PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO E DE ESTIMATIVA SIMULTÂNEA DE MODELOS E PARÂMETROS EM CRESCIMENTO DE TUMORES José Mir Justino da Costa Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica. Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande Rio de Janeiro Setembro de 2015 PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO E DE ESTIMATIVA SIMULTÂNEA DE MODELOS E PARÂMETROS EM CRESCIMENTO DE TUMORES José Mir Justino da Costa TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Examinada por: ________________________________________ Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D. _______________________________________ Prof. Haroldo Fraga de Campos Velho, D.Sc. ________________________________________ Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc. ________________________________________ Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc. ________________________________________ Prof. Antonio Carlos Gardel Leitão, Ph.D. ________________________________________ Prof. Viviane de Oliveira Freitas Lione, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL SETEMBRO DE 2015 Costa, José Mir Justino da Problema de Estimativa de Estado e de Estimativa simultânea de Modelos e Parâmetros na Modelagem de Crescimento de Tumores / José Mir Justino da Costa. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2015. XXI, 188 p.: il.; 29,7 cm. Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Mecânica, 2015. Referências Bibliográficas: p. 171-181. 1. Câncer. 2. Problema Inverso. 3. Filtro de Partículas. 4. Seleção de Modelos. I. Orlande, Helcio Rangel Barreto et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título. iii Para meus pais, minha esposa e meus filhos. iv AGRADECIMENTOS Queria agradecer em primeiro lugar ao Deus da vida, pessoa na qual tudo devo. Agradecer a minha esposa, Célia e aos meus filhos, Jaqueline, Jean e Zé Lucas por terem compreendido e me apoiado nesse momento que tivemos que conviver com uma distância cuja saudade cortava como aço de navalha. Não há como agradecer isso. Aos Meus pais, Antonino (In Memórian) e Josefa, pela sabedoria transmitida, que não se encontra em sala de aula. Agradeço com igual importância ao meu orientador nesta pesquisa, Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, um pesquisador da maior relevância na ciência mundial, sempre preocupado em conduzir suas pesquisas para a fronteira da ciência e uma pessoa do coração do tamanho da sua imensa capacidade intelectual. Aos professores, Daniel Alves Castello, Thiago Gamboa Ritto, Haroldo Fraga de Campos Velho, Viviane de Oliveira Freitas Lione e Antonio Leitão ,membros da banca desta pesquisa, pela leitura criteriosa e enormes contribuições. Ao Programa de Engenharia Mecânica da COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Laboratório de Transmissão e Tecnologia do Calor (LTTC), Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnológico (CNPq), Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas (FAPEAM) e Coordenação de Aperfeiçoamento a Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo apoio financeiro e técnico para o desenvolvimento deste projeto. A Universidade Federal do Amazonas-UFAM, e ao Departamento de Estatística, pela compreensão e apoio, na concessão de liberação para esta pesquisa pudesse ser concluída. As Professoras Viviane de Oliveira Freitas Lione, Franceline Reynaud e ao aluno Antônio Gilclêr F. Lima, do Laboratório de Bioensaios Farmacêuticos – LaBioFar, Departamento de Fármacos e Medicamentos da Faculdade de Farmácia da Universidade Federal do Rio de janeiro pela enorme gentileza e presteza na realização dos experimentos. Ao Prof. Manuel Ernani, pela enorme preocupação com o andamento e conclusão deste trabalho. À Vera Noronha, Luciana Machado e Evanise Barbosa, secretárias do departamento de mecânica e do LTTC, respectivamente , pela presteza habitual. v Ao Martim (batorezinho) com quem dividi moradia por um longo período, sempre numa convivência muito familiar. Ao Diego e a Anna que por diversas vezes abriram as portas de sua casa para me receber, obrigado pelo carinho e amizade. A todos os colegas com quem tive a oportunidade de conviver harmoniosamente durante esse período: Nilton, Breno, Lamien, Leonardo, Ali, Massoud, Milena, Zio, Ivana’s, Bruna, Bruno , Mabel, Antônio Alves, Gino, Diana, Moussein, Rubelmar, Wellington, Marcos Cury, Péricles, Moussein, Luiz Abreu, Rafael e Rodrigo. vi Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.) PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO E DE ESTIMATIVA SIMULTÂNEA DE MODELOS E PARÂMETROS EM CRESCIMENTO DE TUMORES José Mir Justino da Costa Setembro/2015 Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande Programa: Engenharia Mecânica O presente trabalho tem como objetivo estimar a dinâmica de crescimento de tumores sólidos, através de modelos matemáticos, utilizando para isso abordagens Bayesianas para seleção de modelos bem como estimativa de parâmetros e variáveis de estado. Os modelos estudados são baseados em equações diferenciais ordinárias (EDO) e equações diferenciais parciais (EDP). Foram realizados experimentos para verificar as variações dos números de células tumorais e de macrófagos, com e sem tratamento quimioterápico. Em função das medidas experimentais, que não possibilitaram a obtenção de um modelo estatístico adequado para os seus erros, utilizou-se Cálculo Bayesiano Aproximado (Approximate Bayesian Computation) para seleção de modelos e estimativa dos respectivos parâmetros. Com os modelos e parâmetros selecionados, aplicou-se o filtro de partículas a outros conjuntos de medidas obtidas por repetições dos experimentos. vii Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.) PROBLEM OF STATE ESTIMATION AND SIMULTANEOUS ESTIMATION OF MODELS AND PARAMETERS IN TUMOR GROWTH José Mir Justino da Costa September/2015 Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande Department: Mechanical Engineering The objective of this work is to estimate the dynamics of solid tumor growth by using mathematical models and Bayesian approaches for the selection of models, as well as for the estimation of parameters and state variables. The mathematical models examined here are based on ordinary differential equations and partial differential equations. Experiments were performed to measure the number of tumor and macrophage cells, with and without chemotherapy treatment. Due to the experimental measurements, which did not reveal an appropriate statistical model for their errors, Approximate Bayesian Computation was used for the selection of models and estimation of the corresponding parameters. With the selected model and parameters, the particle filter was then applied to other experimental data sets obtained in the repetition of the experiments. viii SUMÁRIO CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO...................................................................................... 1 1.1 - Motivação e Objetivo do Trabalho e Contribuição .............................................. 3 1.2 - Organização do Trabalho ..................................................................................... 3 CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................... 5 2.1 - Biologia do Câncer ............................................................................................... 5 2.1.1 - Início ............................................................................................................ 5 2.1.2 - Auto suficiência dos sinais de crescimento ................................................. 8 2.1.3 - Indiferença aos sinais inibidores de crescimento......................................... 9 2.1.4 - Apoptose .................................................................................................... 12 2.1.5 - Telomerase ................................................................................................. 13 2.1.6 - Angiogênese............................................................................................... 14 2.1.7 - Metástase ................................................................................................... 16 2.2 - Problemas Inversos ............................................................................................ 20 2.3 - Inferência Bayesiana .......................................................................................... 21 2.4 - Formulações para Crescimento de Tumores ...................................................... 26 2.5 - Escolha de Modelos ........................................................................................... 33 2.5.1 - Critério de Informação de Akaike-AIC ..................................................... 33 2.5.2 - Critério de Informação Bayesiano –BIC ................................................... 34 2.5.3 - Cálculo Bayesiano Aproximado - ABC..................................................... 35 CAPÍTULO 3 - MODELOS MATEMÁTICOS ............................................................ 38 3.1 - O Modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003) ............................................ 38 3.1.1 - Descrição do Modelo ................................................................................. 38 3.2 - O Modelo de GATENBY e GAWLINSKI, (1996) ........................................... 42 3.2.1 - Descrição do Modelo ................................................................................. 43 3.3 - O Modelo de RODRIGUES (2011) ................................................................... 48 3.3.1 - Descrição do Modelo ................................................................................. 48 ix 3.4 - O Modelo de PINHO et al., (2013) .................................................................... 51 3.4.1 - Descrição do Modelo ................................................................................. 51 CAPÍTULO 4 - PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO ................................. 56 4.1 - Filtro de Partículas ............................................................................................. 58 CAPÍTULO 5 - PROBLEMAS DE SELEÇÃO DE MODELOS .................................. 66 5.1.1 - Cálculo Bayesiano Aproximado via Método Sequencial de Monte Carlo– ABC SMC ...................................................................................................................... 66 CAPÍTULO 6 - DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS ............................................... 69 6.1 - Metodologia ....................................................................................................... 69 6.2 - Ensaio de Proliferação Celular ........................................................................... 71 CAPÍTULO 7 - RESULTADOS E DISCUSSÕES........................................................ 74 7.1 - Estimativa de Estado do Modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) ....... 74 7.2 - Estimativa de Estado para o Modelo de GATENBY e GAWLINSKI (1996) ... 96 7.3 - Estimativa de Estado para o Modelo de RODRIGUES (2011) ....................... 109 7.4 - Estimativa de Estado para o Modelo de (PINHO et al., 2013) ........................ 127 7.5 - Estimativa simultânea de Modelos e Parâmetros: Aplicação aos Dados Experimentais Obtidos ............................................................................................. 140 7.5.1 - Estimativa para as células tumorais sem tratamento ............................... 141 7.5.2 - Estimativa para as células RAW 264.7 - macrófagos, sem tratamento ... 146 7.5.3 - Estimativa para os dados experimentais com tratamento- Células tumorais ...................................................................................................................................... 155 7.5.4 - Estimativa para os dados experimentais com tratamento- Células Normais ...................................................................................................................................... 159 CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHOS FUTUROS .... 168 REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 171 APÊNDICE A – GLOSSÁRIO .................................................................................... 182 APÊNDICE B – MEDIDAS EXPERIMENTAIS ........................................................ 185 APÊNDICE C – SELEÇÃO DE MODELOS .............................................................. 186 x Lista de Figuras Figura 2.1 - Os vários estágios da carcinogênese, adaptado de (WEINBERG 2008b) .. 7 Figura 2.2 - Rotas sinalizadoras em células normais levam sinais externos estimuladores ou inibidores de crescimento até o núcleo da célula. Adaptado de FERREIRA JUNIOR (2003). ............................................................................................................................ 10 Figura 2.3: Etapas do ciclo celular, adaptado de ROBINSON e OSÓRIO, (2001). ..... 11 Figura 2.4: Angiogênese Tumoral. ................................................................................. 15 Figura 2.5: Formação de metástases por via sanguínea ou linfática, adaptada de (WEINBERG, 1996). ..................................................................................................... 19 Figura 4.1 – processo de previsão e atualização dos dados para estimativa de variáveis de estado (KAIPIO e SOMERSALO, 2004) .................................................................. 58 Figura 4.2 – Filtro de Partículas ..................................................................................... 60 Figura 6.1 – Centrífuga utilizada nos ensaios. ............................................................... 70 Figura 6.2 Microscópio com a câmara de Neubauer. ..................................................... 70 Figura 6.3 Câmara de Neubauer ampliada ..................................................................... 71 Figura 6.4. Microplacas de 96 poços .............................................................................. 72 Figura 6.5 Leitor de microplacas .................................................................................... 72 Figura 7.1 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ...................................... 77 Figura 7.2 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros ............................ 77 Figura 7.3 Estimativa da matriz de degradação usando 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .......................................................................... 78 Figura 7.4 Estimação dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. .......... 79 Figura 7.5 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ................................. 80 xi Figura 7.6 Estimativa da matriz extra celular usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................................. 80 Figura 7.7 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................................. 81 Figura 7.8 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ........ 82 Figura 7.9 Estimativa da densidade de células tumorais usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ................................. 83 Figura 7.10 Estimativa da densidade da matriz extra-celular usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ......................... 83 Figura 7.11 Estimativa da matriz de degradação usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ...................................... 84 Figura 7.12 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ........ 85 Figura 7.13 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 2. .................... 86 Figura 7.14 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2 ............. 87 Figura 7.15 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso2. .................................... 87 Figura 7.16 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo ........... 88 Figura 7.17 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros –Caso 2. ................... 89 Figura 7.18 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros–Caso 2. ............ 89 Figura 7.19 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- caso 2. .......................... 90 xii Figura 7.20 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo–Caso 2. ........................................................................................................................................ 91 Figura 7.21 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3. ........................................................................................................................................ 93 Figura 7.22 Estimativa da densidade da matriz extra celular usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3 ........................................................................................................................................ 93 Figura 7.23 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3 ................... 94 Figura 7.24 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas, ɤ=0.05 e desvio padrão de 1% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modeloCaso 3. ............................................................................................................................ 95 Figura 7.25 Estimativa da densidade de células tumorais usando 500 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. .................. 98 Figura 7.26 Estimativa da densidade de células normais usando 500 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ....................... 99 Figura 7.27 Estimativa da concentração de íon H+ usando 500 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ....................... 99 Figura 7.28 Estimativa dos parâmetros do modelo com 500 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 1. ...................................................................................................................................... 100 Figura 7.29 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ................ 101 . Figura 7.30 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ................ 101 Figura 7.31 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. ..................... 102 xiii Figura 7.32 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 1. ...................................................................................................................................... 102 Figura 7.33 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ................ 104 Figura 7.34 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2 ................. 104 Figura 7.35 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ..................... 105 Figura 7.36 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 2. ...................................................................................................................................... 106 Figura 7.37 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ................ 107 Figura 7.38 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ................ 107 Figura 7.39 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. ..................... 108 Figura 7.40 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 2. ...................................................................................................................................... 108 Figura 7.41 Estimativa do número de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 111 Figura 7.42 Estimativa do número de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 112 Figura 7.43 Estimativa do número de células endoteliais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ............................... 112 Figura 7.44 Estimativa da massa de droga no corpo, usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 113 xiv Figura 7.45 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ........ 115 Figura 7.46 Estimativa do número de células tumorais com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...................................................................................................................................... 117 Figura 7.47 Estimativa do número de células normais com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...................................................................................................................................... 117 Figura 7.48 Estimativa do número de células endoteliais com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...................................................................................................................................... 118 Figura 7.49 Estimativa da massa de droga no corpo com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...................................................................................................................................... 118 Figura 7.50 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...... 121 Figura 7.51 Estimativa do número de células tumorais com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...................................................................................................................................... 122 Figura 7.52 Estimativa do número de células normais com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...................................................................................................................................... 123 Figura 7.53 Estimativa do número de células endoteliais com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...................................................................................................................................... 123 Figura 7.54 Estimativa da massa de droga no corpo com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...................................................................................................................................... 124 Figura 7.55 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo ....... 126 xv Figura 7.56 Estimativa do número de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 130 Figura 7.57 Estimativa do número de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 130 Figura 7.58 Estimativa do número de células endoteliais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ............................... 131 Figura 7.59 Estimativa da massa de droga no corpo usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 131 Figura 7.60 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas, e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ........ 133 Figura 7.61 Estimativa do número de células tumorais usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ............................... 134 Figura 7.62 Estimativa do número de células normais usando 3000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 135 Figura 7.63 Estimativa do número de células endoteliais usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ............................... 135 Figura 7.64 Estimativa da massa de droga no corpo usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. .................................... 136 Figura 7.65 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas, e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. ...... 138 Figura 7.66 Histograma pra seleção de modelos em todas populações. ..................... 144 Figura 7.67 Os gráficos, letras (a-c) representam o ajuste do modelo aos dados experimentais através das populações 1,10,15 e 23.. ................................................... 145 Figura 7.68 Histograma pra seleção de modelos em todas populações-Conjunto de medidas 1. ..................................................................................................................... 147 Figura 7.69 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo selecionadoLogístico Generalizado. ................................................................................................ 148 Figura 7.70 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para o experimento 5 (Tabela 6.1) . ......................................................................................... 149 xvi Figura 7.71 Os gráficos, letras (a-c) representam o ajuste do modelo aos dados experimentais (segundo conjunto de medidas) através das populações 1,8,16 e 23. ... 150 Figura 7.72 Estimativa da variável de estado com 1000 partículas e 15% de desvio padrão para os erros de modelo e parâmetros............................................................... 152 Figura 7.73 Estimativa dos parâmetros do modelo ..................................................... 152 Figura 7.74 Estimativa da variável de estado com 1000 partículas, 10% de desvio padrão para os erros de modelo e15% de desvio padrão para os erros de parâmetros. 153 Figura 7.75 Estimativa dos parâmetros do modelo ..................................................... 154 Figura 7.76 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para conjunto de medidas(células tumorais com quimioterapia). ............................................................ 157 Figura 7.77 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo Logístico generalizado. ................................................................................................................. 157 Figura 7.78 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo Gompertz. . 158 Figura 7.79 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para o experimento 4 (Tabela 6.1)-(células normais com quimioterapia)............................... 160 Figura 7.80 Estimativa da variável de estado usando os parâmetros estimados pelo ABC SMC. ................................................................................................................... 160 Figura 7.81 Histograma pra seleção de modelos em todas as populações para experimento 6 (Tabela 6.1)- (células normais com quimioterapia).............................. 161 Figura 7.82 Estimativa da variável de estado usando os parâmetros estimados pelo ABC SMC para o Modelo 4. ........................................................................................ 162 Figura 7.83 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de LIU e WEST ( 2001) com 1000 partículas. ................................................................. 163 Figura 7.84 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com 1000 partículas. ............................................................................. 164 Figura 7.85 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de LIU e WEST ( 2001) com 2000 partículas. ............................................................................ 165 Figura 7.86 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com 1000 partículas. ............................................................................. 166 xvii Figura 7.87 Estimativa do decaimento da droga usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com 1000 partículas. .......................................................................................... 166 Figura 7.88 Estimativa dos parâmetros do modelo usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com 1000 partículas. .......................................................................................... 167 xviii Lista de Tabelas Tabela 4.1 – Algoritmo do Filtro de Partículas SIR (RISTIC et al., 2004). ................... 61 Tabela 4.2 – Algoritmo do Filtro de Partículas ASIR (RISTIC et al., 2004). ................ 62 Tabela 4.3 – Algoritmo de Filtro de Partículas (LIU e WEST, 2001). .......................... 64 Tabela 5.1 – Algoritmo ABC SMC (TONI, T. et al., 2009)........................................... 68 Tabela 6.1 – Condições de cada experimento ................................................................ 73 Tabela 7.1 – Valores dos parâmetros utilizados na simulações (ANDERSON e CHAPLAIN, 2003). ........................................................................................................ 76 Tabela 7.2 –Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas com 5% e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ..................................................................................................................... 82 Tabela 7.3 – Erro RMS para as variáveis de estado e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. ........................................................................................ 85 Tabela 7.4 –Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas com 5% e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros-Caso 2. ......................................................................................................... 91 Tabela 7.5 – Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 3. ........................................................................................................................................ 95 Tabela 7.6 – Valores dos parâmetros usados nas simulações ........................................ 97 Tabela 7.7 – Parâmetros usados na simulação ............................................................... 97 Tabela 7.8 – Média, quantis 0.01 e 0.99 e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 1. ...................................................................................... 103 Tabela 7.9 – Média e quantis 0.01 e 0.99 usando 1000 partículas e desvio padrão de 5% e 10% para os erros de medida, modelo e parâmetros - Caso 2. .................................. 109 Tabela 7.10 – Valores dos parâmetros usados nas simulações RODRIGUES (2011). 110 Tabela 7.11 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro. ....... 116 xix Tabela 7.12 – Erro RMS para as variáveis de estado e tempo de execução da simulação. ...................................................................................................................................... 116 Tabela 7.13 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro ........ 121 Tabela 7.14 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro. ....... 127 Tabela 7.15 – Erro RMS para as variáveis de estado e tempo de execução da simulação. ...................................................................................................................................... 127 Tabela 7.16 – Valores dos parâmetros usados nas simulações PINHO et al. (2013). .. 129 Tabela 7.17 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro ........ 139 Tabela 7.18 – Distribuição a priori para os valores dos parâmetros............................. 143 Tabela 7.19 – Distribuição a priori para os valores dos parâmetros............................. 145 Tabela 7.20 – Saídas do ABC SMC experimento 3, para o modelo selecionado. ....... 148 Tabela 7.21 – Saídas do ABC SMC, conjunto de medidas 2 para o modelo selecionado ...................................................................................................................................... 150 Tabela 7.22 – Parâmetros usados no filtro para estimar para o modelo selecionado .. 153 Tabela 7.23 – Distribuição usada a priori para os parâmetros...................................... 155 Tabela 7.24 – Estimativa dos parâmetros através do ABC SMC para o modelo Logístico Generalizado ................................................................................................................. 158 Tabela 7.25 – Estimativa dos parâmetros através do ABC SMC para o modelo Gompertz ...................................................................................................................... 158 Tabela 7.26 – Distribuição usada a priori para os parâmetros...................................... 159 Tabela 7.27 – Parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população para o experimento 4(Tabela 6.1)- (macrófago com tratamento)............................................ 161 Tabela 7.28 – Parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população para o experimento 6(Tabela 6.1)- (macrófago com tratamento)............................................ 162 Tabela 7.29 – Médias e quantis 0.01 e 0.09 para os parâmetros do Modelo Exponencial Modificado usando 1000 partículas. ............................................................................. 165 Tabela 7.30 – Estimativas e quantis 0.01 e 0.09 para os parâmetros do Modelo Exponencial Modificado usando 1000 partículas. ........................................................ 168 xx NOMENCLATURA Variáveis Gregas α taxa de crescimento celular γ taxa na qual as células atingem a saturação φ diz respeito a proliferação das células endoteliais adjacentes ao tumor ø está relacionado com a liberação dos fatores de crescimento da massa tumoral λ taxa de decaimento da droga µ taxa de tratamento das células tumorais ν taxa de tratamento das células normais δ fator de redução ω modela a inibição da vascularização provocada pelo próprio tumor η modela a intensidade do efeito da quimioterapia metronômica χ coeficiente haptotático π(a|b) probabilidade condicional de a quando ocorre b σ desvio padrão das medidas θ parâmetros Sobrescritos i índice da partícula Subscritos med medido est estimado exa exato xxi CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO Segundo a Organização mundial de Saúde, em 2012, houve 8,2 milhões de morte por câncer em todo mundo. PERUMPANANI (1996) observa ainda que a gravidade da doença tem demandado esforços de toda a comunidade científica, com várias publicações devotadas a este tema. ALBERTS et al.(2002) lembram que a ênfase dada a pesquisa em câncer tem impulsionado pesquisas fundamentais como, por exemplo, na biologia molecular. No entanto, vale ressaltar que o estudo do câncer não é algo recente. PORTER (1997) afirma que cirurgia de câncer de mama remonta a antiguidade, dando exemplo do médico bizantino Aetius de Amida, que havia enfatizado que ‘a faca deve cortar o tecido saudável ao redor do tumor e que uma cauterização com ferro deve estancar o sangue’’. Para OLSON (2002), os egípcios há mais de 3500 anos atrás, já se dedicavam ao tratamento do câncer e WARD e KING (1999) relatam que vários textos da Grécia antiga, Egito e Roma indicam que ‘’os médicos estavam bem conscientes da natureza do câncer e eram capazes de fazer diagnósticos corretos e realizar terapias bem sucedidas’’. O estudo do crescimento de tumores e desenvolvimento de terapias anti-câncer é de suma importância, haja vista o potencial em melhorar a qualidade de vida, aumentar a sobrevida, além de consideráveis benefícios econômicos e sociais oriundos destes estudos e descobertas. GATEMBY (1998) explica que, apesar dos últimos avanços e das pesquisas que usam novas técnicas, em particular em biologia tumoral, tenham produzido informações em ritmo bastante acelerado, ainda falta uma estrutura conceitual em que os novos e antigos conceitos sejam adequadamente ajustados. MURRAY (2002) ressalta a importância de desenvolver modelos que sejam capazes de capturar a essência de várias interações do fenômeno em questão, permitindo assim uma melhor compreensão do mesmo. GATEMBY e MAINI (2003) observam que oncologistas e biólogos tumorais pouco se valem de modelos teóricos para servir de ferramenta de compreensão, organização e aplicação destes dados. Afirma ainda que é necessário desenvolver modelos matemáticos bem fundamentados biologicamente, que forneçam percepções reais dos parâmetros que controlam a dinâmica do sistema. BYRNE (1999) diz que, para desenvolver tratamentos eficazes é importante identificar os mecanismos que controlam o crescimento do câncer, suas interações e 1 como eles podem mais facilmente ser manipulados de forma a erradicar ou controlar a doença. A ideia do desenvolvimento e solução de modelos matemáticos que descrevam diferentes aspectos do crescimento de tumor sólido é servir de ferramenta aos profissionais ligados ao combate dessa doença, bem como evitar a experimentação excessiva, o que nem sempre é possível. De acordo com KUNZ-SCHUGHART et al. (1998), médicos e pesquisadores estão cada vez mais conscientes do papel da modelagem matemática como um novo caminho, reconhecendo que as técnicas médicas atuais e abordagens experimentais nem sempre são capazes de distinguir os vários mecanismos envolvidos em importantes aspectos do crescimento do tumor. Por outro lado, é importante saber se, dentre vários modelos que se destinam a representar a dinâmica de crescimento de tumores, qual melhor representa os fenômenos do problema. A literatura traz propostas tanto do ponto de vista da estatística clássica como também da estatística Bayesiana. O Critério de Informação de Akaike - AIC, (AKAIKE (1974), o critério de Informação Bayesiano-BIC, SCHUWARZ (1978), são exemplos de propostas clássicas, enquanto Cálculo Bayesiano Aproximado-ABC, é um exemplo do ponto de vista Bayesiano. Nesse trabalho, optamos por utilizar algoritmos baseados no ABC (Approximate Bayesian Computation), em virtude das medidas das variáveis de estado de interesse, apresentarem comportamento que não são gaussianos ou com verossimilhança não claramente identificável. Ao longo das últimas décadas, vários estudos acerca da solução de problemas de estimativa de parâmetros e variáveis de estado usando abordagens estatísticas têm sido desenvolvidos, produzindo resultados animadores. Alguns métodos amplamente conhecidos e usados são os algoritmos de Monte Carlo via Cadeia de Markov, ANDRIEU et al. (2003) e filtros de Kalman , KALMAN (1960). Outros algoritmos menos restritivos para problemas de estimativa de estado tais como, filtro de Kalman estendido, JULIER e UHLMANN (1997), filtro de partículas baseado em amostragem por importância sequencial (SIS, do inglês Sequential Importance Sampling), HAMMERSLEY, J. M. e E HANSCOMB, (1964), filtro de partículas baseado em amostragem e reamostragem por importância (SIR, do inglês Sampling Importance Resampling), GORDON et al. (1993), e filtros de partículas baseados em amostragem auxiliar e reamostragem por importância (ASIR, do inglês Auxiliary Sampling Importance Resampling), PITT e SHEPHARD (1999), também são usados para 2 problemas lineares e não lineares de estimativa de estado, ARULAMPALAM et al. (2001). Alternativamente, as técnicas citadas para problemas de estimativa de estado, LIU e WEST (2001) propuseram um algoritmo que permite estimativas combinadas de parâmetros e variáveis de estado. Este algoritmo é uma das principais técnicas no processo de estimação desta pesquisa. 1.1 - Motivação e Objetivo do Trabalho e Contribuição De acordo com estimativas mundiais do projeto Globocan (2012), da Agência Internacional para Pesquisa em Câncer (IARC, do inglês International Agency for Research on Cancer), da Organização Mundial da Saúde (OMS), houve 8,2 milhões de mortes por câncer, em todo o mundo, em 2012. A quantidade de pessoas acometidas pelo câncer continuará aumentando nos países em desenvolvimento e crescerá ainda mais em países desenvolvidos se medidas preventivas não foram amplamente aplicadas. Estima-se que no ano 2030, as vítimas fatais do câncer serão da ordem de 13,2 milhões INCA (2014). A contribuição do presente estudo é o uso de filtros Bayesianos, a saber o filtro proposto por LIU e WEST (2001) para calcular estimativas combinadas das variáveis de estado e dos parâmetros dos modelos estudados, bem como o uso de algoritmos baseados em Cálculo Bayesiano Aproximado (ABC) para selecionar dentre os modelos concorrentes aquele que melhor explica os dados relacionados ao crescimento de tumores. 1.2 - Organização do Trabalho O Capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica no qual este trabalho está embasado. No Capítulo 3 apresenta-se a formulação matemática dos modelos de crescimento de tumores que foram usados na aplicação do problema inverso. No Capítulo 4 aborda-se a teoria geral de estimativa de estado, com ênfase para os filtros de partículas SIR, ASIR, (LIU e WEST, 2001, RISTIC et al. 2004). 3 No Capítulo 5 apresenta-se o método de solução do problema de seleção de modelos, usado para escolha do modelo mais plausível dentre os concorrentes. No Capítulo 6 é feita a descrição do experimento realizado para aplicação do problema inverso e seleção de modelos. O Capítulo 7 versa sobre os resultados obtidos nesta pesquisa. No Capítulo 8 apresentam-se as conclusões do trabalho e as sugestões para trabalhos futuros. 4 CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Apresentamos a seguir a revisão de literatura na qual este trabalho está baseado, levando em conta os seguintes aspectos: a biologia do câncer, problemas inversos, inferência Bayesiana, modelos de evolução de tumores e seleção de modelos. 2.1 - Biologia do Câncer Uma das principais motivações deste trabalho é contribuir com o desenvolvimento de ferramentas que tornem o tratamento do câncer mais efetivo e com melhor qualidade de vida para o paciente. Como já mencionado, de acordo com a OMS houve 8,2 milhões de mortes por câncer, em todo o mundo, em 2012, e continuará aumentando se medidas preventivas não foram amplamente aplicadas. Estima-se que no ano 2030, haverá 13,2 milhões de mortes por câncer INCA (2014). A seguir apresentamos os principais aspectos do desenvolvimento de um tumor maligno. 2.1.1 - Início Em todo tecido biológico há um equilíbrio dinâmico ou homeostático entre reprodução e morte celulares denominadas mitose e apoptose, respectivamente ROBINSON e OSÓRIO (2001). Quando este equilíbrio é quebrado duas coisas podem acontecer: ou as células passam a se reproduzir de forma descontrolada ou deixam de morrer quando deveriam. Um adulto possui aproximadamente 30 trilhões de células individuais que vivem em uma sociedade complexa, onde as próprias células controlam mutuamente o crescimento umas das outras. É justamente esse comportamento que permite que células que vão morrendo durante o ciclo normal possam ser repostas. Paralelamente, crescimentos inapropriados são inibidos, fazendo com que a integridade e funcionalidade dos órgãos sejam preservadas. O principal mecanismo regulador relacionado a esse controle mútuo diz respeito à produção e processamento de fatores de crescimento: proteínas produzidas por diferentes células que tem a capacidade de 5 estimular ou inibir a multiplicação celular. Se os mecanismos de controle de crescimento funcionam de forma adequada e as células tem comportamento coletivo harmônico, o produto final é o funcionamento normal do organismo. Caso contrário, se uma determinada célula adquirir mecanismos autônomos de sobrevivência, as consequências para o organismo poderão ser fatais. Este comportamento celular inapropriado recebe o nome de neoplasia e a população de células resultante não segue a taxa normal de proliferação e/ou morte do tecido original, (FERREIRA JUNIOR, 2003, HANAHAN e WEINBERG, 2011). Além disso, em geral, não possuem a função determinada ou desejada no tecido. Esta nova população celular é chamada de tumor e podem ser classificados como benigno ou maligno. É dito benígno se são autolimitantes e não disseminantes e malignos se possuem crescimento ilimitado e são metastáticos. Os tumores benignos podem invadir tecidos e órgãos adjacentes, mas não tecidos e órgãos distantes de sua origem. Os tumores malignos, em geral, possuem crescimento ilimitado e são capazes de invadir tecidos e órgão adjacentes e afetados ao tecido de origem, num processo denominado metástase. Assim sendo, o grau de malignidade de um tumor está ligado a sua capacidade e rapidez em produzir metástases ROBINSON e OSÓRIO, (2001). O termo câncer refere-se a mais de 100 formas de doenças que podem se manifestar em quase todos os tecidos do corpo humano, sendo que alguns tecidos podem desenvolver vários tipos distintos. A maioria das doenças constituem um agente externo que invade o corpo, atacando tecidos e órgãos, enquanto o câncer é formado pelo mesmo material presente na constituição do nosso corpo: células humanas ROBINSON e OSÓRIO, (2001). Na tentativa de melhor compreender os mecanismos que dão origem ao câncer pesquisas recentes concluíram que todas as células de um tumor descendem de uma célula ancestral comum que, em um determinado momento iniciou um programa de reprodução inapropriado, que pode levar décadas até o tumor tornar-se detectável. Para que as células cancerosas se tornem completamente malignas, elas passam por uma série de transformações que permitem que o tumor supere as barreiras impostas pelo organismo que inibem o crescimento neoplásico. Na Figura 2.1 apresentamos um esquema de modelo de progressão de um tumor epitelial maligno, carcinoma, o tipo mais comum. Este esquema resulta de apenas quatro transformações, causadas por mutações em classes específicas de genes que estão presentes no DNA das células. Vale 6 salientar que a quantidade de transformações pode ser superior a apresentada neste esquema WEINBERG (2008a). Genes são pacotes de informações contidos em cada célula do corpo que determinam todas as características do indivíduo e são carregados nas moléculas de DNA contidas no núcleo celular. Um determinado gene é especificado por uma sequência de bases nucleotídicas no DNA, e cada gene que pode estar ativo ou não, determina a sequência de aminoácidos que devem ser ligados para compor uma proteína específica. Cada célula contém todos os genes do indivíduo, embora nem todos estejam ativos. Se um determinado gene está ativo, a célula responde sintetizando a sua respectiva proteína. As proteínas determinam as características e ações celulares. Quando ocorrem mutações em genes específicos isso pode provocar perturbações na célula e mudar as quantidades ou as atividades das proteínas produzidas e por consequência as propriedades celulares fundamentais (BRASILEIRO FILHO, 1998, FERREIRA JUNIOR, 2003, HANAHAN e WEINBERG, 2011). Câncer invasivo Câncer in situ Célula geneticamente modificada Hiperplasia Displasia Figura 2.1 - Os vários estágios da carcinogênese, adaptado de (WEINBERG 2008b) Os protooncogenes e os genes supressores de tumor são os dois tipos de genes que desempenham papéis fundamentais no aparecimento do câncer. Estas duas classes, quando sofrem modificações, tornam-se as principais responsáveis pelo crescimento celular desregulado da maioria dos cânceres. Isso acontece porque os protooncogenes modificados podem tornar-se oncogenes, e estes, por sua vez, provocam a proliferação celular excessiva e promovem a produção anormal de proteínas estimuladoras de crescimento. Isso faz com que sinais de crescimento inexistentes sejam processados o que leva a diminuição de diferenciação celular no tecido tumoral. Quando os genes 7 supressores de tumor estão inativos devido a mutações, eles acabam contribuindo para o câncer pelo fato de eliminar o controle de divisão das células cancerígenas e suprimir a apoptose (WEINBERG 2008a). 2.1.2 - Auto suficiência dos sinais de crescimento Grande parte da literatura devotada à biologia tumoral evidencia que as funções de muitos protooncogenes estão relacionadas com processos de transmissão de sinais do exterior para o núcleo celular. Estes processos são efetivados quando moléculas do meio extracelular (fatores de crescimento liberados por outras células, por exemplo) se prendem a receptores específicos presentes na superfície celular. Os receptores atravessam a membrana celular de tal maneira que uma das extremidades continue no espaço extracelular e a outra se dirija para o interior da célula, no citoplasma. Se moléculas ligantes se prendem a um receptor, sinais são emitidos por estes, através de proteínas, que se propagam no citoplasma até alcançar o núcleo celular. Esse processo desencadea diferentes respostas, tais como o crescimento e a diferenciação celular. Esse conjunto reações envolvendo proteínas são conhecidas como rotas estimuladoras de crescimento ( HANAHAN e WEINBERG, 2011). As mutações nos protooncogenes mantém as rotas estimuladoras ativas mesmo quando deveriam estar inativas. São justamente estas mutações que podem conduzir aos mais variados tipos de comportamento nas células. Existem oncogenes que induzem as células a produzirem quantidades excessivas de fatores de crescimento como, os (PDGF)1 e (TGF-α)2. Os (PDGF) são liberados em grandes quantidades por sarcomas e gliomas enquanto os (TGF-α) são liberados por vários outros cânceres. A estimulação parácrina atua fazendo com que esses fatores geralmente atuem em células da vizinhança da célula que os produziram, podendo também atuar na própria célula que as geraram. A este último tipo de estimulação é chamada de estimulação autócrina. Em células cancerígenas da mama e de outros órgãos, como o ovário, por exemplo, foram identificados genes como Erb-B2 que codificam os receptores das células. Estes 1 2 Fatores de crescimento transformantes derivados de plaquetas. Fatores de crescimento transformante α 8 receptores, considerados anormais, liberam sinais proliferativos para o citoplasma mesmo na ausência de fatores de crescimento externos. Existem outras classes de oncogenes, sendo que uma das que se destaca são os da família ras. Estes perturbam parte da cascata de sinais que se propaga ao longo do citoplasma e mantém a transcrição de sinais estimuladores constantemente ativa, mesmo quando nenhum dos receptores está ativo. Na maioria dos tumores em humanos tais como, cólon, pâncreas e pulmão são encontradas proteínas ligadas ao gene ras. Os oncogenes da família myc, também tem atuação relevante, pelo fato de serem capazes de alterar as atividades dos fatores de transcrição dentro do núcleo, mas em geral as células só produzem os fatores de transcrição myc via estimulação de fatores de crescimento externos. É observado que, mesmo na ausência de fatores de crescimento, pode-se encontrar altas concentrações da proteína Myc em vários tumores malignos (HANAHAN e WEINBERG, 2011, WEINBERG, 1996). 2.1.3 - Indiferença aos sinais inibidores de crescimento Para que as células tornem-se malignas é necessário, dentre outras coisas, que as ferramentas que promovem o crescimento sejam estimuladas e, além disso, precisam ignorar os sinais emitidos pelas células vizinhas normais de cessar o crescimento. Os sinais inibidores de crescimento podem bloquear a proliferação de maneiras distintas. Os sinais inibidores de crescimento em células normais, o qual são chamados de rotas inibidoras de crescimento, são idênticos aos descritos para sinais estimuladores de crescimento. Quando as células não encontram um ambiente propício à proliferação, elas podem permanecer em um estado quiescente, serem eliminadas por apoptose e/ou voltar a proliferar quando esse ambiente tornar-se favorável, isto é, quando os sinais extracelulares permitirem. Como nas células cancerígenas, alguns genes supressores de tumor estão inativos ou ausentes, a célula passa a não responder aos sinais que indicam interrupção do processo de divisão. O fator de crescimento transformante beta (TGF-β) é um desses genes e pode interromper o crescimento de células normais. No entanto, tumores como por exemplo, de pâncreas e cólon são indiferentes à essas substâncias. Algumas proteínas supressoras de tumor bloqueiam o fluxo de sinais ao longo das rotas estimuladoras de crescimento e com isso também podem coibir a proliferação. A 9 proteína NF-1, por exemplo, pode anular a proteína Ras antes mesmo dela emitir sinais estimuladores de crescimento. Assim como foi relatado que a ausência de genes supressores de tumor é importante para o surgimento do câncer, há também estudos que afirmam que a introdução de tais genes em células cancerígenas pode devolver a condição de normalidade da célula. A Figura (2.2) apresenta um esquema dos processos de sinalização (WEINBERG, 2008b). Fatores estimuladores de crescimento são liberados por células vizinha Rotas estimuladoras Rotas inibidoras Fatores inibidores de crescimento são liberados por célula vizinha Anormalidade inibidora Anormalidade estimuladora Figura 2.2 - Rotas sinalizadoras em células normais levam sinais externos estimuladores ou inibidores de crescimento até o núcleo da célula. Adaptado de FERREIRA JUNIOR (2003). Em todos os tipos de câncer que se tem conhecimento o ciclo celular (um mecanismo molecular complexo que regula várias fases do desenvolvimento da célula) é bastante desregulado. O ciclo celular é composto por quatro estágios durante os quais ocorre uma série de reações envolvendo proteínas. 1. Fase G1- a célula aumenta de tamanho e produz as proteínas necessárias para copiar o seu DNA; 2. Fase S - é feita a cópia do DNA, através da duplicação de seus cromossomos; 3. Fase G2 - a célula se prepara para a mitose; 10 4. Fase M - ocorre a mitose, ou seja, ela divide-se para gerar duas cópias idênticas de si mesma. A partir de então, estas duas células filhas podem seguir diretamente para a fase G1 e percorrer todo o ciclo ou podem interromper o ciclo temporária ou permanentemente, entrando numa fase denominada G0. Embora a maioria das células do nosso corpo encontrem-se neste estado, vários pontos de restrição no ciclo celular, determinam se a célula deve prosseguir o ciclo ou interrompê-lo para que erros detectados sejam corrigidos. Na Figura 2.3, ilustramos dois pontos de restrição, G1/S e G2/M , que controlam as passagens da fase inicial G1 para a fase S e da fase G2 para a fase M, respectivamente. Célula clone Ocorre a mitose Início Segundo ponto de restrição Célula aumenta de tamanho e produz novas proteinas Célula se prepara para divisão Estado quiescente Replicação do DNA Primeiro ponto de restrição Figura 2.3: Etapas do ciclo celular, adaptado de ROBINSON e OSÓRIO, (2001). Esses pontos de restrição têm por objetivo verificar se as etapas do ciclo foram corretamente observadas. No ponto G1/S verifica-se, por exemplo, se a célula atingiu tamanho suficiente para gerar uma cópia do seu DNA e no ponto G2/M verifica-se, por exemplo, se a cópia do DNA foi feita corretamente. Esse controle do ciclo celular é feito principalmente por duas classes de proteínas: as cdk (cinases dependentes de ciclina) e as ciclinas. Da união das ciclinas com as cdk resulta o controle das taxas de ativação das proteínas que respondem por vários fenômenos presentes na divisão 11 celular, como a replicação do DNA, por exemplo (HANAHAN e WEINBERG, 2011, WEINBERG, 2008a). Os genes supressores de tumor têm papel fundamental no controle da divisão durante o ciclo celular. Dentre eles o Rb e p53 atuam especialmente nos pontos de restrição citados anteriormente. Estando as células no estado quiescente e a pRb ativa ligada a fatores de transcrição impedem a ação destes na divisão celular. Mas, quando uma célula recebe sinais mitogênicos, as cdk promovem a inatividade da pRb. Assim, os fatores de transcrição ficam livres para se ligar ao DNA e estimular a divisão. Após a mitose, a pRb retorna ao seu estado ativo. A pRb desempenha um importante papel: frear a divisão, já que atua na progressão da fase G1 para a fase S do ciclo celular. Em muitos cânceres, como de bexiga e próstata fica evidente a ausência da função do gene pRb que leva à proliferação descontrolada. Já a proteína p53 está envolvida em diversos processos do ciclo celular, sendo que o mais conhecido está relacionado com a fidelidade da replicação do DNA. Elas agem rapidamente ao perceber que células foram agredidas por agentes mutagênicos (substâncias químicas, radiações, etc.), e induz a síntese da proteína p21, uma proteína inibidora do complexo cdk-ciclina. Com a inibição de cdk a pRb permanece ativa e não permite a liberação de fatores de transcrição, bloqueando a célula na fase G1 do ciclo celular. Esta ação permite que os sistemas de reparo de DNA corrijam o defeito provocado, impedindo a sua propagação para as gerações seguintes. Caso isso não aconteça, a p53 induz a morte celular programada, também chamada de apoptose (HANAHAN e WEINBERG, 2011, WEINBERG, 2008a, 2008b). 2.1.4 - Apoptose Vimos nas subseções anteriores que, para ocorrer divisões celulares que não deveriam ocorrer é necessário que alguma falha nos sistemas de estimulação e inibição de proliferação ocorra. As células do corpo humano possuem um sistema programado de segurança gravado em seu genoma no qual, se alguns dos seus componentes essenciais forem danificados ou desregulados, este sistema induz à morte celular programada denominada apoptose. Dentre esses componentes que podem levar a apoptose, temos, por exemplo, danos no DNA, criação de oncogenes, desativação de genes supressores de tumor e falhas na transcrição durante a fase S do ciclo celular. O 12 programa de apoptose está presente de forma latente em quase todos os tipos celulares do nosso corpo e, quando disparados por uma grande variedade de sinais fisiológicos, resultam em uma sequência eventos após os quais a célula morta é fagocitada pelas vizinhas no tecido e desaparece em 24 horas. Apesar da destruição da célula danificada ser ruim para a própria célula, para o organismo como um todo é muito benéfica, haja vista que, em virtude do alto risco de mutações carcinogênicas, o preço pago pela perda de uma única célula é desprezível. Em experimentos realizados com camundongos transgênicos em que o gene pRb foi desativado, observou-se que os tumores cresciam mais lentamente e que altas taxas apoptóticas também foram observadas. Daí a evidência da importância da apoptose no surgimento de tumores. Por outro lado a inativação da proteína p53 (essencial na sinalização de apoptose) propicia a formação de tumores que crescem rapidamente e com baixas taxas de apoptose. Desativando as proteínas que induzem a morte celular, incluindo a p53 (inativa em mais de 50% dos cânceres humanos) e produzindo outras proteínas como a Bcl-2 (encarregada de diminuir a eficiência da apoptose) as células cancerígenas driblam os mecanismos da apoptose, diminuindo sua eficiência. A deficiência dos mecanismos de apoptose em células cancerígenas é grave em virtude de aumentar sua resistência aos tratamentos convencionais, como a radiação e/ou a quimioterapia (HANAHAN e WEINBERG, 2011, WEINBERG, 1996). 2.1.5 - Telomerase Um outro mecanismo de fundamental importância na defesa contra proliferação acelerada e desregulada, bem diferente do programa de apoptose é a telomerase. Este mecanismo impõe limite para o número de vezes que uma célula pode se reproduzir. Está relacionado com segmentos de DNA nas extremidades dos cromossomos conhecidos como telômeros. Quando os cromossomos são replicados, e isto ocorre na fase S do ciclo celular, os telômeros são encurtados. Sua função é proteger as extremidades dos cromossomos para evitar que ocorra fusão entre eles, o que ocasionaria certamente uma aberração genética para a célula. A medida que o comprimento dos telômeros atinge um determinado limite, a célula recebe um sinal para entrar no estado de senescência. Após entrar na senescência, a proliferação celular é 13 encerrada. Caso as células evitem a senescência surge um problema adicional: provavelmente vão continuar se dividindo, diminuindo o comprimento dos telômeros e passam para um outro estado chamado crise. Nesse estado os cromossomos começam a se fundir provocando a morte da célula. Em experimentos realizados com células embrionárias humanas em cultura observou-se que as células se dividem no máximo em torno de 50 a 60 vezes antes de entrar em um dos estados, senescência ou crise. Como na maioria dos cânceres é ativado um gene que codifica a enzima telomerase esses mecanismos de defesa são geralmente inativados durante o processo de desenvolvimento dos mesmos. São estas enzimas que deveriam repor os segmentos de DNA dos telômeros perdidos durante o ciclo de divisão celular, mas que estão ausentes na maioria das células saudáveis. Esta é uma das razões pelas quais as células cancerígenas podem se replicar indefinidamente (mantém a integridade dos seus telômeros) (HANAHAN e WEINBERG, 2011, WEINBERG, 2008a). Nas duas próximas subseções serão apresentadas duas características fundamentais para definir o grau de agressividade da doença: a angiogênese tumoral auto- sustentada e as metástases. 2.1.6 - Angiogênese Quando as células cancerígenas tornam-se capazes de induzir a formação ou o crescimento de capilares para suprir suas necessidades de nutrientes dentro do tumor, abre-se uma “porta” que permite o aumento dos seus níveis de fatores de crescimento e com isso a divisão celular. Este processo de aquisição/formação de novos capilares é chamado de angiogênese. A Figura 2.4 ilustra como isso ocorre e como aumenta a chance das células cancerígenas penetrarem no sistema circulatório. Isso também tem uma enorme influência na formação de metástases. Em condições normais, o tamanho ou número de capilares nos tecidos não aumenta, pois as células endoteliais que os revestem não se dividem. No entanto, em algumas situações, como por exemplo, durante cicatrização de ferimentos é normal que os vasos se proliferem rapidamente. As células cancerosas também podem promover angiogênese e isto é fundamental na transição do tumor de um aglomerado pequeno e 14 inofensivo de células modificadas para a neoplasia maligna, capaz de se espalhar para outros orgãos do corpo (FOLKAM, 1996, FOLKMAN, 1971). Figura 2.4: Angiogênese Tumoral. extraído de http://www.biodigital.com/medical/animation.aspx, acesso em 02/02/2012. Existe um mecanismo molecular chamado de fatores angiogênicos tumorais (TAFs) que quando liberados pelas células tumorais induzem o crescimento de novos vasos, a partir de vasos pré-existentes e ainda reduzem os níveis de inibidores de angiogênese, proporcionando a divisão das células endoteliais que revestem os vasos sanguíneos. O fator de crescimento de fibroblastos básico (FGFb) e o fator de crescimento endotelial vascular (VEGF) são os mensageiros angiogênicos mais estudados. O FGFb é quimiotático e mitogênico para células endoteliais, enquanto o VEGF estimula o crescimento de células endoteliais. O FGFb também induz enzimas que favorecem a penetração de brotamentos endoteliais no estroma e o VEGF é produzido por diversos estímulos como hipóxia, deficiência de glicose e citocinas. São essas moléculas que quando ligam-se a determinados receptores nas células endoteliais dos capilares, informam que elas devem reproduzir-se e mover-se em direção ao tumor. A partir de então as células endoteliais se unem para formar um broto que se direciona para o tumor e é capaz de levar os recursos necessários à sobrevivência do mesmo. Dentre os inúmeros fatores antiangiogênicos podemos destacar a angiostatina e a endostatina (FOLKAM, 1996, FOLKMAN, 1971). 15 Outro ponto importante a ser considerado é que a vasculatura do tumor é totalmente desorganizada. Diferem totalmente do vasos normais: são tortuosos, dilatados, possuem excessos de ramificações e seu diâmetro não é bem definido. Por conta disso o fluxo nesses capilares também é desorganizado o que permite a formação de regiões ácidas e hipóxicas. Toda essa conjuntura operando fora dos padrões de normalidade para o funcionamento dos vasos cria condições favoráveis para que a eficiência terapêutica seja comprometida e mais ainda, modulam a produção de estimuladores e inibidores angiogênicos e selecionam células cancerígenas mais agressivas e aptas para o processo metastático (CARMELIET e JAIN, 2000, FOLKAM, 1996). 2.1.7 - Metástase Toda essa conjuntura mencionada nas subseções anteriores operando fora dos padrões de normalidade para o funcionamento dos vasos, cria condições favoráveis para que a eficiência terapêutica seja comprometida e mais ainda, modulam a produção de estimuladores e inibidores angiogênicos e selecionam células cancerosas mais agressivas e aptas para o processo metastático (CARMELIET e JAIN, 2000, FOLKAM, 1996, FOLKMAN, 1971). A metástase se refere a transferência de células tumorais desde o órgão ou parte dele para outro não diretamente relacionado por contiguidade e constitui a mais grave complicação e principal causa de morte em pacientes com câncer. Células cancerígenas tornam-se completamente malignas quando desenvolvem mecanismos que lhes permitem superar todas as barreiras fisiológicas impostas pelo organismo contra o seu desenvolvimento. O processo de metástase inicia com a ruptura da interação local célula-célula, alterando a membrana basal, invadindo e infiltrando o tecido circunvizinho, atingindo e penetrando o interior dos vasos sanguíneos ou linfáticos (intravasamento), com o consequente transporte destas células neoplásicas pela corrente sanguínea. Na corrente sanguínea ou linfática, essas células podem ser levadas à orgãos distantes e o escape destes vasos (extravasamento), pode levar ao desenvolvimento de tumores secundários. Uma das características mais importantes para se determinar o grau de malignidade de um tumor é justamente a invasividade e capacidade de produzir metátases. Se um tumor primário é identificado precocemente e removido antes que ocorram metástases, o câncer será erradicado completamente. 16 Contudo, se metástases microscópicas, ou tumores secundários, já estiverem presentes na época do diagnóstico o prognóstico é grave e essas metástases provavelmente irão desenvolver-se e tornar-se fatais. De fato, metástases são a causa de 90% das mortes causadas por câncer em humanos ( LIOTTA, 1992, RUOSLAHTI, 1996). Em tecidos normais, as células aderem-se umas as outras e também à matriz extracelular (ECM), também chamada de interstício. O interstício, é formado por colágeno e outras substâncias como a fibronectina e a lamina e são as principais moléculas de adesão entre as células e a ECM. Uma categoria de proteínas que muito contribui para adesão entre as células é conhecidas por caderina. A caderina E33 é a mais estudada em relação as células malígnas. Nas células cancerígenas os mecanismos de adesão são desregulados e são justamente as interações de adesão que levam sinais reguladores que influenciam as atividades celulares para o interior da célula. Sem adesão com a ECM a proliferação celular é inibida e ainda pode disparar apoptose (fenômeno conhecido por dependência de ancoragem) ( LIOTTA, 1992, RUOSLAHTI, 1996). Vários tipos de câncer perdem parte ou todas as moléculas caderina E. Experimentos in vitro mostram que o bloqueio da caderina E transforma uma linhagem de células não invasivas em células invasivas. A dependência de ancoragem é uma das barreiras que a célula cancerígenas deve superar para se espalhar pelo corpo. A membrana basal, uma camada fina, porém resistente composta de colágeno tipo IV separa as células epiteliais4 do restante do corpo, formando uma barreira impenetrável para a maioria das células normais. Apesar das células cancerosas poderem romper esta barreira para que tumores secundários sejam formados, elas precisam invadir uma segunda camada da ECM (o interstício conjuntivo) até atingir os vasos sanguíneos (ou linfáticos), onde encontram outra membrana basal revestindo o vaso. Esta membrana separa as células endoteliais, que formam a parede interna dos vasos do restante do estroma. Após romper a segunda membrana basal e a camada de células endoteliais, aí sim, a célula cancerosa pode atingir a corrente sanguínea e daí seguir para outras partes do corpo. Para que ocorra a invasão da ECM, é necessário que haja a produção e ativação de uma série de enzimas além da reestruturação do citoesqueleto para a formação de pseudópodes nas células cancerosas. Este processo antecede as metátases e 3 4 E de epitélio Esta referência as células epiteliais é devido elas serem a fonte mais comum de câncer. 17 são essas enzimas as responsáveis pela degradação da ECM (FERREIRA JUNIOR, 2003, LIOTTA, 1992, RUOSLAHTI, 1996). As metaloproteinases da matriz (MDE), também chamada de matriz de degradação ou de enzimas degradativas são enzimas que degradam a ECM. os inibidores teciduais de metaloproteinases (TIMP), são substâncias que inibem metaloproteinases, as uPAs, são enzimas inertes produzidas por células endoteliais e os fibroblastos do estroma normal. Estas são apenas alguns exemplos de substâncias que participam do processo de invasão. Ao invadir a ECM, a célula cancerígena forma pseudópodes. A ponta deste pseudópode contém a MDE ativa chamada MT1 (MT1MMP) que, na presença de um determinado TIMP, conhecido por TIMP-2, torna-se um receptor e ativador de uma outra metaloproteinase (MMP-2). Essa metaloproteinase (MMP-2) é produzida por fibroblastos e células endoteliais do estroma. Coisa parecida acontece com a proteinase uPA: ela torna-se ativa devido a uma cooperação entre o seu receptor (uPAR) e integrinas localizados na superfície do pseudópode. Em contrapartida, a proteólise (degradação) da ECM libera fatores de crescimento e outras proteínas que além de alterarem a adesão a ancoragem e a arquitetura do citoesqueleto, ainda liberam algumas moléculas sinalizadoras como por exemplo as cinases de adesão local (FAKs). Isso faz com que o campo enzimático fique confinado na parte da frente da célula invasora, mantendo intacta o restante da célula e preservando as moléculas de adesão necessárias para tração celular. Enquanto a célula invasora migra através da ECM, o complexo de enzimas, moléculas inibidoras e receptoras da frente de invasão alternam entre adesão, liberação e proteólise. A direção de invasão pode ainda ser influenciada por quimio-atratores e pela construção de rotas preferenciais de adesão. Esses atratores locais incluem fatores de crescimento de hepatócitos (HGF), que estimulam a mobilidade celular quando se prendem ao receptor Met. O processo de invasão das células cancerosas é altamente complexo e não apenas as células cancerígenas participam, mas também participam as células normais, induzidas pelas cancerígenas. Além dos produtos da degradação, células cancerosas produzem um fator de motilidade autócrino que auxilia a sua locomoção. Estes fatores, quando ligados a determinados receptores na superfície celular, estimulam a movimentação dessas mesmas células. Essas substâncias são observadas apenas em células cancerosas e se destacam pela capacidade de estimular movimento nas próprias células que a produz. Isso não ocorre, por exemplo, na migração de células normais como linfócitos do 18 sistema imunológico, que precisam ser estimuladas por outros tipos celulares (FERREIRA JUNIOR, 2003, LIOTTA, 1992, RUOSLAHTI, 1996). Somente quando o interstício conjuntivo é invadido é que as células neoplásicas podem seguir em direção a outros tecidos ou órgãos. Mesmo com a chegada das células neoplásicas a um determinado órgão ainda se faz necessário que ocorra proliferação das mesmas para que o processo metastático se concretize. Isto significa que as células devem deixar o vaso que as trouxe e penetrar nos tecidos, para que enfim, surja um novo tumor secundário. No entanto, menos que uma em 104 células que deixam o tumor primário e entram no sistema circulatório conseguem sobreviver para originar uma nova massa tumoral em outro tecido, LIOTTA e KOHN (2001). Ainda não são totalmente conhecidos os fatores que determinam onde e como as células malignas deixam o vaso e se implantam em certo órgão. Sabe-se que parte destes fatores estão relacionados à localização anatômica do tumor primário e outra parte são fatores inerentes a célula neoplásica, FERREIRA JUNIOR (2003). A Figura 2.5 ilustra a processo de formação de metástases a partir de um carcinoma. Carcinona in situ Membrana basal Invasão local Matriz extra celular Vaso linfático Transporte Extravasamento Metástse Figura 2.5: Formação de metástases por via sanguínea ou linfática, adaptada de (WEINBERG, 1996). 19 2.2 - Problemas Inversos Em vários campos da física, engenharia e outros ramos da ciência, obter medidas diretamente não é uma tarefa fácil. Nestes casos, podem-se medir outras variáveis mais fáceis de ser mensuradas e utilizar modelagens matemáticas adequadas para extrair informações da variável que é difícil de ser medida. Estes tipos de problema de medição indireta são denominados de problemas inversos (BECK. 1999, KAIPIO e SOMERSALO, 2004). A aplicação de problemas inversos pode ser feita em diversas áreas, e como exemplo, nas engenharias: aeroespacial (Estimar fluxo de calor em sistema de proteção térmica), biomédica (Imagem de tomografias), química (Concentração de traços químicos), civil (Localização de falhas em estruturas), computação (Reconhecimento de voz) e mecânica (Estimar propriedades termofísicas). O estudo de problemas inversos faz parte de um novo paradigma de pesquisa, onde as simulações computacional e experimental não são realizadas isoladamente, mas sim de forma iterativa, a fim de que o máximo de informações sobre o problema físico em questão seja obtido com as duas análises (BECK, 1999, ORLANDE et al. 2011). De fato, métodos sistemáticos para resolver problemas Inversos foram bastante pesquisados nos últimos vinte anos e tornaram esta técnica uma boa ferramenta para análise e projetos de engenharia ORLANDE et al.( 2011). ORLANDE et al. (2011) mostraram em seu livro diversos métodos de solução de problemas inversos, como inferência Bayesiana com o método de Monte Carlo via mostradores de Gibbs ou com o algoritmo de Metropolis-Hastings, métodos de regularização de Tikhonov entre outras. Mostram também várias áreas de aplicações das técnicas apresentadas. ORLANDE et al. (2011) apresentam técnicas para solução de problemas inversos como: Levenberg-Marquardt, Gradiente Conjugado com problema Adjunto e Monte Carlo via Cadeia de Markov. Além da teoria são apresentadas aplicações em problemas de transferência de calor. Problemas inversos são matematicamente classificados como mal-postos, pois sua solução não satisfaz alguma das seguinte condições: existência, unicidade e estabilidade 20 HADAMARD (1923). Esta característica faz com que, em alguns casos, exista a necessidade de usar técnicas de regularização como as de ALIFANOV (1994, 1997) ou TIKHONOV (1963). A utilização de técnicas de problemas inversos é capaz de estimar parâmetros e funções. Diversos métodos para estimar parâmetros ou funções já foram desenvolvidos, dentre eles, os já citado anteriormente, métodos de Levenberg-Marquardt, Gradiente Conjugado e Monte Carlo via Cadeia de Markov. Além destes métodos, outra metodologia que está sendo bastante estudada são os filtros Bayesianos, em particular o filtro de Kalman e os filtros de partícula, como o SIR(Sampling Importance Resampling) e ASIR (Auxiliary Sampling Importance Resampling), para solução de problemas de estimativa de estado. Um outro filtro também bastante utilizado, e que além de estimar as variáveis de estado de um problema dinâmico incorpora as incertezas associadas aos parâmetros do modelo, é o desenvolvido por LIU e WEST (2001). Para a aplicação de problemas inversos no estudo do crescimento de tumores é necessário a aquisição de medidas de alguma variável envolvida nos modelos que governam a física do problema, o que pode ser feita de forma simulada ou através da realização de experimentos in vivo ou in vitro. É com base nessas variáveis onde temos medidas que extraímos alguma informação acerca das outras variáveis do problema que não podem ser medidas diretamente. Neste trabalho utilizamos o algoritmo proposto LIU e WEST (2001) uma variação do filtro ASIR, para estimar conjuntamente as variáveis de estado e os parâmetros dos modelos estudados e que serão vistos com mais detalhes no Capítulo 3. 2.3 - Inferência Bayesiana Esta seção apresenta uma breve revisão da literatura sobre Inferência Bayesiana, focada na análise de problemas inversos apesar de ser uma técnica que pode ser aplicada em diversas áreas. A semente para a abordagem Bayesiana a problemas de inferência foi lançada por Richard Price quando em 1763 publicou a obra póstuma do Rev. Thomas Bayes intitulada ‘’An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances’’, 21 BAYES (1763). No entanto, a ideia da probabilidade como grau de credibilidade, tão importante para entender a filosofia bayesiana, tem uma longa história, KYBURG e SMOKLER (1964). Dentre elas, sabe-se que 1) a probabilidade identifica-se como um grau de credibilidade; 2) os graus de credibilidade podem medir-se; 3) os graus de credibilidade podem identificar-se com sentimentos subjetivos, DE MORGAN (1847). Essas afirmações de DE MORGAN (1847) são de extrema relevância quando estamos interessados em inferir sobre uma determinada quantidade de interesse θ . O verdadeiro valor de θ é desconhecido e a ideia é tentar reduzir este desconhecimento. Para isso, devemos levar em conta toda informação disponível tanto no processo de obtenção das medidas, como as outras informações que se tenha conhecimento a respeito do fenômeno em estudo, antes da obtenção dessas medidas. Segundo (KAIPIO e SOMERSALO 2004) a abordagem de inversão estatística está baseada nos seguintes princípios: 1. Todas as variáveis incluídas no modelo são modeladas como variáveis aleatórias; 2. A aleatoriedade descreve nosso grau de informação acerca dessas realizações; 3. O grau de informação concernente a estes valores são codificados através de distribuições de probabilidade; 4. A solução do problema inverso é a distribuição a posteriori Com estas considerações e sendo θ e z variáveis aleatórias contínuas o teorema de Bayes, BAYES (1763), pode ser escrito como: π(θ|z)= π(θ,z) π(z) 2.1) onde a função densidade de probabilidade a posteriori, π(θ|z), é a probabilidade condicional de obter os parâmetros, θ, dadas as medidas, z; π(θ,z) é a função densidade de probabilidade conjunta de z e θ, e π(z) é a distribuição preditiva das medidas, também chamada de distribuição marginal e pode ser obtida integrando π(θ,z) sobre o espaço paramétrico. Isto é, π(z )= ∫π(θ, z )dθ 22 (2.2) Como , π ( θ, z ) = π ( θ ) π ( z | θ ) (2.3) podemos reescrever a Equação (2.1) da seguinte forma: π (θ | z ) = π (θ )π ( z | θ ) π (z) (2.4) onde π ( θ) é a distribuição a priori para os parâmetros e π ( z | θ) é a função de verossimilhança. Geralmente, o cálculo computacional de π(z) (Equação 2.2), é difícil e usualmente não é necessário para cálculos práticos, sendo visto como uma constante de marginalização. Portanto, o teorema de Bayes é normalmente escrito como π (θ | z ) ∝ π (θ)π ( z | θ) (2.5) A menos de menção em contrário, a (Equação 2.5) será a variação do Teorema de Bayes utilizada neste trabalho. O Teorema de Bayes é, para muitos, um dos poucos resultados da matemática que se propõe caracterizar a aprendizagem com a experiência, isto é, a modificação da atitude inicial em relação aos ‘’antecedentes’’, ‘’causas’’, ‘’hipóteses’’ ou ‘’estados’’, depois de se ter a informação adicional de que certo acontecimento ou acontecimentos se realizaram PAULINO et al. (2003). Quando o investigador está na completa ignorância em relação a esta quantidade de interesse, a proposta de Laplace, também conhecida por princípio da razão insuficiente ou critério de Bayes-Laplace, consiste em atribuir igual probabilidade aos eventos5 envolvidos. As técnicas Bayesianas tem sido amplamente implementadas para solução de diversos problemas tanto em engenharia, como em outras áreas e utiliza diferentes algoritmos para o cálculo da função densidade de probabilidade a posteriori π(θ|z). Como uma amostra é sempre um substituto parcial da informação contida em uma densidade, métodos baseados em simulação são inerentemente aproximados e devem 5 Entenda-se por evento um conjunto de resultados (um subconjunto do espaço amostral) ao qual é associado um valor de probabilidade. 23 apenas ser utilizados quando for constatada a impossibilidade de extração analítica de informação da posteriori. A ideia básica destes métodos é fazer um passeio aleatório no espaço de π ( θ | z ) que converge para uma distribuição estacionária, que é a distribuição de interesse do problema, GAMERMAN e LOPES (2006). Muitos autores têm realizado análises detalhadas e teóricas de problemas inversos, usando técnicas de inferência Bayesiana para a solução destes problemas em seus livros e/ou artigos. DOUCET et al., (2001) apresentaram em seu livro texto, análises detalhadas do método de Monte Carlo e de alguns filtros de partículas, além de apresentarem diversas aplicações para os métodos explorados. ARULAMPALAM et al., (2001) apresentaram os algorítmos dos filtros de partículas SIS (Sequential mportance Sampling), SIR (Sampling Importance Resampling), ASIR(Auxiliary Sampling Importance Resampling) e filtros de Kalman estendidos além de comparar os erros obtidos para cada filtro. Segundo eles o filtro ASIR obteve o menor erro. O livro de RISTIC et al. (2004) ressalta as restrições apresentadas pelo filtro de Kalman para modelos não lineares e não Gaussianos e aborda as metodologias e aplicações de alguns tipos de filtros de partículas como solução para superar tais restrições do filtro de Kalman. O Livro texto de KAIPIO e SOMERSALO (2004) apresenta conceitos básicos e clássicos de problemas inversos, como por exemplo, a estimativa por Máxima Verossimilhança e o método do Gradiente Conjugado. Apresenta também, os métodos de regularização clássicos, como a regularização de Tikhonov e o método iterativo de regularização, como o método de Landweber-Fridman e o de Kaczmarz. Mostraram ainda análises em metodologias de problemas inversos no qual o foco está nas análises estatísticas dos erros gerados pela modelagem, além de Métodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov-MCMC e filtro de partículas. PARTHASARATHY e BALAJI (2008), utilizando o método de Monte Carlo via Cadeia de Markov, estimaram parâmetros como condutividade térmica e coeficiente de convecção em uma placa bidimensional. O método empregado para resolver o problema direto foi o de diferenças finitas. Neste estudo, foi usado três tipos de distribuição a priori: normal, log normal e Uniforme. 24 ORLANDE et al. (2008) estimaram o campo de temperatura para dois problemas de condução de calor em regime transiente: um linear, onde foi aplicado o filtro de Kalman; e outro com condutividade térmica e capacidade volumétrica variando com a temperatura, onde foi utilizado o filtro de partículas SIR. Neste trabalho mostrou-se que, apesar do desvio padrão para o modelo e para as medidas serem considerados altos, obtiveram-se excelentes resultados para estimar o campo de temperatura com a utilização dos filtros de Kalman e SIR nos casos em que o problema era linear e não linear, respectivamente. Mostrou-se também que o tempo computacional para usar o filtro de Kalman é bem inferior em relação ao filtro de partículas SIR. COLAÇO et al. (2011) utilizaram filtros de partículas ASIR para estimar fluxo de calor aplicado em problemas de convecção natural. Foram analisadas as influências da frequência da aquisição de medidas e da quantidade de partículas utilizadas. Verificaram que com mais partículas a estimativa do fluxo de calor foi melhor e com o aumento da frequência de aquisição de dados o intervalo de confiança ficou maior. SILVA et al. (2011) utilizaram os filtros de partículas SIR e ASIR em um problema de solidificação, considerando um problema unidimensional, com as seguintes finalidades: comparar os resultados obtidos com os filtros utilizados e estimar a localização da frente de solidificação e fluxo de calor. Neste estudo verificou-se que é melhor usar o filtro ASIR, pois este precisou de menos partículas para reproduzir resultados semelhantes ao filtro SIR. LI et al. (2012), analisando um modelo de equações não lineares, apresentaram uma metodologia para diversificar mais as partículas de modo a melhorar as estimativas das variáveis de estado. Foi aplicado um método determinístico para diversificar as partículas, apresentando resultados melhores que o filtro SIR. ESTUMANO (2012) trabalha problemas inversos relacionados à formulação de Hodgkin-Huxley, para problemas de potencial de ação em células excitáveis e utiliza os filtros SIR e ASIR para estimar as variáveis de estado do modelo. SILVA (2012) utilizou os filtros de partículas em problemas de condução de calor transiente unidimensional, problemas de solidificação e em problemas de propagação de incêndio. COSTA et al. (2015) aplicou o Algoritmo de LIU e WEST (2001) para estimar os parâmetros e as variáveis de estado de um modelo de crescimento de tumor, que 25 incorpora quimioterapia, levando em conta a aplicação de um protocolo específico para tratamento de câncer de pâncreas. Na próxima seção, será apresentado alguns dos modelos matemáticos de evolução de tumores mais comuns encontrados na literatura e outros que serão objetos de estudo nesta tese. 2.4 - Formulações para Crescimento de Tumores Quando se pensa em modelar fenômenos novos, é natural focar inicialmente em sistemas simples e bem definidos. Pesquisando a literatura matemática sobre modelagem de crescimento de tumor sólido vemos que um padrão semelhante emerge: os primeiros modelos foram focados no crescimento de tumor avascular, e com o desenvolvimento de modelos de angiogênese, os modelos de crescimento de tumor vascular começaram então a surgir. As melhorias nas técnicas biomédicas, tais como imagens e sequenciamento genético que tem ocorrido ao longo dos últimos trinta anos fornecem uma explicação alternativa para esse desenvolvimento. Como os procedimentos experimentais tornaram-se mais sofisticados e o conhecimentos sobre o crescimento de tumores sólidos teve uma grande evolução, as deficiências dos primeiros modelos matemáticos, (alguns deles mostrados em seguida), tornou-se evidente e apontou na direção para novas abordagens de modelagem. Isso se tornou possível devido ao crescente número de matemáticos e profissionais das mais diversas áreas do conhecimento atualmente estudando diferentes aspectos do crescimento de tumores sólidos. Faremos aqui uma revisão tanto de modelos de crescimento de tumores avascular como vascular. Alguns dos modelos considerados têm sido amplamente usados para descrever a dinâmica de crescimento de tumores sólidos quando os detalhes da estrutura espacial são negligenciados, focando, portanto, no volume total do tumor ou no número total de células presentes no interior do tumor. São formulados como sistemas de equações diferenciais (EDO) e tem sido utilizados por médicos e outros profissionais para estimar parâmetros cinéticos associados com crescimento de tumor in vivo e in vitro, e para avaliar a eficácia de diferentes estratégias terapêuticas. No entanto, modelos baseados em equações diferenciais parciais (EDP) também tem sido bastante utilizados para tais finalidades. 26 Um dos modelos mais simples que pode ser usado para descrever o número de células N (t ) de um tumor sólido evoluindo ao longo do tempo é a lei de crescimento exponencial. Considerando que em um tumor no estágio inicial de desenvolvimento não ocorre angiogênese, e, além disso considerando-o como constituído por uma única população celular, a lei de crescimento exponencial é dada por dN = α N , com N (t = 0) = N 0 , dt (2.6) com, N (t ) = N 0eα t . onde α > 0 é a taxa na qual as células se dividem (com dimensão tempo−1) e N 0 representa o número de células inicialmente presente dentro tumor. A versão discreta do modelo (2.6) segundo RODRIGUES (2011), deve-se a MALTHUS (1798) e para tratá-lo como uma variável continua supõe-se N suficientemente grande. Além disso, outras hipóteses devem ser consideradas: a taxa de divisão das células tumorais é constante e negligencia-se estocasticidade demográfica. Considerando que todos os recursos necessários ao crescimento são disponíveis e abundantes, o modelo resulta em crescimento ilimitado. Portanto, não consegue explicar a saturação que é observada em crescimento de tumores in vitro ou quando desenvolvido in vivo. Isso faz com que o modelo seja válido apenas para tumores nos quais a angiogênese não tenha se estabelecido, que segundo KERBEL (2000), o diâmetro de tais tumores gira em torno de 1 a 2 mm. Tal discrepância que acabamos de mencionar se deve ao fato de que as células tumorais competem entre si, por nutrientes e outros recursos vitais, como oxigênio e espaço. Para incorporar essas informações pode-se estender o modelo (2.6), resultando na lei de crescimento logístico, cuja formulação pode ser encontrada em VERHULST (1838) dN N = α N 1 − , com N (t = 0) = N 0 > 0, dt K 27 (2.7) > 0representa a capacidade suporte da população de células tumorais. onde Resolvendo (2.7 tem-se que N (t ) = onde C = K 1 + CKe −α t (2.8) 1 1 − . N0 K Apesar da lei de crescimento logístico prever crescimento quase exponencial de pequenos tumores e saturação de crescimento quando o tumor atinge a sua capacidade suporte, isto é, quando N = K , a simetria de N (t ) com relação ao ponto de inflexão N=K não dá ao modelo logístico muita flexibilidade no ajuste de dados experimentais, (BYRNE, 2003). Um modelo ainda mais flexível encontrado na literatura é o modelo logístico generalizado, definido a seguir: dN α N = N 1 − dt γ K γ (2.9) onde K , α e γ são parâmetros reais e N como anteriormente, é o número de células do tumor. O parâmetro γ define a rapidez na qual a saturação é atingida. Com N (t = 0) = N 0 , temos que N (t ) = K K 1+ N0 1 1 γ e −α t − 1 γ (2.10) Quando γ = 1 voltamos ao modelo logístico usual dado pela Equação (2.7). A Lei de crescimento Gompertziana originada a partir do modelo atuarial desenvolvido por GOMPERTZ (1825) foi usado para estudar crescimento em contextos biológicos e econômicos em 1932 por WINSOR (1932). A lei de crescimento Gompertiziana é definida por, BOICE e DIPRIMA (2005) 28 dN k = −α Nln dt N (2.11) Mesmo diante dos modelos aqui apresentados e de tantos outros que se pode encontrar na literatura é difícil afirmar qual deles melhor se aplica a dados experimentais. Num estudo realizado com 113 pessoas acometidas por câncer de mama, SPRATT et al. (1996) conclui que o modelo logístico generalizado é o que melhor se adequa ao problema. MICHELSON et al. (1987) mostram que em quatro de cinco populações tumorais estudadas pelos autores, o modelo Gompertz é o que fornece o melhor ajuste para crescimento volumétrico de tumores in vivo. O modelo de Von Bertalanfly, (outro modelo encontrado na literatura, mas que não foi apresentado nesta revisão) foi considerado o mais robusto no ajuste de dados em sete de dez casos de câncer estudados em ratos, (VAIDYA e ALEXANDRO, 1982). De fato, os tumores podem assumir diversas formas. Por exemplo, tumores como gliobastomas (tumores do cérebro) DEISBOECK et al. (2001), melanomas (tumores da pele) (CROSS et al. 1995) e tumores da mama (CHRISTOYIANNI et al. 2002) podem exibir formas complexas e, possivelmente, fractais. Alguns modelo também são encontrado na literatura de Física e propõem novos mecanismos no sentido de explicar a complexa morfologia observadas nestes tipos de tumores. SANDER e DEISBOECK (2002) propuseram um modelo matemático para descrever o crescimento de gliobastomas em cultura. Os autores utilizaram um conjunto de equações de reação difusão para descrever as concentrações de células cancerígenas, nutrientes e fatores de atração homotípica produzidos por células móveis do tumor. Mostraram que estas equações possuem instabilidades que levam a formação de padrões ramificados na zona de invasão do tumor. O modelo foi estudado também por FERREIRA JUNIOR (2003) em uma rede quadrada 128 × 128 com constante de rede igual ao diâmetro celular. A concentração de nutrientes foi tratada como uma variável contínua e as células cancerígenas como variáveis discretas assumindo os valores c = 1 , se o sítio é ocupado por uma célula cancerígena, ou c = 0 , caso contrário. Todos os nutrientes são substituídos por um único campo escalar n dado pela solução estacionária da equação de difusão: ∂n = D∇ 2 n − α ( n)c ∂t (2.12) na qual o último termo corresponde ao consumo de nutrientes por células cancerígenas e α(n) é dado por 29 α 0 n , se n ≤ n0 , α (n) = n0 α , se n > n , 0 0 (2.13) onde n0 é a concentração de saturação característica. Normalmente quando há interesse em modelar o tratamento de tumores, é comum a adição de um termo extra à equação ou às equações. O Modelo (2.14) dado abaixo, foi usado no trabalho de RODRIGUES (2011) para modelar o efeito resposta do tratamento de câncer via quimioterapia. Este modelo será também explorado neste trabalho no sentido de estimar de forma sequencial as variáveis de estado e os parâmetros do modelo. . dN1 N1 r N µ N1Q = α1 N1 1 − − 1 2 − dt K1 + L K1 + L a + Q N dN 2 r N ν N 2Q = α 2 N 2 1 − 2 − 2 1 − dt K2 K2 b + Q (2.14) dL η LQ = ϕ L + φ N1 − ω N1 L − dt c+Q dQ = δ (t ) − λ Q dt onde, N1 , N 2 , L1 e Q, são, o número de células tumorais, células normais, capacidade suporte e quantidade do agente quimioterápico, respectivamente. α i , i = 1, 2 denota a taxa de crescimento das populações tumoral e normal, ri , i = 1, 2 são os coeficientes de competição entre as populações tumoral e normal, K1 e K 2 são as capacidades suporte das populações tumoral e normal, o parâmetro ϕ diz respeito a proliferação das células endoteliais adjacentes ao tumor, bem como sua migração da região peritumoral para dentro do tumor, φ está relacionado à liberação dos fatores de crescimento da massa tumoral e ω modela a inibição da vascularização provocada pelo próprio tumor. a, b e c determinam a velocidade da resposta da droga, λ é a taxa de decaimento da droga, µ e ν são as taxas de tratamento das células tumorais e normais, respectivamente e η modela 30 a intensidade do efeito da quimioterapia metronômica6 . De qualquer forma, para que o tratamento faça sentido, o agente quimioterápico tem que agir com maior intensidade nas células tumorais RODRIGUES (2011). Um outro modelo baseado em equações diferenciais ordinárias que modela o efeito resposta do tratamento de câncer via quimioterapia e que também será explorado neste trabalho é o modelo de PINHO et al. (2013). Este modelo tem muitas semelhanças com o modelo de RODRIGUES (2011) na modelagem do crescimento celular, porém diferem na farmacodinâmica, conforme descrito no Capítulo 3. O modelo de PINHO et al. (2013) é dado por dN1 N1 N1Q = α1 N1 1 − − q1 N1 N 2 − p1 dt a1 + N1 K1 + γ N 3 N dN 2 N 2Q = α 2 N 2 1 − 2 − q2 N1 N 2 − p2 dt a2 + N 2 K2 N dN 3 NW = α 3 N 3 1 − 3 + bN 2 − p3 3 dt a3 + N 3 K3 (2.15) dQ = δ (t) − λ Q dt dW = φ (t ) − ηW dt onde, N1 , N 2 , N 3 , W e Q, são, o número de células tumorais, células normais, endoteliais anti-angiogênico, quantidade do agente quimioterápico e agente respectivamente. α i , i = 1, 2,3 denota a taxa de crescimento das populações tumoral e normal e endotelial, γ corresponde ao aumento da capacidade suporte de células tumorais influenciadas pelas células endoteliais, qi , i = 1, 2 são os coeficientes de competição entre as populações tumoral e normal, K1 , K 2 e K3 são as capacidades suporte das populações tumoral, normal e endotelial, pi, i=1,2,3 são as taxas de redução de células devido a presença de droga no corpo, ai, i=1,2,3 são constantes de Holling tipo 2 para Ni, i=1,2,3, b é a taxa de proliferação de células tumorais devido a ação das células endoteliais, δ e 6 φ são as taxas de infusão do agente quimioterápico e anti- Tem por objetivo eliminar as cédulas endoteliais responsáveis pela neovascularização. 31 angiogênico, respectivamente, λ e ƞ correspondem ao decaimento do agente quimioterápico e anti-angiogêncico, respectivamente. Os dois últimos modelos apresentados neste capítulo são os modelos baseados em equações de reação difusão e foram objeto de estudo neste trabalho. O primeiro é o modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003), baseado no crescimento de tumores sólidos genéricos, assumido por simplicidade na fase avascular, mas com capacidade para prever as interações entre as células tumorais e vasos sanguíneos, caso células escapem e migrem para o sistema linfático. Dessa forma, pode modelar a angiogênese e o crescimento vascular. O Modelo é descrito a seguir e detalhado no Capítulo 3: ∂n1 = Dn1 ∇ 2 n1 − χ∇ ⋅ ( n1∇f ) , ∂t ∂f = −δ mf , ∂t (2.16) ∂m = Dm ∇2 m + µ n1 − θ um − λ m, ∂t ∂u = Du ∇2u + F ( m, f ) − θ um − ε u. ∂t onde, n1 representa a concentração de células tumorais, f a concentração da matriz extracelular-MEC , m a concentração de enzimas degradativas ou matriz de degradaçãoMED, e u a concentração de inibidores endegenosos. Cada uma dessas variáveis (n1, m, f e u) é uma função da variável espacial e do tempo. O segundo modelo estudado neste trabalho é o de GATENBY e GAWLINSKI (1996) que foca nas interações populacionais que ocorrem em escala microscópica entre o tumor e o tecido hospedeiro. Esse processo segundo (FIDLER e HART, 1982, BISHOP, 1987, KORCZAK et al. 1988 e ELDER et al. 1989) influencia fortemente nas manifestações clinicamente significativas de câncer invasivo. O modelo não leva em conta as características morfológicas de grande escala do tumor, tal como a necrose central. É considerado que altas concentrações de íons H+ expõe as células normais ao pH intersticial tumoral, um ambiente muito ácido, o que as torna incapazes de permanecerem viáveis. Como será visto no Capítulo 3, os elementos chave do mecanismo de invasão do tumor, proposto neste modelo são baixo pH intersticial do 32 tumor devido ao metabolismo primitivo e a viabilidade reduzida do tecido normal em um ambiente de pH favorável ao tecido tumoral. As variáveis consideradas nesse modelo são: a concentração do tecido tumoral (n1), a concentração do tecido normal (n2), e a concentração do excesso de íons H+ (L). O Modelo é definido por: n ∂n1 n = α1n1 1 − 1 − r1 2 + ∇ ⋅ Dn2 [n1 ]∇n1 , ∂t k k 1 2 ( ) n ∂ n2 n = α 2 n2 1 − 2 − r2 1 − d1 Ln2 + ∇ ⋅ Dn1 [ n2 ]∇ n2 , ∂t k2 k1 ( ) (2.17) ∂L = r3 N1 − d 2 L + D2∇2 L, ∂t Vários outros tipos de modelos matemáticos são encontrados na literatura envolvendo diferentes níveis de refinamento para a evolução de tumores e suas interações com o tratamento proposto, tais como as drogas quimioterápicas (ALARCÓN et al. 2004, ARAUJO e MCELWAIN, 2004, BELLOMO et al. 2003, BYRNE et al. 2006, GATENBY, 2009, KOMAROVA 2004, MOHAMMADI et al. 2008, PERFAHL et al. 2011, SANGA et al. 2006 e SPRATT et al. 1996). 2.5 - Escolha de Modelos Nesta seção, faremos uma breve revisão de algumas ferramentas encontradas na literatura para seleção de modelos. Existem critérios de seleção tanto no quadro estatístico clássico quanto no quadro Bayesiano. Iniciamos nossa abordagem por alguns critérios clássicos, mas o foco deste trabalho está na seleção de modelos do ponto de vista Bayesiano. 2.5.1 - Critério de Informação de Akaike-AIC A idéia do Critério de Informação de Akaike-AIC (Akaike’s Information Criterion) é estimar a informação de KULLBACK e LEIBLER (1951) do verdadeiro modelo com respeito ao modelo estimado. 33 É desejável a obtenção de um bom modelo que represente de forma satisfatória os mecanismos que geraram os dados a serem ajustados. Logo, precisa-se de uma medida de distância entre um bom modelo e outros modelos candidatos, para se ter evidência de qual modelo se destaca como o mais adequado. Para isto, AKAIKE (1973) desenvolveu uma estimativa da informação de KULLBACK e LEIBLER (1951) baseada na maximização da função de log-verossimilhança acrescida de um termo de penalização que está relacionada com o número de parâmetros do modelo. Esta formulação é definida por (AKAIKE, 1973): ∧ AIC = −2l (θ, z ) + 2d (2.18) ∧ onde l (θ, z ) é a função de log verossimilhança e d o número de parâmetros do modelo. Portanto, o critério de informação de Akaike seleciona o modelo que minimiza (2.18). Para BURNHAM e ANDERSON (2002) o AIC só deve ser usado para seleção de modelos quando o número de observações disponíveis for maior ou igual a 40 vezes o número de parâmetros do modelo. Embora continue sendo um dos critérios ainda bastante utilizados na literatura para seleção de modelos, em trabalhos realizados por vários autores, foi verificado que o AIC não é consistente em ordem e tende a superestimar a dimensão do modelo (CELEUX e SOROMENHO, 1996). 2.5.2 - Critério de Informação Bayesiano –BIC O critério de Informação Bayesiano – BIC (Bayesian Information Criterion) está baseado na teoria Bayesiana de seleção de modelos. Nessa teoria são considerados vários possíveis modelos, com suas probabilidade a priori, e o objetivo é selecionar o modelo com maior probabilidade a posteriori dadas as observações z = z1 ,..., z n . Sendo M 1 , M 2 ,..., M g os modelos considerados e π ( M g ) , g = 1,..., G , as respectivas probabilidades a priori, pelo Teorema de Bayes, a posteriori de M g dado z é (SCHUWARZ, 1978) 34 π (Mg | z) = π ( z | Mg )π ( Mg ) (2.19) G ∑π ( z | M )π ( M ) t t =1 t De (2.19) vemos que, para a posteriori de M g , é necessário determinar π ( z | M g ) . Quando existem parâmetros desconhecidos nos modelos, essa distribuição é obtida por integração sobre o espaço dos parâmetros, ou seja, π ( y | M g ) = ∫ π ( y | θ, M g )π ( θ | M g ) dθ (2.20) onde, π ( θ | M g ) é a distribuição a priori para θ e π ( z | θ, M g ) é a função de verossimilhança para o modelo M g , com vetor de parâmetros θ . A quantidade π ( θ | M g ) recebe a denominação de verossimilhança integrada. Se as probabilidades a piori π ( θ | M g ) forem todas iguais, o procedimento seleciona o modelo com a maior verossimilhança integrada. A maior dificuldade com essa abordagem Bayesiana é avaliar a integral que define a verossimilhança integrada. A principal abordagem para aproximar essa integral é através da minimização do Critério de Informação Bayesiano, que é dado por (SCHUWARZ, 1978), ∧ BIC ( g ) = −2 l (θ) + d log n (2.21) onde d é o número de parâmetros a ser estimado no modelo e n é o tamanho da amostra. Este critério também é conhecido na literatura por Critério de Schwarz . O BIC é considerado consistente em ordem, o que implica que assintoticamente tende a selecionar o modelo de dimensão correta (CELEUX e SOROMENHO, 1996). 2.5.3 - Cálculo Bayesiano Aproximado - ABC Na última década, várias pesquisas foram feitas no sentido de estimar os parâmetros de sistemas determinísticos. Os métodos de otimização não linear global e local tem recebido especial atenção (MENDES e KELL, 1998, MOLES et al. 2003) e geralmente a estimação de parâmetros tem sido feita por máxima verossimilhança 35 TIMMER et al. (2004). No quadro Bayesiano, os modelos determinísticos tem sido parametrizados usando modelos hierárquicos (BANKS et al. 2005, PUTTER et al. 2002). Existem também várias abordagens baseadas em Métodos de Monte Carlo aplicados a estimação de parâmetros de sistemas determinísticos, BROWN e SETHNA (2003) e estocásticos , (SISSON et al. 2007). Quando o problema físico em questão não possui um modelo probabilístico adequado, ou se a avaliação da verossimilhança é computacionalmente intratável, então o comum é basear a avaliação deste problema a partir do nível de concordância entre os dados simulados e observados. Isto não é uma tarefa fácil particularmente quando os parâmetros do modelo simulado não são conhecidos e, portanto, devem ser inferidos a partir dos dados observados. No caso de estimação de parâmetros em que as verossimilhanças são intratáveis ou não conhecidas, trabalhos baseados em algoritmos tipo ABC tem sido aplicados com sucesso por (BEAUMONT et al. 2002, MARJORAM et al. 2003, TINA TONI et al. 2009, WEGMANN et al. 2009). A técnica se baseia no seguinte princípio: dada a distribuição a priori π (θ) para o parâmetro θ , o objetivo é aproximar a distribuição a posteriori π (θ | z ) ∝ π (θ)π (z | θ) , onde π (z | θ) é a verossimilhança de θ dados os dados z . A forma geral do ABC para estimação de parâmetros é dada abaixo, (TONI, T. et al. 2009): 1. Amostre um vetor de parâmetros candidatos θ∗ da distribuição a priori π (θ) ; 2. Simule um conjunto de dados candidatos z ∗ a partir do modelo descrito por uma distribuição de probabilidade condicional π (z | θ* ) ; 3. Compare o conjunto de dados simulados, z ∗ , com o conjunto de dados observados, z 0 , usando uma função distância, d e uma tolerância ε ; se d (z0 , z∗ ) < ε , aceite θ∗ . A tolerância ε > 0 é o nível de concordância desejada entre z 0 e z ∗ . A saída do algoritmo ABC é uma amostra de parâmetros da distribuição P(θ | d(z0 , z∗ ) < ε ) . Se ε é suficientemente pequeno, então esta distribuição será uma boa aproximação para a ‘verdadeira’ distribuição a posteriori π (θ | z 0 ) . As vezes é difícil definir uma função distância razoável d (z 0 , z∗ ) para os dados completos. Quando isso acontece pode-se usar uma distância baseada em resumos estatísticos, S(z 0 ) e S(z ∗ ) , dos dados, como por exemplo, uma estatística suficiente. O esquema de 36 tolerâncias não é unânime na literatura e varia de problema para problema. Uma sugestão de (LIEPE et al. 2014) é que seja baseado na distribuição das distâncias da população anterior. A desvantagem do algoritmo ABC acima definido, também conhecido por Algoritmo ABC de aceitação e rejeição é que a taxa de aceitação é baixa quando a distribuição a priori é muito diferente da distribuição a posteriori. No intuito de resolver este problema métodos ABC baseados em Monte Carlo via Cadeia de Markov foi introduzido por (MARJORAM et al. 2003). Esse algoritmo garante uma maior taxa de aceitação, no entanto tem a desvantagem de que devido a natureza correlacionada das amostras pode resultar em cadeias muito longas e podem ficar presas em regiões de baixa probabilidade por um longo período de tempo (TONI, T. et al. 2009). No próximo capítulo serão abordados alguns dos principais modelos matemáticos encontrados na literatura, voltado para a descrição de crescimento populacional de células tumorais. 37 CAPÍTULO 3 - MODELOS MATEMÁTICOS Neste Capítulo apresentaremos quatro modelos de evolução de tumores. Dois modelos globais envolvendo equações diferenciais ordinárias, EDO e dois modelos locais baseados em equações diferenciais parciais, EDP. Os dois primeiros modelos que serão vistos em seguida, o modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003) e o modelo de GATENBY e GAWLINSKI (1996), se destacam pelo fato, de na forma adimensional, possuírem poucos parâmetros o que do ponto de vista computacional é bastante atrativo. Além disso, considera a difusão das células tumorais pelo tecido hospedeiro. Os dois últimos, o modelo de RODRIGUES (2011) e o modelo de PINHO et al. (2013) levam em consideração a ação da angiogênese como uma importante ferramenta na disseminação das células tumorais pelo tecido hospedeiro e circunvizinhos, além de incorporar a ação de tratamentos quimioterápicos. Todos esses modelos estudados serão utilizados para estimar dinamicamente os estados ao longo da evolução temporal usando problema inverso através de técnicas de inferência Bayesiana, que será discutida nos Capítulos 4 e 5. 3.1 - O Modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003) Este modelo é baseado no crescimento de tumores sólidos genéricos, o qual será assumido por simplicidade no estágio avascular. Em geral, a maioria dos tumores neste estágio são assintomáticos. Mesmo assim, é possível que células escapem e migrem para os gânglios linfáticos podendo originar tumores mais agressivos. Para este modelo estamos particularmente interessados nas interações entre o tumor e o tecido circundante. Por isso, não atentaremos para as interações que ocorrem entre o tumor e a vasculatura. 3.1.1 - Descrição do Modelo As variáveis que são consideradas neste modelo são as seguintes: concentração de células tumorais (denotadas por n), concentração da matriz extracelular –MEC (denotada por m) , concentração de enzimas degradativas ou matriz de degradação- 38 MED (denotada por f) e concentração dos inibidores endogenosos (denotada por u). Cada uma dessas variáveis tem dependência espacial e do tempo. Como visto anteriormente no Capítulo (2) as MEDs são importantes em muitos estágios de crescimento do tumor, como invasão e metástase. Além disso, a maneira pela qual elas interagem com inibidores endogenosos, fatores de crescimento e células tumorais é muito complexa. Em virtude disso, o modelo assume que as células tumorais produzem MEDs que degradam localmente a MEC e que a MEC responde a essa agressão produzindo inibidores endogenosos (proteínas inibidoras do tecido, PIT). Com a degradação da MEC, abre-se espaço para que as células tumorais possam se mover por simples difusão, resultando assim na produção de moléculas que são atrativamente ativadas pelas células tumorais (por exemplo, fibronectina) o que ajuda na movimentação das mesmas. A movimentação das células tumorais na direção do gradiente de tais moléculas é denominado haptotaxia. A movimentação aleatória das células tumorais é tratada como um fluxo difusivo na seguinte forma ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) Faleatório = − D ( f , m ) ∇n (3.1) onde o coeficiente de difusão D ( f , m ) pode ser uma função quer seja da concentração de MED ou MEC, mas aqui o assumimos como constante. A Equação (3.1) representa a resposta quimiocinética, ou seja, o aumento da movimentação aleatória para regiões de alta concentração de MED/MEC. O fluxo haptotático foi assumido como ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) Fhaptotático = χ n∇f (3.2) onde χ > 0 (constante) é o coeficiente haptotático. Para focar inteiramente nas interações célula-matriz e como estas afetam a migração de células tumorais, o modelo não leva em conta proliferação de células tumorais. É assumido também que a MEC produz inibidores endogenosos em resposta a MED. Estes inibidores produzidos como resultado da degradação do tecido, difunde e decai através do tecido e neutraliza a MED. Assim, a equação governante para a evolução da concentração dos inibidores endogenosos é dada por ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) 39 ∂u = Du ∇ 2u + p ( m, f ) − k ( m, u ) − ϑ u ∂t (3.3) onde Du é uma constante positiva, (coeficiente de difusão dos inibidores), p é uma função que modela a produção dos inibidores, k modela a neutralização da MED e é assumido decaimento linear dos inibidores. O sistema completo de equações que descrevem as interações das células tumorais, MEC, MED e inibidores é ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) ∂n = Dn ∇ 2 n − χ∇. ( n∇f ∂t ) (3.4) ∂f = −δ mf ∂t (3.5) ∂m = Dm ∇ 2 m + µ n − θ um − λ m ∂t (3.6) ∂u = Dn∇ 2u + p ( m, f ) − θ um − ϑ u ∂t (3.7) Na Equação (3.5) assume-se que a matriz extra-celular será degradada pela ação das enzimas degradativas com taxa δ .Esse sistema é considerado para um domínio espacial Ω (a região do tecido) com condições iniciais e de contorno apropriadas para cada variável. Foi assumido que as células tumorais, e consequentemente a MED e os inibidores, permanecem dentro do domínio do tecido em consideração e foi imposto fluxo zero em ∂Ω , isto é, no contorno de Ω . Com esta suposição de fluxo zero no contorno de Ω assume-se que o que ocorre fora do tecido não influencia nas interações dentro do tecido. Assumindo ainda que, para ativar a invasão do tumor, algum efeito negativo dos inibidores endogenosos precisam ser superados pela MED, o sistema pode ser simplificado. Portanto, doravante focaremos apenas nas três primeiras equações do sistema (3.4-3.6), isto é, fazendo u = 0 , ou seja, não há inibidores endogenosos. A fim de resolver o problema numericamente, primeiro foi adimensionalizado o sistema na forma proposta por ANDERSON e CHAPLAIN, (2003). Considerou-se o tumor e os outros tecidos na forma de placas. Assim, trabalha-se com um sistema de 40 coordenadas Cartesianas e formulação unidimensional. O sistema de equações (3.4-3.6) foi então escrito na forma adimensional utilizando os seguintes grupos adimensionais ∼ τ= L2 , D ∼ n= ∼ n m , m= , n0 m0 ∼ f = f , f0 ∼ ξ= x , x0 ∼ t= t t0 onde D é um coeficiente de difusão de referência, L é um comprimento de referência que representa a distância máxima de invasão de uma célula cancerosa, enquanto que, n0 , m0 e f 0 são valores de referência para cada uma das respectivas variáveis do problema. Com essas considerações o sistema formado pelas Eq. (3.4-3.6), eliminando o til por conveniência, torna-se: ∂n(ξ , t) ∂ 2 n(ξ , t) ∂ ∂f (ξ , t) = dn −γ n(ξ , t) , 2 ∂t ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ (ξ , t) = −η m(ξ , t) f (ξ , t), ∂t ∂m(ξ , t) ∂ 2 m(ξ , t) = dm +ψ n(ξ , t) − β m(ξ , t), ∂t ∂ξ 2 em 0 < ξ < 1 e t > 0 (3.8) em 0 < ξ < 1 e t > 0 (3.9) em 0 < ξ < 1 e t > 0 (3.10) onde dn = Dn χf τm D τµ n0 , γ = 0 , η = 0 , dm = m , ψ = , β = τλ D D δ D m0 Em relação às condições de contorno foi imposto fluxo zero tanto para as células tumorais quanto para a matriz de enzimas degradativas, em ξ = 0 e ξ = 1 . Assumindo inicialmente que existe um tumor centrado em, ξ = 0 as variáveis n, f e m são supostas com as seguintes condições iniciais ANDERSON e CHAPLAIN, (2003). n (ξ , 0 ) = exp ( −ξ 2 / ε ) , em ξ ∈[0,1] (3.11) f (ξ ,0 ) = 1 − 0.5n (ξ ,0 ) , em ξ ∈[0,1] (3.12) m (ξ ,0 ) = 0.5n (ξ ,0 ) , em ξ ∈[0,1] (3.13) onde ε é uma constante positiva. Assim, considera-se a densidade inicial de células cancerígenas na forma de uma Gaussiana, para densidade inicial da matriz extracelular 41 assume-se que o tecido já foi parcialmente degradado pelo tumor e a concentração inicial da matriz de degradação como sendo proporcional a densidade inicial de células tumorais. 3.2 - O Modelo de GATEMBY E GAWLINSKI (1996 Modelar matematicamente crescimento de tumores, como já relatado no Capítulo (2), vem sendo amplamente estudado nas últimas décadas para encontrar mecanismos subjacentes no qual cânceres primários e metastáticos, que invadem e destroem tecidos normais, possam ser melhor compreendidos. O foco deste modelo está nas interações populacionais que ocorrem em escala microscópicas entre o tumor e o tecido hospedeiro. Segundo (FIDLER e HART, (1982), BISHOP, (1987), KORCZAK et al., (1988) e ELDER et al., (1989)) esse processo influencia fortemente nas manifestações clinicamente significantes de câncer invasivo. Com isso, não se consideram aqui as características morfológicas de grande escala do tumor, tal como a necrose central. Também não se consideram as mudanças genéticas que resultam dessas transformações, nem direciona o foco para a compreensão das causas dessa mudanças, o que foi brevemente discutido no Capítulo 2. No entanto, quando pensamos em um modelo que possa ser amplamente aplicável, este deve incorporar características que sejam comuns a maioria dos tumores, apesar da instabilidade genética e heterogeneidade inerentes a eles. Os trabalhos de (GATENBY, (1991), GATENBY e ROBERT A., (1995) e GATENBY, R A, (1995)) formulam hipóteses de que a reversão da transformação induzida do tecido neoplásico para formas primitivas metabólicas glicolíticas, com a crescente produção de ácido e sua difusão no tecido saudável circundante, cria um micro-ambiente peritumoral no qual as células tumorais sobrevivem e proliferam, enquanto as células normais tornam-se incapazes de permanecerem viáveis. Com essas considerações, tem-se a seguinte a sequência: • altas concentrações de ácidos H + no tumor se estenderá, por difusão química como um gradiente no tecido normal adjacente, expondo as células normais ao pH intersticial tumoral. • as células normais imediatamente adjacentes a borda do tumor são incapazes de sobreviver nesse ambiente cronicamente ácido. 42 • a perda progressiva de camadas de células normais na interface tumor-tecido hospedeiro facilita a invasão do tumor. Os elementos chave deste mecanismo de invasão do tumor são o baixo pH intersticial do tumor devido ao metabolismo primitivo e a viabilidade reduzida do tecido normal em um ambiente de pH favorável ao tecido tumoral. Para (YONEKURA et al., 1982, HAWKINS et al., 1992 e JABOUR et al., 1993), o primeiro item acima é apoiado em dados clínicos, que mostram que tumores in situ utilizam glucose em uma ordem de magnitude maior do que o tecido normal. (HEINZ et al., 1981, KALLINOWSKI et al., 1988, ASHBY, 1966 e GILLIES et al., 1994) afirmam que o pH intersticial do tumor é tipicamente 0.5 unidades menor que o tecido normal. Os estudos, sobretudo de (STUBBS et al., 1994, RUBIN, 1971, e CASCIARI et al., 1992) nos quais a segunda hipótese se apoia, mostram que células normais tem um pH ótimo de 7.4 com um declínio acentuado na viabilidade para pH abaixo de 7.1, enquanto que as células tumorais proliferam otimamente com pH de 6.8. Na verdade, DAIRKEE et al. (1995) utilizaram esta sensibilidade diferencial para suprimir o crescimento de células normais em biópsias de mama humana, permitindo o isolamento seletivo de populações tumorais. Os dados reportados por MARTIN e JAIN (1994) e MARTIN e TEO (1994)) demonstram um gradiente do pH se estendendo da borda do tumor para o tecido normal circundante, com o pH no tecido normal peritumoral significativamente menor que 7.1. As formulações matemáticas apresentadas a seguir tem por objetivo fazer previsões da estrutura e dinâmica da interface tumor-tecido hospedeiro, na presenca de excesso de ácido, e serão feitas através de um sistema de equacões de reação-difusão. Este modelo tem a simplicidade de conter poucos parâmetros celulares e subcelulares. 3.2.1 - Descrição do Modelo O modelo é um sistema composto por três equações de reação-difusão acopladas que determinam a distribuição espacial e temporal de três variáveis, a saber: • n1 (ξ , t ) , a concentração do tecido tumoral; • n2 (ξ , t ) , a concentração do tecido normal e • L (ξ , t ) , a concentração do excesso de íons H + . 43 As unidades de n1 e n 2 são células/cm3 e a concentração do excesso de íons, L é expressa em molaridade (M). ξ e t são a posição (em cm) e o tempo (em s), respectivamente. O comportamento do tecido normal é determinado por um crescimento logístico de n 2 com taxa de crescimento α 2 e capacidade suporte K 2 . A competição dessa população com o tecido tumoral é caracterizado por uma competição Lotka-Volterra, um modelo determinístico, amplamente discutido na literatura LOTKA (1925). Neles, as taxas de crescimento de cada espécie envolvida em uma interação competitiva estão associados não só ao seu próprio crescimento, mas, também ao efeito inibidor da espécie competidora expresso por um coeficiente de competição. O Modelo de LotkaVolterra que expressa a competição entre duas espécies é dado por ∂n1 n n = α1n1 1 − 1 − r1 2 ∂t K2 K1 (3.14) ∂n2 n n = α 2 n2 1 − 2 − r2 1 ∂t K1 K2 (3.15) onde r1 e r2 são os coeficientes de competição entre as espécies. O crescimento do tecido tumoral é descrito por uma equação de reação-difusão dada por GATENBY e GAWLINSKI (1996) ∂n1 n n = α1n1 1 − 1 − r1 2 + ∇ ⋅ Dn1 [n 2 ]∇ n1 ∂t K2 K1 ( ) (3.16) onde α1 e K1 são a taxa de crescimento e a capacidade suporte do tecido tumoral, respectivamente e r1 é o parâmetro de competição caracterizando a redução do crescimento tumoral devido a competição com o tecido normal por espaço e outros recursos. O segundo termo do lado direito da Equação (3.16) representa a difusão das células tumorais no tecido normal, com coeficiente de difusão Dn1 dependente ds células tumorais. A interação de n 2 com o meio ácido leva a uma taxa de morte proporcional a L e a difusão celular tem coeficiente de difusão dependente de n1 , dado por Dn2 [n1 ] . Estes efeitos podem ser escritos através da seguinte equação governante (GATENBY; GAWLINSKI, 1996) 44 ∂n2 n n = α 2 n2 1 − 2 − r2 1 − d1 Ln2 + ∇ ⋅ Dn2 [n1 ]∇ n 2 ∂t K1 K2 ( ) (3.17) dL é a concentração do excesso de ácido dependendo da taxa de mortalidade de acordo com o declínio na taxa de crescimento de células normais, devido a redução do pH do seu valor ótimo de 7.4. α 2 tem unidade 1/s, K1 e K 2 tem unidade células/cm3, d1 tem unidade 1/ ( M ⋅ s ) e r2 é adimensional. A não inclusão da taxa de morte pela concentração de ácido devido o declínio na taxa de crescimento de células tumorais na Equação (3.16) se apoia no trabalho de RUBIN (1971) para os níveis de PH por ele examinado. É assumido também que GATENBY e GAWLINSKI (1996) Dn2 [ n1 ] = 0 (3.18) n Dn1 [ n2 ] = D1 1 − 2 K2 (3.19) Na Equação (3.16) assume-se que estando o tecido normal bem regulado, não haverá difusão. Na Equação (3.19) D1 é o coeficiente de difusão para o tecido neoplásico na ausência de tecido saudável. Além disso, se a concentração local do tecido saudável atinge a capacidade suporte, o coeficiente de difusão para o tecido neoplásico é zero, ficando portanto o tumor confinado no tecido de origem. Outra hipótese relevante que é assumida neste modelo é que o tecido neoplásico é incapaz de se espalhar sem que o tecido saudável circundante tenha sua capacidade suporte diminuída, ou seja o tecido completamente saudável ( n2 = K2 ) é capaz de promover vários mecanismos de defesa (imunológico e não imunológico) para manter o tumor confinado. Considerando o tecido saudável por definição, como sendo igual a sua capacidade suporte e portanto ocupando todo o espaço do volume disponível do tecido adjacente ao tumor, temos que somente nas regiões onde a densidade de tecidos saudáveis tenham sido significativamente reduzidos é que o tecido tumoral pode efetivamente se espalhar. A Equação (3.20) modela os aspectos fenomenológicos da interação tecido-tumor hospedeiro. Nela é assumido que o excesso de H + é produzido a uma taxa proporcional a densidade de células neoplásicas e se difunde quimicamente. É também incluído um termo de absorção para levar em conta os 45 mecanismos de aumento de pH. Com essas considerações a equação governante para a concentração do excesso de íons é GATENBY e GAWLINSKI (1996): ∂L = α 3 n1 − d 2 L + D3∇ 2 L ∂t (3.20) onde α 3 é a taxa de produção em ( M ⋅ cm 3 / célula ⋅ s ) , d 3 é a taxa de reabsorção em (1/ s ) e D3 é a constante de difusão de íons H + em ( cm 2 / s ) . O sistema completo que descreve as interações tumor-tecido hospedeiro é dada por GATENBY e GAWLINSKI, (1996) n ∂n1 n = α1n1 1 − 1 − r1 2 + ∇ ⋅ Dn1 [n 2 ]∇ n1 ∂t k2 k1 ( ) (3.21) n ∂n2 n = α 2 n2 1 − 2 − r2 1 − d1 Ln2 + ∇ ⋅ ( D2 [n1 ]∇ n 2 ) ∂t k1 k2 (3.22) ∂L = α 3 n1 − d 2 L + D3∇ 2 L ∂t (3.23) No sistema (3.21-3.23), assim como no modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003), considerou-se o tumor e os outros tecidos na forma de placas. Assim, trabalhase com um sistema de coordenadas Cartesianas e formulação unidimensional. O sistema foi então escrito na forma adimensional utilizando os seguintes grupos adimensionais GATENBY e GAWLINSKI (1996) L0 = α 3 K1 / d3 , η1 = n1 n L α2 , η2 = 2 , Λ = , τ = α 2t , ξ = x K1 K2 L0 D3 resultando em GATENBY e GAWLINSKI (1996) ∂n1 (ξ ,τ ) ∂ = ρ1n1 (ξ ,τ ) (1 − n1 ( ξ , τ ) ) + ∂τ ∂ξ ∂n1 ∆1 (1 − n2 (ξ , τ ) ) ∂ξ (ξ ,τ ) (3.24) ∂ n2 ( ξ , τ ) = n2 (ξ ,τ ) (1 − n2 (ξ , τ ) ) − δ1Λ n2 ( ξ ,τ ) ∂τ (3.24) ∂Λ (ξ , τ ) ∂ = δ 2 ( n1 ( ξ ,τ ) − Λ (ξ , τ ) ) + Λ (ξ , τ ) ∂τ ∂ξ (3.25) onde, 46 d1 α1 K1 d 2 α 2 δ1 = ρ1 = α1 α (3.26) 2 D ∆1 = 1 D2 δ2 = d2 α2 são as quatro quantidades adimensionais com os quais o modelo foi parametrizado. Vale salientar que no sistema adimensionalizado, os parâmetros r1 e r2 que aparecem nas Equações (3.21 e 3.22) foram assumidos como sendo iguais a zero. Segundo GATENBY e GAWLINSKI (1996), isto não muda o comportamento qualitativo do modelo e facilita a derivação de resultados analíticos úteis para a compreensão do fenômeno em estudo. Além do mais, para tumores agressivamente invasivos não existem regiões de coexistência tumorais e normais, então a competição Lotka-Volterra não tem efeito na estrutura e dinâmica da interface tumor-tecido hospedeiro. Outa consideração importante, é que quando δ1 < 1, existem regiões de coexistência entre o tecido tumoral e saudável, isto é, trata-se de um tumor não invasivo e passa a ser invasivo quando δ1 > 1 (GATENBY e GAWLINSKI, 1996). Em relação às condições de contorno, a exemplo do que foi feito no modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003), foi imposto fluxo zero tanto para as células tumorais quanto para a matriz de enzimas degradativas, em ξ = 0 e ξ = 1 . Assumindo inicialmente que existe um tumor centrado em, ξ = 0 as variáveis n1, n2 e Λ são supostas com as seguintes condições iniciais. n1 (ξ , 0 ) = exp ( −ξ 2 / ε ) , em ξ ∈[0,1] (3.27) n2 (ξ ,0 ) = 1 − 0.5n1 (ξ ,0 ) , em ξ ∈[0,1] (3.28) Λ (ξ ,0 ) = 0.5n1 (ξ ,0 ) , em ξ ∈[0,1] (3.29) onde ε é uma constante positiva. Assim, considera-se a densidade inicial de células cancerígenas na forma de uma Gaussiana. Para densidade inicial de células normais assume-se que o tecido já foi parcialmente degradado pelo tumor e a concentração 47 inicial do excesso de íons H + como sendo proporcional a densidade inicial de células tumorais. 3.3 - O Modelo de RODRIGUES (2011) O presente modelo é descrito por um sistema de quatro equações diferenciais ordinárias e foca nas interações entre as células tumorais, normais e endoteliais na presença de um dado agente quimioterápico. Este modelo se pauta no uso de drogas ciclo-inespecíficas, pois estas são mais dose-dependentes do que as ciclo-específicas e além disto atuam igualmente sobre as células proliferativas e não proliferativas, as quais são indistintas perante o modelo (RODRIGUES, 2011, RODRIGUES et al. 2012). 3.3.1 - Descrição do Modelo As variáveis envolvidas no sistema e que descrevem as interações mencionadas acima são: • N1 ( t ) , o número de células tumorais; • N2 ( t ) , o Número de células normais; • N3 ( t ) , o número de células endoteliais; • Q ( t ) , a massa de droga quimioterápica; A angiogênese foi considerada explicitamente no modelo, de modo a representar a taxa de variação do número de células endoteliais N3 ( t ) . A equação governante para esta variável foi obtida de HAHNFELDT et al. (1999), o qual apresentam um modelo de equações diferenciais ordinárias para crescimento de tumor sob fatores inibidores (TIF)7 e estimuladores (TAF)8 , em que a medida que o tumor produz tais fatores, a capacidade suporte é alterada. O modelo proposto por RODRIGUES. (2011) assume então a forma 7 8 Tumor inhibiting factors. Tumor angiogenic factors. 48 dN1 (t ) = α1 N1 f1 ( N1 , N 3 ) − g1 ( N1 , N 2 , N 3 ) − h1 ( N1 , Q ) dt (3.30) dN 2 (t ) = α 2 N 2 f 2 ( N 2 ) − g 2 ( N1 , N 2 , N ) − h2 ( N 2 , Q ) dt (3.31) dN 3 (t ) = m ( N 3 ) + n ( N1 , N 3 ) − q ( N1 , N 3 ) − h3 ( N 3 , Q ) dt (3.32) dQ (t ) = δ ( t ) − u ( N1 , N 2 , Q ) dt (3.33) onde α i denota a taxa de crescimento das populações tumorais e normais, respectivamente; f i ≥ 0 representa a competição intraespecífica; gi ≥ 0 representa a competição interespecífica entre as células tumorais e normais; hi ≥ 0 ( i = 1, 2,3) é a interação de cada população celular com a droga; n ( ⋅) ≥ 0 modela a capacidade do tumor induzir vascularização e está relacionado ao TAF; q ( ⋅) ≥ 0 está relacionado com os fatores inibidores; m ( ⋅) ≥ 0 representa a proliferação das células endoteliais no interior do tumor e a migração das células vasculares da região peritumoral para dentro do tumor D’ONOFRIO e GANDOLFI (2004) e u ( ⋅) ≥ 0 modela a excreção da droga. As funções fi ( ⋅) , gi ( ⋅) , hi ( ⋅) , m ( ⋅) , n ( ⋅) , q ( ⋅) e u ( ⋅) são dadas por RODRIGUES, (2011) f1 ( N1 , N 3 ) = 1 − N1 K1 + N 3 f2 ( N2 ) = 1 − N2 K2 α1 g1 ( N1 , N 2 , N3 ) = r1 k1 + N3 g 2 ( N1 , N 2 ) = r2 α2 K2 µ N1Q h2 ( N 2 , Q ) = ν N 2Q 49 (3.35) N1 N 2 N1 N 2 h1 ( N1 , Q ) = a+Q b+Q (3.34) (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) h3 ( N3 , Q ) = η N3Q c+Q (3.40) m ( N3 ) = ϕ N3 (3.41) n ( N1 , N3 ) = φ N1 (3.42) q ( N1 , N3 ) = ω N3 N12/3 (3.43) u ( N1 , N 2 , Q ) = λQ (3.44) Vale salientar que as equações (3.38-3.40) modelam a saturação da resposta da droga em Q, a equação (3.43) foi extraída de (HAHNFELDT et al. (1999) e a equação (3.44) é a equação que governa a massa de droga no corpo, baseado em um modelo farmacocinético de primeira ordem, λ é a taxa de decaimento da droga e está relacionada a meia vida da droga através da expressão λ= ln2 t1/ 2 (3.45) Com essas considerações, o sistema (3.30-3.33) pode ser reescrito como RODRIGUES, (2011) dN1 (t ) N1 N2 N1Q = α1 N1 1 − − r1 −µ dt k1 + N1 a+Q k1 + N1 (3.46) N dN 2 (t ) N NQ = α 2 N 2 1 − 2 − r2 1 −ν 2 dt k2 k2 b+Q (3.47) dN 3 (t ) NQ = ϕ N 3 + φ N1 − ω N1 N 3 − η 3 dt c + N3 (3.48) dQ (t ) = δ (t ) − λ Q dt (3.49) As condições iniciais utilizadas na solução do problema numérico são da forma: N1 (0) = N10 ; (3.50) N 2 (0) = N 20 ; (3.51) N 3 (0) = N 30 ; (3.52) Q1 (0) = Q10 ; (3.53) 50 onde N10 > 0, N20 >, N30 > 0, Q10 = 0 . A equação (3.53) mostra que no início do tratamento a droga ainda não está interagindo com as células. A função taxa de infusão δ(t) da droga quimioterápica é dada por uma função periódica RODRIGUES et al. (2012), na forma δ = constant δ (t ) = 0 , n ≤ t ≤ n +τ , n +τ < t < n + T 0 (3.54) onde T é o período de tempo entre as infusões, n=0, T, 2T,…, e τ a duração das infusões. 3.4 - O Modelo de PINHO et al., (2013) Este modelo é descrito por um sistema de cinco equações diferenciais ordinárias e tem o objetivo de simular as interações entre células tumorais, normais, endoteliais, agente quimioterápico e agente anti-angiogênico no crescimento de tumor. 3.4.1 - Descrição do Modelo As variáveis envolvidas no sistema e que descrevem as interações mencionadas acima são: • N1 ( t ) , o número de células tumorais; • N2 ( t ) , o número de células normais; • N3 ( t ) , o número de células endoteliais; • Q ( t ) , a massa de droga quimioterápica; • W ( t ) , a massa de droga anti-angiogência; O sistema completo é dado por PINHO et al. (2013) dN1 (t ) = α1 N1 f1 ( N1 , N 3 ) − g1 ( N1 , N 2 ) − h2 ( N1 , Q ) dt (3.55) dN 2 (t ) = α 2 N 2 f 2 ( N 2 ) − g 2 ( N1 , N 2 ) − h2 ( N 2 , Q ) dt (3.56) 51 dN 3 (t ) = α 3 N 3 f 3 ( N 3 ) + bN1 − h3 ( N 3 , W ) dt (3.57) dQ (t ) = δ (t ) − u (Q ) dt (3.58) dW (t ) = φ ( t ) − v (W ) dt (3.59) onde os subscritos i = 1, 2 e 3 denotam células tumorais,normais e endoteliais, respectivamente, αi é a taxa de crescimento da população celular, fi(.) é a inibição de crescimento devido à competição intraespecífica de células por nutrientes, etc, e gi(.) é a inibição de crescimento devido a competição interespecífica de células por nutrientes, etc. As funções hi(.) , para i = 1, 2 e 3, modelam as interações das populações de células com a quimioterapia e as drogas anti-angiogênicas (PINHO et al. 2013). A taxa de infusão do agente quimioterápico é dado por δ(t), enquanto u(Q) , é o modelo para o consumo e excreção das drogas. Efeitos análogos são, respectivamente, modelados pelas funções φ(t) e v(W) para a droga anti-angiogênica. O modelo dado pela Equações (5.55-3.59) negligencia qualquer dependência das funções u(Q)e v(W) no que diz respeito aos números de células (PINHO et al., 2011 e PINHO et al., 2013). Outras funções propostas em PINHO et al. (2013) são usados aqui, e são consistentes com a fenômenos fisiológicos e biológicos, conforme descrito a seguir. O modelo logístico é utilizado para as funções fi(.), i = 1, 2 e 3, isto é, f1 ( N1 , N 3 ) = 1 − N1 K1 + γ N 3 f2 ( N2 ) = 1 − N2 K2 f3 ( N3 ) = 1 − ; (3.60) ; (3.61) N3 ; K3 (3.62) onde Ki, i=1,2,3 representa a capacidade suporte para as células. Para o estágio vascular de crescimento do tumor, a capacidade de suporte K1, células tumorais é aumentada por uma proporção γ de células endoteliais devido a angiogênese, tal como mostrado pela equação (3.60). As funções gi(.), são dadas sob a forma (PINHO et al., 2013): 52 gi ( N1 , N2 ) = qi N1 N2 para i=1,2. (3.63) onde qi, i = 1 e 2, são coeficientes que definem a competição entre o tumor e as células normais. A função g1 ( N1 , N2 ) modela os efeitos negativos do tumor ao longo dos tecidos normais, enquanto g2 ( N1 , N2 ) representa os mecanismos de auto-defesa do corpo contra o tumor. Por outro lado, notamos na equação (3.57) que a taxa de crescimento de células endoteliais é assumida como sendo diretamente proporcional ao número de células tumorais, através da constante b. Modelos farmacocinéticos de primeira ordem são usados para governar as massas de drogas no corpo. Para o agente de quimioterapia, temos: u (Q) = λQ (3.64) onde ξ a taxa de decaimento que está relacionada com a meia vida da droga (t1/2) como ξ= ln2 t1/ 2 (3.65) Expressões similares são usadas para a droga anti-angiogênica (PINHO et al. 2011, PINHO et al. 2013) Nas expressões (3.55 e 3.59) é assumido que as células tumorais e são somente afetadas diretamente pela droga quimioterápica, enquanto as células endoteliais são somente afetadas diretamente pela droga anti-angiogênica, através das funções hi(.) que descrevem a farmacodinâmica dessas drogas. Funções de Holling's tipo 2 foram usadas para hi(.) na forma (PINHO et al. 2013) h1 ( N1 , Y ) = p1 N1Y a1 + N1 h2 ( N 2 , Y ) = p2 N2 Y a2 + N 2 h3 ( N 3 , W ) = p3 N 3W a3 + N 3 ; (3.66) ; (3.67) (3.68) onde pi, i = 1, 2 e 3 são taxas de redução de células devido a presença de droga no corpo. Aqui as ações das células endoteliais e do agente anti-angiogênico potencializando a ação quimioterápica, assumido em referência (PINHO et al. 2013), são negligenciadas. É importante lembrar que a função hi , i=1,2,3, neste modelo é 53 diferente da apresentada no modelo de RODRIGUES (2011). Aqui a saturação da farmacodinâmica se dá pelo número de células, enquanto no modelo de RODRIGUES (2011) se dá pela massa de droga no corpo. Por fim, para a função taxa de infusão δ(t) da droga quimioterápica foi usada a mesma expressa da equação (3.54). Uma expressão similar foi usada para a taxa de infusão da droga anti-angiogênica, φ(t). Todas as funções e parâmetros que aparecem nas equações (3.60-3.68) são positivos. Com isto o sistema formado pelas equações (3.55-3.59) pode ser reescrito como dN1 (t ) N1 N1 Q = α1 N1 1 − − q1 N1 N 2 − p1 dt a1 + N1 K1 + γ N 3 (3.70) N dN 2 (t ) N2 Q = α 2 N 2 1 − 2 − q2 N1 N 2 − p2 dt a2 + N 2 K2 (3.71) N dN 3 (t ) NW = α 3 N 3 1 − 3 + bN 2 − p3 3 dt a3 + N 3 K3 (3.72) dQ (t ) = δ ( t ) − λQ dt (3.73) dW (t ) = φ ( t ) − ηW dt (3.74) As equações (3.70-3.74) estão sujeitas as seguintes condições iniciais N1 (0) = N10 (3.75) N 2 (0) = N 20 (3.76) N3 (0) = N30 (3.77) Q(0) = 0 (3.78) W (0) = 0 (3.79) onde N10 > 0, N20 > 0 and N30 > 0 são os números de células tumorais, normais e endoteliais, respectivamente, no início do tratamento de quimioterapia. Consideramos que nenhuma droga quimioterápica ou anti-angiogênica são encontradas no corpo quando o tratamento é iniciado (ver equações 3.78,3.79). O número de células tumorais pode ser estimado a partir do seu tamanho; um tumor de 10 mm de diâmetro contém 54 aproximadamente 109 células e 1 g de massa, enquanto todo o corpo humano contém cerca de 1013 células (SPRATT et al. 1996). 55 CAPÍTULO 4 - PROBLEMA DE ESTIMATIVA DE ESTADO Em vários campos da física e engenharia, observações diretas de algumas variáveis são difíceis. Nestes casos, podem-se medir outras variáveis mais fáceis e utilzar modelagens matemáticas adequadas para extrair sequencialmente informações da variável que é difícil de ser medida. Este tipo de problema dinâmico de medição indireta é denominado de problema de estimativa de estado e é um tipo de problema inverso (KAIPIO e SOMERSALO 2004). Neste de tipo de problema os dados disponíveis devem ser combinados com o conhecimento prévio acerca do fenômeno e dos dispositivos de medição, no sentido de produzir estimativas sequenciais das variáveis dinâmicas desejadas. Isto é realizado de forma que o erro associado seja minimizado estatisticamente (MAYBECK, 1979). A aplicação de problemas inversos no estudo do crescimento de tumores precisa da aquisição de medidas de alguma variável envolvida nos modelos, o que pode ser feita de forma simulada ou através da realização de experimentos in vivo ou in vitro. Inicialmente e por falta de dados reais utilizamos medidas simuladas para todos os modelos estudados. Foi utilizados dados reais apenas para os dois últimos modelos estudados, simplificando-os de modo a desconsiderar as interações célula-célula. Neste trabalho, foi utilizado o algoritmo de LIU e WEST (2001) para estimar conjuntamente parâmetros e variáveis de estado. Os métodos para solução de problemas de estimativa de estado seguem a metodologia apresentada por DOUCET et al. (2001), cuja ideia é estimar as variáveis de estado baseado na informação de alguma variável que possa ser medida e um modelo estocástico de evolução dessas variáveis. Em um problema de estimativa de estado consideramos o seguinte modelo de evolução: xk =f(xk-1 ,vk-1 ) (4.1) onde o vetor x é o vetor de estado que contém todas as variáveis que serão estimadas dinamicamente. O subscrito k = 1, 2, ..., representa o instante de tempo t, f uma função não linear das variáveis de estado x e do vetor de incertezas, v, associados a essas variáveis. 56 Sendo z k ∈ ℝ nz as medidas observadas e n ∈ ℝ nn as incertezas associadas a essas medidas, podemos considerar o modelo de observação ou de medidas como: z k = h(x k , n k ) (4.2) O problema de estimação de estado tem por objetivo obter informações sobre xk baseado nas equações (4.1 - 4.2), e nas medições z k e está apoiado nas seguintes suposições (ARULAMPALAM et al., 2002, KAIPIO e SOMERSALO, 2004): A sequência xk para k = 1, 2, ..., é um processo Markoviano de primeira (i) ordem, isto é: π xk x0 ,x1 ,…,xk-1 =π(xk |xk-1 ) (4.3) A sequência zk para k = 1,2, ..., é um processo Markoviano com respeito à (ii) história de xk, isto é: π zk x0 ,x1 ,…,xk-1 =π(zk |xk ) (4.4) A sequência xk depende das observações passadas através de sua própria (iii) história, isto é: π xk xk-1 ,z1:k-1 =π(xk |xk-1 ) (4.5) onde a expressão π(a|b) representa a densidade de probabilidade condicional de a dado b. Para o modelo de evolução e observação dado pelas equações (4.1-4.2) respectivamente, assume-se que (KAIPIO; SOMERSALO, 2004): (a) Os vetores de ruidos vi e vj para i ≠ j, bem como ni e nj são mutuamente independentes e mutuamente independentes do estado inicial x0. (b) Os vetores vi e nj são mutuamente independente para todos os valores de i ≠ j. Diferentes problemas podem ser considerados com os modelos de evolução e observação KAIPIO e SOMERSALO (2004), dentre eles destacamos: • problema de previsão, cujo objetivo é estimar π(xk |z1:k-1 ); • problema de filtragem, cujo objetivo é estimar π(xk |z1:k ); • problema de suavização com retardo fixo (fixed-lag domain smoothing problem), cujo objetivo é estimar π(xk |z1:k+p ), onde p ≥ 1 é o retardo fixo; • problema de suavização de domínio completo (whole-domain smoothing problem), cujo objetivo é estimar π(xk |z1:k ), onde z1:k = zi , i = 1, 2, ..., k é sequência completa das medidas. 57 Sendo π(x0 |z0 )= π(x0 ) uma informação a priori no instante inicial t0 em um problema de filtragem o objetivo é a obtenção da distribuição a posteriori dada por π(xk |z1:k ). Esta posteriori pode ser pode obtida através de filtros Bayesianos em duas etapas: previsão e atualização, conforme ilustrado na Figura 4.1. Dentre os diversos métodos Bayesianos para estimativas de parâmetros e/ou variáveis de estado destacam-se o MCMC9 , também conhecido por Métodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov, o filtro de Kalman e os filtros de partículas. Os filtros de partículas constituem a técnica usada neste trabalho, para a estimação combinada de variáveis de estado e parâmetros para o problema de crescimento de tumor. Figura 4.1 – processo de previsão e atualização dos dados para estimativa de variáveis de estado (KAIPIO e SOMERSALO, 2004) 4.1 - Filtro de Partículas O filtro de partículas é um método aplicável a qualquer transição de estado, e é representado por uma densidade a posteriori de uma distribuição de partículas (amostras) no espaço de estado. As partículas são os possíveis estados do processo, que 9 Monte Carlo Markov Chain 58 podem ser representados como pontos no espaço de estado do processo, isto é xi0:k ,i = 0,1,…,N onde N é o número de partículas do sistema. Cada amostra tem seus respetivos pesos definidos como wik ,i = 0,1,…,N. Considerando o conjunto de todas a variáveis de estado até o instante tk, x0:k = xj , j = 0,1,…, k, e com os pesos normalizados ∑Ni=1 wik =1, a distribuição a posteriori no instante tk, é aproximada da seguinte forma (DOUCET et al., 2001, KAIPIO e SOMERSALO, 2004, RISTIC et al., 2004): π(x0:k |z1:k ) ≈ ∑Ni=1 wik δ(x0:k -xi0:k ) onde (4.6) (∙) é a função delta Dirac. Retomando as hipóteses do problema de filtragem já descritas, a equação (4.6), pode ser escrita como: π(x0:k |z1:k ) ≈ ∑Ni=1 wik δ(xk -xik ) (4.7) O cálculo dos pesos é definido em (RISTIC et al., 2004): wik ∝wik-1 π zk xik π xik xik-1 q xik xi ,zk (4.8) k-1 onde q(∙) é a densidade de importância, que minimiza a variância dos pesos i condicionados em xk−1 e zk, e é dado por q(xik |xik-1 ,zk )=π(xik |xik-1 ,zk ). No entanto, para a maioria dos problemas de interesse prático, esta escolha ótima é analiticamente intratável. Então, a densidade de importância é tomada como a densidade de transição, isto é, q(xik |xik-1 ,zk )=π(xik |xik-1 ), e a equação 4.8, fica reduzida a: wik ∝wik-1 π(zk |xik ) (4.9) Este tipo de filtro de partícula é conhecido como filtro de amostragem por importância sequencial (SIS) (HAMMERSLEY, J. M. E HANSCOMB, 1964). A aplicação sequencial do filtro de partículas pode resultar no fenômeno de degeneração, onde um número pequeno de partículas possui peso importante e o conjunto de partículas não representa de maneira fiel a função de densidade de probabilidade a posteriori (DOUCET et al., 2001, RISTIC et al., 2004). Este problema pode ser resolvido aumentando o número de partículas ou, de forma mais eficiente, selecionando-se as melhores partículas através de alguma técnica de reamostragem. O filtro baseado nesta técnica é conhecido como filtro de amostragem e reamostragem por importância (SIR) (GORDON et al., 1993). 59 -1 No filtro SIR, a reamostragem envolve um mapeamento de xik ,wik em xi* k ,N com pesos uniformes, onde é feita uma eliminação das partículas de baixo peso e uma replicação das partículas com pesos maiores (DOUCET et al., 2001, ORLANDE et al., 2008). A figura 4.2 apresenta o processo da reamostragem, onde quatro aspectos são levando em conta: o primeiro é que as partículas tem peso uniforme no instante de tempo t = tk; o segundo aspecto é que após obter as medições os pesos das partículas são atualizados; o terceiro mostra que as partículas com menor peso são descartadas e as que tem maior peso são replicadas e dão origem a novas partículas próximas às regiões de maior probabilidade (reamostragem) e o quarto aspecto é que após a reamostragem as partículas novamente ganham pesos uniformes para o processo de evolução para o instante de tempo t = tk+1. Este processo de reamostragem é feito para todos os instantes de tempo tk. O algoritmo SIR é descrito detalhadamente em RISTIC et al. (2004) e resumido na Tabela 4.1. Neste trabalho consideramos as incertezas nas medidas como ruídos Gaussianos, aditivos, não correlacionados, com média zero e desvio padrão constante conhecido. Figura 4.2 – Filtro de Partículas 60 Tabela 4.1 – Algoritmo do Filtro de Partículas SIR (RISTIC et al., 2004). 1. Inicialização a) Defina k = 1; b) Tome um conjunto de partículas da distribuição inicial xik = π(xk |x" ! ). 2. Cálculo dos pesos a) Calcule os pesos wik = π(zk |xik ); b) Normalize os pesos wik = ∑N wik i i=1 wk . 3. Reamostragem (a) Construa a soma dos pesos acumulativos (CSW) ci =ci-1 +wik , para i = 1, ..., N, com co = 0; (b) Defina i = 1 e gere u1 de uma distribuição uniforme U[0,N-1]; (c) Para j = 1, ..., N , faça: i. Calcule uj =u1 +N-1 (j-1); ii. Enquanto uj > ui faça i = i+1; iii. Designe as partículas xk =xik ; iv. Designe os pesos para wk =N-1 . j j 4. Cálculo da Média a Posteriori e o desvio padrão " " #̅ = ∑& "'! # % , ( =) & & ! " " + ∑& "'! % (# − #̅ ) 5. Evolução do Modelo Se k= kfinal , pare a) Defina k = k + 1, b) xik = π(xk |x" !) para i=1, ..., N. 6. Retorne ao Passo 2. Apesar do filtro SIR reduzir os efeitos de degeneração, replicando as partículas com pesos maiores, um outro problema pode surgir: como as partículas com pesos maiores são replicadas muitas vezes, a amostra final pode ter uma grande quantidade de partículas oriundas de uma mesma partícula, empobrecendo assim a amostra. Caso o modelo de evolução apresente um nível de ruído baixo isto passa a ser um problema 61 bastante significativo (ARULAMPALAM et al., 2001). Neste caso, pode ocorrer o colapso de todas as partículas em uma única partícula em intervalos de tempo muito pequenos (DOUCET et al., 2001). Uma medida da degeneração adotada pelos filtros de partículas é o tamanho efetivo da amostra Neff introduzido por (KONG; LIU, 1994) e estimado através da equação ∧ N eff = 1 ∑ (w ) N i =1 i k (4.13) 2 Para superar o problema do empobrecimento da amostra uma variação do filtro SIR, denominado ASIR10 (Amostragem e reamostragem por importância auxiliar) foi introduzido por (PITT; SHEPHARD, 1999). Nesse filtro o diferencial em relação ao SIR, é uma etapa de reamostragem no tempo k-1, usando as medidas disponíveis no tempo k antes das partículas avançarem para o tempo k . Por outro lado, isso aumenta o tempo computacional quando comparado ao SIR uma vez que a solução do problema direto em cada etapa da evolução de estado precisa ser obtida duas vezes. A Tabela 4.2 ilustra o algoritmo ASIR Tabela 4.2 – Algoritmo do Filtro de Partículas ASIR (RISTIC et al., 2004). 1. Passo 1 a) Gere x " para i = 1, ...,N a partir da densidade a priori π(xk |x" !) e calcule -" = .[x |x " ! ]; 2. Passo 2 a) Calcule o peso wik = π(zk |μik )wik-1 . usando a função de verossimilhança; b) Calcule o peso total t = ∑i wik ; c) Normalize os pesos das partículas wik =t -1 wik . 3. Passo 3 - Reamostragem (a) Construa a soma dos pesos acumulados (CSW) ci =ci-1 +wik , para i = 1, ..., N, com co = 0; (b) Faça i = 1 e gere u1 de uma distribuição uniforme U[0,N-1]; (c) Para j = 1, ..., N , faça: 1-Calcule uj =u1 +N-1 (j-1); 2-Enquanto uj > ui faça i = i+1; 10 Auxiliary Sampling Importance Resampling 62 3-Designe os índices ij = i. 4. Passo 4 - Amostragem (a) 3 Gere x a partir da densidade a priori π(xk |x" 4 ! ); (b) Com a função de verossimilhança, calcule os novos pesos j π(zk |xk ) j wk = π(zk |μik ) j 5. Passo 5 a) Calcule o peso total t = ∑i wjk ; b) Normalize os pesos das partículas wk =t -1 wk . j j 6. Cálculo da média a posteriori e desvio padrão " " #̅ = ∑& "'! # % ,6( = ) & & ! " " + ∑& "'! % (# − #̅ ) 7. Evolução do Modelo a) Faça k = k + 1, se k = kfinal , então pare; b) xik = π(xk |x" !) para i=1, ..., N. 8. Retorne ao passo 2 Os filtros SIR e ASIR se destinam a obtenção de estimativas de variáveis de estado. Nesse trabalho, estamos particularmente interessados na estimativa conjunta de parâmetros e variáveis de estado, uma vez que estimar os parâmetros que regulam a dinâmica de crescimento do tumor também é muito importante para a compreensão do fenômeno. Por isso utilizamos o algoritmo proposto por LIU e WEST (2001). Neste algoritmo, que é uma generalização do filtro ASIR, a inferência é feita sobre a densidade a posteriori conjunta π(xk ,θ|z1:k ), onde θ é o vector de parâmetros e xk as variáveis de estado. O filtro é baseado na hipótese de WEST (1993), a qual assume que, para um vetor de parâmetros estáticos θ, a estimação da densidade a posteriori π ( θ | z k ) é feita por densidade suavizada via kernel, LIU e WEST (2001) π ( θ | z k ) ≈ ∑ i =1 wki N ( θ | m ik , h 2 Vk ) N 63 (4.14) assim a distribuição artificial dos parâmetros θ é representada pela mistura ponderada por wki de distribuições normais com média mik e variância h 2 Vk . LIU e WEST, (2001) sugerem que a constante h , parâmetro de suavização, seja escolhida como uma função suave e decrescente de N . Outras considerações feitas por LIU e WEST, (2001) são: mik = aθik + (1 − a ) θk Vk = 1 N (4.15) a= (1 − h ) (4.16) θ= 1 N θik ∑ N i =1 N (4.17) 2 ∑ (θ N i =1 i k − θ )( θik − θ ) T (4.18) onde T denota o transposto da matriz. Além disso, a está relacionado a um fator de redução δ da seguinte forma LIU e WEST, (2001) a= 3δ − 1 2δ (4.19) sendo 0,95<δ<0,99. O algoritmo do filtro de partículas para estimativa combinada de parâmetros e variáveis de estado no passo de tempo tk-1, com base nas medidas disponíveis no tempo tk. é dado na Tabela 4.3 abaixo: Tabela 4.3 – Algoritmo de Filtro de Partículas (LIU e WEST, 2001). 1. Passo 1 a) Defina δ ∈[0,95;0,99]; b) Defina a como na equação (4.19); c) Faça ℎ+ de acordo com a equação (4.16); d) Faça k =1. e) Gere x " para i = 1, ...,N a partir da densidade a priori π(xk |x" μik =E[xk |xik-1 ,θik-1 ] e mik-1 como na equação (4.15) 2. Passo 2 64 !) e calcule o valor esperado a) Usando a função de verossimilhança calcule wik = π(zk |μik ,mik-1 )wik-1 . b) Calcule o peso total t = ∑i wik ; c) Normalize os pesos das partículas wik =t -1 wik 3. Passo 3 - Reamostragem (a) Construa a soma dos pesos acumulativos (CSW) ci =ci-1 +wik , para i = 1, ..., N, com co = 0; (b) Faça i = 1 e gere u1 de uma distribuição uniforme U[0,N-1]; (c) Para j = 1, ..., N , faça: i. Calcule uj =u1 +N-1 (j-1); ii. Enquanto uj > ui faça i = i+1; iii. Designe os índices ij = i. 4. Passo 4 - Amostragem (a) j j i Gere θk para j = 1, ...,N a partir de N θk |mk-1 ,h2 Vk-1 j 3 (b) Gere x a partir da densidade a priori π(xk |xi (c) j i ! ,θk ); Com a função de verossimilhança, calcule os novos pesos j j j wk = π(zk |xk , θk ) j j π(zk |μik , mk-1 ) 5. Passo 5 6. j a) Calcule o peso total t = ∑i wk ; b) Normalize os pesos das partículas wk =t -1 wk . j j Cálculo da média a posteriori e o desvio padrão #̅ = % " # " , ( =) 7. Evolução do Modelo a) Faça k = k + 1, se k = kfinal + 1, então pare; b) xik = π(xk |x" 8. !) para i=1, ..., N Retorne ao passo 2 65 & & ! " " + ∑& "'! % (# − #̅ ) CAPÍTULO 5 - PROBLEMAS DE SELEÇÃO DE MODELOS Neste Capítulo é mostrado uma importante ferramenta de inferência Bayesiana denominada Cálculo Bayesiano Aproximado - ABC, com intuito de selecionar dentre vários modelos concorrente para explicar um mesmo fenômeno, qual deles melhor se ajusta aos dados. As vezes se torna difícil encontrar um modelo que ajuste razoavelmente um conjunto de dados completo, uma vez que é possível que determinadas partes dos dados possam ser melhor explicadas por diferentes modelos. Especialmente no caso de seleção de modelos, que vislumbram identificar a dinâmica de crescimento de tumor, que é de natureza muito complexa, identificar um melhor modelo não é uma tarefa simples. Neste trabalho aplicamos o método ABC baseado no Método Sequencial de Monte Carlo- (SMC)11 para estimação de parâmetros e seleção de modelos, a fim de que uma vez escolhido o melhor modelo, as saídas deste sejam usadas como dados de entrada para outra importante técnica inferencial Bayesiana mencionada no Capítulo 4, os filtros de partículas, com dados de repetições dos experimentos. 5.1.1 - Cálculo Bayesiano Aproximado via Método Sequencial de Monte Carlo– ABC SMC Para superar algumas desvantagens apresentadas pelo ABC na subseção 2.53, SISSON et al., (2007) desenvolveram o algoritmo ABC baseado no Método de Monte Carlo Sequencial (SMC). Nessa abordagem, as partículas são propagadas através de uma sequência de distribuições intermediárias, também chamadas de população, até que se tenha na população final uma boa aproximação para a distribuição a posteriori desses parâmetros. O algoritmo de SISSON et al. (2007) foi estendido por TONI, T. et al. (2009) de forma a estimar tanto parâmetros como selecionar modelos. Vale ressaltar que, quando estamos interessados apenas na estimação de parâmetros e tem-se um modelo conhecido para representar a física do problema o uso do ABC surge como uma alternativa aos métodos clássicos. No entanto, quando há mais de um modelo candidato 11 Sequential Monte Carlo. 66 plausível, disponível para explanar os dados observados, temos aí um problema de seleção de modelos. Os trabalhos de (DROVANDI, C. C.; PETTITT, 2011, DROVANDI, CHRISTOPHER C; PETTITT, 2011, TONI; STUMPF, 2010a, TONI, T. et al., 2009) mostram com sucesso como proceder a escolha de modelos em dados de sistemas biológicos usando ABC SMC. O objetivo aqui é estimar a distribuição a posteriori marginal de um dado modelo dadas as observações, isto é, π (M | z 0 ) = π (z 0 | M)π (M) π (z 0 ) (5.1) onde π ( z 0 | M ) é a verossimilhança marginal e π ( M ) é a probabilidade a priori para o modelo M. Esta abordagem (TONI; STUMPF, 2010b) é definida num espaço conjunto de modelos indicadores M = 1,..., g e os correspondentes parâmetros do modelo, θ , para assim obter a distribuição a posteriori conjunta sobre o espaço combinado de modelos e parâmetros π ( θ, M | z 0 ) (5.2) e marginalizando a equação (5.2) sobre os parâmetros obtemos a probabilidade marginal para o modelo π ( M | z0 ) (5.3) No algoritmo ABC SMC, a quantidade de valores dos parâmetros amostrados para cada modelo (chamados de partículas), pode ser representado como: ( (1) θ ( M ) = θ ( M ) ,..., θ ( M ) ( NM ) ) (5.4) onde M = 1,..., g e N M denota o número de partículas do modelo M . Em cada população, inicia-se amostrando um modelo indicador a partir da distribuição a priori π ( M ) . Uma vez selecionado o modelo, seleciona-se uma partícula da população anterior específica para este modelo. Esta partícula é perturbada usando um kernel de perturbação e é aceita ou não dependendo dos crivos existentes no algoritmo, como por exemplo a tolerância. Este processo é repetido até que o número de partículas desejada sejam aceitas. 67 O algoritmo ABC SMC TONI, T. et al. (2009) também usado neste trabalho é apresentado na Tabela 5.1. Tabela 5.1 – Algoritmo ABC SMC (TONI, T. et al., 2009) 1. Inicialize as tolerâncias ε1 , ε 2 ,..., ε P . Defina a população indicadora p = 0 . 2. Defina a partícula indicadora 3. Amostre i = 1. M ∗ a partir de π ( M ) Se p = 0 amostre θ ∗∗ de forma independente a partir de Se p > 0 amostre θ∗ da população anterior Perturbe a partícula Se π ( π θ (M ∗ ) {θ ( M ) } ∗ p −1 ( θ ∗ para obter θ ∗∗ ∼ K p θ | θ ∗ ) ( ) com peso w M ∗ p −1 . ). (θ ) = 0 , volte para 3. ∗∗ Simule um conjunto de dados candidatos ( z* ∼ π ( z | θ ∗∗ ,M ∗ ) ) Se d z ∗ , z 0 ≥ ε p , volte para 3. 4. (i ) Defina M p = M ∗ e adicione θ ∗∗ para a população de partículas pesos como w(pi ) = 1, (i ) wp = se π (θ ∗∗ ) ( ∑ j =1 w(pj−)1K p θ p( −j )1 | θ ∗∗ N ) p = 0, e , se p > 0 . 5. Se i < N defina i = i + 1 e volte para 3. 6. Para cada modelo M, normalize os pesos das partículas aceitas. 7. Se p < P , defina p = p + 1 e volte para 2. 68 {θ ( M ) } ∗ p e calcule os CAPÍTULO 6 - DESCRIÇÃO DOS EXPERIMENTOS O Câncer de próstata é o segundo tipo mais comum entre homens no Brasil, ficando atrás somente do câncer de pele não-melanoma, sendo ainda, a maior causa de mortes em homens na América (SIEGEL et al., 2013). Segundo o INCA (2014), estimase que em 2014, ocorreram 68.800 novos casos da doença. Ao longo dos anos, o Brasil vem tendo um aumento no diagnóstico positivo para a doença que, em grande parte, pode ser explicado pela melhora na expectativa de vida da população e pelo investimento em políticas de conscientização INCA, (2014). O diagnóstico precoce proporciona uma maior taxa de sobrevivência já que, nesse estágio, normalmente ainda não ocorreu metástase. Nesses casos, utiliza-se a radioterapia ou a remoção da glândula prostática como terapia convencional que afetam a qualidade de vida do paciente (FRANK e MIRANTI, 2013). O câncer da próstata pode ser investigado inicialmente através da medição dos níveis sanguíneos do Antígeno Prostático Específico (PSA), uma serino-protease produzida pelo epitélio prostático e por glândulas periuretrais. Apesar de existirem indícios de que o PSA não seja câncer específico e, esteja sendo usado também como marcador de tumores epiteliais benignos, sua utilização no diagnóstico do câncer de próstata em estágios iniciais e, em casos de câncer assintomático, tem sido importante BAADE et al. (2009), já que o método de investigação clínica, que é baseado no toque retal da próstata, apresenta elevada aversão entre homens, dificultando assim, o diagnóstico precoce e o tratamento (BERGER et al., 2011). 6.1 - Metodologia Como modelo de câncer de próstata in vitro, utilizamos a linhagem DU-145 que apresenta o cérebro como sítio tumoral secundário. Essa linhagem é bastante invasiva e proliferativa. Utilizamos ainda, a linhagem RAW 264.7 que são macrófagos murinos transformados pela injeção intraperitoneal do vírus de leucemia Abelson, obtidos da ascite de ratos BALB/c (RASCHKE et al., 1978). Essas células são originárias da ATCC (American Type Culture Collection, Manassas, VA, EUA). As células foram cultivadas em meio RPMI (Sigma-Aldrich) e DMEM (Sigma-Aldrich), respectivamente, suplementado com 10% de soro fetal bovino (Life Technologies, São 69 Paulo), e crescidas em frascos de cultura de 75cm2, mantidas em atmosfera úmida a 37ºC com 5% CO2 até atingirem a confluência. Após essa etapa, as células são descoladas com tripisina 0,025% diluída em solução Verséne (NaCl 0,14M, Na2HPO4 9mM, KCl 3mM, vermelho de fenol 0,02% e ácido etileno-diamino-tetra-acético (EDTA) 0,02% ) , centrifugadas a 1.100 rpm (180 x g) por 10 minutos em uma centrífuga da marca DaiKi (Figura 6.1). Após a centrifugação, o sedimento contendo as células foi diluído em meio RPMI ou DMEM, de acordo com a célula e contadas em hemocitômetro (Figuras 6.2 e 6.3). O número de células foi ajustado de acordo com as condições de cada ensaio. Figura 6.1 – Centrífuga utilizada nos ensaios. Figura 6.2 Microscópio com a câmara de Neubauer. 70 Figura 6.3 Câmara de Neubauer ampliada A câmara é dividida em quadrantes, tendo cada quadrante 0,1cm2. Cada quadrante possui 16 quadrados e somente as células que estiverem dentro destes são contadas. A média dos quatro quadrantes retorna uma estimativa do número de células presente nos 10 microlitros examinados. Com isso, via regra de três, estima-se o número total de células presentes no meio de cultura. Essa informação é usada para verificar o número de células a ser colocada em cada poço, de acordo com a quantidade de medidas que se pretende obter, para execução dos experimentos abaixo. 6.2 - Ensaio de Proliferação Celular Os experimentos aqui descritos aconteceram em dois momentos distintos. O primeiro ocorreu entre os dias 16 e 19 de dezembro de 2014 e o segundo entre os dias 23 e 25 de junho de 2015. Ambos foram realizados no Laboratório de Bioensaios Farmacêuticos – LaBioFar, do Departamento de Fármacos e Medicamentos da Faculdade de Farmácia, da Universidade Federal do Rio de janeiro, sob a coordenação e execução da Professora Viviane de Oliveira Freitas Lione e sua equipe. Com o objetivo de verificar a evolução temporal de linhagens de células cancerosas e normais, na presença e ausência da Doxorrubicina, uma droga bastante utilizada no tratamento do câncer, semeamos as células DU-145 (1x103 células/ poço) e RAW (1x104 células/poço) em placas de 96 poços (Figura 6.4) por um período de 3 horas na presença de seu meio de cultura suplementado com 10% de soro fetal bovino (SFB), para possibilitar adesão celular. Após esse tempo, o meio de cultura foi retirado 71 e feito o acréscimo da Doxorrubicina (10µM) diluído em RPMI ou DMEM, de acordo com cada célula, suplementado com 5% de SFB. Figura 6.4. Microplacas de 96 poços Após 2 e 4 horas de interação, foi acrescentado uma solução de MTT (1mg/mL diluído em RPMI ou DMEM) por um período de 2 horas. Após essa etapa, o MTT foi retirado e os cristais de formazan solubilizados com isopropanol e quantificados com o auxílio de um leitor de microplacas. Este é um ensaio calorimétrico que se baseia na metabolização de MTT (brometo de 3-[4,5-dimetil-tiazol-2-il] -2,5-difeniltetrazólio) pela enzima succinato desidrogenase presente nas mitocôndrias de célula viáveis, transformando este sal de tetrazólio de cor amarela, em cristais de formazan azul, que posteriormente são solubilizados em álcool isopropílico. A dosagem colorimétrica dos poços foi feita em leitor de microplacas (Figura 6.4) em filtro de 490 nm (COMINETTI et al., 2004). Figura 6.5 Leitor de microplacas 72 Para quantificar as células foi realizada uma curva padrão, contendo diferentes concentrações de células. Essa curva foi utilizada para converter os dados gerados pela absorbância dos cristais de formazan em número estimado de células presente em cada poço. Decorrido o tempo de 4 horas, fez-se um intervalo de 12horas, retomando as medidas no dia seguinte em um intervalo de 2 em 2 horas, sempre fazendo uma pausa durante a noite, onde se interrompiam as medids por um período de 12 horas. O tempo máximo de duração dos ensaios foi de 67 horas. Após esse período tornou-se inviável a continuação, haja vista que em alguns casos ou já se tinha atingido a capacidade suporte ou a quantidade de células vivas já eram insignificantes para continuar o ensaio. Para melhor entendimento dos dados experimentais, os mesmos foram organizados na forma apresentada na Tabela 6.1. Tabela 6.1 – Condições de cada experimento Experimento Tipo de Célula Data de Início Número inicial de Células Massa de quimioterápico 1 DU-145(Tumoral) 16/12/2014 103 0 2 DU-145(Tumoral) 16/12/2014 103 10 µM 3 RAW 264.7(Macrófagos) 16/12/2014 104 0 4 RAW 264.7(Macrófagos) 16/12/2014 104 10 µM 5 RAW 264.7(Macrófagos) 23/06/2015 104 0 6 RAW 264.7(Macrófagos) 23/06/2015 104 10 µM As medidas obtidas para cada um dos experimentos são apresentadas no Apêndice B. 73 CAPÍTULO 7 - RESULTADOS E DISCUSSÕES Neste Capítulo são apresentados os resultados obtidos para os casos analisados nos modelos estudados, mencionados no capítulo 3. Todos os códigos utilizados nas simulações foram implementados no software Matlab R2012b em um computador com processador i7, 2.3GHz e 8 Gb de memória RAM. Para a solução das equações diferenciais parciais (EDP), dos modelos difusivos foi usada a subrotina pdepe do Matlab, que utiliza o método das linhas. A função pdepe é bastante utilizada para a solução de sistemas de EDPs parabólicas ou elípticas para problemas unidimensionais. Através da discretização da malha espacial da solução do problema, esta função aproxima a EDP por uma EDO (Equação Diferencial Ordinária) dependente do tempo. Então, integra-se a função no tempo nas proximidades de ponto/intervalos que são escolhidos automaticamente pelo Matlab. Existe um formato pré-definido pelo Matlab para a função pdepe, no qual devem ser inseridos os aspectos geométricos do problema, a malha espacial, a malha temporal, a equação governante do problema, bem como suas condições iniciais e de contorno. Para a solução dos modelos que envolvem apenas EDO foi utilizado a subrotina do Matlab ode15s. Para o problema de estimativa combinada de parâmetros e varáveis de estado dos modelos estudados a técnica utilizada foi o algoritmo de LIU e WEST, (2001) 7.1 - Estimativa de Estado do Modelo de ANDERSON E CHAPLAIN (2003) Para melhor compreender as interações entre as populações descritas por esse modelo, levando em conta as estimativas de estado e parâmetros do modelo, Equações (3.8-3.10), três casos foram estudados. No primeiro caso, o objetivo foi verificar o que acontece com as populações envolvidas no modelo utilizando os parâmetros da Tabela 7.1. No segundo caso, consideramos o efeito da difusão aleatória no primeiro termo da Equação 3.8, sendo influenciada pelas enzimas degradativas e no terceiro caso investigamos o que ocorre quando se eleva o valor do coeficiente de movimentação haptotática, segundo termo da Equação (3.8). Para resolver numericamente o modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003) dado pelas Equações (3.8-3.10), consideramos uma malha espacial num domínio 74 unitário, com cinquenta pontos, baseado na convergência de malha e a malha temporal variando de 0 a 20 com os incrementos iguais a 0.01. Para as simulações desse modelo, que serão descritas a seguir, consideramos que apenas medidas da concentração de células tumorais, n, estão disponíveis e as mesmas foram tomadas na posição ξ=0.5. Para a geração das medidas, consideramos nmed = nexa + συ (7.1) onde os subscritos med e exa, correspondem a medido e exato, respectivamente, σ é o desvio padrão dos erros de medida e υ é uma variável aleatória normalmente distribuída com média zero e desvio padrão unitário. As estimativas serão analisadas ao nível de 99% de confiança e os intervalos de confiança foram calculados através de IC (0.99) = xest ± 2.576σ est (7.2) onde xest corresponde as variáveis de estado estimadas em cada tempo e σ est odesvio padrão de cada variável de estado em cada tempo. Procedemos de forma análoga o intervalo de confiança para os parâmetros estimados. Para analisarmos a qualidade do ajuste entre os valores exatos e estimados, utilizamos o erro RMS dado por RMS = 1 N ∑( x N i =1 (i ) est (i ) − xexa ). 2 Para o cálculo das estimativas combinadas de variáveis de estado e parâmetros deste modelo, no primeiro caso estudado, consideramos 5% do valor máximo da solução do sistema no ponto onde as medidas foram tomadas, como desvio padrão para os erros de medidas, modelo e parâmetros e usamos o filtro de LIU e WEST (2001) com 1000 partículas. Os parâmetros utilizados nas simulações deste modelo são os da Tabela 7.1 ANDERSON e CHAPLAIN (2003). 75 Tabela 7.1 – Valores dos parâmetros utilizados na simulações (ANDERSON e CHAPLAIN, 2003). Parâmetro Valor dn 0.001 γ 0.005 ƞ 10 dm 0.001 ψ 0.1 β 0 ε 0.01 As Figura 7.1 a 7.3 apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas em ξ = 0.5 , isto é, concentração de células tumorais, concentração da matriz extra celular e matriz de degradação, respectivamente. Nestas figuras, também são apresentados os intervalos de 99% de confiança das estimativas, enquanto a Figura 7.1 apresenta as medidas simuladas usadas na solução do problema de estimativa de estado com o filtro de (LIU e WEST, 2001). Estimativas das médias e dos intervalos de confiança dos parâmetros do modelo são apresentadas na Figura 7.4. A Figura 7.1 mostra um aumento de células tumorais, enquanto nesse tempo observa-se um decaimento na concentração da matriz extra celular, Figura 7.2 e um aumento na concentração das enzimas degradativas. Isto, reforça a hipótese do modelo, de que sem a ação dos inibidores endogenosos a matriz extra celular é degradada pela ação da matriz de degradação. Os erros RMS para as variáveis de estado n, f e m, foram, 0.0061, 0.0119 e 0.0195, respectivamente. Vale lembrar que não foram feitas repetições dessa simulação, portanto, o erro RMS para cada variável de estado corresponde a uma única rodada. Com relação as estimativas vemos que tanto as variáveis de estado Figuras (7.17.3) inclusive as que não se tem medidas, quanto os parâmetros do modelo Figura 7.4 foram todos bem estimados pelo filtro de partículas. 76 0.1 Concentração de Células Tumorais 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0.02 0.01 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.1 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. Concentração da matriz extra celular-MEC 1.6 Exato Estimado 99% Confiança 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.2 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros 77 Concentração de Enzimas Degradativas-MDE 0.7 Exato Estimado 99% Confiança 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.3 Estimativa da matriz de degradação usando 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. -3 -3 x 10 1.2 6 Exato Estimado 99% confiança 1.15 x 10 Exato Estimado 99% confiança 5.8 5.6 1.1 5.4 5.2 γ dn 1.05 1 5 4.8 4.6 0.95 4.4 0.9 4.2 0.85 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 4 20 0 2 4 6 8 Tempo 10 12 14 16 18 20 Tempo (a) (b) -3 x 10 12 Exato Estimado 99% confiança 11.5 Exato Estimado 99% confiança 1.1 11 η dm 10.5 1 10 9.5 0.9 9 8.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.8 20 Tempo 0 2 4 6 8 10 12 Tempo (c) (d) 78 14 16 18 20 0.115 Exato Estimado 99% confiança 0.11 Ψ 0.105 0.1 0.095 0.09 0.085 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo (e) Figura 7.4 Estimação dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. Para averiguar a influência dos desvios-padrão na dinâmica do processo, repetimos a simulação usando o filtro de LIU e WEST (2001) considerando agora 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. As Figuras (7.5-7.7) mostram que a concordância entre as médias estimadas para as variáveis estado e seus valores exatos piorou, quando considerou-se maiores incertezas nos modelos de evolução e de observação, bem como nas medidas (Ver também Figuras (7.1-7.3)) Os erros RMS para as variáveis de estado, n, f e m , são, 0.0331, 0.0175 e 0.0331, respectivamente. Comparando com o caso anterior em que foi assumido apenas 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros, vemos que o erro RMS ficou maior para todas as variáveis de estado. Os parâmetros estão todos bem inferidos como pode-se notar na Figura 7.8, mas, devido termos assumido incertezas maiores os intervalos de confiança, foram afetados. Para uma melhor compreensão das estimativas dos parâmetros, apresentamos na Tabela 7.2, a média e os quantis 0.01 e 0.99 de cada um deles. Lembrando que, Quantil é uma medida separatriz que corresponde a uma proporção acumulada de valores. Assim, a mediana, quartis e percentis são casos particulares de quantis. O valor correspondente aos quantis 0.01 e 0.99 que usamos neste trabalho, são os pontos que deixam 1% e 99% , respectivamente, desse conjunto de valores (partículas) a sua esquerda. 79 Concentração de Células Tumorais 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.5 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. Concentração da matriz extra celular-MEC 2 Exato Estimado 99% Confiança 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.6 Estimativa da matriz extra celular usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 80 Concentração de Enzimas Degradativas-MDE 1.4 Exato Estimado 99% Confiança 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.7 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. -3 1.3 -3 x 10 7 Exato Estimado 99% confiança 1.2 x 10 Exato Estimado 99% confiança 6.5 6 1.1 γ dn 5.5 1 5 0.9 4.5 0.8 0.7 4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3.5 20 0 2 4 6 8 Tempo 10 12 14 16 18 20 14 16 18 20 Tempo (a)...............................................................(b). -3 13 1.3 Exato Estimado 99% confiança 12 1.1 dm η Exato Estimado 99% confiança 1.2 11 10 1 9 0.9 8 0.8 7 x 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.7 20 Tempo 0 2 4 6 8 10 Tempo (c) (d) 81 12 0.13 Exato Estimado 99% confiança 0.12 Ψ 0.11 0.1 0.09 0.08 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo (e) Figura 7.8 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. Tabela 7.2 –Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas com 5% e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 5% de desvio padrão 10% de desvio padrão Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 dn 0,0008 0,0010 0,0012 7.7x10-4 0.001 0.0012 ɤ 0,0044 0,0050 0,0056 0.0038 0.0050 0.0063 Ƞ 8.8196 10.0164 11,258 7.2778 9.9634 12.0770 dm 0,0008 0,0010 0,0012 8.14x10-4 0.001 0.0012 ψ 0,0898 0,0999 0,01106 0.0761 0.0984 0.1229 Investigamos também o efeito do aumento de partículas nas estimativas, assumindo 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros, mas utilizando 3000 partículas ao invés de 1000 partículas como nos casos anteriores. Os resultados mostrados nas figuras (7.9-7.11) e nas Tabela (7.2-7.3) revelam que para este caso, o aumento no número de partículas não resultou em ganho significativo nas estimavas tanto das variáveis de estado, quanto para os parâmetros do modelo, Figura (7.12). Haja vista que, com 1000 partículas tanto as médias quanto os intervalos de confiança já estão convergidos. 82 Concentração de Células Tumorais 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.9 Estimativa da densidade de células tumorais usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. Concentração da matriz extra celular-MEC 2 Exato Estimado 99% Confiança 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.10 Estimativa da densidade da matriz extra-celular usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 83 Concentração de Enzimas Degradativas-MDE 1.4 Exato Estimado 99% Confiança 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.11 Estimativa da matriz de degradação usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. -3 1.3 -3 x 10 7 Exato Estimado 99% confiança 1.2 x 10 Exato Estimado 99% confiança 6.5 6 1.1 γ dn 5.5 1 5 0.9 4.5 0.8 0.7 4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3.5 20 0 2 4 6 8 Tempo 10 12 14 16 18 20 12 14 16 18 20 Tempo (a) (b) -3 13 1.3 Exato Estimado 99% confiança 12 1.1 dm η Exato Estimado 99% confiança 1.2 11 10 1 9 0.9 8 0.8 7 x 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.7 20 Tempo 0 2 4 6 8 10 Tempo (c) (d) 84 0.13 Exato Estimado 99% confiança 0.12 Ψ 0.11 0.1 0.09 0.08 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo (e) Figura 7.12 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. Tabela 7.3 – Erro RMS para as variáveis de estado e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 dn 7.5x10-4 0,0010 0,0011 ɤ 0,0039 0,0050 0,0056 Ƞ 7,5739 10.1206 12.4141 dm 7.83x10-4 0,0010 0,0012 ψ 0.0075 0,1004 0,1255 No segundo caso estudado para este modelo, o interesse é verificar o efeito da difusão não linear fazendo a primeiro termo na Equação 3.8, da forma dn m ∂ 2n(ξ , t) ∂ξ (7.3) Apresenta-se nas Figuras (7.13-7.15) os valores exatos e as estimativas (média e intervalo de 99% de confiança) para as variáveis de estado, concentração de células tumorais, concentração da matriz extra celular e matriz de degradação, respectivamente, para o caso com o termo de difusão não linear dado pela Equação 7.3. 85 Para este caso, usamos 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medidas, modelo de evolução e de parâmetros. Vale lembrar que o sistema foi simulado considerando as medidas tomadas na posição ξ = 0.5 com as mesmas condições iniciais e de contorno do caso anterior. Observa-se na Figura 7.13 um aumento na concentração de células tumorais, superior ao apresentado no primeiro caso, Figura 7.1. Do ponto de vista biológico, isto pode caracterizar a formação de um tumor. Com relação a concentração da matriz extra celular observa-se na Figura 7.14 que ela demora mais a entrar em processo de degradação do que no caso anterior. Isto pode ser um indicativo de que mesmo com o aumento da concentração de células tumorais, esse possível tumor ainda pode estar confinado no tecido. As estimativas para a concentração de células tumorais, Figura 7.13, apresentam uma boa concordância com o previsto pelo modelo de evolução, porém, a concentração da matriz extra celular, Figura 7.14 e a concentração da matriz de degradação, Figura 7.5, apresentaram estimativas menos acuradas. Os erros RMS para a concentração de células tumorais, concentração da matriz extra celular e concentração da matriz de degradação, foram 0.0877, 0.0429 e 0.1247, respectivamente. Concentração de Células Tumorais 0.4 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.13 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 2. 86 Concentração da matriz extra celular-MEC 1.6 Exato Estimado 99% Confiança 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Concentração de Enzimas Degradativas-MDE Figura 7.14 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2 1 Exato Estimado 99% Confiança 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.15 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso2. As médias e os intervalos de confiança para os parâmetros estimados são apresentados na Figura 7.16. Nota-se nesta figura que os parâmetros do modelo são muito bem recuperados. Tal fato também pode ser observado na Tabela 7.4. 87 -3 1.2 -3 x 10 5.8 Exato Estimado 99% confiança 1.15 x 10 5.6 Exato Estimado 99% confiança 5.4 1.1 5.2 5 γ dn 1.05 1 4.8 0.95 4.6 0.9 0.85 4.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 Tempo 10 12 14 16 18 20 Tempo (a) (b) -3 1.2 11.5 11 x 10 Exato Estimado 99% confiança 1.15 Exato Estimado 99% confiança 1.1 10.5 dm η 1.05 10 1 9.5 0.95 9 8.5 0.9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0.85 20 Tempo 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo (c) (d) 0.115 0.11 Exato Estimado 99% confiança Ψ 0.105 0.1 0.095 0.09 0.085 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo (e) Figura 7.16 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo Repetimos novamente esta simulação, usando 1000 partículas, mas assumindo agora 10% de desvio padrão para os erros de medidas, modelo de evolução e parâmetros. O objetivo aqui foi verificar se as estimativas continuam razoáveis apesar do aumento das incertezas. Os resultados apresentados nas Figuras (7.17-7.19) mostram que as estimativas para as todas as variáveis de estado (concentração de células tumorais, concentração da matriz extra celular e concentração da matriz de degradação) 88 piorou quando comparadas com o caso anterior, com incertezas menores. Os erros RMS, para as variáveis de estado, n, f e m, foram, 7.4 x102 , 0.0682 e 0.3260, respectivamente, o que também mostram que aumentou para todas as variáveis. Concluímos então, que neste caso, apesar das estimativas obtidas ainda estarem satisfatórias, observa-se que o aumento das incertezas teve influência direta na precisão das mesmas. Concentração de Células Tumorais 0.4 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo . Figura 7.17 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros –Caso 2. Concentração da matriz extra celular-MEC 1.6 Exato Estimado 99% Confiança 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.18 Estimativa da densidade da Matriz Extra Celular usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros–Caso 2. 89 Concentração de Enzimas Degradativas-MDE 2.5 Exato Estimado 99% Confiança 2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.19 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- caso 2. Com relação as estimativas dos parâmetros do modelo a Tabela 7.4 revela que a média ficou praticamente inalterada, com relação ao caso anterior, onde assumimos incertezas menores. Os quantis 0.01 e 0.09 da distribuição a posteriori também revelam que a dispersão das partículas em torno da média também não difere muito com relação ao caso anterior onde assumimos incertezas menores. Esta afirmação pode ser verificada na Tabela 7.4. -3 1.3 -3 x 10 7 1.2 x 10 Exato Estimado 99% confiança 6.5 Exato Estimado 99% confiança 6 1.1 γ dn 5.5 1 5 0.9 4.5 0.8 0.7 4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo 3.5 0 2 4 6 8 10 Tempo (a) (b) 90 12 14 16 18 20 -4 14 13 Exato Estimado 99% confiança 13 x 10 Exato Estimado 99% confiança 12 11 11 10 η dm 12 10 9 9 8 8 7 7 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 6 0 2 4 6 Tempo 8 10 12 14 16 18 20 Tempo (c) (d) 0.13 Exato Estimado 99% confiança 0.12 Ψ 0.11 0.1 0.09 0.08 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo (e) Figura 7.20 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo–Caso 2. Tabela 7.4 –Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas com 5% e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros-Caso 2. 5% de desvio padrão 10% de desvio padrão Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 dn 9x10-4 0.001 0.0011 8x10-4 0.001 0.0012 ɤ 0.0044 0.005 0.0055 0.0039 0.005 0.006 Ƞ 8.8014 9.986 11.1521 7.68 10.0469 12.3697 dm 9.01x10-4 0.001 0.0011 7.9x10-4 0.001 0.0012 ψ 0.0878 0.0999 0.1112 0.0806 0.1008 0.1198 Um terceiro caso foi estudado mantendo-se todos parâmetros dos dois casos anterioriores com exceção do coeficiente de movimentação haptotática que foi assumido 91 como ɤ=0.05. Para ANDERSON e CHAPLAIN (2003) o coeficiente de movimentação haptotática influencia numa possível invasão das células tumorais nos tecidos adjacentes. Para este caso, em virtude da mudança de ɤ aumentar a não linearidade do sistema formado pelas equações (3.8-3.10), somente conseguimos realizar simulações utilizando 1% de desvio padrão para os erros de medidas, modelo e parâmetros. O Filtro de LIU; WEST (2001) foi usado com 1000 partículas. As Figuras (7.21-7.23) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas, isto é, concentração de células tumorais, concentração da matriz extra celular e concentração da matriz de degradação, respectivamente. Na Figura 7.21 podemos observar um rápido aumento na concentração de células tumorais, superior ao observado para esta mesma variável nos dois casos anteriores e também superior a maior concentração apresentada pela matriz extra celular para este caso, conforme Figura 7.22. Isto pode significar que células tumorais podem ter escapado do tecido hospedeiro, abrindo caminho para atingir o sistema linfático e provocar metástases. Observa-se também na Figura 7.23 que a concentração das enzimas degradativas aumenta mais rapidamente que nos dois outros casos estudados anteriormente, o que justifica a degradação rápida da matriz extracelular e o aumento mais rápido da concentração de células tumorais. As estimativas obtidas para as variáveis de estado n , f, Figuras 7.21e 7.22, quando comparadas com seus respectivos valores exatos, apresentam uma boa concordância. Percebe-se, no entanto, que a variável m, Figura 7.23, foi a mais afetada pelo aumento do coeficiente de difusão haptotático, em termos de estimativa e não apresentou a mesma concordância que as outras variáveis, com relação ao seu valor exato. 92 Concentração de Células Tumorais 1.6 Medido Exato Estimado 99% Confiança 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.21 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3. Concentração da matriz extra celular-MEC 1.2 Exato Estimado 99% Confiança 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.22 Estimativa da densidade da matriz extra celular usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3 93 Concentração de Enzimas Degradativas-MDE 0.5 Exato Estimado 99% Confiança 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.23 Estimativa da matriz de degradação usando 1000 partículas, ɤ=0.05 e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 3 As médias e os intervalos de confiança para os parâmetros estimados são apresentados na Figura 7.24, Nesta figura pode-se observar que todos os parâmetros foram muito bem recuperados e esta afirmação pode ser observada através da Tabela 7.5 para um nível de credibilidade de 99%. -3 1.03 x 10 0.052 1.02 Exato Estimado 99% confiança 0.0515 Exato Estimado 99% confiança 0.051 1.01 γ dn 0.0505 1 0.05 0.99 0.0495 0.98 0.97 0.049 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo, s 0.0485 0 2 4 6 8 10 12 Tempo, s (a) (b) 94 14 16 18 20 -3 10.3 1.03 Exato Estimado 99% confiança 10.2 1.02 10.1 Exato Estimado 99% confiança 1.01 dm η x 10 10 1 9.9 0.99 9.8 0.98 9.7 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.97 0 2 4 6 8 10 Tempo, s Tempo, s (c) (d) 12 14 16 18 20 0.104 0.103 Exato Estimado 99% confiança 0.102 Ψ 0.101 0.1 0.099 0.098 0.097 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo, s (e) Figura 7.24 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas, ɤ=0.05 e desvio padrão de 1% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 3. Tabela 7.5 – Média e quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros do modelo usando 1000 partículas e 1% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 3. Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 dn 0.00098 0.00100 0.00102 ɤ 0.04902 0.05003 0.05113 ƞ 9.76171 9.98953 10.17636 dm 0.00098 0.00100 0.00102 ψ 0.09749 0.10013 0.10224 95 7.2 - Estimativa de Estado para o Modelo de GATENBY e GAWLINSKI (1996) Para resolver numericamente o modelo de GATENBY e GAWLINSKI (1996), Equações (3.21-3.23), consideramos uma malha espacial num domínio unitário, com 120 pontos, basedo na convergência de malha, e a malha temporal variando de 0 a 20 com os incrementos iguais a 0.01. As variáveis de estado consideradas nesse modelo são: concentração de células tumorais ( n1 ), concentração de células normais ( n2 ) e concentração de íon H + (L). Para as simulações desse modelo que serão descritas a seguir consideramos que apenas medidas da concentração de células tumorais, n1 , estão disponíveis e as mesma foram tomada na posição ξ=0.5. Para a geração das medidas consideramos n1med = n1 + συ (7.4) exa onde os subscritos med e exa, correspondem a medido e exato, respectivamente, σ é o desvio padrão dos erros de medida e υ é uma variável aleatória normalmente distribuída com média zero e desvio padrão unitário. Os intervalos de confiança tanto para as variáveis de estado quanto para os parâmetros do modelo foram calculados de forma similar ao praticado no modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003). Os parâmetros utilizados nas simulações deste modelo estão baseados na da Tabela 7.7 96 Tabela 7.6 – Valores dos parâmetros usados nas simulações Parâmetro Valor Referência K1 5x107 /cm3 TRACQUI et al. (1995) K2 5x107 /cm3 TRACQUI et al. (1995) α1 1x10 -6/s TRACQUI et al. (1995) α2 1x10 -6/s TRACQUI et al. (1995) α3 2.2x10-17M.cm3/s DALE et al. (1994) D1 2x10-10cm2/s WILLIAMS (1996) D2 5x10-6cm2/s GATENBY e GAWLINSKI (1996) d1 0 ⇒ 10 /M.s GATENBY e GAWLINSKI (1996) d2 1.1x10-4/s GATENBY e GAWLINSKI (1996) A adimensionalização feita neste modelo, segundo GATENBY e GAWLINSKI, (1996) tem o propósito de verificar duas situações: uma quando o parâmetro 0 < δ1 < 1 , que representa a situação onde o tumor coexiste conjuntamente com as células normais (tumor benigno) e a outra é quando δ1 > 1 e o tecido normal é rapidamente degradado caracterizando uma situação de tumor maligno. O parâmetro δ 1 representa a taxa na qual as células normais são destruídas influenciadas pela presença do excesso de ácido. O algoritmo proposto LIU e WEST (2001) foi usado para estimar dinamicamente as variáveis de estado e os parâmetros deste modelo nestas duas situações. Os dois casos estudados estão resumidos na Tabela 7.7 Tabela 7.7 – Parâmetros usados na simulação Parâmetro Valor Caso 1 Valor Caso 2 ρ 1 1 δ1 0.5 12.5 ∆2 4x10-5 4x10-5 δ2 70 70 97 Para o primeiro caso estudado, onde 0 < δ1 < 1 , consideramos 5% de desvio padrão para os erros de medidas, modelo e parâmetros e 500 partículas foram usadas no filtro. O tempo de CPU oriundo desta simulação foi 9x103s. As Figuras (7.25-7.27) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas, isto é, concentração de células tumorais, concentração de células normais e concentração de íon H+, bem como os intervalos de 99% de confiança para as estimativas. A Tabela 7.8 apresenta as médias e os intervalos de confiança para os parâmetros estimados. A Figura 7.25 apresenta as medidas simuladas usadas na solução do problema de estimativa de estado com o filtro de (LIU e WEST, 2001). As estimativas das médias e dos intervalos de confiança dos parâmetros do modelo são apresentadas na Figura 7.28. Pode se observar nas Figuras (7.25-7.27) que, as estimativas estimadas para as variáveis de estado, estão muito boas quando comparadas aos seus respectivos valores exatos. Os erros RMS para as variáveis de estado n1, n2 e Λ , foram, 0.007, 0.023 e 0.0076, respectivamente, o que confirma o bom desempenho do filtro de partículas para Concentração de Células Tumorais este caso. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.25 Estimativa da densidade de células tumorais usando 500 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. 98 1.3 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Concentração de células Normais 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.26 Estimativa da densidade de células normais usando 500 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. 1.4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Concentração de íons H + 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.27 Estimativa da concentração de íon H+ usando 500 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. Olhando as estimativas dos parâmetros através da Figura 7.28(b) e da Tabela 7.8 observa-se que o parâmetro cujo intervalo de confiança é proporcionalmente maior é o parâmetro δ 2 . Porém na média todos estão muito bem inferidos. 99 0.58 80 0.56 78 Exato Estimado 99% confiança 0.54 Exato Estimado 99% confiança 76 74 72 δ2 δ1 0.52 0.5 70 68 0.48 66 0.46 64 0.44 0.42 62 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 60 20 0 2 4 6 8 Tempo, 10 12 14 16 18 20 12 14 16 18 20 Tempo, (a) (b) -5 4.6 1.2 Exato Estimado 99% confiança 1.15 x 10 Exato Estimado 99% confiança 4.4 1.1 4.2 ρ ∆1 1.05 4 1 3.8 0.95 3.6 0.9 0.85 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3.4 0 2 4 6 8 Tempo, 10 Tempo, (c) (d) Figura 7.28 Estimativa dos parâmetros do modelo com 500 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 1. Com o intuito de verificar se o aumento de partículas para este caso melhoraria as estimativas já obtidas para variáveis de estado e parâmetros, repetimos esta simulação mantendo 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros, mas utilizando 1000 partículas. Os resultados mostram que o aumento do número de partículas para este caso não trouxe um ganho significativo nas estimativas, tanto para as variáveis de estado, Figuras (7.29-7.31), quanto para os parâmetros do modelo Figura 7.32. Tal fato pode ser também observado na Tabela 7.8., onde observa-se que apenas o parâmetro δ 2 se aproximou ainda mais do valor exato. Vale ressaltar que o tempo computacional gasto nesta simulação foi de 2.1x104 s, tempo proporcionalmente superior ao gasto neste mesmo caso com 500 partículas. 100 Concentração de Células Tumorais 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.29 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. 1.3 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Concentração de células Normais 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo . Figura 7.30 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. 101 1.4 Concentração de íons H + 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.31 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 1. 0.58 80 78 0.56 Exato Estimado 99% confiança 0.54 Exato Estimado 99% confiança 76 74 72 δ2 δ1 0.52 0.5 70 68 0.48 66 0.46 64 0.44 0.42 62 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 60 20 0 2 4 6 8 Tempo 10 12 14 16 18 20 12 14 16 18 20 Tempo -5 4.6 1.2 Exato Estimado 99% confiança 1.15 x 10 Exato Estimado 99% confiança 4.4 1.1 4.2 ρ ∆1 1.05 4 1 3.8 0.95 3.6 0.9 0.85 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo 3.4 0 2 4 6 8 10 Tempo Figura 7.32 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 1. 102 Tabela 7.8 – Média, quantis 0.01 e 0.99 e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros- Caso 1. 500 partículas Parâmetro 1000 partículas Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 0.8884 1.0015 1.1154 0.8871 1.0021 1.11049 δ1 0.4438 0.5015 0.5632 0.4395 0.5005 0.5604 ∆2 3.52x10-5 4x10-5 4.42x10-5 3.6x10-5 4x10-5 4.4x10-5 δ2 61.5874 69.7054 77.7293 61.933 69.9469 78.1307 ρ Agora voltamos a atenção para o segundo caso, onde o parâmetro δ1 > 0 . Para o cálculo das estimativas foi usado o algoritmo de LIU e WEST (2001), considerando 5% de desvio padrão para os erros de medidas, modelo e parâmetros e foram usadas 500 partículas. As Figuras (7.33-7.35) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas, isto é, concentração de células tumorais, concentração de células normais e concentração de íon H+, bem como os intervalos de 99% de confiança para as estimativas. Como pode-se observar na Figura 7.34, ocorre uma queda acentuada na concentração de células normais. Pode-se observar ainda que a medida que a concentração de células normais tende a zero, a concentração de células tumorais tende a capacidade suporte, Figura 7.34. Isto parece factível com a hipótese de GATENBY e GAWLINSKI (1996) de que neste caso, δ1 > 0 , não existem regiões de coexistência de células tumorais e normais. As Figuras (7.33-7.35) mostram ainda que as estimativas obtidas para todas as variáveis de estado estão excelentes. Os erros RMS para as variáveis de estado n1, n2 e Λ , foram, 0.0036, 0.0251 e 0.0082, respectivamente, o que mostra a robustez do algoritmo utilizado. O tempo computacional gasto nesta simulação foi de 2.07x104 s. 103 Concentração de Células Tumorais 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.33 Estimativa da densidade de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. Concentração de células Normais 1.4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.34 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2 104 1.4 Concentração de íons H + 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.35 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. As Figuras 7.36 (a-d) mostram as estimativas dos parâmetros obtidos pelo filtro, onde vemos que todos eles foram bem estimados. Como pode-se observar na Tabela 7.9, o parâmetro δ 2 foi aquele com os quantis 0.01 e 0.99 relativamente maiores.. A justificativa para isto está no fato de que este parâmetro corresponde a razão entre a taxa de decaimento do excesso de ácido e a taxa de crescimento da densidade de células normais. Como a densidade de células normais são rapidamente degradadas, Figura 7.34, a sensibilidade em relação a este parâmetro diminui drasticamente. No entanto a estimativa obtida pelo filtro ainda é bastante satisfatória. 14.5 80 14 Exato Estimado 99% confiança 13.5 75 13 70 δ2 δ1 Exato Estimado 99% confiança 12.5 65 12 11.5 60 11 10.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 55 0 2 4 6 8 Tempo 10 Tempo (a) (b) 105 12 14 16 18 20 -5 4.6 1.2 Exato Estimado 99% confiança 1.15 x 10 Exato Estimado 99% confiança 4.4 1.1 4.2 ρ ∆1 1.05 4 1 3.8 0.95 3.6 0.9 0.85 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3.4 20 0 2 4 6 8 Tempo 10 12 14 16 18 20 Tempo (c) (d) Figura 7.36 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 2. . Repetimos a simulação para este segundo caso, elevando o desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. O objetivo foi verificar se com um desvio padrão relativamente alto, o filtro ainda assim consegue boas estimativas. Consideramos 10% de desvio padrão e o algoritmo de LIU; WEST, (2001) foi inicializado com 1000 partículas. O tempo de cpu para esta simulação foi de 1.2x104s. Os resultados mostrados através das Figuras (7.37-7.39) e da Tabela 7.9 mostram que, apesar do aumento no desvio padrão e as estimativas ficarem menos acuradas que no caso em que o desvio padrão era de apenas 5%, as estimativas ainda têm excelente concordância com as variáveis de estado exatas. Os erros RMS para as variáveis de estado n1, n2 e Λ , foram, 0.0091, 0.0465 e 0.0192. Com relação as estimativas dos parâmetros do modelo, a Figura 7.40 mostra que todos eles forem bem recuperados. Isto também pode ser observado na Tabela 7.9. 106 Concentração de Células Tumorais 1.5 1 0.5 Medido Exato Estimado 99% Confiança 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.37 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. Concentração de células Normais 1.4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.38 Estimativa da densidade de células normais usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. 107 Concentração de íons H + 1.5 1 0.5 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tempo Figura 7.39 Estimativa da concentração de íons H+ usando 1000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros – Caso 2. 16 95 Exato Estimado 99% confiança 15 90 Exato Estimado 99% confiança 85 14 80 75 δ2 δ1 13 12 70 65 60 11 55 10 50 9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 45 20 0 2 4 6 8 Tempo 10 12 14 16 18 20 14 16 18 20 Tempo (a) (b) -5 1.4 5.5 x 10 1.3 5 Exato Estimado 99% confiança 1.2 1.1 Exato Estimado 99% confiança 4.5 ρ ∆1 1 4 0.9 0.8 3.5 0.7 3 0.6 0.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2.5 20 Tempo 0 2 4 6 8 10 12 Tempo (c) (d) Figura 7.40 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo-Caso 2. 108 Tabela 7.9 – Média e quantis 0.01 e 0.99 usando 1000 partículas e desvio padrão de 5% e 10% para os erros de medida, modelo e parâmetros - Caso 2. 5% de desvio padrão Parâmetro 10% de desvio padrão Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 0.8921 1.0001 1.1149 0.7681 0.9998 1.2241 δ1 11.0342 12.5065 13.9232 9.5216 12.4871 15.3702 ∆2 3.5x10-5 4.006x10-5 4.4x105 3.1x10-5 3.989x10-5 4.9x10-5 δ2 61.2484 69.7938 77.9632 53.3249 70.1074 86.4288 ρ 7.3 - Estimativa de Estado para o Modelo de RODRIGUES (2011) As medidas simuladas utilizadas para estimar as variáveis de estado e parâmetros do modelo de RODRIGUES (2011) foram geradas a partir da solução numérica do problema direto, Equações (3.46-3.49) com as condições iniciais, N1(0)=1013 células, N2(0)=109 células, N3(0)=102 células e Q(0)=0, de forma análoga ao que foi feito nos modelos de (ANDERSON e CHAPLAIN, 2003, GATENBY e GAWLINSKI, 1996), com a diferença que aqui as variáveis de estado são função apenas do tempo. Foi assumido que apenas medidas dos números de células tumorais e normais estão disponíveis . A taxa de decaimento λ usada neste trabalho foi calculada com base na meia vida do GEMZAR, que para homem com idade de 79 anos é t1/ 2 = 79 minutos. (“Data Sheet of GEMZAR” 2011). A meia vida dessa droga é influenciada pela taxa de infusão, idade e sexo. Essa droga segue um modelo farmacocinético bicompartimental, mas em virtude de não encontrarmos na literatura informações a respeito dos parâmetros do modelo, usamos um modelo farmacocinético de primeira ordem. O GEMZAR é usado para tratamento de diferentes tipos de câncer, em especial como agente quimioterápico para câncer pancreático (DATASHEET OF GEMZAR, 2011, GHANEH et al., 2008, SCHNEIDER et al., 2005, TOKH et al., 2012). O câncer de pâncreas é uma das maiores causas de morte por câncer e continua a ser um desafio para a comunidade de oncologistas. Quando diagnosticado, a maioria dos pacientes 109 apresentam estágio avançado da doença e poucos (menos de 15%) estão habilitados a uma possível cirurgia para remoção do tumor. As variáveis de estado consideradas neste modelo são: o número de células tumorais, (N1), o número de células normais, (N2 ), o número de células endoteliais, (N3) e a massa de droga no corpo, (Q). Negligenciamos a ação do agente antiangiogênico (Equação 3.74). Para o presente problema de estimação foi considerado 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros, usando o algoritmo de LIU e WEST (2001) com 1000 partículas. Os parâmetros usados estão na Tabela 7.10. Tabela 7.10 – Valores dos parâmetros usados nas simulações RODRIGUES (2011). Parâmetro Valor α1 , dia-1 10-2 α 2 , dia-1 10-3 σ1 , dia-1 10-3 K1 , cel 108 K 2 , cel 1012 r1 , 9x10-5 r2 , 9x10-2 φ , dia-1 1 ω , cel-1 dia-1 10-12 µ , dia-1 8 ν , dia-1 8x10-2 a , mg- 2x103 b , mg 5x106 c , mg 0 η , dia-1 0 λ , dia-1 12.63 As Figuras (7.41-7.44) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas, isto é, o número de células tumorais, (N1), o número de células normais, (N2 ), o número de 110 células endoteliais, (N3) e a massa de droga no corpo, (Q), bem como os intervalos de 99% de confiança para as estimativas. A Tabela 7.11 apresenta as médias e os quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros estimados e a Tabela 7.12 apresenta os erros RMS para as variáveis de estado e o tempo de cpu gasto na execução do algoritmo. A Figura 7.41 mostra o número de células tumorais sendo reduzidas ao longo do tempo, mas o número de células normais também diminui, Figura 7.42. É também observado o crescimento de células endoteliais (Figura 7.43). Isto levar a crer que do ponto de vista biológico o protocolo de tratamento GEMZAR aplicado a este modelo não surtiu o efeito esperado de reduzir o número de células tumorais e aumentar o número de células normais. No entanto, as estimativas obtidas com o filtro de partículas apresentam uma boa acurácia tanto para as células normais e tumorais, como também para as células endoteliais e massa de droga no corpo, Figuras (7.43 e 7.44), respectivamente. 8 9 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Número de células tumorais, cel 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.41 Estimativa do número de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 111 12 Número de células Normais, cel 14 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 12 10 8 6 4 2 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.42 Estimativa do número de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 10 Número de células endoteliais, cel 3 x 10 2.5 2 1.5 1 0.5 0 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.43 Estimativa do número de células endoteliais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 112 Massa de droga no corpo, mg 0.025 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.44 Estimativa da massa de droga no corpo, usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. As estimativas para os parâmetros do modelo estão na Figura 7.45 (a-o). Observase que, em geral as estimativas estão boas. A tabela 7.14 também mostra que todos os parâmetros estão bem estimados. 8 0.0115 1.15 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.011 1.05 K1, cel -1 α 1, dia Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.1 0.0105 0.01 1 0.0095 0.95 0.009 0.9 0.0085 x 10 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 0.85 0 20 40 60 Tempo, dia (a) (b) 113 80 100 120 -5 10.5 x 10 10 9.5 9 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 8.5 µ, dia r1 -1 9.5 9 8 8.5 7.5 8 7 7.5 0 20 40 60 80 100 6.5 120 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Tempo, dia (c) (d) -3 1.2 2300 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2200 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.15 1.1 α 2, dia a, mg -1 2100 2000 1.05 1 1900 0.95 1800 1700 0.9 0 20 40 60 80 100 0.85 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 80 100 120 Tempo, dia (e) (f) 12 1.15 x 10 0.1 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.05 0.095 1 0.09 r2 K2, cel 1.1 0.105 0.95 0.085 0.9 0.08 0.85 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 0.075 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0 20 40 60 Tempo, dia (g) (h) 114 6 0.095 5.8 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 5.6 0.09 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.085 5.4 b, mg ν, dia -1 5.2 0.08 5 4.8 0.075 4.6 0.07 4.4 0.065 0 20 40 60 80 100 4.2 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 Tempo, dia (i) (j) -3 1.2 x 10 1.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.15 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.15 1.1 1.1 1.05 -1 φ, dia σ1, dia -1 1.05 1 1 0.95 0.95 0.9 0.9 0.85 0.85 0 20 40 60 80 100 0.8 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 Tempo, dia (l) (m) -12 1.2 x 10 15 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.15 14.5 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 14 13.5 λ, dia -1 1.05 -1 ω, cel dia -1 1.1 1 13 12.5 0.95 12 0.9 0.85 11.5 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 11 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia (n) (o) Figura 7.45 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 115 Tabela 7.11 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro. Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α1 0.009 0.010 0.011 α2 8.8x10-4 9.9x10-4 0.0011 σ1 9x10-4 0.001 0.0011 K1 9x107 1.004x108 1.1x108 K2 8.8 x1011 9.97 x1011 1.1x1012 r1 7.9x10-5 9.01 x10-5 1 x10-4 r2 0.078 0.088 0.1 φ 0.8403 0.9641 1.0832 ω 8.7x10-13 9.9x10-13 1.1x10-12 µ 6.95 7.92 8.83 ν 0.07 0.08 0.09 a 1.78x103 2.03 x103 2.27 x103 b 4.4x106 4.9x106 5.4x106 λ 11.6 13.03 14.84 Tabela 7.12 – Erro RMS para as variáveis de estado e tempo de execução da simulação. RMS N1 RMS N2 RMS N3 RMS Q Tempo CPU, s 4x1011 1.3x108 1.3x105 2.9x10-4 2.17x103 Uma nova simulação para este modelo foi realizada, considerando 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros com o intuito de verificar o comportamento das estimativa tanto das variáveis de estado quanto dos parâmetros. As Figuras (7.46-7.49), apresentam os resultados obtidos para as variáveis de estado. Nelas observa-se que os intervalos de confiança estão maiores que no caso anterior, fruto da maior incerteza a elas associadas.. Pode-se também observar isto, comparando os erros RMS Tabelas (7.12-7.15) para as mesmas quantidades de partículas. Mas, apesar do 116 aumento das incertezas, as estimativas ainda continuam bastante razoáveis, o que reforça a robustez do algoritmo utilizado. 8 12 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Número de células tumorais, cel 10 8 6 4 2 0 -2 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.46 Estimativa do número de células tumorais com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 12 16 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Número de células Normais, cel 14 12 10 8 6 4 2 0 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.47 Estimativa do número de células normais com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 117 10 4.5 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Número de células endoteliais, cel 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.48 Estimativa do número de células endoteliais com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 0.14 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Massa de droga no corpo, mg 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.49 Estimativa da massa de droga no corpo com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. Apesar do aumento do desvio padrão dos erros de medida, modelo e parâmetro não terem afetado fortemente as estimativas dos parâmetros conforme, Figura 7.50 e Tabela 7.13, verifica-se que os intervalos de confiança estão mais afastados do valor 118 exato em todos os parâmetros. Além do parâmetro λ , o parâmetro b também foi afetado pelos maiores erros considerados nas medidas e parâmetros. Esta informação também pode ser conferida através da Tabela 7.13 que apresenta as médias e os quantis 0.01 e 0.99 para os parâmetros estimados do modelo. 8 0.014 1.3 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.013 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.2 0.012 1.1 K1, cel α 1, dia -1 0.011 0.01 1 0.009 0.9 0.008 0.8 0.007 0.006 0 20 40 60 80 100 0.7 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 80 100 120 80 100 120 Tempo, dia (a) (b) -5 12 x 10 10.5 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 10 11 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 9.5 9 10 µ, dia r1 -1 8.5 9 8 7.5 8 7 6.5 7 6 6 0 20 40 60 80 100 5.5 120 0 20 40 Tempo, dia 60 Tempo, dia (c) (d) -3 2600 1.3 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2400 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.2 1.1 α 2, dia -1 2200 a, mg x 10 2000 1 1800 0.9 1600 0.8 1400 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 0.7 0 20 40 60 Tempo, dia (e) (f) 119 12 1.4 x 10 0.12 1.3 0.11 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.1 1.1 r2 K2, cel 1.2 0.09 1 0.08 0.9 0.07 0.8 0.7 0 20 40 60 80 100 0.06 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 80 100 120 80 100 120 Tempo, dia (g) (h) 6 0.11 6.5 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.1 x 10 6 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 5.5 0.09 b, mg ν, dia -1 5 0.08 4.5 0.07 4 0.06 0.05 3.5 0 20 40 60 80 100 3 120 0 20 40 Tempo, dia 60 Tempo, dia (i) (j) -3 1.3 x 10 1.4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.3 1.2 -1 φ, dia σ 1, dia -1 1.1 1 1.1 1 0.9 0.9 0.8 0.7 0.8 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 0.7 0 20 40 60 Tempo, dia (l) (m) 120 -13 13 x 10 16 15 12 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 13 λ, dia -1 10 -1 ω, cel dia -1 11 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 14 9 12 11 8 10 7 9 0 20 40 60 80 100 120 8 0 Tempo, dia 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia (n) (o) Figura 7.50 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. Tabela 7.13 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α1 0.074 0.01 0.012 α2 7.6x10-4 9.9x10-4 1.2x10-3 σ1 8x10-4 1x10-3 1.3x10-3 K1 7.6x107 1.04x108 1.25x108 K2 7.8x1011 1x1012 1.3x1012 r1 7.3x10-5 9.2x10-5 1.1x10-4 r2 0.07 0.09 0.11 φ 0.8 1.02 1.26 ω 7.4x10-13 9.7x10-13 1.2x10-12 µ 6.14 8.12 9.94 ν 0.06 0.08 0.1 a 1.52x103 1.97x103 2.5x103 b 3.7x106 4.7x106 5.8x106 λ 9.2 11.93 15.1 Agora, uma nova simulação foi realizada assumindo ainda desvio padrão de 10% para os erros de medida, modelo e parâmetros mas com 3000 partículas. O objetivo 121 desta simulação é verificar se esse aumento do número de partículas consegue melhorar as estimativas tanto das variáveis de estado quanto dos parâmetros do modelo, quando comparado com o caso anterior, também com 10% de desvio padrão, mas, com 1000 partículas. As Figuras (7.51-7.54) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas para o número de células tumorais, número de células normais, número de células endoteliais e massa de droga no corpo, respectivamente. De acordo com a Tabela 7.15, vemos que apenas o número de células endoteliais teve redução de uma ordem de grandeza. As demais variáveis de estado apresentaram resultados muito próximos, quando comparadas ao caso simulado com apenas 1000 partículas. Isso mostra que os resultados obtidos com 1000 partículas já estão suficientemente precisos e que o custo computacional emanado pelo aumento de partículas ~pra esse caso, se faz desnecessário. 8 Número de células tumorais, cel 10 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 8 6 4 2 0 -2 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.51 Estimativa do número de células tumorais com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 122 12 16 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Número de células Normais, cel 14 12 10 8 6 4 2 0 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.52 Estimativa do número de células normais com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 10 Número de células endoteliais, cel 6 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 5 4 3 2 1 0 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.53 Estimativa do número de células endoteliais com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 123 0.12 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Massa de droga no corpo, mg 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.54 Estimativa da massa de droga no corpo com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. Quanto as estimativas dos parâmetros a Figura 7.55 mostra que apenas a taxa de tratamento de células tumorais, µ e taxa de decaimento da droga , λ não foram bem estimadas pelo filtro. Os demais parâmetros, na média, estão todos bem inferidos conforme podemos observar na Tabela 7.14. 8 0.014 1.3 0.013 1.1 0.011 K1, cel -1 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.012 α 1, dia x 10 0.01 1 0.9 0.009 0.8 0.008 0.007 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 0.7 0 20 40 60 Tempo, dia (a) (b) 124 80 100 120 -5 12 x 10 11 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 11 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 10 9 µ, dia r1 -1 10 9 8 8 7 7 6 6 0 20 40 60 80 100 5 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 80 100 120 80 100 120 Tempo, dia (c) (d) -3 2600 1.3 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2400 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.2 1.1 α 2, dia -1 2200 a, mg x 10 2000 1 1800 0.9 1600 0.8 1400 0 20 40 60 80 100 0.7 120 0 20 40 Tempo, dia 60 Tempo, dia (e) (f) 12 1.3 x 10 0.115 1.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.11 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.105 0.1 1.1 1 r2 K2, cel 0.095 0.09 0.085 0.9 0.08 0.075 0.8 0.07 0.7 0 20 40 60 80 100 120 0.065 0 20 40 Tempo, dia 60 Tempo, dia (g) (h) 6 0.11 6.5 0.1 6 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% b, mg ν, dia 0.08 5 0.07 4.5 0.06 4 0.05 0 20 40 60 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 5.5 -1 0.09 x 10 80 100 120 Tempo, dia 3.5 0 20 40 60 Tempo, dia (i) (j) 125 80 100 120 -3 1.3 x 10 1.4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.3 1.2 -1 φ, dia σ 1, dia -1 1.1 1 1.1 1 0.9 0.9 0.8 0.7 0.8 0 20 40 60 80 100 0.7 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 Tempo, dia (l) (m) -12 1.4 x 10 17 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.3 16 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 15 1.2 -1 λ, dia -1 ω, cel dia -1 14 1.1 1 13 12 11 0.9 10 0.8 0.7 9 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 8 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia (n) (o) Figura 7.55 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo 126 Tabela 7.14 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro. Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α1 0.0079 0.0103 0.0125 α2 7.7x10-4 9.9x10-4 1.2x10-3 σ1 0,0008 0,001 0,0012 K1 7.8x107 9.96 x107 12.2 x107 K2 7.5x1011 9.9x1011 1.2x1012 r1 7.2x10-5 9.x10-5 1.14x10-4 r2 0.0698 0.0895 0,1111 φ 0.7661 0.9931 1.2114 ω 7.8x1013 1.x10-12 1.2x10-12 µ 5.67 7.53 9.46 ν 0.0587 0.0784 0.0974 a 1.6x103 2.1x103 2.5x103 b 3.8x106 5.03x106 6.2x106 λ 10.393 13.343 16.145 Tabela 7.15 – Erro RMS para as variáveis de estado e tempo de execução da simulação. Número de RMS N1 RMS N2 RMS N3 RMS Q Tempo CPU, s 1000 7.1x1011 2.5x109 2.4x106 4.7x10-3 2.15x103 3000 6.7x1011 2.7x109 2.3x105 0.019 6.3x103 Particulas 7.4 - Estimativa de Estado para o Modelo de (PINHO et al. 2013) Para fins de estimativa de estado e de parâmetros deste modelo consideramos novamente o protocolo do GEMZAR. As variáveis de estado consideradas neste modelo são: o número de células tumorais, (N1), o número de células normais, (N2 ), o número 127 de células endoteliais, (N3) e a massa de droga no corpo, (Q). Negligenciamos a ação do agente anti-angiogênico (Equação 3.74). Foi assumido que medidas dos número de células tumorais e normais estão disponíveis e as medidas para cada uma dessas variáveis foram simuladas de forma análoga ao que foi feito nos outros casos estudados acima. Para a solução do problema direto do Modelo de (PINHO et al., 2013) , Equações (3.70-3.73) foram consideradas as seguintes condições iniciais: N1 (0) = 109 (7.5) N2 (0) = 1013 (7.6) N3 (0) = 102 (7.7) Q (0) = 0 (7.8) Os parâmetros usados nas simulações foram os da Tabela 7.16. 128 Tabela 7.16 – Valores dos parâmetros usados nas simulações PINHO et al. (2013). Parâmetro Valor α1 , dia-1 6.8x10-3 α 2 , dia-1 10-2 α 3 , dia-1 2x10-3 K1 , cel 2x1015 K 2 , cel 1.95x1011 K3 , cel 2.1x104 q1 , cel-1dia-1 3.6x10-15 q2 , cel-1dia-1 3.6x10-18 4x10-3 b , dia-1 p1 , mg-1dia-1 2.4x10-5 p2 , mg-1dia-1 40 p3 , mg-1dia-1 0 a1 , cel 2.2x1015 a2 , cel 9x1011 a3 , cel 0 λ , dia-1 12.63 η , dia-1 0 γ 0.15 Para a análise inversa usamos o algoritmo de LIU e WEST (2001) com 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. As Figuras (7.56-7.59) apresentam as variáveis de estado exatas e estimadas para as variáveis de estado. Isto é, o número de células tumorais (N1), o número de células normais (N2), o número de células endoteliais (N3) e a massa de droga no corpo (Q), respectivamente. Os resultados oriundos destas simulações revelam que, do ponto de vista biológico a aplicação deste protocolo quimioterápico a este modelo não trouxe benefício 129 no sentido de reduzir a quantidade de células tumorais. A Figuras 7.57 mostra que houve uma recuperação das células normais, mas as células tumorais também, conforme Figura 7.56. No entanto, com relação às estimativas das variáveis de estado, um dos principais objetivos desta pesquisa, vemos que o filtro conseguiu uma extrair informações bastante precisas quando comparadas ao valor exato, para todas as variáveis do modelo. 9 5 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Número de células tumorais, cel 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.56 Estimativa do número de células tumorais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 13 Número de células normais, cel 3 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.5 2 1.5 1 0.5 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.57 Estimativa do número de células normais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 130 6 Nuúmero de células endoteliais, cel 16 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 14 12 10 8 6 4 2 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.58 Estimativa do número de células endoteliais usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. Massa de droga no corpo, mg 0.025 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.59 Estimativa da massa de droga no corpo usando 1000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. Com respeito as estimativas obtidas para os parâmetros do modelo, a Figura 7.60 mostra uma boa acurácia na resposta do filtro. 131 -3 8 15 x 10 7.5 2.3 2.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% K1, cel α 1, dia Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.1 -1 7 6.5 2 6 1.9 5.5 1.8 5 x 10 0 20 40 60 80 100 1.7 120 0 20 40 Tempo, dia 60 (a) 2.8 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 100 120 100 120 2.7 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.6 -1 2.5 p1, mg dia -1 -1 3.8 -1 q1, cel dia 80 x 10 4 3.6 3.4 2.4 2.3 2.2 3.2 3 120 -5 x 10 4.2 100 (b) -15 4.4 80 Tempo, dia 2.1 0 20 40 60 80 100 2 120 0 20 40 Tempo, dia 60 Tempo, dia (c) (d) 15 2.6 x 10 0.0115 2.5 -1 0.0105 2.3 2.2 α 2, dia 2.4 a1, cel Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.011 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.01 0.0095 2.1 0.009 2 1.9 0 20 40 60 80 100 0.0085 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 Tempo, dia (e) (f) 11 2.3 x 10 0.175 0.17 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.16 0.155 2 γ K 2, cel 2.1 0.165 1.9 0.15 0.145 0.14 1.8 0.135 1.7 0.13 1.6 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 0.125 0 20 40 60 Tempo, dia (g) (h) 132 80 100 120 -18 4.2 x 10 46 4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 3.8 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 44 -1 3.4 3.2 38 36 3 34 2.8 2.6 40 -1 p2, , mg dia -1 q2, cel dia -1 42 3.6 0 20 40 60 80 100 32 0 120 20 40 Tempo, dia 60 (i) 2.3 80 100 120 80 100 120 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.1 α 3, dia -1 9.5 a2, cel 120 -3 x 10 10 9 2 8.5 1.9 8 1.8 7.5 0 20 40 60 80 100 1.7 120 0 20 40 Tempo, dia (l) 2.5 60 Tempo, dia (m) 4 -3 x 10 4.6 2.4 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 4.4 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.3 4.2 -1 2.2 b, dia K3, cel 100 (j) 11 10.5 80 Tempo, dia 2.1 4 3.8 2 3.6 1.9 1.8 0 20 40 60 80 100 3.4 120 0 20 40 Tempo, dia 60 Tempo, dia (n) (o) 14.5 14 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 13.5 λ, dia -1 13 12.5 12 11.5 11 10.5 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia (p) Figura 7.60 Estimativa dos parâmetros do modelo com 1000 partículas, e desvio padrão de 5% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 133 Com o intuito de averiguar como os desvios padrão dos erros de medida, modelo e parâmetros influenciam na resposta do filtro em relação as estimativas, para este caso, repetimos a simulação com desvio padrão de 10% para os erros de medida, modelo e parâmetro. Para este caso usamos 3000 partículas. As Figuras (7.61-7.64) mostram que as estimativas variáveis de estado, quando comparadas com seus respectivos valores exatos, apesar do aumento das incertezas, ainda estão muito satisfatórias. Porém, os intervalos de confiança estão maiores que quando comparadas com o caso simulado com apenas 5% de desvio padrão para os erros de medidas, modelo e parâmetros. 9 6 x 10 Número de células tumorais, cel 5 4 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 3 2 1 0 -1 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.61 Estimativa do número de células tumorais usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 134 13 4 x 10 Medido Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Número de células normais, cel 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 Tempo, dia Figura 7.62 Estimativa do número de células normais usando 3000 partículas e 5% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 7 Nuúmero de células endoteliais, cel 1.8 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.63 Estimativa do número de células endoteliais usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. 135 0.08 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% Massa de droga no corpo, mg 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia Figura 7.64 Estimativa da massa de droga no corpo usando 3000 partículas e 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros. Quanto as estimativas dos parâmetros neste caso em que usamos 10% de desvio padrão para os erros de medida, modelo e parâmetros e o filtro foi inicializado com 3000 partículas, pode-se observar através da Figura 7.65 e da Tabela 7.17 que todos os parâmetros foram bem estimados -3 9 15 x 10 2.6 x 10 8.5 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 8 2.4 2.2 7 K 1, cel α 1, dia -1 7.5 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 6.5 6 2 1.8 5.5 1.6 5 4.5 0 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia 1.4 0 20 40 60 Tempo, dia (a) (b) 136 80 100 120 -15 5.5 -5 x 10 3.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 5 x 10 3 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.8 4.5 -1 -1 p1, mg dia -1 -1 q1, cel dia 2.6 4 2.4 2.2 3.5 2 3 1.8 2.5 0 20 40 60 80 100 1.6 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 Tempo, dia (c) (d) 15 2.8 x 10 0.014 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.6 0.013 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.012 -1 0.011 α 2, dia a1, cel 2.4 2.2 0.01 2 0.009 1.8 1.6 0.008 0 20 40 60 80 100 0.007 120 0 20 40 Tempo, dia 60 80 100 120 80 100 120 Tempo, dia (e) (f) 11 2.6 x 10 0.2 0.19 2.4 2.2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.18 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.17 γ K2, cel 0.16 2 0.15 0.14 1.8 0.13 0.12 1.6 0.11 1.4 0 20 40 60 80 100 0.1 120 0 20 40 Tempo, dia 60 Tempo, dia (g) (h) -18 5 x 10 55 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 4.5 50 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% -1 -1 p2, , mg dia 4 -1 q2, cel dia -1 45 3.5 40 35 3 2.5 30 0 20 40 60 80 100 120 25 0 20 40 Tempo, dia 60 Tempo, dia (i) (j) 137 80 100 120 11 12 -3 x 10 2.6 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 11 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.4 2.2 α 3, dia -1 10 a2, cel x 10 9 2 8 1.8 7 1.6 6 0 20 40 60 80 100 1.4 120 0 20 40 Tempo, dia (l) 80 100 120 (m) 4 2.8 60 Tempo, dia -3 x 10 5.5 2.6 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.4 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 5 -1 b, dia K3, cel 4.5 2.2 2 4 3.5 1.8 3 1.6 1.4 0 20 40 60 80 100 2.5 0 120 Tempo, dia 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia (n) (o) 16 15 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% -1 13 λ, dia 14 12 11 10 9 0 . 20 40 60 80 100 120 Tempo, dia (p) Figura 7.65 Estimativa dos parâmetros do modelo com 3000 partículas, e desvio padrão de 10% para o modelo de evolução de estado, medidas e parâmetros do modelo. 138 Tabela 7.17 – Média e quantis 0.01 e 0.09 dos parâmetros estimados pelo filtro Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α1 0.0055 0.0067 0.0080 K1 1.52x1015 1.97 x1015 2.43 x1015 q1 2.79 x10-15 3.59 x1015 4.52 x1015 p1 1.96 x10-5 2.41 x10-5 2.82 x10-5 a1 1.72 x1015 2.16 x1015 2.67 x1015 α2 0.0080 0.0104 0.0128 K2 γ 1.57 x1011 1.94 x1011 2.32 x1015 0.1103 0.1455 0.1770 q2 2.88 x10-18 3.59 x10-18 4.26 x10-18 p2 31.0868 41.4100 51.3988 a2 7.1 x1011 8.93 x1011 1.081 x1011 α3 0.0016 0.0020 0.0025 K3 1.76 x104 2.18 x104 2.57 x104 b 0.0031 0.0039 0.0047 λ 10.38 12.79 15.04 Outra coisa importante a ser mencionada é que apesar do Modelo de RODRIGUES (2011) e de PINHO et al. (2013) serem bastante semelhantes do ponto de vista da dinâmica de crescimento de tumores, a farmacodinâmica assumida por cada um deles é diferente e isto provocou uma mudança significativa nos resultados obtidos para estes modelos, neste trabalho. De acordo com as simulações feitas e exibidas neste Capítulo para os dois modelos, mediante um tratamento quimioterápico, observou-se que, enquanto no modelo de RODRIGUES (2011) o número de células tumorais e normais decresceram, no modelo de PINHO et al. (2013) as mesmas tiveram crescimento. Na próxima subseção apresentamos os resultados obtidos dentro da perspectiva desta pesquisa para os dados experimentais. 139 7.5 - Estimativa simultânea de Modelos e Parâmetros: Aplicação aos Dados Experimentais Obtidos Conforme mencionado no Capítulo 6, um ensaio de proliferação celular foi realizado com o intuito de verificar a dinâmica de proliferação de duas linhagens celulares sem e com tratamento quimioterápico. Essas linhagens são: DU-145, célula tumoral (câncer de próstata) e RAW-264.7 ( macrófago murino). Vários modelos são encontrados na literatura com o objetivo de descrever o crescimento de populações celulares, alguns deles descritos na revisão bibliográfica desta tese. Neste trabalho, estamos interessados em averiguar qual dentre os modelos existentes na literatura é mais adequado para explicar as medidas. Os modelos mais utilizados para esse fim ainda são: o Modelo Logístico, O Modelo de Gompertz e o Modelo Logístico Generalizado, RODRIGUES (2011). No entanto, as características das medidas obtidas nos ensaios nos levaram a propor o que denominamos de Modelo Exponencial Modificado. Este modelo tem a seguinte formulação: dN = α 4 Ke −α 4t dt onde N > 0 é o número de células e α 4 > 0 (7.9) é a taxa na qual a população atinge a capacidade suporte, K. A solução analítica para a Equação (7.9) é: N (t ) = N 0 K (1 − exp −α 4t ) (7.10) onde N 0 é o número inicial de células. Observe que a medida que t cresce, N (t ) tende para a capacidade suporte. Com esses quatro modelos disponíveis, se faz necessário identificar o mais adequado para ajustar os dados experimentais. A metodologia utilizada para este fim foi o Cálculo Bayesiano Aproximado-ABC, detalhado no Capítulo 5, um dos cernes desta pesquisa. Com esta abordagem, além de selecionar modelos, as partículas da população final representam uma amostra da distribuição a posteriori e com isso também obtemos estimativas para os parâmetros do modelo. Após 140 selecionado o modelo mais adequado, uma outra ferramenta Bayesiana, filtro de partículas, foi utilizada para estimar dinamicamente as variáveis de estado e os parâmetros do modelo em repetições do experimento. O objetivo disto é validar o modelo escolhido pelo ABC bem como suas soluções. Essas duas ferramentas juntas constituem a principal contribuição dessa tese. 7.5.1 - Estimativa para as células tumorais sem tratamento Não foi possível repetir o experimento pra esta linhagem, experimentos (1 e 2). Portanto, faremos apenas seleção de modelo e estimativa de parâmetros utilizando o ABC SMC. Foram obtidas 15 medidas ao longo de 67 horas, tempo que durou o experimento. As medidas para todos os experimentos realizados estão apresentadas no apêndice B. Para utilizarmos o ABC SMC consideramos, como modelos concorrentes, o logístico generalizado, Gompertz, Exponencial e Exponencial Modificada. Estes modelos são respectivamente designados modelos 1,2,3 e 4, sendo por conveniência reescritos aqui como: • Modelo 1. Logístico generalizado γ • dN1 (t ) α1 N1 µNQ = 1 − − 1 1 γ K1 a1 + N1 dt (7.11) dQ(t ) = −λQ dt (7.12) Modelo 2. Gompertz K µ N Q dN 2 (t ) = α 2 N ln 2 − 2 2 dt N 2 a2 + N 2 dQ(t ) = −λQ dt • Modelo 3. Exponencial 141 (7.13) (7.14) • dN 3 (t) µNQ = α 3 N3 − 3 3 dt a3 + N3 (7.15) dQ(t ) = −λQ dt (7.16) Modelo 4. Exponencial Modificada dN 4 (t) µNQ = α 4 K 4 e −α 4 t − 4 4 dt a4 + N 4 (7.17) dQ(t ) = −λQ dt (7.18) onde N i , i = 1,..., 4 correspondem ao número de células tumorais, α i , i = 1,...,3 , correspondem as taxas de crescimento das células tumorais, K1 , K 2 e K 4 , correspondem a capacidade suporte das células tumorais, as células tumorais atingem a saturação, α 4 diz respeito a taxa na qual µi , i = 1,...,4 , correspondem as taxas de tratamento das células tumorais, ai , i = 1,...,4 são constantes de Holling tipo 2, para Ni e λ é a taxa de decaimento da droga. Vale salientar que o modelo exponencial usual serviu aqui para testar a qualidade do algoritmo, já que certamente ele não consegue modelar saturação e por isso explica no máximo o crescimento inicial de tumores. Para todos os casos onde não se tem tratamento quimioterápico, considera-se Q = 0 . As condições iniciais para todos os modelos foi N ( 0 ) = 103 células (dadas pelas condições experimentais). As distribuições a priori utilizadas para os parâmetros de cada modelo (Tabela 7.23), foram assumidas como uniforme, baseadas em valores encontrados nos trabalhos de (DOMINGUES, 2011, RODRIGUES et al., 2012). No Apêndice C, mostramos simulação feita com medidas geradas a partir do modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) para verificar se o ABC SMC nessas condições, identificava o modelo correto. Usamos o modelo de GATENBY e GAWLINSKI, (1996) como concorrente. Também feita simulação com medidas geradas a partir do Modelo de PINHO et al. (2013), tendo como modelo concorrente o de RODRIGUES (2011), onde observa-se que em ambas as situações o Algoritmo ABC SMC selecionou corretamente o modelo. 142 Tabela 7.18 – Distribuição a priori para os valores dos parâmetros Modelo Parâmetro/Distribuição Logístico Generalizado α1 ∼ U (0, 5) K1 ∼ U (103 , 107 ) Gompertz α 2 ∼ U (0, 5) K 2 ∼ U (103 , 107 ) Exponencial α 3 ∼ U (0, 5) Exponencial Modificada α 4 ∼ U (0, 5) γ ∼ U [1, 3] K 4 ∼ U (103 , 107 ) Para o esquema de tolerâncias, foi inicialmente utilizada uma tolerância grande, 3x1013 para garantir que tivéssemos partículas aceitas na primeira população e estas tolerâncias foram sendo refinadas ao longo das distribuições intermediárias. A tolerância final foi baseada no princípio da discrepância de Morozov (MOROZOV, 1966). A população final representa o nível máximo de concordância desejado entre os dados medidos e simulados. Foram usadas 23 populações intermediárias. A função distância usada neste trabalho para todos os casos estudados foi d ( z , z0 ) = ∗ N part ∑ ( z (i) − z (i) ) * i =1 2 0 (7.19) onde z * e z 0 , correspondem a medida simulada e observada, respectivamente. O kernel de perturbação foi assumido da seguinte forma K t ∼ U ( −σ θ p , σ θ p ) ( onde σ θ p = 0.5 max {θ} p −1 − min {θ} p −1 ) (7.20) e θ p−1 corresponde a todas as partículas (conjunto de parâmetros) da população anterior para o modelo selecionado. Para todos os casos em que utilizamos o ABC SMC, geramos 1.000 partículas a priori para cada modelo e definimos que cada população intermediária deveria ter 1000 partículas. A Figura 7.66, apresenta as 23 populações utilizadas pelo ABC. Mostra ainda que para o presente caso de células tumorais sem tratamento, o modelo selecionado pelo foi o Modelo Exponencial Modificado. 143 400 200 0 1 2 3 4 500 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 500 0 1000 500 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 0 1000 500 0 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 500 1 2 3 4 1000 500 0 1000 500 0 1 2 3 4 400 200 0 400 200 0 1 2 3 4 400 200 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 1000 500 0 1 2 3 4 1-Logístico generalizado 2-Gompertz 3-Exponencial 4-Exponencial modificada 1 2 3 4 Figura 7.66 Histograma pra seleção de modelos em todas populações. A Figura 7.67 mostra o ajuste que foi obtido com o ABC SMC ao longo de quatro diferentes população intermediárias, para o modelo escolhido, onde pode se observar que a medida que as tolerâncias vão sendo reduzidas a qualidade do ajuste vai melhorando. É importante também ressaltar que o Modelo Exponencial, como previsto, não conseguiu avançar a todas as populações o que mostra que o algoritmo tende realmente a selecionar o modelo mais adequado aos dados. 5 5 x 10 4 10 8 6 4 2 0 0 x 10 Medida Estimado ABC SMC 3.5 Medida Estimado ABC SMC 12 Número de células-Macrófago, cel Número de células-Macrófago, cel 14 3 2.5 2 1.5 1 0.5 10 20 30 40 50 0 60 Tempo, h 0 10 20 30 Tempo, h (a) (b) 144 40 50 60 5 4 4 Medida Estimado ABC SMC 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 x 10 Medida Estimado ABC SMC 3.5 Número de células-Macrófago, cel 3.5 Número de células-Macrófago, cel 5 x 10 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 0 60 0 10 20 Tempo, h 30 40 50 60 Tempo, h (a) (b) Figura 7.67 Os gráficos, letras (a-c) representam o ajuste do modelo aos dados experimentais através das populações 1,10,15 e 23.. A Tabela 7.19 apresenta os erros RMS, a média e os quantis 0.01 e 0.99 para as quatro populações mostradas na Figura 7.67. Pode-se observar que os erros RMS para a variável de estado vão diminuindo com o avanço das populações. Tabela 7.19 – Distribuição a priori para os valores dos parâmetros População Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 Erro RMS de N4 1 α4 0.002 0.204 0.49 7.62 x103 K4 0.021 x106 1.34 x106 6.98 x106 α4 0.012 0.209 0.449 K4 0.547 x105 2.99 x105 5.76 x105 α4 0.041 0.116 0.194 K4 2 x105 2.42 x105 2.92 x105 α4 0.058 0.061 0.063 K4 2.78x105 2.79x105 2.79x105 10 15 23 145 7.01 x103 4.69 x103 3.43 x103 7.5.2 - Estimativa para as células RAW 264.7 - macrófagos, sem tratamento Para este experimento, conseguimos realizá-lo em dois momentos distintos como descrito no Capítulo 6 e por isso temos disponíveis dois conjuntos de medidas que foram usadas da seguinte forma: (i) Utilizamos o ABC SMC para selecionar o melhor modelo para cada um dos dois conjunto de medidas; (ii) Os parâmetros estimados pelo ABC SMC no primeiro passo serviram de entrada para o algoritmo de LIU e WEST (2001) no outro conjunto de medidas; Este procedimento tem dois objetivos principais: 1) verificar o potencial do algoritmo nessa determinada situação em que os parâmetros de entrada não foram inferidos a partir deste conjunto de medidas. 2) Validar o modelo escolhido. A condição inicial para todos os modelos neste caso foi N ( 0 ) = 104 células, em função da condição experimental. As priori’s para os parâmetros de todos os modelos concorrentes são os mesmos da Tabela 7.18. A tolerância inicial foi 1016 e tolerância final 1.3x1012, num total de 14 populações intermediárias. Para este caso, experimento 3 (Tabela 6.1), a Figura 7.68 mostra as 14 populações usadas pelo ABC, onde o modelo selecionado foi o Logístico Generalizado. Pode-se observar ainda, que a partir da décima segunda população, somente o modelo logístico generalizado teve partículas aceitas. No entanto, o algoritmo não foi encerrado nessa população, para que essas partículas ainda pudessem ser refinadas. Isto é, até que nenhuma partícula seja aceita para uma determinada tolerância, nesse caso, inferior a 1.3x1012. 146 400 400 1000 200 200 500 0 0 1234 500 0 0 1234 0 1234 400 1000 1000 200 500 500 0 1234 500 0 1234 0 1234 1000 1000 1000 1000 500 500 500 500 0 0 1234 1000 1000 500 500 0 1234 0 0 1234 0 1234 1234 1234 1234 1-Logístico Generalizado 2-Gompertz 3-Exponencial 4-Exponencial Modificada 1234 Figura 7.68 Histograma pra seleção de modelos em todas populações-Conjunto de medidas 1. A Figura 7.69, mostra o ajuste dos dados experimentais ao Modelo Logístico generalizado, e a evolução deste ajuste para as populações 1,5, 10 e 14. Observamos que inicialmente o ajuste é muito ruim, mas gradativamente essa discrepância vai se reduzindo até atingir na última população o máximo de concordância que se pode obter com este modelo, para este conjunto de dados. A Tabela 7.20 mostra as médias estimadas e os quantis 0.01 e 0.99, para os parâmetros do modelo. 6 5 x 10 6 x 10 2.5 Medida Estimado ABC SMC 4 Número de células- Macrófago, cel Número de células- Macrófago, cel 4.5 3.5 3 2.5 2 1.5 1 Medida Estimado ABC SMC 2 1.5 1 0.5 0.5 0 0 10 20 30 40 Tempo, h 50 0 0 60 10 (a)................................................... 147 20 30 40 Tempo, h .(b) 50 60 6 2.5 6 x 10 2.5 x 10 Medida Estimado ABC SMC 2 Número de células- Macrófago, cel Número de células- Macrófago, cel Medida Estimado ABC SMC 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 Tempo, h 50 2 1.5 1 0.5 0 60 0 10 20 (c).................................................... 30 40 Tempo, h 50 60 (d) Figura 7.69 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo selecionado-Logístico Generalizado. Tabela 7.20 – Saídas do ABC SMC experimento 3, para o modelo selecionado. População 14 Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α1 0.1548 0.2119 0.2610 K1 1.8x10 6 6 2.6x106 γ 1.2335 2.2x10 1.64 1.8946 Usamos novamente o algoritmo ABC SMC para selecionar o modelo mais adequado para experimento 5 (Tabela 6.1). Esse conjunto representa 15 medições obtidas de acordo como descrito no Capítulo 6. Utilizamos as mesmas priori’s para os parâmetros, a mesma condição inicial e a mesma tolerância inicial para a primeira população. A tolerância final para este caso foi 6.5x1010 . Os histograma abaixo, Figura 7.70 mostram as 23 populações utilizadas, onde o algoritmo vai tentando identificar o modelo mais adequado. Pode-se observar que o modelo selecionado pelo ABC SMC na última população foi o Modelo Exponencial Modificado. 148 400 1000 1000 200 500 500 0 0 1 2 3 4 400 400 200 200 0 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 500 1 2 3 4 500 0 200 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 400 400 400 200 200 200 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 400 400 400 400 200 200 200 200 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 400 1000 400 200 500 200 0 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1000 1000 500 500 0 1 2 3 4 400 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 500 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1-Logístico Generalizado 2-Gompertz 3-Exponencial 4-Exponencial Modificada Figura 7.70 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para o experimento 5 (Tabela 6.1) . A Figuras 7.71 (a-d) mostram as estimativas para a variável de estado (Número de células normais), nas populações 1,8,16 e 23. Novamente observamos que a medida que as tolerâncias vão sendo refinadas o ajuste do modelo aos dados vai se aproximando daquilo que o modelo pode de fato oferecer. As estimativas obtidas para as médias dos parâmetros na última população e seus respectivos quantis 0.01 e 0.99, encontram-se na Tabela 7.21. 149 5 5 11 x 10 9 Medida Estimado ABC SMC 8 Medida Estimado ABC SMC 9 7 Número de células, Macrófago Número de células- Macrófago, cel 10 x 10 8 7 6 5 4 3 6 5 4 3 2 2 1 1 0 0 10 20 30 40 50 0 60 0 10 20 30 Tempo, h Tempo, h (a) 9 Medida Estimado ABC SMC Número de células- Macrófago, cel Número de células- Macrófago, cel 40 50 60 x 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0 60 5 x 10 8 50 (b) 5 9 40 Medida Estimado ABC SMC 7 6 5 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 0 60 0 10 20 Tempo, h 30 Tempo, h (c) (d) Figura 7.71 Os gráficos, letras (a-c) representam o ajuste do modelo aos dados experimentais (segundo conjunto de medidas) através das populações 1,8,16 e 23. Tabela 7.21 – Saídas do ABC SMC, conjunto de medidas 2 para o modelo selecionado População 23 Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α4 0.2235 0.3051 0.3827 K4 5 5 3.8x105 3.5x10 3.6x10 Como já mencionado, utilizamos agora as informações obtidas pelo ABC SMC do para o experimento 3 (Tabela 6.1) e estas informações passam a servir como dados de entrada para o filtro de partículas, algoritmo de LIU e WEST, (2001) no experimento 5(Tabela 6.1). Consideramos 15%, desvio padrão para os erros de modelo e de parâmetros e a condição inicial para a variável de estado, N (0) = 104 . Como o experimento foi realizado em triplicata e estamos usando a média dessa triplicata, o 150 desvio padrão usado para os erros de medida foi o desvio padrão de cada medida experimental, ou seja, o desvio padrão aqui varia com tempo. Foram usadas 1000 partículas . A Figura 7.72 apresenta a variável de estado exata e estimada, ou seja o número de células normais. Nesta Figura também são apresentadas as medidas usadas no problema de estimativa de estado com o filtro de LIU e WEST (2001), bem como os intervalos de 99% de confiança. Apresenta-se ainda a curva obtida resolvendo-se o problema direto com os parâmetros estimados pelo ABC (linha azul), no experimento 1 e a curva obtida resolvendo-se o problema direto com os parâmetros estimados pelo filtro no tempo final (linha vermelha). A Figura 7.73 apresenta a estimativa das médias e intervalo de confiança dos parâmetros do modelo. O resultado obtido para a variável de estado número de células normais, Figura 7.72 mostra que os parâmetros iniciais extraídos do experimento 3 (Tabela 6.1) não são adequados para servir como dado de entrada para o experimento 5 (Tabela 6.1). Mesmo assim, as estimativas obtidas pelo filtro para a variável de estado estão bastante satisfatórias. Como os parâmetros estimados, Figura 7.73(a-b), claramente não convergiram, concluímos que, embora esse modelo tenha sido escolhido como o mais adequado pelo ABC SMC para representar as medidas (experimento 5 (Tabela 6.1)), com esses dados de entrada do experimento 3 (Tabela 6.1) o ajuste não é o desejável . O fato das estimativas da variável de estado ter sido muito bem inferidas pelo filtro mostra que, como assumimos o desvio relativamente alto, 15% para o desvio de modelo, o algoritmo de LIU e WEST (2001) deu maior importância às medidas. 6 Número de células-Macrófago, cel x 10 2 Medido Entrada ABC SMC Estimado Saída Filtro Nível de 99% de confiança 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 Tempo, h 151 40 50 60 Figura 7.72 Estimativa da variável de estado com 1000 partículas e 15% de desvio padrão para os erros de modelo e parâmetros. 0.3 2.5 x 10 6 Exato Estimado Intervalo de Confiança 99% 0.25 Exato Estimado Intervalo de Confiança 99% 2 0.2 α 4 ,h K, cel -1 1.5 0.15 1 0.1 0.5 0.05 0 10 20 30 40 50 60 0 0 10 20 Tempo,h 30 40 50 60 Tempo,h (a) (b) Figura 7.73 Estimativa dos parâmetros do modelo Agora, utilizamos as informações obtidas pelo ABC SMC no experimento 5 (Tabela 6.1) para servir como dado de entrada para o filtro de partículas no experimento 3 (Tabela 6.1). Duas coisas precisam ser levadas em conta: 1) o modelo selecionado no primeiro conjunto de medidas, Logísitico generalizado, tem três parâmetros e o selecionado no segundo conjunto, Exponencial modificada, tem apenas dois parâmetros. 2) a ordem de grandeza dos valores máximos nos dois conjuntos de medidas tem uma ordem de grandeza de diferença. Em virtude disso, para usarmos o filtro como proposto no início dessa subseção, consideramos a capacidade suporte, K, na mesma ordem de grandeza do valor máximo entre os dois conjuntos de medidas e o valor do parâmetro γ que determina a velocidade com que a saturação é atingida, no modelo Logístico generalizado, foi extraído do ABC SMC, na última população a qual esse modelo foi selecionado. Os parâmetros usados como entrada para o filtro de partículas, são as médias das partículas na última população, Tabela 7.22. Foi usado 10% de desvio padrão para os erros de modelo e 15% para o desvio padrão dos erros dos parâmetros. O desvio padrão dos erros de medida utilizado foi o desvio padrão dos erros de medidas observados. 152 Tabela 7.22 – Parâmetros usados no filtro para estimar para o modelo selecionado Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α1 0.2235 0.3051 0.3827 K1 3.5x10 5 5 3.8x105 γ 1.44 3.6x10 1.79 1.95 O resultado obtido para a variável de estado com 1000 partículas, apresentado na Figura 7.77 mostra que o filtro privilegiou a informação contida nas medidas e como os parâmetros não convergiram, concluímos novamente que o modelo não é adequado para explicar os dados do experimento 3 (Tabela 6.1), embora tenha sido para o experimento 5 usado no ABC SMC. 6 x 10 Número de células-Macrófago, cel 3 Medida Estimado ABC SMC Estimado Estimado-saída Nível de 99% de confiança 2.5 2 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 60 Tempo, h Figura 7.74 Estimativa da variável de estado com 1000 partículas, 10% de desvio padrão para os erros de modelo e15% de desvio padrão para os erros de parâmetros. 153 6 0.38 4.4 Exato Estimado 99% Bounds 0.36 4.2 4 0.34 3.8 K1, cel -1 0.32 α 1, h x 10 0.3 3.6 3.4 0.28 3.2 0.26 3 0.24 0.22 Exato Estimado 99% Bounds 2.8 0 10 20 30 40 50 60 70 2.6 0 10 20 Tempo,h 30 40 50 60 70 Tempo,h (a) (b) 2.5 Exato Estimado 99% Bounds γ, h -1 2 1.5 1 0 10 20 30 40 50 60 70 Tempo,h (c) Figura 7.75 Estimativa dos parâmetros do modelo Nas duas próximas subseções será mostrado o ensaio feito para as mesmas linhagens celulares vistas nas seções 7.51 e 7.52, mas levando em conta a ação de um determinado agente quimioterápico, a Doxorubicina. O Cloridrato de Doxorrubicina tem sido usado com êxito para produzir regressão em várias neoplasias, tais como carcinoma da mama, pulmão, bexiga, tireoide e ovário; sarcomas ósseos e dos tecidos moles; linfomas de Hodgkin e não-Hodgkin; neuroblastoma; tumor de Wilms; leucemia linfoblástica aguda e leucemia mieloblástica aguda. O Cloridrato de Doxorrubicina tem proporcionado resultados positivos nos tumores superficiais da bexiga por administração intravesical após ressecção transuretral. Outros tumores sólidos como o câncer de próstata também têm respondido bem ao tratamento (MEDICINANET, 2014). A farmacocinética desta droga segue um modelo bicompartimental, mas pela natureza do experimento que realizamos, sem interação entre diferente tipos de células e pela ausência de informação na literatura sobre os parâmetros do modelo para um experimento como esse, optamos por um modelo farmacocinético de primeira ordem. 154 A taxa de decaimento da droga foi calculada com base na meia vida, t1/ 2 da Doxorrubicina que gira em torno de 20 a 48 horas (DRUGS.COM, 2014). A farmacodinâmica usada em todos os modelos testados para avaliar a qualidade do ajuste aos dados experimentais seguiram a farmacodinâmica usada no trabalho de (PINHO et al., 2013). 7.5.3 - Estimativa para os dados experimentais com tratamentoCélulas tumorais Pelo fato de termos disponível somente um conjunto de medidas experimentais para as células tumorais as estimativas da variável de estado e dos parâmetros do modelo selecionado foram somente pelo algoritmo ABC SMC. As condições iniciais utilizadas para o número de células tumorais e massa de droga, foram, respectivamente: N (0) = 103 células (7.21) Q(0) = 5.4352 mg (7.22) Na ausência de informações mais precisas sobre os parâmetros, utilizamos priori uniforme para todos eles de acordo com a Tabela 7.23, baseado nos trabalhos de (DOMINGUES, 2011, RODRIGUES et al., 2012) Tabela 7.23 – Distribuição usada a priori para os parâmetros Parâmetro Distribuição U ( 0, 10 ) α1 ,α 2 ,α 3 α4 U (10−3 , 5 ) U (103 , 104 ) K1 , K 2 ,K 4 γ µ1 , µ 2 , µ3 , µ 4 U [1, 3] U (10−1 , 103 ) U (10 −1 , 10 ) a1 , a2 , a3 , a4 U (10−3 , 10−2 ) λ 155 O histograma com as partículas aceitas por cada modelo nas quarenta populações utilizadas pelo ABC, apresentado na Figura 7.79 mostra que das 1000 partículas aceitas na população final, o Modelo Logístico generalizado foi selecionado 267 vezes contra 733 do Modelo Exponencial. A tolerância inicial foi 5x1013 e tolerância da última população 3x107 . Como chegamos a última população tendo dois modelos com partículas aceitas, utilizamos o fator de Bayes, KASS e RAFTERY, (1995), pra ajudar na decisão de qual modelo é o mais adequado B2,1 = 733 = 2.7453 267 (7.23) A Equação 7.23 dá apenas uma evidência fraca em favor do Modelo Exponencial KASS e RAFTERY, (1995). Em virtude da pouca evidência, mostramos as saídas da população final para os dois modelos que tiveram partículas aceita. Visualmente a curva ajustada para os dois modelos estão muito próximas o que justificativa a evidência fraca extraída via fato do fator de Bayes. As Tabelas (7.24 -7.25) mostram também que os parâmetros equivalentes nos dois modelos, na última população não tem estimativas muita próximas. Talvez isso se deva a diferença entre o que os dois modelos são capazes de predizer. 156 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1000 500 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 1 2 3 4 400 200 0 1 2 3 4 400 200 0 1 2 3 4 400 200 0 1 2 3 4 400 200 0 1 2 3 4 500 1 2 3 4 500 0 400 200 0 0 1 2 3 4 0 1000 500 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 500 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1000 500 0 1000 500 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 500 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1000 500 0 1000 500 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 500 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1000 500 0 1000 500 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Figura 7.76 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para conjunto de medidas(células tumorais com quimioterapia). Número de Células Tumorais, cel 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Medido Estimdo ABC SMC 0 10 20 30 40 50 60 Tempo h Figura 7.77 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo Logístico generalizado. 157 Número de Células Tumorais, cel 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Medido Estimdo ABC SMC 0 10 20 30 40 50 60 Tempo h Figura 7.78 Gráfico gerado com as saídas do ABC SMC para o modelo Gompertz. Tabela 7.24 – Estimativa dos parâmetros através do ABC SMC para o modelo Logístico Generalizado População 40 Parâmetro α1 Quantil 0.01 4.9604 Média 7.0069 Quantil 0.99 8.3837 K1 4.6x103 5.3 x103 6.1x103 γ1 1.3587 1.6396 2.1179 µ1 2.4x10 2 3.6x10 2 5.3x102 a1 2.1254 4.8334 7.5417 λ 2.1254 0.0557 7.5417 Tabela 7.25 – Estimativa dos parâmetros através do ABC SMC para o modelo Gompertz População 40 Parâmetro α2 Quantil 0.01 1.9222 Média 5.4862 Quantil 0.99 8.6938 K2 4.2x103 4.9x103 5.6x103 µ2 2x102 5x102 8.3x102 a2 2.2982 5.2389 8.3234 λ 0.0225 0.0553 0.0867 158 7.5.4 - Estimativa para os dados experimentais com tratamentoCélulas Normais Para este experimento, em virtude de dispormos de dois conjuntos de medidas usamos o algoritmo ABC SMC para selecionar o modelo mais adequado e seus respectivos parâmetros do experimento 4 (Tabela 6.1), e estes serviram como dados de filtro do Algoritmo de LIU e WEST, (2001) no experimento 6(Tabela 6.1). Foram utilizadas 19 populações e a tolerância inicial foi 5x1013 e a tolerância final 8x109. As condições iniciais utilizadas para o número de células normais e massa de droga, foram, respectivamente: N (0) = 104 células (0.1) Q(0) = 5.4352 mg (0.2) Na ausência de informações mais precisas na literatura sobre os parâmetros utilizamos priori uniforme para todos eles de acordo com a Tabela 7.26, baseado nos trabalhos de (DOMINGUES, 2011, RODRIGUES et al., 2012) Tabela 7.26 – Distribuição usada a priori para os parâmetros Parâmetro α1,α2,α3 Distribuição U ( 0, 10 ) U (10−3 , 5 ) α4 U (103 , 106 ) K1,K2,K3,K4 U [1, 3] γ U (10−1 , 103 ) µ 1,µ 2,µ 3,µ 4 U (10 −1 , 10 ) a1 , a2 , a3 , a4 U (10−3 , 10−2 ) λ A Figura 7.79, mostra o histograma com as 19 populações utilizadas. Nelas podese observar o desempenho do ABC na busca para selecionar o melhor modelo. Vemos 159 na última população que o modelo escolhido foi o Exponencial Modificado. Utilizando os parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população, Tabela 7.27, resolvemos o problema direto obtendo a curva mostrada na Figura 7.80. Nela podemos observar que o modelo selecionado com quimioterapia conseguiu descrever de forma razoável o comportamento dos dados experimentais. Isso mostra que os parâmetros ajustados pelo ABC SMC, Tabela 7.27 estão bastante coerentes. 400 400 400 400 200 200 200 200 0 1 2 3 4 400 200 0 0 400 200 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 400 200 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 400 400 400 400 200 200 200 200 0 0 0 1 2 3 4 400 200 0 1 2 3 4 500 1 2 3 4 0 0 1000 1000 1000 500 500 500 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 400 200 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4 400 200 1 2 3 4 0 1 2 3 4 400 200 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Figura 7.79 Histograma pra seleção de modelos em todas populações para o experimento 4 (Tabela 6.1)(células normais com quimioterapia). 4 16 x 10 Medido Estimado ABC SMC Número de células-Macrófago, cel 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 Tempo, h 40 50 60 Figura 7.80 Estimativa da variável de estado usando os parâmetros estimados pelo ABC SMC. 160 Tabela 7.27 – Parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população para o experimento 4(Tabela 6.1)- (macrófago com tratamento) População Parâmetro α4 19 Quantil 0.01 1.2756 Média 2.987 Quantil 0.99 4.6058 K4 0.87x105 9.7x105 1.1x105 µ4 723.93 844.46 920.31 a4 1.23 5.02 8.69 λ 0.0314 0.0435 0.060 Com relação ao experimento 6 (Tabela 6.1), foram utilizadas as mesmas condições, a mesma tolerância inicial e as mesmas priori’s para os parâmetros. Foram usadas 17 populações e a tolerância final foi 3x1010. A Figura7.84 mostra o histograma com a escolha feita pelo ABC SMC para cada uma das 17 populações. Mostra ainda que o Modelo escolhido também foi o Exponencial Modificado e os parâmetros estimados na última população estão na Tabela 7.28. 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 1000 500 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 1000 500 0 1000 500 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 400 200 0 400 200 0 400 200 0 400 200 0 1000 500 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Figura 7.81 Histograma pra seleção de modelos em todas as populações para experimento 6 (Tabela 6.1)- (células normais com quimioterapia). 161 Com os parâmetros estimados pelo ABC SMC resolvemos o problema direto e podemos observar que a estimativa do número de células normais está bastante satisfatória e que a quimioterapia de fato está atuando e matando tais células. 5 x 10 Medida Estimado ABC SMC Número de células-Macrófago, cel 2 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 Tempo, h 50 60 Figura 7.82 Estimativa da variável de estado usando os parâmetros estimados pelo ABC SMC para o Modelo 4. Tabela 7.28 – Parâmetros estimados pelo ABC SMC na última população para o experimento 6(Tabela 6.1)- (macrófago com tratamento) População 17 Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α4 0.8394 2.78 4.6310 K4 1.1x10 5 µ4 404.6 717.21 912.7 a4 1.16 5.19 9.35 λ 0.0078 0.0272 0.0554 1.3x10 5 1.8x105 Agora os parâmetros estimados pelo ABC, Tabela 7.28 foram usados como dados de entrada no algoritmo de LIU e WEST, (2001) usando o experimento 4 (Tabela 6.1). Vale lembrar que todos os parâmetros dos modelos estudados são positivos. Assumimos 162 10% de desvio padrão para os erros de modelo e 15% de desvio padrão para os erros de parâmetros e 2000 partículas foram utilizadas. Como mencionado nos casos estudados, com e sem tratamento, o desvio padrão dos erros de medida usado, foi o desvio das medidas e de forma dinâmica. O fato de usarmos 15% para o desvio de parâmetros se justifica pelo fato de não termos muita informação sobre eles e assim poder dar mais liberdade para o filtro buscar a melhor estimativa. As Figuras (7.83-7.84) mostram as variáveis de estado exatas e estimadas, ou seja, o número de células normais e a massa de droga no corpo, respectivamente. Mostra também as medidas experimentais usadas na solução do problema de estimativa de estado com o filtro de LIU e WEST (2001). Mostra ainda os intervalos de 99% de confiança e as curvas com a solução do problema direto usando as estimativas dos parâmetros obtidas pelo ABC (linha azul) e pelo filtro no último tempo (linha vermelha) . Pode-se se observar nas Figura (7.83-7.85) e Tabela 7.29, que as estimativas para as variáveis de estado e os parâmetros do modelo tiveram uma boa acurácia se considerarmos que os desvios dos erros de modelo e parâmetros são relativamente altos. Além disso, ainda temos os desvios dos erros de medida, que apesar de não ser fixo, também tem grande influência nas estimativas via filtro de partículas. Nesse caso vemos que o filtro deu elevada importância a informação contida nas medidas, expressas através da verossimilhança. 4 16 x 10 Medido Estimado ABC SMC Estimado Estimado-saída Nível de 99% de confiança Número de células-Macrófago, cel 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 Tempo, h 40 50 60 Figura 7.83 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de LIU e WEST ( 2001) com 1000 partículas. 163 8 Estimado ABC SMC Estimado-filtro Estimado saída Nível de 99% de confiança Massa de drogas no corpo, mg 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 Tempo, h 40 50 60 Figura 7.84 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com 1000 partículas. 5 4 1.6 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 3.5 x 10 1.5 1.4 1.3 α 4, h -1 K 4, cel 3 1.2 1.1 2.5 1 0.9 2 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.8 1.5 0 10 20 30 40 50 60 0.7 0 10 20 Tempo,h 30 40 50 60 Tempo,h (a) (b) 1100 8 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 1000 7 900 a4, cel -1 -1 µ4, mg h 6 800 700 5 600 4 500 3 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 400 300 0 10 20 30 40 50 60 Tempo,h 2 0 10 20 30 Tempo,h (c) (d) 164 40 50 60 0.04 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.035 λ, h -1 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0 10 20 30 40 50 60 Tempo,h (e) Figura 7.85 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de LIU e WEST ( 2001) com 2000 partículas. Tabela 7.29 – Médias e quantis 0.01 e 0.09 para os parâmetros do Modelo Exponencial Modificado usando 1000 partículas. Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α4 1.8232 2.3782 2.9162 K4 0.8x105 1.1x105 1.42x105 µ4 4.6x102 6.45x102 8.4x102 a4 3.96 5.2786 6.7949 λ 0.0193 0.0257 0.0316 Similarmente ao caso do experimento 4 (Tabela 6.1), agora os parâmetros da Tabela 7.27 foram usados como dados de entrada no algoritmo de LIU e WEST (2001) usando as medidas do experimento 6 (Tabela 6.1). Assumimos 15% de desvio padrão para os erros de modelo e de parâmetros. As Figuras (7.86-7.87) mostram mais uma vez a eficiência do filtro de partículas usado para estimar de forma bem satisfatória as variáveis de estado. Para este caso vemos que os parâmetros Figura 7.89 e Tabela 7.30, nem todos convergiram e, portanto, não podemos garantir que o modelo seja capaz de representar plenamente a dinâmica do problema. 165 5 Número de células-Macrófago, cel 2.5 x 10 Medida Estimado ABC SMC Estimado Estimado-saída Nível de 99% de confiança 2 1.5 1 0.5 0 0 10 20 30 40 Tempo, h 50 60 Figura 7.86 Estimativa do número de células normais usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com 1000 partículas. 8 Estimado ABC SMC Estimado filtro Estimado saída Nível de 99% de confiança Massa de droga no corpo, mg 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Tempo, h Figura 7.87 Estimativa do decaimento da droga usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com 1000 partículas. 166 5 4 2.8 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 3.5 x 10 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 2.6 2.4 2.2 α4 K4, cel 3 2.5 2 1.8 1.6 2 1.4 1.5 0 10 20 30 40 50 60 1.2 70 0 10 20 Tempo,h 30 40 50 60 70 50 60 70 Tempo,h (a) (b) 1200 7 1100 6.5 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 6 1000 900 a4, cel -1 -1 µ4, mg h 5.5 800 5 4.5 700 4 600 3.5 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 500 400 0 10 20 30 40 50 60 3 70 Tempo,h 2.5 0 10 20 30 40 Tempo,h (c) (d) 0.06 Exato Estimado Intervalo de confiança 99% 0.055 0.05 0.04 λ, h -1 0.045 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0 10 20 30 40 50 60 70 Tempo,h (c) Figura 7.88 Estimativa dos parâmetros do modelo usando o algoritmo de (LIU; WEST, 2001) com 1000 partículas. 167 Tabela 7.30 – Estimativas e quantis 0.01 e 0.09 para os parâmetros do Modelo Exponencial Modificado usando 1000 partículas. Parâmetro Quantil 0.01 Média Quantil 0.99 α4 2.1782 2.8384 3.4699 K4 1.2x105 1.7x105 2.3x105 µ4 0.72x103 9.2x102 1.1x103 a4 2.8707 3.9051 5.0093 λ 0.0210 0.0298 0.0383 Vale lembrar que, comparando as Figuras (7.77-7.78)(células tumorais com tratamento), com as Figuras (7.80-7.82) (macrófagos com tratamento), vê-se que a ação do quimioterápico impediu que as células tumorais continuassem crescendo na mesma velocidade, porém não se observou um decrescimento. Já em relação aos macrófagos vemos que o quimioterápico agiu provocando rapidamente uma inversão na curva de crescimento. 168 CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHOS FUTUROS No presente trabalho foi apresentado a implementação de filtro de partículas para a estimativa de variáveis de estado e parâmetros em problema de modelagem de crescimento de tumor. Além disso, foi implementada uma técnica de seleção de modelos e estimativa de parâmetros, dentro da abordagem do Cálculo Bayesiano Aproximado. Os modelos apresentados, baseados em Equações Diferenciais ordináriasEDO e Equações Diferenciais Parciais-EDP contemplam a dinâmica de crescimento de tumores sólidos sem e com tratamento via quimioterapia. Muitas áreas do conhecimento estão envolvidas nesta modelagem, tais como, biologia, medicina, farmácia, matemática, engenharia e estatística. Isto o torna um trabalho multidisciplinar, ainda com muitas questões a serem compreendidas e respondidas. Em virtude das muitas ciências envolvidas, uma ampla frente de profissionais dessas áreas se faz necessária pra que estes questionamentos possam ser devidamente elucidados. Os resultados conseguidos aqui são animadores no sentido de que tendo modelos matemáticos capazes de representar bem a dinâmica envolvida no processo, as ferramentas inferenciais utilizadas, fundamentadas no quadro Bayesiano, tanto para seleção de modelos, quanto para estimativas de variáveis de estado e parâmetros são capazes de obterem resultados muito satisfatórios. Os algoritmos implementados nesta tese, tanto o filtro de (LIU; WEST, 2001), quanto o algoritmo de (TONI, TINA et al., 2009) para seleção de modelos foram implementados no programa Matlab® 2012b. Para todos os casos com medidas simuladas conseguimos estimar os estados e parâmetros bem próximos da solução exata do problema. Vale ressaltar que nos diferentes cenários analisados podemos perceber que, mesmo com grandes incertezas associadas ao modelo de evolução e medidas simuladas, ainda assim é possível obter boas estimativas. Com relação ao algoritmo ABC SMC, utilizado pra selecionar o modelo que permite melhor ajuste aos dados experimentais, podemos concluir que se tivermos um modelo dentre os concorrentes capaz de descrever o comportamento dessas medidas, o ABC SMC consegue diferenciar este modelo dos demais. No entanto, se os modelos concorrentes não são capazes de representar o fenômeno físico em questão adequadamente, o algoritmo estará selecionando o melhor dentre os concorrentes, mas 169 que pode não representar de fato a física do problema. Tem ainda a vantagem de escolher o melhor modelo e os parâmetros referentes a esse modelo. Como proposta de trabalhos futuros em continuação a essa pesquisa pretende-se: • Estender o modelo de (ANDERSON; CHAPLAIN, 2003) de forma a incorporar o efeito da vasculatura e tratamento, utilizando modelos bicompartimentais e tricompartimentais para governar a massa de droga no corpo, utilizar coordenadas esféricas e estimar as variáveis de estado e os parâmetros do modelos com o uso de filtros bayesianos. • Construção de um modelo matemático difusivo para a evolução do crescimento de tumor que seja capaz de incorporar uma geometria pertinente e também necrose central, validando com dados experimentais, e utilizar o algoritmo de LIU e WEST, (2001) para as estimativas dinâmicas combinadas de variáveis de estado e parâmetros do modelo; • Comparar o modelo proposto com modelos presentes na literatura através de métodos clássicos (AIC, BIC,DIC,...) e métodos Bayesianos como algoritmos tipo ABC SMC; • Outros experimentos com outras células e quimioterápicos. 170 REFERÊNCIAS AKAIKE, H. “Maximum likelihood identification of Gaussian autoregressive moving average models”. 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Células somáticas: todas as células do corpo humano com exceção dos gametas. Citoplasma: o conteúdo da célula, excluído o núcleo. Clone: conjunto de células ou organismos originários de outros por algum tipo de reprodução assexuada e que possuem o material genético idêntico ao original. Cromossomo: unidade morfológica e fisiológica, visível ou não ao microscópio óptico, e que contém a informação genética. Cada espécie vegetal ou animal possui um número constante de cromossomos Difusão: processo espontâneo de transporte de massa num sistema físico-químico, por efeito de gradientes de concentração. Disseminantes: que se espalham. DNA: ácido desoxirribonucleico (ADN, em português: ácido desoxirribonucléico; ou DNA, em inglês: desoxyribonucleic acid), é um composto orgânico cujas moléculas contêm as instruções genéticas que coordenam o desenvolvimento e funcionamento de todos os seres vivos e alguns vírus. O DNA armazena as informações necessárias para a construção das proteínas. Estroma: tecido conjuntivo que constitui o arcabouço de um órgão. Fagocitose: processo de captura de partículas sólidas pelas células. 182 Fatores de crescimento: proteínas produzidas por células para controlar a reprodução celular. Gameta: células reprodutivas, espermatozoides e óvulos. Gene: unidade hereditária ou genética, situada no cromossomo, e que determina as características de um indivíduo. Genes supressores de tumor: genes produtores de sinais controladores de crescimento e diferenciação celular que previnem crescimento inapropriado e células com formas e funções anormais. Homeostasia: é a propriedade de um sistema aberto, seres vivos especialmente, de regular o seu ambiente interno de modo a manter uma condição estável, mediante múltiplos ajustes de equilíbrio dinâmico controlados por mecanismos de regulação inter-relacionados. In vitro: no laboratório, fora do organismo. In vivo: no organismo. Linfático: vide vaso(s) linfático(s). Linhagem: unidade social formada por indivíduos ligados a um ancestral comum por laços de descendência demonstráveis. Metástase: aparecimento de um foco secundário, a distância, no curso da evolução dum tumor maligno ou dum processo inflamatório. Metastático: capaz de produzir metástase. Mitose: processo pelo qual as células eucarióticas dividem seus cromossomos entre duas células filhas. do ciclo celular. É uma das fases do processo de divisão celular ou fase mitótica. Morfofisiológica: forma e função. Morfológica: ligado à forma, formato. Necrose: conjunto de alterações morfológicas que indicam morte celular, a qual pode variar, em extensão, de algumas células a porção de órgão. Neoplasia: todo crescimento de um novo tecido. benignos, malignos e metástases. 183 Pode ser causada por tumores Neoplásico: relativo à neoplasia. Parácrino: emissão de sinais pelas células capazes de estimular células de sua vizinhança. Proliferação: multiplicação de células para produzir formas similares. Quimiotaxia: ação atrativa ou repulsiva demonstrada por certas células vivas em relação a outras células ou substâncias que exercem sobre aquelas uma influência química. Senescência: quiescência celular causada por encurtamento dos telômeros. Sítio: lugar que um objeto ocupa. Tecido: conjunto de células de origem comum, igualmente diferenciadas para o desempenho de certas funções, num organismo vivo. Telômero: sequência de DNA presente nas extremidades dos cromossomos que evitam a fusão entre eles e determinam o número máximo de divisões em uma célula normal. Tumor: massa constituída pela multiplicação de células de tecido, sem a estrutura dos processos inflamatórios ou parasitários conhecidos. Pode ser maligno ou benigno, conforme apresente ou não tendência a estender-se, a produzir metástase(s) ou a recidivar após ablação. Tumor benigno: o que não invade tecidos em que se não originou e não produz metástase. Tumor maligno: o que tem capacidade de invadir tecidos em que se não originou e de produzir metástase (s). Tumor secundário: tumor originado por metástase. Vaso linfático: vasos por onde a linfa circula no organismo. A linfa é um líquido transparente, amarelado ou incolor, de reação alcalina, que contém em suspensão glóbulos brancos, principalmente linfócitos e com frequência glóbulos de gordura. 184 APÊNDICE B – MEDIDAS EXPERIMENTAIS Experimento 1-Células tumorais sem tratamento x103 Tempo, h 0 2 4 12 14 16 18 20 34 36 38 40 42 57 59 Medidas 1 1 1 6.4 6.5 6.4 3.0 5.5 5.2 158.1 152.5 126.2 248.7 236 233.6 214.2 133 127.9 233.6 194.7 183.1 145.7 108.4 119.1 224.5 279.9 316.9 254.7 252.3 232.3 219.6 332.6 172.6 261.1 281.8 284.7 247 199.7 202.6 249.4 295.3 249.4 389.4 354.2 299.9 Experimento 2-Células tumorais com tratamento x103 Tempo, h 0 2 4 12 14 16 18 20 34 36 38 40 42 57 59 Medidas 1.0 1.0 1.0 5.5 5.8 6.0 3.8 3.5 3.5 3.0 2.6 3.1 3.6 3.3 4.5 6.7 7.4 7.9 4.0 4.2 4.5 4.0 4.2 3.5 4.7 5.5 4.5 6.0 5.2 4.5 4.7 7.7 4.8 3.6 4.8 4.7 5.0 4.0 4.5 3.8 4.5 4.5 6.7 7.0 6.0 Experimento 3-Dados macrófago-triplicata 1-sem tratamento x104 Tempo, h 2 4 12 14 16 18 20 34 36 38 40 42 57 59 61 63 65 67 1.0 0 12.1 14.2 27.0 26.9 31.1 31.9 33.4 54.6 102.2 50.6 58.4 66.1 248.3 82.1 151.2 172.1 167.8 173.9 1.0 12.2 16.6 24.3 24.4 34.6 31.2 39.8 61.9 97.9 52.1 63.8 65.7 154.2 80.2 137.5 198.8 183.3 156.6 1.0 12.1 16.5 18.0 21.1 35.4 33.8 37.2 43.7 107.8 57.9 70.8 69.3 199.6 81.2 163.8 176.3 199.3 173.1 Medidas Experimento 4-Dados macrófago-triplicata 1-com tratamento x104 Tempo, h 0 2 4 12 14 16 18 20 40 42 59 59 Medidas 1.0 1.0 1.0 13.0 12.5 12.2 13.7 14.0 15.4 3.8 3.5 4.2 3.8 4.0 3.5 2.1 3.5 3.0 3.0 2.9 1.9 2.4 4.2 3.1 6.0 6.0 5.8 1.6 1.2 1.6 1.7 1.9 1.1 0.6 2.0 1.2 Experimento 5-Dados macrófago-triplicata 2-sem tratamento x104 Tempo, h Medidas 2 4 12 14 16 18 20 34 36 38 40 42 57 59 1.0 0 19.7 21.9 33.3 33.8 38.9 31.7 37.6 28.5 33.3 32.1 32.0 34.4 28.53 32.0 1.0 26.2 22.0 35.7 35.8 46.6 34.7 36.2 31.2 38.1 46.2 34.3 34.2 69.94 40.8 1.0 24.9 17.6 32.9 37.0 45.2 36.3 39.2 31.3 35.6 31.2 27.9 31.9 73.14 41.3 Experimento 6-Dados macrófago-triplicata 2-com tratamento x104 Tempo, h 0 2 4 12 14 16 18 20 34 36 38 40 42 57 59 61 63 65 1.0 21.3 21.6 9.3 9.6 9.8 6.2 6.9 1.9 2.51 2.2 2.8 3.8 4.55 4.7 4.2 3.5 2.4 1.0 23.1 21.3 9.7 9.2 9.7 5.7 6.9 1.7 2.12 2.8 2.5 2.5 3.27 4.0 3.3 3.1 2.0 1.0 23.0 21.6 9.7 8.9 8.91 6.1 7.2 1.2 3.32 2.4 2.2 3.0 4.29 3.8 3.9 3.3 2.6 Medidas 185 APÊNDICE C – SELEÇÃO DE MODELOS A Figura C.1, mostra as 15 populações usadas pelo ABC SMC para selecionar o melhor modelo entre o modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003) e GATENBY GAWLINSKI, (1996). As medidas foram simuladas com o modelo de ANDERSON e CHAPLAIN, (2003), representado no histograma como modelo 1. Observa-se que na última população, o ABC escolheu o modelo correto. A Tabela C.1 mostra a média e os quantis estimados para os parâmetros do modelo escolhido. 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1 1 1 1 1 1000 500 0 2 1000 500 0 2 1000 500 0 2 1000 500 0 2 1000 500 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Figura C.1 Histograma para seleção de modelos. Medidas geradas com o Modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003) tendo como Modelo concorrente o de GATENBY e GAWLINSKI (1996). Tabela C.1 Média e quantis estimados pelo ABC SMC para os parâmetros do Modelo de ANDERSON e CHAPLAIN (2003). Parâmetro Média dn 0.0061 γ 0.0055 ƞ 10.1017 dm 0.0051 ψ 0.5177 186 A Figura C.2, mostra as 22 populações usadas pelo ABC SMC para selecionar o melhor modelo entre o modelo de RODRIGUES (2011) e o Modelo de PINHO et al. (2013). As medidas foram simuladas com o modelo de PINHO et al. (2013), representado no histograma como modelo 2. Observa-se que na última população, o ABC escolheu o modelo correto. A Tabela C.2 mostra a média e os quantis estimados para os parâmetros do modelo escolhido. 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1000 500 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Figura C.2 Histograma para seleção de modelos. Medidas geradas com o Modelo de PINHO et al. (2013) tendo como Modelo concorrente o de RODRIGUES (2011). 187 Tabela C.2 Média e quantis estimados pelo ABC SMC para os parâmetros do Modelo de PINHO et al. (2013). Parâmetro Média K1 5x10-3 2x1015 q1 5.2x10-15 p1 5.1x10-5 a1 5.2x1015 α1 α2 10-2 K2 γ q2 5.1x10-18 p2 39.75 a2 5x1011 5.1x1011 9.83 α3 5x10-3 K3 b 5.2x104 5.1x10-3 9.63 λ 188