EM41G - Transferência de Calor

EM41G
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Prof. Dr. Thiago Antonini Alves
[email protected]
Aula #2
23/03/2017
30/03/2017
Introdução à Condução
Sumário


A Equação da Taxa de Condução
As Propriedades Térmicas da Matéria
 Condutividade
Térmica
 Outras Propriedades Relevantes


A Equação da Difusão de Calor (Difusão
Térmica)
Condições de Contorno e Inicial
#2 – Introdução à Condução
EM41G – Transferência de Calor
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A Equação da
Taxa de Condução
#2 – Introdução à Condução
EM41G – Transferência de Calor
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
Lei de Fourier
(fenomenológica, ou seja, desenvolvida empiricamente)
T
qx  A
x
Experimento de condução térmica em regime permanente.
#2 – Introdução à Condução
EM41G – Transferência de Calor
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Para diferentes materiais, a proporcionalidade permanece válida.
T
q x  kA
x
sendo que, k é a condutividade térmica [W/(m.K)]
#2 – Introdução à Condução
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A taxa de transferência de calor é
dT
q x  kA
dx
ou para o fluxo de calor (fluxo térmico)
qx 
qx
dT
 k
A
dx
Lembre-se de que o sinal negativo é necessário porque o
calor é sempre transferido no sentido da diminuição das
temperaturas.
#2 – Introdução à Condução
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A Lei de Fourier implica que o fluxo térmico é uma grandeza
direcional.
A relação entre o sistema de coordenadas, o sentido do fluxo de calor
e o gradiente de temperatura numa dimensão.
#2 – Introdução à Condução
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
Enunciado mais geral da Lei de Fourier
 T
T
T 

q  kT  k  i
j
k
y
z 
 x
onde,  é o operador gradiente tridimensional e
T(x,y,z) é o campo escalar de temperaturas.
#2 – Introdução à Condução
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O vetor fluxo térmico encontra-se numa direção
perpendicular às superfícies isotérmicas.
T
qn  k
n
O vetor fluxo térmico normal a uma isoterma num sistema de coordenadas 2D.
#2 – Introdução à Condução
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O vetor fluxo térmico pode ser decomposto, de tal forma que,
em coordenadas cartesianas, a expressão geral para q" é
q  i qx  j qy  k qz
sendo que
T
qx  k
x
T
q y   k
y
#2 – Introdução à Condução
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T
qz  k
z
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
Considerações finais sobre a Lei de Fourier




É fenomenológica baseada em evidências experimentais ao
invés de ter sido derivada a partir de princípios fundamentais;
Define uma importante propriedade dos materiais, a
condutividade térmica, k;
É uma expressão vetorial, indicando que o fluxo térmico é
normal a uma isoterma e no sentido da diminuição das
temperaturas;
É aplicada a toda matéria, independente de seu estado físico
(sólido, líquido ou gás).
#2 – Introdução à Condução
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As Propriedades
Térmicas da Matéria
#2 – Introdução à Condução
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Condutividade Térmica
Esta importante propriedade do material é classificada como
uma propriedade de transporte e fornece uma indicação da
taxa na qual a energia é transferida pelo processo de difusão.
Ela depende da estrutura física da matéria, atômica e
molecular, que está relacionada ao estado da matéria.
#2 – Introdução à Condução
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A partir da Lei de Fourier, a condutividade térmica associada à
condução na direção x é definida como
qx
kx  
 T 


 x 
Definições similares são associadas às condutividades térmicas nas
direções y e z (ky e kz), porém para um material isotrópico a
condutividade térmica é independente da direção de
transferência, kx = ky = kz ≡ k
#2 – Introdução à Condução
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Faixas de condutividade térmica de vários estados da matéria a temperaturas e pressões normais.
#2 – Introdução à Condução
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A dependência com a temperatura da condutividade térmica de sólidos selecionados.
#2 – Introdução à Condução
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A dependência com a temperatura da condutividade térmica de gases selecionados a pressões normais.
#2 – Introdução à Condução
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A dependência com a temperatura da condutividade térmica de líquidos
não-metálicos selecionados sob condições saturadas.
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Outras Propriedades Relevantes

Propriedades de Transporte (coeficientes das taxas de
difusão)


Viscosidade cinemática, v
Propriedades Termodinâmica (estado de equilíbrio)


Massa específica, ρ
Calor específico, cp
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Capacidade Calorífica Volumétrica, C [J/(m3K)]
Mede a capacidade de um material de armazenar energia
térmica.
C   cp
Difusividade térmica, α [m2/s]
Mede a capacidade do material de conduzir energia térmica em
relação à sua capacidade de armazená-la.
k

 cp
#2 – Introdução à Condução
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A precisão dos cálculos de Engenharia depende da exatidão
com que são conhecidos os valores das propriedades
termofísicas.
Os valores destas propriedades para uma gama de sólidos (Tabs.
A1 – A3), líquidos (Tabs. A5 – A7) e gases (Tab. A4) são
fornecidos nas tabelas do Apêndice A do Livro-texto.
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A Equação da
Difusão de Calor
(Difusão Térmica)
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Um dos objetivos principais da análise da condução de calor
é determinar o campo de temperaturas (distribuição de
temperaturas) num meio resultante das condições
impostas em suas fronteiras.
Uma vez conhecida esta distribuição, o fluxo de calor por
condução em qualquer ponto do meio ou na sua superfície
pode ser determinado através da Lei de Fourier.
#2 – Introdução à Condução
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Objetivo: uma equação diferencial cuja solução, para
condições de contorno especificadas, forneça a distribuição
de temperaturas no meio.
Metodologia: aplicação da conservação da energia, ou seja,
define-se um volume de controle diferencial, identificam-se
os processos de transferência de energia relevantes e
substituem-se as equações das taxas de transferência de
calor apropriadas.
#2 – Introdução à Condução
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E ent  E g  E sai  E acu
Volume de controle diferencial, dx.dy.dz, para análise da condução em coordenadas cartesianas.
#2 – Introdução à Condução
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Equação da Difusão do Calor (Difusão Térmica)
Coordenadas cartesianas

  T    T    T 
T
   k
k
   k
  q   c p
x  x  y  y  z  z 
t
Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de
transferência de energia por condução no interior de um
volume unitário somada à taxa volumétrica de geração
de energia térmica deve ser igual à taxa de variação da
energia térmica acumulada no interior deste volume.
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
Equação do Calor: Coordenadas Cilíndricas
radial, r
circunferencial, Φ
axial, z
1   T  1   T    T 
T
 k
   k
 kr
 2
  q   c p
r r  r  r     z  z 
t
#2 – Introdução à Condução
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
Equação do Calor: Coordenadas Esféricas
radial, r
polar, θ
azimutal, Φ
1   2 T 
1
  T 
1
 
T 
T

kr


k


k
sen


q


c




p
r  r 2 sen 2     r 2 sen  
 
t
r 2 r 
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Condições de
Contorno e Inicial
#2 – Introdução à Condução
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Para determinação da distribuição de temperaturas num
meio, é necessário resolver a forma apropriada da
Equação do Calor.
Tal solução depende das condições físicas existentes nas
fronteiras do meio, e, se a situação variar com o tempo
(processo transiente), a solução também depende das
condições existentes no meio em algum instante inicial.
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Condição Inicial: como a Equação do Calor é de primeira
ordem em relação ao tempo, apenas uma condição deve ser
especificada. [T(x,t)t=0 = T(x,0)]
Condições na Fronteira (Condições de Contorno): há várias
possibilidades comuns que são expressas de maneira
simples em forma matemática. Como a Equação do Calor é
de segunda ordem em relação às coordenadas espaciais,
duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada
coordenada espacial necessária para descrever o problema.
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Condições de contorno para a equação da difusão do calor na superfície (x = 0).
Condição de
Dirichlet
Condição de
Neumann
Condição de
Robin
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Referências
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Referências Básicas

BERGMAN, T.L., LAVINE, A.S., INCROPERA, F.P. &
DEWITT, D.P., 2014. Fundamentos de Transferência de Calor e
de Massa. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 672p.

ÇENGEL, Y.A. & GHAJAR, A.J., 2012. Transferência de Calor
e Massa: Uma Abordagem Prática. Porto Alegre, RS: McGrawHill, 904p.
#2 – Introdução à Condução
EM41G – Transferência de Calor
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Referências Complementares

CARSLAW, H.S. & JAEGER, J.C., 1959. Conduction of Heat
in Solids. New York, NY, USA: Oxford, 510p.

ARPACI, V.S., 1991. Conduction Heat Transfer. Boston, MA,
USA: Addison-Wesley, 490p.

BEJAN, A., 2004. Convection Heat Transfer. Hoboken, NJ,
USA: John Wiley & Sons, 694p.

KAYS, W., CRAWFORD, M. & WEIGAND, B., 2005.
Convective Heat and Mass Transfer. New York, NY, McGrawHill, 546p.
#2 – Introdução à Condução
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
HOWELL, J.R., SIEGEL, R. & MENGUC, M.P., 2010.
Thermal Radiation Heat Transfer. Boca Raton, FL, USA:
CRC, 987p.

ROHSENNOW, W.M., HARTNETT, J.P. & CHO, Y.I., 1998.
Handbook of Heat Transfer. New York, NY: McGraw-Hill,
1344p.

BEJAN, A. & KRAUS, A.D., 2003. Heat Transfer Handbook.
Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 1480p.
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2ª Lista de Exercícios
Capítulo 2 (Incropera et al, 2008):
 2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.8, 2.13, 2.20, 2.26, 2.39, 2.50
Data de Entrega: até o dia 06/04/2017.
INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGMAN, T.L. &
LAVINE, A.S., 2008. Fundamentos de Transferência de Calor
e de Massa. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: LTC, 643p.
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