apostila sobre fatoração e produtos notáveis

Fatoração de expressões algébricas
A fatoração mais comum é a fatoração de números, veja a fatoração do número 144:
Para fatorarmos 144 devemos dividi-lo por fatores primos (números que dividem por um e por
ele mesmo), veja:
144 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 24 . 32
Fatores Primos
Podemos fatorar não só números, mas também expressões algébricas, a fatoração é uma
forma diferente de representarmos um número ou uma expressão algébrica:
►50 = 2 . 5 . 5 = 2 . 52 → forma fatorada do número 50.
►x2 - 1 = (x + 1) (x - 1) → forma fatorada da expressão algébrica x2 – 1.
Para cada expressão algébrica, dependendo da quantidade de monômios ou da operação
entre eles, ela tem uma forma diferente de ser fatorada. Veja o nome de cada caso de
fatoração:
Fator comum (colocar o termo em evidência);
Agrupamento;
Trinômio do quadrado perfeito;
Trinômio do tipo x2 + Sx +P;
Diferença de dois quadrados;
Soma de dois cubos;
Diferença de dois cubos
1º caso de fatoração: Fator comum
Para fatorar expressões algébricas é necessário observar atentamente qual caso de fatoração
pode ser aplicado.
São sete os casos diferentes utilizados na fatoração de expressão algébricas. O primeiro caso é
a fatoração por meio do termo em comum ou colocação de termos em evidência.
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os
monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum.
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, veja alguns exemplos:
►a – ab é uma expressão algébrica, veja como devemos fatorar:
É preciso analisar se o 1º caso poderá ser utilizado para a fatoração, então é necessário
analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum.
a – ab essa expressão tem dois monômios a e ab
Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é a. Então, colocamos esse termo
comum em evidência.
Quando colocamos a em evidência devemos dividir a e ab (os monômios) por a (termo
comum), assim:
a : a = 1, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1.
ab : a = b, pois a : a = 1, então ficaria 1b que é o mesmo que b.
Portanto a – ab = a (1 – b)
↓
Termos
em evidência
►a3 – 4a2 é uma expressão algébrica, veja como fatorar:
Essa expressão algébrica tem 2 monômios a3 e 4a2, eles têm o a como termo semelhante,
então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida, devemos colocar o a3
ou a2? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos a2.
Assim, devemos dividir a3 e 4a2 por a2, assim:
a3 : a2 = a, pois a3 = a .a .a, então a . a . a : a2 é o mesmo que 1a = a.
4a2 : a2 = 4, pois a2 : a2 = 1, então ficaria 4 . 1 que é mesmo que 4.
Portanto a3 – 4a2 = a2 (a – 4).
↓
Termos
em evidência
►x4 - 2x3 + x2 + x é uma expressão algébrica que tem quatro monômios, eles têm termos em
comum, como esses termos têm mesma base devemos pegar o de menor expoente, então o
termo em comum é x.
O termo em evidência deverá ser dividido pelos monômios x4 , 2x2 , x2 e x, assim:
x4 : x = x3, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
2x3 : x = 2x2, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
x2 : x = x, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
x : x = 1, pois qualquer número ou letra dividido por ele mesmo é igual a 1.
Portanto x4 - 2x3 + x2 + x = x (x3 – 2x2 + x – 1).
↓
Termos
em evidência
► 4r + 12 é uma expressão algébrica, olhando rapidamente podemos pensar que não existe
termo semelhante, o que seria errado, pois o número 12 pode ser fatorado em dois fatores 12
= 4 . 3, com essa fatoração percebemos que há um termo em comum na expressão algébrica,
esse é o 4.
Então, pegamos os monômios 4r e 12 e dividimos por 4, ficando assim:
4r : 4 = 1r ou r
12 : 4 = 3
Portanto, 4r + 12 = 4 (r + 3)
↓
Termos
em evidência
► Para fatorarmos a expressão algébrica (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) devemos ter um pouco mais
de cuidado, pois em primeiro lugar separamos os termos:
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) a expressão possui dois termos.
↓
↓
1º termo
2º termo
O termo semelhante é (x + 1), pois é encontrado tanto no 1º termo, como no 2º.
Então, devemos dividir o 1º termo e o 2º por (x + 1), ficando assim:
[(x + 1) (x – 3)] : (x + 1) = (x – 3)
2 (x + 1) : (x + 1) = 2
Portanto, (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 3 + 2)
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 1)
↓
Termos
em evidência
Para conferir se as fatorações estão corretas, basta efetuar as fatorações, veja:
Para verificar se a fatoração 4r + 12 = 4 (r + 3) está correta, basta pegar a expressão algébrica
fatorada 4 (r + 3) e resolvê-la:
Aplicando a propriedade distributiva temos: 4 (r + 3) = 4 . r + 4 . 3 = 4r + 12. Podemos concluir
que a fatoração está correta.
2º caso de fatoração: Agrupamento
Agrupamento é o segundo caso de fatoração, para utilizá-lo devemos ter conhecimento do
primeiro caso, pois para fatorar uma expressão algébrica utilizando o agrupamento é preciso
agrupar os termos semelhantes e colocá-los em evidência.
Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos
comuns. Veja:
Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21 veremos que não são todos os monômios que
têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes.
Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum),
colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento.
ab + 3b + 7a + 21
↓
↓
b termo
comum
7 é o termo comum
Então: b (a + 3) + 7 (a + 3)
Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração,
pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum
(a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração:
b (a + 3) + 7 (a + 3)
(a + 3) (b + 7)
Portanto, a expressão algébrica ab + 3b + 7a + 21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7).
3º caso de fatoração: Trinômio do quadrado perfeito
A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado
perfeito. Para que possa fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso a expressão
deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito.
Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e
quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito.
Trinômio
Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3
monômios, veja alguns exemplos de trinômios:
x3 + 2x2 + 2x
- 2x5 + 5y – 5
ac + c – b
É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar
se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito.
Quadrado perfeito
Veja a demonstração do que é um quadrado perfeito:
Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de
outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois
62 = 36.
Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais)
a abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.
Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:
1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2 , então como o lado nesse
quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.
A1 = (x + y) . (x + y) que é o mesmo que A1 = (x + y)2, então podemos dizer que:
O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito.
2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área,
então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:
A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los
A2 = x2 +2xy + y2
O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio.
As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:
A1
=
A2
(x + y)2 = x2 +2xy + y2
Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.
Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua
forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:
O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado fica (x + y)2.
Como já foi dito, nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que
saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa
identificação:
Quando um trinômio é quadrado perfeito
O quadrado perfeito (x + y)2 é composto por dois fatores (x e y) , a resolução dele é um trinômio
x2 +2xy + y2, o primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo e o segundo monômio é duas
vezes o primeiro termo vezes o segundo, o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.
Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer
quadrado perfeito.
Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo
um resumo podemos dizer que:
Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros
termos.
Veja alguns exemplos:
Veja se o trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras que foram
citadas.
Dois membros do trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do
meio, então o trinômio é quadrado perfeito.
Então, a forma fatorada do trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 é (3a – 2b)2, pois é a soma das raízes ao
quadrado.
Exemplo:
Dado o trinômio 4x2 – 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2 , as raízes serão
respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo
8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.
4º caso de fatoração: Trinômio do tipo x² + Sx + P
O quarto caso de fatoração, assim como o terceiro, é a fatoração de uma expressão algébrica em
forma de trinômio.
A diferença dos dois é que nesse quarto caso o trinômio não tem que formar um quadrado
perfeito e sim somar o produto dos dois últimos termos, por isso que é chamado de trinômio do
tipo x2 + Sx + P, onde S é soma e P é produto.
Veja os exemplos:
Dada a expressão algébrica y2 – 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros
das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser
quadrado perfeito.
Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x2
+ Sx + P. Dada a expressão y2 – 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus
expoentes (do maior para o menor), se estiver basta achar dois números que somados resultem
em -5 e que o produto deles resulte em 6.
Vamos fazer as tentativas para que o produto resulte em 6:
2.3=6
(- 2) . (- 3) = 6
6 . 1= 6
- 6 . (- 1) = 6
Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê -5. Concluímos
que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será:
(y – 2) (y – 3).
Dada a expressão m2 + 7m – 8, devemos achar dois números que somados resulte 7 e o produto
deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em - 8:
-1.8=-8
1 . (-8) = - 8
4 . (- 2) = - 8
-4.2=-8
Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 7. Concluímos
que -1 + 8 = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será:
(m – 1) (m + 8).
Dado a expressão x2 + 4x – 12, devemos achar dois números que somados resulte em 4 e o
produto do mesmo seja – 12. Verifiquemos as possibilidades de o produto resultar em -12:
1 .(-12) = -12
-1 . 12 = -12
6 . (-2) = -12
- 6 . 2 = -12
Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 4. Concluímos
que 6 +(- 2) = 4, portanto a forma fatorada desse trinômio será:
(x + 6) (x – 2)
5º caso de fatoração: Diferença de dois quadrados
O quinto caso de fatoração é mais uma forma de fatorar expressões algébricas. Esse caso de
fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os
mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência).
Chegamos à conclusão que a diferença de dois quadrados pode ser utilizada, quando:
-Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios).
- Os dois monômios forem quadrados.
- A operação entre eles for de subtração.
Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:
• a2 - 16
• 1 – a2
3
• 4x2 – b2
Como fazer essa fatoração
Dada a expressão algébrica 9x2 – 81, veja os passos que devemos tomar para chegarmos à forma
fatorada utilizando o 5º caso de fatoração.
A forma fatorada será (3x – 9) (3x + 9).
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1:
A expressão algébrica x2 – 4 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são
respectivamente x e 2, então a sua forma fatorada é (x – 2) (x + 2).
Exemplo 2:
Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, a raiz dos termos 16x2 e 25 é respectivamente 4x e 5.
Então, a forma fatorada é (4x – 5) (4x + 5).
Exemplo 3:
Dada a expressão algébrica 36x2 – 81y2, a raiz dos termos 36x2 e 81y2 é respectivamente 6x e
9y. Então, a forma fatorada é (6x – 9y) (6x + 9y).
6ºcaso de fatoração: Soma de dois cubos
O sexto caso de fatoração é a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois
monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são
elevados ao cubo (elevados à terceira potência).
Veja a demonstração de como foi encontrado esse caso de fatoração:
Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma
expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as
duas expressões encontradas.
(x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva;
x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 una os termos semelhantes;
x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e
somados.
Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y poderão assumir qualquer valor real.
A forma fatorada de x3 + y3 será (x + y) (x2 - xy + y2).
Veja alguns exemplos:
Exemplo1:
27x3 + 1000 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
33x3 + 103, assim: x = 3x e y = 10
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2)
(3x + 10) ((3x)2 – 3x . 10 + 102)
(3x + 10) (9x2 – 30x + 100)
Portanto, a fatoração de 27x3 + 1000 será (3x + 10) (9x2 – 30x + 100).
Exemplo 2:
x3 + 1 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(x)3 + 13 assim: x = x e y = 1
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2)
(x + 1) ((x)2 –x .1 + 12)
(x – 1) (x2 –x + 1)
Exemplo 3:
8x3 + y3 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:
(2x)3 + y3 assim: x = 2x e y = y
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.
(x + y) (x2 - xy + y2)
(2x + y) ((2x)2 – 2xy + y2)
(2x + y) (4x2 – 2xy + y2)
7º caso de fatoração: diferença de dois cubos
O sétimo caso de fatoração é semelhante ao 6º caso, a diferença é na operação entre os dois
monômios que aqui nesse caso é uma subtração (diferença).
Observe a demonstração abaixo:
Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão
algébrica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2, assim, devemos multiplicar as duas
expressões encontradas.
(x - y) (x2 + xy + y2) é necessário utilizar a propriedade distributiva;
x3 + x2y + xy2 - x2y –xy2 - y3 unir os termos semelhantes;
x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos.
Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y podem assumir qualquer valor real.
A forma fatorada de x3 - y3 será (x - y) (x2 + xy + y2).
Com o conhecimento de todos os casos de fatoração, quando for preciso fatorar alguma
expressão algébrica devemos sempre observar em qual dos casos ela se enquadra, veja os
exemplos de como fazer esse reconhecimento.
Exemplo:
Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 27x3 – y3 devemos observar que ela tem
dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a
diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos.
No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos
utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos devemos escrever a
expressão algébrica 27x3 – y3 da seguinte forma:
(x - y) (x2 + xy + y2). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 27x3 – y3.
A raiz cúbica de 27x3 é 3x e a raiz cúbica de y3 é y. Agora, basta substituir valores, no lugar de
x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada
(x - y) (x2 + xy + y2) , ficando assim:
(3x – y) ((3x)2 + 3x . y + y2)
(3x – y) (9x2 + 3xy + y2)
Então, (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x3 – 27.
Exemplo 2
Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos
passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica r3 – 64 temos: As raízes cúbicas de
r3 é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de x o r e no lugar de y o 4.
(r – 4) (r2 + 4r + 16) é a forma fatorada de r3 – 64.