Guilherme Ferrarezi Vilela de Souza

Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
FRAÇÕES CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES
Autor: Guilherme Ferrarezi Vilela de Souza
Orientador: Prof. Dr. Haendel Ferreira Lins
Brasília - DF
2012
GUILHERME FERRAREZI VILELA DE SOUZA
FRAÇÕES CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES
Artigo apresentado ao curso de graduação em
Matemática da Universidade Católica de
Brasília, como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Haendel Ferreira Lins
Brasília
2012
3
Artigo de autoria de Guilherme Ferrarezi Vilela de Souza, intitulado “FRAÇÕES
CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES”, apresentado como requisito parcial para obtenção
do grau de Licenciado em Matemática da Universidade Católica de Brasília, em (29 de
novembro de 2012), defendido e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada:
______________________________
Prof. Dr. Haendel Ferreira Lins
Orientador
Matemática – UCB
__________________________________
Prof. Msc. Sinval Braga de Freitas
Matemática - UCB
____________________________
Prof. Msc. Vilmondes Rocha
Matemática – UCB
Brasília
2012
3
FRAÇÕES CONTÍNUAS E SUAS APLICAÇÕES
GUILHERME FERRAREZI VILELA DE SOUZA
Resumo:
Este artigo demonstra como representar Números Racionais em Frações Contínuas finitas e
Números e Irracionais em Frações Contínuas infinitas que se aproximam do número irracional
calculado quanto se queira. E, como essas Frações podem ter aplicações através de exemplos.
Palavras-chave: Frações Contínuas. Teoria dos Números. Aplicações.
1. INTRODUÇÃO
Um número real pode ser representado de mais de uma maneira, como no exemplo a
seguir:
9,25 =
37
4
(1)
A fração contínua é mais uma maneira de se representar um número real e será
demonstrado nesse artigo um método para se converter uma fração (número racional) em uma
fração contínua utilizando o máximo divisor comum entre o numerador e o denominador:
p
, onde p, q ∈ Ζ e q ≠ 0
q
(2)
Com isso temos as seguintes situações, em que será apresentada a maneira como
representá-las em frações contínuas:
(i ) p > q > 0
(ii ) 0 < p < q
(iii ) p < 0 < q
E a fração contínua desse número será expressa da seguinte maneira:
p
= a1 +
q
A fração contínua
1
a2 +
1
a3 +
(3)
1
a4 +
1
O
p
é denotada por [a1 , a 2 , a3 ,...] .
q
4
2. ASPECTOS HISTÓRICOS
A origem das Frações Contínuas é tradicionalmente atribuída ao desenvolvimento do
algoritmo de Euclides, que é usado para encontrar o máximo divisor comum (mdc) entre dois
números, mas se manipulado algebricamente, obtém-se uma fração contínua simples de um
número racional da forma:
p
q
Rafael Bombelli (1526-1572) e Pietro Cataldi (1548-1626) contribuíram para a este
campo fornecendo mais exemplos de representações de frações contínuas. Bombelli
expressou 13 como fração contínua:
13 ≈ 3 +
4
6+
=
4
6
18
5
Cataldi expressou 18 como fração contínua:
18 = 4 +
2
8+
2
8+
2
8 +O
John Wallis (1616-1703), em seu livro “Arithmetica Infinitorium” (1655), fez com
que as frações contínuas se tornassem um campo de estudos, e ele desenvolveu e apresentou a
identidade:
4
π
=
3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 9K
2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8K
Lord Brouncker (1620-1684) desenvolveu essa identidade e a transformou em:
4
π
= 1+
12
32
2+
52
2+
72
2+
92
2+
2 +O
Wallis, dando continuidade ao que Brouncker desenvolveu, através de seu livro
“Opera mathematica” colocou alguns dos fundamentos básicos das frações contínuas.
Demonstrou como calcular o n-ésimo convergente (conceito a ser definido posteriormente) e
descobriu algumas propriedades dos convergentes, sendo que em seu trabalho se utilizou pela
primeira vez o termo frações contínuas.
5
O holandês Chistiaan Huygens (1629-1695) escreveu um artigo explicando como usar
os convergentes de uma fração contínua para se encontrar as melhores aproximações racionais
para as relações entre as engrenagens, objetivando encontrar o número correto de dentes da
engrenagem.
Leonard Euler (1707-1783) em seu trabalho “De Fractionlous Continious” mostrou
que todo número racional pode ser escrito como uma fração contínua simples finita e também
encontrou a fração contínua do número e.
e = 2+
1
1+
1
2+
1
1+
1
1+
1
4+
1
1+O
Heinrich Lambert (1728-1777) mostrou em 1766 que
ex −1
1
=
x
1
e +1 2 +
1
x 6
+
1
x 10
+
x 14
+O
x
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) utilizou frações contínuas para calcular o valor de
raízes irracionais e demonstrou que os números quadráticos irracionais são dados por uma
fração contínua periódica.
Podemos observar através do aspecto histórico que a construção desse assunto teve a
contribuição de vários matemáticos e teve uma importância significativa em conectar os
números racionais com os irracionais, uma vez que possibilitou escrever os números
irracionais através de uma fração contínua infinita.
3. FRAÇÕES CONTÍNUAS FINITAS
Os números racionais podem ser escritos através de Frações Contínuas finitas como
veremos a seguir:
3.1 FRAÇÕES COM O NUMERADOR MAIOR QUE O DENOMINADOR
Na fração
p
, tem-se p > q > 0 . Tome-se como exemplo a fração:
q
83
24
6
Encontrando o máximo divisor comum de 83 e 24 por divisões sucessivas, tem-se:
I. 83 = (24 × 3) + 11
II. 24 = (11 × 2) + 2
III. 11 = (2 × 5) + 1
IV. 2 = (1 × 2) + 0
Daí por frações contínuas pode-se representá-la da seguinte maneira:
83
11
1
1
1
1
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
24
2
1
1
24
24
2+
2+
2+
11
1
11
11
5+
2
2
A representação de
83
em fração contínua é dada por [3,2,5,2].
24
3.2 FRAÇÕES COM O DENOMINADOR MAIOR QUE O NUMERADOR.
Na fração
p
, tem-se 0 < p < q . Tome-se como exemplo a fração:
q
23
97
Por divisões sucessivas encontra-se o máximo divisor comum dessa fração:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
23 = (0 × 97) + 23
97 = (4 × 23) + 5
23 = (4 × 5) + 3
5 = (1 × 3) + 2
3 = (1 × 2) + 1
2 = (2 × 1) + 0
Com isso para se representar uma fração contínua onde o denominador é maior que o
23
numerador o termo a1 é igual à zero, e pelo exemplo
é da seguinte maneira:
97
23
1
1
1
1
= 0+
= 0+
=0+
= 0+
=
97
5
1
1
97
4+
4+
4+
3
1
23
23
4+
4+
5
5
3
7
1
= 0+
4+
1
4+
A representação de
1
=0+
4+
1
1+
2
3
1
4+
1
= 0+
4+
1
1+
1
3
2
1
4+
1
1+
1
1+
1
2
23
em fração contínua é dada por [0,4,4,1,1,2].
97
3.3 FRAÇÕES CONTÍNUAS NEGATIVAS
Na fração
p
, tem-se p < 0 < q . Tome-se como exemplo a fração:
q
43
−
11
Por divisões sucessivas essa fração fica representada da seguinte forma:
I.
II.
− 43 = [(−4) × 11] + 1
11 = (1 × 11) + 0
Com isso para se representar a fração contínua desse número o termo a1 é negativo e
ela é representada da seguinte maneira:
−
A representação de −
43
1
= −4 +
11
11
43
em fração contínua é dada por [-4,11].
11
4. FRAÇÕES CONTÍNUAS INFINITAS
Os números irracionais podem ser expressos por Frações Contínuas infinitas, por
aproximações sucessivas o tanto quanto se queira calcular.
Definição: x  = n se n ≤ x < n + 1 (n ∈ Ζ) .
Tome-se o seguinte exemplo:
15
8
Fórmulas:
α = a1 +
1
, onde a1 = α 
x1
(4)
1
, onde a 2 = x1 
x2
1
x 2 = a 3 + , onde a3 = x 2 
x3
x1 = a 2 +
x n = a n +1 +
Decorre daí que x n +1 =
x n +1
, onde a n +1 = x n 
(6)
1
1
=
x n − a n +1 x n − x n 
α = a1 +
Obtém-se, a1 =
1
(5)
1
a2 +
1
a3 +
1
a4 +
[ 15 ] = 3 ;
1
x4
∴ a1 = 3
x1 =
1
×
( 15 + 3)
15 − 3 ( 15 + 3)
=
15 + 3
6
 15 + 3 
a2 = 
 =1
 6 
x2 =
∴ a3 =
1
15 + 3
−1
6
=
6
×
( 15 + 3)
15 − 3 ( 15 + 3)
=
6 15 + 18 6 15 + 18
=
= 15 + 3
15 − 9
6
[ 15 + 3] = 6
x3 =
 15 + 3 
a4 = 
 =1
6


1
15 + 3 − 6
=
1
×
( 15 + 3)
15 − 3 ( 15 + 3)
=
15 + 3
6
9
x4 =
∴ a5 =
1
15 + 3
−1
6
=
6
×
( 15 + 3)
15 − 3 ( 15 + 3)
=
6 15 + 18 6 15 + 18
=
= 15 + 3
15 − 9
6
[ 15 + 3] = 6
M
Pode-se observar que os [a1 , a 2 , a 3, ..., a n ] , se comportam de maneira periódica, da
seguinte maneira [3,1,6,1,6,1,6...] = [3,1,6] . Daí representa-se 15 como fração contínua da
seguinte forma:
1
3,1,6 = 3 +
1
1+
1
6+
1
1+
6 +O
[ ]
5. CONVERGENTES
Considere o número x racional representado pela seguinte fração
contínua x = [ a 0 , a1 , a 2 ,..., a n ] . São chamados de seus convergentes ou frações parciais a
seguinte sequência c1 , c 2 , c 3 ,..., c n dada por:
a1
1
1
1
, c 2 = a1 +
, c3 = a1 +
,..., c n = a1 +
1
1
1
a2
a2 +
a2 +
1
a3
O+
an
Que são obtidos pela expansão das frações contínuas [a1 ] , [a1 , a2 ] , [a1 , a 2 , a3 ] ,
[a1 , a2 , a3 ,..., an ] e são chamados de primeiro, segundo, ..., convergentes.
Se for considerado
a
p
c1 = 1 = 1 ,
1 q1
c1 =
em que p1 = a1 e q1 = 1 , tem-se o próximo convergente da seguinte maneira:
c 2 = a1 +
1 a1 a 2 + 1 p 2
=
=
,
a2
a2
q2
em que p2 = a1a 2 + 1 e q 2 = a 2 .
Para os próximos convergentes obtêm-se respectivamente:
c3 =
a3 p 2 + p1 p3
=
a3 q 2 + q1
q3
10
c4 =
a 4 p3 + p 2 p 4
=
a 4 q3 + q 2
q4
Pode-se concluir com esses resultados que:
pi = ai pi −1 + pi − 2
qi = ai qi −1 + qi − 2
Teorema: Seja ci = pi o i-ésimo convergente da fração contínua [a1 , a 2 ,..., a n ] . Então o
qi
numerador p i e o denominador qi de ci satisfazem as seguintes relações:
pi = ai pi −1 + pi − 2
qi = ai qi −1 + qi − 2
Para i = 1,2,3..., n.
6. APLICAÇÕES DE FRAÇÕES CONTÍNUAS EM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Com esses conceitos a respeito das frações contínuas pode-se analisar alguns
exemplos em que elas são aplicadas.
Exemplo 1: Um fabricante de relógios precisa produzir dois tipos de rodas dentadas na razão
1 : 13 . É impraticável que estas rodas tenham mais que 30 dentes. Encontre algumas
possibilidades para os números de dentes que irão aproximar a razão desejada, utilizando as
aproximações dadas pelos convergentes consecutivos de uma fração contínua simples.
(Adaptado de Sanches, Salomão (2003)).
Figura 1: Engrenagens
Considere que x seja o número de dentes da coroa maior e y o número de dentes da
coroa menor. Então obtém-se a seguinte relação:
x
≅ 13 , com x, y ∈ Ζ *
y
11
(1º convergente)
a1 =
∴ c1 =
 13  = 3
a1 p1 3
=
= =3
1 q1 1
(2º convergente)
x1 =
1
×
13 − 3
( 13 + 3) =
( 13 + 3)
13 + 3
13 + 3
=
13 − 9
4
 13 + 3 
∴ a2 = 
 =1
 4 
c2 =
a1 a 2 + 1 p 2 3 × 1 + 1 4
=
=
=
a2
q2
1
1
(3º convergente)
x2 =
1
13 + 3
−1
4
=
4
13 − 1
×
( 13 + 1) = 4(
( 13 + 1)
13 + 1)
13 + 1
=
12
3
 13 + 1 
∴ a3 = 
 =1
3


c3 =
a3 p 2 + p1 p3 1 × 4 + 3 7
=
=
=
a3 q 2 + q1
q3 1 × 1 + 1 2
7
2
∴ c3 =
(4º convergente)
x3 =
1
13 + 1
−1
3
=
3
13 − 2
×
( 13 + 2)
( 13 + 2)
=
3( 13 + 2) 3( 13 + 2)
13 + 2
=
=
13 − 4
9
3
 13 + 2 
∴ a4 = 
 =1
3


c4 =
a 4 p3 + p 2
p
1 × 7 + 4 11
= 4 =
=
a 4 q3 + q 2
q4 1× 2 + 1 3
∴ c4 =
11
3
12
(5ºconvergente)
x4 =
1
13 + 2
−1
3
=
3
×
( 13 + 1)
13 − 1 ( 13 + 1)
=
3( 13 + 1)
13 + 1
=
13 − 1
4
 13 + 1
∴ a5 = 
 =1
 4 
a p + p 3 p5 1 × 11 + 7 18
c5 = 5 4
=
=
=
1× 3 + 2
5
a5 q 4 + q3
q5
18
5
Ou seja, a engrenagem grande terá 18 (dezoito) dentes e a engrenagem menor 5
(cinco) dentes.
∴ c5 =
Exemplo 2: Sabendo que um ano tem aproximadamente 365 dias 5 horas 48 min e 46 s,
quantos anos bissextos existem em 400 anos?
Resolução:
Primeiramente, representa-se em uma fração o quanto que 5 horas 48 min e 46 s
representam de um dia.
1min → 60 s
48 min → x
x = 2880 s
1 hora → 3600 s
5 horas → x
x = 18000 s
Portanto, em 5 horas 48 min e 46 s temos 20926 s.
1 dia → 86400 s
x → 20926 s
x=
x=
Conclui-se que um ano possui 365
A fração contínua de 365
20926
86400
10463
dias.
43200
10463
dias.
43200
10463
é a seguinte:
43200
I. 43200 = 4 × 10463 + 1348
II. 10463 = 7 × 1348 + 1027
13
III. 1348 = 1 × 1027 + 321
IV. 1027 = 3 × 321 + 64
V. 321 = 5 × 64 + 1
VI. 64 = 64 × 1 + 0
1
10463
1
1
1
365
= 365 +
= 365 +
= 365 +
= 365 +
=
43200
1348
1
1
43200
4+
4+
4+
10463
1027
10463
10463
7+
1348
1348
= 365 +
= 365 +
1
4+
= 365 +
1
1
7+
1348
1027
1
= 365 +
1
4+
7+
1
1+
1
4+
1
1
7+
321
1+
1027
1
1
4+
1
1+
1
=
1
1
7+
1+
= 365 +
1
4+
7+
1
64
3+
321
= 365 +
1
1027
321
1
1
4+
7+
1
3+
321
64
1
1+
1
3+
1
5+
1
64
E, a fração contínua correspondente a 1 ano = 365 dias 5 horas 48 min 46 s é [365, 4, 7
, 1, 3, 5, 64].
1
1 ano = 365 +
1
4+
1
7+
1
1+
1
3+
1
5+
64
(1º convergente)
c1 =
a1 p1 365
=
=
= 365
1 q1
1
(2º convergente)
c2 =
a1 a 2 + 1 p 2 365 x 4 + 1
1
=
=
= 365
a2
q2
4
4
Com isso conclui-se que a cada 04 (quatro) anos 01 (um) é bissexto.
14
(3º convergente)
c3 =
a3 p 2 + p1 p3 7 x1461 + 365
7
=
=
= 365
a3 q 2 + q1
q3
7 x4 + 1
29
Com isso conclui-se que a cada 29 (vinte e nove) anos 07 (sete) são bissextos.
(4º convergente)
c4 =
a 4 p3 + p 2 p 4 1x10592 + 1461
8
=
=
= 365
a 4 q3 + q 2
q4
1x 29 + 4
33
Com isso conclui-se que a cada 33 (trinta e três) anos 08 (oito) são bissextos.
8 (anos bissextos) → 33 (anos)
x (anos bissextos) → 400 (anos)
x ≈ 96, 96 ≈ 97 anos bissextos.
∴ Em 400 anos existem 97 anos bissextos.
1+ 5
. Expresse-o como fração contínua e calcule
2
seus convergentes comparando-os à sequência de Fibonacci.
Exemplo 3: O número de ouro é a fração
Resolução:
Parte 1:
Sabe-se que:
1+ 5
2
1 + 5 
a1 = 
 =1
2


α=
Por (4) tem-se que:
1+ 5
1
1 1+ 5
1
5 −1
2
( 5 + 1)
5 +1
= 1+ ⇔
=
−1 ⇔
=
⇔ x1 =
×
⇔ x1 =
2
x1
x1
2
x1
2
2
5 − 1 ( 5 + 1)
Obtém-se que:
1 + 5 
a 2 = x1  = 
 =1
 2 
Por (6) tem-se que:
1+ 5
1
1 1+ 5
1
5 −1
2
( 5 + 1)
5 +1
= 1+
⇔
=
−1 ⇔
=
⇔ x2 =
×
⇔ x2 =
2
x2
x2
2
x2
2
2
5 − 1 ( 5 + 1)
15
Obtém-se que
1 + 5 
a 3 = x 2  = 
 =1
 2 
Por (6) tem-se que:
1+ 5
1
1 1+ 5
1
5 −1
2
( 5 + 1)
5 +1
= 1+
⇔
=
−1 ⇔
=
⇔ x3 =
×
⇔ x3 =
2
x3
x3
2
x3
2
2
5 − 1 ( 5 + 1)
Obtém-se que
1 + 5 
a 4 = x 3  = 
 =1
2


1+ 5
, pode-se concluir que a1 = a 2 = K = a n = 1 . E,
2
portanto a fração contínua do número de ouro é:
1+ 5
1
= 1+
1
2
1+
1
1+
1+O
Como x1 = x 2 = K = x n =
E essa fração é denotada [1,1,1,1K] .
Parte 2:
Calculando agora seus convergentes obtém-se:
(1º convergente)
1 + 5 
a1 = 
 =1
2


∴ c1 =
a1 1
= =1
1 1
(2º convergente)
c 2 = a1 +
1
1
= 1+ = 2
a2
1
(3º convergente)
c3 = a1 +
1
a2 +
1
a3
= 1+
1
1+
1
1
= 1+
1 3
=
2 2
16
(4º convergente)
c4 =
a 4 p3 + p 2 1 × 3 + 2 5
=
=
a 4 q3 + q 2 1 × 2 + 1 3
c5 =
a5 p 4 + p3 1 × 5 + 3 8
=
=
a5 q 4 + q 3 1 × 3 + 2 5
c6 =
a6 p5 + p 4 1 × 8 + 5 13
=
=
a 6 q5 + q 4 1 × 5 + 3 8
(5º convergente)
(6º convergente)
Pode-se observar que os valores dos convergentes são iguais às razões de dois termos
consecutivos da Sequência de Fibonacci, que é a seguinte (1,1,2,3,5,8,13,21...).
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Através desse artigo pode-se perceber a articulação dos números racionais e os
irracionais através das frações contínuas. Pode-se aproximar, o tanto quanto se deseje um
irracional usando frações contínuas.
A construção das definições desse campo de conhecimento foi uma contribuição de
vários matemáticos ao longo da história. E os conceitos de frações contínuas, principalmente
os de convergentes, podem ser aplicados em problemas do cotidiano como o exemplo da
engrenagem e dos anos bissextos.
E esse trabalho visa que o leitor possa não só conhecer os conceitos de frações
contínuas, mas que ele também possa ver como esse conhecimento pode ser útil na resolução
de problemas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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