Combinação simples

Combinação simples
Combinação simples
Um grupo formado por 5 pessoas resolve
formar uma comissão com 2 pessoas que
ficarão encarregadas de organizar um
almoço de confraternização. Qual o número
total de possíveis comissões?
Combinação simples
Vamos inicialmente representar
as cinco pessoas por símbolos.
Mais precisamente pelas letras
a, b, c, d, e.
Formar comissões de duas
pessoas constitui-se na tarefa
de escolher 2 pessoas entre as
5 , é o mesmo que formar
subconjuntos de dois
elementos do conjunto {a; b; c;
d; e}.
As escolhas possíveis de
comissões são as seguintes:
{a; b} {a; c} {a; d} {a; e} {b; c}
{b; d} {b; e} {c; d} {c; e} {d; e}
Observe que as comissões
{a; b} e {b; a} são iguais, pois são
formadas pelas mesmas duas
pessoas.
Logo, são 10 comissões no
total.
Pode-se, portanto, dizer que o
número de combinações
simples de 5 elementos
tomados 2 a 2 é 10.
Combinação simples
Número de
elementos
escolhidos
2
5
C = 10
Número de
elementos
disponíveis
Número de
combinações
simples ou de
comissões
possíveis.
Combinação simples
Mas como podemos obter o
número de combinações
simples?
Podemos raciocinar da
seguinte maneira:
Temos que dividir o conjunto
das 5 pessoas em dois outros
conjuntos: um grupo de 2
pessoas que formará a
comissão e outro de 3 pessoas
restantes que não formará a
comissão.
Para fazer a divisão das
pessoas que formarão a
comissão das pessoas que não
formarão, podemos dividir os
dois grupos:
ab
Formam
comissões
cde
Não formam
comissões
Podemos ordenar as cinco pessoa de 5!
maneiras.
Entretanto, observe que as filas
a b │c d e
ba│ecd
Divisões
idênticas
Combinação simples
Representa, divisões idênticas
formadas pelas mesmas
pessoas.
Tanto na primeira, quanto na
segunda, as pessoas a e b
participarão da comissão e as
demais c, d e e não
participarão.
Como podemos ordenar o
primeiro grupo (ab) de 2!
Maneiras e o segundo grupo
(cde) de 3! E, no cálculo de 5!,
cada uma dessas ordens já
havia sido contada, então
devemos dividir 5! Por 2! e por
3!.
Desta forma, o número de
combinações simples de 5
elementos tomados 2 a 2 é
dado por:
5!
C =
2! 3!
2
5
Desenvolvendo os fatoriais,
determinamos o número de
combinações:
5!
5.4.3! 5.4
C =
=
=
= 10
2! 3! 2.1 3! 2.1
2
5
Combinação simples - Definição
De quantas maneiras podemos
escolher p objetos distintos
entre n objetos distintos dados?
Para escolher p objetos entre n
disponíveis devemos dividir os
n elementos em um grupo de p
objetos que são escolhidos e e,
outro grupo de (n – p) que não
são escolhidos.
Como os n objetos podem ser
ordenados de n! maneiras e,
destas, existem p!(n – p)!
Maneiras – que já foram
contadas – de ordenar os
objetos em cada grupo, então o
número de maneiras é
n!
C =
p! (n - p )!
p
n
Combinação simples - Definição
Acompanhe a definição formal
de combinações simples:
Dado um conjunto com n
elementos, chama-se
combinação simples dos n
elementos dados, tomados p a
p, a qualquer subconjunto de p
elementos distintos escolhidos
entre n elementos.
O número de combinações
simples de n elementos
tomados p a p, pode ser
representado por Cnp ou Cn,p,
sendo n e p números naturais
com n ≥ p.
Caso ocorra de n < p, defini-se
que Cnp = 0, pois não há
maneira alguma de escolher
mais elementos distintos do
que os elementos disponíveis.
Para finalizar, não esqueça
que:
A ideia principal é a de que
usamos combinações simples
para formar subconjuntos, ou
seja, escolher elementos.
Assim, o número de
subconjuntos é também o
número de combinações
simples.
Escolher (combinações) e Misturar
(permutações)
Na resolução de problemas de combinação
é importantíssimo identificar se é preciso
apenas misturar, apenas escolher, ou
escolher e misturar.
Embora sejam essencialmente diferentes,
cada uma das três maneiras tem por base os
procedimentos de escolher e misturar.
Vejam alguns exemplos:
1º Situação
Se uma turma de 10 pessoas, 3 delas são selecionadas para
um mesmo roteiro de viagem. De quantas maneiras pode
ocorrer a seleção?
Se o roteiro de viagem é o mesmo, basta escolhemos 3 pessoas entre
as 10. não estamos preocupados com a ordem da escolha, mas sim,
com “quais” pessoas são selecionadas.
O número de maneiras de escolher 3 pessoas entre as 10 é dado por:
10! 10.9.8.7! 10.9.8 720
C =
=
=
=
= 120
3! 7! 3.2.1.7! 3.2.1
6
3
10
Logo, a seleção das três pessoas pode ser realizada de 120 maneiras
Note que, neste caso, não houve necessidade de misturar pois as três pessoas
selecionadas têm o mesmo roteiro.
2º Situação
Três pessoas desejam viajar, cada uma delas em um roteiro
diferente. Se existem ao todo 3 roteiros distintos, de quantas
maneiras pode ocorrer a distribuição de roteiros entre as
pessoas?
Ao todo são 3 pessoas e 3 roteiros e, cada pessoa escolhe um
único roteiro distinto de outra pessoa.
Podemos escolher o roteiro 1 de 3 maneiras.
Escolhido o roteiro 1, podemos escolher o roteiro 2 de 2
maneiras.
Escolhidos os roteiros 1 e 2, podemos escolher o roteiro 3 de
uma única maneira.
Assim, existem 3! Maneiras de distribuir as três pessoas para
os 3 roteiros.
P3= 3! = 3 . 2 . 1 = 6 maneiras
3º Situação
Em uma turma de 10 pessoas, 3 delas serão selecionadas
para roteiros diferentes de viagens. Se existem 3 roteiros
distintos e cada pessoa selecionada escolhe um único
roteiro distinto de outra pessoa, então de quantas
maneiras pode ocorrer a seleção?
3
10
C .P3 = 120.6 = 720
A conclusão é a de que existem 720 maneiras de ocorrer a
seleção