de muitos protooncogenes estão relacionadas com processos de transmissão de sinais do
exterior para o núcleo celular. Estes processos são efetivados quando moléculas do meio
extracelular (fatores de crescimento liberados por outras células, por exemplo) se
prendem a receptores específicos presentes na superfície celular. Os receptores
atravessam a membrana celular de tal maneira que uma das extremidades continue no
espaço extracelular e a outra se dirija para o interior da célula, no citoplasma. Se
moléculas ligantes se prendem a um receptor, sinais são emitidos por estes, através de
proteínas, que se propagam no citoplasma até alcançar o núcleo celular. Esse processo
desencadea diferentes respostas, tais como o crescimento e a diferenciação celular. Esse
conjunto reações envolvendo proteínas são conhecidas como rotas estimuladoras de
crescimento ( HANAHAN e WEINBERG, 2011).
As mutações nos protooncogenes mantém as rotas estimuladoras ativas mesmo
quando deveriam estar inativas. São justamente estas mutações que podem conduzir aos
mais variados tipos de comportamento nas células. Existem oncogenes que induzem as
células a produzirem quantidades excessivas de fatores de crescimento como, os
(PDGF)1 e (TGF-α)2. Os (PDGF) são liberados em grandes quantidades por sarcomas e
gliomas enquanto os (TGF-α) são liberados por vários outros cânceres. A estimulação
parácrina atua fazendo com que esses fatores geralmente atuem em células da
vizinhança da célula que os produziram, podendo também atuar na própria célula que as
geraram. A este último tipo de estimulação é chamada de estimulação autócrina. Em
células cancerígenas da mama e de outros órgãos, como o ovário, por exemplo, foram
identificados genes como Erb-B2 que codificam os receptores das células. Estes
1
2
Fatores de crescimento transformantes derivados de plaquetas.
Fatores de crescimento transformante α
8
receptores, considerados anormais, liberam sinais proliferativos para o citoplasma
mesmo na ausência de fatores de crescimento externos. Existem outras classes de
oncogenes, sendo que uma das que se destaca são os da família ras. Estes perturbam
parte da cascata de sinais que se propaga ao longo do citoplasma e mantém a transcrição
de sinais estimuladores constantemente ativa, mesmo quando nenhum dos receptores
está ativo. Na maioria dos tumores em humanos tais como, cólon, pâncreas e pulmão
são encontradas proteínas ligadas ao gene ras. Os oncogenes da família myc, também
tem atuação relevante, pelo fato de serem capazes de alterar as atividades dos fatores de
transcrição dentro do núcleo, mas em geral as células só produzem os fatores de
transcrição myc via estimulação de fatores de crescimento externos. É observado que,
mesmo na ausência de fatores de crescimento, pode-se encontrar altas concentrações da
proteína Myc em vários tumores malignos (HANAHAN e WEINBERG, 2011,
WEINBERG, 1996).
2.1.3 - Indiferença aos sinais inibidores de crescimento
Para que as células tornem-se malignas é necessário, dentre outras coisas, que as
ferramentas que promovem o crescimento sejam estimuladas e, além disso, precisam
ignorar os sinais emitidos pelas células vizinhas normais de cessar o crescimento. Os
sinais inibidores de crescimento podem bloquear a proliferação de maneiras distintas.
Os sinais inibidores de crescimento em células normais, o qual são chamados de rotas
inibidoras de crescimento, são idênticos aos descritos para sinais estimuladores de
crescimento. Quando as células não encontram um ambiente propício à proliferação,
elas podem permanecer em um estado quiescente, serem eliminadas por apoptose e/ou
voltar a proliferar quando esse ambiente tornar-se favorável, isto é, quando os sinais
extracelulares permitirem. Como nas células cancerígenas, alguns genes supressores de
tumor estão inativos ou ausentes, a célula passa a não responder aos sinais que indicam
interrupção do processo de divisão. O fator de crescimento transformante beta (TGF-β)
é um desses genes e pode interromper o crescimento de células normais. No entanto,
tumores como por exemplo, de pâncreas e cólon são indiferentes à essas substâncias.
Algumas proteínas supressoras de tumor bloqueiam o fluxo de sinais ao longo das rotas
estimuladoras de crescimento e com isso também podem coibir a proliferação. A
9
proteína NF-1, por exemplo, pode anular a proteína Ras antes mesmo dela emitir sinais
estimuladores de crescimento. Assim como foi relatado que a ausência de genes
supressores de tumor é importante para o surgimento do câncer, há também estudos que
afirmam que a introdução de tais genes em células cancerígenas pode devolver a
condição de normalidade da célula. A Figura (2.2) apresenta um esquema dos processos
de sinalização (WEINBERG, 2008b).
Fatores estimuladores
de crescimento são
liberados por células
vizinha
Rotas
estimuladoras
Rotas
inibidoras
Fatores inibidores
de
crescimento
são liberados por
célula vizinha
Anormalidade
inibidora
Anormalidade
estimuladora
Figura 2.2 - Rotas sinalizadoras em células normais levam sinais externos estimuladores ou inibidores de
crescimento até o núcleo da célula. Adaptado de FERREIRA JUNIOR (2003).
Em todos os tipos de câncer que se tem conhecimento o ciclo celular (um mecanismo molecular complexo que regula várias fases do desenvolvimento da célula) é
bastante desregulado. O ciclo celular é composto por quatro estágios durante os quais
ocorre uma série de reações envolvendo proteínas.
1. Fase G1- a célula aumenta de tamanho e produz as proteínas necessárias
para copiar o seu DNA;
2. Fase S - é feita a cópia do DNA, através da duplicação de seus
cromossomos;
3. Fase G2 - a célula se prepara para a mitose;
10
4. Fase M - ocorre a mitose, ou seja, ela divide-se para gerar duas cópias
idênticas de si mesma.
A partir de então, estas duas células filhas podem seguir diretamente para a fase
G1 e percorrer todo o ciclo ou podem interromper o ciclo temporária ou
permanentemente, entrando numa fase denominada G0. Embora a maioria das células
do nosso corpo encontrem-se neste estado, vários pontos de restrição no ciclo celular,
determinam se a célula deve prosseguir o ciclo ou interrompê-lo para que erros
detectados sejam corrigidos. Na Figura 2.3, ilustramos dois pontos de restrição, G1/S e
G2/M , que controlam as passagens da fase inicial G1 para a fase S e da fase G2 para a
fase M, respectivamente.
Célula clone
Ocorre a mitose
Início
Segundo ponto de restrição
Célula aumenta de
tamanho e produz
novas proteinas
Célula se prepara
para divisão
Estado quiescente
Replicação do DNA
Primeiro ponto de restrição
Figura 2.3: Etapas do ciclo celular, adaptado de ROBINSON e OSÓRIO, (2001).
Esses pontos de restrição têm por objetivo verificar se as
etapas do ciclo foram
corretamente observadas. No ponto G1/S verifica-se, por exemplo, se a célula atingiu
tamanho suficiente para gerar uma cópia do seu DNA e no ponto G2/M verifica-se, por
exemplo, se a cópia do DNA foi feita corretamente. Esse controle do ciclo celular é
feito principalmente por duas classes de proteínas: as cdk (cinases dependentes de
ciclina) e as ciclinas. Da união das ciclinas com as cdk resulta o controle das taxas de
ativação das proteínas que respondem por vários fenômenos presentes na divisão
11
celular, como a replicação do DNA, por exemplo (HANAHAN e WEINBERG, 2011,
WEINBERG, 2008a). Os genes supressores de tumor têm papel fundamental no
controle da divisão durante o ciclo celular. Dentre eles o Rb e p53 atuam especialmente
nos pontos de restrição citados anteriormente. Estando as células no estado quiescente e
a pRb ativa ligada a fatores de transcrição impedem a ação destes na divisão celular.
Mas, quando uma célula recebe sinais mitogênicos, as cdk promovem a inatividade da
pRb. Assim, os fatores de transcrição ficam livres para se ligar ao DNA e estimular a
divisão. Após a mitose, a pRb retorna ao seu estado ativo. A pRb desempenha um
importante papel: frear a divisão, já que atua na progressão da fase G1 para a fase S do
ciclo celular. Em muitos cânceres, como de bexiga e próstata fica evidente a ausência da
função do gene pRb que leva à proliferação descontrolada. Já a proteína p53 está
envolvida em diversos processos do ciclo celular, sendo que o mais conhecido está
relacionado com a fidelidade da replicação do DNA. Elas agem rapidamente ao
perceber que células foram agredidas por agentes mutagênicos (substâncias químicas,
radiações, etc.), e induz a síntese da proteína p21, uma proteína inibidora do complexo
cdk-ciclina. Com a inibição de cdk a pRb permanece ativa e não permite a liberação de
fatores de transcrição, bloqueando a célula na fase G1 do ciclo celular. Esta ação
permite que os sistemas de reparo de DNA corrijam o defeito provocado, impedindo a
sua propagação para as gerações seguintes. Caso isso não aconteça, a p53 induz a morte
celular programada, também chamada de apoptose (HANAHAN e WEINBERG, 2011,
WEINBERG, 2008a, 2008b).
2.1.4 - Apoptose
Vimos nas subseções anteriores que, para ocorrer divisões celulares que não
deveriam ocorrer é necessário que alguma falha nos sistemas de estimulação e inibição
de proliferação ocorra. As células do corpo humano possuem um sistema programado
de segurança gravado em seu genoma no qual, se alguns dos seus componentes
essenciais forem danificados ou desregulados, este sistema induz à morte celular
programada denominada apoptose. Dentre esses componentes que podem levar a
apoptose, temos, por exemplo, danos no DNA, criação de oncogenes, desativação de
genes supressores de tumor e falhas na transcrição durante a fase S do ciclo celular. O
12
programa de apoptose está presente de forma latente em quase todos os tipos celulares
do nosso corpo e, quando disparados por uma grande variedade de sinais fisiológicos,
resultam em uma sequência eventos após os quais a célula morta é fagocitada pelas
vizinhas no tecido e desaparece em 24 horas. Apesar da destruição da célula danificada
ser ruim para a própria célula, para o organismo como um todo é muito benéfica, haja
vista que, em virtude do alto risco de mutações carcinogênicas, o preço pago pela perda
de uma única célula é desprezível. Em experimentos realizados com camundongos
transgênicos em que o gene pRb foi desativado, observou-se que os tumores cresciam
mais lentamente e
que altas taxas apoptóticas também foram observadas. Daí a
evidência da importância da apoptose no surgimento de tumores. Por outro lado a
inativação da proteína p53 (essencial na sinalização de apoptose) propicia a formação
de tumores que crescem rapidamente e com baixas taxas de apoptose. Desativando as
proteínas que induzem a morte celular, incluindo a p53 (inativa em mais de 50% dos
cânceres humanos) e produzindo outras proteínas como a Bcl-2 (encarregada de
diminuir a eficiência da apoptose) as células cancerígenas driblam os mecanismos da
apoptose, diminuindo sua eficiência. A deficiência dos mecanismos de apoptose em
células cancerígenas é grave em virtude de aumentar sua resistência aos tratamentos
convencionais, como a radiação e/ou a quimioterapia (HANAHAN e WEINBERG,
2011, WEINBERG, 1996).
2.1.5 - Telomerase
Um outro mecanismo de fundamental importância na defesa contra proliferação
acelerada e desregulada, bem diferente do programa de apoptose é a telomerase. Este
mecanismo impõe limite para o número de vezes que uma célula pode se reproduzir.
Está relacionado com segmentos de DNA nas extremidades dos cromossomos
conhecidos como telômeros. Quando os cromossomos são replicados, e isto ocorre na
fase S do ciclo celular, os telômeros são encurtados. Sua função é proteger as
extremidades dos cromossomos para evitar que ocorra fusão entre eles, o que
ocasionaria certamente uma aberração genética para a célula. A medida que o
comprimento dos telômeros atinge um determinado limite, a célula recebe um sinal para
entrar no estado de senescência. Após entrar na senescência, a proliferação celular é
13
encerrada. Caso as células evitem a senescência surge um problema adicional:
provavelmente vão continuar se dividindo, diminuindo o comprimento dos telômeros e
passam para um outro estado chamado crise. Nesse estado os cromossomos começam a
se fundir provocando a morte da célula. Em experimentos realizados com células
embrionárias humanas em cultura observou-se que as células se dividem no máximo em
torno de 50 a 60 vezes antes de entrar em um dos estados, senescência ou crise. Como
na maioria dos cânceres é ativado um gene que codifica a enzima telomerase esses
mecanismos
de
defesa
são
geralmente
inativados
durante
o
processo
de
desenvolvimento dos mesmos. São estas enzimas que deveriam repor os segmentos de
DNA dos telômeros perdidos durante o ciclo de divisão celular, mas que estão ausentes
na maioria das células saudáveis.
Esta é uma das razões pelas quais as células
cancerígenas podem se replicar indefinidamente (mantém a integridade dos seus
telômeros) (HANAHAN e WEINBERG, 2011, WEINBERG, 2008a).
Nas
duas
próximas
subseções
serão
apresentadas
duas
características
fundamentais para definir o grau de agressividade da doença: a angiogênese tumoral
auto- sustentada e as metástases.
2.1.6 - Angiogênese
Quando as células cancerígenas tornam-se capazes de induzir a formação ou o
crescimento de capilares para suprir suas necessidades de nutrientes dentro do tumor,
abre-se uma “porta” que permite o aumento dos seus níveis de fatores de crescimento e
com isso a divisão celular. Este processo de aquisição/formação de novos capilares é
chamado de angiogênese. A Figura 2.4 ilustra como isso ocorre e como aumenta a
chance das células cancerígenas penetrarem no sistema circulatório. Isso também tem
uma enorme influência na formação de metástases.
Em condições normais, o tamanho ou número de capilares nos tecidos não aumenta, pois as células endoteliais que os revestem não se dividem. No entanto, em
algumas situações, como por exemplo, durante cicatrização de ferimentos é normal que
os vasos se proliferem rapidamente. As células cancerosas também podem promover
angiogênese e isto é fundamental na transição do tumor de um aglomerado pequeno e
14
inofensivo de células modificadas para a neoplasia maligna, capaz de se espalhar para
outros orgãos do corpo (FOLKAM, 1996, FOLKMAN, 1971).
Figura 2.4: Angiogênese Tumoral.
extraído de http://www.biodigital.com/medical/animation.aspx, acesso em 02/02/2012.
Existe um mecanismo molecular chamado de fatores angiogênicos tumorais
(TAFs) que quando liberados pelas células tumorais induzem o crescimento de novos
vasos, a partir de vasos pré-existentes e ainda reduzem os níveis de inibidores de
angiogênese, proporcionando a divisão das células endoteliais que revestem os vasos
sanguíneos.
O fator de crescimento de fibroblastos básico (FGFb) e o fator de
crescimento endotelial vascular (VEGF) são os mensageiros angiogênicos mais
estudados. O FGFb é quimiotático e mitogênico para células endoteliais, enquanto o
VEGF estimula o crescimento de células endoteliais. O FGFb também induz enzimas
que favorecem a penetração de brotamentos endoteliais no estroma e o VEGF é
produzido por diversos estímulos como hipóxia, deficiência de glicose e citocinas. São
essas moléculas que quando ligam-se a determinados receptores nas células endoteliais
dos capilares, informam que elas devem reproduzir-se e mover-se em direção ao tumor.
A partir de então as células endoteliais se unem para formar um broto que se direciona
para o tumor e é capaz de levar os recursos necessários à sobrevivência do mesmo.
Dentre os inúmeros fatores antiangiogênicos podemos destacar a angiostatina e a
endostatina (FOLKAM, 1996, FOLKMAN, 1971).
15
Outro ponto importante a ser considerado é que a vasculatura do tumor é totalmente desorganizada. Diferem totalmente do vasos normais: são tortuosos, dilatados,
possuem excessos de ramificações e seu diâmetro não é bem definido. Por conta disso o
fluxo nesses capilares também é desorganizado o que permite a formação de regiões
ácidas e hipóxicas. Toda essa conjuntura operando fora dos padrões de normalidade
para o funcionamento dos vasos cria condições favoráveis para que a eficiência
terapêutica seja comprometida e mais ainda, modulam a produção de estimuladores e
inibidores angiogênicos e selecionam células cancerígenas mais agressivas e aptas para
o processo metastático (CARMELIET e JAIN, 2000, FOLKAM, 1996).
2.1.7 - Metástase
Toda essa conjuntura mencionada nas subseções anteriores operando fora dos
padrões de normalidade para o funcionamento dos vasos, cria condições favoráveis para
que a eficiência terapêutica seja comprometida e mais ainda, modulam a produção de
estimuladores e inibidores angiogênicos e selecionam células cancerosas mais
agressivas e aptas para o processo metastático (CARMELIET e JAIN, 2000, FOLKAM,
1996, FOLKMAN, 1971). A metástase se refere a transferência de células tumorais
desde o órgão ou parte dele para outro não diretamente relacionado por contiguidade e
constitui a mais grave complicação e principal causa de morte em pacientes com câncer.
Células cancerígenas tornam-se completamente malignas quando desenvolvem
mecanismos que lhes permitem superar todas as barreiras fisiológicas impostas pelo
organismo contra o seu desenvolvimento. O processo de metástase inicia com a ruptura
da interação local célula-célula, alterando a membrana basal, invadindo e infiltrando o
tecido circunvizinho, atingindo e penetrando o interior dos vasos sanguíneos ou
linfáticos (intravasamento), com o consequente transporte destas células neoplásicas
pela corrente sanguínea. Na corrente sanguínea ou linfática, essas células podem ser
levadas à orgãos distantes e o escape destes vasos (extravasamento), pode levar ao
desenvolvimento de tumores secundários. Uma das características mais importantes
para se determinar o grau de malignidade de um tumor é justamente a invasividade e
capacidade de produzir metátases. Se um tumor primário é identificado precocemente e
removido antes que ocorram metástases, o câncer será erradicado completamente.
16
Contudo, se metástases microscópicas, ou tumores secundários, já estiverem presentes
na época do diagnóstico o prognóstico é grave e essas metástases provavelmente irão
desenvolver-se e tornar-se fatais. De fato, metástases são a causa de 90% das mortes
causadas por câncer em humanos ( LIOTTA, 1992, RUOSLAHTI, 1996).
Em tecidos normais, as células aderem-se umas as outras e também à matriz
extracelular (ECM), também chamada de interstício. O interstício, é formado por
colágeno e outras substâncias como a fibronectina e a lamina e são as principais
moléculas de adesão entre as células e a ECM. Uma categoria de proteínas que muito
contribui para adesão entre as células é conhecidas por caderina. A caderina E33 é a
mais estudada em relação as células malígnas. Nas células cancerígenas os mecanismos
de adesão são desregulados e são justamente as interações de adesão que levam sinais
reguladores que influenciam as atividades celulares para o interior da célula. Sem
adesão com a ECM a proliferação celular é inibida e ainda pode disparar apoptose
(fenômeno conhecido por dependência de ancoragem) ( LIOTTA, 1992, RUOSLAHTI,
1996).
Vários tipos de câncer perdem parte ou todas as moléculas caderina E.
Experimentos in vitro mostram que o bloqueio da caderina E transforma uma linhagem
de células não invasivas em células invasivas. A dependência de ancoragem é uma das
barreiras que a célula cancerígenas deve superar para se espalhar pelo corpo. A
membrana basal, uma camada fina, porém resistente composta de colágeno tipo IV
separa as células epiteliais4 do restante do corpo, formando uma barreira impenetrável
para a maioria das células normais. Apesar das células cancerosas poderem romper esta
barreira para que tumores secundários sejam formados, elas precisam invadir uma
segunda camada da ECM (o interstício conjuntivo) até atingir os vasos sanguíneos (ou
linfáticos), onde encontram outra membrana basal revestindo o vaso. Esta membrana
separa as células endoteliais, que formam a parede interna dos vasos do restante do
estroma. Após romper a segunda membrana basal e a camada de células endoteliais, aí
sim, a célula cancerosa pode atingir a corrente sanguínea e daí seguir para outras partes
do corpo. Para que ocorra a invasão da ECM, é necessário que haja a produção e
ativação de uma série de enzimas além da reestruturação do citoesqueleto para a
formação de pseudópodes nas células cancerosas. Este processo antecede as metátases e
3
4
E de epitélio
Esta referência as células epiteliais é devido elas serem a fonte mais comum de câncer.
17
são essas enzimas as responsáveis pela degradação da ECM (FERREIRA JUNIOR,
2003, LIOTTA, 1992, RUOSLAHTI, 1996).
As metaloproteinases da matriz (MDE), também chamada de matriz de
degradação ou de enzimas degradativas são enzimas que degradam a ECM. os
inibidores teciduais de metaloproteinases (TIMP), são substâncias que inibem
metaloproteinases, as uPAs, são enzimas inertes produzidas por células endoteliais e os
fibroblastos do estroma normal. Estas são apenas alguns exemplos de substâncias que
participam do processo de invasão. Ao invadir a ECM, a célula cancerígena forma
pseudópodes. A ponta deste pseudópode contém a MDE ativa chamada MT1 (MT1MMP) que, na presença de um determinado TIMP, conhecido por TIMP-2, torna-se um
receptor e ativador de uma outra metaloproteinase (MMP-2). Essa metaloproteinase
(MMP-2) é produzida por fibroblastos e células endoteliais do estroma. Coisa parecida
acontece com a proteinase uPA: ela torna-se ativa devido a uma cooperação entre o seu
receptor (uPAR) e integrinas localizados na superfície do pseudópode. Em
contrapartida, a proteólise (degradação) da ECM libera fatores de crescimento e outras
proteínas que além de alterarem a adesão a ancoragem e a arquitetura do citoesqueleto,
ainda liberam algumas moléculas sinalizadoras como por exemplo as cinases de adesão
local (FAKs). Isso faz com que o campo enzimático fique confinado na parte da frente
da célula invasora, mantendo intacta o restante da célula e preservando as moléculas de
adesão necessárias para tração celular. Enquanto a célula invasora migra através da
ECM, o complexo de enzimas, moléculas inibidoras e receptoras da frente de invasão
alternam entre adesão, liberação e proteólise. A direção de invasão pode ainda ser
influenciada por quimio-atratores e pela construção de rotas preferenciais de adesão.
Esses atratores locais incluem fatores de crescimento de hepatócitos (HGF), que
estimulam a mobilidade celular quando se prendem ao receptor Met. O processo de
invasão das células cancerosas é altamente complexo e não apenas as células
cancerígenas participam, mas também participam as células normais, induzidas pelas
cancerígenas. Além dos produtos da degradação, células cancerosas produzem um fator
de motilidade autócrino que auxilia a sua locomoção. Estes fatores, quando ligados a
determinados receptores na superfície celular, estimulam a movimentação dessas
mesmas células. Essas substâncias são observadas apenas em células cancerosas e se
destacam pela capacidade de estimular movimento nas próprias células que a produz.
Isso não ocorre, por exemplo, na migração de células normais como linfócitos do
18
sistema imunológico, que precisam ser estimuladas por outros tipos celulares
(FERREIRA JUNIOR, 2003, LIOTTA, 1992, RUOSLAHTI, 1996).
Somente quando o interstício conjuntivo é invadido é que as células neoplásicas
podem seguir em direção a outros tecidos ou órgãos. Mesmo com a chegada das células
neoplásicas a um determinado órgão ainda se faz necessário que ocorra proliferação das
mesmas para que o processo metastático se concretize. Isto significa que as células
devem deixar o vaso que as trouxe e penetrar nos tecidos, para que enfim, surja um
novo tumor secundário. No entanto, menos que uma em 104 células que deixam o tumor
primário e entram no sistema circulatório conseguem sobreviver para originar uma nova
massa tumoral em outro tecido, LIOTTA e KOHN (2001).
Ainda não são totalmente conhecidos os fatores que determinam onde e como as
células malignas deixam o vaso e se implantam em certo órgão. Sabe-se que parte
destes fatores estão relacionados à localização anatômica do tumor primário e outra
parte são fatores inerentes a célula neoplásica, FERREIRA JUNIOR (2003). A Figura
2.5 ilustra a processo de formação de metástases a partir de um carcinoma.
Carcinona in situ
Membrana basal
Invasão local
Matriz extra celular
Vaso linfático
Transporte
Extravasamento
Metástse
Figura 2.5: Formação de metástases por via sanguínea ou linfática, adaptada de (WEINBERG, 1996).
19
2.2 - Problemas Inversos
Em vários campos da física, engenharia e outros ramos da ciência, obter medidas
diretamente não é uma tarefa fácil. Nestes casos, podem-se medir outras variáveis mais
fáceis de ser mensuradas e utilizar modelagens matemáticas adequadas para extrair
informações da variável que é difícil de ser medida. Estes tipos de problema de medição
indireta são denominados de problemas inversos (BECK. 1999, KAIPIO e
SOMERSALO, 2004). A aplicação de problemas inversos pode ser feita em diversas
áreas, e como exemplo, nas engenharias: aeroespacial (Estimar fluxo de calor em
sistema de proteção térmica), biomédica (Imagem de tomografias), química
(Concentração de traços químicos), civil (Localização de falhas em estruturas),
computação (Reconhecimento de voz) e mecânica (Estimar propriedades termofísicas).
O estudo de problemas inversos faz parte de um novo paradigma de pesquisa,
onde as simulações computacional e experimental não são realizadas isoladamente, mas
sim de forma iterativa, a fim de que o máximo de informações sobre o problema físico
em questão seja obtido com as duas análises (BECK, 1999, ORLANDE et al. 2011).
De fato, métodos sistemáticos para resolver problemas Inversos foram bastante
pesquisados nos últimos vinte anos e tornaram esta técnica uma boa ferramenta para
análise e projetos de engenharia ORLANDE et al.( 2011).
ORLANDE et al. (2011) mostraram em seu livro diversos métodos de solução de
problemas inversos, como inferência Bayesiana com o método de Monte Carlo via
mostradores de Gibbs ou com o algoritmo de Metropolis-Hastings, métodos de
regularização de Tikhonov entre outras. Mostram também várias áreas de aplicações
das técnicas apresentadas.
ORLANDE et al. (2011) apresentam
técnicas para solução de
problemas
inversos como: Levenberg-Marquardt, Gradiente Conjugado com problema Adjunto e
Monte Carlo via Cadeia de Markov. Além da teoria são apresentadas aplicações em
problemas de transferência de calor.
Problemas inversos são matematicamente classificados como mal-postos, pois sua
solução não satisfaz alguma das seguinte condições: existência, unicidade e estabilidade
20
HADAMARD (1923). Esta característica faz com que, em alguns casos, exista a
necessidade de usar técnicas de regularização como as de ALIFANOV (1994, 1997)
ou TIKHONOV (1963). A utilização de técnicas de problemas inversos é capaz de
estimar parâmetros e funções.
Diversos métodos para estimar parâmetros ou funções já foram desenvolvidos,
dentre eles, os já citado anteriormente, métodos de Levenberg-Marquardt, Gradiente
Conjugado e Monte Carlo via Cadeia de Markov. Além destes métodos, outra
metodologia que está sendo bastante estudada são os filtros Bayesianos, em particular o
filtro de Kalman e os filtros de partícula, como o SIR(Sampling Importance
Resampling) e ASIR (Auxiliary Sampling Importance Resampling), para solução de
problemas de estimativa de estado. Um outro filtro também bastante utilizado, e que
além de estimar as variáveis de estado de um problema dinâmico incorpora as incertezas
associadas aos parâmetros do modelo, é o desenvolvido por LIU e WEST (2001).
Para a aplicação de problemas inversos no estudo do crescimento de tumores é
necessário a aquisição de medidas de alguma variável envolvida nos modelos que
governam a física do problema, o que pode ser feita de forma simulada ou através da
realização de experimentos in vivo ou in vitro. É com base nessas variáveis onde temos
medidas que extraímos alguma informação acerca das outras variáveis do problema que
não podem ser medidas diretamente.
Neste trabalho utilizamos o algoritmo proposto LIU e WEST (2001) uma variação
do filtro ASIR, para estimar conjuntamente as variáveis de estado e os parâmetros dos
modelos estudados e que serão vistos com mais detalhes no Capítulo 3.
2.3 - Inferência Bayesiana
Esta seção apresenta uma breve revisão da literatura sobre Inferência Bayesiana,
focada na análise de problemas inversos apesar de ser uma técnica que pode ser aplicada
em diversas áreas.
A semente para a abordagem Bayesiana a problemas de inferência foi lançada por
Richard Price quando em 1763 publicou a obra póstuma do Rev. Thomas Bayes
intitulada ‘’An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances’’,
21
BAYES (1763). No entanto, a ideia da probabilidade como grau de credibilidade, tão
importante para entender a filosofia bayesiana, tem uma longa história, KYBURG e
SMOKLER (1964). Dentre elas, sabe-se que 1) a probabilidade identifica-se como um
grau de credibilidade; 2) os graus de credibilidade podem medir-se; 3) os graus de
credibilidade podem identificar-se com sentimentos subjetivos, DE MORGAN (1847).
Essas afirmações de DE MORGAN (1847) são de extrema relevância quando
estamos interessados em inferir sobre uma determinada quantidade de interesse θ . O
verdadeiro valor de θ é desconhecido e a ideia é tentar reduzir este desconhecimento.
Para isso, devemos levar em conta toda informação disponível tanto no processo de
obtenção das medidas, como as outras informações que se tenha conhecimento a
respeito do fenômeno em estudo, antes da obtenção dessas medidas. Segundo (KAIPIO
e SOMERSALO 2004) a abordagem de inversão estatística está baseada nos seguintes
princípios:
1. Todas as variáveis incluídas no modelo são modeladas como variáveis
aleatórias;
2. A aleatoriedade descreve nosso grau de informação acerca dessas
realizações;
3. O grau de informação concernente a estes valores são codificados através
de distribuições de probabilidade;
4. A solução do problema inverso é a distribuição a posteriori
Com estas considerações e sendo θ e z variáveis aleatórias contínuas o teorema
de Bayes, BAYES (1763), pode ser escrito como:
π(θ|z)=
π(θ,z)
π(z)
2.1)
onde a função densidade de probabilidade a posteriori, π(θ|z), é a probabilidade
condicional de obter os parâmetros, θ, dadas as medidas, z; π(θ,z) é a função densidade
de probabilidade conjunta de z e θ, e π(z) é a distribuição preditiva das medidas,
também chamada de distribuição marginal e pode ser obtida integrando π(θ,z) sobre o
espaço paramétrico. Isto é,
π(z )= ∫π(θ, z )dθ
22
(2.2)
Como ,
π ( θ, z ) = π ( θ ) π ( z | θ )
(2.3)
podemos reescrever a Equação (2.1) da seguinte forma:
π (θ | z ) =
π (θ )π ( z | θ )
π (z)
(2.4)
onde π ( θ) é a distribuição a priori para os parâmetros e π ( z | θ) é a função de
verossimilhança.
Geralmente, o cálculo computacional de π(z) (Equação 2.2), é difícil e usualmente
não é necessário para cálculos práticos, sendo visto como uma constante de
marginalização. Portanto, o teorema de Bayes é normalmente escrito como
π (θ | z ) ∝ π (θ)π ( z | θ)
(2.5)
A menos de menção em contrário, a (Equação 2.5) será a variação do Teorema de
Bayes utilizada neste trabalho.
O Teorema de Bayes é, para muitos, um dos poucos resultados da matemática
que se propõe caracterizar a aprendizagem com a experiência, isto é, a modificação da
atitude inicial em relação aos ‘’antecedentes’’, ‘’causas’’, ‘’hipóteses’’ ou ‘’estados’’,
depois de se ter a informação adicional de que certo acontecimento ou acontecimentos
se realizaram PAULINO et al. (2003).
Quando o investigador está na completa
ignorância em relação a esta quantidade de interesse, a proposta de Laplace, também
conhecida por princípio da razão insuficiente ou critério de Bayes-Laplace, consiste em
atribuir igual probabilidade aos eventos5 envolvidos.
As técnicas Bayesianas tem sido amplamente implementadas para solução de
diversos problemas tanto em engenharia, como em outras áreas e utiliza diferentes
algoritmos para o cálculo da função densidade de probabilidade a posteriori π(θ|z).
Como uma amostra é sempre um substituto parcial da informação contida em uma
densidade, métodos baseados em simulação são inerentemente aproximados e devem
5
Entenda-se por evento um conjunto de resultados (um subconjunto do espaço amostral) ao qual é
associado um valor de probabilidade.
23
apenas ser utilizados quando for constatada a impossibilidade de extração analítica de
informação da posteriori. A ideia básica destes métodos é fazer um passeio aleatório no
espaço de π ( θ | z ) que converge para uma distribuição estacionária, que é a distribuição
de interesse do problema, GAMERMAN e LOPES (2006).
Muitos autores têm realizado análises detalhadas e teóricas de problemas inversos,
usando técnicas de inferência Bayesiana para a solução destes problemas em seus livros
e/ou artigos.
DOUCET et al., (2001) apresentaram em seu livro texto, análises detalhadas do
método de Monte Carlo e de alguns filtros de partículas, além de apresentarem diversas
aplicações para os métodos explorados.
ARULAMPALAM et al., (2001) apresentaram os algorítmos dos filtros de
partículas SIS (Sequential mportance Sampling), SIR (Sampling Importance
Resampling), ASIR(Auxiliary Sampling Importance Resampling) e filtros de Kalman
estendidos além de comparar os erros obtidos para cada filtro. Segundo eles o filtro
ASIR obteve o menor erro.
O livro de RISTIC et al. (2004) ressalta as restrições apresentadas pelo filtro de
Kalman para modelos não lineares e não Gaussianos e aborda as metodologias e
aplicações de alguns tipos de filtros de partículas como solução para superar tais
restrições do filtro de Kalman.
O Livro texto de KAIPIO e SOMERSALO (2004) apresenta conceitos básicos e
clássicos de problemas inversos, como por exemplo, a estimativa por Máxima Verossimilhança e o método do Gradiente Conjugado. Apresenta também, os métodos de
regularização clássicos, como a regularização de Tikhonov e o método iterativo de
regularização, como o método de Landweber-Fridman e o de Kaczmarz. Mostraram
ainda análises em metodologias de problemas inversos no qual o foco está nas análises
estatísticas dos erros gerados pela modelagem, além de Métodos de Monte Carlo via
Cadeia de Markov-MCMC e filtro de partículas.
PARTHASARATHY e BALAJI (2008), utilizando o método de Monte Carlo via
Cadeia de Markov, estimaram parâmetros como condutividade térmica e coeficiente de
convecção em uma placa bidimensional. O método empregado para resolver o problema
direto foi o de diferenças finitas. Neste estudo, foi usado três tipos de distribuição a
priori: normal, log normal e Uniforme.
24
ORLANDE et al. (2008) estimaram o campo de temperatura para dois problemas
de condução de calor em regime transiente: um linear, onde foi aplicado o filtro de
Kalman; e outro com condutividade térmica e capacidade volumétrica variando com a
temperatura, onde foi utilizado o filtro de partículas SIR. Neste trabalho mostrou-se
que, apesar do desvio padrão para o modelo e para as medidas serem considerados
altos, obtiveram-se excelentes resultados para estimar o campo de temperatura com a
utilização dos filtros de Kalman e SIR nos casos em que o problema era linear e não
linear, respectivamente. Mostrou-se também que o tempo computacional para usar o
filtro de Kalman é bem inferior em relação ao filtro de partículas SIR.
COLAÇO et al. (2011) utilizaram filtros de partículas ASIR para estimar fluxo de
calor aplicado em problemas de convecção natural. Foram analisadas as influências da
frequência da aquisição de medidas e da quantidade de partículas utilizadas.
Verificaram que com mais partículas a estimativa do fluxo de calor foi melhor e com o
aumento da frequência de aquisição de dados o intervalo de confiança ficou maior.
SILVA et al. (2011) utilizaram os filtros de partículas SIR e ASIR em um problema de solidificação, considerando um problema unidimensional, com as seguintes
finalidades: comparar os resultados obtidos com os filtros utilizados e estimar a localização da frente de solidificação e fluxo de calor. Neste estudo verificou-se que é
melhor usar o filtro ASIR, pois este precisou de menos partículas para reproduzir
resultados semelhantes ao filtro SIR.
LI et al. (2012), analisando um modelo de equações não lineares, apresentaram
uma metodologia para diversificar mais as partículas de modo a melhorar as estimativas
das variáveis de estado. Foi aplicado um método determinístico para diversificar as
partículas, apresentando resultados melhores que o filtro SIR.
ESTUMANO (2012) trabalha problemas inversos relacionados à formulação de
Hodgkin-Huxley, para problemas de potencial de ação em células excitáveis e utiliza os
filtros SIR e ASIR para estimar as variáveis de estado do modelo.
SILVA (2012) utilizou os filtros de partículas em problemas de condução de calor
transiente unidimensional, problemas de solidificação e em problemas de propagação de
incêndio.
COSTA et al. (2015) aplicou o Algoritmo de LIU e WEST (2001) para estimar os
parâmetros e as variáveis de estado de um modelo de crescimento de tumor, que
25
incorpora quimioterapia, levando em conta a aplicação de um protocolo específico para
tratamento de câncer de pâncreas.
Na próxima seção, será apresentado alguns dos modelos matemáticos de evolução
de tumores mais comuns encontrados na literatura e outros que serão objetos de estudo
nesta tese.
2.4 - Formulações para Crescimento de Tumores
Quando se pensa em modelar fenômenos novos, é natural focar inicialmente em
sistemas simples e bem definidos. Pesquisando a literatura matemática sobre
modelagem de crescimento de tumor sólido vemos que um padrão semelhante emerge:
os primeiros modelos foram focados no crescimento de tumor avascular, e com o
desenvolvimento de modelos de angiogênese, os modelos de crescimento de tumor
vascular começaram então a surgir. As melhorias nas técnicas biomédicas, tais como
imagens e sequenciamento genético que tem ocorrido ao longo dos últimos trinta anos
fornecem uma explicação alternativa para esse desenvolvimento. Como os
procedimentos experimentais tornaram-se mais sofisticados e o conhecimentos sobre o
crescimento de tumores sólidos teve uma grande evolução, as deficiências dos primeiros
modelos matemáticos, (alguns deles mostrados em seguida), tornou-se evidente e
apontou na direção para novas abordagens de modelagem. Isso se tornou possível
devido ao crescente número de matemáticos e profissionais das mais diversas áreas do
conhecimento atualmente estudando diferentes aspectos do crescimento de tumores
sólidos. Faremos aqui uma revisão tanto de modelos de crescimento de tumores
avascular como vascular. Alguns dos modelos considerados têm sido amplamente
usados para descrever a dinâmica de crescimento de tumores sólidos quando os detalhes
da estrutura espacial são negligenciados, focando, portanto, no volume total do tumor
ou no número total de células presentes no interior do tumor. São formulados como
sistemas de equações diferenciais (EDO) e tem sido utilizados por médicos e outros
profissionais para estimar parâmetros cinéticos associados com crescimento de tumor in
vivo e in vitro, e para avaliar a eficácia de diferentes estratégias terapêuticas. No
entanto, modelos baseados em equações diferenciais parciais (EDP) também tem sido
bastante utilizados para tais finalidades.
26
Um dos modelos mais simples que pode ser usado para descrever o número de
células N (t ) de um tumor sólido evoluindo ao longo do tempo é a lei de crescimento
exponencial. Considerando que em um tumor no estágio inicial de desenvolvimento não
ocorre angiogênese, e, além disso considerando-o como constituído por uma única
população celular, a lei de crescimento exponencial é dada por
dN
= α N , com N (t = 0) = N 0 ,
dt
(2.6)
com,
N (t ) = N 0eα t .
onde α > 0 é a taxa na qual as células se dividem (com dimensão tempo−1) e N 0
representa o número de células inicialmente presente dentro tumor. A versão discreta
do modelo (2.6) segundo RODRIGUES (2011), deve-se a MALTHUS (1798) e para
tratá-lo como uma variável continua supõe-se N suficientemente grande. Além disso,
outras hipóteses devem ser consideradas: a taxa de divisão das células tumorais é
constante e negligencia-se estocasticidade demográfica. Considerando que todos os
recursos necessários ao crescimento são disponíveis e abundantes, o modelo resulta em
crescimento ilimitado. Portanto, não consegue explicar a saturação que é observada em
crescimento de tumores in vitro ou quando desenvolvido in vivo. Isso faz com que o
modelo seja válido apenas para tumores nos quais a angiogênese não tenha se
estabelecido, que segundo KERBEL (2000), o diâmetro de tais tumores gira em torno
de 1 a 2 mm.
Tal discrepância que acabamos de mencionar se deve ao fato de que as células
tumorais competem entre si, por nutrientes e outros recursos vitais, como oxigênio e
espaço. Para incorporar essas informações pode-se estender o modelo (2.6), resultando
na lei de crescimento logístico, cuja formulação pode ser encontrada em VERHULST
(1838)
dN
 N
= α N  1 −  , com N (t = 0) = N 0 > 0,
dt
 K
27
(2.7)
> 0representa a capacidade suporte da população de células tumorais.
onde
Resolvendo (2.7 tem-se que
N (t ) =
onde C =
K
1 + CKe −α t
(2.8)
1
1
−
.
N0 K
Apesar da lei de crescimento logístico prever crescimento quase exponencial de
pequenos tumores e saturação de crescimento quando o tumor atinge a sua capacidade
suporte, isto é, quando N = K , a simetria de N (t ) com relação ao ponto de inflexão
N=K
não dá ao modelo logístico muita flexibilidade no ajuste de dados
experimentais, (BYRNE, 2003).
Um modelo ainda mais flexível encontrado na literatura é o modelo logístico
generalizado, definido a seguir:
dN α  N 
= N 1 − 
dt γ  K 
γ
(2.9)
onde K , α e γ são parâmetros reais e N como anteriormente, é o número de células
do tumor. O parâmetro γ define a rapidez na qual a saturação é atingida.
Com N (t = 0) = N 0 , temos que



N (t ) = K 
  K
 1+  
   N0
 
1
1
γ


 e −α t
−
1




γ







(2.10)
Quando γ = 1 voltamos ao modelo logístico usual dado pela Equação (2.7).
A Lei de crescimento Gompertziana originada a partir do modelo atuarial desenvolvido por GOMPERTZ (1825) foi usado para estudar crescimento em contextos
biológicos e econômicos em 1932 por WINSOR (1932). A lei de crescimento Gompertiziana é definida por, BOICE e DIPRIMA (2005)
28
dN
k 
= −α Nln  
dt
N
(2.11)
Mesmo diante dos modelos aqui apresentados e de tantos outros que se pode
encontrar na literatura é difícil afirmar qual deles melhor se aplica
a dados
experimentais. Num estudo realizado com 113 pessoas acometidas por câncer de mama,
SPRATT et al. (1996) conclui que o modelo logístico generalizado é o que melhor se
adequa ao problema. MICHELSON et al. (1987) mostram que em quatro de cinco
populações tumorais estudadas pelos autores, o modelo Gompertz é o que fornece o
melhor ajuste para crescimento volumétrico de tumores in vivo. O modelo de Von
Bertalanfly, (outro modelo encontrado na literatura, mas que não foi apresentado nesta
revisão) foi considerado o mais robusto no ajuste de dados em sete de dez casos de
câncer estudados em ratos, (VAIDYA e ALEXANDRO, 1982). De fato, os tumores
podem assumir diversas formas. Por exemplo, tumores como gliobastomas (tumores do
cérebro) DEISBOECK et al. (2001), melanomas (tumores da pele) (CROSS et al. 1995)
e tumores da mama (CHRISTOYIANNI et al. 2002) podem exibir formas complexas e,
possivelmente, fractais. Alguns modelo também são encontrado na literatura de Física e
propõem novos mecanismos no sentido de explicar a complexa morfologia observadas
nestes tipos de tumores. SANDER e DEISBOECK (2002) propuseram um modelo
matemático para descrever o crescimento de gliobastomas em cultura. Os autores
utilizaram um conjunto de equações de reação difusão para descrever as concentrações
de células cancerígenas, nutrientes e fatores de atração homotípica produzidos por
células móveis do tumor. Mostraram que estas equações possuem instabilidades que
levam a formação de padrões ramificados na zona de invasão do tumor.
O modelo foi estudado também por FERREIRA JUNIOR (2003) em uma rede
quadrada 128 × 128 com constante de rede igual ao diâmetro celular. A concentração
de nutrientes foi tratada como uma variável contínua e as células cancerígenas como
variáveis discretas assumindo os valores c = 1 , se o sítio é ocupado por uma célula
cancerígena, ou c = 0 , caso contrário. Todos os nutrientes são substituídos por um
único campo escalar n dado pela solução estacionária da equação de difusão:
∂n
= D∇ 2 n − α ( n)c
∂t
(2.12)
na qual o último termo corresponde ao consumo de nutrientes por células cancerígenas e
α(n) é dado por
29
α 0 n
, se n ≤ n0 ,

α (n) =  n0
 α , se n > n ,
0
 0
(2.13)
onde n0 é a concentração de saturação característica.
Normalmente quando há interesse em modelar o tratamento de tumores, é comum
a adição de um termo extra à equação ou às equações. O Modelo (2.14) dado abaixo, foi
usado no trabalho de RODRIGUES (2011) para modelar o efeito resposta do tratamento
de câncer via quimioterapia. Este modelo será também explorado neste trabalho no
sentido de estimar de forma sequencial as variáveis de estado e os parâmetros do
modelo.
.

dN1
N1
r N  µ N1Q
= α1 N1 1 −
− 1 2 −
dt
 K1 + L K1 + L  a + Q
 N
dN 2
r N  ν N 2Q
= α 2 N 2 1 − 2 − 2 1  −
dt
 K2 K2  b + Q
(2.14)
dL
η LQ
= ϕ L + φ N1 − ω N1 L −
dt
c+Q
dQ
= δ (t ) − λ Q
dt
onde, N1 , N 2 , L1 e Q, são, o número de células tumorais, células normais, capacidade
suporte e quantidade do agente quimioterápico, respectivamente. α i , i = 1, 2 denota a
taxa de crescimento das populações tumoral e normal, ri , i = 1, 2 são os coeficientes de
competição entre as populações tumoral e normal, K1 e K 2 são as capacidades suporte
das populações tumoral e normal, o parâmetro ϕ diz respeito a proliferação das células
endoteliais adjacentes ao tumor, bem como sua migração da região peritumoral para
dentro do tumor, φ está relacionado à liberação dos fatores de crescimento da massa
tumoral e ω modela a inibição da vascularização provocada pelo próprio tumor. a, b e
c determinam a velocidade da resposta da droga, λ é a taxa de decaimento da droga, µ e
ν são as taxas de tratamento das células tumorais e normais, respectivamente e η modela
30
a intensidade do efeito da quimioterapia metronômica6 . De qualquer forma, para que o
tratamento faça sentido, o agente quimioterápico tem que agir com maior intensidade
nas células tumorais RODRIGUES (2011).
Um outro modelo baseado em equações diferenciais ordinárias que modela o
efeito resposta do tratamento de câncer via quimioterapia e que também será explorado
neste trabalho é o modelo de PINHO et al. (2013). Este modelo tem muitas semelhanças
com o modelo de RODRIGUES (2011) na modelagem do crescimento celular, porém
diferem na farmacodinâmica, conforme descrito no Capítulo 3. O modelo de PINHO et
al. (2013) é dado por

dN1
N1 
N1Q
= α1 N1 1 −
 − q1 N1 N 2 − p1
dt
a1 + N1
 K1 + γ N 3 
 N 
dN 2
N 2Q
= α 2 N 2 1 − 2  − q2 N1 N 2 − p2
dt
a2 + N 2
 K2 
 N 
dN 3
NW
= α 3 N 3 1 − 3  + bN 2 − p3 3
dt
a3 + N 3
 K3 
(2.15)
dQ
= δ (t) − λ Q
dt
dW
= φ (t ) − ηW
dt
onde, N1 , N 2 , N 3 , W e Q, são, o número de células tumorais,
células normais,
endoteliais
anti-angiogênico,
quantidade
do
agente quimioterápico
e agente
respectivamente. α i , i = 1, 2,3 denota a taxa de crescimento das populações tumoral e
normal e endotelial, γ corresponde ao aumento da capacidade suporte de células
tumorais influenciadas pelas células endoteliais, qi , i = 1, 2 são os coeficientes de
competição entre as populações tumoral e normal, K1 , K 2 e K3 são as capacidades
suporte das populações tumoral, normal e endotelial, pi, i=1,2,3 são as taxas de redução
de células devido a presença de droga no corpo, ai, i=1,2,3 são constantes de Holling
tipo 2 para Ni, i=1,2,3, b é a taxa de proliferação de células tumorais devido a ação das
células endoteliais, δ e
6
φ são as taxas de infusão do agente quimioterápico e anti-
Tem por objetivo eliminar as cédulas endoteliais responsáveis pela neovascularização.
31
angiogênico, respectivamente, λ e ƞ correspondem ao decaimento do agente
quimioterápico e anti-angiogêncico, respectivamente.
Os dois últimos modelos apresentados neste capítulo são os modelos baseados em
equações de reação difusão e foram objeto de estudo neste trabalho. O primeiro é o
modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003), baseado no crescimento de tumores
sólidos genéricos, assumido por simplicidade na fase avascular, mas com capacidade
para prever as interações entre as células tumorais e vasos sanguíneos, caso células
escapem e migrem para o sistema linfático. Dessa forma, pode modelar a angiogênese e
o crescimento vascular. O Modelo é descrito a seguir e detalhado no Capítulo 3:
∂n1
= Dn1 ∇ 2 n1 − χ∇ ⋅ ( n1∇f ) ,
∂t
∂f
= −δ mf ,
∂t
(2.16)
∂m
= Dm ∇2 m + µ n1 − θ um − λ m,
∂t
∂u
= Du ∇2u + F ( m, f ) − θ um − ε u.
∂t
onde, n1 representa a concentração de células tumorais, f a concentração da matriz
extracelular-MEC , m a concentração de enzimas degradativas ou matriz de degradaçãoMED, e u a concentração de inibidores endegenosos. Cada uma dessas variáveis (n1,
m, f e u) é uma função da variável espacial e do tempo.
O segundo modelo estudado neste trabalho é o de GATENBY e GAWLINSKI
(1996) que foca nas interações populacionais que ocorrem em escala microscópica entre
o tumor e o tecido hospedeiro. Esse processo segundo (FIDLER e HART, 1982,
BISHOP, 1987, KORCZAK et al. 1988 e ELDER et al. 1989) influencia fortemente nas
manifestações clinicamente significativas de câncer invasivo. O modelo não leva em
conta as características morfológicas de grande escala do tumor, tal como a necrose
central. É considerado que altas concentrações de íons H+ expõe as células normais ao
pH intersticial tumoral, um ambiente muito ácido, o que as torna incapazes de
permanecerem viáveis. Como será visto no Capítulo 3, os elementos chave do
mecanismo de invasão do tumor, proposto neste modelo são baixo pH intersticial do
32
tumor devido ao metabolismo primitivo e a viabilidade reduzida do tecido normal em
um ambiente de pH favorável ao tecido tumoral. As variáveis consideradas nesse
modelo são: a concentração do tecido tumoral (n1), a concentração do tecido normal
(n2), e a concentração do excesso de íons H+ (L). O Modelo é definido por:
 n
∂n1
n 
= α1n1 1 − 1 − r1 2  + ∇ ⋅ Dn2 [n1 ]∇n1 ,
∂t
k
k

1
2 
(
)
 n
∂ n2
n 
= α 2 n2  1 − 2 − r2 1  − d1 Ln2 + ∇ ⋅ Dn1 [ n2 ]∇ n2 ,
∂t
k2
k1 

(
)
(2.17)
∂L
= r3 N1 − d 2 L + D2∇2 L,
∂t
Vários outros tipos de modelos matemáticos são encontrados na literatura
envolvendo diferentes níveis de refinamento para a evolução de tumores e suas
interações com o tratamento proposto, tais como as drogas quimioterápicas
(ALARCÓN et al. 2004, ARAUJO e MCELWAIN, 2004, BELLOMO et al. 2003,
BYRNE et al. 2006, GATENBY, 2009, KOMAROVA 2004, MOHAMMADI et al.
2008, PERFAHL et al. 2011, SANGA et al. 2006 e SPRATT et al. 1996).
2.5 - Escolha de Modelos
Nesta seção, faremos uma breve revisão de algumas ferramentas encontradas na
literatura para seleção de modelos. Existem critérios de seleção tanto no quadro
estatístico clássico quanto no quadro Bayesiano. Iniciamos nossa abordagem por alguns
critérios clássicos, mas o foco deste trabalho está na seleção de modelos do ponto de
vista Bayesiano.
2.5.1 - Critério de Informação de Akaike-AIC
A idéia do Critério de Informação de Akaike-AIC (Akaike’s Information
Criterion) é estimar a informação de KULLBACK e LEIBLER (1951) do verdadeiro
modelo com respeito ao modelo estimado.
33
É desejável a obtenção de um bom modelo que represente de forma satisfatória os
mecanismos que geraram os dados a serem ajustados. Logo, precisa-se de uma medida
de distância entre um bom modelo e outros modelos candidatos, para se ter evidência de
qual modelo se destaca como o mais adequado. Para isto, AKAIKE (1973) desenvolveu
uma estimativa da informação de KULLBACK e LEIBLER (1951) baseada na
maximização da função de log-verossimilhança acrescida de um termo de penalização
que está relacionada com o número de parâmetros do modelo. Esta formulação é
definida por (AKAIKE, 1973):
∧
AIC = −2l (θ, z ) + 2d
(2.18)
∧
onde l (θ, z ) é a função de log verossimilhança e d o número de parâmetros do modelo.
Portanto, o critério de informação de Akaike seleciona o modelo que minimiza (2.18).
Para BURNHAM e ANDERSON (2002) o AIC só deve ser usado para seleção de
modelos quando o número de observações disponíveis for maior ou igual a 40 vezes o
número de parâmetros do modelo.
Embora continue sendo um dos critérios ainda bastante utilizados na literatura
para seleção de modelos, em trabalhos realizados por vários autores, foi verificado que
o AIC não é consistente em ordem e tende a superestimar a dimensão do modelo
(CELEUX e SOROMENHO, 1996).
2.5.2 - Critério de Informação Bayesiano –BIC
O critério de Informação Bayesiano – BIC (Bayesian Information Criterion) está
baseado na teoria Bayesiana de seleção de modelos. Nessa teoria são considerados
vários possíveis modelos, com suas probabilidade a priori, e o objetivo é selecionar o
modelo com maior probabilidade a posteriori dadas as observações z = z1 ,..., z n . Sendo
M 1 , M 2 ,..., M g
os modelos considerados e π ( M g ) , g = 1,..., G , as respectivas
probabilidades a priori, pelo Teorema de Bayes, a posteriori de M g dado z é
(SCHUWARZ, 1978)
34
π (Mg | z) =
π ( z | Mg )π ( Mg )
(2.19)
G
∑π ( z | M )π ( M )
t
t =1
t
De (2.19) vemos que, para a posteriori de M g , é necessário determinar
π ( z | M g ) . Quando existem parâmetros desconhecidos nos modelos, essa distribuição é
obtida por integração sobre o espaço dos parâmetros, ou seja,
π ( y | M g ) = ∫ π ( y | θ, M g )π ( θ | M g ) dθ
(2.20)
onde, π ( θ | M g ) é a distribuição a priori para θ e π ( z | θ, M g ) é a função de
verossimilhança para o modelo M g , com vetor de parâmetros θ . A
quantidade
π ( θ | M g ) recebe a denominação de verossimilhança integrada. Se as probabilidades a
piori π ( θ | M g ) forem todas iguais, o procedimento seleciona o modelo com a maior
verossimilhança integrada.
A maior dificuldade com essa abordagem Bayesiana é avaliar a integral que
define a verossimilhança integrada. A principal abordagem para aproximar essa integral
é através da minimização do Critério de Informação Bayesiano, que é dado por
(SCHUWARZ, 1978),
∧
BIC ( g ) = −2 l (θ) + d log n
(2.21)
onde d é o número de parâmetros a ser estimado no modelo e n é o tamanho da
amostra. Este critério também é conhecido na literatura por Critério de Schwarz .
O BIC é considerado consistente em ordem, o que implica que assintoticamente
tende a selecionar o modelo de dimensão correta (CELEUX e SOROMENHO, 1996).
2.5.3 - Cálculo Bayesiano Aproximado - ABC
Na última década, várias pesquisas foram feitas no sentido de estimar os
parâmetros de sistemas determinísticos. Os métodos de otimização não linear global e
local tem recebido especial atenção (MENDES e KELL, 1998, MOLES et al. 2003) e
geralmente a estimação de parâmetros tem sido feita por máxima verossimilhança
35
TIMMER et al. (2004). No quadro Bayesiano, os modelos determinísticos tem sido
parametrizados usando modelos hierárquicos (BANKS et al. 2005, PUTTER et al.
2002). Existem também várias abordagens baseadas em Métodos de Monte Carlo
aplicados a estimação de parâmetros de sistemas determinísticos, BROWN e SETHNA
(2003) e estocásticos , (SISSON et al. 2007).
Quando o problema físico em questão não possui um modelo probabilístico
adequado, ou se a avaliação da verossimilhança é computacionalmente intratável, então
o comum é basear a avaliação deste problema a partir do nível de concordância entre os
dados simulados e observados. Isto não é uma tarefa fácil particularmente quando os
parâmetros do modelo simulado não são conhecidos e, portanto, devem ser inferidos a
partir dos dados observados.
No caso de estimação de parâmetros em que as verossimilhanças são intratáveis
ou não conhecidas, trabalhos baseados em algoritmos tipo ABC tem sido aplicados com
sucesso por (BEAUMONT et al. 2002, MARJORAM et al. 2003, TINA TONI et al.
2009, WEGMANN et al. 2009). A técnica se baseia no seguinte princípio: dada a
distribuição a priori π (θ) para o parâmetro θ , o objetivo é aproximar a distribuição a
posteriori π (θ | z ) ∝ π (θ)π (z | θ) , onde π (z | θ) é a verossimilhança de θ dados os
dados z . A forma geral do ABC para estimação de parâmetros é dada abaixo, (TONI,
T. et al. 2009):
1. Amostre um vetor de parâmetros candidatos θ∗ da distribuição a priori π (θ) ;
2. Simule um conjunto de dados candidatos z ∗ a partir do modelo descrito por
uma distribuição de probabilidade condicional π (z | θ* ) ;
3. Compare o conjunto de dados simulados, z ∗ , com o conjunto de dados
observados, z 0 , usando uma função distância, d e uma tolerância ε ; se
d (z0 , z∗ ) < ε , aceite θ∗ . A tolerância ε > 0 é o nível de concordância desejada
entre z 0 e z ∗ .
A saída do algoritmo ABC é uma amostra de parâmetros da distribuição
P(θ | d(z0 , z∗ ) < ε ) . Se ε é suficientemente pequeno, então esta distribuição será uma
boa aproximação para a ‘verdadeira’ distribuição a posteriori π (θ | z 0 ) . As vezes é
difícil definir uma função distância razoável d (z 0 , z∗ ) para os dados completos.
Quando isso acontece pode-se usar uma distância baseada em resumos estatísticos,
S(z 0 ) e S(z ∗ ) , dos dados, como por exemplo, uma estatística suficiente. O esquema de
36
tolerâncias não é unânime na literatura e varia de problema para problema. Uma
sugestão de (LIEPE et al. 2014) é que seja baseado na distribuição das distâncias da
população anterior. A desvantagem do algoritmo ABC acima definido, também
conhecido por Algoritmo ABC de aceitação e rejeição é que a taxa de aceitação é baixa
quando a distribuição a priori é muito diferente da distribuição a posteriori. No intuito
de resolver este problema métodos ABC baseados em Monte Carlo via Cadeia de
Markov foi introduzido por (MARJORAM et al. 2003). Esse algoritmo garante uma
maior taxa de aceitação, no entanto tem a desvantagem de que devido a natureza
correlacionada das amostras pode resultar em cadeias muito longas e podem ficar presas
em regiões de baixa probabilidade por um longo período de tempo (TONI, T. et al.
2009).
No próximo capítulo serão abordados alguns dos principais modelos matemáticos
encontrados na literatura, voltado para a descrição de crescimento populacional de
células tumorais.
37
CAPÍTULO 3 - MODELOS MATEMÁTICOS
Neste Capítulo apresentaremos quatro modelos de evolução de tumores. Dois
modelos globais envolvendo equações diferenciais ordinárias, EDO e dois modelos
locais baseados em equações diferenciais parciais, EDP. Os dois primeiros modelos que
serão vistos em seguida, o modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003) e o modelo de
GATENBY e GAWLINSKI (1996), se destacam pelo fato, de na forma adimensional,
possuírem poucos parâmetros o que do ponto de vista computacional é bastante atrativo.
Além disso, considera a difusão das células tumorais pelo tecido hospedeiro. Os dois
últimos, o modelo de RODRIGUES (2011) e o modelo de PINHO et al. (2013) levam
em consideração a ação da angiogênese como uma importante ferramenta na
disseminação das células tumorais pelo tecido hospedeiro e circunvizinhos, além de
incorporar a ação de tratamentos quimioterápicos. Todos esses modelos estudados serão
utilizados para estimar dinamicamente os estados ao longo da evolução temporal usando
problema inverso através de técnicas de inferência Bayesiana, que será discutida nos
Capítulos 4 e 5.
3.1 - O Modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003)
Este modelo é baseado no crescimento de tumores sólidos genéricos, o qual será
assumido por simplicidade no estágio avascular. Em geral, a maioria dos tumores neste
estágio são assintomáticos. Mesmo assim, é possível que células escapem e migrem
para os gânglios linfáticos podendo originar tumores mais agressivos. Para este modelo
estamos particularmente interessados nas interações entre o tumor e o tecido
circundante. Por isso, não atentaremos para as interações que ocorrem entre o tumor e a
vasculatura.
3.1.1 - Descrição do Modelo
As variáveis que são consideradas neste modelo são as seguintes: concentração de
células tumorais (denotadas por n), concentração da matriz extracelular –MEC
(denotada por m) , concentração de enzimas degradativas ou matriz de degradação-
38
MED (denotada por f) e concentração dos inibidores endogenosos (denotada por u).
Cada uma dessas variáveis tem dependência espacial e do tempo.
Como visto anteriormente no Capítulo (2) as MEDs são importantes em muitos
estágios de crescimento do tumor, como invasão e metástase. Além disso, a maneira
pela qual elas interagem com inibidores endogenosos, fatores de crescimento e células
tumorais é muito complexa. Em virtude disso, o modelo assume que as células tumorais
produzem MEDs que degradam localmente a MEC e que a MEC responde a essa
agressão produzindo inibidores endogenosos (proteínas inibidoras do tecido, PIT). Com
a degradação da MEC, abre-se espaço para que as células tumorais possam se mover
por simples difusão, resultando assim na produção de moléculas que são atrativamente
ativadas pelas células tumorais (por exemplo, fibronectina) o que ajuda na
movimentação das mesmas. A movimentação das células tumorais na direção do
gradiente de tais moléculas é denominado haptotaxia. A movimentação aleatória das
células tumorais é tratada como um fluxo difusivo na seguinte forma ANDERSON e
CHAPLAIN, (2003)
Faleatório = − D ( f , m ) ∇n
(3.1)
onde o coeficiente de difusão D ( f , m ) pode ser uma função quer seja da concentração
de MED ou MEC, mas aqui o assumimos como constante. A Equação (3.1) representa a
resposta quimiocinética, ou seja, o aumento da movimentação aleatória para regiões de
alta concentração de MED/MEC. O fluxo haptotático foi assumido como ANDERSON
e CHAPLAIN, (2003)
Fhaptotático = χ n∇f
(3.2)
onde χ > 0 (constante) é o coeficiente haptotático. Para focar inteiramente nas
interações célula-matriz e como estas afetam a migração de células tumorais, o modelo
não leva em conta proliferação de células tumorais.
É assumido também que a MEC produz inibidores endogenosos em resposta a
MED. Estes inibidores produzidos como resultado da degradação do tecido, difunde e
decai através do tecido e neutraliza a MED. Assim, a equação governante para a
evolução da concentração dos inibidores endogenosos é dada por ANDERSON e
CHAPLAIN, (2003)
39
∂u
= Du ∇ 2u + p ( m, f ) − k ( m, u ) − ϑ u
∂t
(3.3)
onde Du é uma constante positiva, (coeficiente de difusão dos inibidores), p é uma
função que modela a produção dos inibidores, k modela a neutralização da MED e é
assumido decaimento linear dos inibidores.
O sistema completo de equações que descrevem as interações das células
tumorais, MEC, MED e inibidores é ANDERSON e CHAPLAIN, (2003)
∂n
= Dn ∇ 2 n − χ∇. ( n∇f
∂t
)
(3.4)
∂f
= −δ mf
∂t
(3.5)
∂m
= Dm ∇ 2 m + µ n − θ um − λ m
∂t
(3.6)
∂u
= Dn∇ 2u + p ( m, f ) − θ um − ϑ u
∂t
(3.7)
Na Equação (3.5) assume-se que a matriz extra-celular será degradada pela ação
das enzimas degradativas com taxa δ .Esse sistema é considerado para um domínio
espacial Ω (a região do tecido) com condições iniciais e de contorno apropriadas para
cada variável. Foi assumido que as células tumorais, e consequentemente a MED e os
inibidores, permanecem dentro do domínio do tecido em consideração e foi imposto
fluxo zero em ∂Ω , isto é, no contorno de Ω . Com esta suposição de fluxo zero no
contorno de Ω assume-se que o que ocorre fora do tecido não influencia nas interações
dentro do tecido. Assumindo ainda que, para ativar a invasão do tumor, algum efeito
negativo dos inibidores endogenosos precisam ser superados pela MED, o sistema pode
ser simplificado. Portanto, doravante focaremos apenas nas três primeiras equações do
sistema (3.4-3.6), isto é, fazendo u = 0 , ou seja, não há inibidores endogenosos.
A fim de resolver o problema numericamente, primeiro foi adimensionalizado o
sistema na forma proposta por ANDERSON e CHAPLAIN, (2003). Considerou-se o
tumor e os outros tecidos na forma de placas. Assim, trabalha-se com um sistema de
40
coordenadas Cartesianas e formulação unidimensional. O sistema de equações (3.4-3.6)
foi então escrito na forma adimensional utilizando os seguintes grupos adimensionais
∼
τ=
L2
,
D
∼
n=
∼
n
m
, m=
,
n0
m0
∼
f =
f
,
f0
∼
ξ=
x
,
x0
∼
t=
t
t0
onde D é um coeficiente de difusão de referência, L é um comprimento de referência
que representa a distância máxima de invasão de uma célula cancerosa, enquanto que,
n0 , m0 e f 0
são valores de referência para cada uma das respectivas variáveis do
problema. Com essas considerações o sistema formado pelas Eq. (3.4-3.6), eliminando
o til por conveniência, torna-se:
∂n(ξ , t)
∂ 2 n(ξ , t)
∂ 
∂f (ξ , t) 
= dn
−γ
 n(ξ , t)
,
2
∂t
∂ξ
∂ξ 
∂ξ 
∂ (ξ , t)
= −η m(ξ , t) f (ξ , t),
∂t
∂m(ξ , t)
∂ 2 m(ξ , t)
= dm
+ψ n(ξ , t) − β m(ξ , t),
∂t
∂ξ 2
em 0 < ξ < 1 e t > 0
(3.8)
em 0 < ξ < 1 e t > 0
(3.9)
em 0 < ξ < 1 e t > 0
(3.10)
onde
dn =
Dn
χf
τm
D
τµ n0
, γ = 0 , η = 0 , dm = m , ψ =
, β = τλ
D
D
δ
D
m0
Em relação às condições de contorno foi imposto fluxo zero tanto para as células
tumorais quanto para a matriz de enzimas degradativas, em ξ = 0 e ξ = 1 . Assumindo
inicialmente que existe um tumor centrado em, ξ = 0 as variáveis n, f e m são supostas
com as seguintes condições iniciais ANDERSON e CHAPLAIN, (2003).
n (ξ , 0 ) = exp ( −ξ 2 / ε ) ,
em ξ ∈[0,1]
(3.11)
f (ξ ,0 ) = 1 − 0.5n (ξ ,0 ) ,
em ξ ∈[0,1]
(3.12)
m (ξ ,0 ) = 0.5n (ξ ,0 ) ,
em ξ ∈[0,1]
(3.13)
onde ε é uma constante positiva. Assim, considera-se a densidade inicial de células
cancerígenas na forma de uma Gaussiana, para densidade inicial da matriz extracelular
41
assume-se que o tecido já foi parcialmente degradado pelo tumor e a concentração
inicial da matriz de degradação como sendo proporcional a densidade inicial de células
tumorais.
3.2 - O Modelo de GATEMBY E GAWLINSKI (1996
Modelar matematicamente crescimento de tumores, como já relatado no Capítulo
(2), vem sendo amplamente estudado nas últimas décadas para encontrar mecanismos
subjacentes no qual cânceres primários e metastáticos, que invadem e destroem tecidos
normais, possam ser melhor compreendidos. O foco deste modelo está nas interações
populacionais que ocorrem em escala microscópicas entre o tumor e o tecido
hospedeiro. Segundo (FIDLER e HART, (1982), BISHOP, (1987), KORCZAK et al.,
(1988) e ELDER et al., (1989)) esse processo influencia fortemente nas manifestações
clinicamente significantes de câncer invasivo. Com isso, não se consideram aqui as
características morfológicas de grande escala do tumor, tal como a necrose central.
Também não se consideram as mudanças genéticas que resultam dessas transformações,
nem direciona o foco para a compreensão das causas dessa mudanças, o que foi
brevemente discutido no Capítulo 2. No entanto, quando pensamos em um modelo que
possa ser amplamente aplicável, este deve incorporar características que sejam comuns
a maioria dos tumores, apesar da instabilidade genética e heterogeneidade inerentes a
eles. Os trabalhos de (GATENBY, (1991), GATENBY e ROBERT A., (1995) e
GATENBY, R A, (1995)) formulam hipóteses de que a reversão da transformação
induzida do tecido neoplásico para formas primitivas metabólicas glicolíticas, com a
crescente produção de ácido e sua difusão no tecido saudável circundante, cria um
micro-ambiente peritumoral no qual as células tumorais sobrevivem e
proliferam,
enquanto as células normais tornam-se incapazes de permanecerem viáveis. Com
essas considerações, tem-se a seguinte a sequência:
•
altas concentrações de ácidos H + no tumor se estenderá, por difusão química
como um gradiente no tecido normal adjacente, expondo as células normais ao
pH intersticial tumoral.
•
as células normais imediatamente adjacentes a borda do tumor são incapazes de
sobreviver nesse ambiente cronicamente ácido.
42
•
a perda progressiva de camadas de células normais na interface tumor-tecido
hospedeiro facilita a invasão do tumor.
Os elementos chave deste mecanismo de invasão do tumor são o baixo pH
intersticial do tumor devido ao metabolismo primitivo e a viabilidade reduzida do tecido
normal em um ambiente de pH favorável ao tecido tumoral. Para (YONEKURA et al.,
1982, HAWKINS et al., 1992 e JABOUR et al., 1993), o primeiro item acima é apoiado
em dados clínicos, que mostram que tumores in situ utilizam glucose em uma ordem de
magnitude maior do que o tecido normal. (HEINZ et al., 1981, KALLINOWSKI et al.,
1988, ASHBY, 1966 e GILLIES et al., 1994) afirmam que o pH intersticial do tumor é
tipicamente 0.5 unidades menor que o tecido normal. Os estudos, sobretudo de
(STUBBS et al., 1994, RUBIN, 1971, e CASCIARI et al., 1992) nos quais a segunda
hipótese se apoia, mostram que células normais tem um pH ótimo de 7.4 com um
declínio acentuado na viabilidade para pH abaixo de 7.1, enquanto que as células
tumorais proliferam otimamente com pH de 6.8. Na verdade, DAIRKEE et al. (1995)
utilizaram esta sensibilidade diferencial para suprimir o crescimento de células normais
em biópsias de mama humana, permitindo o isolamento seletivo de populações
tumorais. Os dados reportados por MARTIN e JAIN (1994) e MARTIN e TEO (1994))
demonstram um gradiente do pH se estendendo da borda do tumor para o tecido normal
circundante, com o pH no tecido normal peritumoral significativamente menor que 7.1.
As formulações matemáticas apresentadas a seguir tem por objetivo fazer previsões da
estrutura e dinâmica da interface tumor-tecido hospedeiro, na presenca de excesso de
ácido, e serão feitas através de um sistema de equacões de reação-difusão. Este modelo
tem a simplicidade de conter poucos parâmetros celulares e subcelulares.
3.2.1 - Descrição do Modelo
O modelo é um sistema composto por três equações de reação-difusão acopladas
que determinam a distribuição espacial e temporal de três variáveis, a saber:
•
n1 (ξ , t ) , a concentração do tecido tumoral;
•
n2 (ξ , t ) , a concentração do tecido normal e
•
L (ξ , t ) , a concentração do excesso de íons H + .
43
As unidades de n1 e n 2 são células/cm3 e a concentração do excesso de íons, L é
expressa em molaridade (M). ξ e t são a posição (em cm) e o tempo (em s),
respectivamente.
O comportamento do tecido normal é determinado por um crescimento logístico
de n 2 com taxa de crescimento α 2 e capacidade suporte K 2 . A competição dessa população com o tecido tumoral é caracterizado por uma competição Lotka-Volterra, um
modelo determinístico, amplamente discutido na literatura LOTKA (1925). Neles, as
taxas de crescimento de cada espécie envolvida em uma interação competitiva estão
associados não só ao seu próprio crescimento, mas, também ao efeito inibidor da
espécie competidora expresso por um coeficiente de competição. O Modelo de LotkaVolterra que expressa a competição entre duas espécies é dado por

∂n1
n
n 
= α1n1 1 − 1 − r1 2 
∂t
K2 
 K1
(3.14)

∂n2
n
n 
= α 2 n2 1 − 2 − r2 1 
∂t
K1 
 K2
(3.15)
onde r1 e r2 são os coeficientes de competição entre as espécies.
O crescimento do tecido tumoral é descrito por uma equação de reação-difusão
dada por GATENBY e GAWLINSKI (1996)

∂n1
n
n 
= α1n1  1 − 1 − r1 2  + ∇ ⋅ Dn1 [n 2 ]∇ n1
∂t
K2 
 K1
(
)
(3.16)
onde α1 e K1 são a taxa de crescimento e a capacidade suporte do tecido tumoral,
respectivamente e r1 é o parâmetro de competição caracterizando a redução do
crescimento tumoral devido a competição com o tecido normal por espaço e outros
recursos. O segundo termo do lado direito da Equação (3.16) representa a difusão das
células tumorais no tecido normal, com coeficiente de difusão Dn1 dependente ds
células tumorais.
A interação de n 2 com o meio ácido leva a uma taxa de morte proporcional a L e
a difusão celular tem coeficiente de difusão dependente de n1 , dado por Dn2 [n1 ] . Estes
efeitos podem ser escritos através da seguinte equação governante (GATENBY;
GAWLINSKI, 1996)
44

∂n2
n
n 
= α 2 n2 1 − 2 − r2 1  − d1 Ln2 + ∇ ⋅ Dn2 [n1 ]∇ n 2
∂t
K1 
 K2
(
)
(3.17)
dL é a concentração do excesso de ácido dependendo da taxa de mortalidade de acordo
com o declínio na taxa de crescimento de células normais, devido a redução do pH do
seu valor ótimo de 7.4. α 2 tem unidade 1/s, K1 e K 2 tem unidade células/cm3, d1 tem
unidade 1/ ( M ⋅ s ) e r2 é adimensional. A não inclusão da taxa de morte pela
concentração de ácido devido o declínio na taxa de crescimento de células tumorais na
Equação (3.16) se apoia no trabalho de RUBIN (1971) para os níveis de PH por ele
examinado.
É assumido também que GATENBY e GAWLINSKI (1996)
Dn2 [ n1 ] = 0
(3.18)

n 
Dn1 [ n2 ] = D1  1 − 2 
 K2 
(3.19)
Na Equação (3.16) assume-se que estando o tecido normal bem regulado, não
haverá difusão. Na Equação (3.19) D1 é o coeficiente de difusão para o tecido
neoplásico na ausência de tecido saudável. Além disso, se a concentração local do
tecido saudável atinge a capacidade suporte, o coeficiente de difusão para o tecido
neoplásico é zero, ficando portanto o tumor confinado no tecido de origem. Outra
hipótese relevante que é assumida neste modelo é que o tecido neoplásico é incapaz de
se espalhar sem que o tecido saudável circundante tenha sua capacidade suporte
diminuída, ou seja o tecido completamente saudável ( n2 = K2 ) é capaz de promover
vários mecanismos de defesa (imunológico e não imunológico) para manter o tumor
confinado. Considerando o tecido saudável por definição, como sendo igual a sua
capacidade suporte e portanto ocupando todo o espaço do volume disponível do
tecido adjacente ao tumor, temos que somente nas regiões onde a densidade de
tecidos saudáveis tenham sido significativamente reduzidos é que o tecido tumoral
pode efetivamente se espalhar. A Equação (3.20) modela os aspectos fenomenológicos
da interação tecido-tumor hospedeiro. Nela é assumido que o excesso de H + é
produzido a uma taxa proporcional a densidade de células neoplásicas e se difunde
quimicamente. É também incluído um termo de absorção para levar em conta os
45
mecanismos de aumento de pH. Com essas considerações a equação governante para a
concentração do excesso de íons é GATENBY e GAWLINSKI (1996):
∂L
= α 3 n1 − d 2 L + D3∇ 2 L
∂t
(3.20)
onde α 3 é a taxa de produção em ( M ⋅ cm 3 / célula ⋅ s ) , d 3 é a taxa de reabsorção em
(1/ s )
e D3 é a constante de difusão de íons H + em ( cm 2 / s ) .
O sistema completo que descreve as interações tumor-tecido hospedeiro é dada
por GATENBY e GAWLINSKI, (1996)
 n
∂n1
n 
= α1n1 1 − 1 − r1 2  + ∇ ⋅ Dn1 [n 2 ]∇ n1
∂t
k2 
 k1
(
)
(3.21)
 n
∂n2
n 
= α 2 n2 1 − 2 − r2 1  − d1 Ln2 + ∇ ⋅ ( D2 [n1 ]∇ n 2 )
∂t
k1 
 k2
(3.22)
∂L
= α 3 n1 − d 2 L + D3∇ 2 L
∂t
(3.23)
No sistema (3.21-3.23), assim como no modelo de ANDERSON e CHAPLAIN
(2003), considerou-se o tumor e os outros tecidos na forma de placas. Assim, trabalhase com um sistema de coordenadas Cartesianas e formulação unidimensional. O sistema
foi então escrito na forma adimensional utilizando os seguintes grupos adimensionais
GATENBY e GAWLINSKI (1996)
L0 = α 3 K1 / d3 , η1 =
n1
n
L
α2
, η2 = 2 , Λ = , τ = α 2t , ξ =
x
K1
K2
L0
D3
resultando em GATENBY e GAWLINSKI (1996)
∂n1 (ξ ,τ )
∂
= ρ1n1 (ξ ,τ ) (1 − n1 ( ξ , τ ) ) +
∂τ
∂ξ

∂n1

 ∆1 (1 − n2 (ξ , τ ) ) ∂ξ (ξ ,τ ) 


(3.24)
∂ n2 ( ξ , τ )
= n2 (ξ ,τ ) (1 − n2 (ξ , τ ) ) − δ1Λ n2 ( ξ ,τ )
∂τ
(3.24)
∂Λ (ξ , τ )
∂
= δ 2 ( n1 ( ξ ,τ ) − Λ (ξ , τ ) ) +
Λ (ξ , τ )
∂τ
∂ξ
(3.25)
onde,
46
 d1  α1 
  K1
 d 2  α 2 
δ1 = 
ρ1 =
α1
α
(3.26)
2
D
∆1 = 1
D2
δ2 =
d2
α2
são as quatro quantidades adimensionais com os quais o modelo foi parametrizado.
Vale salientar que no sistema adimensionalizado, os parâmetros r1 e r2 que aparecem
nas Equações (3.21 e 3.22) foram assumidos como sendo iguais a zero. Segundo
GATENBY e GAWLINSKI (1996), isto não muda o comportamento qualitativo do
modelo e facilita a derivação de resultados analíticos úteis para a compreensão do
fenômeno em estudo. Além do mais, para tumores agressivamente invasivos não
existem regiões de coexistência tumorais e normais, então a competição Lotka-Volterra
não tem efeito na estrutura e dinâmica da interface tumor-tecido hospedeiro.
Outa consideração importante, é que quando
δ1 < 1, existem regiões de
coexistência entre o tecido tumoral e saudável, isto é, trata-se de um tumor não invasivo
e passa a ser invasivo quando
δ1 > 1 (GATENBY e GAWLINSKI, 1996).
Em relação às condições de contorno, a exemplo do que foi feito no modelo de
ANDERSON e CHAPLAIN (2003), foi imposto fluxo zero tanto para as células
tumorais quanto para a matriz de enzimas degradativas, em ξ = 0 e ξ = 1 . Assumindo
inicialmente que existe um tumor centrado em, ξ = 0 as variáveis n1, n2 e Λ
são
supostas com as seguintes condições iniciais.
n1 (ξ , 0 ) = exp ( −ξ 2 / ε ) ,
em ξ ∈[0,1]
(3.27)
n2 (ξ ,0 ) = 1 − 0.5n1 (ξ ,0 ) ,
em ξ ∈[0,1]
(3.28)
Λ (ξ ,0 ) = 0.5n1 (ξ ,0 ) ,
em ξ ∈[0,1]
(3.29)
onde ε é uma constante positiva. Assim, considera-se a densidade inicial de células
cancerígenas na forma de uma Gaussiana. Para densidade inicial de células normais
assume-se que o tecido já foi parcialmente degradado pelo tumor e a concentração
47
inicial do excesso de íons H + como sendo proporcional a densidade inicial de células
tumorais.
3.3 - O Modelo de RODRIGUES (2011)
O presente modelo é descrito por um sistema de quatro equações diferenciais
ordinárias e foca nas interações entre as células tumorais, normais e endoteliais na
presença de um dado agente quimioterápico. Este modelo se pauta no uso de drogas
ciclo-inespecíficas, pois estas são mais dose-dependentes do que as ciclo-específicas e
além disto atuam igualmente sobre as células proliferativas e não proliferativas, as quais
são indistintas perante o modelo (RODRIGUES, 2011, RODRIGUES et al. 2012).
3.3.1 - Descrição do Modelo
As variáveis envolvidas no sistema e que descrevem as interações mencionadas
acima são:
•
N1 ( t ) , o número de células tumorais;
•
N2 ( t ) , o Número de células normais;
•
N3 ( t ) , o número de células endoteliais;
•
Q ( t ) , a massa de droga quimioterápica;
A angiogênese foi considerada explicitamente no modelo, de modo a representar
a taxa de variação do número de células endoteliais N3 ( t ) . A equação governante para
esta variável foi obtida de HAHNFELDT et al. (1999), o qual apresentam um modelo
de equações diferenciais ordinárias para crescimento de tumor sob fatores inibidores
(TIF)7 e estimuladores (TAF)8 , em que a medida que o tumor produz tais fatores, a
capacidade suporte é alterada.
O modelo proposto por RODRIGUES. (2011) assume então a forma
7
8
Tumor inhibiting factors.
Tumor angiogenic factors.
48
dN1 (t )
= α1 N1 f1 ( N1 , N 3 ) − g1 ( N1 , N 2 , N 3 ) − h1 ( N1 , Q )
dt
(3.30)
dN 2 (t )
= α 2 N 2 f 2 ( N 2 ) − g 2 ( N1 , N 2 , N ) − h2 ( N 2 , Q )
dt
(3.31)
dN 3 (t )
= m ( N 3 ) + n ( N1 , N 3 ) − q ( N1 , N 3 ) − h3 ( N 3 , Q )
dt
(3.32)
dQ (t )
= δ ( t ) − u ( N1 , N 2 , Q )
dt
(3.33)
onde α i denota a taxa de crescimento das populações tumorais e normais,
respectivamente;
f i ≥ 0 representa a competição intraespecífica; gi ≥ 0 representa a
competição interespecífica entre as células tumorais e normais; hi ≥ 0 ( i = 1, 2,3) é a
interação de cada população celular com a droga; n ( ⋅) ≥ 0 modela a capacidade do
tumor induzir vascularização e está relacionado ao TAF; q ( ⋅) ≥ 0 está relacionado com
os fatores inibidores; m ( ⋅) ≥ 0 representa a proliferação das células endoteliais no
interior do tumor e a migração das células vasculares da região peritumoral para dentro
do tumor D’ONOFRIO e GANDOLFI (2004) e u ( ⋅) ≥ 0 modela a excreção da droga.
As funções
fi ( ⋅) , gi ( ⋅) , hi ( ⋅) , m ( ⋅) , n ( ⋅) , q ( ⋅)
e
u ( ⋅)
são dadas por
RODRIGUES, (2011)
f1 ( N1 , N 3 ) = 1 −
N1
K1 + N 3
f2 ( N2 ) = 1 −
N2
K2
α1
g1 ( N1 , N 2 , N3 ) = r1
k1 + N3
g 2 ( N1 , N 2 ) = r2
α2
K2
µ N1Q
h2 ( N 2 , Q ) =
ν N 2Q
49
(3.35)
N1 N 2
N1 N 2
h1 ( N1 , Q ) =
a+Q
b+Q
(3.34)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
h3 ( N3 , Q ) =
η N3Q
c+Q
(3.40)
m ( N3 ) = ϕ N3
(3.41)
n ( N1 , N3 ) = φ N1
(3.42)
q ( N1 , N3 ) = ω N3 N12/3
(3.43)
u ( N1 , N 2 , Q ) = λQ
(3.44)
Vale salientar que as equações (3.38-3.40) modelam a saturação da resposta da droga
em Q, a equação (3.43) foi extraída de (HAHNFELDT et al. (1999) e a equação (3.44) é
a equação que governa a massa de droga no corpo, baseado em um modelo
farmacocinético de primeira ordem, λ é a taxa de decaimento da droga e está
relacionada a meia vida da droga através da expressão
λ=
ln2
t1/ 2
(3.45)
Com essas considerações, o sistema (3.30-3.33) pode ser reescrito como
RODRIGUES, (2011)

dN1 (t )
N1
N2 
N1Q
= α1 N1 1 −
− r1
−µ
dt
k1 + N1 
a+Q
 k1 + N1
(3.46)
 N
dN 2 (t )
N 
NQ
= α 2 N 2 1 − 2 − r2 1  −ν 2
dt
k2
k2 
b+Q

(3.47)
dN 3 (t )
NQ
= ϕ N 3 + φ N1 − ω N1 N 3 − η 3
dt
c + N3
(3.48)
dQ (t )
= δ (t ) − λ Q
dt
(3.49)
As condições iniciais utilizadas na solução do problema numérico são da forma:
N1 (0) = N10 ;
(3.50)
N 2 (0) = N 20 ;
(3.51)
N 3 (0) = N 30 ;
(3.52)
Q1 (0) = Q10 ;
(3.53)
50
onde N10 > 0, N20 >, N30 > 0, Q10 = 0 . A equação (3.53) mostra que no início do
tratamento a droga ainda não está interagindo com as células.
A função taxa de infusão δ(t) da droga quimioterápica é dada por uma função
periódica RODRIGUES et al. (2012), na forma
δ = constant
δ (t ) =  0
, n ≤ t ≤ n +τ
, n +τ < t < n + T
0
(3.54)
onde T é o período de tempo entre as infusões, n=0, T, 2T,…, e τ a duração das
infusões.
3.4 - O Modelo de PINHO et al., (2013)
Este modelo é descrito por um sistema de cinco equações diferenciais ordinárias e
tem o objetivo de simular as interações entre células tumorais, normais, endoteliais,
agente quimioterápico e agente anti-angiogênico no crescimento de tumor.
3.4.1 - Descrição do Modelo
As variáveis envolvidas no sistema e que descrevem as interações mencionadas
acima são:
•
N1 ( t ) , o número de células tumorais;
•
N2 ( t ) , o número de células normais;
•
N3 ( t ) , o número de células endoteliais;
•
Q ( t ) , a massa de droga quimioterápica;
•
W ( t ) , a massa de droga anti-angiogência;
O sistema completo é dado por PINHO et al. (2013)
dN1 (t )
= α1 N1 f1 ( N1 , N 3 ) − g1 ( N1 , N 2 ) − h2 ( N1 , Q )
dt
(3.55)
dN 2 (t )
= α 2 N 2 f 2 ( N 2 ) − g 2 ( N1 , N 2 ) − h2 ( N 2 , Q )
dt
(3.56)
51
dN 3 (t )
= α 3 N 3 f 3 ( N 3 ) + bN1 − h3 ( N 3 , W )
dt
(3.57)
dQ (t )
= δ (t ) − u (Q )
dt
(3.58)
dW (t )
= φ ( t ) − v (W )
dt
(3.59)
onde os subscritos i = 1, 2 e 3 denotam células tumorais,normais e endoteliais,
respectivamente, αi é a taxa de crescimento da população celular, fi(.) é a inibição de
crescimento devido à competição intraespecífica de células por nutrientes, etc, e gi(.) é
a inibição de crescimento devido a competição interespecífica de células por nutrientes,
etc. As funções hi(.) , para i = 1, 2 e 3, modelam as interações das populações de
células com a quimioterapia e as drogas anti-angiogênicas (PINHO et al. 2013). A taxa
de infusão do agente quimioterápico é dado por δ(t), enquanto u(Q) , é o modelo para o
consumo e excreção das drogas. Efeitos análogos são, respectivamente, modelados
pelas funções φ(t) e v(W) para a droga anti-angiogênica. O modelo dado pela Equações
(5.55-3.59) negligencia qualquer dependência das funções u(Q)e v(W) no que diz
respeito aos números de células (PINHO et al., 2011 e PINHO et al., 2013). Outras
funções propostas em PINHO et al. (2013) são usados aqui, e são consistentes com a
fenômenos fisiológicos e biológicos, conforme descrito a seguir.
O modelo logístico é utilizado para as funções fi(.), i = 1, 2 e 3, isto é,
f1 ( N1 , N 3 ) = 1 −
N1
K1 + γ N 3
f2 ( N2 ) = 1 −
N2
K2
f3 ( N3 ) = 1 −
;
(3.60)
;
(3.61)
N3
;
K3
(3.62)
onde Ki, i=1,2,3 representa a capacidade suporte para as células. Para o estágio vascular
de crescimento do tumor, a capacidade de suporte K1, células tumorais é aumentada por
uma proporção γ de células endoteliais devido a angiogênese, tal como mostrado pela
equação (3.60).
As funções gi(.), são dadas sob a forma (PINHO et al., 2013):
52
gi ( N1 , N2 ) = qi N1 N2 para i=1,2.
(3.63)
onde qi, i = 1 e 2, são coeficientes que definem a competição entre o tumor e as células
normais. A função g1 ( N1 , N2 ) modela os efeitos negativos do tumor ao longo dos
tecidos normais, enquanto g2 ( N1 , N2 ) representa os mecanismos de auto-defesa do
corpo contra o tumor. Por outro lado, notamos na equação (3.57) que a taxa de
crescimento de células endoteliais é assumida como sendo diretamente proporcional ao
número de células tumorais, através da constante b.
Modelos farmacocinéticos de primeira ordem são usados para governar as massas
de drogas no corpo. Para o agente de quimioterapia, temos:
u (Q) = λQ
(3.64)
onde ξ a taxa de decaimento que está relacionada com a meia vida da droga (t1/2) como
ξ=
ln2
t1/ 2
(3.65)
Expressões similares são usadas para a droga anti-angiogênica (PINHO et al. 2011,
PINHO et al. 2013)
Nas expressões (3.55 e 3.59) é assumido que as células tumorais e são somente
afetadas diretamente pela droga quimioterápica, enquanto as células endoteliais são
somente afetadas diretamente pela droga anti-angiogênica, através das funções hi(.) que
descrevem a farmacodinâmica dessas drogas. Funções de Holling's tipo 2 foram usadas
para hi(.) na forma (PINHO et al. 2013)
h1 ( N1 , Y ) = p1
N1Y
a1 + N1
h2 ( N 2 , Y ) = p2
N2 Y
a2 + N 2
h3 ( N 3 , W ) = p3
N 3W
a3 + N 3
;
(3.66)
;
(3.67)
(3.68)
onde pi, i = 1, 2 e 3 são taxas de redução de células devido a presença de droga no
corpo. Aqui as ações das células endoteliais e do agente anti-angiogênico
potencializando a ação quimioterápica, assumido em referência (PINHO et al. 2013),
são negligenciadas. É importante lembrar que a função hi , i=1,2,3, neste modelo é
53
diferente da apresentada no modelo de RODRIGUES (2011). Aqui a saturação da
farmacodinâmica se dá pelo número de células, enquanto no modelo de
RODRIGUES (2011) se dá pela massa de droga no corpo.
Por fim, para a função taxa de infusão δ(t) da droga quimioterápica foi usada a
mesma expressa da equação (3.54). Uma expressão similar foi usada para a taxa de
infusão da droga anti-angiogênica, φ(t).
Todas as funções e parâmetros que aparecem nas equações (3.60-3.68) são
positivos. Com isto o sistema formado pelas equações (3.55-3.59) pode ser reescrito
como

dN1 (t )
N1 
N1 Q
= α1 N1 1 −
 − q1 N1 N 2 − p1
dt
a1 + N1
 K1 + γ N 3 
(3.70)
 N 
dN 2 (t )
N2 Q
= α 2 N 2 1 − 2  − q2 N1 N 2 − p2
dt
a2 + N 2
 K2 
(3.71)
 N 
dN 3 (t )
NW
= α 3 N 3 1 − 3  + bN 2 − p3 3
dt
a3 + N 3
 K3 
(3.72)
dQ (t )
= δ ( t ) − λQ
dt
(3.73)
dW (t )
= φ ( t ) − ηW
dt
(3.74)
As equações (3.70-3.74) estão sujeitas as seguintes condições iniciais
N1 (0) = N10
(3.75)
N 2 (0) = N 20
(3.76)
N3 (0) = N30
(3.77)
Q(0) = 0
(3.78)
W (0) = 0
(3.79)
onde N10 > 0, N20 > 0 and N30 > 0 são os números de células tumorais, normais e
endoteliais, respectivamente, no início do tratamento de quimioterapia. Consideramos
que nenhuma droga quimioterápica ou anti-angiogênica são encontradas no corpo
quando o tratamento é iniciado (ver equações 3.78,3.79). O número de células tumorais
pode ser estimado a partir do seu tamanho; um tumor de 10 mm de diâmetro contém
54
aproximadamente 109 células e 1 g de massa, enquanto todo o corpo humano contém
cerca de 1013 células (SPRATT et al. 1996).
55
CAPÍTULO 4 - PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO
Em vários campos da física e engenharia, observações diretas de algumas
variáveis são difíceis. Nestes casos, podem-se medir outras variáveis mais fáceis e
utilzar modelagens matemáticas adequadas para extrair sequencialmente informações da
variável que é difícil de ser medida. Este tipo de problema dinâmico de medição indireta
é denominado de problema de estimativa de estado e é um tipo de problema inverso
(KAIPIO e SOMERSALO 2004). Neste de tipo de problema os dados disponíveis
devem ser combinados com o conhecimento prévio acerca do fenômeno e dos
dispositivos de medição, no sentido de produzir estimativas sequenciais das variáveis
dinâmicas desejadas. Isto é realizado de forma que o erro associado seja minimizado
estatisticamente (MAYBECK, 1979).
A aplicação de problemas inversos no estudo do crescimento de tumores precisa
da aquisição de medidas de alguma variável envolvida nos modelos, o que pode ser feita
de forma simulada ou através da realização de experimentos in vivo ou in vitro.
Inicialmente e por falta de dados reais utilizamos medidas simuladas para todos os
modelos estudados. Foi utilizados dados reais apenas para os dois últimos modelos
estudados, simplificando-os de modo a desconsiderar as interações célula-célula. Neste
trabalho, foi utilizado o algoritmo de LIU e WEST (2001) para estimar conjuntamente
parâmetros e variáveis de estado.
Os métodos para solução de problemas de estimativa de estado seguem a
metodologia apresentada por DOUCET et al. (2001), cuja ideia é estimar as variáveis de
estado baseado na informação de alguma variável que possa ser medida e um modelo
estocástico de evolução dessas variáveis.
Em um problema de estimativa de estado consideramos o seguinte modelo de
evolução:
xk =f(xk-1 ,vk-1 )
(4.1)
onde o vetor x é o vetor de estado que contém todas as variáveis que serão estimadas
dinamicamente. O subscrito k = 1, 2, ..., representa o instante de tempo t, f uma função
não linear das variáveis de estado x e do vetor de incertezas, v, associados a essas
variáveis.
56
Sendo z k ∈ ℝ nz as medidas observadas e n ∈ ℝ nn as incertezas associadas a essas
medidas, podemos considerar o modelo de observação ou de medidas como:
z k = h(x k , n k )
(4.2)
O problema de estimação de estado tem por objetivo obter informações sobre xk
baseado nas equações (4.1 - 4.2), e nas medições
z k e está apoiado nas seguintes
suposições (ARULAMPALAM et al., 2002, KAIPIO e SOMERSALO, 2004):
A sequência xk para k = 1, 2, ..., é um processo Markoviano de primeira
(i)
ordem, isto é:
π xk x0 ,x1 ,…,xk-1 =π(xk |xk-1 )
(4.3)
A sequência zk para k = 1,2, ..., é um processo Markoviano com respeito à
(ii)
história de xk, isto é:
π zk x0 ,x1 ,…,xk-1 =π(zk |xk )
(4.4)
A sequência xk depende das observações passadas através de sua própria
(iii)
história, isto é:
π xk xk-1 ,z1:k-1 =π(xk |xk-1 )
(4.5)
onde a expressão π(a|b) representa a densidade de probabilidade condicional de a dado
b.
Para o modelo de evolução e observação dado pelas equações (4.1-4.2)
respectivamente, assume-se que (KAIPIO; SOMERSALO, 2004):
(a) Os vetores de ruidos vi e vj para i ≠ j, bem como ni e nj são mutuamente
independentes e mutuamente independentes do estado inicial x0.
(b) Os vetores vi e nj são mutuamente independente para todos os valores de i ≠ j.
Diferentes problemas podem ser considerados com os modelos de evolução e
observação KAIPIO e SOMERSALO (2004), dentre eles destacamos:
•
problema de previsão, cujo objetivo é estimar π(xk |z1:k-1 );
•
problema de filtragem, cujo objetivo é estimar π(xk |z1:k );
•
problema de suavização com retardo fixo (fixed-lag domain smoothing
problem), cujo objetivo é estimar π(xk |z1:k+p ), onde p ≥ 1 é o retardo fixo;
•
problema de suavização de domínio completo (whole-domain smoothing
problem), cujo objetivo é estimar π(xk |z1:k ), onde z1:k = zi , i = 1, 2, ..., k é
sequência completa das medidas.
57
Sendo π(x0 |z0 )= π(x0 ) uma informação a priori no instante inicial t0 em um
problema de filtragem o objetivo é a obtenção da distribuição a posteriori dada por
π(xk |z1:k ).
Esta posteriori pode ser pode obtida através de filtros Bayesianos em duas etapas:
previsão e atualização, conforme ilustrado na Figura 4.1.
Dentre os diversos métodos Bayesianos para estimativas de parâmetros e/ou
variáveis de estado destacam-se o MCMC9 , também conhecido por Métodos de Monte
Carlo via Cadeia de Markov, o filtro de Kalman e os filtros de partículas. Os filtros de
partículas constituem a técnica usada neste trabalho, para a estimação combinada de
variáveis de estado e parâmetros para o problema de crescimento de tumor.
Figura 4.1 – processo de previsão e atualização dos dados para estimativa de variáveis de estado
(KAIPIO e SOMERSALO, 2004)
4.1 - Filtro de Partículas
O filtro de partículas é um método aplicável a qualquer transição de estado, e é
representado por uma densidade a posteriori de uma distribuição de partículas
(amostras) no espaço de estado. As partículas são os possíveis estados do processo, que
9
Monte Carlo Markov Chain
58
podem ser representados como pontos no espaço de estado do processo, isto é
xi0:k ,i = 0,1,…,N onde N é o número de partículas do sistema. Cada amostra tem seus
respetivos pesos definidos como wik ,i = 0,1,…,N. Considerando o conjunto de todas a
variáveis de estado até o instante tk, x0:k = xj , j = 0,1,…, k, e com os pesos normalizados
∑Ni=1 wik =1, a distribuição a posteriori no instante tk, é aproximada da seguinte forma
(DOUCET et al., 2001, KAIPIO e SOMERSALO, 2004, RISTIC et al., 2004):
π(x0:k |z1:k ) ≈ ∑Ni=1 wik δ(x0:k -xi0:k )
onde
(4.6)
(∙) é a função delta Dirac. Retomando as hipóteses do problema de
filtragem já descritas, a equação (4.6), pode ser escrita como:
π(x0:k |z1:k ) ≈ ∑Ni=1 wik δ(xk -xik )
(4.7)
O cálculo dos pesos é definido em (RISTIC et al., 2004):
wik ∝wik-1
π zk xik π xik xik-1
q xik xi ,zk
(4.8)
k-1
onde q(∙) é a densidade de importância, que minimiza a variância dos pesos
i
condicionados em xk−1 e zk, e é dado por q(xik |xik-1 ,zk )=π(xik |xik-1 ,zk ). No entanto, para a
maioria dos problemas de interesse prático, esta escolha ótima é analiticamente
intratável. Então, a densidade de importância é tomada como a densidade de transição,
isto é, q(xik |xik-1 ,zk )=π(xik |xik-1 ), e a equação 4.8, fica reduzida a:
wik ∝wik-1 π(zk |xik )
(4.9)
Este tipo de filtro de partícula é conhecido como filtro de amostragem por
importância sequencial (SIS) (HAMMERSLEY, J. M. E HANSCOMB, 1964).
A aplicação sequencial do filtro de partículas pode resultar no fenômeno de
degeneração, onde um número pequeno de partículas possui peso importante e o
conjunto de partículas não representa de maneira fiel a função de densidade de
probabilidade a posteriori (DOUCET et al., 2001, RISTIC et al., 2004). Este problema
pode ser resolvido aumentando o número de partículas ou, de forma mais eficiente,
selecionando-se as melhores partículas através de alguma técnica de reamostragem. O
filtro baseado nesta técnica é conhecido como filtro de amostragem e reamostragem por
importância (SIR) (GORDON et al., 1993).
59
-1
No filtro SIR, a reamostragem envolve um mapeamento de xik ,wik em xi*
k ,N
com pesos uniformes, onde é feita uma eliminação das partículas de baixo peso e uma
replicação das partículas com pesos maiores (DOUCET et al., 2001, ORLANDE et al.,
2008). A figura 4.2 apresenta o processo da reamostragem, onde quatro aspectos são
levando em conta: o primeiro é que as partículas tem peso uniforme no instante de
tempo t = tk; o segundo aspecto é que após obter as medições os pesos das partículas
são atualizados; o terceiro mostra que as partículas com menor peso são descartadas e as
que tem maior peso são replicadas e dão origem a novas partículas próximas às regiões
de maior probabilidade (reamostragem) e o quarto aspecto é que após a reamostragem
as partículas novamente ganham pesos uniformes para o processo de evolução para o
instante de tempo t = tk+1. Este processo de reamostragem é feito para todos os instantes
de tempo tk. O algoritmo SIR é descrito detalhadamente em RISTIC et al. (2004) e
resumido na Tabela 4.1.
Neste trabalho consideramos as incertezas nas medidas como ruídos Gaussianos,
aditivos, não correlacionados, com média zero e desvio padrão constante conhecido.
Figura 4.2 – Filtro de Partículas
60
Tabela 4.1 – Algoritmo do Filtro de Partículas SIR (RISTIC et al., 2004).
1. Inicialização
a)
Defina k = 1;
b)
Tome um conjunto de partículas da distribuição inicial xik = π(xk |x"
! ).
2. Cálculo dos pesos
a)
Calcule os pesos wik = π(zk |xik );
b)
Normalize os pesos wik = ∑N
wik
i
i=1 wk
.
3. Reamostragem
(a)
Construa a soma dos pesos acumulativos (CSW) ci =ci-1 +wik , para i = 1, ..., N, com co = 0;
(b) Defina i = 1 e gere u1 de uma distribuição uniforme U[0,N-1];
(c)
Para j = 1, ..., N , faça:
i.
Calcule uj =u1 +N-1 (j-1);
ii.
Enquanto uj > ui faça i = i+1;
iii.
Designe as partículas xk =xik ;
iv.
Designe os pesos para wk =N-1 .
j
j
4. Cálculo da Média a Posteriori e o desvio padrão
" "
#̅ = ∑&
"'! # % ,
( =)
&
& !
"
"
+
∑&
"'! % (# − #̅ )
5. Evolução do Modelo
Se k= kfinal , pare
a)
Defina k = k + 1,
b)
xik = π(xk |x"
!)
para i=1, ..., N.
6. Retorne ao Passo 2.
Apesar do filtro SIR reduzir os efeitos de degeneração, replicando as partículas
com pesos maiores, um outro problema pode surgir: como as partículas com pesos
maiores são replicadas muitas vezes, a amostra final pode ter uma grande quantidade de
partículas oriundas de uma mesma partícula, empobrecendo assim a amostra. Caso o
modelo de evolução apresente um nível de ruído baixo isto passa a ser um problema
61
bastante significativo (ARULAMPALAM et al., 2001). Neste caso, pode ocorrer o
colapso de todas as partículas em uma única partícula em intervalos de tempo muito
pequenos (DOUCET et al., 2001). Uma medida da degeneração adotada pelos filtros de
partículas é o tamanho efetivo da amostra Neff introduzido por (KONG; LIU, 1994) e
estimado através da equação
∧
N eff =
1
∑ (w )
N
i =1
i
k
(4.13)
2
Para superar o problema do empobrecimento da amostra uma variação do filtro
SIR, denominado ASIR10 (Amostragem e reamostragem por importância auxiliar) foi
introduzido por (PITT; SHEPHARD, 1999). Nesse filtro o diferencial em relação ao
SIR, é uma etapa de reamostragem no tempo k-1, usando as medidas disponíveis no
tempo k antes das partículas avançarem para o tempo k . Por outro lado, isso aumenta o
tempo computacional quando comparado ao SIR uma vez que a solução do problema
direto em cada etapa da evolução de estado precisa ser obtida duas vezes. A Tabela 4.2
ilustra o algoritmo ASIR
Tabela 4.2 – Algoritmo do Filtro de Partículas ASIR (RISTIC et al., 2004).
1. Passo 1
a)
Gere x " para i = 1, ...,N a partir da densidade a priori π(xk |x"
!)
e calcule -" = .[x |x "
! ];
2. Passo 2
a)
Calcule o peso wik = π(zk |μik )wik-1 . usando a função de verossimilhança;
b)
Calcule o peso total t = ∑i wik ;
c)
Normalize os pesos das partículas wik =t -1 wik .
3. Passo 3 - Reamostragem
(a)
Construa a soma dos pesos acumulados (CSW) ci =ci-1 +wik , para i = 1, ..., N, com co = 0;
(b) Faça i = 1 e gere u1 de uma distribuição uniforme U[0,N-1];
(c)
Para j = 1, ..., N , faça:
1-Calcule uj =u1 +N-1 (j-1);
2-Enquanto uj > ui faça i = i+1;
10
Auxiliary Sampling Importance Resampling
62
3-Designe os índices ij = i.
4. Passo 4 - Amostragem
(a)
3
Gere x a partir da densidade a priori π(xk |x"
4
! );
(b) Com a função de verossimilhança, calcule os novos pesos
j
π(zk |xk )
j
wk =
π(zk |μik )
j
5. Passo 5
a)
Calcule o peso total t = ∑i wjk ;
b)
Normalize os pesos das partículas wk =t -1 wk .
j
j
6. Cálculo da média a posteriori e desvio padrão
" "
#̅ = ∑&
"'! # % ,6( = )
&
& !
"
"
+
∑&
"'! % (# − #̅ )
7. Evolução do Modelo
a)
Faça k = k + 1, se k = kfinal , então pare;
b) xik = π(xk |x"
!)
para i=1, ..., N.
8. Retorne ao passo 2
Os filtros SIR e ASIR se destinam a obtenção de estimativas de variáveis de
estado. Nesse trabalho, estamos particularmente interessados na estimativa conjunta de
parâmetros e variáveis de estado, uma vez que estimar os parâmetros que regulam a
dinâmica de crescimento do tumor também é muito importante para a compreensão do
fenômeno. Por isso utilizamos o algoritmo proposto por LIU e WEST (2001). Neste
algoritmo, que é uma generalização do filtro ASIR, a inferência é feita sobre a
densidade a posteriori conjunta π(xk ,θ|z1:k ), onde θ é o vector de parâmetros e xk as
variáveis de estado.
O filtro é baseado na hipótese de WEST (1993), a qual assume que, para um vetor
de parâmetros estáticos θ, a estimação da densidade a posteriori π ( θ | z k ) é feita por
densidade suavizada via kernel, LIU e WEST (2001)
π ( θ | z k ) ≈ ∑ i =1 wki N ( θ | m ik , h 2 Vk )
N
63
(4.14)
assim a distribuição artificial dos parâmetros θ é representada pela mistura ponderada
por wki de distribuições normais com média mik e variância h 2 Vk . LIU e WEST,
(2001) sugerem que a constante h , parâmetro de suavização, seja escolhida como uma
função suave e decrescente de N . Outras considerações feitas por LIU e WEST, (2001)
são:
mik = aθik + (1 − a ) θk
Vk =
1
N
(4.15)
a=
(1 − h )
(4.16)
θ=
1 N θik
∑
N i =1 N
(4.17)
2
∑ (θ
N
i =1
i
k
− θ )( θik − θ )
T
(4.18)
onde T denota o transposto da matriz. Além disso, a está relacionado a um fator de
redução δ da seguinte forma LIU e WEST, (2001)
a=
3δ − 1
2δ
(4.19)
sendo 0,95<δ<0,99.
O algoritmo do filtro de partículas para estimativa combinada de parâmetros e
variáveis de estado no passo de tempo tk-1, com base nas medidas disponíveis no tempo
tk. é dado na Tabela 4.3 abaixo:
Tabela 4.3 – Algoritmo de Filtro de Partículas (LIU e WEST, 2001).
1. Passo 1
a)
Defina δ ∈[0,95;0,99];
b)
Defina a como na equação (4.19);
c)
Faça ℎ+ de acordo com a equação (4.16);
d)
Faça k =1.
e)
Gere x " para i = 1, ...,N a partir da densidade a priori π(xk |x"
μik =E[xk |xik-1 ,θik-1 ] e mik-1 como na equação (4.15)
2. Passo 2
64
!)
e calcule o valor esperado
a)
Usando a função de verossimilhança calcule wik = π(zk |μik ,mik-1 )wik-1 .
b) Calcule o peso total t = ∑i wik ;
c)
Normalize os pesos das partículas wik =t -1 wik
3. Passo 3 - Reamostragem
(a)
Construa a soma dos pesos acumulativos (CSW) ci =ci-1 +wik , para i = 1, ..., N, com co = 0;
(b) Faça i = 1 e gere u1 de uma distribuição uniforme U[0,N-1];
(c)
Para j = 1, ..., N , faça:
i.
Calcule uj =u1 +N-1 (j-1);
ii.
Enquanto uj > ui faça i = i+1;
iii.
Designe os índices ij = i.
4. Passo 4 - Amostragem
(a)
j
j
i
Gere θk para j = 1, ...,N a partir de N θk |mk-1
,h2 Vk-1
j
3
(b) Gere x a partir da densidade a priori π(xk |xi
(c)
j
i
! ,θk );
Com a função de verossimilhança, calcule os novos pesos
j
j
j
wk =
π(zk |xk , θk )
j
j
π(zk |μik , mk-1 )
5. Passo 5
6.
j
a)
Calcule o peso total t = ∑i wk ;
b)
Normalize os pesos das partículas wk =t -1 wk .
j
j
Cálculo da média a posteriori e o desvio padrão
#̅ = % " # " ,
( =)
7. Evolução do Modelo
a)
Faça k = k + 1, se k = kfinal + 1, então pare;
b) xik = π(xk |x"
8.
!)
para i=1, ..., N
Retorne ao passo 2
65
&
& !
"
"
+
∑&
"'! % (# − #̅ )
CAPÍTULO 5 - PROBLEMAS DE SELEÇÃO DE MODELOS
Neste Capítulo é mostrado uma importante ferramenta de inferência Bayesiana
denominada Cálculo Bayesiano Aproximado - ABC, com intuito de selecionar dentre
vários modelos concorrente para explicar um mesmo fenômeno, qual deles melhor se
ajusta aos dados. As vezes se torna difícil encontrar um modelo que ajuste
razoavelmente um conjunto de dados completo, uma vez que é possível que
determinadas partes dos dados possam ser melhor explicadas por diferentes modelos.
Especialmente no caso de seleção de modelos, que vislumbram identificar a dinâmica
de crescimento de tumor, que é de natureza muito complexa, identificar um melhor
modelo não é uma tarefa simples. Neste trabalho aplicamos o método ABC baseado no
Método Sequencial de Monte Carlo- (SMC)11 para estimação de parâmetros e seleção
de modelos, a fim de que uma vez escolhido o melhor modelo, as saídas deste sejam
usadas como dados de entrada para outra importante técnica inferencial Bayesiana
mencionada no Capítulo 4, os filtros de partículas, com dados de repetições dos
experimentos.
5.1.1 - Cálculo Bayesiano Aproximado via Método Sequencial de
Monte Carlo– ABC SMC
Para superar algumas desvantagens apresentadas pelo ABC na subseção 2.53,
SISSON et al., (2007) desenvolveram o algoritmo ABC baseado no Método de Monte
Carlo Sequencial (SMC). Nessa abordagem, as partículas são propagadas através de
uma sequência de distribuições intermediárias, também chamadas de população, até que
se tenha na população final uma boa aproximação para a distribuição a posteriori desses
parâmetros. O algoritmo de SISSON et al. (2007) foi estendido por TONI, T. et al.
(2009) de forma a estimar tanto parâmetros como selecionar modelos. Vale ressaltar
que, quando estamos interessados apenas na estimação de parâmetros e tem-se um
modelo conhecido para representar a física do problema o uso do ABC surge como uma
alternativa aos métodos clássicos. No entanto, quando há mais de um modelo candidato
11 Sequential Monte Carlo.
66
plausível, disponível para explanar os dados observados, temos aí um problema de
seleção de modelos.
Os trabalhos de (DROVANDI, C. C.; PETTITT, 2011,
DROVANDI, CHRISTOPHER C; PETTITT, 2011, TONI; STUMPF, 2010a, TONI, T.
et al., 2009) mostram com sucesso como proceder a escolha de modelos em dados de
sistemas biológicos usando ABC SMC.
O objetivo aqui é estimar a distribuição a posteriori marginal de um dado modelo
dadas as observações, isto é,
π (M | z 0 ) =
π (z 0 | M)π (M)
π (z 0 )
(5.1)
onde π ( z 0 | M ) é a verossimilhança marginal e π ( M ) é a probabilidade a priori para o
modelo M. Esta abordagem (TONI; STUMPF, 2010b) é definida num espaço conjunto
de modelos indicadores M = 1,..., g e os correspondentes parâmetros do modelo, θ ,
para assim obter a distribuição a posteriori conjunta sobre o espaço combinado de
modelos e parâmetros
π ( θ, M | z 0 )
(5.2)
e marginalizando a equação (5.2) sobre os parâmetros obtemos a probabilidade
marginal para o modelo
π ( M | z0 )
(5.3)
No algoritmo ABC SMC, a quantidade de valores dos parâmetros amostrados para
cada modelo (chamados de partículas), pode ser representado como:
(
(1)
θ ( M ) = θ ( M ) ,..., θ ( M )
( NM )
)
(5.4)
onde M = 1,..., g e N M denota o número de partículas do modelo M .
Em cada população, inicia-se amostrando um modelo indicador a partir da
distribuição a priori π ( M ) . Uma vez selecionado o modelo, seleciona-se uma partícula
da população anterior específica para este modelo. Esta partícula é perturbada usando
um kernel de perturbação e é aceita ou não dependendo dos crivos existentes no
algoritmo, como por exemplo a tolerância. Este processo é repetido até que o número de
partículas desejada sejam aceitas.
67
O algoritmo ABC SMC TONI, T. et al. (2009) também usado neste trabalho é
apresentado na Tabela 5.1.
Tabela 5.1 – Algoritmo ABC SMC (TONI, T. et al., 2009)
1. Inicialize as tolerâncias
ε1 , ε 2 ,..., ε P
.
Defina a população indicadora p = 0 .
2.
Defina a partícula indicadora
3.
Amostre
i = 1.
M ∗ a partir de π ( M )
Se p = 0 amostre
θ ∗∗
de forma independente a partir de
Se p > 0 amostre
θ∗
da população anterior
Perturbe a partícula
Se π
(
π θ (M ∗ )
{θ ( M ) }
∗
p −1
(
θ ∗ para obter θ ∗∗ ∼ K p θ | θ ∗
)
( )
com peso w M
∗
p −1
.
).
(θ ) = 0 , volte para 3.
∗∗
Simule um conjunto de dados candidatos
(
z* ∼ π ( z | θ ∗∗ ,M ∗ )
)
Se d z ∗ , z 0 ≥ ε p , volte para 3.
4.
(i )
Defina M p = M
∗
e adicione
θ ∗∗
para a população de partículas
pesos como
w(pi ) = 1,
(i )
wp =
se
π (θ ∗∗ )
(
∑ j =1 w(pj−)1K p θ p( −j )1 | θ ∗∗
N
)
p = 0, e
, se p > 0 .
5.
Se i < N defina i = i + 1 e volte para 3.
6.
Para cada modelo M, normalize os pesos das partículas aceitas.
7.
Se
p < P , defina p = p + 1 e volte para 2.
68
{θ ( M ) }
∗
p
e calcule os
CAPÍTULO 6 - DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS
O Câncer de próstata é o segundo tipo mais comum entre homens no Brasil,
ficando atrás somente do câncer de pele não-melanoma, sendo ainda, a maior causa de
mortes em homens na América (SIEGEL et al., 2013). Segundo o INCA (2014), estimase que em 2014, ocorreram 68.800 novos casos da doença.
Ao longo dos anos, o Brasil vem tendo um aumento no diagnóstico positivo para a
doença que, em grande parte, pode ser explicado pela melhora na expectativa de vida da
população e pelo investimento em políticas de conscientização INCA, (2014). O
diagnóstico precoce proporciona uma maior taxa de sobrevivência já que, nesse estágio,
normalmente ainda não ocorreu metástase. Nesses casos, utiliza-se a radioterapia ou a
remoção da glândula prostática como terapia convencional que afetam a qualidade de
vida do paciente (FRANK e MIRANTI, 2013).
O câncer da próstata pode ser investigado inicialmente através da medição dos
níveis sanguíneos do Antígeno Prostático Específico (PSA), uma serino-protease
produzida pelo epitélio prostático e por glândulas periuretrais. Apesar de existirem
indícios de que o PSA não seja câncer específico e, esteja sendo usado também como
marcador de tumores epiteliais benignos, sua utilização no diagnóstico do câncer de
próstata em estágios iniciais e, em casos de câncer assintomático, tem sido importante
BAADE et al. (2009), já que o método de investigação clínica, que é baseado no toque
retal da próstata, apresenta elevada aversão entre homens, dificultando assim, o
diagnóstico precoce e o tratamento (BERGER et al., 2011).
6.1 - Metodologia
Como modelo de câncer de próstata in vitro, utilizamos a linhagem DU-145 que
apresenta o cérebro como sítio tumoral secundário. Essa linhagem é bastante invasiva e
proliferativa. Utilizamos ainda, a linhagem RAW 264.7 que são macrófagos murinos
transformados pela injeção intraperitoneal do vírus de leucemia Abelson, obtidos da
ascite de ratos BALB/c (RASCHKE et al., 1978). Essas células são originárias da
ATCC (American Type Culture Collection, Manassas, VA, EUA). As células foram
cultivadas
em
meio
RPMI
(Sigma-Aldrich)
e
DMEM
(Sigma-Aldrich),
respectivamente, suplementado com 10% de soro fetal bovino (Life Technologies, São
69
Paulo), e crescidas em frascos de cultura de 75cm2, mantidas em atmosfera úmida a
37ºC com 5% CO2 até atingirem a confluência. Após essa etapa, as células são
descoladas com tripisina 0,025% diluída em solução Verséne (NaCl 0,14M, Na2HPO4
9mM, KCl 3mM, vermelho de fenol 0,02% e ácido etileno-diamino-tetra-acético
(EDTA) 0,02% ) , centrifugadas a 1.100 rpm (180 x g) por 10 minutos em uma
centrífuga da marca DaiKi (Figura 6.1). Após a centrifugação, o sedimento contendo as
células foi diluído em meio RPMI ou DMEM, de acordo com a célula e contadas em
hemocitômetro (Figuras 6.2 e 6.3). O número de células foi ajustado de acordo com as
condições de cada ensaio.
Figura 6.1 – Centrífuga utilizada nos ensaios.
Figura 6.2 Microscópio com a câmara de Neubauer.
70
Figura 6.3 Câmara de Neubauer ampliada
A câmara é dividida em quadrantes, tendo cada quadrante 0,1cm2. Cada quadrante
possui 16 quadrados e somente as células que estiverem dentro destes são contadas. A
média dos quatro quadrantes retorna uma estimativa do número de células presente nos
10 microlitros examinados. Com isso, via regra de três, estima-se o número total de
células presentes no meio de cultura. Essa informação é usada para verificar o número
de células a ser colocada em cada poço, de acordo com a quantidade de medidas que se
pretende obter, para execução dos experimentos abaixo.
6.2 - Ensaio de Proliferação Celular
Os experimentos aqui descritos aconteceram em dois momentos distintos. O
primeiro ocorreu entre os dias 16 e 19 de dezembro de 2014 e o segundo entre os dias
23 e 25 de junho de 2015. Ambos foram realizados no Laboratório de Bioensaios
Farmacêuticos – LaBioFar, do Departamento de Fármacos e Medicamentos da
Faculdade de Farmácia, da Universidade Federal do Rio de janeiro, sob a coordenação
e execução da Professora Viviane de Oliveira Freitas Lione e sua equipe.
Com o objetivo de verificar a evolução temporal de linhagens de células
cancerosas e normais, na presença e ausência da Doxorrubicina, uma droga bastante
utilizada no tratamento do câncer, semeamos as células DU-145 (1x103 células/ poço) e
RAW (1x104 células/poço) em placas de 96 poços (Figura 6.4) por um período de 3
horas na presença de seu meio de cultura suplementado com 10% de soro fetal bovino
(SFB), para possibilitar adesão celular. Após esse tempo, o meio de cultura foi retirado
71
e feito o acréscimo da Doxorrubicina (10µM) diluído em RPMI ou DMEM, de acordo
com cada célula, suplementado com 5% de SFB.
Figura 6.4. Microplacas de 96 poços
Após 2 e 4 horas de interação, foi acrescentado uma solução de MTT (1mg/mL
diluído em RPMI ou DMEM) por um período de 2 horas. Após essa etapa, o MTT foi
retirado e os cristais de formazan solubilizados com isopropanol e quantificados com o
auxílio de um leitor de microplacas. Este é um ensaio calorimétrico que se baseia na
metabolização de MTT (brometo de 3-[4,5-dimetil-tiazol-2-il] -2,5-difeniltetrazólio)
pela enzima succinato desidrogenase presente nas mitocôndrias de célula viáveis,
transformando este sal de tetrazólio de cor amarela, em cristais de formazan azul, que
posteriormente são solubilizados em álcool isopropílico. A dosagem colorimétrica dos
poços foi feita em leitor de microplacas (Figura 6.4) em filtro de 490 nm (COMINETTI
et al., 2004).
Figura 6.5 Leitor de microplacas
72
Para quantificar as células foi realizada uma curva padrão, contendo diferentes
concentrações de células. Essa curva foi utilizada para converter os dados gerados pela
absorbância dos cristais de formazan em número estimado de células presente em cada
poço.
Decorrido o tempo de 4 horas, fez-se um intervalo de 12horas, retomando as
medidas no dia seguinte em um intervalo de 2 em 2 horas, sempre fazendo uma pausa
durante a noite, onde se interrompiam as medids por um período de 12 horas. O tempo
máximo de duração dos ensaios foi de 67 horas. Após esse período tornou-se inviável a
continuação, haja vista que em alguns casos ou já se tinha atingido a capacidade suporte
ou a quantidade de células vivas já eram insignificantes para continuar o ensaio. Para
melhor entendimento dos dados experimentais, os mesmos foram organizados na forma
apresentada na Tabela 6.1.
Tabela 6.1 – Condições de cada experimento
Experimento
Tipo de Célula
Data de Início
Número inicial de
Células
Massa de
quimioterápico
1
DU-145(Tumoral)
16/12/2014
103
0
2
DU-145(Tumoral)
16/12/2014
103
10 µM
3
RAW 264.7(Macrófagos)
16/12/2014
104
0
4
RAW 264.7(Macrófagos)
16/12/2014
104
10 µM
5
RAW 264.7(Macrófagos)
23/06/2015
104
0
6
RAW 264.7(Macrófagos)
23/06/2015
104
10 µM
As medidas obtidas para cada um dos experimentos são apresentadas no Apêndice
B.
73
CAPÍTULO 7 - RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste Capítulo são apresentados os resultados obtidos para os casos analisados
nos modelos estudados, mencionados no capítulo 3. Todos os códigos utilizados nas
simulações foram implementados no software Matlab R2012b em um computador com
processador i7, 2.3GHz e 8 Gb de memória RAM. Para a solução das equações
diferenciais parciais (EDP), dos modelos difusivos foi usada a subrotina pdepe do
Matlab, que utiliza o método das linhas. A função pdepe é bastante utilizada para a
solução de sistemas de EDPs parabólicas ou elípticas para problemas unidimensionais.
Através da discretização da malha espacial da solução do problema, esta função
aproxima a EDP por uma EDO (Equação Diferencial Ordinária) dependente do tempo.
Então, integra-se a função no tempo nas proximidades de ponto/intervalos que são
escolhidos automaticamente pelo Matlab. Existe um formato pré-definido pelo Matlab
para a função pdepe, no qual devem ser inseridos os aspectos geométricos do problema,
a malha espacial, a malha temporal, a equação governante do problema, bem como suas
condições iniciais e de contorno. Para a solução dos modelos que envolvem apenas
EDO foi utilizado a subrotina do Matlab ode15s. Para o problema de estimativa
combinada de parâmetros e varáveis de estado dos modelos estudados a técnica
utilizada foi o algoritmo de LIU e WEST, (2001)
7.1 - Estimativa de Estado do Modelo de ANDERSON E CHAPLAIN (2003)
Para melhor compreender as interações entre as populações descritas por esse
modelo, levando em conta as estimativas de estado e parâmetros do modelo, Equações
(3.8-3.10), três casos foram estudados. No primeiro caso, o objetivo foi verificar o que
acontece com as populações envolvidas no modelo utilizando os parâmetros da Tabela
7.1. No segundo caso, consideramos o efeito da difusão aleatória no primeiro termo da
Equação 3.8, sendo influenciada pelas enzimas degradativas e no terceiro caso
investigamos o que ocorre quando se eleva o valor do coeficiente de movimentação
haptotática, segundo termo da Equação (3.8).
Para resolver numericamente o modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003)
dado pelas Equações (3.8-3.10), consideramos uma malha espacial num domínio
74
unitário, com cinquenta pontos, baseado na convergência de malha e a malha temporal
variando de 0 a 20 com os incrementos iguais a 0.01.
Para as simulações desse modelo, que serão descritas a seguir, consideramos que
apenas medidas da concentração de células tumorais, n, estão disponíveis e as mesmas
foram tomadas na posição ξ=0.5. Para a geração das medidas, consideramos
nmed = nexa + συ
(7.1)
onde os subscritos med e exa, correspondem a medido e exato, respectivamente, σ é o
desvio padrão dos erros de medida e υ é uma variável aleatória normalmente
distribuída com média zero e desvio padrão unitário. As estimativas serão analisadas ao
nível de 99% de confiança e os intervalos de confiança foram calculados através de
IC (0.99) = xest ± 2.576σ est
(7.2)
onde xest corresponde as variáveis de estado estimadas em cada tempo e σ est odesvio
padrão de cada variável de estado em cada tempo. Procedemos de forma análoga o
intervalo de confiança para os parâmetros estimados. Para analisarmos a qualidade do
ajuste entre os valores exatos e estimados, utilizamos o erro RMS dado por
RMS =
1
N
∑( x
N
i =1
(i )
est
(i )
− xexa
).
2
Para o cálculo das estimativas combinadas de variáveis de estado e parâmetros
deste modelo, no primeiro caso estudado, consideramos 5% do valor máximo da
solução do sistema no ponto onde as medidas foram tomadas, como desvio padrão para
os erros de medidas, modelo e parâmetros e usamos o filtro de LIU e WEST (2001) com
1000 partículas.
Os parâmetros utilizados nas simulações deste modelo são os da Tabela 7.1
ANDERSON e CHAPLAIN (2003).
75
Tabela 7.1 – Valores dos parâmetros utilizados na simulações (ANDERSON e CHAPLAIN,
2003).
Parâmetro
Valor
dn
0.001
γ
0.005
ƞ
10
dm
0.001
ψ
0.1
β
0
ε
0.01
As Figura 7.1 a 7.3 apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas em
ξ = 0.5 , isto é, concentração de células tumorais, concentração da matriz extra celular e
matriz de degradação, respectivamente. Nestas figuras, também são apresentados os
intervalos de 99% de confiança das estimativas, enquanto a Figura 7.1 apresenta as
medidas simuladas usadas na solução do problema de estimativa de estado com o filtro
de (LIU e WEST, 2001). Estimativas das médias e dos intervalos de confiança dos
parâmetros do modelo são apresentadas na Figura 7.4.
A Figura 7.1 mostra um aumento de células tumorais, enquanto nesse tempo
observa-se um decaimento na concentração da matriz extra celular, Figura 7.2 e um
aumento na concentração das enzimas degradativas. Isto, reforça a hipótese do modelo,
de que sem a ação dos inibidores endogenosos a matriz extra celular é degradada pela
ação da matriz de degradação. Os erros RMS para as variáveis de estado n, f e m,
foram, 0.0061, 0.0119 e 0.0195, respectivamente. Vale lembrar que não foram feitas
repetições dessa simulação, portanto, o erro RMS para cada variável de estado
corresponde a uma única rodada.
Com relação as estimativas vemos que tanto as variáveis de estado Figuras (7.17.3) inclusive as que não se tem medidas, quanto os parâmetros do modelo Figura 7.4
foram todos bem estimados pelo filtro de partículas.
76
0.1
Concentração de Células Tumorais
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0.02
0.01
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.1 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
Concentração da matriz extra celular-MEC
1.6
Exato
Estimado
99% Confiança
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.2 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros
77
Concentração de Enzimas Degradativas-MDE
0.7
Exato
Estimado
99% Confiança
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.3 Estimativa da matriz de degradação usando 5% de desvio padrão para os erros de
medida, modelo e parâmetros.
-3
-3
x 10
1.2
6
Exato
Estimado
99% confiança
1.15
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
5.8
5.6
1.1
5.4
5.2
γ
dn
1.05
1
5
4.8
4.6
0.95
4.4
0.9
4.2
0.85
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
4
20
0
2
4
6
8
Tempo
10
12
14
16
18
20
Tempo
(a)
(b)
-3
x 10
12
Exato
Estimado
99% confiança
11.5
Exato
Estimado
99% confiança
1.1
11
η
dm
10.5
1
10
9.5
0.9
9
8.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.8
20
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
Tempo
(c)
(d)
78
14
16
18
20
0.115
Exato
Estimado
99% confiança
0.11
Ψ
0.105
0.1
0.095
0.09
0.085
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
(e)
Figura 7.4 Estimação dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para
o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
Para averiguar a influência dos desvios-padrão na dinâmica do processo,
repetimos a simulação usando o filtro de LIU e WEST (2001) considerando agora 10%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. As Figuras (7.5-7.7)
mostram que a concordância entre as médias estimadas para as variáveis estado e seus
valores exatos piorou, quando considerou-se maiores incertezas nos modelos de
evolução e de observação, bem como nas medidas (Ver também Figuras (7.1-7.3)) Os
erros RMS para as variáveis de estado, n, f e m , são, 0.0331, 0.0175 e 0.0331,
respectivamente. Comparando com o caso anterior em que foi assumido apenas 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros, vemos que o erro RMS
ficou maior para todas as variáveis de estado. Os parâmetros estão todos bem inferidos
como pode-se notar na Figura 7.8, mas, devido termos assumido incertezas maiores os
intervalos de confiança, foram afetados. Para uma melhor compreensão das estimativas
dos parâmetros, apresentamos na Tabela 7.2, a média e os quantis 0.01 e 0.99 de cada
um deles. Lembrando que, Quantil é uma medida separatriz que corresponde a uma
proporção acumulada de valores. Assim, a mediana, quartis e percentis são casos
particulares de quantis. O valor correspondente aos quantis 0.01 e 0.99 que usamos
neste trabalho, são os pontos que deixam 1% e 99% , respectivamente, desse conjunto
de valores (partículas) a sua esquerda.
79
Concentração de Células Tumorais
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0.02
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.5 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
Concentração da matriz extra celular-MEC
2
Exato
Estimado
99% Confiança
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.6 Estimativa da matriz extra celular usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para
os erros de medida, modelo e parâmetros.
80
Concentração de Enzimas Degradativas-MDE
1.4
Exato
Estimado
99% Confiança
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.7 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros.
-3
1.3
-3
x 10
7
Exato
Estimado
99% confiança
1.2
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
6.5
6
1.1
γ
dn
5.5
1
5
0.9
4.5
0.8
0.7
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3.5
20
0
2
4
6
8
Tempo
10
12
14
16
18
20
14
16
18
20
Tempo
(a)...............................................................(b).
-3
13
1.3
Exato
Estimado
99% confiança
12
1.1
dm
η
Exato
Estimado
99% confiança
1.2
11
10
1
9
0.9
8
0.8
7
x 10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.7
20
Tempo
0
2
4
6
8
10
Tempo
(c)
(d)
81
12
0.13
Exato
Estimado
99% confiança
0.12
Ψ
0.11
0.1
0.09
0.08
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
(e)
Figura 7.8 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
Tabela 7.2 –Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas com 5% e
10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
5% de desvio padrão
10% de desvio padrão
Parâmetro
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
dn
0,0008
0,0010
0,0012
7.7x10-4
0.001
0.0012
ɤ
0,0044
0,0050
0,0056
0.0038
0.0050
0.0063
Ƞ
8.8196
10.0164
11,258
7.2778
9.9634
12.0770
dm
0,0008
0,0010
0,0012
8.14x10-4
0.001
0.0012
ψ
0,0898
0,0999
0,01106
0.0761
0.0984
0.1229
Investigamos também o efeito do aumento de partículas nas estimativas,
assumindo 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros, mas
utilizando 3000 partículas ao invés de 1000 partículas como nos casos anteriores. Os
resultados mostrados nas figuras (7.9-7.11) e nas Tabela (7.2-7.3) revelam que para este
caso, o aumento no número de partículas não resultou em ganho significativo nas
estimavas tanto das variáveis de estado, quanto para os parâmetros do modelo, Figura
(7.12). Haja vista que, com 1000 partículas tanto as médias quanto os intervalos de
confiança já estão convergidos.
82
Concentração de Células Tumorais
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0.02
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.9 Estimativa da densidade de células tumorais usando 3000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
Concentração da matriz extra celular-MEC
2
Exato
Estimado
99% Confiança
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.10 Estimativa da densidade da matriz extra-celular usando 3000 partículas e 10% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
83
Concentração de Enzimas Degradativas-MDE
1.4
Exato
Estimado
99% Confiança
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.11 Estimativa da matriz de degradação usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os
erros de medida, modelo e parâmetros.
-3
1.3
-3
x 10
7
Exato
Estimado
99% confiança
1.2
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
6.5
6
1.1
γ
dn
5.5
1
5
0.9
4.5
0.8
0.7
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3.5
20
0
2
4
6
8
Tempo
10
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
Tempo
(a)
(b)
-3
13
1.3
Exato
Estimado
99% confiança
12
1.1
dm
η
Exato
Estimado
99% confiança
1.2
11
10
1
9
0.9
8
0.8
7
x 10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.7
20
Tempo
0
2
4
6
8
10
Tempo
(c)
(d)
84
0.13
Exato
Estimado
99% confiança
0.12
Ψ
0.11
0.1
0.09
0.08
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
(e)
Figura 7.12 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
Tabela 7.3 – Erro RMS para as variáveis de estado e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo
usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
Parâmetro
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
dn
7.5x10-4
0,0010
0,0011
ɤ
0,0039
0,0050
0,0056
Ƞ
7,5739
10.1206
12.4141
dm
7.83x10-4
0,0010
0,0012
ψ
0.0075
0,1004
0,1255
No segundo caso estudado para este modelo, o interesse é verificar o efeito da
difusão não linear fazendo a primeiro termo na Equação 3.8, da forma
dn m
∂ 2n(ξ , t)
∂ξ
(7.3)
Apresenta-se nas Figuras (7.13-7.15) os valores exatos e as estimativas (média e
intervalo de 99% de confiança) para as variáveis de estado, concentração de células
tumorais, concentração da matriz extra celular e matriz de degradação, respectivamente,
para o caso com o termo de difusão não linear dado pela Equação 7.3.
85
Para este caso, usamos 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de
medidas, modelo de evolução e de parâmetros. Vale lembrar que o sistema foi simulado
considerando as medidas tomadas na posição ξ = 0.5 com as mesmas condições iniciais
e de contorno do caso anterior. Observa-se na Figura 7.13 um aumento na concentração
de células tumorais, superior ao apresentado no primeiro caso, Figura 7.1. Do ponto de
vista biológico, isto pode caracterizar a formação de um tumor. Com
relação a
concentração da matriz extra celular observa-se na Figura 7.14 que ela demora mais a
entrar em processo de degradação do que no caso anterior. Isto pode ser um indicativo
de que mesmo com o aumento da concentração de células tumorais, esse possível tumor
ainda pode estar confinado no tecido. As estimativas para a concentração de células
tumorais, Figura 7.13, apresentam uma boa concordância com o previsto pelo modelo
de evolução, porém, a concentração da matriz extra celular, Figura 7.14 e a
concentração da matriz de degradação, Figura 7.5, apresentaram estimativas menos
acuradas. Os erros RMS para a concentração de células tumorais, concentração da
matriz extra celular e concentração da matriz de degradação, foram 0.0877, 0.0429 e
0.1247, respectivamente.
Concentração de Células Tumorais
0.4
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.13 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 2.
86
Concentração da matriz extra celular-MEC
1.6
Exato
Estimado
99% Confiança
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Concentração de Enzimas Degradativas-MDE
Figura 7.14 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 5% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2
1
Exato
Estimado
99% Confiança
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.15 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso2.
As médias e os intervalos de confiança para os parâmetros estimados são
apresentados na Figura 7.16. Nota-se nesta figura que os parâmetros do modelo são
muito bem recuperados. Tal fato também pode ser observado na Tabela 7.4.
87
-3
1.2
-3
x 10
5.8
Exato
Estimado
99% confiança
1.15
x 10
5.6
Exato
Estimado
99% confiança
5.4
1.1
5.2
5
γ
dn
1.05
1
4.8
0.95
4.6
0.9
0.85
4.4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
Tempo
10
12
14
16
18
20
Tempo
(a)
(b)
-3
1.2
11.5
11
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
1.15
Exato
Estimado
99% confiança
1.1
10.5
dm
η
1.05
10
1
9.5
0.95
9
8.5
0.9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.85
20
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
(c)
(d)
0.115
0.11
Exato
Estimado
99% confiança
Ψ
0.105
0.1
0.095
0.09
0.085
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
(e)
Figura 7.16 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo
Repetimos novamente esta simulação, usando 1000 partículas, mas assumindo
agora 10% de desvio padrão para os erros de medidas, modelo de evolução e
parâmetros. O objetivo aqui foi verificar se as estimativas continuam razoáveis apesar
do aumento das incertezas. Os resultados apresentados nas Figuras (7.17-7.19) mostram
que as estimativas para as todas as variáveis de estado (concentração de células
tumorais, concentração da matriz extra celular e concentração da matriz de degradação)
88
piorou quando comparadas com o caso anterior, com incertezas menores. Os erros
RMS, para as variáveis de estado, n, f e m, foram, 7.4 x102 , 0.0682 e 0.3260,
respectivamente, o que também mostram que aumentou para todas as variáveis.
Concluímos então, que neste caso, apesar das estimativas obtidas ainda estarem
satisfatórias, observa-se que o aumento das incertezas teve influência direta na precisão
das mesmas.
Concentração de Células Tumorais
0.4
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
.
Figura 7.17 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros –Caso 2.
Concentração da matriz extra celular-MEC
1.6
Exato
Estimado
99% Confiança
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.18 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 10% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros–Caso 2.
89
Concentração de Enzimas Degradativas-MDE
2.5
Exato
Estimado
99% Confiança
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.19 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros- caso 2.
Com relação as estimativas dos parâmetros do modelo a Tabela 7.4 revela que a
média ficou praticamente inalterada, com relação ao caso anterior, onde assumimos
incertezas menores. Os quantis 0.01 e 0.09 da distribuição a posteriori também revelam
que a dispersão das partículas em torno da média também não difere muito com relação
ao caso anterior onde assumimos incertezas menores. Esta afirmação pode ser verificada
na Tabela 7.4.
-3
1.3
-3
x 10
7
1.2
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
6.5
Exato
Estimado
99% confiança
6
1.1
γ
dn
5.5
1
5
0.9
4.5
0.8
0.7
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
3.5
0
2
4
6
8
10
Tempo
(a)
(b)
90
12
14
16
18
20
-4
14
13
Exato
Estimado
99% confiança
13
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
12
11
11
10
η
dm
12
10
9
9
8
8
7
7
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
6
0
2
4
6
Tempo
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
(c)
(d)
0.13
Exato
Estimado
99% confiança
0.12
Ψ
0.11
0.1
0.09
0.08
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
(e)
Figura 7.20 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas e desvio padrão de 10%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo–Caso 2.
Tabela 7.4 –Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas com 5% e 10% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros-Caso 2.
5% de desvio padrão
10% de desvio padrão
Parâmetro
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
dn
9x10-4
0.001
0.0011
8x10-4
0.001
0.0012
ɤ
0.0044
0.005
0.0055
0.0039
0.005
0.006
Ƞ
8.8014
9.986
11.1521
7.68
10.0469
12.3697
dm
9.01x10-4
0.001
0.0011
7.9x10-4
0.001
0.0012
ψ
0.0878
0.0999
0.1112
0.0806
0.1008
0.1198
Um terceiro caso foi estudado mantendo-se todos parâmetros dos dois casos
anterioriores com exceção do coeficiente de movimentação haptotática que foi assumido
91
como ɤ=0.05. Para ANDERSON e CHAPLAIN (2003) o coeficiente de movimentação
haptotática influencia numa possível invasão das células tumorais nos tecidos
adjacentes.
Para este caso, em virtude da mudança de ɤ aumentar a não linearidade do sistema
formado pelas equações (3.8-3.10), somente conseguimos realizar simulações utilizando
1% de desvio padrão para os erros de medidas, modelo e parâmetros. O Filtro de LIU;
WEST (2001) foi usado com 1000 partículas.
As Figuras (7.21-7.23) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas, isto
é, concentração de células tumorais, concentração da matriz extra celular e concentração
da matriz de degradação, respectivamente. Na Figura 7.21 podemos observar um rápido
aumento na concentração de células tumorais, superior ao observado para esta mesma
variável nos dois casos anteriores e também superior a maior concentração apresentada
pela matriz extra celular para este caso, conforme Figura 7.22. Isto pode significar que
células tumorais podem ter escapado do tecido hospedeiro, abrindo caminho para atingir
o sistema linfático e provocar metástases. Observa-se também na Figura 7.23 que a
concentração das enzimas degradativas aumenta mais rapidamente que nos dois outros
casos estudados anteriormente, o que justifica a degradação rápida da matriz
extracelular e o aumento mais rápido da concentração de células tumorais.
As estimativas obtidas para as variáveis de estado n , f, Figuras 7.21e 7.22,
quando comparadas com seus respectivos valores exatos, apresentam uma boa
concordância. Percebe-se, no entanto, que a variável m, Figura 7.23, foi a mais afetada
pelo aumento do coeficiente de difusão haptotático, em termos de estimativa e não
apresentou a mesma concordância que as outras variáveis, com relação ao seu valor
exato.
92
Concentração de Células Tumorais
1.6
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.21 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 1%
de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3.
Concentração da matriz extra celular-MEC
1.2
Exato
Estimado
99% Confiança
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.22 Estimativa da densidade da matriz extra celular usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e
1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3
93
Concentração de Enzimas Degradativas-MDE
0.5
Exato
Estimado
99% Confiança
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.23 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3
As médias e os intervalos de confiança para os parâmetros estimados são
apresentados na Figura 7.24, Nesta figura pode-se observar que todos os parâmetros
foram muito bem recuperados e esta afirmação pode ser observada através da Tabela 7.5
para um nível de credibilidade de 99%.
-3
1.03
x 10
0.052
1.02
Exato
Estimado
99% confiança
0.0515
Exato
Estimado
99% confiança
0.051
1.01
γ
dn
0.0505
1
0.05
0.99
0.0495
0.98
0.97
0.049
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo, s
0.0485
0
2
4
6
8
10
12
Tempo, s
(a)
(b)
94
14
16
18
20
-3
10.3
1.03
Exato
Estimado
99% confiança
10.2
1.02
10.1
Exato
Estimado
99% confiança
1.01
dm
η
x 10
10
1
9.9
0.99
9.8
0.98
9.7
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.97
0
2
4
6
8
10
Tempo, s
Tempo, s
(c)
(d)
12
14
16
18
20
0.104
0.103
Exato
Estimado
99% confiança
0.102
Ψ
0.101
0.1
0.099
0.098
0.097
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo, s
(e)
Figura 7.24 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas, ɤ=0.05 e desvio padrão
de 1% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 3.
Tabela 7.5 – Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas e 1% de
desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 3.
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
dn
0.00098
0.00100
0.00102
ɤ
0.04902
0.05003
0.05113
ƞ
9.76171
9.98953
10.17636
dm
0.00098
0.00100
0.00102
ψ
0.09749
0.10013
0.10224
95
7.2 - Estimativa de Estado para o Modelo de GATENBY e GAWLINSKI (1996)
Para resolver numericamente o modelo de GATENBY e GAWLINSKI (1996),
Equações (3.21-3.23), consideramos uma malha espacial num domínio unitário, com
120 pontos, basedo na convergência de malha, e a malha temporal variando de 0 a 20
com os incrementos iguais a 0.01.
As variáveis de estado consideradas nesse modelo são: concentração de células
tumorais ( n1 ), concentração de células normais ( n2 ) e concentração de íon H + (L).
Para as simulações desse modelo que serão descritas a seguir consideramos que
apenas medidas da concentração de células tumorais, n1 , estão disponíveis e as mesma
foram tomada na posição ξ=0.5. Para a geração das medidas consideramos
n1med = n1 + συ
(7.4)
exa
onde os subscritos med e exa, correspondem a medido e exato, respectivamente, σ é o
desvio padrão dos erros de medida e υ é uma variável aleatória normalmente
distribuída com média zero e desvio padrão unitário. Os intervalos de confiança tanto
para as variáveis de estado quanto para os parâmetros do modelo foram calculados de
forma similar ao praticado no modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003).
Os parâmetros utilizados nas simulações deste modelo estão baseados na da
Tabela 7.7
96
Tabela 7.6 – Valores dos parâmetros usados nas simulações
Parâmetro
Valor
Referência
K1
5x107 /cm3
TRACQUI et al. (1995)
K2
5x107 /cm3
TRACQUI et al. (1995)
α1
1x10 -6/s
TRACQUI et al. (1995)
α2
1x10 -6/s
TRACQUI et al. (1995)
α3
2.2x10-17M.cm3/s
DALE et al. (1994)
D1
2x10-10cm2/s
WILLIAMS (1996)
D2
5x10-6cm2/s
GATENBY e GAWLINSKI (1996)
d1
0 ⇒ 10 /M.s
GATENBY e GAWLINSKI (1996)
d2
1.1x10-4/s
GATENBY e GAWLINSKI (1996)
A adimensionalização feita neste modelo, segundo GATENBY e GAWLINSKI,
(1996) tem o propósito de verificar duas situações: uma quando o parâmetro 0 < δ1 < 1 ,
que representa a situação onde o tumor coexiste conjuntamente com as células normais
(tumor benigno) e a outra é quando δ1 > 1 e o tecido normal é rapidamente degradado
caracterizando uma situação de tumor maligno. O parâmetro δ 1 representa a taxa na
qual as células normais são destruídas influenciadas pela presença do excesso de ácido.
O algoritmo proposto LIU e WEST (2001) foi usado para estimar dinamicamente as
variáveis de estado e os parâmetros deste modelo nestas duas situações. Os dois casos
estudados estão resumidos na Tabela 7.7
Tabela 7.7 – Parâmetros usados na simulação
Parâmetro
Valor Caso 1
Valor Caso 2
ρ
1
1
δ1
0.5
12.5
∆2
4x10-5
4x10-5
δ2
70
70
97
Para o primeiro caso estudado, onde 0 < δ1 < 1 , consideramos 5% de desvio
padrão para os erros de medidas, modelo e parâmetros e 500 partículas foram usadas no
filtro. O tempo de CPU oriundo desta simulação foi 9x103s.
As Figuras (7.25-7.27) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas, isto
é, concentração de células tumorais, concentração de células normais e concentração de
íon H+, bem como os intervalos de 99% de confiança para as estimativas. A Tabela 7.8
apresenta as médias e os intervalos de confiança para os parâmetros estimados. A Figura
7.25 apresenta as medidas simuladas usadas na solução do problema de estimativa de
estado com o filtro de (LIU e WEST, 2001). As estimativas das médias e dos intervalos
de confiança dos parâmetros do modelo são apresentadas na Figura 7.28.
Pode se observar nas Figuras (7.25-7.27) que, as estimativas estimadas para as
variáveis de estado, estão muito boas quando comparadas aos seus respectivos valores
exatos. Os erros RMS para as variáveis de estado n1, n2 e Λ , foram, 0.007, 0.023 e
0.0076, respectivamente, o que confirma o bom desempenho do filtro de partículas para
Concentração de Células Tumorais
este caso.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.25 Estimativa da densidade de células tumorais usando 500 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1.
98
1.3
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Concentração de células Normais
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.26 Estimativa da densidade de células normais usando 500 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1.
1.4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Concentração de íons H
+
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.27 Estimativa da concentração de íon H+ usando 500 partículas e 5% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1.
Olhando as estimativas dos parâmetros através da Figura 7.28(b) e da Tabela 7.8
observa-se que o parâmetro cujo intervalo de confiança é proporcionalmente maior é o
parâmetro δ 2 . Porém na média todos estão muito bem inferidos.
99
0.58
80
0.56
78
Exato
Estimado
99% confiança
0.54
Exato
Estimado
99% confiança
76
74
72
δ2
δ1
0.52
0.5
70
68
0.48
66
0.46
64
0.44
0.42
62
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
60
20
0
2
4
6
8
Tempo,
10
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
Tempo,
(a)
(b)
-5
4.6
1.2
Exato
Estimado
99% confiança
1.15
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
4.4
1.1
4.2
ρ
∆1
1.05
4
1
3.8
0.95
3.6
0.9
0.85
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3.4
0
2
4
6
8
Tempo,
10
Tempo,
(c)
(d)
Figura 7.28 Estimativa dos parâmetros do modelo com 500 partículas e desvio padrão de 5% para
o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 1.
Com o intuito de verificar se o aumento de partículas para este caso melhoraria as
estimativas já obtidas para variáveis de estado e parâmetros, repetimos esta simulação
mantendo 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros, mas
utilizando 1000 partículas. Os resultados mostram que o aumento do número de
partículas para este caso não trouxe um ganho significativo nas estimativas, tanto para
as variáveis de estado, Figuras (7.29-7.31), quanto para os parâmetros do modelo Figura
7.32. Tal fato pode ser também observado na Tabela 7.8., onde observa-se que apenas o
parâmetro δ 2 se aproximou ainda mais do valor exato. Vale ressaltar que o tempo
computacional gasto nesta simulação foi de 2.1x104 s, tempo proporcionalmente
superior ao gasto neste mesmo caso com 500 partículas.
100
Concentração de Células Tumorais
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.29 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1.
1.3
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Concentração de células Normais
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
. Figura 7.30 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1.
101
1.4
Concentração de íons H
+
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.31 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1.
0.58
80
78
0.56
Exato
Estimado
99% confiança
0.54
Exato
Estimado
99% confiança
76
74
72
δ2
δ1
0.52
0.5
70
68
0.48
66
0.46
64
0.44
0.42
62
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
60
20
0
2
4
6
8
Tempo
10
12
14
16
18
20
12
14
16
18
20
Tempo
-5
4.6
1.2
Exato
Estimado
99% confiança
1.15
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
4.4
1.1
4.2
ρ
∆1
1.05
4
1
3.8
0.95
3.6
0.9
0.85
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
3.4
0
2
4
6
8
10
Tempo
Figura 7.32 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 1.
102
Tabela 7.8 – Média, quantis 0.01 e 0.99 e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e
parâmetros- Caso 1.
500 partículas
Parâmetro
1000 partículas
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
0.8884
1.0015
1.1154
0.8871
1.0021
1.11049
δ1
0.4438
0.5015
0.5632
0.4395
0.5005
0.5604
∆2
3.52x10-5
4x10-5
4.42x10-5
3.6x10-5
4x10-5
4.4x10-5
δ2
61.5874
69.7054
77.7293
61.933
69.9469
78.1307
ρ
Agora voltamos a atenção para o segundo caso, onde o parâmetro δ1 > 0 . Para o
cálculo das estimativas foi usado o algoritmo de LIU e WEST (2001), considerando 5%
de desvio padrão para os erros de medidas, modelo e parâmetros e foram usadas 500
partículas. As Figuras (7.33-7.35) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas,
isto é, concentração de células tumorais, concentração de células normais e
concentração de íon H+, bem como os intervalos de 99% de confiança para as
estimativas. Como pode-se observar na Figura 7.34, ocorre uma queda acentuada na
concentração de células normais. Pode-se observar ainda que a medida que a
concentração de células normais tende a zero, a concentração de células tumorais tende
a capacidade suporte, Figura 7.34. Isto parece factível com a hipótese de GATENBY e
GAWLINSKI (1996) de que neste caso, δ1 > 0 , não existem regiões de coexistência de
células tumorais e normais. As Figuras (7.33-7.35) mostram ainda que as estimativas
obtidas para todas as variáveis de estado estão excelentes. Os erros RMS para as
variáveis de estado n1, n2 e Λ , foram, 0.0036, 0.0251 e 0.0082, respectivamente, o que
mostra a robustez do algoritmo utilizado. O tempo computacional gasto nesta simulação
foi de 2.07x104 s.
103
Concentração de Células Tumorais
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.33 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2.
Concentração de células Normais
1.4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.34 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2
104
1.4
Concentração de íons H
+
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.35 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão
para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2.
As Figuras 7.36 (a-d) mostram as estimativas dos parâmetros obtidos pelo filtro,
onde vemos que todos eles foram bem estimados. Como pode-se observar na Tabela
7.9, o parâmetro δ 2 foi aquele com os quantis 0.01 e 0.99 relativamente maiores.. A
justificativa para isto está no fato de que este parâmetro corresponde a razão entre a taxa
de decaimento do excesso de ácido e a taxa de crescimento da densidade de células
normais. Como a densidade de células normais são rapidamente degradadas, Figura
7.34, a sensibilidade em relação a este parâmetro diminui drasticamente. No entanto a
estimativa obtida pelo filtro ainda é bastante satisfatória.
14.5
80
14
Exato
Estimado
99% confiança
13.5
75
13
70
δ2
δ1
Exato
Estimado
99% confiança
12.5
65
12
11.5
60
11
10.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
55
0
2
4
6
8
Tempo
10
Tempo
(a)
(b)
105
12
14
16
18
20
-5
4.6
1.2
Exato
Estimado
99% confiança
1.15
x 10
Exato
Estimado
99% confiança
4.4
1.1
4.2
ρ
∆1
1.05
4
1
3.8
0.95
3.6
0.9
0.85
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3.4
20
0
2
4
6
8
Tempo
10
12
14
16
18
20
Tempo
(c)
(d)
Figura 7.36 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 2.
.
Repetimos a simulação para este segundo caso, elevando o desvio padrão para os
erros de medida, modelo e parâmetros. O objetivo foi verificar se com um desvio padrão
relativamente alto, o filtro ainda assim consegue boas estimativas. Consideramos 10%
de desvio padrão e o algoritmo de LIU; WEST, (2001) foi inicializado com 1000
partículas. O tempo de cpu para esta simulação foi de 1.2x104s.
Os resultados mostrados através das Figuras (7.37-7.39) e da Tabela 7.9 mostram
que, apesar do aumento no desvio padrão e as estimativas ficarem menos acuradas que
no caso em que o desvio padrão era de apenas 5%, as estimativas ainda têm excelente
concordância com as variáveis de estado exatas. Os erros RMS para as variáveis de
estado n1, n2 e Λ , foram, 0.0091, 0.0465 e 0.0192. Com relação as estimativas dos
parâmetros do modelo, a Figura 7.40 mostra que todos eles forem bem recuperados. Isto
também pode ser observado na Tabela 7.9.
106
Concentração de Células Tumorais
1.5
1
0.5
Medido
Exato
Estimado
99% Confiança
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.37 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2.
Concentração de células Normais
1.4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.38 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2.
107
Concentração de íons H
+
1.5
1
0.5
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo
Figura 7.39 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2.
16
95
Exato
Estimado
99% confiança
15
90
Exato
Estimado
99% confiança
85
14
80
75
δ2
δ1
13
12
70
65
60
11
55
10
50
9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
45
20
0
2
4
6
8
Tempo
10
12
14
16
18
20
14
16
18
20
Tempo
(a)
(b)
-5
1.4
5.5
x 10
1.3
5
Exato
Estimado
99% confiança
1.2
1.1
Exato
Estimado
99% confiança
4.5
ρ
∆1
1
4
0.9
0.8
3.5
0.7
3
0.6
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
2.5
20
Tempo
0
2
4
6
8
10
12
Tempo
(c)
(d)
Figura 7.40 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 2.
108
Tabela 7.9 – Média e quantis 0.01 e 0.99 usando 1000 partículas e desvio padrão de 5% e 10%
para os erros de medida, modelo e parâmetros - Caso 2.
5% de desvio padrão
Parâmetro
10% de desvio padrão
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
Quantil
0.01
Média
Quantil
0.99
0.8921
1.0001
1.1149
0.7681
0.9998
1.2241
δ1
11.0342
12.5065
13.9232
9.5216
12.4871
15.3702
∆2
3.5x10-5
4.006x10-5
4.4x105
3.1x10-5
3.989x10-5
4.9x10-5
δ2
61.2484
69.7938
77.9632
53.3249
70.1074
86.4288
ρ
7.3 - Estimativa de Estado para o Modelo de RODRIGUES (2011)
As medidas simuladas utilizadas para estimar as variáveis de estado e parâmetros
do modelo de RODRIGUES (2011) foram geradas a partir da solução numérica do
problema direto, Equações (3.46-3.49) com as condições iniciais, N1(0)=1013 células,
N2(0)=109 células, N3(0)=102 células e Q(0)=0, de forma análoga ao que foi feito nos
modelos de (ANDERSON e CHAPLAIN, 2003, GATENBY e GAWLINSKI, 1996),
com a diferença que aqui as variáveis de estado são função apenas do tempo. Foi
assumido que apenas medidas dos números de células tumorais e normais estão
disponíveis .
A taxa de decaimento λ usada neste trabalho foi calculada com base na meia vida
do GEMZAR, que para homem com idade de 79 anos é t1/ 2 = 79 minutos. (“Data Sheet
of GEMZAR” 2011). A meia vida dessa droga é influenciada pela taxa de infusão, idade
e sexo. Essa droga segue um modelo farmacocinético bicompartimental, mas em virtude
de não encontrarmos na literatura informações a respeito dos parâmetros do modelo,
usamos um modelo farmacocinético de primeira ordem.
O GEMZAR é usado para tratamento de diferentes tipos de câncer, em especial
como agente quimioterápico para câncer pancreático (DATASHEET OF GEMZAR,
2011, GHANEH et al., 2008, SCHNEIDER et al., 2005, TOKH et al., 2012). O câncer
de pâncreas é uma das maiores causas de morte por câncer e continua a ser um desafio
para a comunidade de oncologistas. Quando diagnosticado, a maioria dos pacientes
109
apresentam estágio avançado da doença e poucos (menos de 15%) estão habilitados a
uma possível cirurgia para remoção do tumor.
As variáveis de estado consideradas neste modelo são: o número de células
tumorais, (N1), o número de células normais, (N2 ), o número de células endoteliais,
(N3) e a massa de droga no corpo, (Q). Negligenciamos a ação do agente antiangiogênico (Equação 3.74).
Para o presente problema de estimação foi considerado 5% de desvio padrão para
os erros de medida, modelo e parâmetros, usando o algoritmo de LIU e WEST (2001)
com 1000 partículas. Os parâmetros usados estão na Tabela 7.10.
Tabela 7.10 – Valores dos parâmetros usados nas simulações RODRIGUES (2011).
Parâmetro
Valor
α1 , dia-1
10-2
α 2 , dia-1
10-3
σ1 , dia-1
10-3
K1 , cel
108
K 2 , cel
1012
r1 ,
9x10-5
r2 ,
9x10-2
φ , dia-1
1
ω , cel-1 dia-1
10-12
µ , dia-1
8
ν , dia-1
8x10-2
a , mg-
2x103
b , mg
5x106
c , mg
0
η , dia-1
0
λ , dia-1
12.63
As Figuras (7.41-7.44) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas, isto
é, o número de células tumorais, (N1), o número de células normais, (N2 ), o número de
110
células endoteliais, (N3) e a massa de droga no corpo, (Q), bem como os intervalos de
99% de confiança para as estimativas. A Tabela 7.11 apresenta as médias e os quantis
0.01 e 0.99 para os parâmetros estimados e a Tabela 7.12 apresenta os erros RMS para
as variáveis de estado e o tempo de cpu gasto na execução do algoritmo.
A Figura 7.41 mostra o número de células tumorais sendo reduzidas ao longo do
tempo, mas o número de células normais também diminui, Figura 7.42. É também
observado o crescimento de células endoteliais (Figura 7.43). Isto levar a crer que do
ponto de vista biológico o protocolo de tratamento GEMZAR aplicado a este modelo
não surtiu o efeito esperado de reduzir o número de células tumorais e aumentar o
número de células normais. No entanto, as estimativas obtidas com o filtro de partículas
apresentam uma boa acurácia tanto para as células normais e tumorais, como também
para as células endoteliais e massa de droga no corpo, Figuras (7.43 e 7.44),
respectivamente.
8
9
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Número de células tumorais, cel
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.41 Estimativa do número de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
111
12
Número de células Normais, cel
14
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
12
10
8
6
4
2
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.42 Estimativa do número de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
10
Número de células endoteliais, cel
3
x 10
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.43 Estimativa do número de células endoteliais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
112
Massa de droga no corpo, mg
0.025
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.44 Estimativa da massa de droga no corpo, usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
As estimativas para os parâmetros do modelo estão na Figura 7.45 (a-o). Observase que, em geral as estimativas estão boas. A tabela 7.14 também mostra que todos os
parâmetros estão bem estimados.
8
0.0115
1.15
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.011
1.05
K1, cel
-1
α 1, dia
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.1
0.0105
0.01
1
0.0095
0.95
0.009
0.9
0.0085
x 10
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
0.85
0
20
40
60
Tempo, dia
(a)
(b)
113
80
100
120
-5
10.5
x 10
10
9.5
9
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
8.5
µ, dia
r1
-1
9.5
9
8
8.5
7.5
8
7
7.5
0
20
40
60
80
100
6.5
120
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Tempo, dia
(c)
(d)
-3
1.2
2300
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2200
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.15
1.1
α 2, dia
a, mg
-1
2100
2000
1.05
1
1900
0.95
1800
1700
0.9
0
20
40
60
80
100
0.85
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
80
100
120
Tempo, dia
(e)
(f)
12
1.15
x 10
0.1
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.05
0.095
1
0.09
r2
K2, cel
1.1
0.105
0.95
0.085
0.9
0.08
0.85
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
0.075
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0
20
40
60
Tempo, dia
(g)
(h)
114
6
0.095
5.8
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
5.6
0.09
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.085
5.4
b, mg
ν, dia
-1
5.2
0.08
5
4.8
0.075
4.6
0.07
4.4
0.065
0
20
40
60
80
100
4.2
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
Tempo, dia
(i)
(j)
-3
1.2
x 10
1.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.15
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.15
1.1
1.1
1.05
-1
φ, dia
σ1, dia
-1
1.05
1
1
0.95
0.95
0.9
0.9
0.85
0.85
0
20
40
60
80
100
0.8
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
Tempo, dia
(l)
(m)
-12
1.2
x 10
15
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.15
14.5
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
14
13.5
λ, dia
-1
1.05
-1
ω, cel dia
-1
1.1
1
13
12.5
0.95
12
0.9
0.85
11.5
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
11
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
(n)
(o)
Figura 7.45 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
115
Tabela 7.11 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro.
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α1
0.009
0.010
0.011
α2
8.8x10-4
9.9x10-4
0.0011
σ1
9x10-4
0.001
0.0011
K1
9x107
1.004x108
1.1x108
K2
8.8 x1011
9.97 x1011
1.1x1012
r1
7.9x10-5
9.01 x10-5
1 x10-4
r2
0.078
0.088
0.1
φ
0.8403
0.9641
1.0832
ω
8.7x10-13
9.9x10-13
1.1x10-12
µ
6.95
7.92
8.83
ν
0.07
0.08
0.09
a
1.78x103
2.03 x103
2.27 x103
b
4.4x106
4.9x106
5.4x106
λ
11.6
13.03
14.84
Tabela 7.12 – Erro RMS para as variáveis de estado e tempo de execução da simulação.
RMS N1
RMS N2
RMS N3
RMS Q
Tempo CPU, s
4x1011
1.3x108
1.3x105
2.9x10-4
2.17x103
Uma nova simulação para este modelo foi realizada, considerando 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros com o intuito de verificar o
comportamento das estimativa tanto das variáveis de estado quanto dos parâmetros. As
Figuras (7.46-7.49), apresentam os resultados obtidos para as variáveis de estado. Nelas
observa-se que os intervalos de confiança estão maiores que no caso anterior, fruto da
maior incerteza a elas associadas.. Pode-se também observar isto, comparando os erros
RMS Tabelas (7.12-7.15) para as mesmas quantidades de partículas. Mas, apesar do
116
aumento das incertezas, as estimativas ainda continuam bastante razoáveis, o que
reforça a robustez do algoritmo utilizado.
8
12
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Número de células tumorais, cel
10
8
6
4
2
0
-2
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.46 Estimativa do número de células tumorais com 1000 partículas e desvio padrão de
10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
12
16
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Número de células Normais, cel
14
12
10
8
6
4
2
0
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.47 Estimativa do número de células normais com 1000 partículas e desvio padrão de
10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
117
10
4.5
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Número de células endoteliais, cel
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.48 Estimativa do número de células endoteliais com 1000 partículas e desvio padrão de
10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
0.14
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Massa de droga no corpo, mg
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.49 Estimativa da massa de droga no corpo com 1000 partículas e desvio padrão de 10%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
Apesar do aumento do desvio padrão dos erros de medida, modelo e parâmetro
não terem afetado fortemente as estimativas dos parâmetros conforme, Figura 7.50 e
Tabela 7.13, verifica-se que os intervalos de confiança estão mais afastados do valor
118
exato em todos os parâmetros. Além do parâmetro λ , o parâmetro b também foi
afetado pelos maiores erros considerados nas medidas e parâmetros. Esta informação
também pode ser conferida através da Tabela 7.13 que apresenta as médias e os quantis
0.01 e 0.99 para os parâmetros estimados do modelo.
8
0.014
1.3
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.013
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.2
0.012
1.1
K1, cel
α 1, dia
-1
0.011
0.01
1
0.009
0.9
0.008
0.8
0.007
0.006
0
20
40
60
80
100
0.7
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
80
100
120
80
100
120
Tempo, dia
(a)
(b)
-5
12
x 10
10.5
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
10
11
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
9.5
9
10
µ, dia
r1
-1
8.5
9
8
7.5
8
7
6.5
7
6
6
0
20
40
60
80
100
5.5
120
0
20
40
Tempo, dia
60
Tempo, dia
(c)
(d)
-3
2600
1.3
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2400
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.2
1.1
α 2, dia
-1
2200
a, mg
x 10
2000
1
1800
0.9
1600
0.8
1400
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
0.7
0
20
40
60
Tempo, dia
(e)
(f)
119
12
1.4
x 10
0.12
1.3
0.11
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.1
1.1
r2
K2, cel
1.2
0.09
1
0.08
0.9
0.07
0.8
0.7
0
20
40
60
80
100
0.06
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
80
100
120
80
100
120
Tempo, dia
(g)
(h)
6
0.11
6.5
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.1
x 10
6
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
5.5
0.09
b, mg
ν, dia
-1
5
0.08
4.5
0.07
4
0.06
0.05
3.5
0
20
40
60
80
100
3
120
0
20
40
Tempo, dia
60
Tempo, dia
(i)
(j)
-3
1.3
x 10
1.4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.3
1.2
-1
φ, dia
σ 1, dia
-1
1.1
1
1.1
1
0.9
0.9
0.8
0.7
0.8
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
0.7
0
20
40
60
Tempo, dia
(l)
(m)
120
-13
13
x 10
16
15
12
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
13
λ, dia
-1
10
-1
ω, cel dia
-1
11
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
14
9
12
11
8
10
7
9
0
20
40
60
80
100
120
8
0
Tempo, dia
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
(n)
(o)
Figura 7.50 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
Tabela 7.13 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α1
0.074
0.01
0.012
α2
7.6x10-4
9.9x10-4
1.2x10-3
σ1
8x10-4
1x10-3
1.3x10-3
K1
7.6x107
1.04x108
1.25x108
K2
7.8x1011
1x1012
1.3x1012
r1
7.3x10-5
9.2x10-5
1.1x10-4
r2
0.07
0.09
0.11
φ
0.8
1.02
1.26
ω
7.4x10-13
9.7x10-13
1.2x10-12
µ
6.14
8.12
9.94
ν
0.06
0.08
0.1
a
1.52x103
1.97x103
2.5x103
b
3.7x106
4.7x106
5.8x106
λ
9.2
11.93
15.1
Agora, uma nova simulação foi realizada assumindo ainda desvio padrão de 10%
para os erros de medida, modelo e parâmetros mas com 3000 partículas. O objetivo
121
desta simulação é verificar se esse aumento do número de partículas consegue melhorar
as estimativas tanto das variáveis de estado quanto dos parâmetros do modelo, quando
comparado com o caso anterior, também com 10% de desvio padrão, mas, com 1000
partículas.
As Figuras (7.51-7.54) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas para
o número de células tumorais, número de células normais, número de células endoteliais
e massa de droga no corpo, respectivamente. De acordo com a Tabela 7.15, vemos que
apenas o número de células endoteliais teve redução de uma ordem de grandeza. As
demais variáveis de estado apresentaram resultados muito próximos, quando
comparadas ao caso simulado com apenas 1000 partículas. Isso mostra que os
resultados obtidos com 1000 partículas já estão suficientemente precisos e que o custo
computacional emanado pelo aumento de partículas ~pra esse caso, se faz
desnecessário.
8
Número de células tumorais, cel
10
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
8
6
4
2
0
-2
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.51 Estimativa do número de células tumorais com 3000 partículas e desvio padrão de
10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
122
12
16
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Número de células Normais, cel
14
12
10
8
6
4
2
0
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.52 Estimativa do número de células normais com 3000 partículas e desvio padrão de
10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
10
Número de células endoteliais, cel
6
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
5
4
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.53 Estimativa do número de células endoteliais com 3000 partículas e desvio padrão de
10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
123
0.12
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Massa de droga no corpo, mg
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.54 Estimativa da massa de droga no corpo com 3000 partículas e desvio padrão de 10%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
Quanto as estimativas dos parâmetros a Figura 7.55 mostra que apenas a taxa de
tratamento de células tumorais, µ e taxa de decaimento da droga , λ não foram bem
estimadas pelo filtro. Os demais parâmetros, na média, estão todos bem inferidos
conforme podemos observar na Tabela 7.14.
8
0.014
1.3
0.013
1.1
0.011
K1, cel
-1
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.012
α 1, dia
x 10
0.01
1
0.9
0.009
0.8
0.008
0.007
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
0.7
0
20
40
60
Tempo, dia
(a)
(b)
124
80
100
120
-5
12
x 10
11
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
11
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
10
9
µ, dia
r1
-1
10
9
8
8
7
7
6
6
0
20
40
60
80
100
5
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
80
100
120
80
100
120
Tempo, dia
(c)
(d)
-3
2600
1.3
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2400
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.2
1.1
α 2, dia
-1
2200
a, mg
x 10
2000
1
1800
0.9
1600
0.8
1400
0
20
40
60
80
100
0.7
120
0
20
40
Tempo, dia
60
Tempo, dia
(e)
(f)
12
1.3
x 10
0.115
1.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.11
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.105
0.1
1.1
1
r2
K2, cel
0.095
0.09
0.085
0.9
0.08
0.075
0.8
0.07
0.7
0
20
40
60
80
100
120
0.065
0
20
40
Tempo, dia
60
Tempo, dia
(g)
(h)
6
0.11
6.5
0.1
6
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
b, mg
ν, dia
0.08
5
0.07
4.5
0.06
4
0.05
0
20
40
60
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
5.5
-1
0.09
x 10
80
100
120
Tempo, dia
3.5
0
20
40
60
Tempo, dia
(i)
(j)
125
80
100
120
-3
1.3
x 10
1.4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.3
1.2
-1
φ, dia
σ 1, dia
-1
1.1
1
1.1
1
0.9
0.9
0.8
0.7
0.8
0
20
40
60
80
100
0.7
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
Tempo, dia
(l)
(m)
-12
1.4
x 10
17
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.3
16
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
15
1.2
-1
λ, dia
-1
ω, cel dia
-1
14
1.1
1
13
12
11
0.9
10
0.8
0.7
9
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
8
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
(n)
(o)
Figura 7.55 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas e desvio padrão de 10%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo
126
Tabela 7.14 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro.
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α1
0.0079
0.0103
0.0125
α2
7.7x10-4
9.9x10-4
1.2x10-3
σ1
0,0008
0,001
0,0012
K1
7.8x107
9.96 x107
12.2 x107
K2
7.5x1011
9.9x1011
1.2x1012
r1
7.2x10-5
9.x10-5
1.14x10-4
r2
0.0698
0.0895
0,1111
φ
0.7661
0.9931
1.2114
ω
7.8x1013
1.x10-12
1.2x10-12
µ
5.67
7.53
9.46
ν
0.0587
0.0784
0.0974
a
1.6x103
2.1x103
2.5x103
b
3.8x106
5.03x106
6.2x106
λ
10.393
13.343
16.145
Tabela 7.15 – Erro RMS para as variáveis de estado e tempo de execução da simulação.
Número de
RMS N1
RMS N2
RMS N3
RMS Q
Tempo CPU, s
1000
7.1x1011
2.5x109
2.4x106
4.7x10-3
2.15x103
3000
6.7x1011
2.7x109
2.3x105
0.019
6.3x103
Particulas
7.4 - Estimativa de Estado para o Modelo de (PINHO et al. 2013)
Para fins de estimativa de estado e de parâmetros deste modelo consideramos
novamente o protocolo do GEMZAR. As variáveis de estado consideradas neste modelo
são: o número de células tumorais, (N1), o número de células normais, (N2 ), o número
127
de células endoteliais, (N3) e a massa de droga no corpo, (Q). Negligenciamos a ação
do agente anti-angiogênico (Equação 3.74). Foi assumido que medidas dos número de
células tumorais e normais estão disponíveis e as medidas para cada uma dessas
variáveis foram simuladas de forma análoga ao que foi feito nos outros casos estudados
acima.
Para a solução do problema direto do Modelo de (PINHO et al., 2013) , Equações
(3.70-3.73) foram consideradas as seguintes condições iniciais:
N1 (0) = 109
(7.5)
N2 (0) = 1013
(7.6)
N3 (0) = 102
(7.7)
Q (0) = 0
(7.8)
Os parâmetros usados nas simulações foram os da Tabela 7.16.
128
Tabela 7.16 – Valores dos parâmetros usados nas simulações PINHO et al. (2013).
Parâmetro
Valor
α1 , dia-1
6.8x10-3
α 2 , dia-1
10-2
α 3 , dia-1
2x10-3
K1 , cel
2x1015
K 2 , cel
1.95x1011
K3 , cel
2.1x104
q1 , cel-1dia-1
3.6x10-15
q2 , cel-1dia-1
3.6x10-18
4x10-3
b , dia-1
p1 , mg-1dia-1
2.4x10-5
p2 , mg-1dia-1
40
p3 , mg-1dia-1
0
a1 , cel
2.2x1015
a2 , cel
9x1011
a3 , cel
0
λ , dia-1
12.63
η , dia-1
0
γ
0.15
Para a análise inversa usamos o algoritmo de LIU e WEST (2001) com 1000
partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
As Figuras (7.56-7.59) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas para
as variáveis de estado. Isto é, o número de células tumorais (N1), o número de células
normais (N2), o número de células endoteliais (N3) e a massa de droga no corpo (Q),
respectivamente.
Os resultados oriundos destas simulações revelam que, do ponto de vista
biológico a aplicação deste protocolo quimioterápico a este modelo não trouxe benefício
129
no sentido de reduzir a quantidade de células tumorais. A Figuras 7.57 mostra que
houve uma recuperação das células normais, mas as células tumorais também, conforme
Figura 7.56. No entanto, com relação às estimativas das variáveis de estado, um dos
principais objetivos desta pesquisa, vemos que o filtro conseguiu uma extrair
informações bastante precisas quando comparadas ao valor exato, para todas as
variáveis do modelo.
9
5
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Número de células tumorais, cel
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.56 Estimativa do número de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
13
Número de células normais, cel
3
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.5
2
1.5
1
0.5
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.57 Estimativa do número de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
130
6
Nuúmero de células endoteliais, cel
16
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
14
12
10
8
6
4
2
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.58 Estimativa do número de células endoteliais usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
Massa de droga no corpo, mg
0.025
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.59 Estimativa da massa de droga no corpo usando 1000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
Com respeito as estimativas obtidas para os parâmetros do modelo, a Figura 7.60
mostra uma boa acurácia na resposta do filtro.
131
-3
8
15
x 10
7.5
2.3
2.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
K1, cel
α 1, dia
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.1
-1
7
6.5
2
6
1.9
5.5
1.8
5
x 10
0
20
40
60
80
100
1.7
120
0
20
40
Tempo, dia
60
(a)
2.8
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
100
120
100
120
2.7
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.6
-1
2.5
p1, mg dia
-1
-1
3.8
-1
q1, cel dia
80
x 10
4
3.6
3.4
2.4
2.3
2.2
3.2
3
120
-5
x 10
4.2
100
(b)
-15
4.4
80
Tempo, dia
2.1
0
20
40
60
80
100
2
120
0
20
40
Tempo, dia
60
Tempo, dia
(c)
(d)
15
2.6
x 10
0.0115
2.5
-1
0.0105
2.3
2.2
α 2, dia
2.4
a1, cel
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.011
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.01
0.0095
2.1
0.009
2
1.9
0
20
40
60
80
100
0.0085
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
Tempo, dia
(e)
(f)
11
2.3
x 10
0.175
0.17
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.16
0.155
2
γ
K 2, cel
2.1
0.165
1.9
0.15
0.145
0.14
1.8
0.135
1.7
0.13
1.6
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
0.125
0
20
40
60
Tempo, dia
(g)
(h)
132
80
100
120
-18
4.2
x 10
46
4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
3.8
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
44
-1
3.4
3.2
38
36
3
34
2.8
2.6
40
-1
p2, , mg dia
-1
q2, cel dia
-1
42
3.6
0
20
40
60
80
100
32
0
120
20
40
Tempo, dia
60
(i)
2.3
80
100
120
80
100
120
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.1
α 3, dia
-1
9.5
a2, cel
120
-3
x 10
10
9
2
8.5
1.9
8
1.8
7.5
0
20
40
60
80
100
1.7
120
0
20
40
Tempo, dia
(l)
2.5
60
Tempo, dia
(m)
4
-3
x 10
4.6
2.4
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
4.4
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.3
4.2
-1
2.2
b, dia
K3, cel
100
(j)
11
10.5
80
Tempo, dia
2.1
4
3.8
2
3.6
1.9
1.8
0
20
40
60
80
100
3.4
120
0
20
40
Tempo, dia
60
Tempo, dia
(n)
(o)
14.5
14
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
13.5
λ, dia
-1
13
12.5
12
11.5
11
10.5
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
(p)
Figura 7.60 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas, e desvio padrão de 5%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
133
Com o intuito de averiguar como os desvios padrão dos erros de medida, modelo
e parâmetros influenciam na resposta do filtro em relação as estimativas, para este caso,
repetimos a simulação com desvio padrão de 10% para os erros de medida, modelo e
parâmetro. Para este caso usamos 3000 partículas.
As Figuras (7.61-7.64) mostram que as estimativas variáveis de estado, quando
comparadas com seus respectivos valores exatos, apesar do aumento das incertezas,
ainda estão muito satisfatórias. Porém, os intervalos de confiança estão maiores que
quando comparadas com o caso simulado com apenas 5% de desvio padrão para os
erros de medidas, modelo e parâmetros.
9
6
x 10
Número de células tumorais, cel
5
4
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
3
2
1
0
-1
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.61 Estimativa do número de células tumorais usando 3000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
134
13
4
x 10
Medido
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Número de células normais, cel
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo, dia
Figura 7.62 Estimativa do número de células normais usando 3000 partículas e 5% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
7
Nuúmero de células endoteliais, cel
1.8
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.63 Estimativa do número de células endoteliais usando 3000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
135
0.08
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
Massa de droga no corpo, mg
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
Figura 7.64 Estimativa da massa de droga no corpo usando 3000 partículas e 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros.
Quanto as estimativas dos parâmetros neste caso em que usamos 10% de desvio
padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros e o filtro foi inicializado com
3000 partículas, pode-se observar através da Figura 7.65 e da Tabela 7.17 que todos os
parâmetros foram bem estimados
-3
9
15
x 10
2.6
x 10
8.5
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
8
2.4
2.2
7
K 1, cel
α 1, dia
-1
7.5
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
6.5
6
2
1.8
5.5
1.6
5
4.5
0
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
1.4
0
20
40
60
Tempo, dia
(a)
(b)
136
80
100
120
-15
5.5
-5
x 10
3.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
5
x 10
3
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.8
4.5
-1
-1
p1, mg dia
-1
-1
q1, cel dia
2.6
4
2.4
2.2
3.5
2
3
1.8
2.5
0
20
40
60
80
100
1.6
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
Tempo, dia
(c)
(d)
15
2.8
x 10
0.014
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.6
0.013
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.012
-1
0.011
α 2, dia
a1, cel
2.4
2.2
0.01
2
0.009
1.8
1.6
0.008
0
20
40
60
80
100
0.007
120
0
20
40
Tempo, dia
60
80
100
120
80
100
120
Tempo, dia
(e)
(f)
11
2.6
x 10
0.2
0.19
2.4
2.2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.18
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.17
γ
K2, cel
0.16
2
0.15
0.14
1.8
0.13
0.12
1.6
0.11
1.4
0
20
40
60
80
100
0.1
120
0
20
40
Tempo, dia
60
Tempo, dia
(g)
(h)
-18
5
x 10
55
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
4.5
50
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
-1
-1
p2, , mg dia
4
-1
q2, cel dia
-1
45
3.5
40
35
3
2.5
30
0
20
40
60
80
100
120
25
0
20
40
Tempo, dia
60
Tempo, dia
(i)
(j)
137
80
100
120
11
12
-3
x 10
2.6
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
11
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.4
2.2
α 3, dia
-1
10
a2, cel
x 10
9
2
8
1.8
7
1.6
6
0
20
40
60
80
100
1.4
120
0
20
40
Tempo, dia
(l)
80
100
120
(m)
4
2.8
60
Tempo, dia
-3
x 10
5.5
2.6
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.4
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
5
-1
b, dia
K3, cel
4.5
2.2
2
4
3.5
1.8
3
1.6
1.4
0
20
40
60
80
100
2.5
0
120
Tempo, dia
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
(n)
(o)
16
15
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
-1
13
λ, dia
14
12
11
10
9
0
.
20
40
60
80
100
120
Tempo, dia
(p)
Figura 7.65 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas, e desvio padrão de 10%
para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo.
138
Tabela 7.17 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α1
0.0055
0.0067
0.0080
K1
1.52x1015
1.97 x1015
2.43 x1015
q1
2.79 x10-15
3.59 x1015
4.52 x1015
p1
1.96 x10-5
2.41 x10-5
2.82 x10-5
a1
1.72 x1015
2.16 x1015
2.67 x1015
α2
0.0080
0.0104
0.0128
K2
γ
1.57 x1011
1.94 x1011
2.32 x1015
0.1103
0.1455
0.1770
q2
2.88 x10-18
3.59 x10-18
4.26 x10-18
p2
31.0868
41.4100
51.3988
a2
7.1 x1011
8.93 x1011
1.081 x1011
α3
0.0016
0.0020
0.0025
K3
1.76 x104
2.18 x104
2.57 x104
b
0.0031
0.0039
0.0047
λ
10.38
12.79
15.04
Outra coisa importante a ser mencionada é que apesar do Modelo de
RODRIGUES (2011) e de PINHO et al. (2013) serem bastante semelhantes do ponto de
vista da dinâmica de crescimento de tumores, a farmacodinâmica assumida por cada um
deles é diferente e isto provocou uma mudança significativa nos resultados obtidos para
estes modelos, neste trabalho. De acordo com as simulações feitas e exibidas neste
Capítulo para os dois modelos, mediante um tratamento quimioterápico, observou-se
que, enquanto no modelo de RODRIGUES (2011) o número de células tumorais e
normais decresceram, no modelo de PINHO et al. (2013) as mesmas tiveram
crescimento.
Na próxima subseção apresentamos os resultados obtidos dentro da perspectiva
desta pesquisa para os dados experimentais.
139
7.5 - Estimativa simultânea de Modelos e Parâmetros: Aplicação aos Dados
Experimentais Obtidos
Conforme mencionado no Capítulo 6, um ensaio de proliferação celular foi
realizado com o intuito de verificar a dinâmica de proliferação de duas linhagens
celulares sem e com tratamento quimioterápico. Essas linhagens são: DU-145, célula
tumoral (câncer de próstata) e RAW-264.7 ( macrófago murino). Vários modelos são
encontrados na literatura com o objetivo de descrever o crescimento de populações
celulares, alguns deles descritos na revisão bibliográfica desta tese. Neste trabalho,
estamos interessados em averiguar qual dentre os modelos existentes na literatura é mais
adequado para explicar as medidas. Os modelos mais utilizados para esse fim ainda são:
o Modelo Logístico, O Modelo de Gompertz e o Modelo Logístico Generalizado,
RODRIGUES (2011). No entanto, as características das medidas obtidas nos ensaios
nos levaram a propor o que denominamos de Modelo Exponencial Modificado. Este
modelo tem a seguinte formulação:
dN
= α 4 Ke −α 4t
dt
onde N > 0 é o número de células e α 4 > 0
(7.9)
é a taxa na qual a população atinge a
capacidade suporte, K. A solução analítica para a Equação (7.9) é:
N (t ) = N 0 K (1 − exp −α 4t )
(7.10)
onde N 0 é o número inicial de células. Observe que a medida que t cresce, N (t ) tende
para a capacidade suporte. Com esses quatro modelos disponíveis, se faz necessário
identificar o mais adequado para ajustar os dados experimentais. A metodologia
utilizada para este fim foi o Cálculo Bayesiano Aproximado-ABC, detalhado no
Capítulo 5, um dos cernes desta pesquisa. Com esta abordagem, além de selecionar
modelos, as partículas da população final representam uma amostra da distribuição a
posteriori e com isso também obtemos estimativas para os parâmetros do modelo. Após
140
selecionado o modelo mais adequado, uma outra ferramenta Bayesiana, filtro de
partículas, foi utilizada para estimar dinamicamente as variáveis de estado e os
parâmetros do modelo em repetições do experimento. O objetivo disto é validar o
modelo escolhido pelo ABC bem como suas soluções. Essas duas ferramentas juntas
constituem a principal contribuição dessa tese.
7.5.1 - Estimativa para as células tumorais sem tratamento
Não foi possível repetir o experimento pra esta linhagem, experimentos (1 e 2).
Portanto, faremos apenas seleção de modelo e estimativa de parâmetros utilizando o
ABC SMC. Foram obtidas 15 medidas ao longo de 67 horas, tempo que durou o
experimento. As medidas para todos os experimentos realizados estão apresentadas no
apêndice B.
Para utilizarmos o ABC SMC consideramos, como modelos concorrentes, o
logístico generalizado, Gompertz, Exponencial e Exponencial Modificada. Estes
modelos são respectivamente designados modelos 1,2,3 e 4, sendo por conveniência reescritos aqui como:
•
Modelo 1. Logístico generalizado
γ
•
dN1 (t ) α1  N1 
µNQ
= 1 −  − 1 1
γ  K1  a1 + N1
dt
(7.11)
dQ(t )
= −λQ
dt
(7.12)
Modelo 2. Gompertz
K  µ N Q
dN 2 (t )
= α 2 N ln  2  − 2 2
dt
 N 2  a2 + N 2
dQ(t )
= −λQ
dt
•
Modelo 3. Exponencial
141
(7.13)
(7.14)
•
dN 3 (t)
µNQ
= α 3 N3 − 3 3
dt
a3 + N3
(7.15)
dQ(t )
= −λQ
dt
(7.16)
Modelo 4. Exponencial Modificada
dN 4 (t)
µNQ
= α 4 K 4 e −α 4 t − 4 4
dt
a4 + N 4
(7.17)
dQ(t )
= −λQ
dt
(7.18)
onde N i , i = 1,..., 4 correspondem ao número de células tumorais,
α i , i = 1,...,3 ,
correspondem as taxas de crescimento das células tumorais,
K1 , K 2 e K 4 ,
correspondem a capacidade suporte das células tumorais,
as células tumorais atingem a saturação,
α 4 diz respeito a taxa na qual
µi , i = 1,...,4 , correspondem as taxas de
tratamento das células tumorais, ai , i = 1,...,4 são constantes de Holling tipo 2, para
Ni e λ é a taxa de decaimento da droga.
Vale salientar que o modelo exponencial usual serviu aqui para testar a qualidade
do algoritmo, já que certamente ele não consegue modelar saturação e por isso explica
no máximo o crescimento inicial de tumores. Para todos os casos onde não se tem
tratamento quimioterápico, considera-se Q = 0 . As condições iniciais para todos os
modelos foi N ( 0 ) = 103 células (dadas pelas condições experimentais). As distribuições
a priori utilizadas para os parâmetros de cada modelo (Tabela 7.23), foram assumidas
como uniforme, baseadas em valores encontrados nos trabalhos de (DOMINGUES,
2011, RODRIGUES et al., 2012). No Apêndice C, mostramos simulação feita com
medidas geradas a partir do modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) para
verificar se o ABC SMC nessas condições, identificava o modelo correto. Usamos o
modelo de GATENBY e GAWLINSKI, (1996) como concorrente. Também feita
simulação com medidas geradas a partir do Modelo de PINHO et al. (2013), tendo
como modelo concorrente o de RODRIGUES (2011), onde observa-se que em ambas as
situações o Algoritmo ABC SMC selecionou corretamente o modelo.
142
Tabela 7.18 – Distribuição a priori para os valores dos parâmetros
Modelo
Parâmetro/Distribuição
Logístico
Generalizado
α1 ∼ U (0, 5)
K1 ∼ U (103 , 107 )
Gompertz
α 2 ∼ U (0, 5)
K 2 ∼ U (103 , 107 )
Exponencial
α 3 ∼ U (0, 5)
Exponencial
Modificada
α 4 ∼ U (0, 5)
γ ∼ U [1, 3]
K 4 ∼ U (103 , 107 )
Para o esquema de tolerâncias, foi inicialmente utilizada uma tolerância grande,
3x1013 para garantir que tivéssemos partículas aceitas na primeira população e estas
tolerâncias foram sendo refinadas ao longo das distribuições intermediárias. A
tolerância final foi baseada no princípio da discrepância de Morozov (MOROZOV,
1966). A população final representa o nível máximo de concordância desejado entre os
dados medidos e simulados. Foram usadas 23 populações intermediárias. A função
distância usada neste trabalho para todos os casos estudados foi
d ( z , z0 ) =
∗
N part
∑ ( z (i) − z (i) )
*
i =1
2
0
(7.19)
onde z * e z 0 , correspondem a medida simulada e observada, respectivamente.
O kernel de perturbação foi assumido da seguinte forma
K t ∼ U ( −σ θ p , σ θ p )
(
onde σ θ p = 0.5 max {θ} p −1 − min {θ} p −1
)
(7.20)
e θ p−1 corresponde a todas as partículas
(conjunto de parâmetros) da população anterior para o modelo selecionado.
Para todos os casos em que utilizamos o ABC SMC, geramos 1.000 partículas a
priori para cada modelo e definimos que cada população intermediária deveria ter 1000
partículas.
A Figura 7.66, apresenta as 23 populações utilizadas pelo ABC. Mostra ainda que
para o presente caso de células tumorais sem tratamento, o modelo selecionado pelo foi
o Modelo Exponencial Modificado.
143
400
200
0
1 2 3 4
500
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
500
0
1000
500
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
0
1000
500
0
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
500
1 2 3 4
1000
500
0
1000
500
0
1 2 3 4
400
200
0
400
200
0
1 2 3 4
400
200
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
1000
500
0
1 2 3 4
1-Logístico generalizado
2-Gompertz
3-Exponencial
4-Exponencial
modificada
1 2 3 4
Figura 7.66 Histograma pra seleção de modelos em todas populações.
A Figura 7.67 mostra o ajuste que foi obtido com o ABC SMC ao longo de
quatro diferentes população intermediárias, para o modelo escolhido, onde pode se
observar que a medida que as tolerâncias vão sendo reduzidas a qualidade do ajuste vai
melhorando. É importante também ressaltar que o Modelo Exponencial, como previsto,
não conseguiu avançar a todas as populações o que mostra que o algoritmo tende
realmente a selecionar o modelo mais adequado aos dados.
5
5
x 10
4
10
8
6
4
2
0
0
x 10
Medida
Estimado ABC SMC
3.5
Medida
Estimado ABC SMC
12
Número de células-Macrófago, cel
Número de células-Macrófago, cel
14
3
2.5
2
1.5
1
0.5
10
20
30
40
50
0
60
Tempo, h
0
10
20
30
Tempo, h
(a)
(b)
144
40
50
60
5
4
4
Medida
Estimado ABC SMC
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x 10
Medida
Estimado ABC SMC
3.5
Número de células-Macrófago, cel
3.5
Número de células-Macrófago, cel
5
x 10
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
10
20
30
40
50
0
60
0
10
20
Tempo, h
30
40
50
60
Tempo, h
(a)
(b)
Figura 7.67 Os gráficos, letras (a-c) representam o ajuste do modelo aos dados experimentais
através das populações 1,10,15 e 23..
A Tabela 7.19 apresenta os erros RMS, a média e os quantis 0.01 e 0.99 para as
quatro populações mostradas na Figura 7.67. Pode-se observar que os erros RMS para a
variável de estado vão diminuindo com o avanço das populações.
Tabela 7.19 – Distribuição a priori para os valores dos parâmetros
População
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
Erro RMS de N4
1
α4
0.002
0.204
0.49
7.62 x103
K4
0.021 x106
1.34 x106
6.98 x106
α4
0.012
0.209
0.449
K4
0.547 x105
2.99 x105
5.76 x105
α4
0.041
0.116
0.194
K4
2 x105
2.42 x105
2.92 x105
α4
0.058
0.061
0.063
K4
2.78x105
2.79x105
2.79x105
10
15
23
145
7.01 x103
4.69 x103
3.43 x103
7.5.2 - Estimativa para as células RAW 264.7 - macrófagos, sem
tratamento
Para este experimento, conseguimos realizá-lo em dois momentos distintos como
descrito no Capítulo 6 e por isso temos disponíveis dois conjuntos de medidas que
foram usadas da seguinte forma:
(i)
Utilizamos o ABC SMC para selecionar o melhor modelo para cada um
dos dois conjunto de medidas;
(ii)
Os parâmetros estimados pelo ABC SMC no primeiro passo serviram de
entrada para o algoritmo de LIU e WEST (2001) no outro conjunto de
medidas;
Este procedimento tem dois objetivos principais: 1) verificar o potencial do
algoritmo nessa determinada situação em que os parâmetros de entrada não foram
inferidos a partir deste conjunto de medidas. 2) Validar o modelo escolhido.
A
condição inicial para todos os modelos neste caso foi N ( 0 ) = 104 células, em função da
condição experimental. As priori’s para os parâmetros de todos os modelos
concorrentes são os mesmos da Tabela 7.18. A tolerância inicial foi 1016 e tolerância
final 1.3x1012, num total de 14 populações intermediárias.
Para este caso, experimento 3 (Tabela 6.1), a Figura 7.68 mostra as 14 populações
usadas pelo ABC, onde o modelo selecionado foi o Logístico Generalizado. Pode-se
observar ainda, que a partir da décima segunda população, somente o modelo logístico
generalizado teve partículas aceitas. No entanto, o algoritmo não foi encerrado nessa
população, para que essas partículas ainda pudessem ser refinadas. Isto é, até que
nenhuma partícula seja aceita para uma determinada tolerância, nesse caso, inferior a
1.3x1012.
146
400
400
1000
200
200
500
0
0
1234
500
0
0
1234
0
1234
400
1000
1000
200
500
500
0
1234
500
0
1234
0
1234
1000
1000
1000
1000
500
500
500
500
0
0
1234
1000
1000
500
500
0
1234
0
0
1234
0
1234
1234
1234
1234
1-Logístico Generalizado
2-Gompertz
3-Exponencial
4-Exponencial Modificada
1234
Figura 7.68 Histograma pra seleção de modelos em todas populações-Conjunto de medidas 1.
A Figura 7.69, mostra o ajuste dos dados experimentais ao Modelo Logístico
generalizado, e a evolução deste ajuste para as populações 1,5, 10 e 14. Observamos que
inicialmente o ajuste é muito ruim, mas gradativamente essa discrepância vai se
reduzindo até atingir na última população o máximo de concordância que se pode obter
com este modelo, para este conjunto de dados. A Tabela 7.20 mostra as médias
estimadas e os quantis 0.01 e 0.99, para os parâmetros do modelo.
6
5
x 10
6
x 10
2.5
Medida
Estimado ABC SMC
4
Número de células- Macrófago, cel
Número de células- Macrófago, cel
4.5
3.5
3
2.5
2
1.5
1
Medida
Estimado ABC SMC
2
1.5
1
0.5
0.5
0
0
10
20
30
40
Tempo, h
50
0
0
60
10
(a)...................................................
147
20
30
40
Tempo, h
.(b)
50
60
6
2.5
6
x 10
2.5
x 10
Medida
Estimado ABC SMC
2
Número de células- Macrófago, cel
Número de células- Macrófago, cel
Medida
Estimado ABC SMC
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
Tempo, h
50
2
1.5
1
0.5
0
60
0
10
20
(c)....................................................
30
40
Tempo, h
50
60
(d)
Figura 7.69 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo selecionado-Logístico
Generalizado.
Tabela 7.20 – Saídas do ABC SMC experimento 3, para o modelo selecionado.
População
14
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α1
0.1548
0.2119
0.2610
K1
1.8x10
6
6
2.6x106
γ
1.2335
2.2x10
1.64
1.8946
Usamos novamente o algoritmo ABC SMC para selecionar o modelo mais
adequado para experimento 5 (Tabela 6.1). Esse conjunto representa 15 medições
obtidas de acordo como descrito no Capítulo 6. Utilizamos as mesmas priori’s para os
parâmetros, a mesma condição inicial e a mesma tolerância inicial para a primeira
população. A tolerância final para este caso foi 6.5x1010 . Os histograma abaixo, Figura
7.70 mostram as 23 populações utilizadas, onde o algoritmo vai tentando identificar o
modelo mais adequado. Pode-se observar que o modelo selecionado pelo ABC SMC na
última população foi o Modelo Exponencial Modificado.
148
400
1000
1000
200
500
500
0
0
1 2 3 4
400
400
200
200
0
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
0
0
1 2 3 4
500
1 2 3 4
500
0
200
0
1 2 3 4
1 2 3 4
0
400
400
400
200
200
200
0
0
1 2 3 4
1 2 3 4
0
400
400
400
400
200
200
200
200
0
0
0
1 2 3 4
1 2 3 4
400
1000
400
200
500
200
0
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
0
0
1 2 3 4
1000
1000
500
500
0
1 2 3 4
400
1 2 3 4
0
1 2 3 4
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
500
1 2 3 4
1 2 3 4
0
1 2 3 4
1-Logístico
Generalizado
2-Gompertz
3-Exponencial
4-Exponencial
Modificada
Figura 7.70 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para o experimento 5
(Tabela 6.1) .
A Figuras 7.71 (a-d) mostram as estimativas para a variável de estado (Número de
células normais), nas populações 1,8,16 e 23. Novamente observamos que a medida que
as tolerâncias vão sendo refinadas o ajuste do modelo aos dados vai se aproximando
daquilo que o modelo pode de fato oferecer. As estimativas obtidas para as médias dos
parâmetros na última população e seus respectivos quantis 0.01 e 0.99, encontram-se na
Tabela 7.21.
149
5
5
11
x 10
9
Medida
Estimado ABC SMC
8
Medida
Estimado ABC SMC
9
7
Número de células, Macrófago
Número de células- Macrófago, cel
10
x 10
8
7
6
5
4
3
6
5
4
3
2
2
1
1
0
0
10
20
30
40
50
0
60
0
10
20
30
Tempo, h
Tempo, h
(a)
9
Medida
Estimado ABC SMC
Número de células- Macrófago, cel
Número de células- Macrófago, cel
40
50
60
x 10
8
7
6
5
4
3
2
1
0
60
5
x 10
8
50
(b)
5
9
40
Medida
Estimado ABC SMC
7
6
5
4
3
2
1
0
10
20
30
40
50
0
60
0
10
20
Tempo, h
30
Tempo, h
(c)
(d)
Figura 7.71 Os gráficos, letras (a-c) representam o ajuste do modelo aos dados experimentais
(segundo conjunto de medidas) através das populações 1,8,16 e 23.
Tabela 7.21 – Saídas do ABC SMC, conjunto de medidas 2 para o modelo selecionado
População
23
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α4
0.2235
0.3051
0.3827
K4
5
5
3.8x105
3.5x10
3.6x10
Como já mencionado, utilizamos agora as informações obtidas pelo ABC SMC do
para o experimento 3 (Tabela 6.1) e estas informações passam a servir como dados de
entrada para o filtro de partículas, algoritmo de LIU e WEST, (2001) no experimento
5(Tabela 6.1). Consideramos 15%, desvio padrão para os erros de modelo e de
parâmetros e a condição inicial para a variável de estado, N (0) = 104 . Como o
experimento foi realizado em triplicata e estamos usando a média dessa triplicata, o
150
desvio padrão usado para os erros de medida foi o desvio padrão de cada medida
experimental, ou seja, o desvio padrão aqui varia com tempo. Foram usadas 1000
partículas .
A Figura 7.72 apresenta a variável de estado exata e estimada, ou seja o número
de células normais. Nesta Figura também são apresentadas as medidas usadas no
problema de estimativa de estado com o filtro de LIU e WEST (2001), bem como os
intervalos de 99% de confiança. Apresenta-se ainda a curva obtida resolvendo-se o
problema direto com os parâmetros estimados pelo ABC (linha azul), no experimento 1
e a curva obtida resolvendo-se o problema direto com os parâmetros estimados pelo
filtro no tempo final (linha vermelha). A Figura 7.73 apresenta a estimativa das médias
e intervalo de confiança dos parâmetros do modelo.
O resultado obtido para a variável de estado número de células normais, Figura
7.72 mostra que os parâmetros iniciais extraídos do experimento 3 (Tabela 6.1) não são
adequados para servir como dado de entrada para o experimento 5 (Tabela 6.1). Mesmo
assim, as estimativas obtidas pelo filtro para a variável de estado estão bastante
satisfatórias. Como os parâmetros estimados, Figura 7.73(a-b), claramente não
convergiram, concluímos que, embora esse modelo tenha sido escolhido como o mais
adequado pelo ABC SMC para representar as medidas (experimento 5 (Tabela 6.1)),
com esses dados de entrada do experimento 3 (Tabela 6.1) o ajuste não é o desejável . O
fato das estimativas da variável de estado ter sido muito bem inferidas pelo filtro mostra
que, como assumimos o desvio relativamente alto, 15% para o desvio de modelo, o
algoritmo de LIU e WEST (2001) deu maior importância às medidas.
6
Número de células-Macrófago, cel
x 10
2
Medido
Entrada ABC SMC
Estimado
Saída Filtro
Nível de 99% de confiança
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
Tempo, h
151
40
50
60
Figura 7.72 Estimativa da variável de estado com 1000 partículas e 15% de desvio padrão para os
erros de modelo e parâmetros.
0.3
2.5
x 10
6
Exato
Estimado
Intervalo de Confiança 99%
0.25
Exato
Estimado
Intervalo de Confiança 99%
2
0.2
α 4 ,h
K, cel
-1
1.5
0.15
1
0.1
0.5
0.05
0
10
20
30
40
50
60
0
0
10
20
Tempo,h
30
40
50
60
Tempo,h
(a)
(b)
Figura 7.73 Estimativa dos parâmetros do modelo
Agora, utilizamos as informações obtidas pelo ABC SMC no experimento 5
(Tabela 6.1) para servir como dado de entrada para o filtro de partículas no experimento
3 (Tabela 6.1). Duas coisas precisam ser levadas em conta: 1) o modelo selecionado no
primeiro conjunto de medidas, Logísitico generalizado, tem três parâmetros e o
selecionado no segundo conjunto, Exponencial modificada, tem apenas dois parâmetros.
2) a ordem de grandeza dos valores máximos nos dois conjuntos de medidas tem uma
ordem de grandeza de diferença. Em virtude disso, para usarmos o filtro como proposto
no início dessa subseção, consideramos a capacidade suporte, K, na mesma ordem de
grandeza do valor máximo entre os dois conjuntos de medidas e o valor do parâmetro γ
que determina a velocidade com que a saturação é atingida, no modelo Logístico
generalizado, foi extraído do ABC SMC, na última população a qual esse modelo foi
selecionado. Os parâmetros usados como entrada para o filtro de partículas, são as
médias das partículas na última população, Tabela 7.22. Foi usado 10% de desvio
padrão para os erros de modelo e 15% para o desvio padrão dos erros dos parâmetros.
O desvio padrão dos erros de medida utilizado foi o desvio padrão dos erros de medidas
observados.
152
Tabela 7.22 – Parâmetros usados no filtro para estimar para o modelo selecionado
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α1
0.2235
0.3051
0.3827
K1
3.5x10
5
5
3.8x105
γ
1.44
3.6x10
1.79
1.95
O resultado obtido para a variável de estado com 1000 partículas, apresentado na
Figura 7.77 mostra que o filtro privilegiou a informação contida nas medidas e como os
parâmetros não convergiram, concluímos novamente que o modelo não é adequado para
explicar os dados do experimento 3 (Tabela 6.1), embora tenha sido para o experimento
5 usado no ABC SMC.
6
x 10
Número de células-Macrófago, cel
3
Medida
Estimado ABC SMC
Estimado
Estimado-saída
Nível de 99% de confiança
2.5
2
1.5
1
0.5
0
10
20
30
40
50
60
Tempo, h
Figura 7.74 Estimativa da variável de estado com 1000 partículas, 10% de desvio padrão para os
erros de modelo e15% de desvio padrão para os erros de parâmetros.
153
6
0.38
4.4
Exato
Estimado
99% Bounds
0.36
4.2
4
0.34
3.8
K1, cel
-1
0.32
α 1, h
x 10
0.3
3.6
3.4
0.28
3.2
0.26
3
0.24
0.22
Exato
Estimado
99% Bounds
2.8
0
10
20
30
40
50
60
70
2.6
0
10
20
Tempo,h
30
40
50
60
70
Tempo,h
(a)
(b)
2.5
Exato
Estimado
99% Bounds
γ, h
-1
2
1.5
1
0
10
20
30
40
50
60
70
Tempo,h
(c)
Figura 7.75 Estimativa dos parâmetros do modelo
Nas duas próximas subseções será mostrado o ensaio feito para as mesmas
linhagens celulares vistas nas seções 7.51 e 7.52, mas levando em conta a ação de um
determinado agente quimioterápico, a Doxorubicina.
O Cloridrato de Doxorrubicina tem sido usado com êxito para produzir regressão
em várias neoplasias, tais como carcinoma da mama, pulmão, bexiga, tireoide e ovário;
sarcomas ósseos e dos tecidos moles; linfomas de Hodgkin e não-Hodgkin;
neuroblastoma; tumor de Wilms; leucemia linfoblástica aguda e leucemia mieloblástica
aguda. O Cloridrato de Doxorrubicina tem proporcionado resultados positivos nos
tumores superficiais da bexiga por administração intravesical após ressecção
transuretral. Outros tumores sólidos como o câncer de próstata também têm respondido
bem ao tratamento (MEDICINANET, 2014).
A farmacocinética desta droga segue um modelo bicompartimental, mas pela
natureza do experimento que realizamos, sem interação entre diferente tipos de células e
pela ausência de informação na literatura sobre os parâmetros do modelo para um
experimento como esse, optamos por um modelo farmacocinético de primeira ordem.
154
A taxa de decaimento da droga foi calculada com base na meia vida, t1/ 2 da
Doxorrubicina que gira em torno de 20 a 48 horas (DRUGS.COM, 2014).
A farmacodinâmica usada em todos os modelos testados para avaliar a qualidade
do ajuste aos dados experimentais seguiram a farmacodinâmica usada no trabalho de
(PINHO et al., 2013).
7.5.3 - Estimativa para os dados experimentais com tratamentoCélulas tumorais
Pelo fato de termos disponível somente um conjunto de medidas experimentais
para as células tumorais as estimativas da variável de estado e dos parâmetros do
modelo selecionado foram somente pelo algoritmo ABC SMC.
As condições iniciais utilizadas para o número de células tumorais e massa de
droga, foram, respectivamente:
N (0) = 103 células
(7.21)
Q(0) = 5.4352 mg
(7.22)
Na ausência de informações mais precisas sobre os parâmetros, utilizamos priori
uniforme para todos eles de acordo com a Tabela 7.23, baseado nos trabalhos de
(DOMINGUES, 2011, RODRIGUES et al., 2012)
Tabela 7.23 – Distribuição usada a priori para os parâmetros
Parâmetro
Distribuição
U ( 0, 10 )
α1 ,α 2 ,α 3
α4
U (10−3 , 5 )
U (103 , 104 )
K1 , K 2 ,K 4
γ
µ1 , µ 2 , µ3 , µ 4
U [1, 3]
U (10−1 , 103 )
U (10 −1 , 10 )
a1 , a2 , a3 , a4
U (10−3 , 10−2 )
λ
155
O histograma com as partículas aceitas por cada modelo nas quarenta populações
utilizadas pelo ABC, apresentado na Figura 7.79 mostra que das 1000 partículas aceitas
na população final, o Modelo Logístico generalizado foi selecionado 267 vezes contra
733 do Modelo Exponencial. A tolerância inicial foi 5x1013 e tolerância da última
população 3x107 . Como chegamos a última população tendo dois modelos com
partículas aceitas, utilizamos o fator de Bayes, KASS e RAFTERY, (1995), pra ajudar
na decisão de qual modelo é o mais adequado
B2,1 =
733
= 2.7453
267
(7.23)
A Equação 7.23 dá apenas uma evidência fraca em favor do Modelo Exponencial
KASS e RAFTERY, (1995). Em virtude da pouca evidência, mostramos as saídas da
população final para os dois modelos que tiveram partículas aceita. Visualmente a curva
ajustada para os dois modelos estão muito próximas o que justificativa a evidência fraca
extraída via fato do fator de Bayes. As Tabelas (7.24 -7.25) mostram também que os
parâmetros equivalentes nos dois modelos, na última população não tem estimativas
muita próximas. Talvez isso se deva a diferença entre o que os dois modelos são
capazes de predizer.
156
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1000
500
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
1 2 3 4
400
200
0
1 2 3 4
400
200
0
1 2 3 4
400
200
0
1 2 3 4
400
200
0
1 2 3 4
500
1 2 3 4
500
0
400
200
0
0
1 2 3 4
0
1000
500
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
500
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1000
500
0
1000
500
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
500
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
1000
500
0
1000
500
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
500
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1000
500
0
1000
500
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
Figura 7.76 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para conjunto de medidas(células
tumorais com quimioterapia).
Número de Células Tumorais, cel
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Medido
Estimdo ABC SMC
0
10
20
30
40
50
60
Tempo h
Figura 7.77 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo Logístico generalizado.
157
Número de Células Tumorais, cel
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Medido
Estimdo ABC SMC
0
10
20
30
40
50
60
Tempo h
Figura 7.78 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo Gompertz.
Tabela 7.24 – Estimativa dos parâmetros através do ABC SMC para o modelo Logístico
Generalizado
População
40
Parâmetro
α1
Quantil 0.01
4.9604
Média
7.0069
Quantil 0.99
8.3837
K1
4.6x103
5.3 x103
6.1x103
γ1
1.3587
1.6396
2.1179
µ1
2.4x10
2
3.6x10
2
5.3x102
a1
2.1254
4.8334
7.5417
λ
2.1254
0.0557
7.5417
Tabela 7.25 – Estimativa dos parâmetros através do ABC SMC para o modelo Gompertz
População
40
Parâmetro
α2
Quantil 0.01
1.9222
Média
5.4862
Quantil 0.99
8.6938
K2
4.2x103
4.9x103
5.6x103
µ2
2x102
5x102
8.3x102
a2
2.2982
5.2389
8.3234
λ
0.0225
0.0553
0.0867
158
7.5.4 - Estimativa para os dados experimentais com tratamentoCélulas Normais
Para este experimento, em virtude de dispormos de dois conjuntos de medidas
usamos o algoritmo ABC SMC para selecionar o modelo mais adequado e seus
respectivos parâmetros do experimento 4 (Tabela 6.1), e estes serviram como dados de
filtro do Algoritmo de LIU e WEST, (2001) no experimento 6(Tabela 6.1). Foram
utilizadas 19 populações e a tolerância inicial foi 5x1013 e a tolerância final 8x109. As
condições iniciais utilizadas para o número de células normais e massa de droga, foram,
respectivamente:
N (0) = 104 células
(0.1)
Q(0) = 5.4352 mg
(0.2)
Na ausência de informações mais precisas na literatura sobre os parâmetros
utilizamos priori uniforme para todos eles de acordo com a Tabela 7.26, baseado nos
trabalhos de (DOMINGUES, 2011, RODRIGUES et al., 2012)
Tabela 7.26 – Distribuição usada a priori para os parâmetros
Parâmetro
α1,α2,α3
Distribuição
U ( 0, 10 )
U (10−3 , 5 )
α4
U (103 , 106 )
K1,K2,K3,K4
U [1, 3]
γ
U (10−1 , 103 )
µ 1,µ 2,µ 3,µ 4
U (10 −1 , 10 )
a1 , a2 , a3 , a4
U (10−3 , 10−2 )
λ
A Figura 7.79, mostra o histograma com as 19 populações utilizadas. Nelas podese observar o desempenho do ABC na busca para selecionar o melhor modelo. Vemos
159
na última população que o modelo escolhido foi o Exponencial Modificado. Utilizando
os parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população, Tabela 7.27, resolvemos
o problema direto obtendo a curva mostrada na Figura 7.80. Nela podemos observar que
o modelo selecionado com quimioterapia conseguiu descrever de forma razoável o
comportamento dos dados experimentais. Isso mostra que os parâmetros ajustados pelo
ABC SMC, Tabela 7.27 estão bastante coerentes.
400
400
400
400
200
200
200
200
0
1 2 3 4
400
200
0
0
400
200
1 2 3 4
0
0
1 2 3 4
1 2 3 4
400
200
0
1 2 3 4
0
1 2 3 4
0
400
400
400
400
200
200
200
200
0
0
0
1 2 3 4
400
200
0
1 2 3 4
500
1 2 3 4
0
0
1000
1000
1000
500
500
500
0
0
1 2 3 4
1 2 3 4
400
200
1 2 3 4
1 2 3 4
0
1 2 3 4
400
200
1 2 3 4
0
1 2 3 4
400
200
1 2 3 4
0
1 2 3 4
1 2 3 4
Figura 7.79 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para o experimento 4 (Tabela 6.1)(células normais com quimioterapia).
4
16
x 10
Medido
Estimado ABC SMC
Número de células-Macrófago, cel
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
Tempo, h
40
50
60
Figura 7.80 Estimativa da variável de estado usando os parâmetros estimados pelo ABC SMC.
160
Tabela 7.27 – Parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população para o experimento
4(Tabela 6.1)- (macrófago com tratamento)
População
Parâmetro
α4
19
Quantil 0.01
1.2756
Média
2.987
Quantil 0.99
4.6058
K4
0.87x105
9.7x105
1.1x105
µ4
723.93
844.46
920.31
a4
1.23
5.02
8.69
λ
0.0314
0.0435
0.060
Com relação ao experimento 6 (Tabela 6.1), foram utilizadas as mesmas
condições, a mesma tolerância inicial e as mesmas priori’s para os parâmetros. Foram
usadas 17 populações e a tolerância final foi 3x1010. A Figura7.84 mostra o histograma
com a escolha feita pelo ABC SMC para cada uma das 17 populações. Mostra ainda que
o Modelo escolhido também foi o Exponencial Modificado e os parâmetros estimados
na última população estão na Tabela 7.28.
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
1000
500
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
1000
500
0
1000
500
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
400
200
0
400
200
0
400
200
0
400
200
0
1000
500
0
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
Figura 7.81 Histograma pra seleção de modelos em todas as populações para experimento 6 (Tabela
6.1)- (células normais com quimioterapia).
161
Com os parâmetros estimados pelo ABC SMC resolvemos o problema direto e
podemos observar que a estimativa do número de células normais está bastante
satisfatória e que a quimioterapia de fato está atuando e matando tais células.
5
x 10
Medida
Estimado ABC SMC
Número de células-Macrófago, cel
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
Tempo, h
50
60
Figura 7.82 Estimativa da variável de estado usando os parâmetros estimados pelo ABC SMC
para o Modelo 4.
Tabela 7.28 – Parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população para o experimento
6(Tabela 6.1)- (macrófago com tratamento)
População
17
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α4
0.8394
2.78
4.6310
K4
1.1x10
5
µ4
404.6
717.21
912.7
a4
1.16
5.19
9.35
λ
0.0078
0.0272
0.0554
1.3x10
5
1.8x105
Agora os parâmetros estimados pelo ABC, Tabela 7.28 foram usados como dados
de entrada no algoritmo de LIU e WEST, (2001) usando o experimento 4 (Tabela 6.1).
Vale lembrar que todos os parâmetros dos modelos estudados são positivos. Assumimos
162
10% de desvio padrão para os erros de modelo e 15% de desvio padrão para os erros de
parâmetros e 2000 partículas foram utilizadas. Como mencionado nos casos estudados,
com e sem tratamento, o desvio padrão dos erros de medida usado, foi o desvio das
medidas e de forma dinâmica. O fato de usarmos 15% para o desvio de parâmetros se
justifica pelo fato de não termos muita informação sobre eles e assim poder dar mais
liberdade para o filtro buscar a melhor estimativa. As Figuras (7.83-7.84) mostram as
variáveis de estado exatas e estimadas, ou seja, o número de células normais e a massa
de droga no corpo, respectivamente. Mostra também as medidas experimentais usadas
na solução do problema de estimativa de estado com o filtro de LIU e WEST (2001).
Mostra ainda os intervalos de 99% de confiança e as curvas com a solução do problema
direto usando as estimativas dos parâmetros obtidas pelo ABC (linha azul) e pelo filtro
no último tempo (linha vermelha) . Pode-se se observar nas Figura (7.83-7.85) e Tabela
7.29, que as estimativas para as variáveis de estado e os parâmetros do modelo tiveram
uma boa acurácia se considerarmos que os desvios dos erros de modelo e parâmetros
são relativamente altos. Além disso, ainda temos os desvios dos erros de medida, que
apesar de não ser fixo, também tem grande influência nas estimativas via filtro de
partículas. Nesse caso vemos que o filtro deu elevada importância a informação contida
nas medidas, expressas através da verossimilhança.
4
16
x 10
Medido
Estimado ABC SMC
Estimado
Estimado-saída
Nível de 99% de confiança
Número de células-Macrófago, cel
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
Tempo, h
40
50
60
Figura 7.83 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de
LIU e WEST ( 2001) com 1000 partículas.
163
8
Estimado ABC SMC
Estimado-filtro
Estimado saída
Nível de 99% de confiança
Massa de drogas no corpo, mg
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
Tempo, h
40
50
60
Figura 7.84 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001)
com 1000 partículas.
5
4
1.6
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
3.5
x 10
1.5
1.4
1.3
α 4, h
-1
K 4, cel
3
1.2
1.1
2.5
1
0.9
2
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.8
1.5
0
10
20
30
40
50
60
0.7
0
10
20
Tempo,h
30
40
50
60
Tempo,h
(a)
(b)
1100
8
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
1000
7
900
a4, cel
-1 -1
µ4, mg h
6
800
700
5
600
4
500
3
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
400
300
0
10
20
30
40
50
60
Tempo,h
2
0
10
20
30
Tempo,h
(c)
(d)
164
40
50
60
0.04
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.035
λ, h
-1
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0
10
20
30
40
50
60
Tempo,h
(e)
Figura 7.85 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de LIU e WEST ( 2001)
com 2000 partículas.
Tabela 7.29 – Médias e quantis 0.01 e 0.09 para os parâmetros do Modelo Exponencial
Modificado usando 1000 partículas.
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α4
1.8232
2.3782
2.9162
K4
0.8x105
1.1x105
1.42x105
µ4
4.6x102
6.45x102
8.4x102
a4
3.96
5.2786
6.7949
λ
0.0193
0.0257
0.0316
Similarmente ao caso do experimento 4 (Tabela 6.1), agora os parâmetros da
Tabela 7.27 foram usados como dados de entrada no algoritmo de LIU e WEST (2001)
usando as medidas do experimento 6 (Tabela 6.1). Assumimos 15% de desvio padrão
para os erros de modelo e de parâmetros. As Figuras (7.86-7.87) mostram mais uma vez
a eficiência do filtro de partículas usado para estimar de forma bem satisfatória as
variáveis de estado. Para este caso vemos que os parâmetros Figura 7.89 e Tabela 7.30,
nem todos convergiram e, portanto, não podemos garantir que o modelo seja capaz de
representar plenamente a dinâmica do problema.
165
5
Número de células-Macrófago, cel
2.5
x 10
Medida
Estimado ABC SMC
Estimado
Estimado-saída
Nível de 99% de confiança
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
Tempo, h
50
60
Figura 7.86 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001)
com 1000 partículas.
8
Estimado ABC SMC
Estimado filtro
Estimado saída
Nível de 99% de confiança
Massa de droga no corpo, mg
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Tempo, h
Figura 7.87 Estimativa do decaimento da droga usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com
1000 partículas.
166
5
4
2.8
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
3.5
x 10
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
2.6
2.4
2.2
α4
K4, cel
3
2.5
2
1.8
1.6
2
1.4
1.5
0
10
20
30
40
50
60
1.2
70
0
10
20
Tempo,h
30
40
50
60
70
50
60
70
Tempo,h
(a)
(b)
1200
7
1100
6.5
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
6
1000
900
a4, cel
-1 -1
µ4, mg h
5.5
800
5
4.5
700
4
600
3.5
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
500
400
0
10
20
30
40
50
60
3
70
Tempo,h
2.5
0
10
20
30
40
Tempo,h
(c)
(d)
0.06
Exato
Estimado
Intervalo de confiança 99%
0.055
0.05
0.04
λ, h
-1
0.045
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0
10
20
30
40
50
60
70
Tempo,h
(c)
Figura 7.88 Estimativa dos parâmetros do modelo usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001)
com 1000 partículas.
167
Tabela 7.30 – Estimativas e quantis 0.01 e 0.09 para os parâmetros do Modelo Exponencial
Modificado usando 1000 partículas.
Parâmetro
Quantil 0.01
Média
Quantil 0.99
α4
2.1782
2.8384
3.4699
K4
1.2x105
1.7x105
2.3x105
µ4
0.72x103
9.2x102
1.1x103
a4
2.8707
3.9051
5.0093
λ
0.0210
0.0298
0.0383
Vale lembrar que, comparando as Figuras (7.77-7.78)(células tumorais com
tratamento), com as Figuras (7.80-7.82) (macrófagos com tratamento), vê-se que a ação
do quimioterápico impediu que as células tumorais continuassem crescendo na mesma
velocidade, porém não se observou um decrescimento. Já em relação aos macrófagos
vemos que o quimioterápico agiu provocando rapidamente uma inversão na curva de
crescimento.
168
CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHOS FUTUROS
No presente trabalho foi apresentado a implementação de filtro de partículas para
a estimativa de variáveis de estado e parâmetros em problema de modelagem de
crescimento de tumor. Além disso, foi implementada uma técnica de seleção de
modelos e estimativa de parâmetros, dentro da abordagem do Cálculo Bayesiano
Aproximado. Os modelos apresentados, baseados em Equações Diferenciais ordináriasEDO e Equações Diferenciais Parciais-EDP contemplam a dinâmica de crescimento de
tumores sólidos sem e com tratamento via quimioterapia.
Muitas áreas do
conhecimento estão envolvidas nesta modelagem, tais como, biologia, medicina,
farmácia, matemática, engenharia e estatística. Isto o torna um trabalho multidisciplinar,
ainda com muitas questões a serem compreendidas e respondidas. Em virtude das
muitas ciências envolvidas, uma ampla frente de profissionais dessas áreas se faz
necessária pra que estes questionamentos possam ser devidamente elucidados. Os
resultados conseguidos aqui são animadores no sentido de que tendo modelos
matemáticos capazes de representar bem a dinâmica envolvida no processo, as
ferramentas inferenciais utilizadas, fundamentadas no quadro Bayesiano, tanto para
seleção de modelos, quanto para estimativas de variáveis de estado e parâmetros são
capazes de obterem resultados muito satisfatórios. Os algoritmos implementados nesta
tese, tanto o filtro de (LIU; WEST, 2001), quanto o algoritmo de (TONI, TINA et al.,
2009) para seleção de modelos foram implementados no programa Matlab® 2012b.
Para todos os casos com medidas simuladas conseguimos estimar os estados e
parâmetros bem próximos da solução exata do problema.
Vale ressaltar que nos
diferentes cenários analisados podemos perceber que, mesmo com grandes incertezas
associadas ao modelo de evolução e medidas simuladas, ainda assim é possível obter
boas estimativas.
Com relação ao algoritmo ABC SMC, utilizado pra selecionar o modelo que
permite melhor ajuste aos dados experimentais, podemos concluir que se tivermos um
modelo dentre os concorrentes capaz de descrever o comportamento dessas medidas, o
ABC SMC consegue diferenciar este modelo dos demais. No entanto, se os modelos
concorrentes não são capazes de representar o fenômeno físico em questão
adequadamente, o algoritmo estará selecionando o melhor dentre os concorrentes, mas
169
que pode não representar de fato a física do problema. Tem ainda a vantagem de
escolher o melhor modelo e os parâmetros referentes a esse modelo.
Como proposta de trabalhos futuros em continuação a essa pesquisa pretende-se:
•
Estender o modelo de (ANDERSON; CHAPLAIN, 2003) de forma a incorporar
o efeito da vasculatura e tratamento, utilizando modelos bicompartimentais e
tricompartimentais para governar a massa de droga no corpo, utilizar
coordenadas esféricas e estimar as variáveis de estado e os parâmetros do
modelos com o uso de filtros bayesianos.
•
Construção de um modelo matemático difusivo para a evolução do crescimento
de tumor que seja capaz de incorporar uma geometria pertinente e também
necrose central, validando com dados experimentais, e utilizar o algoritmo de
LIU e WEST, (2001) para as estimativas dinâmicas combinadas de variáveis de
estado e parâmetros do modelo;
•
Comparar o modelo proposto com modelos presentes na literatura através de
métodos clássicos (AIC, BIC,DIC,...) e métodos Bayesianos como algoritmos
tipo ABC SMC;
•
Outros experimentos com outras células e quimioterápicos.
170
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181
APÊNDICE A – GLOSSÁRIO
Apoptose: processo de morte celular programa.
Autócrino: emissão de sinais químicos pelas células capazes de estimular a si
mesmas.
Câncer: crescimento celular que resulta na invasão e destruição de tecidos
saudáveis.
Cancerígeno: agente capaz de produzir câncer.
Carcinógeno: substância que provoca ou estimula o desenvolvimento de tumores
malignos no organismo.
Carcinoma: tumor maligno do tecido epitelial.
Células gliais: células não neuronais do sistema nervoso central que proporcionam
suporte e nutrição aos neurônios.
Células somáticas: todas as células do corpo humano com exceção dos gametas.
Citoplasma: o conteúdo da célula, excluído o núcleo.
Clone: conjunto de células ou organismos originários de outros por algum tipo de
reprodução assexuada e que possuem o material genético idêntico ao original.
Cromossomo: unidade morfológica e fisiológica, visível ou não ao microscópio óptico,
e que contém a informação genética. Cada espécie vegetal ou animal possui um número
constante de cromossomos
Difusão: processo espontâneo de transporte de massa num sistema físico-químico, por
efeito de gradientes de concentração.
Disseminantes: que se espalham.
DNA: ácido desoxirribonucleico (ADN, em português: ácido desoxirribonucléico; ou
DNA, em inglês: desoxyribonucleic acid), é um composto orgânico cujas moléculas
contêm as instruções genéticas que coordenam o desenvolvimento e funcionamento de
todos os seres vivos e alguns vírus. O DNA armazena as informações necessárias para
a construção das proteínas.
Estroma: tecido conjuntivo que constitui o arcabouço de um órgão.
Fagocitose: processo de captura de partículas sólidas pelas células.
182
Fatores de crescimento: proteínas produzidas por células para controlar a reprodução
celular.
Gameta: células reprodutivas, espermatozoides e óvulos.
Gene: unidade hereditária ou genética, situada no cromossomo, e que determina as
características de um indivíduo.
Genes supressores de tumor: genes produtores de sinais controladores de crescimento
e diferenciação celular que previnem crescimento inapropriado e células com formas e
funções anormais.
Homeostasia: é a propriedade de um sistema aberto, seres vivos especialmente, de
regular o seu ambiente interno de modo a manter uma condição estável, mediante
múltiplos ajustes de equilíbrio dinâmico controlados por mecanismos de regulação
inter-relacionados.
In vitro: no laboratório, fora do organismo.
In vivo: no organismo.
Linfático: vide vaso(s) linfático(s).
Linhagem: unidade social formada por indivíduos ligados a um ancestral comum por
laços de descendência demonstráveis.
Metástase: aparecimento de um foco secundário, a distância, no curso da evolução dum
tumor maligno ou dum processo inflamatório.
Metastático: capaz de produzir metástase.
Mitose: processo pelo qual as células eucarióticas dividem seus cromossomos entre
duas células filhas. do ciclo celular. É uma das fases do processo de divisão celular ou
fase mitótica.
Morfofisiológica: forma e função.
Morfológica: ligado à forma, formato.
Necrose: conjunto de alterações morfológicas que indicam morte celular, a qual pode
variar, em extensão, de algumas células a porção de órgão.
Neoplasia: todo crescimento de um novo tecido.
benignos, malignos e metástases.
183
Pode ser causada por tumores
Neoplásico: relativo à neoplasia.
Parácrino: emissão de sinais pelas células capazes de estimular células de sua
vizinhança.
Proliferação: multiplicação de células para produzir formas similares.
Quimiotaxia: ação atrativa ou repulsiva demonstrada por certas células vivas em
relação a outras células ou substâncias que exercem sobre aquelas uma influência
química.
Senescência: quiescência celular causada por encurtamento dos telômeros.
Sítio: lugar que um objeto ocupa.
Tecido: conjunto de células de origem comum, igualmente diferenciadas para o
desempenho de certas funções, num organismo vivo.
Telômero: sequência de DNA presente nas extremidades dos cromossomos que evitam
a fusão entre eles e determinam o número máximo de divisões em uma célula
normal.
Tumor: massa constituída pela multiplicação de células de tecido, sem a estrutura dos
processos inflamatórios ou parasitários conhecidos.
Pode ser maligno ou benigno,
conforme apresente ou não tendência a estender-se, a produzir metástase(s) ou a
recidivar após ablação.
Tumor benigno: o que não invade tecidos em que se não originou e não produz
metástase.
Tumor maligno: o que tem capacidade de invadir tecidos em que se não originou e de
produzir metástase (s).
Tumor secundário: tumor originado por metástase.
Vaso linfático: vasos por onde a linfa circula no organismo. A linfa é um líquido
transparente, amarelado ou incolor, de reação alcalina, que contém em suspensão
glóbulos brancos, principalmente linfócitos e com frequência glóbulos de gordura.
184
APÊNDICE B – MEDIDAS EXPERIMENTAIS
Experimento 1-Células tumorais sem tratamento x103
Tempo, h
0
2
4
12
14
16
18
20
34
36
38
40
42
57
59
Medidas
1
1
1
6.4
6.5
6.4
3.0
5.5
5.2
158.1
152.5
126.2
248.7
236
233.6
214.2
133
127.9
233.6
194.7
183.1
145.7
108.4
119.1
224.5
279.9
316.9
254.7
252.3
232.3
219.6
332.6
172.6
261.1
281.8
284.7
247
199.7
202.6
249.4
295.3
249.4
389.4
354.2
299.9
Experimento 2-Células tumorais com tratamento x103
Tempo, h
0
2
4
12
14
16
18
20
34
36
38
40
42
57
59
Medidas
1.0
1.0
1.0
5.5
5.8
6.0
3.8
3.5
3.5
3.0
2.6
3.1
3.6
3.3
4.5
6.7
7.4
7.9
4.0
4.2
4.5
4.0
4.2
3.5
4.7
5.5
4.5
6.0
5.2
4.5
4.7
7.7
4.8
3.6
4.8
4.7
5.0
4.0
4.5
3.8
4.5
4.5
6.7
7.0
6.0
Experimento 3-Dados macrófago-triplicata 1-sem tratamento x104
Tempo, h
2
4
12
14
16
18
20
34
36
38
40
42
57
59
61
63
65
67
1.0
0
12.1
14.2
27.0
26.9
31.1
31.9
33.4
54.6
102.2
50.6
58.4
66.1
248.3
82.1
151.2
172.1
167.8
173.9
1.0
12.2
16.6
24.3
24.4
34.6
31.2
39.8
61.9
97.9
52.1
63.8
65.7
154.2
80.2
137.5
198.8
183.3
156.6
1.0
12.1
16.5
18.0
21.1
35.4
33.8
37.2
43.7
107.8
57.9
70.8
69.3
199.6
81.2
163.8
176.3
199.3
173.1
Medidas
Experimento 4-Dados macrófago-triplicata 1-com tratamento x104
Tempo, h
0
2
4
12
14
16
18
20
40
42
59
59
Medidas
1.0
1.0
1.0
13.0
12.5
12.2
13.7
14.0
15.4
3.8
3.5
4.2
3.8
4.0
3.5
2.1
3.5
3.0
3.0
2.9
1.9
2.4
4.2
3.1
6.0
6.0
5.8
1.6
1.2
1.6
1.7
1.9
1.1
0.6
2.0
1.2
Experimento 5-Dados macrófago-triplicata 2-sem tratamento x104
Tempo, h
Medidas
2
4
12
14
16
18
20
34
36
38
40
42
57
59
1.0
0
19.7
21.9
33.3
33.8
38.9
31.7
37.6
28.5
33.3
32.1
32.0
34.4
28.53
32.0
1.0
26.2
22.0
35.7
35.8
46.6
34.7
36.2
31.2
38.1
46.2
34.3
34.2
69.94
40.8
1.0
24.9
17.6
32.9
37.0
45.2
36.3
39.2
31.3
35.6
31.2
27.9
31.9
73.14
41.3
Experimento 6-Dados macrófago-triplicata 2-com tratamento x104
Tempo, h
0
2
4
12
14
16
18
20
34
36
38
40
42
57
59
61
63
65
1.0
21.3
21.6
9.3
9.6
9.8
6.2
6.9
1.9
2.51
2.2
2.8
3.8
4.55
4.7
4.2
3.5
2.4
1.0
23.1
21.3
9.7
9.2
9.7
5.7
6.9
1.7
2.12
2.8
2.5
2.5
3.27
4.0
3.3
3.1
2.0
1.0
23.0
21.6
9.7
8.9
8.91
6.1
7.2
1.2
3.32
2.4
2.2
3.0
4.29
3.8
3.9
3.3
2.6
Medidas
185
APÊNDICE C – SELEÇÃO DE MODELOS
A Figura C.1, mostra as 15 populações usadas pelo ABC SMC para selecionar o
melhor modelo entre o modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) e GATENBY
GAWLINSKI, (1996). As medidas foram simuladas com o modelo de ANDERSON e
CHAPLAIN, (2003), representado no histograma como modelo 1. Observa-se que na
última população, o ABC escolheu o modelo correto. A Tabela C.1 mostra a média e os
quantis estimados para os parâmetros do modelo escolhido.
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1
1
1
1
1
1000
500
0
2
1000
500
0
2
1000
500
0
2
1000
500
0
2
1000
500
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Figura C.1 Histograma para seleção de modelos. Medidas geradas com o Modelo de ANDERSON e
CHAPLAIN (2003) tendo como Modelo concorrente o de GATENBY e GAWLINSKI (1996).
Tabela C.1 Média e quantis estimados pelo ABC SMC para os parâmetros do Modelo de
ANDERSON e CHAPLAIN (2003).
Parâmetro
Média
dn
0.0061
γ
0.0055
ƞ
10.1017
dm
0.0051
ψ
0.5177
186
A Figura C.2, mostra as 22 populações usadas pelo ABC SMC para selecionar o
melhor modelo entre o modelo de RODRIGUES (2011) e o Modelo de PINHO et al.
(2013). As medidas foram simuladas com o modelo de
PINHO et al. (2013),
representado no histograma como modelo 2. Observa-se que na última população, o
ABC escolheu o modelo correto. A Tabela C.2 mostra a média e os quantis estimados
para os parâmetros do modelo escolhido.
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1000
500
0
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
Figura C.2 Histograma para seleção de modelos. Medidas geradas com o Modelo de PINHO et al. (2013)
tendo como Modelo concorrente o de RODRIGUES (2011).
187
Tabela C.2 Média e quantis estimados pelo ABC SMC para os parâmetros do Modelo de PINHO
et al. (2013).
Parâmetro
Média
K1
5x10-3
2x1015
q1
5.2x10-15
p1
5.1x10-5
a1
5.2x1015
α1
α2
10-2
K2
γ
q2
5.1x10-18
p2
39.75
a2
5x1011
5.1x1011
9.83
α3
5x10-3
K3
b
5.2x104
5.1x10-3
9.63
λ
188
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