Gabarito da Lista 5

FGE0270 – Eletricidade e Magnetismo I
Lista de exercícios 5 – 2009
1. Quando a velocidade de um elétron é v = (2,0x106m/s)i + (3,0x106m/s)j , ele sofre ação de
um campo magnético B = (0,030T) i – (0,150T) j .(a) Qual é a força que atua no elétron ? (b)
Repita o cálculo para um próton com a mesma velocidade.
F = 6.24x10-14 N k̂ (elétron)
F = -6.24x10-14 N k̂ (próton)
2. Os elétrons do feixe de um tubo de televisão têm energia cinética de 12 keV. O tubo está
orientado de maneira tal que os elétrons movem-se horizontalmente do sul ao norte
magnético. A componente vertical do campo magnético da Terra aponta para baixo e vale 55
µT. (a)Em que direção o feixe será desviado? (b) Qual é a aceleração dos elétrons devido ao
campo magnético? (c) Qual é o desvio do feixe quando se movimenta 20cm através do tubo ?
a) O feixe será desviado na direção O (oeste). b) A aceleração é a =
velocidade v =
| e | vB
sendo a
m
2 Ec
c) O desvio para o lado oeste, depois de se movimentar uma distância L
m
= 0.2 m para o sul (norte magnético) é D =
| e | BL2
. Observação 1 kEV = 103 eV e 1 eV =
2mv
1.6x10-19 J.
3. Um fio horizontal de uma linha de transmissão transporta uma corrente de 5000 A de sul a
norte. O campo magnético terrestre na região é de 60 µT , aponta para o norte e está inclinado
para baixo formando um ângulo de 70º com a horizontal. Qual é a força magnética que atua
sobre 100 m de condutor?
A força aponta para o Oeste e tem módulo F = ILBsen(70 0 ) = 28,2 N
4. Uma espira de uma única volta transporta uma corrente elétrica de 4 A . Ela tem a forma de
um triângulo retângulo de lados a=50, b=120 e c=130 cm e está imersa numa região de
campo magnético uniforme de 75 mT paralelo ao seu lado maior. (a) Determine a força
magnética em cada um dos lados da espira. (b) Mostre que a força total na espira é nula.
a) e b) A força no lado c é nula, e nos lados a e b temos forças em sentidos opostos e de igual
módulo Fa = IaBsen(67.38) e Fb = IbBsen(22.62) Fa = Fb = 0.1384 N.
5. Uma corrente de 2,0 A percorre a bobina retangular de 50 espiras da Figura 1 com 4,0 e 8,0
cm de lados. Se o ângulo θ = 37°, escreva uma expressão para : (a) o vetor unitário n
1
perpendicular ao plano da bobina e (b) o momento de dipolo magnético µ da bobina. Na
presença do campo magnético uniforme B =1,5mT j calcule; (c) a força que atua em cada
lado, (d) a força resultante e (d) o torque que atua na bobina.
Fig.1
Fig.2
Fig.3
Fig.4
6. a) Um condutor reto e fino transportando uma corrente elétrica i divide-se em dois arcos
semicirculares idênticos de raio R, como na Figura 2. Qual é o campo magnético B no centro?
b) Repita o problema acima com um único arco, como na Figura 3.
a) o campo no centro é nulo, porque os campos produzidos por ambos semicírculos são de
módulos iguais e sentidos contrários; b) o campo produzido por um semicírculo pode ser
r
r µ 0 dl × rr
µ dl
calculado pela lei de Biot-Savart dB =
I
, a direção de dB ( dB = 0 I 2 ) no ponto
3
4π
r
4π R
C da Fig. 3 é perpendicular ao papel e para dentro, e integrando obtemos B =
µ0 I
4R
.
7. Calcule o campo magnético B no ponto C da Figura 4, centro comum dos dois arcos de
círculo MN e PQ de ângulos iguais θ e raios R1 e R2 , do circuito MNQP, em que flui a
corrente i.
Neste caso temos (são duas aplicações do exercício anterior) B =
µ 0 Iθ
4π
1
1 
 − 
 R1 R2 
perpendicular ao papel e para dentro.
8. Cinco longos fios paralelos ao eixo x, situados no plano xy, transportam cada um uma
corrente de 3 A no sentido do vetor unitário i, como na Figura 5. Qual é a força total por
unidade de comprimento em cada um dos fios? A distância entre fios sucessivos é d = 8 cm.
A força, por unidade de comprimento em cada fio é
F3 = 0.
2
F1 F5 µ 0 I 2 25 F2 F4 µ 0 I 2 5
=
=
,
=
=
e
L
L
2πd 12 L
L
2πd 6
9. O longo fio reto da Figura 6 transporta uma corrente de 10 A e a espira retangular uma
corrente de 20 A. Calcule a força total que atua na espira. Considere a = 1cm, b = 6 cm e L =
15 cm.
A força resultante é para cima (na figura 6) e de módulo F =
µ 0 I 1 I 2 L 2a + b
2π a 2 + b 2
10. Todos os fios longos e paralelos da Figura 7 são perpendiculares à página e transportam
correntes elétricas de 1 A entrando ou saindo. A figura também mostra alguns caminhos
fechados de integração. Calcule a circuitação do campo total B para cada um deles.
Correntes positivas para dentro da página, porque o sentido de circulação das curvas é
horário. Então: CC1 = − µ 0 i , CC2 = 2 µ 0i , CC3 = 2 µ 0i , CC4 = 0
Fig.5
Fig.6
Fig.7
11. Um longo cilindro condutor oco de raios interno b e externo a transporta uma corrente I
uniformemente distribuída, saindo da página, como mostra a Figura 8. Encontre a
dependência do campo magnético B com distância radial r para r ≤ b , b < r < a e r ≥ a .
µ0 I  r 2 − b 2  ˆ
µ I
 2
φ para b < r < a ; B = 0 φˆ para r ≥ a .
B = 0 para r ≤ b ; B =
2 
2πr  a − b 
2πr
12. Um cabo coaxial, visto em corte na Figura 9, é formado por dois condutores cilíndricos
transportando correntes I em sentidos opostos, sendo que no condutor interior a corrente está
saindo da página. Encontre a dependência do campo magnético B com distância radial r
para r ≤ c , c < r < b , b ≤ r < a e r ≥ a .
B=
µ 0 Ir ˆ
µ0 I ˆ
µ0 I  a 2 − r 2  ˆ

φ para b ≤ r < a , e B
φ
para
r
≤
c
,
B
=
φ
para
c
<
r
<
b
,
B
=
2πr  a 2 − b 2 
2πc 2
2πr
= 0 para r ≥ a .
3
Fig.8
Fig.9
2
13. Uma espira plana com 8,00 cm de área consistindo de uma única volta de fio é perpendicular
a um campo magnético que aumenta uniformemente em módulo de 0,50 T para 2,50 T em
1,00 s. Qual é a corrente induzida na espira se ela tiver uma resistência de 2,00 Ω?
Iind = 8x10-4 A
14. Uma espira retangular de largura w = 10,0 cm e comprimento L = 100 cm e um fio longo e
reto repousam sobre uma mesa como mostra a Figura 10. A distância entre o fio e o lado mais
próximo da espira é h = 1,00 cm. Pelo fio passa uma corrente que varia no tempo na forma
I(t) = bt, onde b = 10,0 A/s. (a) Determine o fluxo do campo magnético do fio através da
espira. (b) Determine a fem induzida na espira. Qual é o sentido da corrente induzida?
a) Θ B =
µ0
µ
I (t ) L ln( h+hw ) ; b) ε ind = − 0 bL ln( h+hw ) , o sentido da corrente será antihorário.
2π
2π
Fig.10
Fig.11
Fig.12
15. Considere novamente a Figura 10 e repita o problema anterior mas supondo agora que no fio
passa uma corrente alternada na forma I (t ) = I 0 sen(ω t ) , com I0 = 50,0 A e ω = 200π rad/s.
Determine a fem induzida no enrolamento pelo campo magnético do fio.
a) Θ B =
µ0
µ
I (t ) L ln( h+hw ) ; b) ε ind = − 0 I 0ωL ln( h+hw ) cos(ωt ) , agora a corrente é alternada.
2π
2π
16. A bobina toroidal esquematizada na Figura 11 é constituída de N espiras muito próximas
entre si. Considerando que o raio da seção circular r é muito menor que o raio do círculo
central R, o módulo do campo magnético pode ser considerado uniforme ao longo da seção
4
circular. Usando esta aproximação, mostre que a auto-indutância é L ≈
µ0 N 2 A
, onde
2π R
A = π r 2 é a área da seção circular.
17. A bobina toroidal de seção retangular esquematizada na Figura 12 é constituída de N espiras
µ0 N 2h
muito próximas entre si. Mostre que a sua auto-indutância é L =
ln(b / a) .
2π
18. As hélices de um helicóptero têm lâminas de 3,00 m de comprimento e giram a 120 rpm. A
componente vertical do campo magnético terrestre no local é de 50 µT. Qual é a fem induzida
entre a ponta de uma lâmina e o centro da hélice?
19. Considere a montagem esboçada na Figura 13. Suponha R = 6,00 Ω, l = 1,20 m e que na
região há um campo magnético uniforme e constante de 2,50 T apontando para dentro da
página. a) Com que velocidade a barra deve ser deslocada para produzir uma corrente de
0,500 A no resistor? b) Qual é a potência dissipada no resistor? c) Determine a força que deve
ser aplicada à barra para mantê-la se movendo com esta velocidade constante. d) Compare a
potência mecânica fornecida ao sistema com o resultado do ítem (b).
20. Um transformador é usado para transferir potência entre circuitos elétricos isolados entre si.
A Figura 14 esquematiza um transformador particular que consiste de uma bobina com 15
voltas de raio R = 10,0 cm em torno de um solenóide com 2,00 cm de raio e 1000 espiras/m.
(a) Qual é a indutância mútua entre os dois enrolamentos? (b) A corrente alternada pelo
solenóide varia no tempo como I (t ) = I 0 sen(ω t ) , com I0 = 5,00 A e ω = 120π rad/s.
Encontre a fem induzida na bobina como função do tempo, ε(t).
Fig.13
Fig.14
5