Potencial Elétrico

Cap. 24
Potencial Elétrico
Prof. Oscar Rodrigues dos Santos
[email protected]
Potencial elétrico | 1
Energia Potencial Elétrica
xf
Na Mecânica, nós definimos que a mudança na
energia potencial ΔU está associada a um
trabalho realizado (Força gravitacional) sobre a
partícula que desloca de xi a xf.
U    F ( x)dx
xi
F(x)
.O
.
xi
x
.
x
f
x
U  U f  U i  W
Considere uma carga q0 se movendo de uma
posição inicial i para uma posição final f sobre a
influência de um campo elétrico E. O trabalho
da força elétrica sobre q0 é:
f
W   F .ds
i
ds: deslocamento infinitesimal ao longo
do deslocamento.
Potencial Elétrico 2
Energia Potencial Elétrica
xf
U    F ( x)dx
xi
O
trabalho
eletrostática:
realizado
pela
força
f
W   F .ds
i
O trabalho realizado sobre a carga teste q0
pelo campo elétrico:
f
W   q0 E .ds
i
ds: deslocamento infinitesimal ao longo
do deslocamento.
Potencial Elétrico 3
Energia Potencial Elétrica
Potencial Elétrico em Campo Elétrico uniforme
Carga teste se movendo em um campo
elétrico uniforme, independente da
posição, criado entre duas placas
paralelas carregadas:
Wi f  F .d
Wi  f  q0 Ed
O
trabalho
realizado
pela
força
eletrostática é independente da trajetória.
Potencial Elétrico 4
Potencial Elétrico
Potencial elétrico: Energia potencial elétrica por unidade de carga
associada a uma carga teste q0 neste ponto. É uma propriedade do espaço
onde existe campo elétrico e não depende da presença de carga teste q0.
V é uma grandeza ESCALAR.
Unidade de Potencial Elétrico no
SI é Volt (1V = 1J/1C)
Potencial Elétrico
U
V
q0
Diferença de potencial (voltagem ou ddp): capacidade do campo elétrico
realizar trabalho sobre uma carga teste q0 entre dois pontos do espaço.
W
V  
q0
Diferença Potencial
Elétrico
Elétron-volt: energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga
de prova q0 e através de uma diferença de potencial de um volt.
1 eV (eletron-volt) = e (1V) = 1,6 x 10-19 Potencial
J.
Elétrico 5
Potencial Elétrico
Cálculo do potencial a partir do campo Elétrico.
f
V f  Vi   E .ds
A
i
B
Como calcular o
potencial elétrico em
um ponto apenas?
Se Vi = 0, i está no infinito, temos o potencial V em qualquer ponto f em
relação ao potencial no infinito, tomado como sendo zero:
f
Nova unidade de campo elétrico:
volt por metro (V/m)
V   E .ds
i
Campo Elétrico 6
Superfícies Equipontenciais
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma
SUPERFÍCIE EQUIPOTENCIAL (prefixo “equi” exprime ideia de “igualdade”)
Linhas de campo elétrico e superfícies equipotenciais são mutuamente
perpendiculares.
O trabalho realizado quando uma
partícula se desloca em uma mesma
superfície equipotencial é zero.
Superfícies quipotenciais esféricas para
carga pontual.
Potencial Elétrico 7
Superfícies Equipontenciais
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma
superfície potencial.
Linhas de campo elétrico e seções retas de superfícies equipotenciais para (a)
campo elétrico uniforme; (b) carga pontual; (c) para dipolo elétrico.
Potencial Elétrico 8
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por uma Carga Pontual.
Calculamos o potencial criado por q, a uma distância r (ponto P),
deslocando uma carga de prova q0 do ponto P ao infinito.
1
q
V
40 r
Partícula de carga positiva → potencial elétrico positivo.
Partícula de carga negativa → potencial elétrico negativo.
Gráfico gerado em computador do potencial
elétrico V(r) produzido por uma carga positiva
situada na origem do plano xy.
Potencial Elétrico 9
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por uma Carga Pontual.
1
q
V
40 r
Também pode ser usada pra calcular o potencial
elétrico fora ou na superfície de uma distribuição de
cargas com simetria esférica.
Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais.
n
n
qi
V  V i 

40 i 1 ri
i 1
1
n cargas pontuais
Potencial Elétrico 10
Potencial Elétrico
Exemplo
1. Qual o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do
quadrado de cargas pontuais que aparece na figura abaixo? A
distância d = 1,3 m e as cargas são:
q1 = +12 nC
q2 = -24 nC
q3 = +31 nC
q4 = +17 nC
Potencial Elétrico| 11
Potencial Elétrico
Exercício:
1. Um próton (carga positiva do elétron) se move ao longo de uma linha reta de
um ponto a até um ponto b no interior de um acelerador linear, sendo d = 0,50
m a distância percorrida. O campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e
possui módulo E = 1,5 x107 V/m no sentido de a para b. Determine (a) a força
sobre o próton; (b) o trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico; (c) a
diferença de potencia Va – Vb. (2,4 x 10-12 N; 1,2 x 10 -12J; 7,5 MV)
2. Duas cargas puntiformes q1 = +12 nC e q2 = -12 nC separadas por uma
distância de 10 cm. Com V=0 no infinito, calcule os potenciais nos pontos a, b
e c. (-900V; 1930V; 0)
Potencial Elétrico| 12
Potencial Elétrico
Exercício:
3. A figura abaixo mostra um arranjo de partículas carregadas mantidas fixas,
com a = 39 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,4 pC
e q2 = 6 pC. Com V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do
retângulo? (2,21 V)
Potencial Elétrico| 13
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico.
V produzido por um dipolo elétrico a uma distância r do seu centro.
p cos 
V
Dipolo Elétrico
2
40 r
1
Potencial Elétrico 14
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por distribuição contínua de cargas.
1
dq
V
40  r
Distribuição contínua de
cargas
Potencial Produzido por Linha de cargas.

 L  L2  d 2

V
ln 
40 
d

12



Linha de cargas
Potencial Elétrico 15
Potencial Elétrico
Potencial Produzido por um Disco carregado.

V
2 0

z2  R2  z

Disco carregado
Potencial Elétrico 16
Potencial Elétrico
Exercício:
4. Na figura abaixo, uma barra de plástico com uma carga
uniformemente distribuída Q = -25,6 pC tem a forma de um
arco de circunferência R = 3,71 cm e um ângulo centra de
120º. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no
ponto P, o centro da curvatura da barra? (-6.20 V)
5. O rosto sorridente da figura abaixo é formada por três
elementos:
i. Uma barra fina com uma carga de -3 µC e a forma de uma
circunferência completa de 6 cm de raio;
ii. Uma segunda barra fina com uma carga de 2 µC e a forma
de um arco de circunferência com 4 cm de raio, concêntrico
com o primeiro elemento;
iii. Um dipolo com um momento dipolar na direção perpendicular
ao diâmetro do primeiro elemento que passa pelo centro do
segundo elemento, cujo módulo é 1,28 x 10-21 C.m.
Determine o potencial elétrico no centro da circunferência. (0)
Potencial Elétrico| 17
Potencial de um condutor carregado.
Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na
superfície do condutor de tal forma que o potencial é o mesmo em todos
os pontos do condutor (tanto na superfície como no interior). Isso
acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e mesmo
que essa cavidade interna contenha um carga elétrica.
i. Interior:
E 0
1
q
Vi  V f 
40 R
ii. Exterior (casca esférica condutora):
1
q
E
40 r 2
1
q
V
40 r
Potencial Elétrico 18
Potencial de um condutor carregado.
Condutores não-esféricos possuem em seus vértices e arestas uma densidade
de carga superficial mais alta que nas demais regiões do condutor, podendo
ionizar o ar ao seu redor, vencendo a regidez dielétrica do ar.
Poder das Pontas: o excesso de cargas tende a se acumular nas regioões
mais pontiagudas.
Nos caminhões tanque, extremidades
são arredondadas para que as cargas
não se acumulem em uma ponta, e
assim não haja uma descarga elétrica?
Potencial Elétrico 19
Potencial de um condutor carregado.
Durantes tempestades, o excesso de cargas nas
nuvens provoca o acúmulo de cargas de sinal
oposto no condutores. Por conseguinte, as
descargas produzidas por raios tendem a ser
direcionadas para a extremidade de um pára-raio,
e não para outras estruturas vizinhas.
Ionizando o ar: Sendo o campo
aplicado suficientemente intenso, os
elétrons do ar serão arrancados e
tornar-se-ão elétrons livres. Criando-se
assim um grande número de íons no ar
(alguns positivos e outros negativos) o
ar se torna condutor de eletricidade.
Potencial Elétrico 20
Potencial de um condutor carregado.
Lugar mais segura para se proteger dos raios
durante uma tempestade?
Em tempestades, por exemplo, o melhor
lugar pra se abrigar de uma descarga
elétrica é dentro de um carro (E = 0, V =
constante)
Potencial Elétrico 21
Gradiente de Potencial
A componente do campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo
da taxa de variação do potencial elétrico com a distância nesta direção.
V
Es  
s
Es é a componente do campo elétrico na direção de ds.
Se tomarmos o eixo s como sendo sucessivamente, os
eixos x, y e z, as componentes do campo elétrico são:
V
Ex  
x
V
Ey  
y
V
Ez  
z
Quando o campo elétrico é uniforme:
V
E
s
Onde s é perpendicular às superfícies equipotenciais
Potencial Elétrico 22
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas
Pontuais
Exercício:
6. O potencial elétrico é dado por V = 2x2 – 3y2. Qual é o módulo do
campo elétrico no ponto (3m; 2m; 0)? (16,97 V/m)
7. Qual o módulo do campo elétrico no ponto (3î - 2j + 4k) m se o
potencial é dado por V = 2xyz2? (150,1 V/m)
Potencial Elétrico 23
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas
Pontuais
Se duas cargas de mesmo sinal são aproximadas, o trabalho para
realizar esta aproximação fica armazenado na forma de energia
potencial (K = constante). Se mais tarde as cargas são liberadas, essa
energia é recuperada como energia cinética.
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é
igual ao trabalho que deve ser executado por um agente externo para
montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita
umas das outras.
1
q1q2
U W 
40 r
Energia potencial elétrica de
um par de cargas
W = trabalho realizado contra o campo e não pelo campo (força externa).
W > 0 se as cargas tiverem o mesmo sinal;
W < 0 se as cargas tiverem sinais opostos.
Potencial Elétrico 24
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas
Pontuais
Exemplo 2.
A figura mostra três carga pontuais mantidas fixas no lugar por forças
não especificadas. Qual é a energia potencial elétrica U desse sistema
de cargas? Suponha d = 12 cm e que q1 = +q, q2 = -4q e q3 = +2q, onde
q = 150 nC. (-17 mJ)
Potencial Elétrico 25
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas
Pontuais
Exercício:
8. Determine o trabalho necessário para deslocar uma partícula de
carga Q = +16e, inicialmente em repouso, ao longo da reta tracejada, do
infinito até o ponto indicado, nas proximidades de duas partículas fixas
de cargas q1 = +4e e q2 = -q1/2. Suponha d = 1,4 cm, θ1 = 43º e θ2 =
60º. (0)
9. Na figura, sete partículas carregadas são mantidas fixas no lugar
para formar um quadrado com 4 cm de lado. Qual é o trabalho
necessário para deslocar para o centro do quadrado uma partícula de
carga +6e inicialmente em repouso a uma distância infinita? (2,1 x 10-25
J)
Potencial Elétrico 26
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas
Pontuais
Exercício:
10. Uma partícula de carga +7,5 µC é liberada a partir do repouso sobre
o eixo x, no ponto x = 60 cm. A partícula começa a se mover devido à
presença de uma carga Q que é mantida fixa na origem. Qual é a
energia cinética da partícula após deslocar 40 cm (a) se Q = + 20 µC e
(b) se Q = - 20 µC? (0,899J; 4,5 J)
11. Uma carga de -9 nC está distribuída uniformemente em um anel fino
de plástico situado no plano yz, com o centro do anel na origem. Uma
carga pontual de -6pC está situada sobre o eixo x, no ponto x = 3m. Se
o raio do anel é 1,5 m, qual deve ser o trabalho executado por uma
força externa sobre a carga pontual para deslocá-la até a origem? (1,8
x 10-10J
Potencial Elétrico 27