UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA - ORM/SC

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
XIX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA
PET MATEMÁTICA
Gabarito 4 Nível 1
1. Vamos supor que os lados da folha quadrada medem 2 cm.
Assim, o perímetro da folha quadrada mede 2 + 2 + 2 + 2 = 8 cm.
Quando Janaína cortou a folha ao meio, ela dividiu a folha quadrada em duas folhas retangulares com 1 cm
de altura e 2 cm de comprimento cada. Ao colar as duas metades em seus lados menores, como indicado
na gura da questão, obteve uma folha retangular com 1 cm de altura e 2 + 2 = 4 cm de comprimento.
Assim, o perímetro da nova gura retangular é 1 + 4 + 1 + 4 = 10 cm.
8
A razão entre o perímetro do quadrado original e o perímetro do retângulo obtido é de 10
= 45 .
Note que essa proporção será mantida independente do tamanho do quadrado (Alternativa B).
2. Vamos identicar os quadrados usados por Esmeralda por 1, 2, 3 e 4, como mostra a gura abaixo:
Primeiramente vamos calcular a área de um dos quadrados. Como os lados têm comprimento 20 cm, a área
vale 20 × 20 = 400 cm2 . Como todos os quatro quadrados são iguais, temos que as áreas são todas iguais.
Perceba que, quando Esmeralda cola um dos vértices de um quadrado no centro do outro, ela sobrepõe
o equivalente a um quarto da área do quadrado, pois a parte sobreposta é um quadrado de lado igual à
metade do quadrado original. Assim, temos que a área da parte sobreposta será de 41 × 400 = 100 cm2 .
Portanto, para encontrarmos a área da gura 4, basta encontrarmos quantos quartos de quadrado sobram
de cada quadrado utilizado.
Analisando a gura 4 e calculando suas áreas restantes, temos que:
Quadrado 1: Note que o quadrado 2 sobrepõe um quarto de sua área e o quadrado 4 sobrepõe um quarto
de sua área. Assim, sobram dois quartos do quadrado 1, ou seja, metade da sua área, que é 200 cm2 .
Quadrado 2: Note que apenas o quadrado 3 sobrepõe um quarto da sua área. Dessa forma, sobram três
quartos da área do quadrado 2, ou seja, 300 cm2 .
Quadrado 3: Perceba que apenas o quadrado 4 sobrepõe um quarto da sua área. Então, sobram três
quartos da área do quadrado 3, ou seja, 300 cm2 .
Quadrado 4: O quadrado 4 ca completo por ser o último dos quadrados a ser colado na gura. Portanto,
ele permanece com sua área, que é de 400 cm2 .
A área total da gura 4 é a soma das áreas que sobram de cada quadrado, ou seja, 200+300+300+400 =
1200 cm2 (Alternativa A).
3. Note que o suco é composto por 0,2 litros de polpa e 0,8 litros de água. Ao juntar o suco com a água, teremos
0,2 L de polpa e 3,8 L de água (pois temos 0,8 litros de água no suco mais 3 litros de água adicionado).
Portanto a proporção de polpa em relação a mistura é de 0,2 litros de polpa para 4 litros de suco, ou seja,
0, 2/4 = 2/40 = 0, 05 = 5% (Alternativa A).
4. Observe que 60% dos alunos da classe foram prestar trabalho comunitário, sendo que o total de alunos 40,
pois são 22 alunos e 18 alunas, então 0, 6 × 40 = 24 alunos foram prestar trabalho comunitário. Para saber
o mínimo de alunas que participaram desse trabalho, considere o máximo possível de alunos participando.
Nesse caso, estiveram presentes 22 alunos, restando assim o mínimo de alunas igual a 2 (24 participantes 22 alunos) (Alternativa B).
Local: PET Matemática Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Universidade Federal de Santa Catarina
Fone/FAX: (48) 3721-4595
[email protected]
www.orm.mtm.ufsc.br
5. O número de pessoas que chegaram depois de Dido é o quádruplo do número de pessoas que chegaram
antes dele. Portanto, somando essas duas quantidades obteremos o quíntuplo do número de pessoas que
chegaram antes de Dido (4 partes mais uma parte dando 5 partes). Essa última quantidade de pessoas mais
Dido correspondem a 2011 pessoas. Logo, o quíntuplo do número de pessoas que chegaram antes de Dido
é igual a 2011 − 1 = 2010.
2010
Portanto, a quantidade de pessoas que chegaram antes de Dido é igual a
= 402. Logo, Dido chegou
5
a
na 403 posição.
(Alternativa D).
6. Sabemos que Alexandre e Bento são uma dupla. Também podemos concluir que Carlos e Tomás são outra
dupla, pois Carlos não é dupla de Dário e não pode estar viajando com André, pois este viajou de avião. A
dupla restante é André e Dário, eles viajam de avião, pois este era o meio de transporte de André. Carlos
não viaja de avião e Tomás não viaja de trem, então eles só podem ter viajado de carro. O que resta a
Alexandre e Bento é viajar de trem.
Com as informações acima podemos concluir que as duplas e seus meios de transporte são:
• André e Dário - Avião,
• Carlos e Tomás - Carro,
• Alexandre e Bento - Trem.
Portanto, a armação correta é Alexandre vai de trem e Tomás vai de carro (Alternativa D).
Local: PET Matemática Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Universidade Federal de Santa Catarina
Fone/FAX: (48) 3721-4595
[email protected]
www.orm.mtm.ufsc.br