Condução com geração de calor

13/09/2016
Transferência de calor
Geração de calor em sólidos
2º. semestre, 2016
Geração de calor em sólidos
Diversas aplicações práticas de transferência de calor envolvem a
conversão de alguma forma de energia em energia térmica no meio.
Dizemos que nesses meios há geração interna de calor, que se
manifesta como um aumento de temperatura.
Exemplos:
Fios de resistência: energia elétrica
energia térmica;
Reações química exotérmicas em um sólido: energia química
energia térmica;
Reações nucleares em pastilhas de combustíveis (nucleares): energia
nuclear
energia térmica;
A absorção de radiação por um volume de um meio transparente
(como a água), também pode ser considerada como geração de calor no
meio.
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Geração de calor em sólidos
A geração de calor, normalmente, é expressa pela unidade de volume do
meio (W/m3) e é chamada de q& g .
Por exemplo, o calor gerado em um fio elétrico de raio externo ro e
comprimento L pode ser expresso como:
q& g =
E& ger ,elétrico
V fio
=
I 2 Re
πro2 L
(W/m3)
onde I é a corrente elétrica, Re a resistência elétrica do fio e Vfio o volume
do fio.
Obviamente que a temperatura do meio aumenta durante a geração de
calor (devido à absorção do calor gerado no período transiente inicial),
aumentando a transferência de calor para a vizinhança.
Isso acontece até atingir a condição de regime permanente.
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Geração de calor em sólidos
A temperatura máxima (Tmax) em um sólido com geração de calor
uniforme ocorre no ponto mais distante da superfície externa, quando
essa é mantida a uma temperatura constante Ts. Ou seja:
No plano central de uma parede plana;
No eixo central de um cilindro longo;
No centro de uma esfera.
Nesses casos, a distribuição de temperatura no sólido é simétrica em
relação ao eixo de simetria.
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Geração de calor em sólidos
Considere um meio sólido qualquer, com área superficial de As, volume V
e condutividade térmica constante, k. Nesse sólido, calor é gerado a uma
taxa constante igual a q& g por unidade de volume.
O calor é transferido do sólido para o meio vizinho, com temperatura T∞ e
com um coeficiente de transferência de calor por convecção igual a h.
Em condições de regime permanente, o balanço de energia é dado por:
 Taxa de transferência

 de calor do sólido
  Taxa de geração 
 = 

  de energia do sólido 
q&entra − q& sai + q& g = 0
q& g = q& sai
q& gV = hA( Ts − T∞ )
Desprezando-se a
radiação ou
incorporando no h
combinado
q& gV
hAs
Ts = T∞ +
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Geração de calor em sólidos
Para uma parede plana de espessura 2L:
As = 2 Aparede e V = 2 LAparede
e
Ts , parede plana = T∞ +
q& gV
hAs
= T∞ +
q& g 2 LAparede
h 2 Aparede
= T∞ +
q& g L
h
Para um cilindro longo de raio externo ro:
As = 2πro L e V = πro2 L
e
Ts ,cilindro = T∞ +
q& gV
hAs
= T∞ +
q& g πro2 L
h 2πro L
= T∞ +
q& g ro
2h
Para uma esfera sólida de raio externo ro:
e
Ts ,esfera
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As = 4πro2 e V = πro3
3
q& g 4 πro3
q& gV
q& g ro
3
= T∞ +
= T∞ +
= T∞ +
2
hAs
h 4πro
3h
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor (condução com geração)
 Taxa de calor que   Taxa de calor que   Taxa de geração de

 − 
 + 
sai do v.c
calor no v.c
 entra no v.c  
 
  Taxa de variação da 
 = 

  energia no v.c 
Equação da condução de calor unidimensional em regime permanente:
Caso de uma parede plana de espessura 2L
1 d  kdT( x ,t ) 
A
 + q& g = 0
A dx 
dx 
d 2T
dx
2
+
q& g
k
=0
Considerando que a
condutividade térmica,
k, é constante.
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor
A solução geral dessa equação é dada por:
T (x ) =
− q& g
2k
x 2 + C1 x + C2
onde C1 e C2 são as constantes de integração.
Para o caso analisado, a temperatura em x=-L é T(-L)=T1 e para x=+L é
T(+L)=T2, sendo que T1≠T2.
− q& g
T1 =
(− L )2 + C1 (− L ) + C2
2k
− q& g
T2 =
(L )2 + C1 (L ) + C2
2k
C1 =
q& g 2 T1 + T2
T2 − T1
e C2 =
L +
2L
2k
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Substituindo as constantes na primeira equação, a distribuição de
temperaturas fica:
T( x ) =
q& g
2k
T −T  T +T
( L2 − x 2 ) +  2 1  x + 1 2
2
 2L 
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OBS.: notar que com a geração interna, o fluxo térmico não é mais independente de x.
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor
Quando as duas temperaturas forem iguais, x=-L é T(-L)=Ts e para x=+L
é T(+L)=Ts, o resultado anterior é simplificado e a distribuição de
temperatura é simétrica em relação ao plano central.
T( x ) =
q& g
2k
( L2 − x 2 ) + Ts
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor– temperatura máxima
Para o caso de simetria no plano central, por exemplo, um cabo condutor
de eletricidade exposto ao ar, a temperatura máxima ocorre no centro do
condutor, isso é, em x=0. Substituindo esse valor na equação abaixo:
T( x ) =
q& g
2k
( L2 − x 2 ) + Ts
T ( 0 ) = To =
q& g L2
2k
+ Ts
O ∆T máximo, obtido da equação anterior é dado por:
∆Tmax = To − Ts =
q& g L2
2k
A distribuição de temperaturas no sólido é dado por:
T ( x ) − T0  x 
= 
Ts − T0
L
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor– temperatura máxima
Para um cilindro:
∆Tmax,cilindro = To − Ts =
q& g ro2
4k
Para uma esfera:
∆Tmax,esfera = To − Ts =
q& g ro2
6k
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor – temperatura máxima
É importante notar que no plano de simetria da figura abaixo, o gradiente
de temperatura é nulo (dT/dx)x=0=0.
Dessa forma, não há transferência de calor cruzando esse plano e ele pode
ser representado por uma superfície adiabática.
Superfície
adiabática
(dT / dx )x =0 = 0 e q′′ = 0
Ou seja, que a equação de distribuição de temperatura mostrada anteriormente
também se aplica em paredes planas onde uma de suas superfícies (x=0) é
perfeitamente isolada, enquanto a outra (x=L) é mantida na temperatura fixa de Ts.
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor
Para usar os resultados anteriores, a temperatura Ts deve ser conhecida.
Uma situação comum é aquela onde um fluido circula em contato com
superfície, com temperatura T∞ conhecida e Ts desconhecida. Nesse caso:
−k
dT
dx
= h(Ts − T∞ )
x=L
Substituindo o gradiente de temperatura em x=L:
Ts = T∞ +
q& g L
h
Essa mesma equação pode ser obtida aplicando-se um balanço de energia na superfície de
controle ao redor da parede, conforme figura acima, onde a energia gerada no interior da parede
deve ser igual à taxa de energia que cruza a superfície, por convecção. Assim:
E& g = E& sai
Para uma superfície de área unitária:
q& g L = h(Ts − T∞ )
Ts = T∞ +
q& g L
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h
Exemplo 1:
Uma parede plana é composta de 2 materiais, A e B. A parede do material A tem geração de calor
uniforme de 1,5 x 106 W/m³, kA = 75 W/mK, e espessura de 50 mm. A parede do material B não
tem geração de calor com kB = 150 W/mK e espessura de 20 mm. A superfície interna do material
é bem isolada e a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de água a 30 ºC e
h= 1000 W/m²K.
a. Esquematizar a distribuição de temperatura que existe na parede composta em condições de
estado permanente;
b. Determine a temperatura To da superfície isolada e a temperatura T2 da superfície resfriada.
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor – sistemas radiais
Caso de um cilindro longo (unidimensional) com geração interna.
Considerando que a
condutividade térmica,
k, é constante.
1 d  dT  q& g
=0
r
+
r dr  dr  k
Separando as variáveis e supondo geração uniforme, essa
expressão pode ser integrada, resultando em:
r
q& g
dT
= − r 2 + C1
dr
2k
(I)
Na segunda integração:
Utilizando as condições de contorno:
T( r ) = −
dT
dr
- Em r=0, condição de simetria (I):
=0
q& g
4k
r 2 + C1 ln r + C 2
(II)
0 = 0 + C1 ⇒ C1 = 0
r =0
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Distribuição de temperatura no sólido com geração de
calor – sistemas radiais
Utilizando as condições de contorno:
- Em r=ro: T(ro)=Ts em (II):
Ts = −
q& g
4k
r 2 + C2 ⇒ C2 = Ts +
q& g
4k
ro2
Cujo resultado final é:
T( r ) =
2
q& g ro  r 2 
1 −  + Ts
4k  ro 2 
De forma análoga ao caso de paredes planas, para relacionar a temperatura da superfície do cilindro, Ts, com a
temperatura do fluido, T∞,




q& g  πro2 L  = h 2πro L (Ts − T∞ )
{
 123 
 V 
 A 
Ts = T∞ +
q& g ro
2h
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Exemplo 2:
Em um reator nuclear, bastões cilíndricos de urânio de 10 mm de diâmetro são usados como
combustível e resfriados externamente em água a 20 ºC. Calor é gerado uniformemente nos
bastões a uma taxa de 4 x 107 W/m³. Qual é a temperatura da superfície do bastão? Qual é a
temperatura em seu centro? Considere o k do material igual a 29,5 W/mK.
- Se o coeficiente de transferência de calor convectivo é 500 W/m²K, qual a distribuição de
temperatura desde o centro até a superfície?
- Onde se localiza a temperatura máxima? Plotar.
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