Jogo da trilha - Guia do Professor.indd

Análise de dados
e probabilidade
Guia do professor
Experimento
Jogo da trilha
Objetivos da unidade
1. Discutir, através de um jogo, o conceito de probabilidade
condicional;
2. Desenvolver a habilidade necessária para o tratamento
de informações através de gráficos e tabelas;
3. Induzir o aluno à formulação de estratégias a partir de
seu conhecimento matemático.
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons
Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Jogo da trilha
Guia do professor
Sinopse
O Jogo da Trilha é bastante simples e exige como material apenas um dado
de 6 faces. Além disso, nesta atividade a intuição dos alunos será desa­
fiada quando eles tiverem de optar por uma estratégia que acreditam ser
vencedora. Por fim, o experimento culminará em uma análise probabilística
guiada pelo professor.
Conteúdos
Probabilidade: Eventos Equiprováveis, Probabilidade Condicional, Repre­
sentação Gráfica, Permutação e Combinação;
Objetivos
1. Discutir, através de um jogo, o conceito de probabilidade condicional;
2. Desenvolver a habilidade necessária para o tratamento de informações
através de gráficos e tabelas;
3. Induzir o aluno à formulação de estratégias a partir de seu conhecimento
matemático.
Duração
Uma aula dupla.
Introdução
A probabilidade é um tópico importante da Matemática que lida com o
conceito de incerteza. Utilizamos a probabilidade para modelar experi­
mentos ou observações cujo resultado não conhecemos com precisão. Para
sua formalização, utilizamos o conceito de experimento (ou observação)
aleatório, que é qualquer experimento cujo resultado não é conhecido exa­
tamente. Alguns exemplos de experimento aleatório podem ser o resultado
do próximo jogo de seu time, as faces observadas em dois lançamentos
de um dado, a quantidade de etnias indígenas existentes no Brasil em
1500 etc.
Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados pos­
síveis do experimento aleatório. No primeiro exemplo, o espaço amostral
poderia ser Ω1 = {Vitória, Empate, Derrota} ou um conjunto numé­
rico repre­sentando o saldo de gols marcados pelo seu time. No segundo
exemplo, denotando por (i, j) o resultado i do primeiro lançamento e o
resultado j do segundo, o espaço amostral pode ser
Ω2 = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6} = {(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 2), . . . , (6, 6)}
) : 1 ≤ i, j ≤ 6} = {(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 2), . . . , (6, 6)}.
Por fim, no último exemplo, o espaço amostral pode ser o conjunto dos
números naturais, Ω3 = N = {1, 2, 3, . . .}.
Denominamos evento qualquer subconjunto do espaço amostral. Dessa
forma, seguindo os exemplos anteriores, podemos dizer dos eventos
que:
Dois eventos de um experimento aleatório são chamados de mutuamente
exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente. No exemplo dos
lançamentos do dado, os eventos B e
D = “a
{((3,
6),das
(4,faces
5), (5,
= (6,
{((3,
3))}
6), (4, 5), (5, 4), (6, 3))}
soma
éD
9”4),
são mutuamente exclusivos, pois não podem ocorrer simultaneamente.
Probabilidade é também um conceito fortemente relacionado com infor­
mação: a probabilidade de um evento representa a chance de este evento
acontecer de acordo com a informação disponível ao observador. Para estar
bem definida, uma probabilidade deve satisfazer certas regras.
Definição
Dizemos que P é uma função de probabilidade definida em um conjunto
de eventos associados ao espaço amostral Ω se:
1. 0 ≤ P (E) ≤ 1, para todo evento E ;
2. P (Ω) = 1;
3. P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) sempre que E e F forem eventos mutua­
mente exclusivos.
No exemplo do seu time, podemos concluir da informação disponível
que, no próximo jogo,
P (Vitória) = 0, 4
P (Empate) = 0, 3
P (Derrota) = 0, 3
A = “oAseu
= “o
“o
time
seunão
time
perde
operde
próximo
o próximo
jogo”
{Vitória,
= {Vitória,
Empate}
Empate}
seu
time
nãonão
perde
o próximo
jogo” =jogo”
“segundolançamento
lançamento
B = “segundo
é 2”é 2” = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}
nçamento é 2” = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}
C = C“pelo
= “pelo
“pelo
menos
menos
200
200
etnias”
etnias”
= {200,
= {200,
201,201,
202,202,
. . .}. . .}
menos
200
etnias”
Jogo da trilha Nos dois lançamentos do dado, pode ser razoável supor que todas as
faces têm a mesma chance de ocorrer e, assim, nenhum par é mais provável
que outro, ou seja,
P ((i, j)) = 1/36, para todo (i, j) ∈ Ω1.
Guia do professor 2 / 8
Sobre as etnias indígenas no Brasil, um antropólogo voltado a tais
estudos poderia afirmar, por exemplo, que P (C) = 0, 5.
Esse quadro, contudo, pode se modificar se houver uma nova informação
a respeito das probabilidades em um evento. Por exemplo, qual é a proba­
bilidade de que seu time não perca o próximo jogo se souber que foi
comprado um excelente jogador? Ou ainda, qual é a probabilidade de que
o evento B ocorra se souber que ocorreu o evento
“a
faces
obtidas
3” =
? 1)}
E = “a
E=
soma
“asoma
soma
das das
faces
das
faces
obtidas
obtidas
éé3”
é 3”
{(1,=2),
{(1,
(2,2),
1)}(2,
O antropólogo Darcy Ribeiro estima que em 1957 havia 150 etnias indí­
genas no Brasil. Conhecendo o processo de dizimação que a popu­lação
indígena sofreu, poderíamos dizer que, com essa nova informação, a pro­
babilidade de que houvesse mais de 200 etnias indígenas no Brasil em
1500 passa a ser 0,8, por exemplo.
A atualização da probabilidade de um evento em face de uma nova
informação é obtida pelo conceito de probabilidade condicional.
P (E ∩ F )
.
P (F )
No exemplo dos lançamentos de um dado, a probabilidade de ocorrer o
evento B sabendo que ocorreu P (B | E), é dada pela definição anterior
P (B | E) =
=
P (E ∩ F ) = P (E)P (F ) .
Esta última equação é também válida para o caso em que P (F ) = 0.
Caso contrário, dizemos que E e F são eventos dependentes.
Motivação
Definição
Sejam E e F eventos, tais que P (F ) > 0 . Definimos a probabilidade
condicional de E dado F como
P (E | F ) =
Observe que a probabilidade de o segundo lançamento ser 2, que era
originalmente igual a ¹⁄6, passa a ser igual a ½ no momento em que nos é
informado que a soma das faces é 3.
Ao contrário, quando a nova informação não modifica a probabilidade
original de um evento, dizemos que eles são independentes. Mais formal­
mente, dados dois eventos E , F , com P (F ) > 0, dizemos que E e F são
independentes se P (E | F ) = P (E), ou seja, da definição de probabili­
dade condicional, E e F são independentes se
P (B ∩ E)
P (E)
No lançamento de um dado, a maioria das pessoas estará de acordo em
que se o dado for balanceado e o lançamento for equilibrado, então a
chance de obter uma face qualquer é a mesma para cada face, ¹⁄6.
Neste jogo, avançamos por uma trilha de acordo com lançamentos de
um dado, até chegar à oitava casa da trilha (ou passar dela).
Qual é a chance de obter uma da face dada no último lançamento?
Saber que o lançamento é o último, muda a chance de obter face 1 ou
face 4, por exemplo? Estes eventos são dependentes ou independentes?
As perguntas anteriores são primeiro respondidas a partir da obser­
vação de um grande número de jogadas, e no Fechamento sua resposta
exata é obtida pela teoria, corroborando os valores empíricos obtidos.
1/36
P ((1, 2))
= 2 = 1/2 .
P ({(1, 2), (2, 1)})
/36
Jogo da trilha Guia do professor 3 / 8
O experimento
Faces obtidas por rodada
Total de
Face do
Conjunto
lançamentos último
vencedor
lançamento
Etapa 1 Jogando e coletando informações
Lembremos que as regras do jogo são:
1. Cada aluno lança o dado e, por ordem decrescente do valor obtido
no lançamento, escolhe um dos conjuntos A = {1, 2, 3} , B = {4} ,
C = {5, 6};
2. Inicialmente o Peão deverá ser colocado na casa “Saída”;
3. O primeiro aluno lança o dado e move o peão pela trilha, de acordo com
o resultado obtido; repete o procedimento até que o peão alcance o fim
da trilha (a oitava casa) ou passe dela;
4. Marca um ponto o aluno que tiver escolhido o conjunto com a face obtida
no último lance da rodada;
5. Vence a partida o aluno que somar 10 pontos primeiro.
Nesta primeira etapa, os alunos realizam jogadas, registram e analisam
os resultados obtidos.
Faremos tal procedimento analisando um exemplo de jogo.
Na Tabela 1, registramos os resultados de cada rodada.
4
4
2
4
B
5
4
2
4
B
1
5
3
3
A
6
2
2
2
A
1
5
2
3
2
A
4
2
6
3
6
C
4
6
2
6
C
4
1
5
3
5
C
4
2
1
4
1
A
6
5
2
5
C
5
4
2
4
B
3
3
3
3
3
A
3
4
5
3
5
C
1
4
2
4
2
A
6
4
2
4
B
2
1
5
3
A
5
4
2
4
B
3
3
3
2
A
5
5
2
5
C
5
5
2
5
C
6
5
2
5
C
1
3
3
4
B
2
6
2
6
C
2
1
3
6
C
3
1
2
4
6
1
2
1
3
tabela 1
O time C ganhou este jogo, completando 10 pontos, enquanto que
o time A completou 8 pontos e o time B, 6 pontos.
Jogo da trilha Guia do professor 4 / 8
Etapa 2 Representação gráfica
12
A TAbelA 2 resume a informação da tabela anterior, em relação às frequên­
cias observadas das faces: em cada lançamento (na 2ª linha) e apenas no
último lançamento (na 3ª linha).
10
8
6
4
Face sorteada
1
2
3
4
5
6
Total
2
Frequência das
11
10
9
13
13
8
64
0
faces
1
2
3
4
5
6
4
5
6
FIG. 1 Todos os lançamentos
Frequência no
1
4
3
6
6
4
24
último lançamento
6
5
tabela 2
4
3
Desta tabela, podemos extrair algumas informações, como por exemplo
que o dado é aparentemente balanceado já que as faces têm aproximada­
mente a mesma frequência, de acordo com a 2ª linha da tabela.
Já pela 3ª linha, observamos que no último lançamento as faces maiores
são mais frequentes que as menores: no último lançamento, a face 1 só
apareceu uma vez em 24, enquanto que a face apareceu 5 apareceu 6 vezes
em 24.
Nesta etapa, os dados da TAbelA 2 são representados também grafica­
mente. Nos gráficos a seguir são representadas as frequências de cada
resultado em todos os lançamentos (FiGUrA 1) e apenas no último lança­
mento (FiGUrA 2).
Jogo da trilha
2
1
0
1
2
3
FIG. 2 Último lançamento
A variável “face obtida no último lançamento” é do tipo quantitativo
discreto, pois pode assumir um número finito de resultados numéricos.
Neste caso, o gráfico de barras é o mais indicado, pois respeita a ordem
natural dos valores observados (1 é menor que 4).
O gráfico de barras indica a frequência observada em cada categoria de
acordo com a altura da barra correspondente. É indiferente se a frequência
utilizada é a absoluta (11 faces 1, 10 faces 2, etc.) ou a relativa (17% de faces
1 e 16% de faces 2, etc.), pois a altura relativa entre as barras permanece a
mesma.
Em ambos os gráficos, o tamanho da amostra é sempre uma informação
importante, pois amostras pequenas apresentam normalmente flutuações
maiores do que amostras grandes, quando forem representativas.
Observamos no gráfico anterior que faces maiores têm mais chance
de aparecer no último lançamento.
Guia do professor
5/8
Fechamento
No Fechamento, propomos a solução teórica do jogo.
Na Tabela 3, podemos ver um resumo dos resultados do último lança­
mento associados a cada um dos conjuntos, para o jogo do exemplo ante­
rior. Em sala de aula, devem ser considerados os resultados das jogadas
de todos os grupos.
Último lançamento
Frequência
A
B
C
Total
1
2
3
4
5
6
1
4
3
6
6
4
6
10
8
Mais formalmente, denotemos por N o número de lançamentos neces­
sários para chegar à oitava casa, por SN −1 a posição do peão antes do
lançamento final, e por XN a face nele observada.
Se SN −1 = 7, então o lançamento seguinte pode ser qualquer face,
com mesma chance.
Por outro lado, SN −1 = 6 implica que o lançamento seguinte não pode
ser 1, pois se fosse 1, este não seria o último lançamento. Então deve ser
qualquer uma das faces 2, 3, 4, 5, ou 6, todas com mesma probabilidade
igual a ¹⁄5.
Assim, pela lei da probabilidade total,
P r(XN = 1) = P r(SN −1 = 7) × 1/6
24
P r(XN = 2) = P r(SN −1 = 7) × 1/6 + P r(SN −1 = 6) × 1/5 > P r(XN =
1
P r(XN24= 2) = P r(SN −1 = 7) × 1/6 + P r(S N −1 = 6) × /5 > P r(XN = 1)
tabela 3
O mesmo raciocínio pode ser utilizado com as demais faces, obtendo
Observamos no gráfico anterior, o primeiro indício da baixa probabili­
assim que
dade de obter faces pequenas no último lançamento. Este gráfico é refor­
çado pela Tabela 3, com os resultados de todas as jogadas.
P r(XN = 6) > P r(XN = 5) > P r(XN = 4) > P r(XN = 3) > P r(XN =
Intuitivamente, podemos esquematizar a solução deste problema da
seguinte maneira:
P r(XN = 6) > P r(XN = 5) > P r(XN = 4) > P r(XN = 3) > P r(XN = 2) > P r(XN = 1)
„„
„„
„„
„„
a face 1 só pode sair no último lançamento se o peão estiver na casa 7;
a face 2 só pode sair no último lançamento se o peão estiver nas casas 6
ou 7;
a face 3 só pode sair no último lançamento se o peão estiver nas casas 6,
7 ou 8;
e assim por diante até: a face 6 pode sair no último lançamento se o peão
estiver em qualquer uma das casas de 2 a 7.
Portanto, a face 6 tem mais chances de ser a última do que 5, que tem
mais chances de ser a última do que a 4, e assim sucessivamente.
Jogo da trilha Com estas desigualdades provamos que as faces maiores são mais
prováveis no último lançamento.
Para obter a probabilidade de cada face no último lançamento, preci­
samos calcular as probabilidades das possíveis posições depois do penúl­
timo lançamento, SN −1.
O evento [SN −1 = 1]é impossível, pois nenhum resultado no dado fará
do próximo o último lançamento.
O evento [SN −1 = 2] ocorre se e somente se forem observadas as
seguintes sequências nos lançamentos: {(1, 1), (2)}. Portanto,
P r(SN −1 = 2) = P (1, 1) + P (2) = 1/6 × 1/6 + 1/6 = 7/36.
Guia do professor 6 / 8
Do mesmo modo, o evento [SN −1 = 3] ocorre se e somente se forem
observadas as seguintes sequências nos lançamentos:{(1,
{(1,1,
1,1),
1), (1,
(1,2),
2), (3)}
(3)}
1), (1, 2), (3)} ou suas possíveis permutações. Portanto,
P r(XN = 5) = 0, 24
P r(XN = 6) = 0, 27
1/6 +a1/
probabilidade
de cada conjunto marcar um ponto é:
P r(SN −1 = 3) = P (1, 1, 1) + P (1, 2) + P (2, 1) + P (3) = 1/6 × 1/6 × 1/6 + 2 × 1/6 × Logo,
6 = 49/216
P (1, 2) + P (2, 1) + P (3) = 1/6 × 1/6 × 1/6 + 2 × 1/6 × 1/6 + 1/6 = 49/216
conjunto
marca
um
ponto
P (conjunto
PP
(conjunto
(conjunto
A marca
AA
marca
marca
um
um
ponto)
umponto)
ponto)
= P=r(X
=P P
r(X
=N 1,
=2=1,ou
1,
2 23)
ouou
=
3)3)
0,=29
=0,0,
2929
Nr(X
N
× 1/6 + 2 × 1/6 × 1/6 + 1/6 = 49/216
conjunto
umum
ponto
P (conjunto
PP
(conjunto
(conjunto
B marca
BBmarca
marca
marca
um
ponto)
umponto)
ponto)
= P=r(X
=P P
r(X
=N4)
4)4)
0,=2=0,0,
22
Nr(X
N==
6
Continuando com esta contagem sistematicamente, obtemos
P (conjunto
P (conjunto
P (conjunto
C marca
CC
marca
marca
um
um
ponto)
um
ponto)
ponto)
= P=r(X
=
P r(X
PNr(X
=N5N=ou
=
5 6)
ou
5 ou
=
6)0,
6)
=51
=
0, 0,
5151
conjunto
marca
um
ponto
P r(SN −1 = 4) = 343/1296
P r(SN −1 = 5) = 2401/7776
P (conjunto
umopção.
ponto) = P r(XN = 5 ou 6) = 0, 51
Portanto,
o conjunto C émarca
a melhor
Bibliografia
P r(SN −1 = 6) = 16807/46656
P r(SN −1 = 7) = 70993/279936
Feller, W. Introdução à teoria das probabilidades e suas aplicações.
Editora Edgard Blucher, 1976.
Assim, finalmente,
P r(XN = 1) = P r(SN −1 = 7) × 1/6 = 70993/279936 × 1/6 = 0, 04
P r(XN = 2) = P r(SN −1 = 7) ×
1/6
+ P r(SN −1 = 6) ×
1/5
= 0, 04 + 0, 06 = 0, 1
Meyer, Paul. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Livros Técnicos e
Científicos Editora, 2003.
+ P r(SN −1
= 6) × 1/ 5 = 0, 04 + 0, 06 = 0, 1
P r(XN = 3) = P r(SN −1 = 7) × 1/6 + P r(SN −1 = 6) × 1/5 + P r(SN −1 = 6) × 1/4 = 0, 1 + 0, 05 = 0, 15
/6 + P r(SN −1
= 6) × 1/5 + P r(SN −1 = 6) × 1/4 = 0, 1 + 0, 05 = 0, 15
/5 + P r(SN −1
= 6) × 1/4 = 0, 1 + 0, 05 = 0, 15
P r(XN = 4) = 0, 2
Jogo da trilha Guia do professor 7 / 8
Ficha técnica
Autora
Laura Letícia Ramos Rifo
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Ana Cecília Agua de Melo
e Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons
Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação