Computação Quântica e Lógicas Não-Clássicas

Computação Quântica e
Lógicas Não-Clássicas
Walter Carnielli
Grupo !de Lógica Teórica e Aplicada
CLE e IFCH- UNICAMP
.
O que é a lógica quântica?
!Raciocinar com proposições que levam em conta as leis da mecânica quântica
Garrett Birkhoff!e John von Neumann, 1936
"
!É difícil reconciliar a Lógica Proposicional Clássica com as variáveis
complementares da Mecânica Quântica, tais como posição e momento
"
!A lógica quântica é uma versão da Lógica Clássica que é não-associativa e
não-comutativa
!
Uma das grandes diferenças é a
não-distributividade
p!∧ (q!∨r ) = (p!∧q ) ∨ (p!∧r) onde p,!q!, r! são variáveis
proposicionais
Exemplo:
p!= "a partícula move-se para a direita"
q!= "a partícula está no intervalo [-1,1]"
r!= " a partícula não está no intervalo [-1,1]”
Não-distributividade
Nesse caso, q!∨!r
é verdadeira, e daí
p!∨ (q!∨!r) =!p
Por outro lado, as proposições "p∧ q" e "p!∧ r" são ambas falsas,
porque contrariam o Princípio da Incerteza: dai,
(p!∧q) ∨ (p!∧r) = falso
Portanto, a Lei Distributiva falha.
!
Uma crítica?
Em 1968, Karl Popper publicou na revista Nature um artigo intitulado
“Birkhoff and Von Neumann's Interpretation of Quantum Mechanics”, uma
crítica radical da lógica quântica, que Birkhoff e von Neumann haviam
proposto em 1936. Popper escreve:
!
“Minha tese é que a proposta de Birkhoff e von Neumann é insustentável.
Isto depende em parte de algumas descobertas feitas por John von
Neumann no campo da teoria dos reticulados [...] mas também de alguns
resultados muito simples da teoria da probabilidade.”
!
A Álgebra de Boole não vale mais...
Os eventos da mecânica clássica: estrutura algébrica canônica,
chamada álgebra de Boole, que corresponde à Lógica
Clássica
mas …
os representantes matemáticos dos eventos quânticos não são
conjuntos, mas sub-espaços fechados de particulares espaços
vetoriais, os chamados espaços de Hilbert
!
O que é a Lógica Quântica?
A estrutura dos eventos quânticos é representada
por uma estrutura algébrica mais fraca, os
reticulados ortocomplementados ortomodulares, que
correspondem ao que se chama Lógica Quântica.
A Lógica Quântica é essencialmente polivalente: os
valores de verdade não são apenas o V e F
Um erro de um grande filósofo da
ciência
Popper cometeu um erro matemático: a estrutura dos
eventos quânticos é ortocomplementada e não
simplesmente complementada: cada evento quântico
(diferente do evento certo e do impossível) tem infinitos
bons complementos. O evento que vem escolhido como a
negação quântica de um dado evento é apenas um
destes.
A Lógica Quântica é fraca?
# Popper erra num outro nível: é claro que a Lógica
Quântica é mais fraca do que a clássica: cada lei da lógica
quântica é também uma lei da lógica clássica, mas em geral
não o inverso. Portanto, não é possível demonstrar através da
lógica quântica nada que não seja já demonstrável na lógica
clássica.
!
As argumentações importantes são em geral metateóricas. Raciocinar
no nível metateórico significa raciocinar sobre a capacidade
demonstrativa e semântica das lógicas, e isso muda tudo!
!
O que é Computação Quântica?
Os grandes trunfos da Computação Quântica são a
sobreposição e o emaranhamento
!
$ Não se sabe se os eventos da mecânica quântica seriam
todos Turing-computáveis, embora se saiba que modelos
rigorosos como as Máquinas de Turing Quânticas são
equivalentes a Máquinas de Turing Determinísticas (o que não
significa equivalência em termos de eficiência!)
!
qbits & espaços de Hilbert
Um qubit é um sistema quântico com dois estados;
qbits “moram ” em um espaço de Hilbert, que é
um espaço vetorial completo sobre C munido de
produto interno.
Em um espaço de Hilbert, uma porta lógica quântica
é uma transformação linear unitaria (i.e., que
preserva a norma dos vetores)
Consequências do produto tensorial em
espaços de Hilbert
!Não-Clonagem: é impossível copiar estados superpostos
usando um circuito quântico
! Reversibilidade: é possível voltar a alguma configuracao
anterior em um processamento (“desapagar”)
!Caracterização de estados emaranhados
!Algoritmos quânticos
Algoritmos bem-sucedidos: Shor
!Algoritmo de Shor: dado um inteiro positivo N, achar os
fatores primos de N.
A Computação Quântica “resolve” este problema em tempo
polinomial: a fatoração um número em primos está em NP e
todos os algoritmos clássicos conhecidos para resolver este
problema são exponenciais.
Algoritmos bem-sucedidos: Deutsch-Jozsa
! Algoritmo de Deutsch-Jozsa
Considere todas as funcões (n vezes)
f: {0,1} X {0,1} X… X {0,1} " {0,1}
que são constantes ou balanceadas, i.e., têm, metade da
entrada retornando zero e outra metade retornando q .
Classicamente,para se determinar se f é constante ou
balanceada, são necessárias !2n!− 1!+ 1! avaliacões.
O algoritmo quântico determina em uma única avaliação!
!
Algoritmos bem-sucedidos: Grove
! Algoritmo de Grover: buscas em bancos de dados não
estruturados e em listas não ordenadas. O algoritmo de
Grover é quadra-ticamente mais rápido que os algoritmos
clássicos
Máquinas de Turing Paraconsistentes
(MTPs)
São MTs definidas “trocando-se”a lógica clássica de base
pela lógica LFI1䌫, lógica paraconsistente de primeira ordem
na hierarquia de Lógicas da Inconsistência Formal (LFIs).
Situações de multiplicidade (que correspondem a
inconsistências) nas MTPs podem ser vistas como estados
superpostos uniformes.
Máquinas de Turing Paraconsistentes
rodam algoritmos quânticos
Os algoritmos de Deutsch e Deutsch-Josza podem ser
‘simulados’ por MTPs, preservando eficiência.
Porém, as MTPs não permitem uma representação direta de
estados emaranhados
Máquinas de Turing Paraconsistentes
Não-Separáveis: uma nova versão
MTPs Não-Separáveis (MTPNSs) são modelos de computação não-local
No modelo de MTs clássicas todas as operações são realizadas de maneira
local (a execução de uma instrução só pode mudar o símbolo na posição
atual).
Os estados emaranhados da mecânica quântica permitem certo tipo de
ação a distância, portanto, os modelos de computação quântica são
intrinsecamente não-locais.
O modelo de MTPNS permite representar estados
emaranhados, pode portanto também ser considerado um
modelo de computação não-local
Novas lógicas podem influir na
noção de computação!
Juan Carlos Agudelo, “Computação Paraconsistente: Uma Abordagem
Lógica à Computação Quântica”, Tese de Doutroado, IFCH
Juan Carlos Agudelo e Walter Carnielli. Paraconsistent Machines and their
Relation to Quantum Computing. Journal of Logic and Computation 20 (2):
2010, 573-595.
Até que ponto a Computação Quântica pode ser relativa à Lógica, em
especial às lógicas não-clássicas?