Integrais Triplas, Integrais de Linha e Campos Conservativos

Universidade Federal do Vale do São Francisco
Engenharia Civil
Cálculo Diferencial e Integral III
Profo . Edson
1o Semestre
a
2 Lista de Exercı́cio
Data: Sexta-feira, 27 de Abril
2007
Profo . Edson
Integrais Triplas, Integrais de Linha e Campos Conservativos
Problema 1 Calcule as integrais
Z 1Z
1−x Z 1+y 2
xdzdydx;
a).
0
0
2y
Z 2 Z √4−y2 Z
Problema 5 Encontre o volume do sólido delimitado pela esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 , onde a > 0.
2−y
b).
zdxdzdy;
0
0
Z 2Z
0
y 2 Z ln x
c).
1
y
d).
1
0
yez dzdxdy;
0
Z 2Z y Z
0
√
Problema 4 Determine o volume do sólido no
primeiro octante, limitado pelos cilindros x2 + y 2 = 4
e x2 + 2z = 4 e pelos planos coordenados.
Problema 6 Ache a massa do sólido limitado pela
superfı́cie z = xy e pelos planos x = 1, y = 1 e
z = 0. A densidade de massa por unidade de volume
em
p qualquer ponto do sólido é dada por δ(x, y, z) =
3 x2 + y 2 kg/m3 .
3z
z
x2 +z 2 dxdzdy;
Problema 2 Calcule as integrais
ZZZ
a).
ydxdydz, se S for a região limitada pelo
S
tetraedro formado pelos planos 12x+20y+15z =
60 e pelos planos coordenados;
ZZZ
b).
zdxdydz, se S for a região limitada pelo
S
tetraedro com vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0)
e (1, 0, 1);
ZZZ
c).
xdxdydz, se S for o tetraedro limitado pe-
Problema 7 Um sólido tem o formato de um cilindro circular reto, sendo r o raio e h a altura, ambos
medidos em metros. Ache a massa do sólido, se a
densidade de massa por unidade de volume varia com
a distância a uma das bases. A densidade é medida
em quilogramas por metro cúbico.
p
Problema 8 Calcule a massa do cone x2 + y 2 ≤
z ≤ 1 sendo a densidade no ponto (x, y, z) proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo z.
Problema 9 Calcule as integrais
Z π4 Z a Z rcos θ
a).
rsec3 θdzdrdθ;
0
los planos x+2y +3z = 6, x = 0, y = 0 e z = 0;
ZZZ
d).
dxdydz, se S for a região limitada pelas
S
superfı́cies z = x2 + y 2 e z = 27 − 2x2 − 2y 2 ;
ZZZ
e).
y 2 dxdydz, se S for a região limitada pelos
S
cilindros x2 + y = 1 e z 2 + y = 1 e pelo plano
y = 0;
ZZZ
f ).
xyzdxdydz, se S for a região limitada peS
los cilindros x2 + y 2 = 4 e x2 + z 2 = 4.
Problema 3 Determine o volume do sólido no
primeiro octante, limitado abaixo pelo plano z = 0,
acima pelo plano z = x e lateralmente pelo cilindro
y 2 = x e pelo plano x = 1.
0
0
Z π Z 4Z
S
b).
0
Z
2
π
4
Z
1
rez dzdrdθ;
0
2acos ϕ Z 2π
c).
0
0
ρ2 sen ϕdθdρdϕ
0
Problema 10 Determine o volume do sólido limitado pela esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 , a > 0 usando
a). coordenadas cilı́ndricas;
b). coordenadas esféricas.
Problema 11 Considere S sendo o sólido no
primeiro octante, limitado pela esfera x2 + y 2 + z 2 =
16 e pelos planos coordenados. Calcule a integral
tripla
ZZZ
xyzdxdydz
S
usando
2a Lista de Exercicı́o
2
a). coordenadas retangulares;
a). γ(t) = (cos t, sen t, t) , a = 0 e b = 2π;
b). coordenadas cilindricas;
b). γ(t) = (2t + 1, t − 1, t) , a = 1 e b = 2;
c). coordenadas esféricas.
Problema 12 Determine a massa do sólido limitado pela esfera de raio a metros, se a densidade de
massa por unidade de volume varia com o quadrado
da distância ao centro. A densidade é medida em
quilogramas por metro cúbico.
Problema 13 Calcule as integrais abaixo, usando
coordenadas cilı́ndricas ou esféricas
Z 4Z 3Z
a).
0
0
√
√
1−x2 Z
√
0
d).
0
z
dzdydx;
x2 +y 2
z 2 dzdxdy;
x2 +y 2
Z 2 Z √4−y2 Z √4−x2 −y2
0
→
−
→
−
−
→
x i +y j
E =
3
(x2 + y 2 ) 2
1−x2 −y 2
0
√
0
→
−
e γ(t) = (t, 1), −1 ≤ t ≤ 1 (Observe que l (t) =
γ(t)).
x2 + y 2 dydxdz;
Z 1 Z √1−y2 Z √2−x2 −y2
c).
→
−
→
−
−
→
x i +y j
E =
3
(x2 + y 2 ) 2
Problema 19 Seja
9−x2 p
b).
0
γ
0
0
Z 1Z
√
c). γ(t) = (cos t, 0, sen t) , a = 0 e b = 2π.
Z
→
→ −
−
Problema 18 Calcule
E · dl onde
0
e seja a curva γ(t) = (t, 1 − t4 ), −1 ≤ t ≤ 1.
Z
→
→−
−
a). Que valor é razoável esperar para E · dl ? Por
γ
quê?
Z
1
x2 +y 2 +z 2 dzdxdy.
Problema 14 Calcule a integral
ZZZ
x2 + y 2 dxdydz
R
onde R é a região do espaço dada por: x2 + y 2 + z 2 ≤
1, x ≥ 0, x ≥ 0, z ≥ 0.
Problema 15 Seja R a região do espaço dada por:
0 ≤ x − y + z ≤ 1, 1 ≤ x + y − z ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1.
Calcule
ZZZ
ex−y+z
dxdydz
Rx+y −z
→
−
Problema 16 Seja F : R2 → R2 um campo vetorial
→
−
contı́nuo tal que, para todo (x, y), F (x, y) é paralelo
→
−
→
−
ao vetor x i + y j , Calcule
Z
→
→ −
−
F · dγ
γ
onde γ : [a, b] → R2 uma curva de classe C 1 , cuja
imagem está contida na circunferência de centro na
origem e raio r > 0.
Problema 17 Uma partı́cula desloca-se em um
→
−
→
−
→
−
campo de forças dado por F (x, y, z) = −y i + x j +
→
−
→
−
z k . Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da partı́cula de γ(a) até γ(b), sendo dados
b). Calcule
→
− −
→
E · dl .
γ
Z
Problema 20 Calcule
→
− −
→
E · dl onde
γ
→
−
→
−
−
→
x i +y j
E =
3
(x2 + y 2 ) 2
e γ(t) = (2cos t, sen t), 0 ≤ t ≤
π
2.
Problema 21 Calcule
Z
x
−y
dx + 2
dy
2 + y2
4x
4x
+ y2
γ
onde γ tem por imagem a elipse 4x2 + y 2 = 9 e o
sentido de percurso é o anti-horário.
Problema 22 Seja γ(t) = (Rcos t, Rsen t), 0 ≤ t ≤
2π (R > 0). Mostre que
Z
−y
x
dx + 2
dy
2
2
x + y2
γx +y
não depende de R.
Problema 23 Calcule
Z
dx + ydy + dz
γ
onde γ é a interseção do plano y = x com a superfı́cie
z = x2 + y 2 , z ≤ 2, sendo o sentido de percurso do
ponto (−1, −1, 2) para o ponto (1, 1, 2).
2a Lista de Exercicı́o
3
Problema 24 Calcule
Z
dx + dy + dz
γ
onde γ é a interseção entre as superfı́cies y = x2 e
z = 2 − x2 − y 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, sendo o sentido
de percurso do ponto (1, 1, 0) para o ponto (0, 0, 2).
Problema 30 Seja f : R → R uma função contı́nua
→
−
e seja F o campo vetorial central
→
−
→
−
r
F (x, y, z) = f (r)
r
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
onde −
r = x i + y j + z k e r = k−
r k. Prove que F
é conservativo.
Problema 31 Mostre que existem naturais m e n
para os quais a forma diferencial
Problema 25 Calcule
Z
2ydx + zdy + xdz
3xm+1 y n+1 dx + 2xm+2 y n dy
γ
é exata.
2
2
onde γ é a interseção das superfı́cies x + 4y = 1
e x2 + z 2 = 1, y ≥ 0 e z ≥ 0, sendo o sentido de
percurso do ponto (1, 0, 0) para o ponto (−1, 0, 0).
Problema 26 Calcule
Z
(x − y)dx + ex+y dy
γ
onde γ é a fronteira do triângulo de vértices
(0, 0), (0, 1) e (1, 2), orientada no sentido antihorário.
Problema 27 Calcule
Z
y 2 dx + xdy − dz
Problema 32 Determine u(x, y), que só dependa de
x, tal que
(x3 + x + y)u(x, y)dx − xu(x, y)dy
seja exata.
Problema 33 Determine u(x, y), que só dependa de
y, tal que
(y 2 + 1)u(x, y)dx + (x + y 2 − 1)u(x, y)dy
seja exata.
Problema 34 Calcule
Z (2,2)
a).
ydx + xdy;
(1,1)
γ
Z
onde γ é a poligonal de vértices A0 = (0, 0, 0), A1 =
(1, 1, 1) e A2 = (1, 1, 0), orientada de A0 para A2 .
Problema 28 Calcule
Z
x2 dx + y 2 dy + z 2 dz
γ
onde γ é a poligonal de vértices A0 = (0, 0, 0), A1 =
(1, 1, 1) e A2 = (1, 1, 0), orientada de A0 para A2 .
Problema 29 O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.
γ
uma curva C 1 por partes, com imagem contida
no semiplano y > 0, tal que γ(0) = (1, 1) e
γ(1) = (−2, 3);
Z (1,0)
y
x
d).
x2 +y 2 dx + x2 +y 2 dy;
(−1,0)
Z
(sen xy + xycos xy)dx + x2 cos xydy onde
γ(t) = (t2 − 1, t2 + 1), −1 ≤ t ≤ 1;
Z
−y
x
2
f ).
x2 +y 2 dx + x2 +y 2 dy onde γ : [0, 1] → R é
→
−
→
−
→
−
→
−
c). F (x, y, z) = (x − y) i + (x + y + z) j + z 2 k ;
(x2 +y 2 +z 2 )2
é o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 2), orientada de (1, 1) para (2, 2);
Z
−y
x
2
c).
x2 +y 2 dx + x2 +y 2 dy onde γ : [0, 1] → R é
γ
→
−
→
−
→
−
b). F (x, y) = y i + x j ;
“ →
→
−”
−
→
−
x i +y j +z k
ydx + x2 dy onde γ é uma curva cuja imagem
γ
e).
−
→
a). F (x, y, z, w) = (x, y, z, w);
−
→
d). F (x, y, z) =
b).
;
→
−
→
−
→
−
→
−
e). F (x, y, z) = x i + y j + z k .
γ
uma curva C 1 por partes, com imagem contida
no conjunto
Ω = (x, y) ∈ R2 y > 0, x < 0
e tal que γ(0) = (1, 1) e γ(1) = (−1, −1).
2a Lista de Exercicı́o
4
Problema 35 Considere a semi-reta
A = (x, y) ∈ R2 y = 0, x ≥ 0
Calcule
e o conjunto
onde γ : [0, 1] → R2 é uma curva C 1 por partes,
com imagem contida em Ω, tal que γ(0) = (1, 1) e
γ(1) = (1, −1).
/A
Ω = (x, y) ∈ R2 (x, y) ∈
−y
x
dx + 2
dy
2 + y2
x
x
+
y2
γ
Z