Lista14 - Páginas Pessoais

Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba - DAMAT
MA75D - Cálculo de Funções Reais de Várias Variáveis Reais
a
Prof
Diane Rizzotto Rossetto
LISTA 14 - Integração Tripla
⇒
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.
5a
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002, v.3
Questão 1: (página 114) Calcule
ZZZ
a)
xyz dx dy dz , onde B = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2}.
B
b)
ZZZ
c)
ZZZ
d)
ZZZ
e)
ZZZ
dx dy dz , onde B é o conjunto x2 + y 2 ≤ z ≤ 2x + 2y − 1.
B
2
ex dx dy dz , onde B = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 1}.
B
o
n
π
π
cos(z) dx dy dz , onde B = (x, y, z) | 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ , x − y ≤ z ≤ x + y .
2
2
B
(y − x) dx dy dz , onde B é o conjunto 4 ≤ x + y ≤ 8,
2
1
≤y≤ ,y>xe
x
x
√
3 xy
0≤z≤ √
.
x+y
B
⇒
STEWART, J. Cálculo.
4a .
ed. São Paulo: Thompson, 2005, v.2.
Questão 2: (página 1016) Calcule a integral iterada:
a)
1
Z
z
Z
x+z
Z
(6xz) dy dx dz
0
b)
Z
c)
Z
0
2
Z
1
0
0
x
Z
0
3
Z
0
0
1
Z
1−y
x3 y 2 z dz dy dx
√
1−z 2
zey dx dz dy
0
Questão 3: (página 1016) Calcule a integral tripla:
1
a)
ZZZ
2x dV , onde
E
E = {(x, y, z) | 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
ZZZ
b)
yz cos(x5 ) dV , onde
p
4 − y 2 , 0 ≤ z ≤ y}
E
E = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, x ≤ z ≤ 2x}
ZZZ
xz dV , onde E é o sólido tetraedo de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) e
c)
E
(0, 1, 1).
ZZZ
(x + 2y) dV , onde E é limitado pelo cilindro parabólico y = x2 e pelos planos
d)
E
x = z , x = y e z = 0.
ZZZ
e)
z dV , onde E é limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0,
E
y = 3x e z = 0 no primeiro octante.
Questão 4: (página 1016) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
a) O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x + 3y + 6z = 12.
b) O sólido limitado pelo cilindro elíptico 4x2 + z 2 = 4 e os planos y = 0 e y = z + 2.
Questão 5: (página 1016) Expresse a integral
ZZZ
f (x, y, z) dV como uma integral iterada de
E
seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies: z = 0, z = y e
x2 = 1 − y .
Questão 6: (página 1017) A gura mostra a região de integração para a integral
Z
1
Z
1−x2
Z
1−x
f (x, y, z) dxdydz.
0
0
0
Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente em cinco modos diferentes.
2
Questão 7: (página 1023) Estabeleça a integral tripla de uma função contínua arbitrária f (x, y, z)
em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.
Questão 8: (página 1023) Utilize coordenadas cilíndricas.
ZZZ p
x2 + y 2 dV , onde E é a região contida dentro do cilindro x2 + y 2 =
a) Calcule
E
16 e entre os planos z = −5 e z = 4.
ZZZ
b) Calcule
x2 dV , onde E é o sólido que está dentro do cilindro x2 + y 2 = 1,
E
acima do plano z = 0 e abaixo do cone z 2 = 4x2 + 4y 2 .
c) Determine o volume da região E limitada pelos parabolóides z = x2 + y 2 e z =
36 − 3x2 − 3y 2 .
Questão 9: (página 1023) Utilize coordenadas esféricas.
ZZZ
a) Calcule
(x2 + y 2 + z 2 ) dV , onde B é a bola unitária x2 + y 2 + z 2 ≤ 1.
B
3
b) Calcule
ZZZ
xe(x
2 +y 2 +z 2 )2
dV , onde E é o sólido que está entre as esferas x2 +
E
y 2 + z 2 = 1 e x2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante.
2
2
2
c) Determine o volume do sólido que
p está dentro da esfera x + y + z = 4, acima do
plano xy e abaixo do cone z = x2 + y 2 .
Questão 10: (páginas 1023) Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas.
a) Determine o volume do sólido E que está acima do cone z =
esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
p
x2 + y 2 e abaixo da
b) Determine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de raio a cortada por
π
dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de .
6
Respostas
3
2
π
1b)
2
1
1c) (e − 1)
2
1d) 2
2a) 1
1
2c) (e3 − 1)
3
3a) 4
4a) 8
8a) 384π
2π
8b)
5
8c) 162π
4π
9a)
5 2π
1
10a)
1− √
3
2
1a)
4