v F b −= j j j v FP v F vm vb gm m m x x x = − = + = vmvbgmx = − td vd

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Uma partícula de massa m é abandonada em repouso, cai sob ação do seu peso e
sofre uma força de resistência proporcional a velocidade de queda. Determinar:
a) A equação da velocidade em função do tempo;
b) A velocidade terminal;
c) A equação da posição em função do tempo;
d) A aceleração do movimento.
Dados do problema
•
•
•
•
massa da partícula:
velocidade inicial da partícula:
constante de proporcionalidade da força de resistência:
aceleração da gravidade:
m;
v 0 = 0;
b;
g.
Esquema do problema
Adotamos um sistema de referência orientado para baixo com
origem no ponto onde a partícula é abandonada. Agem na partícula a força
peso no sentido da queda, dada por
P=mg
e a força de resistência que se opõe ao movimento
FR = −b v
Solução
figura 1
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton à partícula, escrevemos
F = m v&
P + FR = m v&
m g j − b v j = m v& j
como só existe movimento em uma dimensão temos em módulo
m g − b v = m v&
dv
e separando as variáveis
escrevendo v& =
dt
m
dv
=m g −bv
dt
dv
mg

=b
−v 
dt
b


dv
b
=
dt
mg
 m
−v 

 b

m
integrando a velocidade do lado esquerdo de 0 a v ( t ) , a velocidade num instante t qualquer, e
do lado direito integrando o tempo de 0 a t, um instante qualquer
1
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v (t)
t
dv ′
b
dt′
=
m
g
m


−v  0
0 
 b

v (t)
t
dv ′
b
=
dt′
 m
 mg
−v 
0 
0

 b
∫
∫
∫
v (t )
integração de
∫
dv ′
∫  m g − v ′ 
0
 b

fazendo a mudança de variável
mg
− v′
b
d u = −d v ′ ⇒ d v ′ = −d u
u=
fazendo a mudança dos extremos de integração
para v ′ = v ( t )
para v ′ = 0
temos u =
mg
b
temos u =
mg
− v (t )
b
substituindo na integral
mg
−v ( t
b
∫
)
− d u′
= − ln u ′
u′
mg
b
ln u ′
mg
−v ( t
b
mg
b
)
=−
mg
−v ( t
b
mg
b
b
t′
m
)
t
0
b
 mg

 mg 
ln 
− v ( t )  − ln 
 = − (t −0 )
m
 b

 b 
 mg

− v (t ) 

=−b t
ln  b
mg
m




b


 m g − b v (t ) 


b
=−b t
ln 
m
g
m




b


 m g − b v (t ) 
b
 = − t
ln 
m
g
m


− t
m g − b v (t )
=e m
mg
b
2
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m g − b v (t ) = m g e
−
b
t
m
b v (t ) = m g − m g e
−
b
t
m
b

− t
b v (t ) = m g  1 − e m


v (t ) =








b
− t
m g 
1− e m
b 

b) A velocidade terminal será encontrada fazendo o limite da expressão da velocidade quando
t → ∞ , assim
b
b
− t 
− ∞
m g 
m g 
1− e m  =
1− e m

t →∞
t →∞ b 
b 



mg 
1  mg
1  mg 
(1− 0 )
=
 1−  =
 1− ∞  =
b 
b
b
∞
e 


v T = lim v ( t ) = lim
(
)
mg
b
vT =
c) Sendo x =
 mg
=
1− e −∞ =

b

dv
a equação da velocidade encontrada acima fica
dt
b
− t 
d x m g 
1− e m 
=

dt
b 


b
− t 
m g 
dx =
1− e m  d t

b 


integrando a posição do lado esquerdo de 0 a x ( t ) , a posição num instante t qualquer, e do
lado direito integrando o tempo de 0 a t, um instante qualquer
x(t )
∫
0
d x′ =
t
∫
0
b
− t′
m g 
1− e m
b 


mg 
x (t ) − 0 =

b 


mg 
x (t ) − 0 =
 t′
b 

t
∫
t
dt ′ −
0
∫
0
e
−

 dt ′


b
t′
m


dt′ 


b
t
0
 m  − m t′
− −
e
 b 
b
b
− 0
m g 
m  − m t
m
x (t ) =
t −0+
−e
e
b 
b 


b

m g 
m  − m t
x (t ) =
t+
e
−1 

b 
b 



3




0 




t
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x (t ) =
b

m  − m t
m g 
t+
e
−1 

b 
b 



d) A aceleração é encontrada derivando a expressão da velocidade a =
a (t ) =

d mg
dt  b

a (t ) =
b

 1− e − m t


b
m g 
b −m t
0+
e
b 
m

a (t ) =
b
m g b −m t
e
b m
a(t ) = g e
4
−
b
t
m








d v (t )
dt