V E T O R E S

Física Geral e Experimental I
Prof. Cláudio Soares
FÍSICA I
Física Geral e Experimental I
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ASSUNTOS ABORDADOS
Ø Revisão de Vetores
Aula 2
Leis de Newton
Ø Massa e Força
Ø 1a Lei de Newton
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Ø 2a Lei de Newton
[email protected]
Ø 3a Lei de Newton
Ø Exercícios
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
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VETORES
NO PLANO E NO ESPAÇO
Física Geral e Experimental I
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V E T O R E S
São representações geométricas de
algumas grandezas físicas.
Símbolo: seta.
origem
extremidade
Tipos:
1
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Física Geral e Experimental I
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Grandezas Vetoriais
PROPRIEDADES
Módulo: é o valor da grandeza. O
comprimento do vetor está relacionado
com o seu módulo.
2m
4m
Direção: é representada pela posição
do vetor. Ex.: vertical, horizontal,
oblíqua, norte-sul.
Sentido: é determinado pela extremidade
do vetor. Ex.: direita, cima, entrando,
sul.
São aquelas descritas por um módulo e uma
direção.
Exemplos: deslocamento, velocidade,
leração, força, impulso, campo.
ace-
Grandezas Escalares
São aquelas
descritas
número com uma unidade.
apenas
por
um
Exemplos: distância, massa, temperatura,
tempo,
densidade, área, volume, calor
específico, comprimento.
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Física Geral e Experimental I
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SOMA DE VETORES
Regra do Polígono
GEOMETRICAMENTE
Regra do Polígono
3m
Teorema de
c)
a)
3m
+
4m
=
7m
b)
3m
+
4m
=
1m
d)
3m
r
a
+
+
4m
r
b
=
+
4m
R
R² = 3² + 4²
R=5m
r
c
=
r
c
r
R
r
b
r
a
2
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Regra do Paralelogramo
RESUMO - Regra do Polígono
Para realizar a soma de vetores pela
regra
do
polígono
vetores
de
coincidindo
a
acrescentam -se
forma
origem
os
aleatória,
de
um
com
a
r
a
r
b
+
extremidade do outro.
r
b
O Vetor Resultante será construído da
origem
do
primeiro
vetor
à
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Exercício
cos 0° = 1
Determine o módulo da resultante dos vetores:
cos 90° = 0
q
R 2 = a 2 + b 2 + 2.a.b. cosq
cos 180° = -1
0°
360°
R 2 = 52 + 52 + 2.5.5. cos 120o
x = cos
sen 0° = 0
sen 90° = 1
270°
r
a
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y = sen
180°
q
r
a
TRIGONOMETRIA - Revisão
90°
=
r
ra
R r
b
R 2 = a 2 + b 2 + 2.a.b. cosq
q
extremidade do último vetor.
r
b
5m
120 °
5m
1
R 2 = 25 + 25 + 50.(- )
2
R = 5m
sen 180° = 0
3
VETORES
VETORES
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Física Geral e Experimental I
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REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
Os números x e y são as componentes de v na
base canônica. A primeira componente é chamada
de abcissa de v e a segunda componente y é a
ordenada de v.
O
vetor
v
pode
representado por:
O par (x,y) é a expressão analítica de v.
Para exemplificar, veja alguns vetores e suas
correspondentes expressões analíticas:
ser
r
v = ( x, y )
IGUALDADE DE VETORES
Segundo a igualdade acima tem-se que o vetor
no plano é um par ordenado (x,y) de números
reais.
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Dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) são iguais
se, e somente se, x1=x2 e y1=y2.
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SOMA DE VETORES
MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
ALGEBRICAMENTE (COORD. RETANG.)
GEOMETRICAMENTE
Relações entre a.V e V
y
v2 + w2
v2
V +W
V = ( v1 , v2 )
W = ( w1 , w2 )
V
V +W = ?
w2
V + W = (v1 + w1 , v2 + w2 )
W
1 - a.V é paralelo a V
2 - Se a > 0 Ù a.V tem mesmo sentido
3 - Se a < 0 Ù a.V tem sentido oposto
4 - |a.V| = |a |. | V|
V
0
r
- 4i = ( -4,0)
r
0 = (0,0)
r
r
3i - 5 j = (3,-5)
r
3 j = (0,3)
v1
w1
v1 + w1
x
a .V
a .V
a > 0 e a >1
a < 0 e a <1
4
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Física Geral e Experimental I
VETOR DEFINIDO POR 2 Prof.
PONTOS
Cláudio Soares
MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
ALGEBRICAMENTE
y
Consideremos o vetor AB de origem no ponto
A(x1,y1) e extremidade em B(x2,y2).
a .V
a .v2
®
V = (v1 , v2 )
®
a .V = ? (a > 1)
a .v1
v1
®
®
o
vetor
v=(x,y).
y
0
AB = ( x 2 - x1 , y2 - y1 )
x1
x
Pelo
x2
AB = B - A
Teorema
y
x
y2
®
r
v = x2 + y 2
r
v
y1
®
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Módulo de um Vetor
Pitágoras, temos:
®
®
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Seja
®
AB = ( x 2 , y2 ) - ( x1, y1 )
a .V = (a .v1 ,a .v2 )
0
®
OA+ AB = OB \ AB = OB - OA
V
v2
®
OA = ( x1 , y1 ) e OB = ( x 2 , y2 )
Projeções de Vetores
de
y
r
vy
r
v
v x = v. cosa
v y = v. sen a
a
0
r
vx
x
x
5
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PRODUTO ESCALAR
Física Geral e Experimental I
Definição Geométrica
de Soares
Prof. Cláudio
Produto Escalar
Sejam dois vetores u e v:
r
u = ( x1 , y1 , z1 )
r
v = ( x2 , y2 , z 2 )
O produto escalar (ou interno) dos vetores u
e v é definido por:
O produto escalar de dois vetores não-nulos é
igual ao produto de seus módulos pelo co-seno
do ângulo formado por eles:
rr
u.v = x1.x2 + y1. y2 + z1.z2
O produto escalar de u e v, também indicado
por <u,v> e se lê `u escalar v´, resulta num
escalar.
Exemplo:
Sejam os vetores V=(1,-2,3) e W=(2,4,-1).
rr
v .w = -9
r r
v .w = 1.2 + (-2).4 + 3.(-1)
Física Geral e Experimental I
Soares
Condição de Ortogonalidade Prof.
deCláudio
Vetores
O ângulo formado entre dois vetores ortogonais
é igual a 90°.
rr r r
u.v = u v cosq
Aplicação prática na Física:
O trabalho realizado por uma força é o produto
escalar entre os vetores força e deslocamento,
quando a força aplicada é constante.
r r
WF = F .d = F . d . cosq
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ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
Como:
q = 90°
cos 90° = 0
rr r r
u.v = u v cosq
rr
u.v = 0
Dois vetores são ortogonais se o
produto escalar entre eles for nulo.
Temos:
rr r r
u.v = u v cosq
rr
u .v
cosq = r r
u v
Exemplo:
Calcule o ângulo entre u=(1,1,4) e v=(-1,2,2).
rr
u.v = 1.(-1) + 1.2 + 4.2 = 9
r
u = 12 + 12 + 4 2 = 3 2
r
v = (-1)2 + 2 2 + 2 2 = 3
9
2
=
2
3 2 .3
æ 2ö
÷ q = 45°
q = arcosçç
÷
è 2 ø
cosq =
6
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Física Geral e Experimental I
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PRODUTO VETORIAL
PRODUTO VETORIAL
Exemplo:
Sejam dois vetores u e v:
r
u = ( x1 , y1 , z1 )
O
produto
vetorial
indicado por u
Ù
O resultado de
vetor, dado por:
Sejam os vetores u=(5,4,3) e
Determine o produto vetorial uxv.
r
v = ( x2 , y2 , z 2 )
de
u
por
v
é
também
v e lê-se “u vetorial v”.
um
produto
r
i
r r
u ´ v = x1
x2
vetorial
r
j
r
k
y1
y2
z1
z2
é
Física Geral e Experimental I
Propriedades: Direção
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O produto vetorial de u
e v é perpendicular aos
vetores u e v, ou seja:
um
r
i
r r
u ´ v = x1
r
j
y1
r
k
z1
r r r
i j k
r r
u ´v = 5 4 3
x2
y2
z2
1 0 1
v=(1,0,1).
r r r4 3 r5 3 r5 4
u ´v = i
-j
+k
0 1
1 1
1 0
r
r
r
r r
u ´ v = (4.1 - 3.0)i - (5.1 - 3.1) j + (5.0 - 4.1)k
r
r
r
r r
u ´ v = 4i - 2 j - 4k
Física Geral e Experimental I
Propriedades: Sentido
Prof. Cláudio Soares
O sentido de uxv pode ser determinado pela
“regra da mão direita”.
r r r
(u ´ v ).u = 0
r r r
(u ´ v ).v = 0
r r
r r
u ´ v = -v ´ u
Exemplo:
Dados os vetores u=(3,1,2) e v=(-2,2,5).
r r
r r r
u ´ v = i - 19 j + 8k = (1,-19,8)
r r r
(u ´ v ).u = (1,-19,8).(3,1,2) = 1.3 - 19.1 + 8.2 = 0
r r r
(u ´ v ).v = (1,-19,8).(-2,2,5) = 1.(-2) - 19.2 + 8.5 = 0
Sendo q o ângulo entre u e v, suponhamos que u
sofra uma rotação de ângulo q até coincidir
com v. Se os dedos da mão direita forem
dobrados no mesmo sentido da rotação, então o
polegar estendido indicará o sentido de uxv.
7
Física Geral e Experimental I
Física Geral e Experimental I
Propriedades: Comprimento
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Exemplo:
r
r
Considerando os vetores: u = 2i
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Relações Importantes
r
r
e v =3j
®
®
r
i
r r
u ´v = 2
0
r
r r
u ´ v = 6k
r r
u ´v = 6
AB = B - A
AB = ( x 2 - x1 , y2 - y1 )
r r
j k
0 0
3 0
V = (v1 , v2 )
W = (w1 , w2 )
a .V = (a .v1 , a .v2 )
R 2 = a 2 + b 2 + 2.a.b. cos q
d AB = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2
rr
u .v
cosq = r r
u v
rr
u .v = x1 .x2 + y1. y 2 + z1.z 2
r r r r
u ´ v = u . v . sen q
rr r r
u .v = u v cos q
r
i
r r
u ´ v = x1
r
j
y1
r
k
z1
x2
y2
z2
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LEIS DE NEWTON
r
v = x2 + y2
V + W = (v1 + w1 , v2 + w2 )
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MASSA
É uma grandeza escalar relacionada com a
resistência de um corpo a uma variação
do seu vetor velocidade quando sujeito a
uma força externa.
Unidade no SI: kg
Instrumento: balança.
8
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FORÇA
FORÇA
É a grandeza vetorial que
interação entre os corpos.
surge
da
Ela é capaz
de causar,
impedir
ou
alterar o movimento de um corpo, podendo
deformá-lo.
Exemplo: o chute de uma bola.
Unidade: Newton (N).
Instrumento: dinamômetro.
F = k .x
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TIPOS DE FORÇA
Quanto à natureza, uma força pode ser:
Contato: é aquela que para existir
precisa que um corpo encoste no outro.
Exemplos: atrito, normal, empuxo etc.
Campo: é aquela que não precisa do
contato para sua existência, atuando a
longo alcance.
Exemplos: peso, magnética, elétrica.
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FORÇAS PESO E NORMAL
r
N
r
P
r r
N=P ?
r
r
N = -P
N =P
FR = 0
Peso: é a força com que a Terra nos atrai.
Normal: é a força de compressão entre duas
superfícies.
A Normal é sempre perpendicular à superfície !
Qual a relação entre N e P em um plano inclinado?
9
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Plano inclinado: corpo em equilíbrio
r
Fat
r
Py
a
r
N
r
Px
r
P
a
Py = P. cos α
Px = P. sen α
r
r
N = - Py
N = Py
N<P
r
r
Fat = - Px
Fat = Px
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PRIMEIRA LEI DE NEWTON
(Inércia)
Todo
corpo
permanece
em
estado
de
repouso ou MRU (movimento em linha reta
com velocidade constante), a menos que
seja compelido a mudar este estado em
virtude de forças externas sobre ele.
A força resultante exercida sobre um
corpo é a soma vetorial de todas as
forças (contato e campo) individuais
exercida sobre ele por outros corpos.
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PRIMEIRA LEI DE NEWTON
(Inércia)
O vetor velocidade (módulo, direção e
sentido) de um corpo permanece constante se
a resultante das forças externas que atuam
sobre ele for nula.
A
inércia
de
um
corpo está relacionada com sua massa.
O cinto de segurança e o air-bag são
usados para segurar o nosso corpo em
freadas, colisões ou movimentos bruscos.
10
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Física Geral e Experimental I
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EXERCÍCIO
Um objeto está sujeito às forças F1, F2 e
F3, exercida por três outros objetos. Qual
a força resultante sobre esse objeto?
Dados:
F1 = ( 2,0 N)j,
Solução:
Para encaixarmos um martelo no cabo,
batemos o cabo contra uma superfície
rígida. Por quê?
F2 = -( 3,0 N)i e F3 = ( 5,0 N)i - ( 6,0 N)j
å F =F + F + F
å F =2 j - 3i + 5i - 6 j
å F =2i - 4 j
1
2
Como é a representação geométrica desses vetores?
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Sistema Inercial de Referência
Um sistema inercial de referência é
aquele em que a 1a Lei de Newton é
válida, ou um sistema em que a = 0 para
qualquer objeto com FR = 0.
Qualquer sistema que acelere em relação
a um sistema inercial de referência é um
sistema não-inercial.
Qualquer
sistema
que
se
mova
com
velocidade constante em relação a um
sistema inercial é também um sistema
inercial.
3
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SEGUNDA LEI DE NEWTON
r
r
r
1 Lei de Newton ® FR = 0 ® v = cte ® a = 0
r
r
r
2a Lei de Newton ® FR ¹ 0 ® v = varia ® a ¹ 0
a
r
r
F = m.a
Unidades:
m = kg
R
a = m/s2
FR = Newton(N)=kg.m/s2
r
å F =F
R
Os vetores FR e a têm, necessariamente,
a mesma direção e o mesmo sentido.
11
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SEGUNDA LEI DE NEWTON
SEGUNDA LEI DE NEWTON
Velocidade: é a variação da posição com o
tempo, ou seja, é a derivada
temporal da posição.
p = m.v
dp
FR =
dt
d (mv)
FR =
dt
dv
FR = m
dt
FR = m.a
v=
Aceleração:
d ( x)
® v = x&
dt
variação da velocidade com o
tempo, ou seja, é a derivada
temporal da velocidade.
a=
d (v)
® a = v& ® a = &x&
dt
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Física Geral e Experimental I
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DEFINIÇÃO DE 1N
FORÇA PESO
1N é a força capaz de oferecer uma
aceleração de 1m/s² em um corpo com
massa igual a 1kg.
Se um corpo estiver em queda livre (sem
resistência do ar) a única força que
nele atua é o seu peso.
r
r
FR = m.a
r
P
r
r
P = m.g
Peso
e
massa
não
são a mesma coisa!
12
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FORÇA PESO
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GRAVIDADE NA SUPERFÍCIE TERRESTRE
Qual a massa de um corpo cujo peso é
igual a 1N na superfície da Terra?
Considere g = 10m/s2.
P = m.g
1 = m.10
m = 0,1kg
m = 100g
1N = 100gf
Terra
1kgf @ 10 N
Lua
1kgf @ 1,6 N
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GRAVIDADE NA SUPERFÍCIE TERRESTRE
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GRAVIDADE NAS PROXIMIDADES DA TERRA
13
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TERCEIRA LEI DE NEWTON
(Ação e Reação)
Para toda Ação há uma Reação, de mesmo
módulo,
mesma
direção
e
sentido
contrário.
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TERCEIRA LEI DE NEWTON
(Ação e Reação)
Exemplo: Um corpo está apoiado na mesa.
As forças P e N formam um par de Ação e
Reação? r
N
Características da Ação e Reação:
r
N
Ø são simultâneas.
Ø não atuam no mesmo corpo.
Ø têm a mesma natureza (contato,
elétrica, magnética etc).
r
P
r
P
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As forças P
um par de
porque atuam
e não são de
e N não formam
Ação e Reação
no mesmo corpo
mesma natureza.
Elas formam um par de forças
de equilíbrio.
As reações de P e N estão na
Terra e na superfície da
mesa, respectivamente.
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EXERCÍCIO 1
EXERCÍCIO 2
Admita que sua massa seja 60kg e que você
esteja sobre uma balança, dentro de um
elevador. Se a balança é calibrada em kgf,
qual sua indicação se o elevador descer
acelerado com a = 3,0m/s2?
O
corpo
apresentado
na
figura
está
pendurado, por uma corda, ao teto de um
elevador,
que
sobe
em
movimento
desacelerado com a = 1,0m/s2. Qual a tração
na corda?
Dados :
Dados :
g = 10m / s
2
m = 4,0kg
g = 10m / s 2
14
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EXERCÍCIO 3
EXERCÍCIO 4
No
esquema
apresentado,
determine
a
aceleração dos blocos e a tração no fio.
Despreze os atritos e considere a polia e
o fio ideais.
No
esquema
apresentado,
determine
a
aceleração dos blocos e a tração no fio.
Despreze os atritos e considere fio ideal.
Dados :
m A = 2,0kg
Dados :
m A = 8,0kg
mB = 1,0kg
F = 9,0 N
mB = 12,0kg
g = 10m / s 2
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EXERCÍCIO 5
EXERCÍCIO 6
No
esquema
apresentado,
determine
a
aceleração dos blocos e a tração nos dois
fios. Despreze os atritos e considere as
polias e os fios ideais.
No
esquema
apresentado,
despreze
atritos e considere a polia e o
ideais. Determine:
a) a aceleração dos corpos.
b) a tração no fio
que une A e B.
c) a tração no fio
que une O e C.
os
fio
15
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EXERCÍCIO 7
EXERCÍCIO 8
No esquema apresentado, os três corpos
possuem a mesma massa m. Despreze os
atritos e considere as polias e os fios
ideais. Determine a aceleração dos blocos
A, B e C e o sentido de seus movimentos.
No
esquema
apresentado,
trações T1 e T2, supondo
equilíbrio.
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as
em
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EXERCÍCIO 9
EXERCÍCIO 10
No
esquema
apresentado,
determine
a
aceleração dos blocos e as trações nos
fios. Despreze os atritos e considere as
polias e os fios ideais.
No esquema apresentado,
determine as trações T1
a T5 supondo o sistema
em equilíbrio.
Despreze os atritos e
considere as polias e o
fio ideais.
Dados :
m1 = 3,0kg
m2 = 1,0kg
g = 10m / s
determine
o sistema
Considere M = 10kg
2
16
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EXERCÍCIO 11
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EXERCÍCIO 12
Uma criança criativa de 320N
quer alcançar uma maçã em um
árvore
sem
subir
nela.
Sentada em um banco ligado a
uma corda que passa por uma
polia sem atrito, ela puxa a
extremidade livre da corda
de maneira que o dinamômetro
indica 250N. O peso do banco
é 160N.
No esquema apresentado,
determine a força que o
homem de cima faz para
sustentar o homem de 80kg
pendurado no balanço.
A criança alcançará a maçã?
Qual sua aceleração?
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EXERCÍCIO 13
EXERCÍCIO 14
Um enfeite de ímã está preso na porta de uma
Um bloco é abandonado em um plano inclinado,
conforme a figura. Despreze o atrito entre o
bloco e a superfície. Determine:
a) o peso do bloco.
b) a força normal no bloco.
c) a força resultante no bloco.
d) a aceleração do bloco.
geladeira. A força que impede o enfeite de
cair é:
A - a força magnética
B - a força de atrito
C - o seu peso
Dados:
m = 4,0kg
g = 10m/s²
D - a força normal
E - a força elétrica
30°
17
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LEMBRELEMBRE
-SE QUE
Ø Massa está relacionada com a inércia.
Ø Peso não é massa.
Ø Balança (de farmácia) mede normal.
Ø Um corpo pode estar
movimento (MRU).
em
equilíbrio
e
em
Ø Ação e Reação não atuam no mesmo corpo.
Ø A gravidade
latitude.
depende
da
altitude
e
da
Ø Cada polia móvel reduz a força à metade.
18