Lista 1

0.1 Problemas correspondentes ao Capítulo 2
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0.1 Problemas correspondentes ao Capítulo 2
Cinemática unidimensional
1. Em seu treinamento de atletismo, Juca percorreu um trecho retilíneo de uma estrada de
20km de comprimento do seguinte modo: nos primeiros 10km ele manteve uma velocidade média de 12km/h, enquanto nos últimos 10km ele foi capaz de manter apenas uma
velocidade média de 8km/h. Seu amigo Zeca, informado desse resultado, concluiu que
Juca percorreu a distância total de 20 km com uma velocidade média de 10 km/h. Calcule
essa velocidade média e verifique se está correta ou não a conclusão de Zeca.
2. Uma partícula, que começa a se movimentar em t=0, se move ao longo do eixo OX e sua
equação horária é dada por
x(t) = −t2 + 6t + 16 ,
(0.1)
onde está subentendida a utilização do Sistema Internacional de Unidades.
(a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula.
(b) Em que instantes e com que velocidades a partícula passa pela origem?
(c) Durante que intervalo de tempo a partícula está no semi-eixo OX positivo? Nesse
intervalo, qual é a distância máxima da origem atingida por ela?
3. Uma partícula se move ao longo do eixo OX com uma aceleração constante ax = 1m/s2 .
No instante t0 = 0 sua posição é x0 = d, d > 0, e em t′ = 2s sua posição é x′ = d − 6.
(a) Obtenha a velocidade e a posição da partícula.
(b) Em que instante a partícula inverte o sentido de seu movimento? Em que instante
ela retorna à posição inicial?
(c) Qual é o menor valor de d para que a partícula não atinja o semi-eixo OX negativo?
4. Uma partícula é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de módulo v0 . Seja
d1 a distância percorrida pela partícula durante a primeira metade do intervalo de tempo
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gasto na subida e seja d2 a distância percorrida por ela durante a segunda metade. Calcule
a razão d1 /d2 .
5. Uma pedra cai, a partir do repouso, do alto de um prédio. Ao observar a pedra, uma
pessoa verifica que ela percorre os últimos 25 metros antes de se chocar com o solo em 1
segundo. Determine a altura do prédio?
6. A figura mostra o gráfico da posição versus tempo de uma partícula em movimento unidimensional ao longo do eixo OX . No gráfico, estão marcados os instantes t1 e t2 que
correspondem, respectivamente, ao instante em que a partícula atinge a distância máxima em relação à origem e ao instante em que a reta tangente ao gráfico tem inclinação
máxima, em módulo, no intervalo t > t1 .
x
t1
t2
t
Esboce os gráficos de vx versus t e ax versus t da partícula e, neles, marque os
instantes t1 e t2 .
7. O gráfico mostra como variam os módulos das velocidades de dois pilotos de prova de
fórmula um, Pedro e Renata, numa das várias marcações de seus tempos. Renata arranca
e mantém uma aceleração constante até atingir uma velocidade máxima vM e, a partir
desse instante, passa a frear com aceleração de módulo constante até atingir o repouso no
instante tF . Pedro também arranca, mantém uma aceleração constante e atinge a mesma
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velocidade máxima de Renata, mas demora mais tempo para fazê-lo. Além disso, Pedro
consegue frear a tempo de atingir o repouso no mesmo instante que Renata.
v
vM
P edro
Renata
O
tF
t
Denotando por vR e vP as respectivas velocidades médias de Renata e Pedro entre os
instantes 0 e tf , compare, usando os símbolos de ordem >, < ou =, as velocidades vR e
vP . Justifique sua resposta.
8. Um carro de fórmula 1 está fazendo testes numa longa pista retilínea e estão sendo medidos os intervalos de tempo gastos para que ele percorra uma distância d. Suponha que
ele inicie seu movimento a partir do repouso e que, após percorrer essa distância, ele retorne ao repouso. Sabe-se, ainda, que a maior aceleração que esse carro pode atingir é
α e a máxima desaceleração alcançada é β (β > 0). Imagine, agora, um dos possíveis
movimentos que respeitam essa condição, a saber: em t = 0 ele inicia um MRUV com
aceleração α até um certo instante, a partir do qual começa a diminuir a sua velocidade
descrevendo outro MRUV, com desaceleração β, até atingir o repouso exatamente após
ter percorrido a distância d.
(a) Faça um gráfico da velocidade do carro versus tempo correspondente ao movimento
descrito anteriormente.
(b) Usando o fato de que a aceleração de uma partícula pode ser obtida do gráfico de sua
velocidade versus tempo e também o fato de que a área algébrica sob esse gráfico
dá o seu deslocamento, mostre que para percorrer a distância d no menor tempo
possível, esse carro deve seguir exatamente o movimento descrito anteriormente.
Não se esqueça de que, nesse problema, os carros têm a restrição de ter aceleração
máxima α e desaceleração máxima (em módulo)β.
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9. A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo OX é dada por vx =
4
dx
(t)
dt
=
t2 − 4t + 3, onde está subentendida a utilização do Sistema Internacional de Unidades.
(a) Em que instantes o movimento da partícula muda de sentido?
(b) Determine a aceleração da partícula e o instante em que ela se anula.
(c) Esboce os gráficos de vx versus t e ax versus t e, neles, marque os instantes encontrados no itens anteriores.
(d) Supondo que em t = 0 a partícula esteja na origem, determine a sua posição em
função do tempo t. Faça um esboço do gráfico de x versus t e, nele, marque os
instantes em que a partícula inverte o sentido de seu movimento.
10. A aceleração de uma partícula que se movimenta ao longo do eixo OX é dada por
ax = bt − c), onde b e c são constantes positivas. No instante inicial, t = 0, a partícula
está na origem com velocidade nula.
(a) Determine as unidades do SI em que se expressam as constantes b e c.
(b) Calcule a velocidade da partícula em qualquer instante de tempo. Em que instantes
a partícula inverte o sentido de seu movimento?
(c) Obtenha a função-movimento da partícula. Em que instante ela cruza a origem?
(d) Esboce o gráfico da posição x da partícula versus o tempo t e, nele, indique os
instantes em que vx = 0 e x = 0.